Toán 10 Bài 2 bất PHƯƠNG TRÌNH và hệ bất PHƯƠNG TRÌNH một ẩn

BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm bất phương trình, hệ bất phương trình ẩn + Nắm khái niệm tập nghiệm bất phương trình, hệ bất phương trình ẩn + Nắm khái niệm bất phương trình tương đương  Kĩ + Xác định tập nghiệm bất phương trình bậc ẩn + Kiểm tra bất phương trình tương đương Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Bất phương trình ẩn Ví dụ: Bất phương trình ẩn x mệnh đề Một số bất phương trình ẩn x < 1; x − x + ≤ x;  A( x)   A( x) chứa biến   A( x)  A( x)  > B ( x) < B ( x) ≤ B ( x) x + x −1 ≥ x2 − ≥ B ( x) Ví dụ: x = nghiệm bất phương trình x − x − > , 32 − 2.3 − = > Tập nghiệm bất phương trình Nghiệm bất phương trình giá trị ẩn thay vào bất phương trình ta khẳng định Tập hợp tất nghiệm bất phương trình gọi tập nghiệm bất phương trình Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình tương đương hai bất phương trình có tập nghiệm Hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình ẩn x gồm số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung  A1 ( x ) < B1 ( x )   A2 ( x ) < B2 ( x )    A ( x) < B ( x) n  n   x2 −1 <  Ví dụ: Hệ bất phương trình ẩn  x + <  3x +  ≥3  x−2 Giá trị x nghiệm tất bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình Giải hệ bất phương trình cách tìm giao tập hợp nghiệm bất phương trình hệ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Điều kiện xác định bất phương trình Phương pháp giải  Biểu thức  Biểu thức f ( x) xác định g ( x ) ≠ g ( x) f ( x ) xác định f ( x ) ≥ Ví dụ: Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau: a) x − + < x + x −8 Trang Tập xác định (TXĐ) bất phương trình tập hợp tất giá trị biến số x để biểu thức b) 2x 2x +1 + ≥ 8+ x − 2x − 2x − Hướng dẫn giải f ( x ) , g ( x ) có nghĩa a) Bất phương trình xác định x − ≥ x ≥ ⇔  x − ≠ x ≠ Vậy điều kiện xác định bất phương trình x ≥  x ≠ b) Bất phương trình xác định  x ≠  x2 − ≠  ⇔  x ≠ −2  2 x − ≠  x ≠  Vậy điều kiện xác định bất phương trình 5  x ∈ ¡ \ −2; 2;  2  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định bất phương trình sau: a) 2020 − x ≥ x − 2020 b) x +1 − 3x > x+2 x+2 c) x −3 + d) x + − 3x − ≥ 2x − − 3x > x + ( x − 3) ( x − ) 2x +1 Hướng dẫn giải a) Bất phương trình xác định  2020 − x ≥  x ≤ 2020 ⇔ ⇔ x = 2020   x − 2020 ≥  x ≥ 2020 Vậy điều kiện xác định bất phương trình x = 2020 b) Bất phương trình xác định x + > ⇔ x > −2 điều kiện xác định bất phương trình x > −2 c) Bất phương trình xác định Trang x ≥ x − ≥  x > −3 x >   ⇔ ⇔ x + > x ≠  x−3 x−4 ≠ x ≠ )( ) (  x ≠ Vậy điều kiện xác định bất phương trình x ∈ ( 3; ) ∪ ( 4; +∞ )  x≥−  x + ≥   ⇔ ⇔ x≥ d) Bất phương trình xác định  3 x − ≥ x ≥  Vậy điều kiện xác định bất phương trình x ≥ Ví dụ Tìm tập xác định bất phương trình sau a) − 3x + ≥ 1− 2x c) x + − x ≥ − x − 25 b) 2x +1 > + x −1 x d) 3x − − x > − 2x + x2 − x −1 Hướng dẫn giải  x≤  − x ≥   ⇔ ⇔ x< a) Bất phương trình xác định  1 − x > x <  1  Vậy tập xác định D =  −∞; ÷ 2  x −1 ≠ x ≠ ⇔ b) Bất phương trình xác định  x > x > Vậy tập xác định D = ( 0;1) ∪ ( 1; +∞ ) x ≤ 6 − x ≥  ⇔  x ≠ −5 c) Bất phương trình xác định   x − 25 ≠ x ≠  Vậy tập xác định D = ( −∞; −5 ) ∪ ( −5;5 ) ∪ ( 5;6 ] x ≠ −  x − ≠  x ≠   x > x − > ⇔ ⇔ d) Bất phương trình xác định  x > x ≠   2 x + ≥    x ≥ −3  2 ( ) ( Vậy tập xác định D = 1; ∪ ) 3; +∞ Trang x + 2m + − x − ≥ xác định với Ví dụ Tìm tất giá trị m để bất phương trình x ∈ [ −4; −2] Hướng dã giải Bất phương trình xác định ∀x ∈ [ −4; −2]  x + 2m ≥ ∀x ∈ [ −4; −2]  x ≥ −2m ∀x ∈ [ −4; −2] ⇔   x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2]  − x − ≥ ∀x ∈ [ −4; −2] Nhận xét x ≤ −2 ∀x ∈ [ −4; −2] ln Vì ta cần có m ≥ − x  x ∀x ∈ [ −4; −2] ⇔ m ≥ max  − ÷ ⇔ m ≥ − 4; − [ ] 2 Vậy m ≥ Ví dụ Tìm tất giá trị m để bất phương trình x − m + − x ≥ + x có tập xác định đoạn trục số Hướng dẫn giải x − m ≥ x ≥ m ⇔ Bất phương trình xác định  4 − x ≥ x ≤ - Nếu m = tập xác định hàm số D = { 2} - Nếu m > tập xác định hàm số D = ∅ - Nếu m < tập xác định hàm số D = [ m; 2] Vậy m < thỏa mãn Ví dụ Tìm tất giá trị k cho bất phương trình k − x − x + > + x có tập xác định tập hợp rỗng Hướng dẫn giải k  k − x ≥ x ≤ ⇔ Bất phương trình xác định  x + ≥  x ≥ −4 - Nếu k = −4 ⇔ k = −8 tập xác định D = { −4} - Nếu k k  > −4 ⇔ k > −8 tập xác định D =  −4;  2  - Nếu k < −4 ⇔ k < −8 tập xác định D = ∅ Vậy giá trị cần tìm k < −8 Chú ý: Có thể lập luận sau Trang k < −4 ⇔ k < −8 2x + > − − x xác định Ví dụ Tìm giá trị x để bất phương trình x + x+9 Để bất phương trình có tập xác định tập rỗng A x ∈ [ −9;8] B x ∈ ( −9;8] C x ∈ [ 8; +∞ ) D x ∈ ( −∞; −9 ) Hướng dẫn giải x + >  x > −9 ⇔ Bất phương trình xác định  8 − x ≥ x ≤ Vậy điều kiện xác định x ∈ ( −9;8] Chọn B Ví dụ Tìm giá trị x để bất phương trình A x ∈ [ −5; +∞ ) x+5 ( x − 6) < x + xác định C x ∈ [ −5; +∞ ) \ { 6} B x ∈ ( −5; +∞ ) D x ≠ Hướng dẫn giải x + ≥  x ≥ −5 ⇔ Bất phương trình xác định  x − ≠ x ≠ Vậy điều kiện xác định x ∈ [ −5; +∞ ) \ { 6} Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập xác định bất phương trình A D = ¡ \ { −2} C D = ( −2; +∞ ) B D = ¡ Câu 2: Tập xác định bất phương trình A D = ¡ \ { ±2} + 2019 − 2020 x < x+2 x + 3x − ≥ x −4 x −3 B D = ¡ \ { ±2;3} Câu 3: Điều kiện xác định bất phương trình A x ∈ ¡ C D = ¡ 1  C x ∈  −∞;  2  B x ∈ ( −∞; 2] B x ∈ ( −5; 4] 1  D x ∈  ;  2  − x + x > + x − Câu 5: Điều kiện xác định bất phương trình x + A x ∈ [ −5; 4] D D = ( −∞; ) ∪ ( 3; +∞ ) − x + x < + − x B x ∈ ( −∞; 4] Câu 4: Điều kiện xác định bất phương trình A x ∈ ¡ D D = ( −∞; −2 ) 1  C x ∈  −∞;  2  1  D x ∈  ;  2  < − − x x+5 C x ∈ [ 4; +∞ ) D x ∈ ( −∞; −5 ) Trang Câu 6: Các giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình A x < B x ≥ A x ∈ [ −1; +∞ ) x +1 ( x − 2) A m = 3 x+2 + x+3+ > x − x  x ≥ −2 D  x ≠ < x + C x ∈ [ −1; +∞ ) \ { 2} B x ∈ ( −1; +∞ ) Câu 9: Để bất phương trình x ≥ D  x ≠  x ≥ −3 C  x ≠ B x ≥ −3 Câu 8: Điều kiện xác định bất phương trình + x − < 2− x C ≤ x < Câu 7: Các giá trị x thỏa mãn điều kiện bất phương trình A x ≥ −2 D x ∈ ( −1; +∞ ) \ { 2} x − m − − x < 2019 − 2020 x có tập xác định đoạn trục số B m < D m < C m > m − x + x + < 2020 có tập Câu 10: Tìm tất giá trị thực tham số m để bất phương trình xác định đoạn trục số A m < −2 C m > − B m > D m > −2 Dạng 2: Hai bất phương trình tương đương Phương pháp giải Hai bất phương trình f1 ( x ) < g1 ( x ) Ví dụ: Chứng minh hai bất phương trình f ( x ) < g ( x ) gọi tương đương, kí hiệu: x > x + ( x ) > ( x + 1) tương đương 3 f1 ( x ) < g1 ( x ) ⇔ f ( x ) < g ( x ) chúng có Hướng dẫn giải Tập xác định hai bất phương trình D = ¡ tập hợp nghiệm Vì a > b ⇔ a > b3 nên hai bất phương trình Ta gọi D tập xác định bất phương trình f ( x ) < g ( x ) h ( x ) x > x + ( x ) > ( x + 1) tương đương biểu thức xác định ∀x ∈ D thì:  f ( x) + h ( x) < g ( x) + h ( x) ⇔ f ( x) < g ( x)  f ( x ) h ( x ) < g ( x ) h ( x ) h ( x ) > ∀x ∈ D  f ( x ) h ( x ) > g ( x ) h ( x ) h ( x ) < ∀x ∈ D Bình phương hai vế bất phương trình (hai vế khơng âm) mà khơng làm thay đổi điều kiện ta thu bất phương trình tương đương với bất Trang phương trình cho Lập phương hai vế bất phương trình ta thu bất phương trình tương đương với bất phương trình cho Ví dụ mẫu Ví dụ Các cặp bất phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x + < x x < x − b) x > x − x + > Hướng dẫn giải a) Với bất phương trình x + < x, cộng x − vào hai vế bất phương trình, ta x + + x − < x + x − ⇔ 3x < x − Vậy hai bất phương trình cho tương đương b) Nhận xét x = nghiệm bất phương trình thứ hai khơng nghiệm bất phương trình thứ Vậy hai bất phương trình cho khơng tương đương Ví dụ Trong bất phương trình sau đây, bất phương trình tương đương với bất phương trình x + > (*)? a) x + − b) x + + 1 >− x −5 x−5 2x 2x > 5x + 5x + Hướng dẫn giải Ta có x + > ⇔ x > − a) x + − 1 >− (1) không tương đương với x + > x = nghiệm bất phương trình x −5 x−5 (*) khơng phải nghiệm bất phương trình (1) b) Với x > − 2x 2x 1 > ⇔ 5x + > ⇔ x > − ta có x + + 5x + 5x + Do bất phương trình x + + 2x 2x > tương đương với bất phương trình x + > 5x + 5x + Ví dụ Khơng giải bất phương trình, giải thích bất phương trình sau vơ nghiệm a) x + x + + ≤ b) x x + 2019 + < 2x +1 2020 x Hướng dẫn giải Trang 2 a) Ta có x + x + ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ x + x + + ≥ > 0, ∀x ∈ ¡ Do bất phương trình vơ nghiệm b) Điều kiện x > Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: x 8x + x 8x + + ≥2 = > 2x +1 2x +1 x x Mà 2019 x x + 2019 < bất phương trình + < vơ nghiệm 2020 2x + 2020 x Ví dụ Bạn Hồng giải bất phương trình + x ≤ x − sau Bất phương trình tương đương với ( + x) ≤ ( x − 3) ⇔ + x + x ≤ x − x + ⇔ 12 x ≤ ⇔ x ≤ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞;0] Theo em bạn Hồng giải hay sai? Nếu sai sửa lại cho Hướng dẫn giải Bạn Hồng mắc sai lầm phép biến đổi bình phương hai vế Hướng dẫn giải Cách Với x − ≥ ⇔ x ≥ , bình phương hai vế bất phương trình ta ( + x) ≤ ( x − 3) ⇔ + x + x ≤ x − x + ⇔ 12 x ≤ ⇔ x ≤ 2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ∅ Cách Với x ≤ −3 , bất phương trình trở thành −3 − x ≤ x − ⇔ x ≥ ⇔ x ≥ (mâu thuẫn với x ≤ −3 ) Với x > −3 , bất phương trình trở thành + x ≤ x − ⇔ ≤ −3 (vơ lí) Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ∅ Ví dụ Tìm tất giá trị m cho bất phương trình sau tương đương ( m − 2) x − m + > (1) ( m + ) x − m + > 0, (2) Hướng dẫn giải Ta dễ kiểm tra m = 2; m = −2 không thỏa mãn, (1) (2) tương đương với ( m − ) ( m + ) >  m >   m > ⇔ ⇔ ⇔ m = m−5 m−4 = m =   m − 3m − 10 = m − 6m + m − m + Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Bất phương trình + x + 1 > 3x + tương đương với bất phương trình 2x − 2x − x ≠ 2 A x < B x < C x < D Tất bất phương trình Câu 2: Bất phương trình x + 3 < 2020 + tương đương có bất phương trình x − 2019 x − 2019 A x < 2020 B x < 2020 x ≠ 2019 C x < 1010 D Tất bất phương trình Câu 3: Bất phương trình x − ≥ tương đương với bất phương trình sau đây? A x − + 3 ≥ x −3 x −3 B x − − C ( x − 1) x − 2020 ≥ x − 2020 D 3 ≥− x+3 x+3 2x −1 ≥ x − 2020 x − 2020 Câu 4: Cặp bất phương trình sau không tương đương? x −1 x ≥ x +1 x +1 A x − ≥ x x − x − ≥ x − x B x − ≥ x C x − − x ≥ x − ≥ x D x − ≥ x − x − + x < Câu 5: Cặp bất phương trình sau tương đương? A x − ≤ x ( x − ) ≤ B x − < x ( x − ) > C x − < x ( x − ) < D x − ≥ x ( x − ) ≥ Câu 6: Bất phương trình x − ≥ x tương đương với A ( − x ) x − ≥ x ( − x ) B ( x + 1) x − ≥ x ( x + 1) 2 C ( − x ) x − ≥ x ( − x ) D x x − ≤ x Câu 7: Với giá trị m hai bất phương trình ( m + 3) x ≥ 3m − ( 2m − 1) x ≤ m + tương đương? A m = m = B m = C m = D m = Câu 8: Với giá trị m hai bất phương trình ( m + ) x ≤ m + 3m ( x − 1) ≤ − x − tương đương? A m = −3 B m = −2 C m = −1 D m = Câu 9: Với giá trị a hai bất phương trình ( a + 1) x − a + > ( a − 1) x − a + > tương đương? A a = B a = C a = −1 D a = Trang 10 −b +  a − b − ≥  ⇔  2a − 4b − 10 ≥ −b + ⇔ 2a − 3b ≥ 13 ( 3) ⇔   4b + 2a + ≤ 3b + 2a + b ≤ ( ) 2b + a + ≤ 3b +  Ta thấy (4) vơ nghiệm (vì a, b ∈ ¢ , a, b > ) ⇒ Hệ (3), (4) vô nghiệm Vậy khơng có giá trị a b thỏa mãn toán Chú ý: Trong cách giải ta tìm hai tập nghiệm hai bất phương trình theo a, b cho T1 ⊂ T2 Ở ý phân biệt điều kiện để hai bất phương trình có nghiệm chung, hay nghiệm bất phương trình nghiệm bất phương trình Ví dụ Tìm tất giá trị m để bất phương trình sau vô nghiệm m x + 4m − < x + m A m = B m ≠ C m = −1 D m < −1 Hướng dẫn giải 2 Viết lại bất phương trình dạng ( m − 1) x − ( m − 4m + 3) < Khi đó, bất phương trình vơ nghiệm  m − = m = ±1 ⇔ ⇔ m =   2 − m − m + ≥ − m − m + ≥ ( ) ( )    Vậy m = , bất phương trình vơ nghiệm Ví dụ Tìm tất giá trị m cho bất phương trình m ( x − ) + x + m ≥ có nghiệm x ∈ [ −1; 2] A m ≥ −2 B m ≠ −2 C m ≤ −2 D m < −2 Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương với ( m2 + 1) x ≥ 2m2 − m ⇔ x ≥ 2m − m (vì m + > ) m +1  2m − m  S = Tập nghiệm bất phương trình  m + ; +∞ ÷    2m − m  ; +∞ ÷ ≠ ∅ Yêu cầu toán trở thành [ −1; 2] ∩   m +1  2m − m ⇔ ≤ ⇔ 2m − m ≤ 2m + ⇔ m ≥ −2 m +1 Vậy m ≥ −2 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Tập nghiệm S bất phương trình x − ≥ 2x + Trang 16 A S = ¡ B S = ( −∞; )   C S =  − ; +∞ ÷    20  D S =  ; +∞ ÷  23  Câu 2: Bất phương trình A 3x + x+2 −1 ≤ + x có nghiệm nguyên lớn −10 ? B C D 10 Câu 3: Tập nghiệm S bất phương trình x + x − 2020 ≤ 2020 + x − 2020 A S = [ 2020; +∞ ) B S = ( −∞; 2020] C S = { 2020} D S = ∅ Câu 4: Tổng nghiệm nguyên bất phương trình A 15 B 11 x−2 ≤ x−4 x−4 C 26 D Câu 5: Tập nghiệm S bất phương trình ( x − 3) x − ≥ A S = { 2} ∪ ( 3; +∞ ) B S = ( 3; +∞ ) C S = { 2} ∪ [ 3; +∞ ) D S = [ 3; +∞ ) Câu 6: Bất phương trình ( x − 1) ( x + 3) − 3x + ≤ ( x − 1) ( x + ) + x − có tập nghiệm 2  A S =  −∞; − ÷ 3    B S =  − ; +∞ ÷   ( Câu 7: Tập nghiệm S bất phương trình x +   A S =  ; +∞ ÷ ÷    3 B S =  −∞;    C S = ¡ ) ≥ ( x − 3) D S = ∅ + C S = ¡ D S = ∅ Câu 8: Tập nghiệm S bất phương trình ( x + 1) − x ( − x ) > −2 x A S = ¡   B S =  − ; +∞ ÷   5  C S =  −∞; ÷ 2  D S = ∅ Câu 9: Bất phương trình ( m − 1) x > vô nghiệm A m ≠ B m < C m = D m > Câu 10: Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình m ( x − 1) < 2020 x − có nghiệm A m ≠ 2020 B m > 2020 C m = 2020 D m < 2020 Câu 11: Bất phương trình ( m − 3m + ) x < − m vô nghiệm A m ≠ B m ≠ C m = 1; m = D m ∈ ¡ 2 Câu 12: Bất phương trình 4m ( x − 1) ≥ ( 4m + 5m + ) x − 12m nghiệm với x ∈ ¡ A m = −1 B m = C m = D m = − Trang 17 Câu 13: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình (m − m ) x + m < x − vô nghiệm Tổng phần tử S A B C D Câu 14: Bất phương trình ( m + ) x + ≥ m ( − x ) nghiệm với x ∈ ¡ A m ≠ B m = C m ≠ −3 D m = −3 Câu 15: Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình ( x + m ) m + x > 3x + có tập nghiệm ( −m − 2; +∞ ) A m = B m ≠ C m > D m < Dạng 4: Hệ bất phương trình bậc ẩn Phương pháp giải 2 x − < Ví dụ Giải hệ bất phương trình  bất phương trình hệ bất phương trình Khi 3 − x > −3 Để giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải tập nghiệm hệ bất phương trình giao Hướng dẫn giải tập nghiệm bất phương trình Ta có 2 x − < 2 x < x < ⇔ ⇔ ⇔ x <  3 − x > −3 −2 x > −6 x < Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( −∞; ) 3 x − ≤  Ví dụ 2: Giải hệ bất phương trình  x + ≥ x +1 >  Hướng dẫn giải +) x − ≤ ⇔ x ≤ Tập nghiệm bất phương 5  trình thứ S1 =  −∞;  3  +) x + ≥ ⇔ x ≥ − Tập nghiệm bất   phương trình thứ hai S =  − ; +∞ ÷   + x + > ⇔ x > −1 Tập nghiệm bất phương thứ ba S3 = ( −1; +∞ ) Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình cho Trang 18 5  S = S1 ∩ S2 ∩ S3 =  −1;  3  Ví dụ mẫu Ví dụ Giải hệ bất phương trình sau ( − x ) > + x + x b)  3 ( x + ) < x + x − x − 2 x − > x + ; a)  3 x + ≥ x − Hướng dẫn giải a) Ta có  2 x − > x + 3 x < −8 x < − ⇔ ⇔ 3⇔ x + x + x  − x + x > + 3x + x ⇔   3 3 ( x + ) < x + x − x −  x + x + 12 x + < x + x − x − x < 7 x < −3  ⇔ ⇔ 3⇔ x< 21x < −9  x < − −3   Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S =  −∞; ÷   Ví dụ Giải hệ bất phương trình sau x +1 ≥  ; a)  x + < 3 x − ≤ x +  x −1 ≤ 2x −  b) 3 x < x + 5 − x ≤ x − ( )  Hướng dẫn giải a) Ta có x +1 ≥  x ≥ −1  x ≥ −1    ⇔ 2 x < ⇔  x < ⇔ −1 ≤ x < 2 x + < 3 x − ≤ x +  x ≤ x ≤    Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình S = [ −1; ) b) Ta có Trang 19  x ≥ x −1 ≤ 2x − x ≥  11    ⇔ 2 x < ⇔  x < ⇔ ≤ x < 3 x < x + 5 5 − x ≤ x − 5 x ≥ 11  ( )    11  x ≥ 11  Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  ; ÷  2 Ví dụ Tìm tất giá trị m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm 3 x + − 2m ≤   mx + m − ≤ Hướng dẫn giải +) x + − 2m ≤ ⇔ x ≤ 2m − 2m −   Tập nghiệm bất phương trình thứ T1 =  −∞;   +) mx + m − ≤ ⇔ mx ≤ − m (*) Trường hợp 1: Với m = x ≤ Tập nghiệm (*) T2 = ¡ Khi đó, tập nghiệm hệ T = T1 ∩ T2 = T1 , nghiệm hệ khơng phải Do m = không thỏa mãn Trường hợp 2: Với m > , x ≤ 1− m m 1− m   Tập nghiệm (*) T2 =  −∞; m     2m − − m   ; Khi tập nghiệm hệ T = T1 ∩ T2 =  −∞;   , nghiệm hệ khơng phải m ÷    Do m > khơng thỏa mãn Trường hợp 3: Với m < , x ≥ 1− m m 1 − m  ; +∞ ÷ Tập nghiệm (*) T2 =   m  Khi đó, hệ có nghiệm m = 2m − − m  = ⇔ 2m + m − = ⇔  3 m m = − Do m < nên m = − Trang 20 Vậy giá trị m thỏa mãn m = − Ví dụ Giải biện luận bất phương trình −1 ≤ x+m ≤ (1) mx + Hướng dẫn giải Với m = , ( 1) ⇔ −1 ≤ x ≤ Với m ≠ , điều kiện xác định: x ≠ −1 m Ta viết lại bất phương trình (1) dạng x+m  x+m   x+m  x + m  ≤1⇔  − 1÷ + 1÷ ≤ ÷ ≤1⇔  mx +  mx +   mx +  mx +  ⇔ ( − m ) ( x − 1) ≤ (2) Xét trường hợp: +) Trường hợp 1: − m = ⇔ m = ±1 Với m = x ≤ (luôn đúng) Vậy (2) nghiệm với x ≠ −1 Với m = −1 x ≤ (luôn đúng) Vậy (2) nghiệm với x ≠ +) Trường hợp 2: − m > ⇔ m < Khi ( ) ⇔ x − ≤ ⇔ x ≤ (luôn thỏa mãn với x ≠ − ) m +) Trường hợp 3: − m < ⇔ m > Khi ( ) ⇔ x − ≥ ⇔ x ≥ (luôn thỏa mãn với x ≠ − ) m Kết luận: Với m = , bất phương trình nghiệm với x ≠ −1 Với m = −1 , bất phương trình nghiệm với x ≠ Với m < , bất phương trình có nghiệm x ≤ Với m > , bất phương trình có nghiệm x ≥  a ( x − ) ≥ x − Ví dụ Tìm tất giá trị a cho hệ bất phương trình  có nghiệm 8 ( a + 1) x > 8ax + Hướng dẫn giải Trang 21 ( a − 1) x ≥ 2a −  a ( x − ) ≥ x −  ⇔ Ta có  x > 8 ( a + 1) x > 8ax +  (1) +) Trường hợp 1: a − > ⇔ a > 2a −   x ≥ a − Khi ( 1) ⇔  x >  (2) Hệ (2) có nghiệm với ∀a > +) Trường hợp 2: a − < ⇔ a < 2a −  x ≤  2a − a −1 ⇔  Hệ có nghiệm ⇔ 2a − 15 < ⇒ a < ⇒ a < (thỏa mãn) a −1 +) Trường hợp 3: a − = ⇔ a = ta có ( 1) ⇔ x > Vậy hệ ln có nghiệm với giá trị a Chú ý: Bài tốn giải biện luận hệ bất phương ln tốn khó có nhiều trường hợp, ngồi việc ta phải tính tốn, nắm cách giải dạng bài, ta cịn phải trình bày cách có hệ thống để người đọc có cảm giác khơng rườm rà Bài tốn tìm điều kiện tham số để hệ có nghiệm thực tế giải biện luận theo tham số a Bạn đọc thơng qua hướng dẫn giải tóm tắt lại việc giải biện luận hệ cho  m ( mx − 1) < Ví dụ Tìm tất giá trị m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm   m ( mx − ) ≥ 2m + Hướng dẫn giải 2  m x < m + m x < m + ⇔ Hệ bất phương trình tương đương có   m ( mx − ) ≥ 2m + m x ≥ 4m + 0 x < , hệ bất phương trình vơ nghiệm +) Với m = , ta có hệ bất phương trình trở thành  0 x ≥   x < +) Với m ≠ , ta có hệ bất phương trình tương đương với  x ≥  Suy hệ bất phương trình có nghiệm m+2 m2 4m + m2 m + 4m + 1 > ⇔m< 2 m m Trang 22 Vậy ≠ m < giá trị cần tìm Ví dụ Tìm tất giá trị m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm ( x − 3) ≥ x + x +   2m ≤ + x A m = 13 72 B m = 13 D m = C m = 72 72 13 Hướng dẫn giải 2 Bất phương trình ( x − 3) ≥ x + x + ⇔ x − x + ≥ x + x + ⇔ x ≤ 13 8  Tập nghiệm S1 =  −∞;  13   Bất phương trình 2m ≤ + x ⇔ x ≥ 2m −  2m −  ; +∞ ÷ Tập nghiệm S =    Hệ bất phương trình có nghiệm S1 ∩ S tập hợp có phần tử Do 2m − 72 = ⇔m= 13 13 Vậy m = 72 giá trị thỏa mãn yêu cầu toán 13 Bài tập tự luyện dạng  3 Câu 1: Tập S =  −1; ÷ tập nghiệm hệ bất phương trình sau đây?  2  ( x − 1) < A   x ≥ −1  ( x − 1) > B   x ≥ −1  ( x − 1) < C   x ≤ −1  ( x − 1) < D   x ≤ −1  6 x + > x + Câu 2: Số nghiệm nguyên hệ bất phương trình   x + < x + 25  A vô số B C D 5 x − < x + Câu 3: Tổng tất nghiệm nguyên hệ bất phương trình   x < ( x + ) A 21 B 27 C 28 D 29 Trang 23  x − < − x + 2019  Câu 4: Tập nghiệm S hệ bất phương trình  2020 − x + x >  A S = ∅  2014 2020  ; B S =  ÷   2014   C S =  −∞; ÷    2018  ; +∞ ÷ D S =    2 x − > Câu 5: Hệ bất phương trình  có nghiệm x − m < A m < − B m ≤ − C m > − D m ≥ − 3 ( x − ) < −3  Câu 6: Hệ bất phương trình  x − m có nghiệm >7   A m > −11 B m ≥ −11 C m < −11 D m ≤ −11  x2 −1 ≤ Câu 7: Hệ bất phương trình  có nghiệm x − m > A m > B m = C m < D m ≠ 3 x + > x + Câu 8: Hệ bất phương trình  vơ nghiệm 1 − x ≤ m − x + A m > B m ≥ C m < D m ≤  2m ( x + 1) ≥ x + Câu 9: Để hệ bất phương trình  có nghiệm  4mx + ≥ x A m = B m = C m = ; m = D m = −1 Đáp án lời giải Dạng Điều kiện xác định bất phương trình 1–A 2–B 3–C 4–D HƯỚNG DẪ GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–B 6–D 7–C 8–C 9–B 10 – D Câu Chọn B x − m ≥ x ≥ m ⇔ Bất phương trình xác định  6 − x ≥ x ≤  Nếu m = tập xác định hàm số D = { 3}  Nếu m > tập xác định hàm số D = ∅  Nếu m < tập xác định hàm số D = [ m;3] Trang 24 Để tập xác định đoạn m < Câu 10 Chọn D m  m − x ≥ x ≤ ⇔ Bất phương trình xác định  x +1 ≥  x ≥ −1 +) m = −1 ⇔ m = −2 tập xác định hàm số D = { −1} +) m < −1 ⇔ m < −2 tập xác định hàm số D = ∅ +) m  m > −1 ⇔ m > −2 tập xác định hàm số D =  −1;  2  Dạng Hai bất phương trình tương đương 1-D 2–B 3–B 4–A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–A 6–B 7–B 8–D 9–B Câu Chọn B Điều kiện: x − ≥ ⇔ x ≥ Vì x ≥ nên x + > hay ( x + 1) x − ≥ x ( x + 1) ⇔ x − ≥ x Câu Chọn B Xét ( m + 3) x ≥ 3m − (1); ( 2m − 1) x ≤ m + (2) +) m = , hệ số x (1) dương, hệ số x (2) dương Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều Vậy m = không thỏa mãn +) m = , ta ( 1) : 3x ≥ −6 ⇔ x ≥ −2; (2): − x ≤ ⇔ x ≥ −2 Ta thấy thỏa mãn chưa đủ kết luận đáp án B đáp án A có m = Ta thử tiếp m = +) Với m = , hệ số x (1) dương, hệ số x (2) dương Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều nên m = không thỏa mãn Vậy m = thỏa mãn Câu Chọn D Viết lại ( m + ) x ≤ m + (1) ( 3m + 1) x ≤ 3m − (2) +) Thay m = −3 vào (1) (2), ta ( 1) : − x ≤ −2 ⇔ x ≥ 2; ( ) : −8 x ≤ −10 ⇔ x ≥ Vậy với m = −3 hai bất phương trình cho khơng tương đương Trang 25 +) Với m = −2 hệ số x (1) 0, hệ số x (2) khác nên hai bất phương trình khơng tương đương +) Với m = −1 hệ số x (1) dương, hệ số x (2) âm Suy nghiệm hai bất phương trình ngược chiều nên m = −1 khơng thỏa mãn +) Với m = , ta có ( 1) : x ≤ ⇔ x ≤ ( ) :10 x ≤ ⇔ x ≤ Vậy với m = , hai bất phương trình cho tương đương Câu 10 Chọn B Thay giá trị a = 1,5; −1, vào hai bất phương trình thấy với a = hai bất phương trình tập nghiệm x > Dạng Bất phương trình bậc ẩn 1–D 2–B 3–C 4–B 11 – C 12 – B 13 – B 14 – D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–C 15 – C 6–D 7–A –A 9–C 10 – A Câu Chọn D Ta có x − ≥ 2x 20 + ⇔ 25 x − ≥ x + 15 ⇔ 23 x ≥ 20 ⇔ x ≥ 23  20  Vậy tập nghiệm bất phương trình S =  ; +∞ ÷  23  Câu Chọn B Ta có 3x + x+2 −1 ≤ + x ⇔ x + 15 − ≤ x + + x ⇔ x ≤ −5 Vì x ∈ ¢ , −10 < x ≤ −5 nên có nghiệm nguyên Câu Chọn C Điều kiện: x ≥ 2020 Bất phương trình tương đương với x ≤ 2020 Do x = 2020 thỏa mãn yêu cầu toán Câu Chọn B Điều kiện: x > Bất phương trình tương đương với x − ≤ ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện, ta có S = ( 4;6] Do x ∈ ¢ nên x = 5; x = Vậy S = + = 11 Câu Chọn C Điều kiện: x ≥ Trang 26  x−2 =0 x = ⇔ Ta có ( x − 3) x − ≥ ⇔  x ≥ x − ≥ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = { 2} ∪ [ 3; +∞ ) Câu Chọn D Ta có ( x − 1) ( x + 3) − 3x + ≤ ( x − 1) ( x + ) + x − ⇔ x + 5x − − 3x + ≤ x + x − + x − ⇔ 0.x ≤ −6 ⇔ x ∈∅ Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ∅ Câu Chọn A ( Ta có x + ) ≥ ( x − 3) 2 + ⇔ x + 3x + ≥ x − 3x + + ⇔ 3x ≥ ⇔ x ≥   Do tập nghiệm bất phương trình S =  ; +∞ ÷ ÷   Câu Chọn A 2 Ta có ( x + 1) − x ( − x ) > −2 x ⇔ x + − x + x > −2 x ⇔ x + > (đúng ∀x ∈ ¡ ) Do S = ¡ Câu Chọn C Rõ ràng m ≠ 1, bất phương trình ln có nghiệm Với m = bất phương trình trở thành x > (vơ nghiệm) Câu 10 Chọn A Rõ ràng m − 2020 ≠ ⇔ m ≠ 2020 bất phương trình có nghiệm Xét m − 2020 = ⇔ m = 2020 , ta có ( 1) ⇔ x < −1 (vơ lí) Vậy bất phương trình có nghiệm m ≠ 2020 Câu 11 Chọn C Bất phương trình tương đương với ( m − 3m + ) x < − m m ≠ Khi bất phương trình ln có nghiệm Rõ ràng m − 3m + ≠ ⇔  m ≠  Với m = 1, bất phương trình trở thành x < (vơ nghiệm)  Với m = 2, bất phương trình trở thành x < (vô nghiệm) Câu 12 Chọn B 2 Bất phương trình tương đương với ( 4m − 5m − ) x ≥ 4m − 12m Trang 27  m ≠ −1  Dễ dàng thấy 4m − 5m − ≠ ⇔  bất phương trình khơng thể có nghiệm với m ≠  x∈¡  Với m = −1 , bất phương trình trở thành x ≥ 16 (vô nghiệm)  Với m = 27 , bất phương trình trở thành x ≥ − (nghiệm với x ∈ ¡ ) 4 Vậy giá trị cần tìm m = Câu 13 Chọn B Bất phương trình tương đương với ( m − m − ) x < −2 − m  m ≠ −2 Rõ ràng m − m − ≠ ⇔  bất phương trình ln có nghiệm m ≠  Với m = −2 , bất phương trình trở thành x < (vơ nghiệm)  Với m = 3, bất phương trình trở thành x < −5 (vô nghiệm) Suy S = { −2;3} Vậy tổng phần tử S −2 + = Câu 14 Chọn D Bất phương trình tương đương với ( m + 3) x ≥ m −  Với m ≠ −3 , bất phương trình ln có nghiệm  Với m = −3 , bất phương trình trở thành x ≥ −6 (nghiệm với x ∈ ¡ ) Câu 15 Chọn C Để ý rằng, bất phương trình ax + b > (hoặc ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ )  Vô nghiệm ( S = ∅ ) có tập nghiệm S = ¡ xét riêng a =  Có tập nghiệm tập ¡ xét a > a < Bất phương trình viết lại ( m − ) x > − m (1) Xét m − > ⇔ m > 2, ta có ( 1) ⇔ x > − m2 = −m − m−2 Vậy tập nghiệm bất phương trình S = ( − m − 2; +∞ ) m > Dạng Hệ bất phương trình bậc ẩn 1–A 2–C 3–A 4–B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–C –A 7–C 8–D 9–B Câu Chọn A Trang 28 Nghiệm bất phương trình −1 ≤ x < Loại đáp án C D   ( x − 1) <  x < ⇔ Đáp án A   x ≥ −1  x ≥ −1 Câu Chọn C 44  x > 42 x + > 28 x + 49 14 x > 44  14 ⇔ 22 < x < 47 ⇔ ⇔ Bất phương trình ⇔  8 x + < x + 50 4 x < 47  x < 47  Mà x ∈ ¢ nên x ∈ { 4;5;6;7;8;9;10;11} Câu Chọn A 5 x − < x + x < x < x < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −1 < x < Bất phương trình ⇔  2  −4 x <  − x <  x > −1 x < x + 4x + Mà x ∈ ¢ nên x ∈ { 0;1; 2;3; 4;5;6} Suy tổng 21 Câu Chọn B 2020   x − < − x + 2019 x<     2014 2020  Suy S =  ; 3 x < 2020 ⇔  Ta có  2020 − x ÷ + x > ⇔ 2014     x > 8 x > 2014   Câu Chọn C 1  Bất phương trình x − > có tập nghiệm S1 =  ; +∞ ÷ 2  Bất phương trình x − m < có tập nghiệm S = ( −∞; m + ) Hệ có nghiệm S1 ∩ S ≠ ∅ ⇔ m + > ⇔m>− 2 Câu Chọn A Bất phương trình ( x − ) < −3 có tập nghiệm S1 = ( −∞;5 ) Bất phương trình 5x + m  14 − m  ; +∞ ÷ > có tập nghiệm S =    Hệ có nghiệm S1 ∩ S2 ≠ ∅ ⇔ 14 − m < ⇔ m > −11 Câu Chọn C Bất phương trình x − ≤ có tập nghiệm S1 = [ −1;1] Bất phương trình x − m > có tập nghiệm S = ( m; +∞ ) Trang 29 Hệ có nghiệm ⇔ S1 ∩ S ≠ ⇔ m < Câu Chọn D 5  Ta có x + > x + ⇔ x > ⇔ x > Do S1 =  ; +∞ ÷ 2  +) − x ≤ m − x + ⇔ x ≤ m Do S = ( −∞; m] Để hệ bất phương trình vơ nghiệm S1 ∩ S = ∅ ⇔ m ≤ Câu Chọn B ( 2m − 1) x ≥ − 2m Hệ bất phương trình tương đương với  ( 4m − ) x ≥ −3 Giả sử hệ bất phương trình có nghiệm − 2m −3 = ⇔ 8m − 26m + 15 = ⇔ m = m = 2m − 4m − 4 Thử lại   x ≥ 3  − 1÷x ≥ − ⇔ x = (thỏa mãn) 2⇔  Với m = , hệ trở thành   x ≤  − x ≥ −3   Với m = , hệ trở thành Vậy m =  x ≥ −2 ⇔ x ≥ − (không thỏa mãn)  6 x ≥ −3 giá trị cần tìm Trang 30 ... nghiệm bất phương trình gọi tập nghiệm bất phương trình Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình tương đương hai bất phương trình có tập nghiệm Hệ bất phương trình ẩn Hệ bất phương trình ẩn. .. ≤ 20 20 ⇔ ⇔ x = 20 20   x − 20 20 ≥  x ≥ 20 20 Vậy điều kiện xác định bất phương trình x = 20 20 b) Bất phương trình xác định x + > ⇔ x > ? ?2 điều kiện xác định bất phương trình x > ? ?2 c) Bất phương. .. + 3 < 20 20 + tương đương có bất phương trình x − 20 19 x − 20 19 A x < 20 20 B x < 20 20 x ≠ 20 19 C x < 101 0 D Tất bất phương trình Câu 3: Bất phương trình x − ≥ tương đương với bất phương trình