Toán 10 Bài 2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

CHƯƠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày cách viết phương trình tổng qt đường trịn + Nhận biết dạng phương trình đường trịn + Trình bày điều kiện để xác định vị trí tương đối hai đường tròn, điểm với đường tròn + Trình bày cách viết phương trình tiếp tuyến đường trịn  Kĩ + Viết phương trình đường trịn tâm I ( a;b) bán kính R + Xác định tâm bán kính đường trịn biết phương trình đường trịn + Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn biết tọa độ tiếp điểm Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường trịn Phương trình đường trịn ( C ) có tâm I ( a;b) , bán kính R ( C ) : ( x − a) + ( y − a) = R2 x2 + y2 − 2ax − 2by + c = , R = a2 + b2 − c Phương trình tiếp tuyến Cho điểm M ( x0 ; y0 ) nằm đường tròn ( C ) Phương trình tiếp tuyến với ( C ) M ∆ : ( x0 − a) ( x − x0 ) + ( y0 − b) ( y − y0 ) = II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Nhận dạng phương trình đường trịn Xác định tâm, bán kính đường trịn Bài tốn Nhận dạng đường trịn Phương pháp giải Cách Ví dụ: Đưa phương trình dạng a) x2 + y2 + 2x + 2y + = ( C ) : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = (1) Phương trình có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = Xét dấu biểu thức M = a2 + b2 − c với a = −1, b = −1 c = • Nếu M > (1) phương trình đường trịn Ta có M = a2 + b2 − c = ( −1) + ( −1) − = −1 < • Nếu M ≤ (1) khơng phải phương trình đường trịn Vậy phương trình khơng phải phương trình đường trịn Cách b) x2 − 6x + y2 + 4y − = Đưa phương trình dạng Ta có x2 − 6x + y2 + 4y − = ( C ) : ( x − a) 2 + ( y − b) = M (2) • Nếu M > (2) phương trình đường trịn • Nếu M ≤ (2) khơng phải phương trình ⇔ ( x − 3) + ( y + 2) = 20 2 Vậy phương trình phương trình đường trịn đường trịn Ví dụ mẫu Ví dụ Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn? Trang a) x2 + y2 + 2x + 6y − 15 = b) 2x2 + 2y2 + 8x − 4y + 14 = Hướng dẫn giải  −2a = a = −1 2   2 a) Ta có  −2b = ⇔ b = −3 ⇒ M = a + b − c = ( −1) + ( −3) − ( −15) = 25 > c = −15 c = −15   Vậy phương trình phương trình đường trịn b) Ta có 2x2 + 2y2 + 8x − 4y + 14 = ⇔ x2 + y2 + 4x − 2y + =  −2a =  a = −2   Khi  −2b = −2 ⇔  b = c = c =   ⇒ M = a2 + b2 − c = ( −2) + 12 − = −2 < Vậy phương trình khơng phải phương trình đường trịn Lưu ý: Khi xét phương trình có phải phương trình đường trịn, trước tiên ta quan sát hệ số x2 y2 Hệ số x2 y2 khác phương trình khơng phải phương trình đường trịn Ví dụ Phương trình sau phương trình đường trịn? (I) x2 + y2 − 4x + 15y − 12 = (II) x2 + y2 − 3x + 4y + 20 = (III) 2x2 + 2y2 − 4x + 6y + = A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D Chỉ (I) (III) Hướng dẫn giải 289  −15 (I) có a2 + b2 − c = +  + 12 = > ÷   2 55    −4  (II) có a2 + b2 − c =  ÷ +  ÷ − 20 = − <  2   2 (III) ⇔ x + y − 2x − 3y + = Phương trình có 2   11 a + b − c = 1+  ÷ − = >  2 2 Vậy có (I) (III) phương trình đường trịn Chọn D Ví dụ Để x2 + y2 − ax − by + c = (1) phương trình đường trịn Điều kiện cần đủ A a2 + b2 − c > B a2 + b2 − c ≥ C a2 + b2 − 4c > D a2 + b2 + 4c > Trang Hướng dẫn giải Ta có: x2 + y2 − ax − by + c = (1) 2 2 a b  a  b a b ⇔ x2 − .x +  ÷ + y2 − .y +  ÷ − − + c = 2 4  2  2 2 a  b a2 b2  ⇔  x − ÷ +  y− ÷ = + − c 2  2 4  Vậy điều kiện để (1) phương trình đường trịn là: a2 b2 + − c > ⇔ a2 + b2 − 4c > 4 Chọn C Bài toán Xác định tâm bán kính đường trịn Phương pháp giải • Phương trình đường trịn dạng ( x − a) + ( y − b) = R2 có tâm I ( a;b) R Ví dụ: a) ( x − 2) + ( y + 1) = 16 2 • Phương trình đường trịn dạng Ta có tâm I ( 2;−1) bán kính R = 16 = b) x2 + y2 − 2x − 2y + = x2 + y2 − 2ax − 2by + c = có tâm I ( a;b) bán Ta có a = 1; b = 1; c = nên tâm I ( 1;1) kính R = a2 + b2 − c bán kính R = 12 + 12 − = bán kính Chú ý: Những tốn khơng cho phương trình đường trịn dạng tường minh ta phải tìm bán kính tâm thơng qua yếu tố hình học Ví dụ mẫu Ví dụ Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn sau: a) ( x + 1) + ( y − 2) = 25 2 b) x2 + y2 − 7x − 11y + 10 = c) 4x2 + 4y2 − 16x + 40y + 80 = Hướng dẫn giải a) Đường tròn ( x + 1) + ( y − 2) = 25 có tâm I ( −1;2) bán kính R = 25 = 2 b) Mẹo: Phương trình đường trịn dạng x2 + y2 + Ax + By + C = đường trịn có tâm Trang  A B I  ; ÷  −2 −2   a =  −2a = −7  11   Ta có  −2b = −11 ⇔ b = c = 10   c = 10   2  11 11 130     2 Vậy tâm I  ; ÷ bán kính R = a + b − c =  ÷ +  ÷ − 10 = 2 2  2   c) Ta có 4x2 + 4y2 − 16x + 40y + 80 = ⇔ x2 + y2 − 4x + 10y + 20 = Chú ý: Trước tìm yếu tố đường tròn cần đưa hệ số x2 ; y2  −2a = −4 a =   ⇒  −2b = 10 ⇔ b = −5 c = 20 c = 20   Vậy tâm I ( 2;−5) bán kính R = a2 + b2 − c = 22 + ( −5) − 20 = Ví dụ Tâm đường trịn qua ba điểm A( 0;0) , B( 0;6) , C ( 8;0) Tâm đường tròn qua ba điểm không A ( 0;0) B ( 4;0) C ( 0;3) D ( 4;3) thẳng hàng tâm đường tròn ngoại Hướng dẫn giải tiếp tam giác với ba Bước Viết phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB; AC: đỉnh ba điểm uuu r Trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm ( 0;3) nhận AB( 0;6) làm cho vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( d1 ) : y = uuur Trung trực đoạn thẳng AC qua trung điểm ( 4;0) nhận AC ( 8;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( d2 ) : x = Bước Xác định giao điểm hai trung trực tâm đường tròn: y = ⇒ I ( 4;3) Tọa độ giao điểm hai đường trung trực thỏa mãn:  x = 2 Ví dụ Cho ( Cm ) : x + y − ( m + 1) x − ( m − 1) y + − m = Tìm điều kiện m để ( Cm ) đường trịn Khi đó, tìm tọa độ tâm bán kính đường trịn Hướng dẫn giải  −2a = −2 ( m + 1) a = m +   Ta có  −2b = −4 ( m − 1) ⇔ b = ( m − 1) c = − m c = − m   Xét biểu thức M = a + b − c = ( m + 1) +  ( m − 1)  − ( − m ) = 5m − 5m 2 m < Để ( Cm ) đường trịn M > ⇔ 5m − 5m > ⇔ 5m ( m − 1) ⇔  m > Trang Khi đó, đường trịn ( Cm ) có tâm I ( m + 1;2 ( m − 1) ) bán kính R = 5m − 5m 2 Ví dụ Cho ( Cm ) : x + y + ( m + ) x − ( m + ) y + m + = a) Chứng minh ( Cm ) họ đường trịn b) Tìm tập hợp tâm ( Cm ) m thay đổi c) Chứng minh họ đường tròn ( Cm ) qua hai điểm cố định m thay đổi Hướng dẫn giải m+2  a = −  −2a = m +  m+4   a) Ta có:  −2b = − ( m + ) ⇔ b = c = m +   c = m +   2  m+2 m+4 Xét biểu thức M = a + b2 − c =  − ÷ + ÷ − ( m + 1)     m + 4m + ( m + ) + = = > ∀m 2 Vậy ( Cm ) họ đường tròn m thay đổi b) Tâm I có tọa độ m+2   xI = −  m = −2 x I − ⇔ ⇒ −2 x I − = y I − ⇔ x I + y I − =  m + m = y −  I y =  I Vậy tập hợp tâm đường tròn ( Cm ) m thay đổi đường thẳng x + y − = c) Gọi M ( xM ; yM ) điểm cố định mà họ ( Cm ) ln qua 2 Khi xM + yM + ( m + ) xM − ( m + ) yM + m + = với m ⇔ ( xM − yM + 1) m + xM2 + yM2 + xM − yM + = với m  xM − yM + = x =  xM = −1 ⇔ ⇔ M   yM =  yM =  xM + yM + xM − yM + = Vậy ( Cm ) qua hai điểm cố định M ( 1;2 ) M ( −1;0 ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình sau phương trình đường trịn? A x + y − x − y + 20 = B x + y − 10 x − y − = Trang C x + y − x + y − 12 = D x + y − x − y + = Câu 2: Phương trình sau khơng phải phương trình đường trịn? A x + y − x + y + = B x + y − y = C x + y − = D x + y − 100 y + = Câu 3: Mệnh đề sau đúng? 2 (I) Đường tròn ( C1 ) : x + y − x + y − = có tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = 2 (II) Đường tròn ( C2 ) : x + y − x + y − A Chỉ (I) = có tâm B Chỉ (II) 5 3 I  ; − ÷, bán kính R = 2 2 C (I) (II) D Khơng có Câu 4: Đường trịn x + y − 10 x − 11 = có bán kính A B C 36 D Câu 5: Đường tròn x + y − x + y − = có tâm điểm điểm sau đây? A ( −2;1) B ( 4; −2 ) C ( −4;2 ) D ( 2; −1) Câu 6: Đường tròn x + y − x + y − = có bán kính bao nhiêu? A B 25 C D 25 2 Câu 7: Cho đường tròn ( C ) : x + y + x + y + = Mệnh đề sau sai? A ( C ) không qua điểm O ( 0;0 ) B ( C ) có tâm I ( −4; −3) C ( C ) có bán kính R = D ( C ) qua điểm M ( −1;0 ) 2 Câu 8: Giá trị m để phương trình x + y − 2mx − ( m − ) y + − m = phương trình đường trịn? A m ≥ m ≤ B ≤ m ≤ C m < m > D < m < Câu 9: Xác định m để phương trình x + y − 2mx + y + = khơng phải phương trình đường trịn A m > B −2 ≤ m ≤ C m < −2 D m < −2 m > 2 Câu 10: Cho phương trình x + y + 8mx + ( m + 1) y + 14 = (1) Giá trị m để phương trình (1) phương trình đường trịn có bán kính A B C khơng có D 3,5 Dạng 2: Lập phương trình đường trịn Phương pháp giải Cách Ví dụ: Viết phương trình đường trịn ( C ) • Tìm tọa độ tâm I ( a; b ) đường tròn ( C ) trường hợp sau: a) Có tâm I ( −1;1) bán kính R = Trang • Tìm bán kính R đường trịn ( C ) Phương trình đường trịn ( C ) có tâm I ( −1;1) • Viết phương trình ( C ) theo dạng: bán kính R = ( C ) : ( x + 1) + ( y − 1) = ( x − a) b) Đi qua ba điểm A ( 1; −3) , B ( 2;4 ) C ( 4; −2 ) 2 + ( y − b) = R2 Cách Giả sử phương trình đường trịn ( C) Giả sử phương trình đường trịn có dạng x + y − 2ax − 2by + c = (1) a + b − c > • Từ điều kiện đề bài, lập hệ phương trình ba ẩn a, b ,c • Giải hệ phương trình tìm nghiệm a, b, c thay ( C) có dạng x + y − 2ax − 2by + c = với a + b − c > Theo ra, ta có A ( 1; −3) ∈ ( C ) ⇔ 12 + ( −3) − 2a.1 − 2b.( −3 ) + c = ⇔ 2a − 6b − c = 10 (1) Tương tự, ta có: vào (1) để có phương trình đường trịn ( C ) B ( 2;4 ) ∈ ( C ) ⇔ 4a + 8b − c = 20 (2); C ( −4;2 ) ∈ ( C ) ⇔ 8a − 4b − c = 20 (3)  a =   Từ (1), (2) (3) suy b = (thỏa mãn)  c = −10   2 Vậy ( C ) : x + y − x − y − 10 = Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình đường trịn ( C ) trường hợp sau a) Có tâm I ( 1;4 ) qua gốc tọa độ b) Nhận AB làm đường kính với A ( 2;5 ) B ( −4;1) c) Có tâm I nằm đường thẳng d : x + y − = qua hai điểm A ( −1;2 ) B ( 2; −2 ) d) Ngoại tiếp ∆OAB với A ( 2;0 ) B ( −2;1) e) Nội tiếp ∆OAB với A ( 8;0 ) B ( 0;6 ) Hướng dẫn giải a) ( C ) qua gốc tọa độ nên O ( 0;0 ) ∈ ( C ) ⇒ IO = R Ta có R = IO = 12 + 42 = 17 Vậy phương trình đường trịn ( C ) ( x − 1) + ( y − ) = 17 2 Trang b) Ta có AB đường kính nên trung điểm I ( −1;3) AB tâm đường tròn ( C ) IA = ( + 1) 2 + ( − 3) = 13 bán kính ( C ) Vậy phương trình đường tròn ( C ) ( x + 1) + ( y − 3) = 13 2 c) Tâm I ∈ d : x + y − = nên I ( t;2 − t ) ∈ d Cách khác Vì A, B ∈ ( C ) nên Vì tâm nằm đường IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ ( −1 − t ) + ( − + t ) = ( − t ) + ( −2 − + t ) 2 2 19 ⇔ 14t = 19 ⇔ t = 14 trung trực đoạn thẳng AB nên I = d ∩ AB Do ta viết phương trình  19  ⇒ I ; ÷  14 14  đường thẳng AB tìm giao điểm I d 19   9 725  ⇒ R = IA2 =  −1 − ÷ +  − ÷ = 14   14  98  AB 2 19   9 725  Vậy phương trình đường trịn ( C )  x − ÷ +  y − ÷ = 14   14  98  d) Đường tròn ( C ) đường tròn ngoại tiếp ∆OAB ⇒ ( C ) qua ba điểm O, A, B Giả sử ( C ) có dạng: x + y − 2ax − 2by + c = vơi a + b − c > Theo ra, ta có hệ phương trình:  c = c =   ⇔ a = (thỏa mãn)  − 2a.2 + c =   2 ( −2 ) + − 2a.( −2 ) − 2b.1 + c = b =  Vậy phương trình đường tròn ( C ) x + y − x − y = e) Ta có OA = 8, OB = AB = OA2 + OB = 10 Lại có OA + OB + AB + + 10 OA.OB = pr với p = = = 12 r bán 2 kính đường tròn nội tiếp tam giác ∆OAB ⇒ r = OA.OB =2 2p Mặt khác ( C ) có tâm I thuộc phân giác góc phần tư thứ x − y = có bán kính r = nên I ( 2;2 ) Trang Vậy phương trình đường trịn nội tiếp ∆OAB ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = 2  x = − + 2cos t ( t ∈ ¡ ) Tập hợp điểm M Ví dụ Cho điểm M ( x; y ) có   y = − 2sin t Bài toán trường hợp đặc biệt A Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = Các em mở rộng B Đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = thành tốn lập phương trình đường C Đường trịn tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = tròn nội tiếp tam giác D Đường trịn tâm I ( 1; −2 ) , bán kính R = nhọn Hướng dẫn giải ( x + 1) = 4cos t  x = −1 + 2cos t  x + = 2cos t ⇔ ⇔ Ta có  2  y = − 2sin t  y − = −2sin t ( y − ) = 4sin t ⇒ ( x + 1) + ( y − ) = 4cos t + 4sin t ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = ( sin t + cos t ) 2 2 ⇔ ( x + 1) + ( y − ) = 2 Vậy tập hợp điểm M phương trình đường trịn có tâm I ( −1;2 ) , bán kính R = Chọn B  x = + 4sin t ( t ∈¡ Ví dụ Phương trình   y = −3 + 4cos t ) phương trình đường trịn có A tâm I ( −2;3) , bán kính R = B tâm I ( 2; −3) , bán kính R = C tâm I ( −2;3) , bán kính R = 16 D tâm I ( 2; −3) , bán kính R = 16 Hướng dẫn giải ( x − ) = 16sin t  x = + 4sin t  x − = 4sin t ⇔ ⇔ Ta có  2  y = −3 + 4cos t  y + = 4cos t ( y + 3) = 16cos t ⇒ ( x − ) + ( y + 3) = 16sin t + 16cos t 2 ⇔ ( x − ) + ( y + 3) = 16 ( sin t + cos t ) 2 ⇔ ( x − ) + ( y + 3) = 16 2  x = + 4sin t ( t ∈¡ Vậy   y = −3 + 4cos t ) phương trình đường trịn I ( 2; −3) , bán kính R = Chọn B Trang 10 Ví dụ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x + y = d : 3x − y = Gọi ( C ) đường tròn tiếp xúc với d1 A cắt d B, C cho ∆ABC vng B Viết phương trình ( C ) biết diện tích ∆ABC điểm A có hồnh độ dương Hướng dẫn giải ( ) Điểm A ∈ d1 nên A t ; −t với t > Vì ∆ABC vng B nên AC đường kính đường trịn ( C) Đường thẳng AC qua A vuông góc với d1 nên có phương trình x − y − 4t =  x − y − 4t =  x = −2t ⇔ Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình   x − y =  y = −2 3t ( ) ⇒ C −2t ; −2 3t Đường thẳng AB qua A vuông góc với d nên có phương trình x + y + 2t = Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình: −t   x =  x + y + 2t =  −t −t  ⇔ ⇒ B  ; ÷  ÷    y = −t  x − y =  Ta có: S ABC =    −2  3 ⇔ BA.BC = ⇔t= ⇒ A  ; −1 ÷ C ; −  ÷ ÷  ÷ 2      −1 −3  AC ; ÷ bán kính R = =1 Đường trịn ( C ) có tâm I trung điểm AC ⇒ I  2  2   3  Vậy ( C ) :  x + ÷ +  y + ÷ =1 3    Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Đường trịn tâm I ( 3; −1) bán kính R = có phương trình A ( x + 3) + ( y − 1) = B ( x − 3) + ( y − 1) = C ( x − 3) + ( y + 1) = D ( x + 3) + ( y + 1) = 2 2 2 2 Câu 2: Đường tròn tâm I ( −1;2 ) qua điểm M ( 2;1) có phương trình A x + y + x − y − = B x + y + x − y − = C x + y − x − y − = D x + y + x + y − = Câu 3: Đường tròn tâm I ( 1;4 ) qua điểm B ( 2;6 ) có phương trình Trang 11 A ( x + 1) + ( y + ) = B ( x − 1) + ( y − ) = C ( x + 1) + ( y + ) = D ( x − 1) + ( y − ) = 2 2 2 2 Câu 4: Cho hai điểm A ( −2;1) , B ( 3;5 ) điểm M thỏa mãn ·AMB = 90° Khi điểm M nằm đường tròn sau đây? A x + y − x − y − = B x + y + x + y − = C x + y + x − y + 11 = D x + y − x + y − 11 = Câu 5: Cho hai điểm A ( 5; −1) , B ( −3;7 ) Đường trịn đường kính AB có phương trình A x + y + x − y − 22 = B x + y − x − y − 22 = C x + y − x − y + = D x + y + x + y + = Câu 6: Phương trình đường trịn qua điểm O ( 0;0 ) , A ( a;0 ) , B ( 0; b ) A x + y − 2ax − by = B x + y − ax − by + xy = C x + y − ax − by = D x − y − ax + by = ( C) Câu 7: Đường tròn qua hai điểm A ( 1;3) , B ( 3;1) có tâm nằm đường thẳng d : x − y + = có phương trình A ( x − ) + ( y − ) = 102 B ( x + ) + ( y + ) = 164 C ( x − 3) + ( y − ) = 25 D ( x + 3) + ( y + ) = 25 2 2 2 2 Dạng Vị trí tương đối điểm, đường thẳng với đường trịn Bài tốn Vị trí tương đối Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình học học trung học sở để giải toán Nhắc lại: Cho đường trịn ( C ) tâm I, bán kính R • Vị trí tương đối điểm A đường trịn ( C ) : +) IA < R : Điểm A nằm đường trịn Ví dụ: Xác định vị trí điểm A ( 1;2 ) với 2 đường tròn ( C ) : x + y − 25 = Hướng dẫn giải Đường tròn ( C ) : x + y − 25 = có tâm I ( 0;0 ) bán kính R = ( − 0) + ( − 0) = < +) IA = R : Điểm A nằm đường tròn Xét IA = +) IA > R : Điểm A nằm ngồi đường trịn Do điểm A nằm phía đường trịn ( C ) • Vị trí tương đối đường thẳng ( d ) đường tròn ( C) : Gọi h khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng ( d ) +) h < R : Đường thẳng cắt đường tròn hai điểm +) h = R : Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Trang 12 +) h > R : Đường thẳng khơng cắt đường trịn • Cho đường trịn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R1 đường trịn ( C2 ) có tâm I , bán kính R2 : +) R1 − R2 < I1 I < R1 + R2 : hai đường tròn cắt hai điểm +) I1I = R1 + R2 I1I = R1 − R2 : hai đường tròn tiếp xúc +) I1I > R1 + R2 : hai đường tròn rời I1I < R1 − R2 : đường trịn chứa đường trịn cịn lại Ví dụ mẫu 2 Ví dụ Tọa độ giao điểm đường tròn ( C ) : x + y − 25 = đường thẳng ∆ : x + y − = A ( 3;4 ) B ( 4;3) C ( 3;4 ) ( 4;3) D ( 3;4 ) ( −4;3) Hướng dẫn giải 2 Tọa độ giao điểm đường thẳng đường tròn ( C ) : x + y − 25 = thỏa mãn  x =  x + y − = x = − y  y = ⇔ ⇔   2  x =  x + y − 25 =  y − 14 y + 24 =    y = Chọn đáp án C Ví dụ Xác định vị trí tương đối hai đường tròn: Cách Gọi I1; I ( C1 ) : x + y − = tâm hai đường tròn ( C2 ) : ( x + 10 ) + ( y − 16 ) = 2 A Khơng có điểm trung B Cắt Nếu I1I > R1 + R2 ( C1 ) C Tiếp xúc C Tiếp xúc ( C2 ) khơng có điểm chung Hướng dẫn giải Xét hệ hai phương trình: 2  x + y − =  x + y − = ⇔ vô nghiệm  2 ( x + 10 ) + ( y − 16 ) =  x + y + 20 x − 32 y + 355 = Do hai đường trịn khơng có điểm chung Chọn đáp án A 2 Ví dụ Đường trịn ( C ) : x + y − x − y + = cắt đường thẳng d : x + y − = theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A B C D Trang 13 Hướng dẫn giải 2 Đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = có tâm I ( 1;1) bán kính R = Khoảng cách từ tâm I ( 1;1) đến đường thẳng d : x + y − = h = 1+1− 12 + 12 = Do I ∈ ( d ) hay đường thẳng ( d ) qua gốc tọa độ Vậy ( d ) cắt đường trịn theo dây cung đường kính có độ lớn R = Chọn đáp án B Ví dụ Bán kính đường trịn tâm I ( 2;1) tiếp xúc với trục hoành A B C D Hướng dẫn giải Vì đường trịn tiếp xúc với trục hồnh Ox nên độ dài bán kính khoảng cách từ tâm đến Ox Do R = + 12 =1 Chọn đáp án B Ví dụ Đường tròn ( C ) tâm I ( 2;1) cắt đường thẳng ∆ : y − = theo dây cung có độ dài Bán kính đường tròn A B 73 C D 25 Hướng dẫn giải Ta có: d ( I ; ∆ ) = 1− 02 + 12 =3 Gọi độ dài bán kính đường trịn R ( R > ) 8 Khi R − d ( I ; ∆ ) =  ÷ ⇔ R = 16 + = 25 ⇒ R = (vì R > ) 2 Chọn đáp án A 2 Ví dụ Cho đường tròn ( C ) : x + y + x − y + = đường thẳng d qua điểm A ( −4;2 ) , cắt ( C ) hai điểm M, N cho A trung điểm MN Phương trình đường thẳng d A x − y + = B x − y + 34 = C x − y + 30 = D x − y + 35 = Hướng dẫn giải 2 Đường tròn ( C ) : x + y + x − y + = có tâm I ( −3;1) Theo đề ta có đường thẳng d qua A uu r nhận IA ( −1;1) làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình ( d ) : − x + y − = Chọn đáp án A 2 Ví dụ Cho đường trịn ( C ) : x + y − x − y + = Đường thẳng d qua A ( 3;2 ) cắt ( C ) theo dây cung ngắn có phương trình A x − y + = B x − y − = Trang 14 C x + y − = D x − y + = Hướng dẫn giải 2 Đường tròn ( C ) : x + y − x − y + = có tâm I ( 2;3) bán kính R = Ta thấy IA = 12 + 02 = < R nên điểm A nằm đường tròn Để d cắt ( C ) theo dây cung ngắn khoảng cách h từ tâm đến đường thẳng d lớn Mà h ≤ IA nên IA ⊥ d thỏa mãn đề uu r Phương trình đường thẳng qua A ( 3;2 ) nhận IA ( 1; −1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình ( d ) : x − y −1 = Chọn đáp án B Bài tốn Lập phương trình tiếp tuyến đường tròn Phương pháp giải Cho đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) bán kính R uuur Nếu biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp tuyến qua M nhận vectơ IM = ( x0 − a; y0 − b ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( x0 − a ) ( x − x0 ) + ( y0 − b ) ( y − y0 ) = Nếu tiếp điểm dùng điều kiện: đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C ) d ( I , d ) = R để xác định tiếp tuyến Ví dụ mẫu Ví dụ Cho ( C ) : ( x − ) + ( y + 1) = 25 2 a) Xác định tâm bán kính ( C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M ( 5;3) c) Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) , song song với đường thẳng ( ∆ ) : x + 12 y + = d) Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) , vng góc với đường thẳng ( ∆ ) : x − y − 11 = e) Lập phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua E ( 3; −6 ) Hướng dẫn giải a) ( C ) có tâm I ( 2; −1) bán kính R = r uuur b) Tiếp tuyến ( d1 ) ( C ) M ( 5;3) có vectơ pháp tuyến n = IM = ( 3;4 ) ( d1 ) : 3( x − 5) + ( y − 3) = ⇔ ( d1 ) : 3x + y − 27 = c) Tiếp tuyến ( d ) P ( ∆ ) : x + 12 y + = ⇒ ( d ) : x + 12 y + C = ( C ≠ ) Mà ( d ) tiếp xúc ( C ) nên d  I ; ( d )  = R ⇔ 5.2 − 12.1 + C 52 + 122 C = 67 = ⇔ C − = 65 ⇔  (thỏa mãn) C = −63 Vậy ( d ) : x + 12 y + 67 = ( d ) : x + 12 y − 63 = Trang 15 d) Tiếp tuyến ( d3 ) vuông góc với đường thẳng ( ∆ ) : x − y − 11 = ⇒ ( d3 ) : x + y + C = ( d3 ) ⇔ tiếp xúc ( C ) ⇒ d  I ; ( d3 )  = R 4.2 + ( −1) + C 42 + 32 = ⇔ C + = 25 ⇔ C = 20 C = −30 Vậy ( d3 ) : x + y + 20 = hay ( d3 ) : x + y − 30 = e) Tiếp tuyến ( d ) qua E ( 3; −6 ) ⇒ ( d ) : A ( x − 3) + B ( y + ) = ⇒ ( d ) : Ax + By − A + B = ( d4 ) tiếp xúc ( C ) ⇔ A − B − A + 6B A +B 2 = ⇔ − A + B = A2 + B A = ⇔ 10 AB + 24 A = ⇔   A = −5 B  12 Với A = , chọn B = ⇒ ( d ) : y + = Với A = − 5B , chọn B = −12 ⇒ A = ⇒ ( d5 ) : x − 12 y − 87 = 12 Vậy có hai tiếp tuyến ( d ) : y + = ( d5 ) : x − 12 y − 87 = Ví dụ Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: ( C1 ) : x + y − y − = 2 ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Hướng dẫn giải Đường tròn ( C1 ) có tâm I1 ( 0;2 ) , bán kính R1 = Đường trịn ( C2 ) có tâm I ( 3; −4 ) , bán kính R2 = Gọi tiếp tuyến chung hai đường trịn có phương trình ∆ : ax + by + c = với a + b ≠ ∆ tiếp tuyến chung ( C1 ) ( C2 ) 2  d ( I1 , ∆ ) =  2b + c = a + b (*) ⇔ ⇔ d ( I , ∆ ) =  3a − 4b + c = a + b  a = 2b Suy 2b + c = 3a − 4b + c ⇔  c = −3a + 2b  Trường hợp Nếu a = 2b chọn a = 2, b = thay vào (*) ta được: c = −2 ± nên ta có hai tiếp tuyến 2x + y − − = ; 2x + y − + = Trường hợp Trang 16 Nếu c = −3a + 2b thay vào (*) ta được: 2b − a = a + b ⇔ a = 3a + 4b = +) Với a = ⇒ c = b , chọn b = c = ta ∆ : y + = +) Với 3a + 4b = ⇒ c = 3b Chọn a = 4, b = −3, c = −9 ta ∆ : x − y − = Vậy có bốn tiếp tuyến chung hai đường trịn là: x + y − ± = 0, y + = 0, x − y − = Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Một đường trịn có tâm I ( 3; −2 ) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − y + = Hỏi bán kính đường trịn bao nhiêu? A B 26 C 26 13 D 13 Câu 2: Đường trịn có tâm I ( −1;2 ) qua điểm M ( 2;1) có bán kính A 10 B C 10 D Câu 3: Cho đường tròn x + y + x + y − = Khoảng cách từ tâm đường tròn tới trục Ox A B C 3,5 D 2,5 2 2 Câu 4: Tọa độ giao điểm hai đường tròn ( C1 ) : x + y − = ( C2 ) : x + y − x − y + = A ( ) 2; ( ) B ( 0;2 ) ( 0; −2 ) 2; − C ( 2;0 ) ( 0;2 ) D ( 2;0 ) ( −2;0 ) Câu 5: Đường tròn x + y − = tiếp xúc với đường thẳng sau đây? A x − y + = B x + y − = C x + y = D x + y − = Câu 6: Với giá trị m đường thẳng x + y + m = tiếp xúc với đường tròn x + y − = ? A m = ±15 C m = −3 B m = ± D m = Câu 7: Đường tròn ( C ) qua điểm A ( 2;4 ) tiếp xúc với trục tọa độ có phương trình A ( x − ) + ( y − ) = ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 2 2 B ( x + ) + ( y + ) = ( x − 10 ) + ( y − 10 ) = 100 2 2 C ( x + ) + ( y + ) = ( x + 10 ) + ( y + 10 ) = 100 2 2 D ( x − ) + ( y − ) = ( x + 10 ) + ( y + 10 ) = 100 2 2 Câu 8: Đường tròn ( C ) có tâm I ( −1;3) tiếp xúc với đường thẳng d : x − y + = có phương trình Trang 17 A ( x + 1) + ( y − 3) = B ( x − 1) + ( y + 3) = C ( x + 1) − ( y − 3) = 10 D ( x + 1) + ( y − 3) = 2 2 2 2 Câu 9: Có đường trịn qua hai điểm A ( 1;2 ) ; B ( 3;4 ) tiếp xúc với đường thẳng d : x + y − = Khi A Phương trình đường trịn x + y − x − y + = B Phương trình đường trịn x + y − x − y + = C Phương trình đường trịn x + y − x − y − 12 = D Khơng có đường trịn thỏa mãn tốn Câu 10: Cho đường trịn ( C ) : ( x − 3) + ( y − 1) = 10 Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 4;4 ) 2 A x − y + = B x + y − = C x − y + 16 = D x + y − 16 = Câu 11: Cho đường tròn ( C ) : ( x − ) + ( y − ) = Phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm 2 M ( 5; −1) A x + y − = x − y − = B x = y = −1 C x − y − = x + y − = D x − y − = x + y + = 2 Câu 12: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y + = đường thẳng d : x + ( m − ) y − m − = Với giá trị m d tiếp tuyến ( C ) ? A m = B m = 15 C m = 13 D m = m = 13 2 Câu 13: Cho đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 23 = điểm M ( 8; −3) Độ dài đoạn tiếp tuyến ( C) xuất phát từ M (với hai đầu mút M tiếp điểm) A 10 B 10 C 10 D 10 Trang 18 ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Dạng Nhận dạng phương trình đường trịn Xác định tâm, bán kính đường tròn Đáp án trắc nghiệm 1-C -A 3-C 4-A 5-D 6-C 7-D 8-C 9-B 10 - B Hướng dẫn giải Câu 2 Phương trình x + y − 2mx − ( m − ) y + − m = phương trình đường tròn a + b2 − c > m < ⇔ m +  ( m − )  − ( − m ) > ⇔ m + ( m − ) − + m > ⇔ 5m − 15m + 10 > ⇔  m > Vậy m ∈ ( −∞;1) ∪ ( 2; +∞ ) thỏa mãn u cầu tốn Câu Ta có x + y − 2mx − y + = (1) ⇔ x − 2mx + m + y − 2.2 y + 22 − m − 22 + = ⇔ ( x − m ) + ( y − ) = m − 2 Vậy điều kiện để (1) khơng phải phương trình đường trịn: m − ≤ ⇔ −2 ≤ m ≤ Câu 10 2 2 Xét x + y + 8mx + ( m + 1) y + 14 = ⇔ x + y + 4mx + ( m + 1) x + = m = 4m + ( m + 1) − = ⇔ 5m + 2m − = ⇔   m = −7  2 Dạng Lập phương trình đường trịn Đáp án trắc nghiệm 1-C -A 3-D -A 5-B 6-C 7-B Hướng dẫn giải Câu Tâm I đường tròn trung điểm AB nên I ( 1;3) Bán kính R = 1 AB = 2 ( −3 − ) + ( + 1) = Vậy phương trình đường trịn ( x − 1) + ( y − 3) = 32 ⇔ x + y − x − y − 22 = 2 Câu Trang 19 2 Gọi phương trình cần tìm có dạng ( C ) : x + y + mx + ny + p =  ma + p = − a m = −a   Do A, B, O ∈ ( C ) nên ta có hệ  nb + p = −b ⇔  n = −b p = p =   Vậy phương trình đường trịn x + y − ax − by = Câu uuur Đường trung trực đoạn thẳng AB qua trung điểm M ( 2;2 ) nhận AB ( 2; −2 ) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( x − ) − ( y − ) = ⇔ x − y = 2 x − y + =  x = −7 ⇔ ⇒ I ( −7; −7 ) Tọa độ tâm đường tròn thỏa mãn  x − y =  y = −7 Bán kính đường trịn ( −7 − 1) + ( −7 − 3) = 164 Do phương trình đường trịn ( x + ) + ( y + ) = 164 2 Dạng Vị trí tương đối điểm, đường thẳng với đường tròn Đáp án trắc nghiệm 1-C 11 - B 2-A 12 - D 3-C 13 - D 4-C 5-A -A 7-A 8-D 9-B 10 - D Hướng dẫn giải Câu Phương trình đường trung trực đoạn thẳng AB ( x − ) + ( y − 3) = ⇔ x + y − = Đường tròn qua hai điểm A; B nên có tâm I ( t ;5 − t ) ∈ x + y − = Vì đường trịn tiếp xúc với d : x + y − = nên ta có R = IA = d ( I ; ( d ) ) IA = ( t − 1) + ( − t ) = 2t − 8t + 10 3t + − t − d ( I ;( d ) ) = 32 + 12 2t − 8t + 10 = Do đó: = 2t + 10 t = ⇔ 20t − 80t + 100 = 4t + 8t + ⇔ 16t − 88t + 96 = ⇔  t = 10  2t + 2 2 Với t = ta có I ( 4;1) R = 10 nên ta có phương trình đường trịn ( x − 4) + ( y − 1) = 10 ⇔ x + y − x − y + = Trang 20 3 7 Với t = ta có I  ; ÷ R = nên ta có phương trình đường trịn 10 2 2 2 3  7  2  x − ÷ +  y − ÷ = ⇔ x + y − 3x − y + 12 = 2     Câu 10 ( C) uu r có tâm I ( 3;1) ⇒ IA = ( 1;3) vectơ pháp tuyến tiếp tuyến d Suy d :1( x − ) + ( y − ) = ⇔ x + y − 16 = Câu 11 ( C) có tâm I ( 2;2 ) bán kính R = r n = ( A; B ) vectơ pháp tuyến nên d : A ( x − ) + B ( y + 1) = d tiếp tuyến ( C ) d ( I , d ) = R ⇔ A ( − ) + B ( + 1) A +B 2 A = = ⇔ A.B = ⇔  B = Với A = chọn B = ⇒ y = −1 Với B = chọn A = ⇒ x = Câu 12 ( C) có tâm I ( 3; −1) bán kính R = d tiếp tuyến ( C ) d ( I,d ) = R ⇔ 6−m+2−m−7 + ( m − 2) m = = ⇔ m − 16m + 39 = ⇔   m = 13 Câu 13 2 Đường tròn ( C ) : x + y − x + y − 23 = có tâm I ( 1; −4 ) bán kính R = 40 Ta có IM = + 12 = 50 Do độ dài đoạn tiếp tuyến cần tìm 50 − 40 = 10 Trang 21 ... Vậy phương trình phương trình đường trịn b) Ta có 2x2 + 2y2 + 8x − 4y + 14 = ⇔ x2 + y2 + 4x − 2y + =  −2a =  a = ? ?2   Khi  −2b = ? ?2 ⇔  b = c = c =   ⇒ M = a2 + b2 − c = ( ? ?2) + 12 −... trịn Bài tốn Nhận dạng đường trịn Phương pháp giải Cách Ví dụ: Đưa phương trình dạng a) x2 + y2 + 2x + 2y + = ( C ) : x2 + y2 − 2ax − 2by + c = (1) Phương trình có dạng: x2 + y2 − 2ax − 2by +... phương trình khơng phải phương trình đường trịn Ví dụ Phương trình sau phương trình đường tròn? (I) x2 + y2 − 4x + 15y − 12 = (II) x2 + y2 − 3x + 4y + 20 = (III) 2x2 + 2y2 − 4x + 6y + = A Chỉ (I)