BÀI 3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững khái niệm vectơ phương đường thẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng + Trình bày vận dụng cơng thức tính khoảng cách, góc + Trình bày cách viết phương trình tham số đường thẳng + Trình bày vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu Vận dụng cơng thức để xét vị trí tương đối hai đường thẳng; đường thẳng với mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu  Kĩ + Biết cách viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng + Biết cách tính khoảng cách, tính góc + Biết cách xét vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý: r r r Cho đường thẳng ∆ Vectơ u ≠ gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương ∆ r đường thẳng ∆ giá song song trùng với ∆ k u ( k ≠ ) vectơ Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương ∆ r + Nếu đường thẳng ∆ qua hai phương u = ( a; b; c ) uuur điểm A, B AB vectơ Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng ∆ có dạng  x = x0 + at   y = y0 + bt , t ∈ ¡  z = z + ct  (1) phương Cho đường thẳng ∆ có phương trình (1) r + u = ( a; b; c ) vectơ phương ∆ + Với điểm M ∈∆ M ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c ≠ phương trình tắc đường thẳng ∆ có dạng x − x0 y − y0 z − z0 = = a b c ( 2) Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng r Cho đường thẳng ∆ qua M , có vectơ phương u điểm M ∉ ∆ Khi để tính khoảng cách từ M đến ∆ ta có cách sau: uuuuur r  MM , u    Cách 1: Sử dụng công thức: d [ M , d ] = r u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng ( P ) qua M vng góc với ∆ + Tìm giao điểm H ( P ) với ∆ + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Cách 3: + Gọi N ∈ d , suy tọa độ N theo tham số t Trang + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo r Cho hai đường thẳng chéo ∆ qua M có vectơ phương u ∆′ qua M 0′ có vectơ ur phương u ′ Khi khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆′ tính theo cách sau: r ur uuuuuur u , u ′ M M 0′   Cách 1: Sử dụng công thức: d ( ∆, ∆′ ) = r ur u , u ′    Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng ( P ) chứa qua ∆ song song với ∆′ Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm ∆′ đến ( P ) Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, hai đường thẳng x − x0 y − y0 z − z0 = = qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có a b c ur vectơ phương u1 = ( a; b; c ) , d1 : x − x0′ y − y0′ z − z0′ = = qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có a′ b′ c′ uu r vectơ phương u2 = ( a′; b′; c′ ) d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học ur uu r  a1 a2 a3 = u1 / / u2  = ⇔  b1 b2 b3 + d1 trùng d ⇔   M ∈ d M ∈ d  ur uu r r  u1 , u2  =   + d1 / / d ⇔  ur uuuuuur r  u1 , M 1M  ≠ ur uu r  a1 a2 a3 = u1 || u2  = ⇔  b1 b2 b3   M ∉ d M ∉ d  ur uu r r  u1 , u2  ≠   + d1 cắt d ⇔  ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M = Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vơ nghiệm ur uu r + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d ur uu r + Nếu u1 ; u2 khơng phương d1 ; d chéo Trang ur uu r uuuuuur + d1 chéo d ⇔ u1 , u2  M 1M ≠ Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian ( α ) : Ax + By + Cz + D = Oxyz, có cho mặt phẳng vectơ pháp tuyến  x = x0 + at uur  nα = ( A; B; C ) đường thẳng d :  y = y0 + bt qua  z = z + ct  uu r M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương ud = ( a; b; c ) Để xét vị trí tương đối d ( α ) ta sử dụng phương Phương pháp đại số Xét hệ phương trình  x = x0 + at   y = y0 + bt   z = z0 + ct  Ax + By + Cz + D =  ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A ( x0 + at ) + B ( y0 + bt ) + C ( z0 + ct ) + D = ( *) pháp sau: Phương pháp hình học uu r uur ud ⊥ nα • Nếu  d ⊂ ( α )  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∈ ( α ) uu r uur ud ⊥ nα • Nếu  d // ( α )  M ( x0 ; y0 ; z0 ) ∉ ( α ) uu r uur uu r uur • Nếu ud nα phương ⇔ ud = k nα với k ≠ d ⊥ ( α ) uu r uur uu r uur • Nếu ud nα ≠ ; ud nα khơng phương d cắt ( α ) +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d // ( α ) +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt ( α ) +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d ⊂ ( α ) Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng ( α ) ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm ( x; y; z ) Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu  x = x0 + at  có phương trình là: d :  y = y0 + bt , t ∈ ¡  z = z + ct  ( S ) : ( x − a) + ( y − b) + ( z − c ) = R2 Để xét vị trí tương đối d ( α ) ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Trang Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I ( S ) đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình ( S) , ta phương + Nếu d ( I , d ) > R d khơng cắt ( S ) trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d ( I , d ) = R d tiếp xúc ( S ) ( d ) ( S ) theo số nghiệm phương + Nếu d ( I , d ) < R d cắt ( S ) trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm ( x; y; z ) Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d ur uu r có vectơ pháp tuyến u1 , u2 ur Góc d1 d bù với góc u1 uu r u2 Ta có: cos ( d1 , d ) ur uu r u1.u2 ur uu r = cos u1 , u2 = ur uu r u1 u2 ( ) Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn uu r phương ud mặt phẳng ( α ) có vectơ pháp tuyến uur nα Góc đường thẳng d mặt phẳng ( α ) góc đường thẳng d với hình chiếu d ′ (α) Ta có: sin ( d , ( α ) ) uu r uur ud nα uu r uur = cos ud , nα = uu r uur ud nα ( ) Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đi qua có vectơ phương r u  → Tham số: Chính tắc: Nếu Phương trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng mặt phẳng Vị trí tương đối Giữa hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang ∆ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài toán 1: Xác định vectơ phương đường thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ vectơ phương đường thẳng có phương trình x −1 3y − z = = ? r   A a =  3; ;1 ÷   r B a = ( 9; 2; −3) r C a = ( 3; 2;1) r   D a =  3; ;1÷   Hướng dẫn giải Ta có x −1 3y − z x −1 y z − = = ⇔ = = −3 r Vậy vectơ phương đường thẳng a = ( 9; 2; −3) Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng ( α ) có phương trình x + z + = Một vectơ phương ∆ là: r r A a ( 1;0; ) B b ( 2; −1;0 ) r C v ( 1; 2;3) r D u ( 2;0; −1) Hướng dẫn giải Vì ∆ vng góc với mặt phẳng ( α ) nên vectơ phương ∆ vectơ pháp tuyến mặt phẳng (α) Chọn A uuu r r r r uuur r r Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA = 2i + j − 5k ; OB = −2 j − 4k Tìm vectơ phương đường thẳng AB r r A u ( 2;5; −1) B u ( 2;3; −5 ) r C u ( −2; −5; −1) r D u ( 2;5; −9 ) Hướng dẫn giải uuu r r r r Ta có OA = 2i + j − 5k ⇒ A ( 2;3; −5 ) ; uuur r r OB = −2 j − 4k ⇒ B ( 0; −2; −4 ) uuur Suy AB = ( −2; −5;1) r Suy đường thẳng AB có vectơ phương u ( 2;5; −1) Chọn A Bài toán 2: Viết phương trình đường thẳng tìm vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải Trang r • Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) có phương trình  x = x0 + a1t  tham số  y = y0 + a2t ( t ∈ ¡ ) z = z + a t  uuur • Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB • Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) song song với đường thẳng ∆ cho trước: Vì d //∆ nên vectơ phương ∆ vectơ phương d • Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước: Vì d ⊥ ( P ) nên vectơ pháp tuyến ( P ) vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) Cách 1: Tìm điểm vectơ phương − Tìm toạ độ điểm A ∈ d cách giải hệ phương trình mặt phẳng ( P ) , ( Q ) với việc chọn giá trị cho ẩn r uur uur − Tìm vectơ phương d : a =  nP , nQ  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm • Đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì d ⊥ d1 , d ⊥ d r uur uur nên vectơ phương d là: u = ud1 , ud2  Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng qua điểm M ( 2; −1;3) có r vectơ phương u ( 1; 2; −4 ) A x +1 y + z − = = −1 B x −1 y − z + = = −1 C x + y −1 z + = = −4 D x − y +1 z − = = −4 Hướng dẫn giải r Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M ( 2; −1;3) có vectơ phương u ( 1; 2; −4 ) x − y +1 z − = = −4 Chọn D Trang Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A ( 1; 2;3) mặt phẳng ( P) có phương trình 3x − y + z + = Đường thẳng qua A vuông góc với mặt phẳng ( P ) có phương trình x = + t  A  y = −4 + 2t ( t ∈ ¡ )  z = + 3t   x = + 3t  B  y = − 4t ( t ∈ ¡ )  z = + 7t   x = − 3t  C  y = − 4t ( t ∈ ¡ )  z = + 7t   x = − 4t  D  y = + 3t ( t ∈ ¡ )  z = + 7t  Hướng dẫn giải uu r Gọi u∆ vectơ phương đường thẳng ( ∆ ) thỏa mãn yêu cầu tốn uur Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) : nP = ( 3; −4;7 ) uur uur  ∆ ⊥ ( P ) u∆ = nP = ( 3; −4;7 ) ⇒ Vì  nên phương trình tham số ∆  A ∈ ∆  A ( 1; 2;3) ∈ ( ∆ )  x = + 3t   y = − 4t ( t ∈ ¡ )  z = + 7t  Chọn B Ví dụ Cho điểm A ( 1; 2;3) hai mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = 0, ( Q ) : x − y + z − = Phương trình đường thẳng d qua A song song với ( P ) ( Q ) A x −1 y − z − = = 1 −4 B x −1 y − z − = = −6 C x −1 y − z − = = D x −1 y − z − = = −2 −6 Hướng dẫn giải uuur Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n( P ) = ( 2; 2;1) uuur Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến n( Q ) = ( 2; −1; ) uu r Đường thẳng d có vectơ phương ud Do đường thẳng d song song với ( P ) ( Q ) nên uu r uuur ud ⊥ n( P ) uu r uuur uuur    ⇒ u = n u u r u u u r  d  ( P ) , n( Q )  = ( 5; −2; −6 ) u ⊥ n  d ( Q) uu r Suy đường thẳng d qua A ( 1; 2;3) có vectơ phương ud = ( 5; −2; −6 ) Phương trình tắc d x −1 y − z − = = −2 −6 Chọn D Trang Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A ( 1; 4; −1) , B ( 2; 4;3 ) , C ( 2; 2; −1) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC x =  A  y = + t  z = −1 + 2t  x =  B  y = + t  z = + 2t  x =  C  y = + t  z = −1 − 2t  x =  D  y = − t  z = −1 + 2t  Hướng dẫn giải Gọi ∆ đường thẳng qua điểm A song song với BC uuur Ta có: BC = ( 0; −2; −4 ) uu r Do ∆ song song với BC nên vectơ phương ∆ u∆ = ( 0;1; ) x =  Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆  y = + t  z = −1 + 2t  Chọn A Ví dụ Đường thẳng ∆ giao tuyến hai mặt phẳng x + z − = x − y − z + = ∆ có phương trình A x + y +1 z = = −1 B x + y +1 z = = −1 C x − y −1 z − = = 1 −1 D x − y −1 z − = = −1 Hướng dẫn giải ur Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến n1 = ( 1;0;1) uu r Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến n2 = ( 1; −2; −1) ur uu r Ta có  n1 , n2  = ( 2; 2; −2 ) r ur r uu r r Gọi u vectơ phương ∆ u ⊥ n1 u ⊥ n2 ur uu r r r Suy u phương với  n1 , n2  Chọn u = ( 1;1; −1) Lấy M ( 2;1;3 ) thuộc mặt phẳng ( P ) ( Q ) r Đường thẳng ∆ qua M ( 2;1;3) có vectơ phương u = ( 1;1; −1) Vậy phương trình ∆ là: x − y −1 z − = = 1 −1 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho tam giác ABC có A ( 2;1; −1) , B ( −2;3;1) C ( 0; −1;3) Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Phương trình đường thẳng d Trang 10 Phương pháp giải Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng ( ∆) r có vectơ phương a = ( a1 ; a2 ; a3 ) qua r M ( x0 ; y0 ; z0 ) mặt phẳng ( α ) : Ax + By + Cz + D = có vectơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) rr ( ∆ ) cắt ( α ) ⇔ a.n ≠ ⇔ Aa1 + Ba2 + Ca3 ≠ rr  Aa1 + Ba2 + Ca3 =  a.n = ⇔ ( ∆ ) // ( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠  M ∉ ( P ) rr a.n =  Aa1 + Ba2 + Ca3 = ⇔ ( ∆) ⊂ ( α ) ⇔   Ax0 + By0 + Cz0 + D =  M ∈ ( P ) r r ( ∆ ) ⊥ ( α ) ⇔ a n phương ⇔ a1 : a2 : a3 = A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng ( ∆ ) mặt phẳng ( α ) Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x +1 y z − = = mặt phẳng −3 −1 ( P ) : 3x − y + z − = Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với ( P ) B d song song với ( P ) C d vng góc với ( P ) D d nằm ( P ) Hướng dẫn giải r Đường thẳng d nhận u = ( 1; −3; −1) làm vectơ phương r Mặt phẳng ( P ) nhận n = ( 3; −3; ) làm vectơ pháp tuyến rr Do u.n ≠ hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt khơng vng góc với ( P ) Chọn A Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x − y −1 z −1 = = mặt phẳng ( P ) : x + my + ( m − 1) z − = với m tham số thực Tìm m 1 −1 cho đường thẳng d song song với mặt phẳng ( P ) A m = B m = −1  m = −1 C  m = D m = Hướng dẫn giải Trang 32 r Đường thẳng d có vectơ phương u = ( 1;1; −1) mặt phẳng r n = ( 1; m; m2 − 1) ( P) có vectơ pháp tuyến r r rr  m = −1 d // ( P ) ⇔ u ⊥ n ⇔ u.n = ⇔ + m − m + = ⇔ m − m − = ⇔  m = Thử lại ta thấy với m = −2 d ⊂ ( P ) (loại) Vậy m = −1 Chọn B Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y − z − = = mặt phẳng ( α ) : x − y + z − = , mệnh đề đúng? A d // ( α ) B d ⊂ ( α ) C d cắt ( α ) không vuông góc với ( α ) D d ⊥ ( α ) Hướng dẫn giải  x = + 2t  Ta có d :  y = + 4t , t ∈ ¡ z = + t   x = + 2t   y = + 4t Xét hệ phương trình:  z = + t x − y + 2z − =  ( 1) ( 2) ( 3) ( *) Thay (1), (2), (3) vào (*) ta + 2t − ( + 4t ) + ( + t ) − = Phương trình có vơ số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng ( α ) Chọn B Ví dụ Tọa độ giao điểm M đường thẳng d : x − 12 y − z − = = mặt phẳng ( P ) : 3x + y − z − = A ( 1;0;1) B ( 0;0; −2 ) C ( 1;1;6 ) D ( 12;9;1) Hướng dẫn giải Gọi M ( 4t + 12;3t + 9; t + 1) ∈ d Ta có M ∈ ( P ) ⇒ ( 4t + 12 ) + ( 3t + ) − ( t + 1) − = ⇔ t = −3 Suy M ( 0;0; −2 ) Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng Trang 33 ( P ) : x + y − z − = 0, ( Q ) : x + y − z + = hai đường thẳng ∆1 : x y −1 z +1 x y − z −1 = = , ∆2 : = = 2 −1 Đường thẳng ∆ song song với hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) cắt ∆1 , ∆ tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải r uur uur Ta có u =  nP , nQ  = ( −1; −1; −3) Gọi H ( 2t ;1 + t ; −1 + 2t ) ; K ( m; − m;1 + 2m ) uuur ⇒ HK = ( m − 2t ;1 − m − t ; + 2m − 2t ) uuur r Vì ∆ song song với mặt phẳng ( P ) , ( Q ) nên HK = ku nên m − 2t − m − t + 2m − 2t = = 1 −3 11 Tính m = ; t = Suy HK = 7 Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : ( m2 + m + ) x + ( m − 1) y + ( m + ) z + m + m + = chứa đường thẳng ∆ cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là? A B C D Hướng dẫn giải 2 Ta có: ( m + m + ) x + ( m − 1) y + ( m + ) z + m + m + = 0, ∀m ∈ ¡ ⇔ m ( x + y + 1) + m ( x + z + 1) + x − y + z + = 0, ∀m ∈ ¡ 2 x + y + = 2 x + y + = y = z  ⇔ 2 x + z + = ⇔ ⇔ 2 x + z + = 2 x + y + = 4 x − y + z + =  t  x = − −  Vậy ( P ) chứa đường thẳng ( ∆ ) cố định:  y = t z = t   uu r     Đường thẳng ∆ qua A  − ;0;0 ÷ có vectơ phương u∆ =  − ;1;1÷     Trang 34 uuu r uu r OA, u∆    Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến ∆ là: d ( O; ∆ ) = = uur u∆ Chọn C Bài tốn 2: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x − x0 y − y0 z − z0 = = qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) có a b c ur x − x0′ y − y0′ z − z0′ = = vectơ phương u1 = ( a; b; c ) d : qua M ( x0′ ; y0′ ; z0′ ) có vectơ phương a′ b′ c′ uu r u2 = ( a′; b′; c′ ) Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: ur uu r  a1 a2 a3 = u1 / / u2  = ⇔  b1 b2 b3 +) d1 trùng d ⇔   M ∈ d M ∈ d  ur uu r r ur uu r  a1 a2 a3  u1 , u2  = = u1 / / u2    = ⇔  b1 b2 b3 +) d1 //d ⇔  ur uuuuuur r   M ∉ d  u1 , M 1M  ≠ M ∉ d  ur uu r r  u1 , u2  =   +) d1 cắt d ⇔  ur uu r uuuuuur  u1 , u2  M 1M = ur uu r uuuuuur +) d1 chéo d ⇔ u1 , u2  M 1M ≠ Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −1 y +1 z − x+3 y+9 z +2 = = = = d : m ( m ≠ 0) Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Hướng dẫn giải ur Đường thẳng d1 qua A ( 1; −1; ) có vectơ phương u1 = ( 1; 2;1) uu r Đường thẳng d qua B ( −3; −9; −2 ) có vectơ phương u2 = ( 4;8; m ) ur uu r Đường thẳng d1 //d u1 phương với u2 hai đường thẳng d1 d khơng trùng Vì −3 − −9 + −2 − = = nên B nằm đường thẳng d1 Trang 35 Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng khơng thể song song Chọn B Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x = 1+ t  x = − 2t ′   d :  y = + 3t d ′ :  y = −2 + t ′ z = − t  z = + 3t ′   Tìm tọa độ giao điểm M d d ′ A M = ( 0; −1; ) B M = ( −1;0; ) C M = ( 4;0; −1) D M = ( 0; 4; −1) Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm M d d ′ ứng với t t ′ nghiệm hệ phương trình: 1 + t = − 2t ′ t + 2t ′ = t = −1    + 3t = −2 + t ′ ⇔ 3t − t ′ = −4 ⇔  t ′ = 3 − t = + 3t ′ t + 3t ′ =   Vậy M = ( 0; −1; ) Chọn A Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng ∆1 : x −1 y +1 z x −3 y −3 z + = = , ∆2 : = = 2 −1 −2 A ∆1 song song với ∆ B ∆1 chéo với ∆ C ∆1 cắt ∆ D ∆1 trùng với ∆ Hướng dẫn giải ur 2 ≠ nên vectơ phương u1 = ( 2; 2;3) đường thẳng ∆1 không phương với vectơ −1 −2 uu r phương u2 = ( −1; −2;1) ∆ Vì Suy ∆1 chéo với ∆ ∆1 cắt ∆ uuuu r Lấy M ( 1; −1;0 ) ∈ ∆1 , N ( 3;3; −2 ) ∈ ∆ Ta có MN = ( 2; 4; −2 ) ur uu r uuuu r Khi u1 , u2  MN = ur uu r uuuu r Suy u1 , u2 , MN đồng phẳng Vậy ∆1 cắt ∆ Chọn C Bài toán 3: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp giải Trang 36  x = x0 + a1t  Cho đường thẳng d :  y = y0 + a2t   z = z0 + a3t cầu ( S ) : ( x − a) ( 1) ( 2) ( 3) Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt mặt cầu + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I ( a; b; c ) , bán kính R ( S ) : x2 + y + ( z + 2) = 25 đường  x = −2 + 2t  thẳng d có phương trình  y = + 3t  z = −3 + 2t  Chứng minh d cắt ( S ) hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0; −2 ) bán kính R = ( S) đến đường thẳng d uuuu rr  IM a    h = d ( I,d ) = r a Đường thẳng d qua M ( −2; 2; −3) có vectơ r phương u = ( 2;3; ) uuur r  IM , u    = Ta có h = d ( I , d ) = r u Bước 2: So sánh d ( I , d ) với bán kính R Vì h < R nên d cắt mặt cầu ( S ) hai điểm phân mặt cầu: biệt • Nếu d ( I , d ) > R d khơng cắt ( S ) • Nếu d ( I , d ) = R d tiếp xúc ( S ) • Nếu d ( I , d ) < R d cắt ( S ) hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu ( S ) Phương pháp đại số Thế (1), (2), (3) vào phương trình ( S ) rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t ( *) Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu ( S ) : x2 + y + ( z + 2) = 17 cắt trục Oz hai điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB • Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Hướng dẫn giải không cắt ( S ) Gọi M giao điểm ( S ) với trục Oz • Nếu phương trình (*) có nghiệm d Ta có M ∈ Oz nên M ( 0;0; t ) tiếp xúc ( S ) Mà M ∈ ( S ) nên 02 + 02 + ( t + ) = 17 • Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d t = −2 − 17 ⇔ ( t + ) = 17 ⇔ t + = 17 ⇔  t = −2 + 17 cắt ( S ) hai điểm phân biệt M , N ( ) Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào Suy tọa độ giao điểm A 0;0; −2 − 17 , Trang 37 ( phương trình đường thẳng d ) B 0;0; −2 + 17 ⇒ AB = 17 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 0;0; −2 ) đường thẳng ∆ có phương trình x+2 y −2 z +3 = = Phương trình mặt cầu tâm A , cắt ∆ hai điểm B C cho BC = A ( x + ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 16 B x + y + ( z + ) = 25 C ( x + ) + y + z = 25 D x + y + ( z + ) = 16 2 2 2 Hướng dẫn giải Gọi ( S ) mặt cầu tâm A ( 0;0; −2 ) có bán kính R r Đường thẳng ∆ qua M ( −2; 2; −3) có vectơ phương u = ( 2;3; ) Gọi H trung điểm BC nên AH ⊥ BC uuur r  MA.u    Ta có AH = d ( A, ∆ ) = r u uuur  MA = ( 2; −2;1) uuur r ⇒  MA.u  = ( −7; −2;10 ) ⇒ AH = Với  r u = ( 2;3; ) ( −7 ) + ( −2 ) + 102 22 + 32 + 22 = Bán kính mặt cầu ( S ) là: R = AB = AH + HB = 32 + 42 = Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là: x + y + ( z + ) = 25 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − ) = điểm 2 M ( 1;3; −1) Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho thuộc đường trịn ( C ) có tâm J ( a; b; c ) Giá trị 2a + b + c A 134 25 B 116 25 C 84 25 D 62 25 Hướng dẫn giải Ta có mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; −1; ) bán kính R = Khi IM = > R ⇒ M nằm mặt cầu x =  Phương trình đường thẳng MI  x = −1 + 4t  z = − 3t  Trang 38 Tâm J ( a; b; c ) nằm MI nên J ( 1; −1 + 4t ; − 3t ) Xét ∆MHI vuông H có MI = 5; IH = ⇒ MH = MI − HI =  M ( 1;3; −1) ⇒ MJ = Mặt khác   J ( 1; −1 + 4t ; − 3t ) MJ MI = MH ⇒ MJ = + ( − 3t ) 16 ⇔ ( −4 + 4t ) + ( − 2t ) = ( −4 + 4t ) 256 25  t = 369 ⇔ 25t − 50t + =0⇔ 25 t =  25 41 25  11 23   139 −73  ; Suy J  1; ; ÷ J  1; ÷  25 25   25 25   11 23  +) Với J  1; ; ÷ IJ = < IM (nhận)  25 25  41  139 −73  ; > IM (loại) +) Với J  1; ÷ IJ =  25 25  84  11 23  Vậy J  1; ; ÷ nên 2a + b + c = 25  25 25  Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 2 14 đường thẳng d có phương trình ( S) có phương trình x−4 y−4 z−4 = = Gọi 2 A ( x0 ; y0 ; z0 ) , x0 > điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu ( S) có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P = x0 + y0 + z0 A B 16 C 12 D Hướng dẫn giải Gọi I tâm mặt cầu I ( 1; 2;3) Gọi O giao điểm mặt phẳng ( BCD ) đoạn AI Trang 39 Vì theo giả thiết AB = AC = AD IB = IC = ID = 14 nên AI vng góc với mặt phẳng ( BCD ) O Khi O tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BCD  14  Đặt AI = x  x > ÷ ÷   Ta có AB = AI − IB = x − 14 14 14  14  IB = IO.IA ⇒ OI = ⇒ OB = IB − IO = − ÷ 3x  3x  ⇒ BD = OB + OD − 2OB.OD.cos120° = 3OB  14 196  ⇒ BD = 3OB ⇒ BD = 3OB =  − ÷  9x  Do ABCD tứ diện nên AB = BD ⇒ x − 14 14 196  14 196  =  − ÷ ⇔ x − = 14 − 3 3x  9x   14 x = x − 56 x + 196 = ⇔  ⇒ x = 14   x = 14 A ∈ d nên A ( + 3t; + 2t; + t ) Suy AI = 14 ⇔ ( + 3t − 1) + ( + 2t − ) + ( + t − ) = 14 2  A ( 4; 4; ) t = ⇔ t +1 = ⇔  ⇒ t = −2  A ( −2;0; ) Do x0 > nên điểm A có tọa độ A ( 4; 4; ) Suy P = 12 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho 1 1 + + = Biết mặt phẳng ( PQR ) 2 OP OQ OR 1  ;0 ÷ tiếp xúc với mặt cầu ( S ) cố định Đường thẳng ( d ) thay đổi qua M  ; ÷ cắt 2  ( S) hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn ∆AOB A 15 B C 17 D Hướng dẫn giải Trang 40 Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng ( PQR ) Dễ thấy 1 1 1 = + + ⇒ = ⇒ OH = 2 2 2 OH OP OQ OR OH Khi ( PQR ) ln tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R = 2 Ta có OM = + + = < R nên điểm M nằm mặt cầu ( S ) 4 Gọi I trung điểm AB , ∆OAB cân O nên S ∆OAB = OI AB Đặt OI = x Vì OI ≤ OM nên < x ≤ AB = − x Ta có S ∆OAB = x.2 − x = x − x = x − x 2 Xét hàm số f ( x ) = x − x , < x ≤ Vì f ′ ( x ) = x ( − x ) > với x ∈ ( 0;1] nên f ( x ) ≤ f ( 1) = Suy diện tích ∆OAB lớn đạt M trung điểm AB Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập r Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M nhận vectơ a làm vectơ ur phương đường thẳng d ′ qua điểm M ′ nhận vectơ a′ làm vectơ phương Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d ′ r ur r ur r ur r ur  a = k a′, k ≠  a = k a′, k ≠  a = a′  a ≠ k a′, k ≠ A  B  C  D   M ∉ d ′  M ∈ d ′  M ∈ d ′  M ∉ d ′ Câu 2: Cho đường thẳng d : x −1 y − z − = = điểm A ( 1; 2;1) Tìm bán kính mặt cầu có tâm I −2 nằm d , qua A tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = A R = B R = Câu 3: Cho đường thẳng d : C R = D R = x +1 y − z − = = Phương trình mặt cầu tâm I ( 1; 2; −1) cắt d −2 điểm A, B cho AB = Trang 41 A ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 25 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = D ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 16 2 2 2 2 2 2 Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu ( S1 ) : ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − ) = 16 ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 2 cắt theo giao tuyến đường tròn tâm I ( a; b; c ) Giá trị a + b + c A B − C 10 D Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : ( m2 + 1) x − ( 2m − 2m + 1) y + ( 4m + ) z − m + 2m = chứa đường thẳng ∆ cố định m thay đổi Đường thẳng d qua M ( 1; −1;1) vng góc với ∆ cách O khoảng lớn có vectơ r phương u = ( −1; b; c ) Giá trị T = b + c A 12 B C 11 D 10 Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( 3;0;0 ) , B ( 0; 2;0 ) , C ( 0;0;6 ) D ( 1;1;1) Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây? A M ( −1; −2;1) B N ( 5;7;3) C P ( 3; 4;3) Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ : D Q ( 7;13;5 ) x − y −1 z − = = Có tất giá trị thực −1 2 2 m để phương trình x + y + z − x + 2my − ( m + 1) z + m + 2m + = phương trình mặt cầu ( S ) cho có mặt phẳng chứa ∆ cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính 1? A B C D Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm M ( 6;0;0 ) , N ( 0;6;0 ) , P ( 0;0;6 ) Hai mặt cầu có phương trình ( S1 ) : x + y + z − x − y + = ( S2 ) : x + y + z − x + y + z + = cắt theo đường tròn ( C ) Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa ( C ) tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP, PM ? A B C Vô số D Câu 9: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2;1;3) , B ( 6;5;5 ) Gọi ( S ) mặt cầu đường kính AB Mặt phẳng ( P ) vng góc với AB H cho khối nón đỉnh A đáy hình trịn tâm H (giao mặt cầu ( S ) mặt phẳng ( P ) ) tích lớn nhất, biết ( P ) : x + by + cz + d = với b, c, d ∈ ¢ Tính S = b + c + d A S = 18 B S = −18 C S = −12 D S = 24 Trang 42 Dạng 5: Một số tốn cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M ( −2; −2;1) , A ( 1; 2; −3 ) đường thẳng d : r x +1 y − z = = Tìm vectơ phương u đường thẳng ∆ qua M , vng góc với 2 −1 đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé r r r A u = ( 2; 2; −1) B u = ( 1;7; −1) C u = ( 1;0; ) r D u = ( 3; 4; −4 ) Hướng dẫn giải Xét ( P ) mặt phẳng qua M ( P ) ⊥ ( d ) Mặt phẳng ( P ) qua M ( −2; −2;1) có vectơ pháp tuyến uur uu r nP = ud = ( 2; 2; −1) nên có phương trình: x + y − z + = Gọi H , K hình chiếu A lên ( P ) ∆ Khi AK ≥ AH = const nên AK đạt giá trị nhỏ K ≡ H uu r Đường thẳng AH qua A ( 1; 2; −3) có vectơ phương ud = ( 2; 2; −1) nên AH có phương trình  x = + 2t  tham số  y = + 2t  z = −3 − t  Vì H ∈ AH nên H ( + 2t ; + 2t; −3 − t ) Lại H ∈ ( P ) nên ( + 2t ) + ( + 2t ) − ( −3 − t ) + = ⇔ t = −2 ⇒ H ( −3; −2; −1) uu r uuuur Vậy u∆ = HM = ( 1;0; ) Chọn C Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) có phương trình x + y + z − x + y − z − = điểm A ( 5;3; −2 ) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M,N Tính giá trị nhỏ biểu thức S = AM + AN A S = 30 B S = 20 C S = 34 − D S = 34 − Hướng dẫn giải Trang 43 Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 2; −1;1) , bán kính R = 22 + ( −1) + 12 − ( −3) = Ta có: AI = ( − 5) 2 + ( −1 − 3) + ( + ) = 34 > R nên A nằm ngồi mặt cầu ( S ) Ta lại có: S = AM + AN Đặt AM = x, x ∈  34 − 3; 34 + 3 2 Mà AM AN = AI − R = 34 − = 25 ⇒ AN = Do đó: S = f ( x ) = x + Ta có: f ′ ( x ) = − Do đó:  34 − 3; 34 + 3   25 AM 100 với x ∈  34 − 3; 34 + 3 x 100 x − 100 = < với x ∈  34 − 3; 34 + 3 x2 x f ( x) = f ( ) 34 + = 34 − Dấu “=” xảy ⇔ A, M , N , I thẳng hàng AM = 34 + 3; AN = 34 − Chọn C Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 9;6;11) , B ( 5;7; ) điểm M di động mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 36 2 Giá trị nhỏ AM + MB A 105 B 26 C 29 D 102 Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 36 có tâm I ( 1; 2;3) bán kính R = 2 Ta có IA = 12 = R Gọi E giao điểm IA mặt cầu ( S ) suy E trung điểm IA nên E ( 5; 4;7 ) Gọi F trung điểm IE suy F ( 3;3;5 ) Trang 44 Xét ∆MIF ∆AIM có ·AIM chung Suy ∆MIF #∆AIM ( c.g.c) ⇒ IF IM = = IM IA MA AI = = ⇒ MA = 2MF MF MI Do AM + MB = ( MF + MB ) ≥ BF = 29 (theo bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy M giao điểm FB mặt cầu ( S ) Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 2; −2; ) , B ( −3;3; −1) đường thẳng d: x −5 y −2 z = = Xét M điểm thay đổi thuộc d , giá trị nhỏ MA2 + 3MB −1 −1 A 14 B 160 C 10 D 18 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A ( 1;0;3) ; B ( −3;1;3) ; C ( 1;5;1) Gọi uuur uuur uuuu r M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho biểu thức T = MA + MB + MC có giá trị nhỏ Giá trị x0 − y0 A x0 − y0 = − B x0 − y0 = C x0 − y0 = −2 D x0 − y0 = Bài tập nâng cao Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( 1; 2; −3) , B ( −2; −2;1) mặt phẳng ( α ) có phương trình x + y − z + = Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng ( α ) cho M ln nhìn đoạn AB góc vng Xác định phương trình đường thẳng MB MB đạt giá trị lớn  x = −2 − t  A  y = −2 + 2t  z = + 2t   x = −2 + 2t  B  y = −2 − t  z = + 2t   x = −2 + t  C  y = −2  z = + 2t   x = −2 + t  D  y = −2 − t z =  Câu 4: Cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 3) = hai điểm A ( 1;1;3) , B ( 21;9; −13) 2 Điểm M ( a; b; c ) thuộc mặt cầu ( S ) cho 3MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Khi giá trị biểu thức T = a.b.c A B D −18 C ĐÁP ÁN Dạng Xác định vectơ phương viết phương trình đường thẳng 1-B 11-D 2-B 12-D 3-B 13-A 4-B 14-D 5-B 15-D 6-C 16-C 7-C 17-D 8-C 18-B 9-B 19-C 10-B 20-B Trang 45 Dạng Các vấn đề góc 1-C 2-B 3-A 4-C Dạng Khoảng cách 1-A 2-A 3-C 4-D 5-D 4-D 5-C Dạng Vị trí tương đối 1-A 2-D 3-D 6-B 7-D 8-C 9-B Dạng Một số toán cực trị 1-B 2-C 3-C 4-B Trang 46 ...  34 − 3; 34 + 3? ??   25 AM 100 với x ∈  34 − 3; 34 + 3? ?? x 100 x − 100 = < với x ∈  34 − 3; 34 + 3? ?? x2 x f ( x) = f ( ) 34 + = 34 − Dấu “=” xảy ⇔ A, M , N , I thẳng hàng AM = 34 + 3; ... phương ∆ u = ( 2; −1; −1)  x = + 2t  Vậy phương trình đường thẳng ∆  y = − t z = 1− t  Chọn C Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Phương pháp giải • Viết phương. .. đường thẳng ∆ cần tìm qua A K Ta có AK = ( 1; 4;6 ) Đường thẳng ∆ có phương trình là: x +3 y ? ?3 z +3 = = Chọn A Trang 17 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho ∆ABC có A ( 2 ;3; 3) , phương trình đường