Bài 3 PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI với hệ số THỰC

CHUYÊN ĐỀ BÀI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Mục tiêu  Kiến thức + Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức  Kĩ + Giải phương trình bậc hai với hệ số thực tập số phức vận dụng vào giải số toán liên quan + Vận dụng định lý Vi-ét vào giải số toán chứa nhiều biểu thức đối xứng hai nghiệm phương trình + Biết cách giải phương trình quy phương trình bậc hai hệ số thực + Vận dụng kiến thức học để giải số tốn tổng hợp Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Căn bậc hai phức Định nghĩa Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa mãn z = w gọi bậc hai w Nhận xét: Tìm bậc hai số phức w • w số thực +) Số có bậc hai + Nếu w < w có hai bậc hai i − w −i − w + Nếu w ≥ w có hai bậc hai • w − w w = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) , b ≠ +) Mỗi số phức khác có hai bậc hai hai số đối (khác 0) Nếu z = x + iy bậc hai w ( x + iy ) = a + bi  x2 − y2 = a Do ta có hệ phương trình:   2xy = b Mỗi nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ ) Ta có ∆ = b − 4ac • • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: • A0 z n + A1 z n −1 + + An −1 z + An = ln có n nghiệm phức (khơng b Nếu ∆ = phương trình có nghiệm thực x = − 2a x1 = Mọi phương trình bậc n: thiết phân biệt) với n nguyên dương −b + ∆ −b − ∆ ; x2 = 2a 2a Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 = −b + i ∆ 2a ; x2 = −b − i ∆ 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (thực phức) b   S = x1 + x2 = − a  P = x x = c  a Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Cho phương trình bậc hai ∆=b2 −4ac ∆0 Phương trình có hai nghiệm Phương trình có Phương trình có hai nghiệm thực phức phân biệt nghiệm thực phân biệt ; ; Hệ thức Vi-ét II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Giải phương trình Tính tốn biểu thức nghiệm Phương pháp giải Cho phương trình: az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ ) • Giải pương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ: Xét phương trình z − z + = a) Giải phương trình tập số phức b) Tính z1 + z2 Hướng dẫn giải • Áp dụng phép tốn tập số phức để a) Ta có: ∆ ' = − = −4 = ( 2i ) biến đổi biểu thức Phương trình có hai nghiệm là: z1 = + 2i ; z2 = − 2i b) Ta có z1 = z2 = 22 + 22 = 2 Suy z1 + z2 = 2 + 2 = Ví dụ mẫu Ví dụ Tất nghiệm phức phương trình z + = Trang A ±5 B ±5i C ± 5i D ± Hướng dẫn giải  z = 5i 2 2 Ta có phương trình: z + = ⇔ z = −5 ⇔ z = 5i ⇔   z = − 5i Vậy phương trình cho có hai nghiệm phức z1 = 5i z2 = − 5i Chọn C Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + = Giá trị biểu thức A = z1 + z2 A B C D Hướng dẫn giải Ta có ∆ = −7 = ( 7i ) nên phương trình có hai nghiệm là: 7 z=− − i; z=− + i 4 4 2 Suy A = z1 + z2 = Chọn B Ví dụ Trong số sau, số nghiệm phương trình z + = z A + 3i B 1− C ( z∈£) ? 1+ D + 2i Hướng dẫn giải Ta có z + = z ( z∈£) 1  3i  ⇔ z − 2.z + = − ⇔  z − ÷ = 4 2    + 3i 3i z − = z = 2 ⇔ ⇔  − 3i  − 3i z − = z =  2  Chọn A Ví dụ Phương trình z + az + b = ( a, b ∈ ¡ A 31 B ) có nghiệm phức + 4i Giá trị a + b C 19 D 29 Hướng dẫn giải Cách 1: Do z = + 4i nghiệm phương trình z + az + b = nên ta có: Chú ý: Nếu z0 ( + 4i ) nghiệm phương + a ( + 4i ) + b = ⇔ ( 3a + b − ) + ( 4a + 24 ) i = 3a + b − = a = −6 ⇔ ⇔ 4a + 24 = b = 25 trình bậc hai với hệ số thực z0 Trang Do a + b = 19 nghiệm phương Cách 2: Vì z1 = + 4i nghiệm phương trình z + az + b = nên z2 = − 4i trình nghiệm phương trình cho  z1 + z2 = −a Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình ta có   z1.z2 = b ( + 4i ) + ( − 4i ) = −a  a = −6 ⇔ ⇔ ⇒ a + b = 19 b = 25 ( + 4i ) ( − 4i ) = b Chọn C Ví dụ Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z + z + 34 = Giá trị z0 + − i A 17 B 17 C 17 D 37 Hướng dẫn giải Ta có ∆ ' = −25 = ( 5i ) Phương trình có hai nghiệm z = −3 + 5i ; z = −3 − 5i Do z0 = −3 + 5i ⇒ z0 + − i = −1 + 4i = 17 Chọn A Ví dụ Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Tọa độ điểm biểu diễn số phức A P ( 3; ) − 4i mặt phẳng phức z1 B N ( 1; −2 ) C Q ( 3; −2 ) D M ( 1; ) Hướng dẫn giải  z = + 2i Ta có z − z + = ⇔   z = − 2i Theo yêu cầu toán ta chọn z1 = − 2i Khi đó: − 4i − 4i ( − 4i ) ( + 2i ) = = = + 2i z1 − 2i 12 + 22 Vậy điểm biểu diễn số phức P ( 3; ) Chọn A Ví dụ Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức ( z1 − 1) 2019 + ( z2 − 1) A 21009 2019 B 21010 C D −21010 Hướng dẫn giải Trang  z1 = + i 2 Xét phương trình z − z + = ⇔ ( z − ) = −1 ⇔   z2 = − i Khi ta có: ( z1 − 1) ( = ( 1+ i) ( 1+ i) = ( + i ) ( 2i ) = ( 2i ) 1009 ) 1009 1009 2019 + ( z2 − 1) 2019 ( + ( 1− i) ( 1− i) + ( − i ) ( −2i ) = ( 1+ i) 2019 + ( 1− i ) 2019 ) 1009 1009 ( ( + i ) − ( − i ) ) = ( 2i ) 1010 = ( i2 ) 505 21010 = −21010 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Nghiệm phương trình z − z + = tập số phức A z = 3 + i; z = − i 2 2 B z = + i ; z = − i C z = 3 + i; z = − i 2 2 D z = + 3i ; z = − 3i Câu 2: Gọi z1 z2 hai nghiệm phương trình z − z + 10 = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 A P = 20 B P = 40 C P = D P = 10 Câu 3: Phương trình z + z + 10 = có hai nghiệm z1 , z2 Giá trị z1 − z2 A B C D Câu 4: Biết số phức z = −3 + 4i nghiệm phương trình z + az + b = , a, b số thực Giá trị a − b A –31 B –19 C D –11 Câu 5: Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Hỏi điểm điểm biểu diễn số phức iz0 ? 1 3 A M  ; ÷ 2 2 3 1 B M  ; ÷ 2 2 3 1 C M  ; − ÷ 2 2  3 D M  − ; ÷  2 Câu 6: Cho z nghiệm phức phương trình x + x + = Giá trị biểu thức P = z + z − z A −1 + i B −1 − i C 2i D Câu 7: Kí hiệu z0 số phức có phần ảo âm phương trình z + z + 37 = Tọa độ điểm biểu diễn số phức w = iz0 1  A  −2; − ÷ 3    B  − ; −2 ÷   1  C  2; − ÷ 3    D  − ; ÷   Trang Câu 8: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị z1 + z2 A B C D 10 Câu 9: Kí hiệu z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z − z + = Giá trị z1 + + 6i A B C D 73 73 Câu 10: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + = Giá trị biểu thức 1 + z1 z2 A B C D Câu 11: Ký hiệu z1 , z2 nghiệm phương trình z + z + 10 = Giá trị z1 z2 A 5 B C 10 D 20 Câu 12: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z1 + z1.z2 A B 10 C 15 D Bài tập nâng cao Câu 13: Phương trình z − z + = có hai nghiệm phức z1 , z2 Giá trị z1.z2 A 27 B 64 C 16 D Câu 14: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z − z + = Môđun z1 z2 A 81 B 16 C 27 D Câu 15: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ) Giá trị biểu thức M = z1 + z2 + ( z1 − z2 ) − ( z1 + z2 A c a B −4 c a ) C c 4a D −4 c a Câu 16: Gọi z0 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + z + = Trên mặt phẳng tọa độ, 2019 điểm điểm biểu diễn số phức w = i z0 ? A M ( −2;1) B M ( 2;1) C M ( −2; −1) D M ( 2; −1) Câu 17: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình z − z + 13 = A, B hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Oxy Diện tích tam giác OAB A 13 B 12 C 13 Câu 18: Gọi z nghiệm phương trình M = z 2019 + z 2018 + z 2019 + z 2018 D z − z + = Giá trị biểu thức + Trang A B C D Câu 19: Trong tập số phức, cho phương trình z − z + m = , m ∈ ¡ ( 1) Gọi m0 giá trị m để phương trình ( 1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1.z1 = z2 z2 Hỏi khoảng ( 0; 20 ) có giá trị m0 ∈ ¥ ? A 13 B 11 C 12 D 10 Câu 20: Gọi z1 z2 nghiệm phức phương trình z + z + = Tính w = ( + z1 ) 100 + ( + z2 ) A w = 250 i 100 B w = −251 C w = 251 D w = −250 i Dạng 2: Định lí Vi-ét ứng dụng Phương pháp giải Ví dụ: Phương trình z − z + 24 = có hai Định lí Vi-ét: Cho phương trình: nghiệm phức z1 , z2 nên az + bz + c = ; a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ z1 + z2 = ; z1.z2 = 24 b   z1 + z2 = − a có hai nghiệm phức z1 , z2   z z = c  a Ví dụ mẫu Chú ý: Học sinh hay nhầm lẫn: z1 + z2 = b a 2 Ví dụ 1: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị biểu thức z1 + z2 A 14 B –9 C –6 D Hướng dẫn giải Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + =  z1 + z2 = Theo định lí Vi-ét ta có:   z1.z2 = Suy z12 + z22 = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = 22 − 2.5 = −6 Chọn C Ví dụ 2: Phương trình bậc hai sau có nghiệm + 2i ? Chúng ta giải A z − z + = B z + z + = phương trình: C z − z + = D z + z + = +) z − z + = Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức liên hợp nên phương trình bậc hai có nghiệm + 2i nghiệm cịn lại − 2i Khi tổng tích hai nghiệm 2; Vậy số phức + 2i nghiệm phương trình z − z + = Chọn C ⇔ ( z − 1) = 2i 2 ⇔ z − = ±i ⇔ z = 1± i +) z + z + = ⇔ ( z + 1) = 4i 2 Trang ⇔ z + = ±2i ⇔ z = −1 ± 2i +) z − z + = ⇔ ( z − 1) = 4i 2 ⇔ z − = ±2i ⇔ z = ± 2i +) z + z + = ⇔ ( z + 1) = 2i 2 ⇔ z + = ±i ⇔ z = −1 ± i Ví dụ 3: Kí hiệu z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = Tính giá trị biểu thức P = z1 z2 + i ( z1 + z2 ) B P = A P = C P = D P = Hướng dẫn giải Ta có z1 , z2 hai nghiệm phương trình z + z + =  z1 + z2 = −2  Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2 = Ta có P = z1 z2 + i ( z1 + z2 ) = 3 3 + i ( −2 ) = − 2i =  ÷ + ( −2 ) = 2 2 Chọn D Ví dụ 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Cách khác: Ta có: 3 Giá tị P = z1 + z2 z2 − 4z + = A –20 B 20 ⇔ ( z − ) = 3i C 14 D 28  z = − 3i Hướng dẫn giải ⇔  z2 = + 3i  z1 + z2 = Theo định lý Vi-ét ta có   z1.z2 = Do đó: 3 2 Suy z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 − z1 z2 + z2 ) = ( z1 + z2 ) ( ( z1 + z2 ) − 3z1 z2 = ( 42 − 3.7 ) = −20 ) z13 + z23 ( ) ( = − 3i + + 3i ) = −20 Trang Chọn A Ví dụ 5: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + 27 = Giá trị z1 z2 + z2 z1 A B C D Hướng dẫn giải Áp dụng định lý Vi-ét, ta có z1 + z2 = Mà z1 = z2 = z1 z2 = z1.z2 = z1.z2 = = Do z1 z2 + z2 z1 = z1.3 + z2 = ( z1 + z2 ) = = Chọn A Ví dụ 6: Cho số thực a > gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + a = Mệnh đề sau sai? A z1 + z2 số thực C B z1 − z2 số ảo z1 z2 + số ảo z2 z1 D z1 z2 + số thực z2 z1 Hướng dẫn giải Ta có z1 + z2 = − b = Đáp án A a Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm số phức liên hợp Gọi z1 = x + yi ; x, y ∈ ¡ nghiệm, nghiệm lại z2 = x − yi Suy z1 − z2 = yi số ảo Đáp án B z1 z2 z12 + z22 ( z1 + z2 ) − z1 z2 − 2a + = = = ∈¡ z2 z1 z1.z2 z1.z2 a Vậy C đáp án sai D Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Phương trình nhận hai số phức −i i làm nghiệm? A z + = B z + = C z + = D z + = Câu 2: Phương trình bậc hai nhận hai số phức − 3i + 3i làm nghiệm? A z + z + = B z + z + 13 = C z − z + 13 = D z − z + = Câu 3: Kí hiệu z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + = Giá trị z1.z2 Trang 10 B − A C D Bài tập nâng cao 4 Câu 4: Gọi z1 , z2 nghiệm phương trình z − z + = Giá trị biểu thức P = z1 + z2 A –14 B −14i C 14 D 14i Câu 5: Cho số phức z0 có z0 = 2018 Diện tích đa giác có đỉnh điểm biểu diễn z0 nghiệm phương trình A 1 = + viết dạng n , n ∈ ¥ Chữ số hàng đơn vị n z + z z z0 B C D Câu 6: Cho phương trình z + mz + = m tham số thực Tìm m để phương trình có hai 2 nghiệm z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = −6 A m = ±2 B m = ±4 C m = −3 D m = Câu 7: Có giá trị thực a cho phương trình z − az + 2a − a = có hai nghiệm phức có mơđun 1? A B C D Câu 8: Gọi z1 , z2 nghiệm phức phương trình z + z + = Số phức z1 z2 + z1 z2 A B 10 C 2i D 10i Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải • • Ví dụ: Giải phương trình: z − z − = tập Nắm vững cách giải phương trình bậc hai số phức Hướng dẫn giải với hệ số thực tập số phức Nắm vững cách giải số phương trình Đặt z = t , ta có phương trình: quy bậc hai, hệ phương trình đại số bậc t = t2 − t − = ⇔  cao;… t = −2 Với t = ta có z = ⇒ z = ± Với t = −2 ta có z = −2 ⇒ z = ±i Vậy phương trình cho có bốn nghiệm z = ± ; z = ±i Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình z − z − = A B C D Hướng dẫn giải Trang 11 z =  z = − z2 =  ⇔ z = i Ta có: z − z − = ⇔  1 z = − = i   2  z = − i  Khi đó, tổng mơđun bốn nghiệm phức phương trình cho 2+− 2+ 2 i+− i =3 2 Chọn A Ví dụ 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phức phương trình z + z − = Giá trị 2 z1 + z2 + z3 + z4 A + B 12 D + C Hướng dẫn giải z =1  z = −1 z =1 ⇔  Ta có: z + z − = ⇔  z = 5i  z = −5   z = − 5i Phương trình có bốn nghiệm là: z1 = , z2 = −1 , z3 = −i , z4 = i 2 2 Do đó: z1 + z2 + z3 + z4 = 12 + 12 + ( 5) + ( 5) 2 = 12 Chọn B Ví dụ 3: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phức phương trình ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = Giá trị 2 2 biểu thức S = z1 + z2 + z3 + z4 A S = 18 B S = 16 C S = 17 D S = 15 Hướng dẫn giải Ta có: ( z + z ) + ( z + z ) − 12 = t = 2 Đặt t = z + z , ta có t + 4t − 12 = ⇔   t = −6  z1 =  z = −2   z2 + z − =  ⇔  z3 = −1 + i 23 Suy ra:  2 z + z + =   −1 − i 23  z4 =  2 2 23     23     + − + − Suy S = + ( −2 ) +  − ÷ +  ÷  ÷  ÷  ÷ = 17 2  2  ÷      2 Trang 12 Chọn C z Ví dụ 4: Gọi z1 , z2 hai nghiệm phương trình + z = −4 Khi z1 + z2 z A B C D Hướng dẫn giải Điều kiện: z ≠ 2  z2  z z  z ÷ + z = −4 ⇔  Ta có: + z = −4 ⇔  ÷ + z = −4  z ÷ z z       15 i z = − − z = − + 2 ⇒ ⇔ z2 + z +4=0 ⇔    15 i z = − + z = − −  2  15 i 15 i 15 15 i− + i = −1 = Vậy z1 + z2 = − − 2 2 Chọn A Ví dụ 5: Cho số thực a, biết phương trình z + az + = có bốn nghiệm z1 , z2 , z3 , z4 thỏa mãn (z + ) ( z22 + ) ( z32 + ) ( z42 + ) = 441 Tìm a a = A   a = − 19   a = −1 B   a = 19   a = −1 C   a = − 19  a = D   a = 19  Hướng dẫn giải Nhận xét: z + = z − ( 2i ) = ( z + 2i ) ( z − 2i ) Đặt f ( x ) = z + az + , ta có: (z + ) ( z22 + ) ( z32 + ) ( z42 + ) = ∏ ( zk + 2i ) ∏ ( zk − 2i ) = f ( −2i ) f ( 2i ) 4 k =1 k =1 = ( 16i + 4ai + 1) ( 16i + 4ai + 1) = ( 17 − 4a ) Theo giả thiết, ta có ( 17 − 4a ) 2  a = −1 = 441 ⇔   a = 19  Chọn B Ví dụ 6: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = Mệnh đề đúng? A ≤ z < B ≤ z < C < z < D ≤ z < 2 Hướng dẫn giải 2017 2017 = Ta có z ( 11z + 10i ) = 11 − 10iz ⇔ z 11 − 10iz 11 − 10iz 2017 ⇒ z = 11z + 10i 11z + 10i Trang 13 100 ( a + b ) + 220b + 121 10b + 11) + 100a ( 11 − 10iz 11 − 10i ( a + bi ) = = = Đặt z = a + bi có 11z + 10i 11( a + bi ) + 10i 121( a + b ) + 220b + 100 121a + ( 11b + 10 ) 100t + 220b + 121 2017 t = z t ≥ ( ) Đặt ta có phương trình t = 121t + 220b + 100 Nếu t ≥ ⇒ VT ≥ ; VP ≤ Nếu t ≤ ⇒ VT ≤ ; VP ≥ Nếu t = ⇒ z = Chọn D Bài tập tự luyện dạng 3 Câu 1: Gọi z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình iz − z + ( − i ) z + i = Biết z1 số ảo Đặt P = z2 − z3 , chọn khẳng định đúng? A < P < B < P < C < P < D < P < Câu 2: Kí hiệu z1 , z2 , z3 z4 nghiệm phức phương trình z − z − 36 = Tính tổng T = z1 + z2 + z3 + z4 A T = B T = C T = 10 D T = Câu 3: Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 nghiệm phương trình z − z + 12 z − = Tính diện tích S tam giác ABC A S = 3 B S = 3 C S = D S = 3 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn 11z 2018 + 10iz 2017 + 10iz − 11 = Mệnh đề sau đúng? 1  A z =  ; ÷ 2  B z = ( 1; ) C z = [ 0;1) D z = [ 2;3) Câu 5: Cho phương trình z − z + z − z + = có bốn nghiệm phức phân biệt z1 , z2 , z3 , z4 2 2 Tính giá trị biểu thức T = ( z1 + ) ( z2 + ) ( z3 + ) ( z4 + ) A T = 2i B T = C T = −2i D T = Câu 6: Biết z1 , z2 = − 4i z3 ba nghiệm phương trình z + bz + cz + d = ( b, c, d ∈ ¡ ) , z3 nghiệm có phần ảo dương Phần ảo số phức w = z1 + 3z2 + z3 A –12 B –8 C –4 D Câu 7: Cho số phức z thỏa mãn 11z10 + 10iz + 10iz − 11 = Tính mơđun số phức z A z = 10 B z = C z = 11 D z = 221 Câu 8: Cho số phức z thỏa mãn z − z + z − z + z − z + = Tìm phần thực số phức W = z ( z − z + 1) A Phần thực B Phần thực Trang 14 C Phần thực D Phần thực Câu 9: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 , z5 , z6 nghiệm phức phương trình z + 2016 z + 2017 z + 2018 z + 2017 z + 2016 z + = 2 2 2 Tính T = ( z1 + 1) ( z2 + 1) ( z3 + 1) ( z4 + 1) ( z5 + 1) ( z6 + 1) A T = 20182 B T = 2017 C T = 20162 D T = 20142  z −1  Câu 10: Kí hiệu z1 , z2 , z3 , z4 nghiệm phương trình  ÷ = Tính giá trị biểu thức  2z − i  T = ( z12 + 1) ( z22 + 1) ( z32 + 1) ( z42 + 1) A T = −6375 C T = − B T = 6375 17 D T = 17 Câu 11: Cho số phức z = a + bi ( a, b ∈ ¡ , a > ) có z = Kí hiệu a0 phần thực biểu thức a0 + a z − z + z Giá trị nhỏ A –4 B –1 C D Câu 12: Cho số thực z thỏa mãn z = ( i + ) z + ( i − ) Phần thực số phức z A 12 B − C D HƯỚNG DẪN GIẢI Dạng 1: Giải phương trình, tính tốn biểu thức nghiệm 1- C 2- A 3- C 4- B 5- A 6- D 7- C 8- A 9- A 10- B 11- C 12- B 13- D 14- C 15- D 16- A 17- D 18- B 19- D 20-B 5- C 6- A 7- A 8- A 7- B 8- D 9- D 10- D Dạng 2: Định lí Vi – ét ứng dụng 1-B 2- C 3- A 4- A Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai 1- B 2- C 11- B 12- B 3- D 4- A 5- B 6- C Trang 15 ... Dạng 3: Phương trình quy phương trình bậc hai Phương pháp giải • • Ví dụ: Giải phương trình: z − z − = tập Nắm vững cách giải phương trình bậc hai số phức Hướng dẫn giải với hệ số thực tập số phức... Nếu ∆ < phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1 = −b + i ∆ 2a ; x2 = −b − i ∆ 2a Hệ thức Vi-ét phương trình bậc hai với hệ số thực Phương trình bậc hai ax + bx + c = ( a ≠ 0) có hai nghiệm... nghiệm hệ phương trình cho ta bậc hai w Chú ý: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Xét phương trình az + bz + c = ( a, b, c ∈ ¡ ; a ≠ ) Ta có ∆ = b − 4ac • • Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm