BÀI 3 PHƯƠNG SAI, độ LỆCH CHUẨN

BÀI PHƯƠNG SAI, ĐỘ LỆCH CHUẨN MỤC TIÊU Kiến thức - Nắm khái niệm phương sai, độ lệch chuẩn - Hiểu ý nghĩa phương sai, độ lệch chuẩn - Nắm cơng thức tính phương sai, độ lệch chuẩn Kỹ - Giải thành thạo toán phương sai, độ lệch chuẩn - Vận dụng kiến thức để giải toán thống kê thực tế I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương sai  n x  n x  n4 xk  n 1 2 Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất Giá trị trung bình x  n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  s2  2 N  f1  x1  x   f2  x2  x   fk  xk  x  2 nn , f j tần số, tần suất giá trị xi ; N số số liệu thống kê: N  n1  n2  nk Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp s2  2 1 n1  c1  x   n2  c2  x   nk  ck  x    N   f1  c1  x   f2  c2  x   fk  ck  x  2 ci , ni ; fi giá trị đại diện lớp thứ i ; N số số liệu thống kê: N  n1  n2  nk | Độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn tính cơng thức s  s2 Chú ý - Khi hai dãy số liệu thống kê có đơn vị đo có số trung bình cộng xấp xi nhau, phương sai nhỏ mức độ phân tán (so với trung bình cộng) số liệu bé - Phương sai độ lệch chuẩn dùng để đánh giá mức độ phân tán số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) Nhưng cần ý đến đơn vị đo ta dùng s s có đơn vị đo với dấu hiệu nghiên cứu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính phương sai, độ lệch chuẩn bảng số liệu Phương pháp giải Bước Tính giá trị trung bình mẫu số liệu Bước Tùy trường hợp ta áp dụng công thức tính phương sai +) Độ lệch chuẩn tính cơng thức s  s2 Ví dụ: Kết kiểm tra mơn tốn 24 học sinh cho mẫu số liệu sau: Trang Tính phương sai độ lệch chuẩn mẫu số liệu Hướng dẫn giải x  x  xn 149,5 +) Ta có giá trị trung bình mẫu số liệu x    6,2 N 24 +) Phương sai mẫu số liệu s x   x    x2  x    xn  x  2 N (2  6,2)  (4  6,2)2  (7  6,2)2 24  3,8  +) Độ lệch chuẩn s  s2  3,8  1,95 s  s2  3,8  1,95 Ví dụ mẫu Ví dụ Kết thống kê điểm mơn Tốn 30 học sinh cho bảng sau: Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải +) Ta có giá trị trung bình mẫu số liệu x  x  xn 166,5 x   5,55 N 30 +) Phương sai bảng số liệu s x   x    x2  x    xn  x  2 N (9  5,55)2  (8,5  5,55)2  (5,5  5,55)2  (5,5  5,55)2 30  5,2  +) Độ lệch chuẩn s  s2  5,2  2,3 Ví dụ Sản lượng lúa (tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng tần số sau: a) Tính sản lượng trung bình 40 ruộng b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Trang Hướng dẫn giải a) Ta có sản lượng trung bình mẫu số liệu x  n  x  n  xk  nk x 1 2 N 20.5  21.8  22.11  23.10  24.6  40 884   22,1 40 n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  2 b) Phương sai mẫu số liệu s  2 N 5.(20  22,1)  8.(21  22,1)  11.(22  22,1)  10.(23  22,1)2  6.(24  22,1)2  40  1,54 2 +) Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: s  s2  1,54  1,24 Ví dụ Có 100 học sinh dự thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20 ) Kết sau: a) Tính số trung bình b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải x  n  x  n  xk  nk 1523 a) Ta có số trung bình x  1 2   15,23 n 100 b) Phương sai n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  2 s  2 N 1.(9  15,23)  1.(10  15,23)2  2.(19  15,23)2  100  3,96 +) Độ lệch chuẩn s  s2  3,96  1,99 Bài tập tự luyện dạng Câu Chọn câu bốn phương án sau Độ lệch chuẩn là: A Bình phương phương sai B Một nửa phương sai C Căn bậc hai phương sai D Hiệu số trung bình số trung vị Câu Theo dõi thời gian làm tốn (tính phút) 40 học sinh, giáo viên lập bảng sau: a) Mốt dấu hiệu A B 9; 10 b) Tần số giá trị sau đây? A B C 8; 11 D 12 C 10 D Trang c) Số trung bình mẫu số liệu gần với số nhất? A B C D d) Phương sai mẫu số liệu gần với số nhất? A B 12 C 40 D Câu Giá bán (đơn vị: nghìn đồng) 60 mặt hàng cửa hàng thống kê bảng sau: a) Số trung bình bảng số liệu A 70    B 80 C 90 D 85 b) Độ lệch chuẩn bảng số liệu gần với số nhất? A 13    B 15 C 16 D 10 Câu Một cửa hàng ăn ghi lại số tiền (nghìn đồng) mà khách hàng trả cho cửa hàng Các số liệu trình bày bảng sau: a) Tính số trung bình b) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu Tiền lương hàng tháng 30 công nhân xưởng may cho bảng sau a) Mốt mẫu số liệu bao nhiêu? b) Tính số trung bình c) Tìm phương sai, độ lệch chuẩn ĐÁP ÁN 1-C 2a -C 2b -B 2c - C 2d -A 3a -A 3b -D Trang HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN Câu Lập bảng giá trị đại diện lớp Lớp [0 ; 100) Tần số 25 Giá trị đại diện 50 [100 ; 200) 70 150 [200 ; 300) 60 250 [300 ; 400) 30 350 [400 ; 500] 15 450 N = 200 n1  c1  n2  c2  nk  ck N 25.50  70.150  60.250  30.350  15.450  200  220 a) Số trung bình mẫu số liệu: x  b) Phương sai n  c  x   n2  c2  x   nk  ck  x  s  1 N 25.(50  220)  70.(150  220)  15.(450  220)  200  20000 2 2 Suy độ lệch chuẩn s  s  20000  141, Câu a) Mốt mẫu số liệu là: 700; 900 300.3  500.5  1000.5  733 b) Số trung bình x  30 n  x  x   n2  x2  x   nk  xk  x  c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s  1 N Net ta tính phương sai s  46222 Suy độ lệch chuẩn s  214 2 2 Dạng Dạng toán tổng hợp Ví dụ mẫu Ví dụ Điểm số 30 lần bắn xạ thủ A (mỗi lần bắn viên đạn) cho bảng: a) Hãy lập bảng phân bố tần số bảng phân bố tần suất số liệu thống kê b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị mốt c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải Trang a) Ta có bảng phân bố tần số, tần suất mẫu số liệu x1  n1  x2 n2  xk  nk  8,2 N +) Kích thước mẫu 30 nên số trung vị trung bình cộng hai giá trị vị trí 15 16 : x x M0  15 16  +) Giá trị có tần số lớn Vậy mốt M0  b) Số trung bình x  n1  x1  x   n2  x2  x   nk  xk  x  2 c) Phương sai s  N  1,5 +) Độ lệch chuẩn s  s2  1,2 Ví dụ Cho số liệu thống kê ghi bảng sau: Thời gian (phút) từ nhà đến trường bạn A 35 ngày a) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp, với lớp: 19, 21 ; 21, 23 ; 23, 25 ; 25, 27 ; 27; 29  b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị mốt c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp: Trang b) Giá trị trung bình bảng c n  c  n  ck  nk 20.5  22.9  28.4 832 x 1 2    23,8 N 35 35 +) Bảng có kích thước 35 nên số trung vị Me  x18  23 +) Giá trị có tần số lớn 23 Vậy mốt M0  23 n1  c1  x   n2  c2  x   nk  ck  x  2 c) Phương sai s  2  5,9 N +) Độ lệch chuẩn s  s2  5,9  2,4 Ví dụ Cho bảng số liệu thống kê thời gian (phút) hồn thành tập tốn học sinh lớp 10 a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp với lớp sau: 19,5; 20,5 , 20,5; 21,5 ,  21,5; 22,5  , 22,5; 23,5 , 23,5; 24,5 , 24,5; 25,5 b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp b) Giá trị trung bình x  c1n1  c2 n2  ck  nk 894   22,35 N 40 Vì kích thước mẫu 40 nên số trung vị Me  n1  c1  x   n2  c2  x   nk  ck  x  c) Phuong sai s2  x20  x21  22,35 2 N  2,3 Trang Độ lệch chuẩn s  s2  2,3  1,5 Bài tập tự luyện dạng Câu Cho bảng phân bố tần số ghép lớp cân nặng học sinh lớp 10A 10B trường THPT C a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp bảng b) Tính số trung bình cộng, phương sai độ lệch chuẩn bảng c) Học sinh lớp 10A hay lớp 10B có cân nặng trung bình lớn hơn? Câu Để điều tra chiều cao học sinh nữ lớp 10 trường THPT người ta đo chiều cao 30 học sinh nữ thu mẫu số liệu sau (cm) a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp gồm lớp sau: 150, 152  ; 152, 154  ; 158, 160  , 160, 162  , 162, 164  , 164,166  b) Tính giá trị trung bình c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu Số cuộn phim mà 40 nhà nhiếp ảnh nghiệp dư sử dụng tháng thống kê bảng sau a) Với lớp 0; 3 , 4; 7 , 8; 11 , 12, 15 , 16; 17 , lập bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp b) Tính giá trị trung bình, tìm số trung vị c) Tính phương sai độ lệch chuẩn Câu Hai xạ thủ tập bắn, người bắn 30 viên đạn vào bia Kết ghi lại bảng sau: Điểm số xạ thủ A Điểm số xạ thủ B Trang a) Lập bảng phân bố tần số, tần suất số liệu thống kê hai bảng b) Tính số trung bình, số trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn số liệu thống kê hai bảng c) Xét xem lần tập bắn này, xạ thủ bắn chậm hơn? Câu Hai lớp 10C, 10D trường THPT đồng thời làm thi môn Văn theo đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố sau đây: Điểm thi Văn lớp 10C Điểm thi Văn lớp 10D a) Tính số trung bình cộng, trung vị, mốt, phương sai độ lệch chuẩn hai bảng b) Xét xem kết làm thi môn Văn lớp đồng hơn? ĐÁP ÁN Câu a) Bảng phân bố tần suất ghép lớp Lớp cân nặng (kg) Tần số Tần suất 10A 10B 10A 10B [30,36) 2,63 4,35 [36,42) 5,26 15,22 [42,48) 12 13,16 26,08 [48,54) 15 13 39,48 28,26 [54,60) 23,68 15,22 [60,66] 15,79 10,87 N = 38 N = 36 100% 100% b) +) Số trung bình cộng: nc n c n c n c n c n c x 11 2 3 4 5 6 n 1.33  2.39  5.45  15.51  9.57  6.63   52, 38 nc n c n c n c n c n c y 11 2 4 5 6 n 2.33  7.39  12.45  13.51  7.57  5.63   49 46 +) Phương sai: Áp dụng cơng thức tính phương sai: Trang n  c  x   n2  c2  x   nk  ck  x   n5  c5  x   n6  c6  x  s  1 n Ta tính phương sai cân nặng học sinh lớp 10A lớp 10B sx2  50, 41; sy2  62, 41 2 2 2 Suy độ lệch chuẩn: sx  sx2  50, 41  7,1; s y  s y2  62, 41  7,9 c) Ta thấy x  y , nên học sinh lớp 10A có cân nặng trung bình lớn lớp 10B Câu a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Lớp Tần số (n) ( chiều cao học sinh) [150 ; 152) Tần suất (%) 16,7 [152 ; 154) 13,3 [154 ; 156) 3,3 [156 ; 158) 13,3 [158 ; 160) 10 [160 ; 162) 16,7 [162,164) 13,3 [162,164) 13,3 N = 30 100% b) Bảng giá trị đại diện tương ứng Lớp Tần số (n) ( chiều cao học sinh) [150;152) Tần suất (%) Giá trị đại diện 16,7 151 [152;154) 13,3 153 [154 ; 156) 3,3 155 [156 ; 158) 13,3 157 [158 ; 160) 10 159 [160 ; 162) 16,7 161 [162 ; 164) 13,3 163 [164 ; 166] 13,3 165 N = 30 100% 151.5  153.4  165.4 4744   158 30 30 x x 158  159  158,5 Do N = 30 nên số trung vị M e  15 16  2 c) Phương sai - Khi số trung bình x  n  c  x   n2  c2  x   n8  c8  x  702 s  1   23, 30 30 Suy độ lệch chuẩn s  4,84 2 Câu a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Trang 10 Lớp ( số cuộn phim) 0;3  4;7 8;11 12;15 16;17 b) Số trung bình x  Tần số (n) 11 Tần suất (%) 27,5 Giá trị đại diện 1,5 14 35 5,5 22,5 9,5 10 10 13,5 16,5 N = 40 100% 1,5.11  5,5.14  16,5.2  6, 65 40 n  c  x   n2  c2  x   nk  ck  x  c) Áp dụng cơng thức tính phương sai: s  1 N phương sai s  26 Suy độ lệch chuẩn s  Câu a) Bảng phân bố tần số, tần suất: Điểm số Tần số Tần suất Điểm số Tần số 13,3 10,0 8 26,7 9 30,0 10 20,0 9 10 Cộng N = 30 100% Cộng N = 30 2 2 , ta tính Tần suất 3,3 6,7 13,4 23,3 30,0 23,3 100% +) Số trung bình cộng: n x n x n x n x n x 4.6  3.7  8.8  9.9  6.10 xA  1 2 3 4 5   8,33 n 30 n x n x n x n x n x n x 1.5  2.6  4.7  7.8  9.9  7.10 xB  1 2 3 4 5 6   8.4 n 30 89  8,5; M e ( B)  +) Số trung vi: M e ( A)  +) Mốt: M0 ( A)  9; M0 (B)  +) Phương sai: n  x  x   n2  x2  x   n3  x3  x   n4  x4  x   n5  x5  x  s ( A)  1 n 2 2 2 x  4(6  8,3)2  3(7  8,3)2  8(8  8,3)2  9(9  8,3)2  6(10  8,3)  1,61 30 n  x  x   n2  x2  x   n3  x3  x   n4  x4  x   n5  x5  x   n6  x6  x  s ( B)  1 n 2 2 2 x Trang 11 1(5  8, 4)2  2(6  8, 4)2  4(7  8, 4)2  7(8  8, 4)2  9(9  8, 4)2  7(10  8, 4)2  1,77 30 +) Độ lệch chuẩn: sx ( A)  1,27; sx (B)  1,33  c) Do xA  xB ; sx2 ( A)  sx2 (B) nên lần bắn này, xạ thủ A bắn chậm xạ thủ B Câu a) Số trung bình cộng: n x n x n x n x n x n x 5.5  7.6  12.7  14.8  3.9  4.10 x 1 2 3 4 6   7,3 n 45 n x n x n x n x 9.6  18.7  12.8  6.9 y 1 2 3 4   7,3 n 45 +) Số trung vị: Me (10C)  7; Me (10D)  +) Mốt: M0 (10C)  8; M0 (10D)  +) Phương sai: n  x  x   n2  x2  x   n3  x3  x   n4  x4  x   n5  x5  x   n6  x6  x  s  1 n 2 2 2 x 5(5  7,3)2  7(6  7,3)2  12(7  7,3)2  14(8  7,3)2  3(9  7,3)2  4(10  7,3)2   1,87 45 n  x  x   n2  x2  x   n3  x3  x   n4  x4  x  s  1 n 2 2 y  9(6  7,3)2  18(7  7,3)2  12(8  7,3)2  6(9  7,3)2  0,89 45 +) Độ lệch chuẩn: sx  1,87  1,37; sy  0,89  0,94 b) Vì x  y  7.3: sx2  sy2 nên điểm số thi lớp 10D đồng Trang 12 ... [152;154) 13, 3 1 53 [154 ; 156) 3, 3 155 [156 ; 158) 13, 3 157 [158 ; 160) 10 159 [160 ; 162) 16,7 161 [162 ; 164) 13, 3 1 63 [164 ; 166] 13, 3 165 N = 30 100% 151.5  1 53. 4  165.4 4744   158 30 30 x... 1.(9  15, 23)  1.(10  15, 23) 2  2.(19  15, 23) 2  100  3, 96 +) Độ lệch chuẩn s  s2  3, 96  1,99 Bài tập tự luyện dạng Câu Chọn câu bốn phương án sau Độ lệch chuẩn là: A Bình phương phương... 30 100% Cộng N = 30 2 2 , ta tính Tần suất 3, 3 6,7 13, 4 23, 3 30 ,0 23, 3 100% +) Số trung bình cộng: n x n x n x n x n x 4.6  3. 7  8.8  9.9  6.10 xA  1 2 3 4 5   8 ,33 n 30 n x n x n