Thông tin tài liệu
BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG MỤC TIÊU: Kiến thức: - Nắm vững khái niệm vectơ phương đường thẳng, góc hai đường thẳng, góc đường thẳng mặt phẳng - Trình bày vận dụng cơng thức tính khoảng cách, góc - Trình bày cách viết phương trình tham số đường thẳng - Trình bày vị trí tương đối hai đường thẳng, đường thẳng mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu Vận dụng cơng thức để xét vị trí tương đối hai đường thẳng; đường thẳng với mặt phẳng đường thẳng với mặt cầu Kỹ năng: - Biết cách viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng - Biết cách tính khoảng cách, tỉnh góc - Biết cách xét vị trí tương đối hai đường thẳng, vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng vị trí tương đối đường thẳng với mặt cầu I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Cho đường thẳng Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng giá song song trùng với Cho đường thẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u (a; b; c) Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng có dạng x x0 at (1) y y0 bt , t z z ct Phương trình tắc Nếu a, b, c phương trình tắc đường thẳng có dạng x x0 y y0 z z0 (2) a b c Chú ý: • Nếu u vectơ phương k.u (k 0) vectơ phương • Nếu đường thẳng qua hai điểm A, B AB vectơ phương Cho đường thẳng có phương trình (1) • u (a; b; c) vectơ phương • Với điểm M A M x0 at ; y0 bt ; z0 ct t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng qua M ,có vectơ phương u điểm M Khi để tính khoảng cách từ M đến ta có cách sau: Trang Cách 1: Sử dụng công thức d[M , d ] | [ MM , u ] | |u | Cách 2: +) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với +) Tìm giao điểm H (P) với +) Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Cách 3: +) Gọi N d , suy tọa độ N theo tham số t +) Tính MN theo t +) Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai |Khoảng cách hai đường thẳng chéo Cho hai đường thẳng chéo qua M có vectơ phương u ' qua M 0' có vectơ phương u ' Khi khoảng cách hai đường thẳng ' tính theo cách sau: Cách 1: Sử dụng cơng thức d , u , u M M 0 | u , u ∣ Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa qua song song với ' Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm ' đến P Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng x x0 y y0 z z0 qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ a b c x x0 y y0 z z0 phương u1 (a; b; c) d : qua a b c Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương u2 a ; b ; c Để xét vị trí tương đối d1 d ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học a1 a2 a3 u1 / / u2 +) d1 trùng d b1 b2 b3 M1 d2 M d a1 a2 a3 [u1 , u2 ] u1‖ u2 +) d1 ll d b1 b2 b3 M1 d M d [u1 , M1M ] u1 , u2 +) d1 cắt d u1 , u2 M 1M +) d1 chéo d u1 , u2 M1M Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng Trang x x0 at ( ) : Ax By Cz D có vecto pháp tuyến na ( A; B; C ) đường thẳng d : y y0 bt z z ct qua M x0 ; y0 ; z0 có vecto phương ud (a; b; c) Để xét vị trí tương đối d a , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học u na * Nếu d d ( ) M x ; y ; z ( ) 0 u na * Nếu d d / /( ) M x0 ; y0 ; z0 ( ) * Nếu ud na phương ud k na với k d ( ) * Nếu ud na 0; ud na khơng phương d cắt a Vị trí tương đối đường thảng mặt cầu Trong không gian 0xyz, cho mặt phẳng mặt cầu có phương trình x x0 at d : y y0 bt , t (S ) : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 z z ct Để xét vị trí tương đối d a , ta sử dụng phương pháp sau: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I S đến d Bước 2: + Nếu d( I , d ) R d khơng cắt S + Nếu d( I , d ) R d tiếp xúc S + Nếu d( I , d ) R d cắt S Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trị tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp hệ vô nghiệm + Nếu u1 ; u2 phương d1 ll d + Nếu u1 ; u2 khơng phương d1 , d chéo Phương pháp đại số: Xét hệ phương trình x x0 at 1 (2) y y0 bt 3 z z0 ct Ax By Cz D (4) Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A x0 at B y0 bt C z0 ct D (*) +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d / /( ) +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt a +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d ( ) Trang Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng (a) ta giải phương trình (*), sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm (x,y,z) Phương pháp đại số Thay x, y, z từ phương trình tham số d vào phương trình (S), ta phương trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm (d) (s) theo số nghiệm phương trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t, sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm (x,y,z) Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d2 có vectơ pháp tuyến u1 , u2 Góc d1 d bù với góc u1 , u2 Ta có: cos d1 , d | cos(u1 u2 ) | | u1 u2 | | u1 | | u2 | Góc đường thẳng mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ phương ud mặt phẳng ( a ) có vectơ pháp tuyến na Góc đường thẳng d mặt phẳng (a) góc đường thẳng d với hình chiếu d ' (a) Ta có: sin(d , ( )) | cos(ud , n ) | | ud na | | ud | | na | Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng góc nhọn SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn Xác định vectơ phương đường thẳng Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ vectơ phương đường thẳng có x 1 y z phương trình ? A a 3; ;1 B a (9;2; 3) C a (3;2;1) D a 3; ;1 Hướng dẫn giải x 1 3y z x 1 y z Ta có 3 Vậy vectơ phương đường thẳng a (9;2; 3) Trang Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng vng góc với mặt phẳng (a) có phương trình x + 2z+ = Một vectơ phương là: A a(1;0;2) B b (2; 1;0) C v (1; 2;3) D u (2;0; 1) Hướng dẫn giải Vì vng góc với mặt phẳng (a) nên vectơ phương vectơ pháp tuyến mặt phẳng (a) Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho OA 2i j 5k ; OB 2 j 4k Tìm vectơ phương đường thẳng AB A u (2;5; 1) B u (2;3; 5) C u (2; 5; 1) D u (2;5; 9) Hướng dẫn giải Ta có OA 2i j 5k A(2;3; 5) OB 2 j 4k B(0; 2; 4) Suy AB (2; 5;1) Suy đường thẳng AB có vectơ phương u (2;5; 1) Chọn A Bài tốn Viết phương trình đường thẳng tìm vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải • Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương a ; a2 ; a3 có phương trình tham x x0 a1t số y y0 a2t (t ) z z a t • Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB • Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với đường thẳng cho trước: Vì d // nên vectơ phương vectơ phương d • Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 vng góc với mặt phẳng (P) cho trước: Vì d (P) nên vectơ pháp tuyến (P) vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) Cách 1: Tìm điểm vectơ phương - Tìm toạ độ điểm A d cách giải hệ phương trình mặt phẳng (P), (Q) với việc chọn giá trị cho ẩn - Tìm vectơ phương d : a n p , nQ Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm • Đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 vng góc với hai đường thẳng d1 , d2 Vì d d1 , d d2 nên vectơ phương d là: u ud1 , ud2 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(2;-1;3) có vectơ phương u (1;2; 4) Trang x 1 y z x 1 y z B 1 1 x y 1 z x y 1 z C D 4 4 Hướng dẫn giải Phương trình tắc đường thẳng qua điểm M(2;-1;3) có vectơ phương u (1;2; 4) A x y 1 z 4 Chọn D Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(1;2;3) mặt phẳng (P) có phương trình 3x y z Đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (P) có phương trình x t A y 4 2t (t ) z 3t x 3t C y 4t (t ) z 7t Hướng dẫn giải x 3t B y 4t (t ) z 7t x 4t D y 3t (t ) z 7t Gọi u vectơ phương đường thẳng ( ) thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) : n p (3; 4;7) ( P) u n p (3; 4;7) Vì nên phương trình tham số A(1; 2;3) () A x 3t y 4t , (t ) z 7t Chọn B Ví dụ Cho điểm A(1;2;3) hai mặt phẳng P : x y z 0, Q : x y z Phương trình đường thẳng d qua A song song với (P) (Q) x 1 y z x 1 y A B 1 4 x 1 y z x 1 y C D 2 Hướng dẫn giải z 3 6 z 3 6 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n( P ) (2; 2;1) Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n(Q ) (2; 1;2) Đường thẳng d có vectơ phương ud Do đường thẳng d song song với (P) (Q) nên ud n( P ) ud [n P , nQ ] (5; 2; 6) u n (Q) d Trang Suy đường thẳng d qua A(1;2;3) có vectơ phương ud (5; 2; 6) Phương trình tắc d x 1 y z 2 6 Chọn D Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;4;-1), B (2;4;3), C (2;2;-1) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm A song song với BC x x A y t B y t z 1 2t z 2t x x C y t D y t z 1 2t z 1 2t Hướng dẫn giải Gọi đường thẳng qua điểm A song song với BC Ta có BC (0; 2; 4) Do song song với BC nên vectơ phương u (0;1;2) x Vậy phương trình tham số đường thẳng y t z 1 2t Chọn A Ví dụ Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng x z x y z có phương trình x y 1 z x y 1 z A B 1 1 x y 1 z x y 1 z C D 1 1 1 Hướng dẫn giải Mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n1 (1;0;1) Mặt phẳng Q có vectơ pháp tuyến n2 (1; 2; 1) Ta có n1 , n2 (2; 2; 2) Gọi u vectơ phương u n1 u n2 Suy u phương với [ n1 , n2 ] Chọn u (1;1; 1) Lấy M (2;1;3) thuộc mặt phẳng P Q Đường thẳng qua M (2;1;3) có vectơ phương u (1;1; 1) Vậy phương trình là: x y 1 z 1 1 Chọn C Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A (2;1;-1), B (-2;3;1) C (0;-1; 3) Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) Phương trình đường thẳng d Trang x 1 y 1 z 1 x y2 z C 2 1 Hướng dẫn giải A x 1 y z 1 x 1 y z D 1 B Ta có AB (4; 2; 2) AB 16 AC (2; 2; 4) AC 16 BC (2; 4; 2) BC 16 Vậy tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G 0;1;1 Ta có [ AB, AC ] (12;12;12) 12(1;1;1) Đường thẳng d qua G 0;1;1 có vectơ phương phương với [ AB, AC ] chọn u (1;1;1) x t Phương trình đường thẳng d y t z 1 t Với t = -1, ta có điểm A(1;0;0) d Vậy đường thẳng d qua A(-1;0;0) có vectơ phượng u (1;1;1) Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm M (1;2;3), N (3;4;5) mặt phẳng P : x y 3z 14 Gọi đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng (P), điểm H, K hình chiếu vng góc M, N Biết MH = NK trung điểm HK ln thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d x t x t A y 13 2t B y 13 2t z 4 t z 4 t x t x C y 13 2t D y 13 2t z 4 t z 4 t Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm HK Do MH = NK nên HMI KNI IM IN Khi I thuộc mặt phẳng (Q) mặt phẳng trung trực đoạn MN Ta có (Q) qua trung điểm MN điểm J (2;3;4) nhận n MN (1;1;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình Q : x y z x y z Mà I ( P) Suy I d ( P) (Q) : x y 3z 14 Tìm (0;13; 4) d vectơ phương d (1;-2;1) x t Vậy d : y 13 2t z 4 t Trang Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho điểm E (1;1;1), mặt cầu (S ) : x2 y z mặt phẳng P : x y 5z Gọi đường thẳng qua E, nằm (P) cắt (S) hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình tham số x 2t A y t B z 1 t x 2t C y t z 1 t x 4t y 3t z 1 t x 1 t D y t z 2t Hướng dẫn giải Gọi u (a; b; c) vectơ phương với a2 b2 c2 Ta có n p (1; 3;5) Vì ( P) nên u n p u n p a 3b 5c a 3b 5c (1) Mặt cầu S có tâm O(0;0;0) bán kính R = Gọi H hình chiếu vng góc O AB Ta có OAB tam giác cạnh R nên OH R Suy khoảng cách từ O đến đường thẳng OH Khi | [u , OE ] | |u | (a b) (b c) (c a) a b c (a b c)2 a b c (2) Thay (1) vào (2) ta được: 3b 5c b c b c a 2c Chọn c = -1 b = -1 a = Ta vectơ phương u (2; 1; 1) x 2t Vậy phương trình đường thẳng y t z 1 t Chọn C Bài toán Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Phương pháp giải • Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x0 ; y0 ; z0 vng góc cắt đường thẳng Trang 10 Suy d di ; d d N ; d1 ∣ [u1 , MN ] | | u1 | Ta có MN (0;1; 2),[u1 , MN ] ( 3; 4; 2) Suy (3)2 (4) 22 | [u1 , MN ] | | u1 | Vậy d di ; d 22 (1)2 174 174 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;1;0), B(2;1;1), C.(0;1;2), D(1;-1;1) Khoảng cách AB CD là: Hướng dẫn giải AB (1;0;1) Ta có [ AB, CD] (2; 2; 2) CD (1; 2; 1) Suy d( AB, CD) | [ AB, CD] AC | | [ AB, CD] | Chọn B x 1 y z điểm A(0;2;1) Viết phương trình đường thẳng d qua A, nằm (P) cho khoảng cách d d' đạt giá trị lớn x y z 1 x y z 1 A B 9 x y z 1 x y z 1 C D 7 7 9 Hướng dẫn giải Gọi d1 đường thẳng qua A song song với d' Ví dụ Cho phương trình mặt phẳng ( P) : x y z 0, đường thẳng d : x t Phương trình d1 là: y 2t z 1 t Trên đường thẳng d' lấy điểm B(1;0;0) Gọi (Q) mặt phẳng chứa d d1 Ta có d d , d d d , (Q) d( B, (Q)) Do d1 cố định d d , d d( B, (Q)) d B, d1 Đẳng thức xảy n(Q ) BH H hình chiếu B lên d1 5 2 Ta tìm H ; ; nên BH ; ; n(Q) (5; 2;1) 3 3 3 3 Ta có ud [n( ) ; n(Q ) ] (1;7; 9) Vậy phương trình đường thẳng d x y z 1 9 Chọn A Lưu ý: Vì đường thẳng d qua A nên ta loại đáp án cách thay tọa Trang 26 độ điểm A vào đáp án Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm P(a;b;c) Khoảng cách từ điểm P đến trục tọa độ Oy A a2 c2 D a c C b B b Câu 2: Trong không gian Oxyz, khoảng cách đường thẳng d : x 1 y z mặt phẳng 2 ( P) : x y z A 16 B C Câu 3: Trong không gian Oxyz, khoảng cách hai đường thẳng d1 : x y z 18 1 A 30 B 20 Bài tập nâng cao D x 7 y 5 z 9 1 d2 : C 25 D 15 Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) đường thẳng d : x 1 y z 2 1 Tìm vectơ phương u đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng nhỏ A u (2; 2; 1) B u (3; 4; 4) C u (2;1;6) D u (1;0;2) Câu 5: Phương trình đường thẳng d qua O vng góc với () : M(3;1;0) khoảng nhỏ x y z x y z A B 17 14 10 13 1-A 2-A 3-C 4-D C x y z 13 x 1 y 1 z cách điểm 1 D x y z 17 14 10 ĐÁP ÁN 5-D Dạng Vị trí tương đối Bài tốn Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp giải Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng có vectơ phương a a1 ; a2 ; a3 qua M x0 ; y0 ; z0 mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C) cắt ( ) a n Aa1 Ba2 Ca3 Aa Ba2 Ca3 a n () / /( ) Ax0 By0 Cz0 D M ( P) Trang 27 Aa Ba2 Ca3 a n () ( ) Ax0 By0 Cz0 D M ( P) () ( ) a n phương a1 : a2 : a3 A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng mặt phẳng ( a ) Ví dụ mẫu x 1 y z Ví dụ Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d : mặt phẳng 3 1 ( P) : 3x y z Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với P B d song song với P C d vuông góc với P D d nằm P Hướng dẫn giải Đường thẳng d nhận u (1; 3; 1) làm vectơ phương Mặt phẳng P nhận n (3; 3;2) làm vectơ pháp tuyến Do u n hai vectơ không phương nên đường thẳng d cắt khơng vng góc với P Chon A Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình x y 1 z 1 mặt phẳng ( P) : x my m2 1 z với m tham số thực Tìm m d: 1 1 cho đường thẳng d song song với mặt phẳng P A m Hướng dẫn giải Đường thẳng d có B m 1 m 1 C m D m vectơ phương u (1;1; 1) mặt phẳng P có vectơ pháp tuyến n 1; m; m 1 m 1 d / /( P) u n u n m m m m m Thử lại ta thấy với m = -2 d ( P) (loại) Vậy m = -1 Chọn B x 1 y z mặt phẳng ( ) : x y 2z 0, mệnh đề đúng? Ví dụ Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d : A d / /( ) B d ( ) C d cắt (a) d khơng vng góc với (a) D d ( ) Hướng dẫn giải x 2t Ta có d : y 4t , t z t Trang 28 (1) x 2t y 4t (2) Xét hệ phương trình: (3) z t x y z * Thay (1), (2), (3) vào (*) ta 2t (2 4t ) 2(3 t ) Phương trình có vơ số nghiệm Do đó, đường thẳng d nằm mặt phẳng a Chọn B Ví dụ Tọa độ giao điểm M đường thẳng d : ( P) : 3x y z là A (1;0;1) B (0;0;-2) Hướng dẫn giải Gọi M (4t 12;3t 9; t 1) d x 12 y z mặt phẳng C (1;1;6) D (12;9;1) Ta có M ( P) 3(4t 12) 5(3t 9) (t 1) t 3 Suy M (0;0;-2) Chọn B Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P) : x y z 1 0, (Q) : x y z x y 1 z 1 x y z 1 , 2 : 2 1 Đường thẳng song song với hai mặt phẳng (P), (Q) cắt 1 , 2 tương ứng H, K Độ dài đoạn HK hai đường thẳng 1 : 11 Hướng dẫn giải A B C D 11 Ta có u n p , nQ (1; 1; 3) Gọi H (2t;1 t; 1 2t ); K (m;2 m;1 2m) HK (m 2t;1 m t; 2m 2t ) Vì song song với mặt phẳng (P), (Q) nên HK ku nên m 2t m t 2m 2t 1 11 3 Tính m ; t Suy HK 7 Chọn A Ví dụ Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : m2 m x m 1 y (m 2) z m m chứa đường thẳng cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến là? Hướng dẫn giải Ta có: m2 m x m2 1 y (m 2) z m m 0, m Trang 29 2 x y 2 x y y z 2 x z x z 2 x y 4 x y z t x Vậy (P) chứa đường thẳng cố định: y t z t Đường thẳng qua A ; 0; có vectơ phương u ;1;1 OA, u Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến là: d (O; ) ∣ u ∣ Chọn C Bài tốn Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp giải x x0 y y0 z z0 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ a b c x x0 y y0 z z0 phương u1 (a; b; c) d : qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ phương a b c u2 a ; b ; c Để xét vị trí tương đối d1 d ta sử dụng phương pháp sau: a1 a2 a3 u1 / / u2 b1 b2 b3 +) d1 trùng d M1 d2 M1 d2 a1 a2 a3 u1 / / u2 [u1 , u2 ] b1 b2 b3 +) d1 / / d M d [ u , M M ] M d 1 [u , u ] +) d1 cắt d [u1 , u2 ].M1M +) d1 chéo d [u1 , u2 ].M 1M Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 1 y z x3 y9 z 2 d : d1 : (m 0) m Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 / / d2 có số phần tử là: A Hướng dẫn giải B C D Đường thẳng d1 qua A(1;-1;2) có vectơ phương u1 (1; 2;1) Đường thẳng d qua B (-3;-9;-2) có vectơ phương u2 4;8; m2 Trang 30 Đường thẳng d1 / / d2 u1 phương với u hai đường thẳng d1 d không trùng 3 9 2 Vì nên B nằm đường thẳng d1 Do hai đường thẳng ln có điểm chung B nên hai đường thẳng khơng thể song song Chọn B Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng x 2t x 1 t d : y 3t d : y 2 t z 3t z t Tìm tọa độ giao điểm M d d' A M 0; 1; B M 1;0; C M 4;0; 1 D M 0; 4; 1 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm M d d' ứng với t t ' nghiệm hệ phương trình: 1 t 2t t 2t t 1 2 3t 2 t 3t t 4 t 3 t 3t t 3t Vậy M 0; 1; Chọn A Ví dụ Trong khơng gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng x 1 y z x 3 y 3 z 1 : , 2 : 2 1 2 A 1 song song với 2 B 1 chéo với 2 C 1 cắt 2 D 1 trùng với 2 Hướng dẫn giải 2 Vì nên vectơ phương u1 (2; 2;3) đường thẳng 1 không phương với vectơ 1 2 phương u2 (1; 2;1) 2 Suy 1 chéo với 2 1 cắt 2 Lấy M (1; 1;0) 1 , N (3;3; 2) 2 Ta có MN (2; 4; 2) Khi u1; u2 MN Suy u1 , u2 , MN đồng phẳng Vậy 1 cắt 2 Chọn C Bài toán Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp giải x x0 a1t (1) Cho đường thẳng d : y y0 a2t (2) mặt cầu (S ) : ( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 R2 có tâm z z a t (3) I a; b; c , bán kính R Trang 31 Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu S đến đường thẳng d ∣ IM a ] | |a| Bước 2: So sánh d(l , d ) với bán kính R mặt cầu : h d (I , d ) • Nếu d(l , d ) R d khơng cắt S • Nếu d(l , d ) R d tiếp xúc S • Nếu d(l , d ) R d cắt S hai điểm phân biệt M, N MN vng góc với đường kính( bán kính ) mặt cầu S Phương pháp đại số Thế (1) , (2) , (3) vào phương trình S rút gọn phương trình bậc hai theo t (*) • Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d khơng cắt S • Nếu phương trình (*) có nghiệm d tiếp xúc S • Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d cắt S hai điểm phân biệt M , N Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S ) : x2 y ( z 2)2 25 đường thẳng d có phương trình Chứng minh d cắt (S) hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Mặt cầu S có tâm I (0;0;-2) bán kính R = Đường thẳng d qua M(-2;2;-3) có vectơ phương u (2;3; 2) Ta có h d(l , d ) | [ IM , u ] | 3 |u | Vì h R nên d cắt mặt cầu S hai điểm phân biệt Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, mặt cầu (S): x2 y ( z 2)2 17 cắt trục Oz hai điểm A, B Tính độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải : Gọi M giao điểm S với trục 0z Ta có M Oz nên M 0; 0; t Mà M (S ) nên 02 02 (t 2)2 17 t 2 17 (t 2)2 17 | t | 17 t 2 17 Suy tọa độ giao điểm là: A(0;0; 2 17) B(0;0; 2 17) AB 17 Ví dụ mẫu Ví dụ Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;0;-2) đường thẳng có phương trình x2 y2 z 3 Phương trình mặt cầu tâm A, cắt hai điểm B C cho BC = A ( x 2)2 ( y 3)2 ( z 1)2 16 B x2 y ( z 2)2 25 Trang 32 C ( x 2)2 y z 25 D x2 y ( z 2)2 16 Hướng dẫn giải Gọi (S) cầu tâm A(0;0;-2) có bán kính R Đường thẳng qua M (-2;2;-3) có vectơ phương u (2;3; 2) Gọi H trung điểm BC nên AH BC Ta có AH d ( A, ) MA.u |u | MA (2; 2;1) (7) (2) 102 3 Với [ MA.u ] (7; 2;10) AH 22 32 22 u (2;3; 2) Bán kính mặt cầu (S) là: R AB AH HB 32 42 Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 y ( z 2)2 25 Chọn B Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 điểm M(1;3;-1) Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho ln thuộc đường trịn (C) có tâm J(a;b;c) Giá trị 2a + b + c 134 116 84 62 A B C D 25 25 25 25 Hướng dẫn giải Ta có mặt cầu (S) có tâm I(1;-1;2) bán kính R = Khi IM R M nằm ngồi mặt cầu x Phương trình đường thẳng MI x 1 4t z 3t Trang 33 Tâm J a; b; c nằm MI nên J (1; 1 4t;2 3t ) Xét MHI vng H có MI 5; IH MH MI HI M (1;3; 1) MJ (4 4t ) (3 3t ) Mặt khác J (1; t ; t ) 16 MJ MI MH MJ 256 (4 4t ) (3 3t ) 25 139 73 11 23 Suy J 1, ; J 1; ; 25 25 25 25 11 23 +) Với J 1; ; IJ IM ( nhận) 25 25 41 139 73 +) Với J 1; ; IM ( loại) IJ 25 25 84 11 23 Vậy J 1; ; nên 2a b c 25 25 25 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình 14 x4 y4 z4 đường thẳng d có phương trình Gọi ( x 1) ( y 2) ( z 3) 3 2 A x0 ; y0 ; z0 , x0 điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có tiếp điểm B, C, D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P x0 y0 z0 A Hướng dẫn giải B 16 C 12 D Gọi I tâm mặt cầu I (1;2;3) Gọi O giao điểm mặt phẳng (BCD) đoạn AI Vì theo giá thiết AB = AC = AD IB IC ID 14 nên AI vng góc với mặt phẳng (BCD) O Khi O tâm đường tròn ngoại tiếp BCD Đặt AI x( x 14 ) Trang 34 Ta có AB AI IB x 14 14 14 14 IB IO IA OI OB IB I 02 3x 3x 2 BD2 OB2 OD2 2OB OD cos120 3OB2 14 196 BD 3OB BD 3OB 9x Do ABCD tứ diện nên AB BD x 14 14 196 14 196 x 14 3 3x 9x 14 x x 14 3x 56 x 196 x 14 A d nên A(4 3t;4 2t;4 t ) Suy AI 14 (4 3t 1) (4 2t 2) (4 t 3) 14 t A(4; 4; 4) | t 1| t 2 A(2;0; 2) Do x0 nên điểm A có tọa độ A(4;4;4) Suy P = 12 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O) cho 1 1 Biết mặt phẳng PQR tiếp xúc với mặt (S) cố định 2 OP OQ OR 1 Đường thẳng (d) thay đổi qua M ; cắt (S) hai điểm A, B phân biệt Diện 2 ;0 tích lớn AOB A 15 Hướng dẫn giải B C 17 D Gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (PQR) 1 1 1 Dễ thấy OH 2 2 2 OH OP OQ OR OH Khi (PQR) ln tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính R 2 Trang 35 R nên điểm M nằm mặt cầu (S) 4 Gọi I trung điểm AB, OAB cân nên S OAB OI AB Ta có OM Đặt OI = x Vì OI OM nên x AB x Ta có S OAB x x x x x Xét hàm số f f ( x) 8x2 x4 ,0 x Vì f ( x) x x với x (0;1] nên f ( x) f (1) Suy diện tích OAB lớn Chon D Bài tập tự luyện dạng Bài tập đạt M trung điểm AB Câu : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M nhận vectơ a làm vectơ phương đường thẳng d' qua điểm M ' nhận vectơ a' làm vectơ phương Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' a a ' a ka , k a ka , k B C D M d M d M d x 1 y z Câu 2: Cho đường thẳng d : điểm A(1;2;1) Tìm bán kính mặt cầu có tâm I 2 nằm d, qua A tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x y z A R =2 B R =4 C R =1 D R =3 x 1 y z Câu 3: Cho đường thẳng d : Phương trình mặt cầu tâm I (1;2;-1) cắt d điểm 2 a ka , k A M d A, B cho AB A ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 25 B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 C ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 D ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 16 Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt cầu S1 : ( x 1)2 ( y 1)2 ( z 2)2 16 S2 : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 1)2 cắt theo giao tuyến đường tròn với tâm I (a; b;c) Giá trị a+ b + c 10 A B C D 4 Bài tập nâng cao Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): m 1 x 2m 2m 1 y (4m 2) z m 2m chứa đường thẳng cố định m thay đổi Đường thẳng d qua M (1;-1;1) vng góc với cách O khoảng lớn có vectơ phương u (1; b; c) Giá trị T = b + c A 12 B C 11 D 10 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(3;0;0), B(0;2;0), C(0;0;6) D(1;1;1) Kí hiệu d đường thẳng qua D cho tổng khoảng cách từ điểm A, B, C đến d lớn Hỏi đường thẳng d qua điểm đây? Trang 36 A M(-1;-2;1) B N(5;7;3) C P(3;4;3) D Q(7;13;5) x y 1 z Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng : Có tất giá trị 1 thực m để phương trình x2 y z 4x 2my 2(m 1) z m2 2m phương trình mặt cầu (S) cho có mặt phẳng chứa cắt (S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính 1? A B C.7 D Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm M (6;0;0), N (0;6;0), B (0;0;6) Hai mặt cầu có phương trình S1 : x y z x y S : x y z x y z cắt theo đường trịn (C) Hỏi có mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng chứa (C) tiếp xúc với ba đường thẳng MN, NP, PM? A B C Vô số D Câu : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;1;3), B(6;5;5) Gọi (S) mặt cầu đường kính AB Mặt phẳng (P) vng góc với AB H cho khối nón đỉnh A đáy hình trịn tâm H (giao mặt cầu (S) mặt phẳng (P)) tích lớn nhất, biết ( P) : x by cz d với b, c, d Tính S b c d A S 18 1-A B S 18 2-D 3-D 4-D C S 12 ĐÁP ÁN 5-C 6-B 7-D D S 24 8-C 9-B Dạng Một số tốn cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M(-2;-2;1), A(1;2;-3) đường thẳng x 1 y z Tìm vectơ phương u đường thẳng qua M, vng góc với đường d: 2 1 thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé A u (2;2; 1) B u (1;7; 1) C u (1;0;2) D u (3;4; 4) Hướng dẫn giải Trang 37 Xét P mặt phẳng qua M ( P) (d ) Mặt phẳng P qua M(-2;-2;1) có vectơ pháp tuyến np ud (2;2; 1) nên có phương trình: x y z Gọi H, K hình chiếu A lên P Khi AK AH const nên AK đạt giá trị nhỏ K H Đường thẳng AH qua A(1;2;-3) có vectơ phương ud (2; 2; 1) nên x 2t AH có phương trình tham số y 2t z 3 t Vì H AH nên H (1 2t;2 2t; 3 t ) Lại H ( P) nên 2(1 2t ) 2(2 2t ) (3 t ) t 2 H (3; 2; 1) Vậy u HM (1;0; 2) Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x2 y z 4x y 2z điểm A(5;3;-2) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M, N Tính giá trị nhỏ biểu thức S AM AN A Smin 30 C S 34 B Smin 20 D S 34 Hướng dẫn giải Mặt cầu S có tâm I 2; 1;1 bán kính R 22 (1) 12 (3) Ta có: AI (2 5) (1 3) (1 2) 34 R nên A nằm ngồi mặt cầu S Ta lại có: S AM AN Đặt AM x, x [ 34 3; 34 3] Mà AM AN AI R 34 25 AN Do đó: S f ( x) x Ta có f ( x) Do đó: min[ 25 AM 100 với x [ 34 3; 34 3] x 100 x 100 với x [ 34 3; 34 3] x2 x 34 3; 34 3] f ( x) f ( 34 3) 34 Dấu “=” xảy A, M , N , I thẳng hàng AM 34 3; AN 34 Chọn C Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(9;6;11), B(5;7;2) điểm M di động mặt cầu (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 36 Giá trị nhỏ AM + 2MB Trang 38 A 105 Hướng dẫn giải B 26 C 29 D 102 Mặt cầu (S ) : ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 3)2 36 có tâm I 1; 2;3 bán kính R = Ta có IA 12 R Gọi E giao điểm A mặt cầu S suy E trung điểm IA nên E(5; 4;7) Gọi F trung điểm IE suy F(3;3;5) IF IM Xét MIF AIM có AIM chung IM IA MA AI Suy MIF AIM ( c.g.c ) MA 2MF MF MI Do AM 2MB 2( MF MB) BF 29 (theo bất đẳng thức tam giác) Dấu “=” xảy M giao điểm FB mặt cầu S Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1) đường thẳng x 5 y 2 z Xét M điểm thay đổi thuộc d, giá trị nhỏ 2MA2 3MB2 d: 1 1 A 14 B 160 C 10 D 18 Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1;0;3); B(-3;1;3); C(1,5;1) Gọi M x0 ; y0 ; z0 thuộc mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho biểu thức T | MA | | MB MC | có giá trị nhỏ Giá trị x0 y0 8 B x0 y0 C x0 y0 2 D x0 y0 5 Bài tập nâng cao Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;-3), B(-2;-2;1) mặt phẳng (a) có phương trình 2x y z Gọi M điểm thay đổi mặt phẳng (a) cho M ln nhìn đoạn AB góc vng Xác định phương trình đường thẳng MB MB đạt giá trị lớn A x0 y0 x 2 t A y 2 2t z 2t x 2 2t B y 2 t z 2t x 2 t C y 2 z 2t x 2 t D y 2 t z 1 Câu 4: Cho mặt cầu (S ) : ( x 2)2 ( y 1)2 ( z 3)2 hai điểm A(1;1;3), B(21;9;-13) Điểm Trang 39 M a; b; c thuộc mặt cầu (S) cho 3MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ Khi giá trị biểu thức T a.b.c A B C D -18 ĐÁP ÁN 1-B 2-C 3-C 4-B Trang 40 ... 3) 2 ( z 5)2 100 Đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng (a ) cắt (S) M, N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3 x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3 A B 16 11 10 x ? ?3 5t x ? ?3. .. (2; 5;1) Suy đường thẳng AB có vectơ phương u (2;5; 1) Chọn A Bài toán Viết phương trình đường thẳng tìm vectơ phương điểm thuộc đường thẳng Phương pháp giải • Đường thẳng d qua điểm M... nhỏ Khi đường thẳng cần tìm qua A K Ta có AK (1; 4;6) Đường thẳng có phương trình là: x ? ?3 y ? ?3 z ? ?3 Chọn A Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho ABC có A (2 ;3; 3), phương trình đường trung
Ngày đăng: 18/08/2021, 15:34
Xem thêm:
