Hình 10 chương 3 phương trình đường thẳng

Chương 3: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT VÀ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT VÉC-TƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG #» Định nghĩa Véc-tơ #» u gọi véc-tơ phương đường thẳng ∆ #» u = giá #» u song song trùng với ∆ PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Cho đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương #» u = (u1 ; u2 ) Phương x = x0 + tu1 trình tham số ∆ : (1) (t tham số) y = y0 + tu2 ! Nhận xét: M (x; y) ∈ ∆ ⇔ ∃t ∈ R : x = x0 + tu1 y = y0 + tu2 PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Cho đường thẳng ∆ qua M0 (x0 ; y0 ) có véc-tơ phương #» u = (u1 ; u2 ), u1 u2 = Phương trình tắc đường thẳng ∆ x − x0 y − y0 = a b VÉC-TƠ PHÁP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG THẲNG #» Định nghĩa Véc-tơ #» n gọi véc-tơ pháp tuyến đường thẳng ∆ #» n = giá #» n vng góc với ∆ HDedu - Page PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Phương trình Ax + By + C = (với A2 + B = 0) gọi phương trình tổng qt đường thẳng Nhận xét: • Nếu đường thẳng ∆ có phương tình Ax + By = C đường thẳng ∆ có véc-tơ pháp tuyến #» #» n = (A; B), véc-tơ phương #» u = (B; −A) u = (−B; A) • Nếu đường thẳng ∆ qua M (x ; y ) có véc-tơ pháp tuyến #» n = (A; B) phương 0 trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = ! • Đường thẳng ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (với a.b = 0) phương trình đường thẳng x y ∆ có dạng: + = Đây gọi phương trình đường thẳng theo đoạn chắn a b • Đường thẳng ∆ qua điểm M (x0 ; y0 ) có hệ số góc k phương trình đường thẳng ∆ là: y − y0 = k (x − x0 ) Đây phương trình đường thẳng theo hệ số góc u2 • Nếu đường thẳng ∆ có véc-tơ phương #» u = (u1 ; u2 ) có hệ số góc k = Ngược u1 a #» lại, đường thẳng ∆ có hệ số góc k = véc-tơ phương u = (1; k) b Dạng Viết phương trình tham số đường thẳng Để lập phương trình tham số đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ véc-tơ phương #» u = (u1 ; u2 ) x = x0 + tu1 Vậy phương trình tham số đường thẳng ∆ : y = y0 + tu2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tham số đường thẳng ∆ biết ∆ qua M (1; 2) có vec-tơ phương #» u = (−1; 3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua A (1; 2) , B (3; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng d Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M (−2; 3) song song với đường thẳng EF Biết E(0; −1), F (−3; 0).Viết phương trình đường thẳng d HDedu - Page Dạng Viết phương trình tổng quát đường thẳng Để lập phương trình tổng quát đường thẳng ∆ ta cần xác định điểm M (x0 ; y0 ) ∈ ∆ véc-tơ pháp tuyến #» n = (A; B) Vậy phương trình đường thẳng ∆ : A (x − x0 ) + B (y − y0 ) = Vậy phương trình tổng quát đường thẳng ∆: Ax + By = C với C = − (Ax0 + By0 ) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm M (−1; 5) có véc-tơ pháp tuyến #» n = (−2; 3) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng ∆ qua điểm N (2; 3) vng góc với đường thẳng AB với A(1; 3), B(2; 1) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tổng quát đường thẳng d qua A(−1; 2) vng góc với đường thẳng : 2x − y + = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆ : x = −2t y =1+t phương trình tham số đường thẳng d đối xứng với ∆ qua ∆ x=l x = 22 − 7l x = −6 + 3l A d : B C y = 22 − 7l y=l y=4 ∆ : x = −2 − t Viết y=t D x = −6 + 7l y =4+l HDedu - Page Dạng Vị trí tương đối góc hai đường thẳng Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = ∆ : A x + B y + C = Khi ta có #» n = (A, B) #» n = (A , B ) véc-tơ pháp tuyến ∆ ∆ #» a) Để xét vị trí tương đối ∆ ∆ trước hết ta dựa vào véc-tơ #» n n Nếu véc-tơ #» #» #» n n cộng tuyến, nghĩa n n khơng cộng tuyến ∆ ∆ cắt Nếu véc-tơ #» A B = ∆ ∆ hai đường thẳng song song trùng Cụ thể ta có: A B A B ∆ cắt ∆ = , AA + BB = ∆⊥∆ A B A B C ∆ ≡ ∆ = = A B C A B C ∆ ∥ ∆ = = A B C #» b) Nếu ∆ cắt ∆ gọi ϕ góc đường thẳng ∆, ∆ cos ϕ = | cos( #» n n )| Chú ý việc xét vị trí tương đối hai đường thẳng xét qua số điểm chung ∆ ∆ Việc xét vị trí tương đối tính góc hai đường thẳng cắt thực qua véc-tơ phương ∆ ∆ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho ba đường thẳng: d1 : 2x + y − = 0, d2 : x + 2y + = 0, d3 : mx − y − = Chứng minh đường thẳng d1 , d2 cắt tìm giá trị tham số m để ba đường thẳng đồng quy Ví dụ Cho đường thẳng ∆ : 2x + 3y − = 0, ∆ : 3x − 2y − = điểm M (2; 3) a) Xét vị trí tương đối đường thẳng ∆ ∆ b) Biết d đường thẳng qua điểm M tạo với đường thẳng ∆, ∆ tam giác cân Tính góc đường thẳng ∆ d Ví dụ Cho hai đường thẳng ∆ : (m + 3)x + 3y − 2m + = ∆ : 2x + 2y + − 3m = Tìm giá trị tham số m để a) Đường thẳng ∆ song song với ∆ b) Đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆ Ví dụ Tìm giá trị k để góc đường thẳng ∆ : kx − y + = ∆ : x − y = 60◦ HDedu - Page Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho điểm M (x0 ; y0 ) đường thẳng ∆ : Ax + By + C = Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ tính theo cơng thức d (M, ∆) = |Ax0 + By0 + C| √ A2 + B ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tìm khoảng cách từ điểm M (1; 2) đến đường thẳng (D) : 4x + 3y − = Ví dụ Tìm điểm nằm đường thẳng ∆ : 2x + y − = có khoảng cách đến (D) : 4x + 3y − 10 = Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(1, −3) có khoảng cách đến điểm M0 (2, 4) Ví dụ Viết phương trình đường thẳng (D) song song với (D ) : 3x + 4y − = cách (D ) đoạn Ví dụ Cho điểm A(−1, 2) hai đường (∆) : x − y − = 0, (∆ ) : x + 2y − = Tìm đường thẳng (∆) điểm M cho khoảng cách từ M đến (∆ ) AM Ví dụ Tìm phương trình đường thẳng cách điểm M (1, 1) khoảng cách điểm M (2, 3) khoảng HDedu - Page Dạng Viết phương trình đường phân giác góc ∆1 ∆2 tạo thành Cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = hai điểm M (xM ; yM ), N (xN ; yN ) ∈ ∆ Khi đó: a) M, N nằm phía so với ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) > b) M, N nằm khác phía so với ∆ (axM + byM + c)(axN + byN + c) < ’ ta có nhiều cách Dưới cách Để viết phương trình đường phân giác góc BAC thường sử dụng: Cách 1: Dựa vào tính chất đường phân giác tập hợp điểm cách hai đường thẳng AB : ax + by + c = AC : mx + ny + p = 0, ta có: |ax + by + c| |mx + ny + p| √ = √ a2 + b m2 + n2 ’ Hai đường thu phân giác phân giác ngồi góc ABC Sau đó, ta cần dựa vào vị trí tương đối hai điểm B, C với hai đường vừa tìm để phân biệt phân giác trong, phân giác Cụ thể, B, C phía phân giác ngồi, khác phía phân giác Cách 2: Lấy B , C thuộc AB, AC cho: # » # » # » # » AB = AB; AC = AC AB AC # » # » # » Giả sử AD = AB + AC Khi tứ giác AB DC hình thoi # » Do đó, AD vectơ phương đường phân giác cần A C B D B C tìm Cách 3: Giả sử #» u = (a; b) vectơ phương đường phân giác cần tìm Ta có: # » # » AB #» u AC #» u # » #» # » #» cos(AB, u ) = cos(AC, u ) ⇔ # » = # » AB AC ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Viết phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC biết A(1; 1), B(4; 5), C(−4; −11) HDedu - Page Dạng Phương trình đường thẳng tam giác Ta có cơng thức viết nhanh phương trình đường thẳng qua hai điểm A(xA ; yA ) B(xB ; yB ) là: x − xA y − yA = xB − xA yB − yA Chú ý: Công thức phương trình đường thẳng ∆ qua M (x0 ; y0 ) vng góc với đường thẳng d : Ax + By + C = là: B(x − x0 ) − A(y − y0 ) = ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; −4) hai đường cao BH CH có phương trình: 7x − 2y − = 2x − 7y − = Hãy tìm phương trình hai cạnh AB AC Ví dụ Cho tam giác ABC, biết trung điểm cạnh M (−1; −1), N (1; 9), P (9; 1) a) Lập phương trình cạnh tam giác ABC b) Lập phương trình đường trung trực tam giác ABC Ví dụ Cho tam giác ABC, biết đỉnh A(2; 2), đường cao xuất phát từ đỉnh B, C có phương trình x + y − = 9x − 3y − = Hãy lập phương trình cạnh tam giác ABC Ví dụ Tam giác ABC có phương trình cạnh AB 5x − 3y + = 0, đường cao qua đỉnh A B 4x − 3y + = 0; 7x + 2y − 22 = Lập phương trình hai cạnh AC, BC đường cao thứ ba Ví dụ Lập phương trình cạnh tam giác ABC biết B(2; −1), đường cao phân giác qua hai đỉnh A, C 3x − 4y + 27 = x + 2y − = Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác (AD) : x − y = 0, đường cao (CH) : 2x + y + = 0, cạnh AC qua M (0; −1), AB = 2AM Viết phương trình ba cạnh tam giác ABC Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(−1; 2) Trung tuyến CM : 5x + 7y − 20 = đường cao BH : 5x − 2y − = Viết phương trình cạnh AC BC HDedu - Page §2 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN KHI BIẾT TÂM VÀ BÁN KÍNH Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, phương trình đường trịn nhận điểm I(a; b) làm tâm có bán kính R (x − a)2 + (y − b)2 = R2 DẠNG KHÁC CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Phương trình dạng x2 + y − 2ax − 2by + c = phương trình đường tròn a2 + b − c > Khi đó, tâm I(a; b), bán kính R = √ a2 + b2 − c PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRỊN Sau đây, ta có cơng thức phương trình tiếp tuyến đường trịn điểm thuộc đường trịn (cơng thức tách đơi) • Phương trình tiếp tuyến đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường tròn (x0 − a).(x − a) + (y0 − a).(y − a) = R2 • Phương trình tiếp tuyến đường tròn x2 + y − 2ax − 2by + c = điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường tròn x0 x + y0 y − a(x0 + x) − b(y0 + y) + c = Không dùng công thức tách đôi này, ta viết phương trình tiếp tuyến cách tìm # » toạ đoạ độ véc-tơ pháp tuyến tiếp tuyến IM = (x0 − a; y0 − a) HDedu - Page B CÁC DẠNG TỐN Dạng Tìm tâm bán kính đường trịn Phương pháp giải: • Cách Đưa phương trình dạng: (C) : x2 + y − 2ax − 2by + c = (1) Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 − c - Nếu P > (1) phương trình đường trịn (C) có tâm I (a; b) bán kính R = √ a2 + b2 − c - Nếu P ≤ (1) khơng phải phương trình đường trịn • Cách Đưa phương trình dạng: (x − a)2 + (y − b)2 = P (2) - Nếu P > (2) phương trình đường trịn có tâm I (a; b) bán kính R = √ P - Nếu P ≤ (2) khơng phải phương trình đường trịn ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xét xem phương trình sau có phương trình đường trịn khơng? Hãy xác định tâm bán kính đường trịn (nếu có) a) x2 + y + 2x − 4y + = (1) b) x2 + y − 6x + 4y + 13 = (2) c) 2x2 + 2y − 6x − 4y − = (3) d) 2x2 + y + 2x − 3y + = (4) Ví dụ Xét xem phương trình sau có phương trình đường trịn khơng? Hãy xác định tâm bán kính đường trịn (nếu có) a) x2 + y + 2x − 6y − 15 = (1) b) 2x2 + 2y + 4x + 8y + 14 = (2) Ví dụ Cho phương trình x2 + y − 2mx − 4(m − 2)y + − m = (1) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường trịn HDedu - Page Dạng Lập phương trình đường trịn Phương pháp giải: • Cách - Tìm toạ độ tâm I (a; b) đường trịn (C) - Tìm bán kính R đường trịn (C) - Viết phương trình (C) theo dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2 • Cách - Giả sử phương trình đường trịn (C) là: x2 + y − 2ax − 2by + c = (hoặc x2 + y + 2ax + 2by + c = 0) - Từ điều kiện đề thiết lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c - Giải hệ để tìm a, b, c, từ tìm phương trình đường trịn (C) Chú ý: • Cho đường trịn (C) có tâm I bán kính R A ∈ (C) ⇔ IA = R • (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ A ⇔ IA = d (I; ∆) = R • (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 ∆2 ⇔ d (I; ∆1 ) = d (I; ∆2 ) = R a2 • (C) cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ (d (I; ∆3 ))2 + = R2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Lập phương trình đường trịn có tâm I(3; −5) bán kính R = Ví dụ Lập phương trình đường trịn đường kính AB với A (1; 6) , B (−3; 2) Ví dụ Viết phương trình đường trịn (C) có tâm I (−1; 2) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x − 2y + = Ví dụ Viết phương trình đường trịn tâm I (−2; 1), cắt đường thẳng ∆ : x − 2y + = hai điểm A, B thỏa mãn AB = Ví dụ Lập phương trình đường tròn qua ba điểm: M (−2; 4) , N (5; 5) , P (6; −2) Ví dụ Cho hai điểm A (8; 0) B (0; 6) a) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác OAB HDedu - Page 10 B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định yếu tố elip Xác đinh tọa độ đỉnh, tọa độ tiêu điểm, độ dài trục, độ dài tiêu cự elip cách áp dụng công thức: a) c2 = a2 − b2 b) Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a, độ dài trục nhỏ: B1 B2 = 2b c) Độ dài tiêu cự: F1 F2 = 2c ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ CÁC VÍ DỤ Ví dụ Xác định tọa độ đỉnh độ dài trục elip có phương trình sau: a) x2 y + =1 16 b) x2 + 4y = Ví dụ Xác định tọa độ tiêu điểm độ dài tiêu cự elip có phương trình sau: a) x2 y + =1 b) 4x2 + 25y = 36 Ví dụ Cho elip (E) có độ dài trục lớn 10, tỉ số tiêu cự độ dài trục lớn Tính độ dài trục nhỏ elip HDedu - Page 20 Dạng Viết phương trình đường Elip Viết phương trình elip trình tìm dặc trưng elip, độ dài trục lớn (2a), độ dài trục nhỏ (2b) Khi làm dạng này, cần giả sử phương trình elip có dạng (E) : x2 y + = a2 b Sau từ giả thiết tốn, giải tìm a, b viết phương trình ∗ Khi làm cần ý tính chất sau elip: a) Elip nhận hai trục Ox, Oy làm trục đối xứng c b) Tâm sai elip e = a c) Bán kính qua tiêu điểm M (x; y) ∈ (E): M F1 = a + ex; M F2 = a − ex d) Đường chuẩn elip: a Đường thẳng d1 : x + = gọi đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F1 (−c; 0) e a Đường thẳng d2 : x − = gọi đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F2 (c; 0) e ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Lập phương trình tắc elip (E) mà độ dài trục lớn 6, độ dài trục nhỏ Ví dụ Lập phương trình tắc elip (E) có độ dài trục lớn 10, tiêu cự có độ dài √ Ví dụ Viết phương trình tắc elip qua hai điểm M (1; 0), N ( ; 1) HDedu - Page 21 Dạng Tìm điểm thuộc elip thỏa điều kiện cho trước x2 y + = suy điểm M (x0 ; y0 ) ∈ (E) a2 b 2 x y2 tọa độ M phải thỏa phương trình trên, tức 20 + 20 = Kết hợp với điều kiện khác để a b tìm điểm M Từ phương trình tắc elip (E) : ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : 9x2 + 16y = 144 Tìm tất điểm M thuộc elip ◊ cho góc F M F2 bẳng 60 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : x2 y + = Tìm tất điểm thuộc elip có tọa độ số nguyên x2 y + = Gọi M điểm di động elip Gọi H, K hình chiếu M lên trục tọa độ Ox Oy Tìm tất điểm M để tứ giác OHM K có diện tích lớn Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) : HDedu - Page 22 TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II – NĂM HỌC 2018-2019 THANH XN MƠN: TỐN KHỐI 10 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề Câu 1: (3 điểm) Giải bất phương trình sau: a) x  3x   b) x2  5x   3x  c)  x  3x  x  3x    10 Câu 2: (1 điểm) Cho f  x   mx2  x  m  3, Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình f  x   nghiệm với x  Câu 3: (2 điểm) 3 a) sin    ;     Tính cos  sin 2a 2 b) Chứng minh  cos x  sin x  cot x  cos x  sin x Câu 4: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : x  y  11  đường tròn  C  : x2  y  x  y  20  a) Tìm tọa độ tâm I bán kính r đường trịn  C  Tính khoảng cách từ I đến d b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với d c) Viết phương trình đường tròn  K  qua điểm I hai điểm A  1;  ; B  2; 3  d) Gọi  tiếp tuyến đường tròn  C  M  1;3  Tìm tọa độ H   mà MH  2r HDedu - Page 23 HDedu - Page 28 HDedu - Page 29 HDedu - Page 30 HDedu - Page 31 HDedu - Page 32 HDedu - Page 33 HDedu - Page 34 ...5 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Phương trình Ax + By + C = (với A2 + B = 0) gọi phương trình tổng qt đường thẳng Nhận xét: • Nếu đường thẳng ∆ có phương tình Ax + By = C đường. .. Oxy, đường thẳng d qua A (1; 2) , B (3; 1) Viết phương trình tham số đường thẳng d Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M (−2; 3) song song với đường thẳng EF Biết E(0; −1), F (? ?3; 0).Viết... đối đường thẳng ∆ ∆ b) Biết d đường thẳng qua điểm M tạo với đường thẳng ∆, ∆ tam giác cân Tính góc đường thẳng ∆ d Ví dụ Cho hai đường thẳng ∆ : (m + 3) x + 3y − 2m + = ∆ : 2x + 2y + − 3m =