Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 34 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
34
Dung lượng
2,03 MB
Nội dung
BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG MỤC TIÊU Kiến thức - Nhận biết vectơ pháp tuyến, vectơ phương đường thẳng - Trình bày cách viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng - Trình bày điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt vng góc - Hiểu cơng thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, góc hai đường thẳng Kỹ -Viết phương trình tham số, phương trình tổng quát đường thẳng dối qua điểm M ( x0 ; y0 ) có phương cho trước qua hai điểm trước - Tính tọa độ vectơ pháp tuyến biết tọa độ vectơ phương đường thẳng ngược lại - Biết cách chuyển đổi phương trình tổng quát phương trình tham số đường thẳng - Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Tính góc hai đường thẳng I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vectơ phương đường thẳng Vectơ u gọi vectơ phương đường thẳng u giá u song song trùng với Nhận xét Một đường thẳng có vơ số vectơ phương Nếu u vectơ phương ku k vectơ phương Vectơ pháp tuyến đường thẳng Vectơ n gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng u giá n vng góc với Nhận xét Một đường thẳng có vơ số vectơ pháp tuyến Nếu n vectơ pháp tuyến kn k vectơ pháp tuyến Liên hệ vectơ phương, hệ số góc, vectơ pháp tuyến đường thẳng Cho đường thẳng với u ui ; u2 ; n n1; n2 ; k vectơ phương, vectơ pháp tuyến hệ số góc Nhận xét u n un u1, n1 u2 , n2 Trang Nhận xét k u2 n u1 n2 Các dạng phương trình đường thẳng Cho đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 nhận u u1; u2 làm vectơ phương n a; b làm vectơ pháp tuyến Phương trình tham số đường thẳng x x0 tu1 Phương trình tham số đường thẳng y y0 tu2 Phương trình tổng quát đường thẳng Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng ax by c 0, c ax0 by0 Một số trường hợp đặc biệt Cho đường thẳng cắt Ox, Oy M a0 ;0 ; N 0; b0 , a0 b0 Khi ta có phương trình đường thẳng theo đoạn chắn x y a0 b0 Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d : ax by c a x b y c ax by c ta xét hệ phương trình a x b y c I +) Hệ I vô nghiệm d / / d ' I vô số nghiệm d / / d ' +) Hệ I có nghiệm d cắt d' +) Hệ Góc hai đường thẳng Góc hai đường thẳng 1 2 , có vectơ pháp tuyến n1 a1; b1 n2 a2 ; b2 tính theo cơng thức: cos 1 , cos n1 , n2 n1 n2 a1a2 b1b2 n1 n2 a12 b12 a22 b22 Trang Chú ý: Góc hai đường thẳng ln góc nhọn vng nên tính Cơsin góc hai đường thẳng ta cần lấy giá trị tuyệt đối côsin góc hai vectơ phương (hoặc pháp tuyến) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường thẳng : ax by c a b2 tính theo công thức: d ( M , ) ax0 by0 c a b2 Mở rộng: Khoảng cách hai đường thẳng song song Cho 1 : ax by c 0; 2 : ax by c' Khoảng cách hai đường thẳng 1; 2 d 1 ; c c a b2 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Xác định yếu tố đường thẳng biết phương trình đường thẳng Bài tốn Phương trình cho dạng tổng quát Phương pháp giải Trang Cho đường thẳng : ax by c a b2 +) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n a; b , vectơ phương u (b; a ) Chú ý: Các vectơ phương ku (k 0) Các vectơ pháp tuyến kn k +) Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 thỏa mãn ax0 by0 c a b Ví dụ: Cho đường thẳng : x y +) Hệ số góc đường thẳng k a) Xác định vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng b) Xác định điểm thuộc đường thẳng có hoành độ Hướng dẫn giải a) Một vectơ pháp tuyến đường thẳng n 2;3 Một vectơ phương đường thẳng u 3;2 b) Gọi M 3; y0 điểm thuộc đường thẳng Khi ta có: 2.3 y0 y0 7 Vậy điểm M 3; thuộc đường thẳng : x y 3 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường thẳng d : x 14 y 13 Vectơ sau vectơ pháp tuyến d? A n (1; 2) B n (14;7) C n (2; 4) D n (14;7) Hướng dẫn giải Một vectơ pháp tuyến đường thẳng d : x 14 y 13 n (7;14) Do đường thẳng d nhận kn (k 0) làm vectơ pháp tuyến 2 2 2 Ta thấy (2; 4) ,7; ,14 n nên n (2; 4) vectơ pháp tuyến đường thẳng d Chọn C Ví dụ Cho đường thẳng : x y a) Xác định vectơ phương đường thẳng có hồnh độ b) Biểu diễn điểm thuộc đường thẳng có hoành độ t c) Xác định điểm đường thẳng cách gốc tọa độ khoảng Hướng dẫn giải a) Đường thẳng có vectơ pháp tuyến n0 (2;1) nên có vectơ phương u0 (1;2) Do vectơ phương đường thẳng có dạng ku0 (k;2k ), k Vậy vectơ phương cần tìm 4; 8 b) Các điểm thuộc đường thẳng : x y có hồnh độ t t;5 – 2t c) Theo câu b ta có M t;5 – 2t nên OM (t 0)2 (5 2t 0)2 5t 20t 20 t Vậy điểm cần tìm M 2;1 Trang Bài tốn Phương trình cho dạng tham số, tắc Phương pháp giải x x0 tu1 Cho đường thẳng : y y0 tu2 +) Đường thẳng có vectơ phương u u1; u2 vectơ pháp tuyến n u2 ; u1 +) Hệ số góc đường thẳng k u2 u1 +) Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 +) Với giá trị t thay vào phương trình tham số ta tọa độ điểm thuộc đường thẳng x 2t Ví dụ: Cho đường thẳng d : y 3t a) Xác định vectơ phương, vectơ pháp tuyến đường thẳng b) Xác định hệ số góc đường thẳng Hướng dẫn giải a) Một vectơ phương đường thẳng u (2;3) Một vectơ pháp tuyến đường thẳng n 3; b) Hệ số góc đường thẳng k Ví dụ mẫu x 2t (t ) Ví dụ Cho đường thẳng d : y 4 t a) Xác định điểm trục hoành thuộc đường thẳng b) Xác định điểm thuộc đường thẳng d có hồnh độ lớn gấp hai lần tung độ Hướng dẫn giải a) Gọi điểm M x0 ;0 điểm trục hoành thuộc đường thẳng d x 2t x 2.4 x0 5 Khi t 0 4 t Vậy điểm cần tìm M 5;0 b) Giả sử điểm N 2t0 ; 4 t0 thuộc đường thẳng d có hồnh độ lớn gấp hai tung độ Khi 2t0 4 t0 11 4t0 t0 11 5 Vậy điểm cần tìm N ; 4 Bài tập tự luyện dạng BÀI TẬP CƠ BẢN Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng có phương trình tổng quát 16 x y 2019 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A có vectơ pháp tuyến n 16,8 C có hệ số góc k B có vectơ phương n 1; 2 2019 D qua điểm M 0; Trang x t Câu Cho đường thẳng d có phương trình (t ) Hệ số góc đường thẳng d y 2t A 2 B C D Câu Đường thẳng vng góc với đường thẳng AB, với A 2;1 B 4;3 Đường thẳng có vectơ phương B d (1;3) A a (3;1) C b (3; 1) D c (1; 3) Câu Cho đường thẳng d : x y Vectơ sau vectơ pháp tuyến d? A n (2;3) B n (3; 2) C n (3; 2) D n (3; 2) Câu Cho tam giác ABC với A 2;4 ; B 2;1 ;C 3;0 Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC nhận vectơ sau vectơ phương? A 2;14 B 1;7 C 14; 2 D 7;1 x 3t Câu Cho đường thẳng (d ) : Giá trị m để đường thẳng d qua điểm A 1; 3 y 4mt A 1 B C D 2 x 3t Điểm sau không thuộc d ? Câu Cho (d ) : y 4t A A 5;3 B B 2;5 C C 1;9 D D 8; 3 x 3t 7 Câu Cho đường thẳng d ) : điểm A ; 2 Điểm A d ứng với giá trị t? 2 y 1 2t 1 A t B t C t D t 2 Câu Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n a, b Mệnh đề sau sai? A u1 (b; a) vectơ phương d B u2 (b; a) vectơ phương d C n (ka; kb), k vectơ pháp tuyến d b (a 0) a x 3t Câu 10 Cho (d ) : Điểm M d cách A 0;1 đoạn 2 y 3 t D d có hệ số góc k 14 A M1 (2;3), M ; 5 14 C M1 (2;3), M ; 5 14 B M1 (2;3), M ; 5 14 D M1 (2;3), M ; 5 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A 2;1 đường thẳng : x y Điểm M thuộc đường thẳng cho AM 10 A M1 1;2 , M 4;3 B M1 1;2 , M 3;4 C M1 1;2 , M 3;4 D M1 1;2 , M 4;3 Trang Bài tập nâng cao x 1 t Câu 12 Cho hai điểm A 1;2 , B 3;1 đường thẳng : Tọa độ điểm C thuộc để tam y t giác ACB cận C 13 13 13 13 A ; B ; C ; D ; 6 6 6 6 Câu 13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có A 1;2 , B 4; 2 , C 3;5 Một vectơ phương đường phân giác góc A A u (2;1) B u (1; 1) C u (1; 2) D u (1;1) Câu 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm M 4; 1 , đường thẳng d qua M , d cắt tia Ox, Oy A a; 0 , B 0; b cho tam giác ABC (O gốc tọa độ) có diện tích nhỏ Giá trị a 4b A 14 B C D 2 x y Câu 15 Đường thẳng d : 1, với a 0, b , qua điểm M 16 tạo với tia Ox, Oy a b tam giác có diện tích Giá trị S a 2b A S C S B S 10 Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-A 3-D 4-A 11 - B 12 - A 13 - D 14 - B Hướng dẫn giải Câu 10 Gọi M (2 3t;3 t ) (d ) Khi đó: 5-B 14 - B 6-B 5 7 7-A D S 8-C 74 9-D t AM (2 3t 0) (3 t 1) 2 10t 16t 10t 16t t 2 2 Với t = ta có M1 (-1 ; 2) Với t ta có M2 (3 ; 4) Câu 11 Gọi điểm M (2t 5; t ) Khi đó: t AM 10 (2t 7) (t 1) 10 5t 30t 40 t Với t = ta có M1 (-1 ; 2) Với t = ta có M2 (3;4) Câu 12 Gọi C (1 t ; t ) Để tam giác ABC cân C CB CA (t 2)2 (t 1)2 (t 2)2 t t 13 C ; 6 Kiểm tra thấy ba điểm A, B, C không thẳng hàng Câu 13 Trang 10 - B Cách Ta có AB (3; 4), AC (4;3) | AB || AC | Suy ABC tam giác cân A Gọi M trung điểm BC AM vectơ phương đường phân giác góc A xB xC (3) xM xM 2 M 1;3 Ta có 2 2 y yB yC y 2 M M 2 1 Suy AM ; 2 Vậy vectơ phương đường phân giác góc A u (1;1) Cách AB (3; 4) AB 4 AC 4 ; ; AC (4;3) ; | AB | 5 | AC | 5 Suy vectơ phương phân giác góc A u AB AC 1 1 ; | AB | | AC | 5 Vậy vectơ phương đường phân giác góc A u (1;1) Câu 14 Ta có phương trình đường thẳng d có dạng Do d qua M (4; 1) nên ta có x y (theo giá thiết ta có a >0, b >0) a b 1 a b Mặt khác diện tích tam giác vuông AB0 S ABO Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si, ta có ab 4 2 ab ab a b a b ab 4 a b a Vậy diện tích tam giác vuông ABO nhỏ a, b thỏa mãn b a b a 4b 4.2 Câu 15 x y 1 d : qua điểm M (-1;6) (1) a b a b x y Đường thẳng d : tạo với tia Ox Oy tam giác có diện tích nên ab = (2) a b 1 1 b 1 1 1 Từ (1) (2), ta có a b a b b ab ab ab b (thỏa mãn ) a b 12 (không thỏa mãn ) a S a 2b 10 Dạng Lập phương trình đường thẳng Trang Bài tốn Lập phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng Phương pháp giải Để viết phương trình tham số đường thẳng , ta cần xác định: +) Một điểm M x0 ; y0 +) Một vectơ phương đường thẳng u (a; b) x x0 at (t ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng y y0 bt x x0 y y0 Nếu a.b đường thẳng có phương trình tắc : a b Ví dụ: Viết phương trình tham số tắc đường thẳng qua điểm M 1;3 nhận u 2; 1 làm vectơ phương Hướng dẫn giải Ta có M (1;3) ; u (2; 1) vectơ phương Khi đó, phương trình tham số đường x 1 2t (t ) thẳng y 3t Phương trình tắc đường thẳng x 1 y 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình tham số, tắc (nếu có) đường thẳng d trường hợp sau: a) d qua A 1; 2 nhận u 1;0 làm vectơ phương b) d qua hai điểm M 3;1 c) d đối xứng với d ' : x y 16 qua l 1 3 x 3t (t ) d) d qua điểm B 4; 3 song song với đường thẳng d : y 2t Hướng dẫn giải a) Ta có A 1; 2 d u 1;0 vectơ phương d x 3 5t (t ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng d y 3t Vì u 1;0 vectơ phương d nên d khơng có phương trình tắc b) Ta có MN 5; 3 vectơ phương d M 3;1 d x 3 5t (t ) Khi đó, phương trình tham số đường thẳng d y 3t x y 1 Phương trình tắc d 3 c) Chọn E (0;8) d Gọi E xE ; yE điểm đối xứng E qua l l trung điểm EE' E d (vì d đối xứng với d' qua l ) x x 1 lE E 'l E E E (2; 14) yE 3 yE 14 Trang Tương tự chọn F ' 16;0 d ' Khi F (14; 6) d x 2t Vậy phương trình tham số đường thẳng d y 14 t x y 14 Phương trìn tắc đường thẳng d 2 x 3t (t ) ud (3; 2) vectơ phương d' d) Ta có d : y 2t ud vectơ phương d d / / d ' Vì B 4; 3 d nên phương trình tham số đường thẳng d x 3t (t ) y 3 2t Phương trình tắc d x4 y3 3 Ví dụ Cho tam giác ABC có A 2;1 , B 1; 5 C 2,3 a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh ABC b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM, BN ABC c) Viết phương trình đường thẳng AD đường phân giác góc A ABC D BC d) Viết phương trình đường thẳng DG với G trọng tâm ABC Hướng dẫn giải a) Ta có AB 3; 6 nên chọn uAB (1; 2) vectơ phương đường thẳng AB x 2 t (t ) Vậy phương trình tham số đường thẳng AB y 2t Ta có AC 4; nên chọn U AC (2;1) vectơ phương AC x 2 2t (t ) Vậy phương trình tham số đường thẳng AC y 1 t Ta có BC 1;8 vectơ phương BC x 1 t (t ) Vậy phương trình tham số đường thẳng BC y 5 8t Trang 10 (m 1) x 2my Xét hệ phương trình , ta có 2mx (m 1) y m m 2m D (m 1)2 4m2 3m2 2m (1 m)(3m 1) 2m m Dx 2m 2 2m(m 1) (2)(m 1) 2m2 2(1 m)(m 1) m m Dy 2 m 1 2.2m (m 1)2 m2 2m (1 m) m 2m m 1 m a) d1 cắt d2 D (1 m)(3m 1) 1 m m 1 Vậy m m mở d1 cắt d2 Khi đó, tọa độ giao điểm d1 d2 D 2(m 1) x x D 3m 2(m 1) m hay M ; D m 3m m y y D 3m D (1 m)(3m 1) b) d1 / / d Dx 2(1 m)(m 1) D (1 m)2 y 1 m 3m 1 3m 1 m m 1 m m m Vậy m 1 d1 / / d2 (1 m)(3m 1) c) d1 d D Dx Dy 2(1 m)(m 1) m m (1 m)2 Vậy m d1 d2 d) Ta có n1 (m 1;2m) vectơ pháp tuyến d1 n2 (2m; m 1) vectơ pháp tuyến d d1 d2 n1 n2 n1 n2 (m 1) 2m 2m(m 1) 4m(m 1) m m m 1 m Vậy m m 1 d1 d2 Trang 20 Chú ý: Giải hệ phương trình ax by c cách sử dụng công thức: a x b y c D ab ab ab ab Dx b b c cb cb c' Dy ca ac ac ca + Nếu D hệ có nghiệm D D ( x; y ) x ; y D D + Nếu D Dx (hoặc Dy 0) hệ vô nghiệm + Nếu D Dx Dy hệ vơ nghiệm Ví dụ 6: Hai đường thẳng d1 : mx y m 1, d2 : x my song song A m Hướng dẫn giải d1 / / d B m 1 C m 1 D m m2 m 1 m m 1 m 1 m m 1; m 2 m(m 1) Chọn C Ví dụ Cho đường thẳng d : m 2 x m 1 y a) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng d qua điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định b) Biện luận vị trí tương đối d với d2 : m 1 x y theo m c) Trong trường hợp d cắt d3 B, tìm quỹ tích điểm B m thay đổi Hướng dẫn giải a) Ta có d : (m 2) x (m 1) y mx x my y ( x y )m x y x y x Để 1 với m y 1 2 x y Vậy tọa độ điểm cố định mà đường thẳng d qua 1; 1 (m 2) x (m 1) y b) Xét hệ phương trình I 2(m 1) x y m m 1 m 2(m 1)2 2m2 5m m(2m 5) Ta có D 2(m 1) Dx m 3 2(m 1) 1 (3) 2m 2 Dy 3 m 3.2(m 1) (2)(m 2) 4m 10 2(2m 5) 2 2(m 1) Trang 21 m Với D m(2m 5) m Dx x D m Khi hệ phương trình có nghiệm y Dy D m 1 2 Suy d cắt d3 B ; m m m Với D m 2 x y +) Nếu m hệ phương trình I trở thành 2 x y 1 3 Khi nên d / / d3 2 2 9 x y 3 +) Nếu m hệ phương trình I trở thành 2 3x y 3 Khi nên d d3 2 c) Theo câu b, ta có d cắt d3 m m 1 2 Khi B ; giao điểm d d3 m m m x x m 2x y x y y m y m Vậy quỹ tích điểm B đường thẳng có phương trình x y bỏ điểm O 0;0 điểm 2 4 B ; 5 5 Ví dụ Cho ba đường thẳng d1 : 2x y 1 0, d2 : x y 1 0, d3 : mx y Để ba đường thẳng đồng quy giá trị m A m 6 B m C m 5 Hướng dẫn giải Tọa độ giao điểm d1 d2 nghiệm hệ phương trình 2 x y x y 1 x y 1 D m Vậy d1 cắt d2 M 1; 1 Trang 22 Để ba đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy d3 phải qua điểm M 1; 1 Vậy tọa độ M thỏa mãn phương trình d3 m 1 m Chọn B Ví dụ Cho hai đường thẳng d1 : (a b) x y d : a b x by a với a b2 a) Tìm mối quan hệ a b để d1 d2 cắt b) Tìm điều kiện a b để d1 d2 cắt điểm thuộc trục hoành Hướng dẫn giải a) Giả sử a b , ta có d1 : y 1 d2 : y d1 d2 Do a b để d1 cắt d2 a b2 b a b b b (a b) a 2b a b 1 1 a b Vậy d1 cắt d2 a 2b b) Từ câu a) ta có d1 d2 cắt điểm M (m;0) Ox 1 ( a b ) m m a b ( a b) Ta có 2 a b m a 2 a b m a 1 a b2 a 2a b a b 2a b Vậy d1 cắt d2 điểm thuộc trục hồnh a b Ví dụ 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x my d2 : mx y m (m tham số) Chứng minh với m đường tròn cố định Hướng dẫn giải hai đường thẳng d1 d2 cắt điểm nằm Ta có n1 (1; m) vectơ pháp tuyến d1 , n2 (m;1) vectơ pháp tuyến d2 Khi n1 n2 1 m m 1 nên d1 d2 Giả sử d1 cắt d2 điểm M Ta có d1 : x my có điểm cố định A 2;0 ; d2 : mx y m ( x 1)m y có điểm cố định B 1; 2 Do tập hợp điểm M đường trịn đường kính AB Bài tập tự luyện dạng Phần trắc nghiệm Câu Trong mặt phẳng Oxy, hai đường thẳng d1:x 3y 18 0; d2 :3x y 19 cắt điểm có tọa độ A 3; 2 B 3; C 3; D 3; 2 Câu Cho bốn điểm A 0; 2 , B 1;0 , C 0; 4 , D 2;0 Tọa độ giao điểm hai đường thẳng AB CD Trang 23 A 1; 2 3 B ; 2 C 3; D Khơng có giao điểm x 2t Câu Cho hai đường thẳng d d' biết d : x y d : Biết I a, b tọa độ giao y 3t điểm d d' Khi tổng a b A B C D Câu Cho đường thẳng d1 : 2x y 15 d2 : x y Khẳng định sau đúng? A d1 d2 vng góc với B d1 d2 song song với C d1 d2 trùng D d1 d2 cắt khơng vng góc với Câu Cho bốn điểm A 1;2 , B 4;0 ,C 1 3 , D 7; 7 Vị trí tương đối hai đường thẳng AB CD A Song song B Cắt khơng vng góc với C Trùng D Vng góc với Câu Phương trình sau biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d : y x –1 ? A x – y B x y C 2 x y D x y x 2t (t ) Với giá trị m Câu Cho hai đường thẳng d1 : (m 1) x y d : y 3 t d1 d2 ? A m 2 B m C m Câu Đường thẳng A : 3x y cắt đường thẳng sau đây? A d1 : 3x y B d2 :3x – y C d3 : 3x y – D d4 6x y 14 D m Câu Giá trị m để hai đường thẳng d : x y d ' : 4mx y – 8m vng góc 9 B m C m D m 8 Câu 10 Cho tam giác ABC có A 27 ; B 3;5 ; C 1; 4 Biết trực tâm tam giác ABC điểm A m H x; y Giá trị T x y A T 95 B T 72 C T 43 D T 54 Câu 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , hình chiếu vng góc điểm A 2;1 lên đường thẳng d : x y có tọa độ 14 A ; 5 14 B ; 5 C 3;1 5 3 D ; 3 2 Câu 12 Cho hai đường thẳng d1 : mx y m 1, d : x y cắt A m B m 1 C m D m 1 Câu 13 Cho hai đường thẳng d1 : x y 1 0, d2 : x y Phương trình đường thẳng d đối xứng với d1 qua d2 A x – y B x y C x y D x y Câu 14 Cho tam giác ABC với A 1;3 , B 2;4 , C 5 đường thẳng d : x y Đường thẳng d cắt cạnh tam giác ABC ? A Cạnh AB, B Cạnh BC Trang 24 C Cạnh AC D Không cắt cạnh Phần tự luận Câu 15 Cho đường thẳng d : x y điểm M 1; 4 a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M lên d b) Tìm tọa độ điểm đối xứng M qua d Câu 16 Cho hình bình hành ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB, AD 2x y 0, x y C 3;0 Tìm tọa độ đình phương trình cạnh cịn lại hình bình hành ABCD Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-D 3-A 11 - B 12 - B 13 - A Hướng dẫn giải Câu Cách 4-A 14 - D 5-A 6-D 7-D 8-A 9-D 10 - B Đường thẳng AB có vectơ phương AB (1;2) CD có vectơ phương CD (2;4) Xét AC (0; 2) AB (1;2) không phương nên ba điểm A; B; C không thẳng hàng Lại có AB (1;2) CD (2;4) hai vectơ phương nên hai đường thẳng song song với Vậy hai đường thẳng khơng có điểm chung Cách Lập phương trình đường thẳng AB CD, sau biện luận số nghiệm hệ phương trình Câu 10 Đường cao AH ABC qua A (-2;7) nhận CB (2;9) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình: 2( x 2) 9( y 7) x y 59 Đường cao AH ABC qua B(3;5) nhận AC (3; 11) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 3( x 3) 11( y 5) 3x 11y 46 235 x 2 x y 59 49 Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình: 3x 11y 46 y 269 49 72 Vậy T x y Câu 11 Cách Đường thẳng qua A (2;1) vng góc với d : 2x + y = có phương trình : x y Hình chiếu vng góc điểm A lên đường thẳng d: 2x + y -7 = thỏa mãn 14 x x y 2 x y y Cách Lấy M (m;7 2m) d : x y hình chiếu điểm A lên đường thẳng d Trang 25 Khi đó: AMud (m 2) (1) (6 2m) m 14 14 M ; 5 Câu 13 Lấy A(1;0) d1 Khi hình chiếu M (3m 3; m) d2 A lên d , thỏa mãn AM ud2 (3m 4)3 m.1 m 3 6 M ; 5 5 xA' x x x ' M A Do tọa độ điểm A d đối xứng với A qua d , thỏa mãn A y y y M A A y 12 A x x y 1 Giao điểm I đường thẳng d1 d x 3y y 3 12 Đường thẳng d qua I ; A ; d: 2x y + = 5 5 Câu 14 x 3t (0 t 1) Ta có AB qua A (1;3), B (-24) nên có phương trình đoạn thẳng AB y 3t x 2 t Ta có BC qua B(-2;4) C(-1;5) nên có phương trình đoạn thẳng BC : (0 t 1) y t x 2t (0 t 1) Đoạn thẳng AC qua A(1;3) C(-4;5) nên có phương trình : y 2t Giả sử M (1 3t;3 t ) AB giao điểm AB d: 2x 3y + = 1 1 [0;1] nên M ( AB) 9 Tương tự d khơng cắt cạnh cịn lại tam giác Phần tự luận Câu 15 Khi đó: 2(1 3t ) 3(3 t ) t a) Gọi H hình chiếu điểm M lên d Khi MH d H Ta có n = (1;-3) vectơ pháp tuyến d nMH (3;1) vectơ pháp tuyến MH Vì M (1; 4) MH nên phương trình tổng quát MH 3(x + 1) + y + =0 hay 3x + y +7=0 Trang 26 11 x 3x y Tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình x 3y 1 y 2 11 2 Vậy H ; hình chiếu điểm M lên d 5 b) Gọi M xM ' ; yM ' điểm đối xứng M qua d 11 2 Khi H ; trung điểm MM ' 5 11 11 17 xM ' xM ' 5 MH HM 2 y 2 y 16 M' M' 5 5 17 16 Vậy M ; điểm đối xứng với M qua d 5 Câu 16 x x y Vì A AB AD nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình : x y 1 y 7 5 Vậy A ; 3 Ta có AD // BC (do ABCD hình bình hành nAD (1; 2) vectơ pháp tuyến BC (với nAD =(1 ;-2) vectơ pháp tuyến AD) Vì C (3;0) BC nên phương trình đường thẳng chứa cạnh BC x ( y 0) hay x 2y 3=0 Vì B BC AB nên tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình x y x : y 1 2 x y Vậy B(1;-1) Ta có CD / /AB (do ABCD hình bình hành nAB (2; 1) vectơ pháp tuyến CD (với nAB (2; 1) vectơ pháp tuyến AB) Vì C(3;0) CD nên phương trình đường thẳng chứa cạnh CD 2(x 3) (y 0) = hay 2x y = 13 x 2 x y Do D CD AD nên tọa độ điểm D nghiệm hệ phương trình x y y 13 Vậy D ; 3 Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Trang 27 Phương pháp giải Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 đến đường thẳng : ax by c a b2 tính theo công thức d ( M , ) ax0 by0 c a b2 Ví dụ: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng : x y Ta có: d (O, ) |002| 1 2 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho đường thẳng : 3x y a) Tính khoảng cách từ điểm A 2;1 đến đường thẳng b) Tính khoảng cách hai đường thẳng song song x 2t : (t ) y 3t Hướng dẫn giải a) Ta có d ( A, ) | (2) 1 | 32 (2)2 | 15 | 15 13 13 13 Vậy khoảng cách từ A 2;1 đến đường thẳng d ( A, ) 15 13 13 b) Lấy M (1; 2) x 2t x 1 y : (t ) 3x y y 3t Do / / ' nên d , d M , | 3.1 2(2) | (2) 2 | | 13 13 13 Vậy khoảng cách hai đường thẳng ' d , 13 13 Ví dụ Cho đường thẳng a : x y b : 3x y a) Tìm giao điểm hai đường thẳng a b b) Tìm điểm M a cho khoảng cách từ M đến đường thẳng b Hướng dẫn giải a) Tọa độ giao điểm I hai đường thẳng a b nghiệm hệ x x y phương trình 11 3x y y 11 Vậy I : giao điểm a b 2 b) Gọi M (2t 4; t ) a Theo ra, ta có: d ( M , b) | 3(2t 4) 4t 1| 5 32 (4) Trang 28 2t 11 t | 2t 11| | 2t 11| 5 t 2t 11 3 Với t , ta có M1 10;7 Với t , ta có M 4; Vậy M1 10;7 M 4;4 hai điểm thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ Điểm M trục Ox cho M cách hai đường thẳng d1 :3x y d2 :3x y B 0;0 A 1;0 C D 2;0 2;0 Hướng dẫn giải Gọi M (a;0) Ox Theo giá thiết d M , d1 d M , d2 ; suy | 3a | 32 22 Vậy M 0;0 | 3a | 32 22 | a || a | a Chọn B Ví dụ Cho ba đường thẳng d1 : 2x 3y 1 0, d2 :3x y d3 : x y Tìm điểm M d3 cho khoảng cách từ M đến d2 gấp đôi khoảng cách từ M đến d1 Hướng dẫn giải Ta có M (t; t 3) d3 Theo ra, ta có: d M , d2 d M , d1 | 3t 2(t 3) | 32 22 ∣ 2t 3(t 3) 2 22 (3) 19 t 5t 2(t 8) | 5t | | t | 5t 2(t 8) t 13 19 19 , ta có M ; 7 13 13 22 Với t ta có M ; 3 Với t 19 13 22 Vậy M ; M ; 7 3 Ví dụ Cho tam giác ABC có phương trình cạnh: AB : x y 0; AC : x y 0; BC :10 x y 19 Phương trình đường phân giác góc A tam giác ABC A 12 x y B x y C 12 x y D x y Hướng dẫn giải Vì B AB BC nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình: Trang 29 x y 1 10 x y 19 Giải hệ phương trình ta tìm B 2; 1 Tương tự C 19 Phương trình đường phân giác góc A x y 1 1 2 2 x y (1) 12 x y 7x y 2 d1 d2 Đặt f1 x, y 2x y 7; f x, y 12x y ta có: f1 B f1 C 0; f B f C Suy B,C nằm khác phía so với d1 phía so với d2 Vậy phương trình đường phân giác góc A x y Chú ý: Cho đường thẳng d : f x; y hai điểm A; B Khi đó: + Nếu f A f B A; B nằm khác phía so với d + Nếu f A f B A; B nằm phía so với d Chọn B Ví dụ Cho tam giác ABC có A 2; 1 ; B 13 ; C 6;1 Phương trình đường phân giác ngồi góc A tam giác ABC A x y B x y C 3x y D x y Hướng dẫn giải x y 1 4x y 1 x y 1 x 4y Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC 11 Phương trình đường phân giác góc A Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB 4x y 42 (1)2 x y 12 (4) x y 1 x 4y d1 d2 Đặt f1 ( x, y x y 3; f x, y x y , ta có f1 (B) f1 (C) 0; f2 (B) f2 (C) Suy B,C nằm phía so với d1 khác phía so với d Vậy phương trình đường phân giác ngồi góc A x y Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng : 3x y 17 18 x y Câu Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng d : 1 A 4,8 B C 10 14 A B C D D Trang 30 x 3t Câu Khoảng cách từ điểm M 2;0 đến đường thẳng y 4t C D Câu Khoảng cách hai đường thẳng song song : x – y –101 d : 3x y A B A 10,1 B 1, 01 C 101 D 101 Câu Cho tam giác ABC có A 1;3 , B 2;0 C 2; 1 Độ dài đường cao AH ABC 15 17 17 17 B C D 17 17 17 Câu Cho ba điểm A 2; 1 B 0;100 , C 2; 4 Diện tích tam giác ABC A D 147 đvdt đvdt Câu Cho hai đường thẳng song song d1 :5x – 3y d2 :5x y Phương trình đường A đvdt B đvdt C thẳng song song cách d1 d2 A x y B x – y C x – y D x y Câu Đường thẳng x y 15 tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích thay A 15 B 7,5 C D Câu Cho đường thẳng qua hai điểm A 3,0 , B 0;4 Tọa độ điểm M nằm Oy cho diện tích tam giác MAB A 0;8 B 0;1 D 0;0 0;8 C 0;0 Câu 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A 3;4 , B 2;1 , C 1; 2 Gọi M x; y điểm đường thẳng BC cho SABC 4SABM Giá trị biểu thức P x y P 16 16 77 C P P 16 16 A P B P 77 P 16 16 D Đáp án khác Câu 11 Cho ba điểm A 1;1 , B 2;0 , C 3;4 Phương trình đường thẳng qua A cách hai điểm B, C A x y 0; x y B x y 0; x y C x y 0; x y D x y 0; x – y Câu 12 Cho tam giác ABC có AB : x y 0, AC : x y Hai đỉnh B C thuộc Ox Phương trình phân giác ngồi góc BAC A 3x y B x y 10 C 3x y 10 D x y 10 Đáp án trắc nghiệm 1-B 2-A 11 - A 12 - A Hướng dẫn giải Câu 3-A 4-A 5-A 6-B 7-D 8-B 9-D Trang 31 10 - C Lấy điểm O(0;0) d : 3x - 4y = Vì // d nên | 101| 101 d (d ; ) d (O; ) 10,1 62 (8) 10 Câu Phương trình đường thẳng song song d1 d với d: 5x 7y + c = |c4| SMAB | c6| | c || c | c 52 72 52 72 Vậy phương trình đường thẳng cần tìm 5x - 3y +5 = Câu Gọi M (0; m) Oy Để d cách d1 d m 1 1 | OA || MB | 02 (m 4)2 3 | m | 3 | m | 2 2 m Vậy M(0;0) M(0;8) điểm cần tìm Câu 10 Cách Phương trình đường thẳng AB 3x - y - =0 Đường thẳng BC (BC ): x y = Gọi M (m 1; m) ( BC ) d (C;( AB)) | (1) (2) | (1)2 (3)2 Để SABC 4SABM | 3( m 1) m | | 2m | ; d ( M ;( AB)) 10 10 (1)2 (3)2 m 2m 2m 2∣ d (C;( AB)) 4d ( M ;( AB)) 10 10 m 11 5 1 Do M ; M ; Suy 4 4 4 Cách Dễ thấy xy 16 xy 77 16 BC 4BM SABC BC 4 4 SABM BM BC 4 BM x x x y Trường hợp 1: BC BM 16 y 1 y 4 11 x x x y 77 Trường hợp 2: BC 4 BM 16 y 1 y 4 Câu 11 Phương trình đường thẳng qua A có dạng a( x 1) b( y 1) ax by a b Đường thẳng qua A cách B, C thỏa mãn: | 2a a b | a b2 | 3a 4b a b | a b2 2a 3b a b a 4b | a b || 2a 3b | 3a 2b 2a 3b b a Trang 32 Trường hợp Chọn a = 4, b =1 ta có phương trình đường thẳng cần tìm 4x - y - = Trường hợp Chọn a = -2, b = ta có phương trình đường thẳng cần tìm 2x - 3y +1=0 Câu 12 Do B,C Ox nên B(-2;0), C(0;0) Gọi M (x;y) thuộc đường phân giác góc BAC x y 10 | 2x y | | x y | Ta có d ( M , AB) d (M , AC ) 5 3 x y Đặt f1 (x, y)=x + y + 10 ; f2 (x, y)=3x 3y Khi f1 (B) f1 (C)=(-2+10)(6+10)>0 nên B,C nằm phía so với đường thẳng x + y + 10 = f2 (B) f2 (C) (6 2)(18 2) nên B,C nằm phía so với đường thẳng 3x - 3y -2=0 Vậy 3x - 3y - = đường phân giác góc BAC Dạng Góc hai đường thẳng Phương pháp giải Góc hai đường thẳng 1 2 có vectơ pháp tuyến n1 a1; b1 n2 a2 ; b2 tính theo cơng thức: cos 1 , cos n1 , n2 n1 n2 a1a2 b, b2 n1 n2 a1 b12 a22 b22 Chú ý: Công thức thay vectơ pháp tuyến vectơ phương Ví dụ: Xác định góc hai đường thẳng sau x t 1 : 3x y : (t ) y 5t Ta có n1 (3; 2) vectơ pháp tuyến 1 u2 t; 5 vectơ phương 2 n2 (5;1) vectơ pháp tuyến 2 cos 1 , | cos(n1 , n2 ) | a1a2 b, b2 a b a b Vậy 2 2 | n1 n2 | | n1 | | n2 | | 3.5 1| 13 26 1, 2 450 Ví dụ mẫu x t (t ) Ví dụ Cơsin góc hai đường thẳng 1 :10 x y : y 1 t 10 Hướng dẫn giải A B 10 10 C 10 10 D Vectơ pháp tuyến 1, 2 n1 (2;1) n2 (1;1) Trang 33 Ta có cos 1 , cos n1 , n2 | 1 11| 22 12 12 12 3 10 10 10 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Câu Cơsin góc hai đường thẳng 1 : x y 2 : x y D 3 x mt Câu Cho hai đường thẳng d : x y d : Giá trị m để góc tạo hai đường y t A 10 10 B C thẳng 600 A B C 2 D ĐÁP ÁN Câu Chọn A Vectơ pháp tuyến 1, 2 n1 (1;2) n2 (1; 1) Ta có cos 1 , 2 cos n1 , n2 |1.1 1| (2) 2 2 10 10 10 Câu Chọn A Vectơ pháp tuyến d1 , d2 , n1 (1;1) n2 (1; m) Ta có cos 1 , cos n1 , n2 ∣ |1.1 m 1| 12 12 (m) 12 |1 m | m2 |1 m | m 2 2 m2 Trang 34 ... ? ?1 :10 x y : y 1? ?? t 10 Hướng dẫn giải A B 10 10 C 10 10 D Vectơ pháp tuyến ? ?1, 2 n1 (2 ;1) n2 (1; 1) Trang 33 Ta có cos ? ?1 , cos n1 , n2 | ? ?1 1? ? ?1| 22 12 ... (2) 2 2 10 10 10 Câu Chọn A Vectơ pháp tuyến d1 , d2 , n1 (1; 1) n2 (1; m) Ta có cos ? ?1 , cos n1 , n2 ∣ |1. 1 m ? ?1| 12 12 (m) 12 |1 m | m2 |1 m | ... Phương trình đường thẳng chứa cạnh AC 1? ? ?1 Phương trình đường phân giác góc A Phương trình đường thẳng chứa cạnh AB 4x y 42 (? ?1) 2 x y 12 (4) x y ? ?1 x 4y d1