BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP MỤC TIÊU Kiến thức - Trình bày cách viết phương trình đường elip - Nhận biết yếu tố elip biết phương trình Kỹ - Viết phương trình tắc elip - Xác định độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm elip I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa đường Elip Cho hai điểm cố định F; F, độ dài không đổi 2a lớn F1F2 Elip tập hợp điểm M mặt phẳng cho M F1 +M F2 =2a Ta viết ( E) : M ∣ F1M F2 M 2a F1 , F2 tiêu điểm Độ dài F1F2 = 2c gọi tiêu cự elip Phương trình tắc elip Trong mặt phẳng Oxy cho hai tiêu điểm F1 (-c ; 0) ; F2 (c ; 0) độ dài khơng đổi 2a Khi ta có phương trình tắc elip x2 y , a2 b2 c2 ; a b a b Các thành phần elip (E) • Bốn đỉnh: A1 (-a ; 0), A2 (a ; 0), B1 (0 ;-b), B2 (0 ; b) (E) : • Độ dài trục lớn: A1 A2 = 2a • Độ dài trục nhỏ: B1B2 = 2b • Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (-c;0), tiêu điểm phải F2 (c;0) với b a c • Tiêu cự: FF =2 c Hình dạng elip Elip Elip có hai trục đối xứng hai trục tọa độ tâm đối xứng gốc tọa độ II CÁC DẠNG BÀI TẬP *Dạng Lập phương trình tắc elip biết thành phần đủ để xác định elip Phương pháp giải Để viết phương trình tắc elip ta làm sau: - Phương trình tắc elip Có dạng: x2 y 1(a b 0) a b2 - Từ giả thiết toán ta thiết lập phương trình, hệ phương trình để tìm đại lượng a, b elip Từ đó, viết phương trình tắc c Ví dụ: Viết phương trình tắc elip biết elip có độ dài trục lớn có a Hướng dẫn giải Gọi phương trình tắc elip cần tìm có dạng: x2 y 1(a b 0) a b2 Độ dài trục lớn nên 2a a Trang c c2 a Ta có b a c Ta có x2 y Vậy ( E ) : 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Viết phương trình tắc elip (E) mơi trường hợp sau: 10 a) (E) có toạ độ đỉnh (0, 5) qua điểm M ; 33 b) (E) có tiêu điểm thứ ( 3;0) qua điểm M 1; c) Độ dài trục nhỏ 12 tiêu cự 16 Hướng dẫn giải x2 y 1(a b 0) a b2 a) (E) Có định (0; 5) nằm trục tung nên b = Phương trình tắc (E) có dạng: Do phương trình tắc (E) có dạng: x2 y 1(a 5) a2 10 160 a2 Mặt khác (E) qua điểm M ; nên 25a x2 y Vậy phương trình tắc (E) b) (E) có tiêu điểm F1 ( 3;0) nên c = suy a b2 c b2 (1) 33 528 Mặt khác M 1; ( E ) (2) 2 a 25 b Thế (1) vào (2) ta 528 25b 478b 1584 b 22 a 25 2 b 25b x2 y Vậy phương trình tắc (E) 1 100 36 c) Độ dài trục nhỏ 12 nên 2b 12 b Tiêu cự 16 nên 2c 16 c a b2 c 62 82 100 x2 y 100 36 Ví dụ Phương trình tắc elip có trục lớn gấp đôi trục bé qua điểm M (2;-2) Vậy phương trình elip (E) x2 y A 1 24 Hướng dẫn giải x2 y B 1 36 x2 y C 1 16 x2 y D 1 20 x2 y 1,(a b 0) a b2 Vì trục lớn gấp đôi trục bé nên a 2b a 4b Gọi phương trình tắc elip có dạng Trang x2 y 22 (2)2 1 a b2 a2 b 2 a 4b b Ta hệ phương trình: a 20 4b b Điểm (2;-2) thuộc elip (E) Vậy phương trình tắc elip x2 y 20 Bài tập tự luyện dạng Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn 12 độ dài trục bé Phương trình sau phương trình elip (E) x2 y x2 y B 1 1 144 36 36 x2 y x2 y C D 1 0 36 144 36 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự 10 Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y 1 25 16 x2 y C 1 36 x2 y 1 16 41 x2 y D 1 41 16 c Câu Phương trình tắc elip qua (0;6) có a A B x2 y x2 y B 1 1 36 27 x2 y x2 y C D 1 1 36 18 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn 10 độ dài tiêu cự Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y x2 y B 1 1 25 16 16 25 x2 y x2 y C D 1 0 36 144 36 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình tắc Elip có tiêu cự qua điểm A(0;5) A x2 y 1 100 81 x2 y C 1 25 x2 y 1 34 25 x2 y D 1 25 16 A B Câu Phương trình tắc elip có trục lớn tỉ số tiêu cự với độ dài trục lớn A x2 y 1 B x2 y 1 C x2 y 1 D x2 y 1 Trang 12 Câu Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, phương trình elip (E) qua điểm M (0;3), N 3; 5 A x2 y 1 B x2 y 1 25 C x2 y 1 D x2 y 1 36 Câu Phương trình tắc elip có trục lớn gấp đơi trục bé có tiêu cự x2 y A 1 36 x2 y B 1 36 24 x2 y C 1 24 x2 y D 1 16 3 Câu Phương trình tắc elip có tiêu điểm F1 ( 3;0) qua M 1; x2 y x2 y x2 y x2 y B C D 1 1 1 1 4 4 Câu 10 Lập phương trình tắc elip có tâm O, hai trục đối xứng hai trục toạ độ qua hai A 3 3 điểm M 2 3; , N 2; x2 y x2 y B 1 1 12 12 Đáp án trắc nghiệm 1-C 2-D 3-B 4-A 5-B Hướng dẫn giải Câu x2 y Phương trình elip có dạng: a b A C x2 y 1 16 6-B 7-B D 8-D x2 y 1 16 9-B 0 a b b 12 Elip qua hai điểm M (0;3), N 3; nên ta có 5 144 a 25 a 25b Vậy phương trình elip x2 y 1 25 Câu x2 y Gọi phương trình tắc elip có dạng 1,(a b 0) a b Vì trục lớn gấp đôi trục bé nên a 2b a 4b (1) Vì elip có tiêu cự nên 2c c a2 b2 12 (2) 2 b2 a 4b Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 2 a b 12 a 16 Vậy phương trình tắc elip x2 y 1 16 Câu Phương trình tắc elip có dạng ( E ) : x2 y 1, a b a b2 Trang 10 -C a b2 a b2 Vì c b a c nên 3 1 2 2 M 1; ( E ) 4b 3a 4a b a 4b Từ (1) (2) ta có hệ phương trình (1) (2) 2 2 a b a a b a b 2 2 2 2 b 4b 3a 4a b 4b 5b 4b b b b Vậy phương trình elip ( E ) : x2 y 1 Câu 10 x2 y Gọi phương trình tắc elip cần tìm ( E ) : 1,(a b 0) a b 12 1 a 16 3 3 a 4b Do elip qua M 2 3; , N 2; nên ta có hệ 27 b a 4b Vậy elip cần tìm x2 y 1 16 Dạng Xác định thành phần clip biết phương trình tắc elip Phương pháp giải x2 y ta định được: a b2 • Các đỉnh: A1 (-a ; 0), A2 (a ; 0), B1 (0 ;-b), B2 (0 ; b) Từ phương trình tắc (E): • Trục lớn: A1A2 =2a , trục nhỏ B1B2 =2b • Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F(-c;0), tiêu điểm phải F(c;0) với b a c • Tiêu cự: FF =2c Ví dụ: Cho elip (E): ( E ) : x2 y Xác định đỉnh, độ dài trục lớn, trục nhỏ, tiêu điểm tiêu cự elip Hướng dẫn giải Ta có: a2 a 3; b2 b Vậy đỉnh elip là: A1 (-3 ; 0), A2 (3 ; 0), B2 (0 ; 2), B1 (0 ;-2) Độ dài trục lớn: A1 A2 =6; Độ dài trục nhỏ: B1B2 = • Trục lớn: AA, = 2a, trục nhỏ: BB = 2b Ta có : b2 a c c a b2 Hai tiêu điểm : F1 ( 5;0) F2 ( 5;0) Tiêu cự : F1F2 2c Ví dụ mẫu x2 y Ví dụ Cho elip có phương trình: Khi độ dài trục lớn, trục nhỏ elip Trang A 9; Hướng dẫn giải a a Ta có: b b B 6; C 3; D 4; Độ dài trục lớn: A1A2 =2a=2.3=6 Độ dài trục nhỏ: B1B2 =2b=2.2=4 Chọn B Ví dụ Cho elip có phương trình: A F1 ( 7;0), F2 ( 7;0) x2 y Khi tọa độ tiêu điểm elip là: 16 B F1 (-16 ; 0), F2 (16 ; 0) C F1 (-9 ; 0), F2 (9 ; 0) D F1 (-4 ; 0), F2 (4 ; 0) Hướng dẫn giải a 16 c a b2 Ta có: b Tiêu điểm là: F1 ( 7;0), F2 ( 7;0) Chọn A x2 y Ví dụ Cho elip có phương trình Khi tọa độ hai đỉnh trục lớn elip là: A A1 (-1;0), A2 (1;0) B A1 (0;-1), A2 (0;1) C A1 (2;0), A2 (-1;0) D A1 (-2;0), A2 (2;0) Hướng dẫn giải Ta có: a a Hai đỉnh trục lớn là: A1 (-2;0), A2 (2;0) Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu Cho elip có phương trình A B1 (-2;0), B2 (2;0) x2 y Khi tọa độ hai đỉnh trục nhỏ elip là: B B1 (3;0), B2 (2;0) C B1 (-3;0), B2 (-2;0) Câu Elip A 18 D B1 (-3;0), B2 (3;0) x2 y có tiêu cự 16 B Câu Đường elip C.9 D C (- ;0) D (3;0) x y có tiêu điểm là: A (0,3) B (0; ) Câu Cho elip 9x2 36 y2 144 Khẳng định sau sai? A Độ dài trục lớn C c a B Tiêu cự D Độ dài trục nhỏ Trang x2 y điểm M nằm (E) Nếu điểm M có hồnh độ khoảng 16 12 cách từ M tới hai tiêu điểm (E) Câu Cho elip (E): A B C 3,5 4,5 D Câu Cho elip (E) có phương trình tắc 2 2 x2 y 1, a b c2 a b2 (c 0) Khi a b khẳng định sau đúng? c xM c xM , MF2 a a a c xM c xM , MF2 a B Với M xM ; yM ( E ) tiêu điểm F1 (-c ; 0), F2 (c ; 0) MF1 a a a c xM c xM , MF2 a C Với M xM ; yM ( E ) tiêu điểm F1 (-c ; 0), F2 (c ; 0) MF1 a a a c xM c xM , MF2 a D Với M xM ; yM ( E ) tiêu điểm F1 (-c ; 0), F2 (c ; 0) MF1 a a a A Với M xM ; yM ( E ) tiêu điểm F1 (-c ; 0), F2 (c ; 0) MF1 a x2 y Điểm M điểm thuộc (E) cho M F1 =M F2 Khi tọa 16 Câu Cho elip có phương trình: độ điểm M là: A M1 (0;1), M2 (0;-1) B M1 (0;2), M2 (0;-2) C M1 (-4;0), M2 (4;0) D M1 (0;4), M2 (0;-4) x2 y hai điểm A(3;-2) B(-3;-2) Tìm tọa độ, điểm C thuộc elip có hồnh độ, tung độ khơng âm cho tam giác ABC có diện tích lớn A C(0;3) B C(0;2) C C(3;0) D C(2;0) Câu Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elip (E): x2 y Câu Cho elip ( E ) : đường thẳng d: 3x + 4y - 12 =0 Biết d cắt (E) hai điểm 16 phân biệt A,B Khẳng định sau đúng? A AB = B AB = C AB = D AB = 10 x2 y Có điểm M thuộc (E) nhìn đoạn F1F2 góc 60° (biết F1 , F2 , tiêu điểm elip)? Câu 10 Trong mặt phẳng Oxy cho (E) có phương trình: A Đáp án trắc nghiệm 1-A 2-B 3-C Hướng dẫn giải Câu B 4-D C.3 5-C Phương trình tắc elip có dạng ( E ) : 6-D D.4 7-B 8-B 9-A x2 y (a b 0) a b2 Ta có a = 4; b =2 Trang 10 - D Vì M F1 =M F2 nên M thuộc đường trung trực F1F2 trục Oy Mà M điểm thuộc (E) nên M giao điểm elip trục Oy Vậy M1 (0;2), M2 (0;-2) Câu A , B có hồnh độ hồnh độ đỉnh hai bán trục lớn (E) nằm đường thẳng y + = Điểm C có hồnh độ tung độ khơng âm C nằm cung phần tư thứ Tam giác ABC có AB = cố định Vì tam giác có diện tích lớn khoảng cách từ C đến AB lớn Khi dễ thấy C trùng với đỉnh bán trục bé (0;2) Câu Ta có d : 3x y 12 y 3x x2 y , thay vào phương trình ( E ) : ta được: 16 3x 3 x y x x ( x 4) 1 x2 8x 16 16 16 x y Vậy d cắt (E) hai điểm phân biệt A(0;3), B(4;0) độ dài AB =5 Câu 10 5 x0 , MF2 x0 MF1MF2 x0 x x0 3 3 Theo định lí coossin , ta có MF1 F1F2 MF12 MF12 2MF1MF2 cos 60 MF1 MF2 3MF1MF2 (2 5)2 62 x0 x0 36 x02 x02 33 165 20 x02 x02 x0 5 4 33 423 x02 y0 9 5 Vậy có bốn điểm thỏa mãn y02 Dạng Chứng minh điểm M di động elip Phương pháp giải Để chứng tỏ điểm M di động elip ta có hai cách sau: Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1 , F2 số 2a ( F1F2 < 2a) Khi M di động elip Có hai tiêu điểm E, F, trục lớn 2a Cách 2: Chứng minh mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm M xM ; yM có tọa độ thỏa mãn phương trình xM2 yM2 với a, b hai số thỏa mãn 0< b < a a b2 Ví dụ 1: Cho hai đường trịn ( C1 ) có tâm F1 bán kính R1 ,( C2 ) có tâm F2 , bán kính F2 ( C1 ) chứa ( C2 ) F1 F2 Gọi M tâm đường trịn (C) thay đổi ln tiếp xúc với (C) tiếp xúc với ( C1 ) Chứng tỏ M di động elip Hướng dẫn giải Ta có (C) tiếp xúc ngồi với ( C1 ) MF1 R1 R Trang (C) tiếp xúc với ( C2 ) MF2 R2 R Do đó, M F1 +M F2 =R1 +R+R2 -R=R1 +R2 không đổi Vậy M di động elip Có hai tiêu điểm F1 , F2 độ dài trục lớn R1 R2 Ví dụ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ ln thỏa mãn: x 5cos t ,với t tham số thay đổi Tìm quỹ tích điểm M y 4sin t Hướng dẫn giải Ta có: x x 5cos t cos t y 4sin t y sin t x2 25 cos t x2 y 1 25 16 y sin t 16 Vậy điểm M di động elip có phương trình x2 y 1 25 16 Ví dụ mẫu Ví dụ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A di động trục Ox điểm B di động trục Oy cho AB = k khơng đổi Tìm tập hợp điểm M thuộc đoạn AB cho MB = 2MA Hướng dẫn giải Gọi A(a;0) Ox B(0; b) Oy Do AB = k nên a b k không đổi (1) Vì M thuộc đoạn AB MB = 2MA nên MB 2MA xB x A a 3x x11 a M y yB y A b b yM M 1 xM2 x2 y2 yM2 k M2 M2 4k k 9 x2 y2 1 Vậy tập hợp điểm M elip có phương trình (E): 2 2k k 3 Bài tập tự luyện dạng Thay vào (1), ta được: x cos t Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ ln thỏa mãn: , y 5sin t với t tham số thay đổi Khi điểm M di động elip có phương trình A x2 y 1 100 81 B x2 y 1 49 25 C x2 y 1 25 D x2 y 1 25 16 ĐÁP ÁN Trang x x2 cos t cos t x cos t x2 y 7 49 1 Ta có y 5sin t y 49 25 y sin t sin t 25 Vậy điểm M di động elip có phương trình Chọn đáp án B Trang 10 ... trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn 12 độ dài trục bé Phương trình sau phương trình elip (E) x2 y x2 y B 1 1 144 36 36 x2 y x2 y C D 1 0 36 144 36 Câu Trong mặt phẳng... Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ độ dài tiêu cự 10 Phương trình sau phương trình elip (E)? A x2 y 1 25 16 x2 y C 1 36 x2 y 1 16 41 x2 y D 1 41 16 c Câu Phương trình tắc elip qua... b b Vậy phương trình elip ( E ) : x2 y 1 Câu 10 x2 y Gọi phương trình tắc elip cần tìm ( E ) : 1,(a b 0) a b 12 1 a 16 3? ?? 3? ?? a 4b Do elip qua M 2 3; , N