bai tap cong thuc luong giac lop 10

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Lượng giác Phần 1: Hàm số lượng giác A.. VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí6.. VnDoc - Tải tài liệu, vă

Trang 1

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí Lượng giác

Phần 1: Hàm số lượng giác

A Kiến thức cần nhớ

1 Các hằng đẳng thức cơ bản

a) sin2 xcos2x1 b)

x

x x

cos

sin

x

x x

sin

cos cot 

d)

x

2

cos

1 tan

x

2

sin

1 cot

2 Giá trị của các hàm lượng giác cung liên quan đặc biệt

a) Hai cung đối nhau b) Hai cung bù nhau c) Hai cung khác nhau 2

x x

cot

)

cot(

tan

)

tan(

sin

)

sin(

cos

)

cos(



















x x

cot )

cot(

tan )

tan(

cos )

cos(

sin ) sin(





















x x

cot ) 2 cot(

tan ) 2 tan(

cos ) 2 cos(

sin ) 2 sin(



















d) Hai cung khác nhau  e) Hai cung phụ nhau

x x

cot

)

cot(

tan

)

tan(

cos )

cos(

sin )

sin(























x x

tan 2

cot

; cot 2

tan

sin 2

cos

; cos 2

sin













 













 













 













 



B Bài tập

1 Tìm các giá trị của để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó



1

; sin 1

1







A

2 Xét dấu của các biểu thức sau:

a) sin123o sin132o b) cot304o cot316o

3 Rút gọn các biểu thức sau:

a) 5tan540o 2cos1170o 4sin990o 3cos540o

b)

3

19 cos 2 4

13 tan 3 6

25

sin





c) sin215o sin235o sin255o sin275o

d) cos215o cos235o cos255o cos275o

e)

12

11 sin 12

9 sin 12

7 sin 12

5 sin 12

3 sin

12

sin2   2   2   2   2   2 

f)

12

11 cos 12

9 cos 12

7 cos 12

5 cos 12

3 cos

12



Trang 2

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

























 



2

3 tan ) 2 cot(

2 cos )

h) Asin4acos2asin2 a.cos2a

i)

2 cos 2

sin 2

tan

1 2

cos 2

sin

2

a a a

a a

B















o o

o C

342 cot 252 tan

156 cos 530 tan )

260 tan(

696

cos

2 2









4

13 cot 2

7 tan 4

17

































































x

x x

x

cos 1

cos 1 cos

1

cos 1 sin

1

sin 1 sin

1

sin

1

m) sin3a(1cota)cos3a(1tana)

n)

b

cot

tan



o)

a

a a

4

4 4

cos

sin cos

p)























 



x x

x

x x

x

2

3 cot )

cot(

2

sin

) 2 sin(

)

2 cos(

)

sin(



q)

2 2

) 2 cos(

2

3 cos )

sin(

2

















































































2

3 tan )

tan(

3

5 cos 3

2 tan

3

s)

) 5 , 3 tan(

)

6

cot(

) 4 tan(

) 5

,

5

cot(









b a

t) tan50o.tan190o.tan250o.tan260o.tan400o.tan700o

4 Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC Chứng minh:

a) sin(AB)sinC ;cos(BC)-cosA c) tan(AC)tanB ;cot(AB)-cotC

b)

2

sin 2

C B cos ; 2

cos 2

B

A

2

tan 2

B A cot ; 2

cot 2

5 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

2 cos sin

cos 2







x x

x y

Trang 3

6 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số trong khoảng  x :

4 sin cos 2

3 sin 2 cos









x x

7 Gọi a, b, c là các cạnh đối diện với các góc tương ứng của tam giác ABC

a) Cho sin2 Bsin2C2sin2 A Chứng minh A60o

b) 2(acosAbcosBccosC)abcABC đều

c) Chứng minh: 0sinAsinBsinC-sinA.sinB-sinB.sinC-sinC.sinA1

Phần 2: Các công thức lượng giác

I Công thức cộng

A Kiến thức cần nhớ

b a b a b

a

a b b a b

a

sin sin cos cos )

cos(

)

2

cos sin cos sin )

sin(

)

1











b a

b a b

a

tan tan 1

tan tan

) tan(

) 3









B Bài tập

1 Chứng minh các công thức sau:









 













 



a

4 sin 2 4

cos 2 sin









 













 



a

4 sin 2 4

cos 2 sin

2 Rút gọn các biểu thức:

a)











 















 



a a

4 sin 2 sin

2

4 cos 2 cos

2



b) cos10ocos11o.cos21ocos69o.cos79o

c) (tanatanb).cot(ab)tana.tanb

3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

2 tan 2

tan 2 tan 2

c) cotA.cotBcotB.cotCcotC.cotA1 d)

2 cot 2 cot 2

cot 2

4 a) Cho

4





 b

b

tan tan

1

tan 1







a

tan tan

1

tan 1









b) Cho

4





 b

a , chứng minh: (1tana)(1tanb)2 và (1cota)(1cotb)2

c) Cho

n y a

m a x









) tan(

Chứngminh:

ab

b a y x







 1 )

Trang 4

d) Cho

5

2 tana ,

7

3 tanb (0a, b1v) Tìm a + b

e) Cho

2

1

2

(  a và tanb3 )

2 0

(  b

Tìm a + b

f) Cho

3

2 1 tana ,

4

1 tanb (0a, b1v) Tìm a - b

g) Cho

12

1 tana ,

5

2 tanb ,

3

1 tanb Chứng minh a + b + c = 45o

5 Tìm giá trị các hàm số lượng giác góc:15 hoặco

12



và 75 hoặco

12

5

6 Cho  , , thoả mãn điều kiện:

2







    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:







.tan 1 tan tan 1 tan tan tan



A

7 Chứng minh rằng nếu các góc của tam giác A, B, C thoả mãn một trong các đẳng thức sau thì tam giác ABC cân:

2

1 sin

sin

cos

2 2

B A







C

B

cos 2 sin

sin



2 tanA a A b B

b

a   d) tanA2tanBtanA.tan2 B

II Công thức nhân đôi nhân ba.

A Lý thuyết cần nhớ

2

sin 2 2sin cos

2 tan cos 2 cos sin 1 2sin 2cos 1 ; tan 2

1 tan sin 3 3sin 4sin ; cos 3 4cos 3cos

a





B Bài tập

a)

a a a

a

a a

sin 3 cos cos

3

sin

4 sin 4

sin













 











b)

8 tan

1 8

tan2





c) cos20o.cos40o.cos80o d) 2sinacosa(cos2asin2a)

e) cos4a6sin2acos2asin4a f)

2

cos 2 sin 4 cos2 2 a 2a

a g)18sin2acos2a h) 8cos10ocos20ocos40o

i) 4sin3acos3a4cos3asin3a j) 4sin44asin22a

k)

5

2

cos

5

l) cos20ocos40ocos60ocos80o

Trang 5

m) tana2tan2a4tan4a8tan8a16tan16a32tan32a

n)

a a

3 cos

cos

3 sin

sin

3





o)

a a

3 sin sin

3 cos cos





2 Chứng minh:

4

1 3

sin 3

sin









 











Áp dụng với

9





a b) 8sin3188sin2181

c)

32

cot 32

tan 16 tan 2 8

tan

4

d) tan236otan272o 5

4

1 3

cos 3

cos









 











Tính:

18

7 cos 18

5 cos 18

f)

a

a a

3

tan 3 1

tan tan

3

tan





3

tan 3

tan









 











Chứng minh:

5 2 10

1 5 66

tan 54 tan 6 tan







o o

3 a) Cho sin 2 ( , 0)



b a

ab

 Tìm sin2, cos2 , tan2

1

2 cos

a





 Tìm sin2, cos2 , tan2

c) Cho

4

5 cos sin   Tìm sin2, cos2 , tan2

4 Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số sau:









 











 



4

sin 4

x x

y b) ycos4xsin4x c) y18sin2xcos2x

III Công thức hạ bậc Công thức viết các hàm lượng giác theo

2 tana

t .

a a

2

sin

2

cos

1

cos

2

cos

1









2

1

2 sin

t

t a



1

1 cos

t

t a





1

2 tan

t

t a





B Bài tập

1 Chứng minh các biểu thức sau:

a)

2

tan 2

sin

2

2 sin

sin

a a

a













 







a a

a

a a

4

tan 2

cos 2 sin 1

2 cos 2 sin

c)

2 cos 4 ) cos (cos

) sin

b a b

2

cot 2

Trang 6









 







2 4

cot

sin

1

sin

a

f) tan7o30' 3 2 21

g)

2 cos 2 ) cos (cos

cos ) sin (sin

b a a b

a

h)

2 sin 4 ) cos (cos

) sin

b a

b







a

a a

a

sin 1

2 4 sin sin

1

2 4 sin













 













) 0

(  a

2

1 2

1

2

1

2

1 2

1  (0 )

c)

2

cot

1

2

cot

2

2 a

a



d)

4

tan 4 cot

2

tan 2

cot

a a





e)

2 tan 1

2 tan 2

tan

1

2

tan

a

a a

a





f)

2 tan 1

1 2

tan 1

1

a

a 



g)



sin

2

sin

2 cos

cos

1







h)



cos 1

cos 2 cos 1

2 sin



3 Tìm giá trị biểu thức

a)

a

cos

2

3

sin

a a

sin tan





Biết

15

2 2 tana 

4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

a) y2cos2xsin2x b) y2sin2 xcos2x c) 2 (sin cos )2

4









 

IV Công thức biến đổi tổng và tích

1 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2

2 Công thức biến đổi tổng thành tích

Trang 7

2 sin 2 sin 2 cos

cos

2 cos 2 cos 2 cos

cos

2 sin 2 cos 2 sin

sin

2 cos 2 sin 2 sin

sin

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

a

b a b a b

a































b a

b a b

a

b a

b a b

a

b a

b a b

a

b a

b a b

a

sin sin

) sin(

cot cot

sin sin

) sin(

cot cot

cos cos

) sin(

tan tan

cos cos

) sin(

tan tan

























B Bài tập

1 Rút gọn biếu thức

a) cosacos(ab)cos(a2b) cos(anb )(nN)

b)

a a

7 sin 5 sin 3 sin

sin

7 cos 5 cos 3 cos

cos









c)

a a

a

a a

a

3 sin 2 sin sin

3 cos 2 cos 2 cos



d)

a

a a

a

cos 2

6 2 cos 6 2 cos

cos



























e)

2 cot cot

3

cos 3

cos

a a













 













2

1 4 cos 4

1 cos

2

h) sin1osin91o2sin203o(sin112osin158o) i)cos35o cos125o 2sin185o(sin130o sin140o) j) sin20osin40osin60osin80o k) tan20otan40otan60otan80o

2 Chứng minh:

a)

16

3 80 sin 60 sin 40

sin

20

a n a

a a

a n a

a a

tan )

1 2 cos(

5 cos 3 cos

cos

) 1 2 sin(

5 sin 3 sin









c)

2 sin 2

) 1 ( sin 2

sin sin

3 sin 2

sin

a

a n na na

a a

a







d)

2 sin 2

) 1 ( cos 2

sin cos

3 cos 2 cos

cos

a

a n na na

a a

a







3 Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a)

2

cos 2

cos 2 cos 4 sin sin

b)

2

sin 2

sin 2 sin 4 1 cos cos

Trang 8

c) sin2 Asin2 Bsin2C2(1cosAcosBcosC)

d) cos2 Acos2 Bcos2C12cosAcosBcosC

e)

2

cos 2

sin 2 sin 4 sin sin

2

sin 2

cos 2 cos 4 cos cos

g) sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC

h) cos2Acos2Bcos2C14cosAcosBcosC

i) sin2 Asin2 Bsin2C2sinAsinBcosC

4 Chứng minh bất đẳng thức: (sin sin )

2

1 2 sinxy  x y với 0 y x, 

5 Tính giá trị các biểu thức sau:

a)

16

7 sin 16

5 sin 16

3 sin

16

sin4   4   4   4 

b) tan67o5'cot67o5'cot7o5'tan7o5'

11

9 cos 11

7 cos 11

5 cos 11

3 cos 11



6 Chứng tỏ các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x:









 



2 4 cos 4 2 sin sin

x

với

2

3

  x b) 4cos4xcos22x4cos2xcos2x









 













 

x

3

cos 3

cos





















x

3

2 sin 3

2 sin

7 Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông ở A là:

B A

C B

A

cos cos

sin sin

sin





8 Chứng minh nếu các góc của ABC thoả mãn:

2

3 cos cos

cosA B C thì nó là tam giác đều

9 Chứng minh rằng nếu các cạnh và các góc của ABC thoả mãn hệ thức:

a

c b B

A cos  

tam giác đó là tam giác vuông

2

tan 2 tan

5 A B Chứng minh rằng: 3c = 2(a+b)

Phần 3: Phương trình lượng giác

I Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình: sin xsin 









2

k x











2 Phương trình: cos xcos  xk2

3 Phương trình: tanx tan  k 4 Phương trình: cotx cot  k

Trang 9

B Bài tập

1 Giải các phương trình sau:

a)

2

3 6

3









 

5 2 cos









 

x

d) cos(3x - 15o) = cos150o e) tan(2x + 3) =

3 tan

f) cot(45o- x) =

3 3

g) sin3x - cos2x = 0 h) x cos3x

3

2









  

4 3 cos 6

5 3





















x x

2





















 

4 2 sin 4

x x

12









  

2

1 6 12









2

3 2

6









 

x

p) cos(  x5 )1 q) tan(3 x6 )1 r) tanx6 3

s)

3

1 2

4









  x

6

5









   x

u)

3

3 5

7

12









   x

2

2 3

12

sin   x  w) cos2xasin3x x) sin(3xb)cos5x





















6

5 cot 4











12

7 tan 3

II Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác

Là những phương trình bậc nhất hay bậc hai đối với một hàm sinx, cosx, tanx hay cotx

Phương pháp: Đặt ẩn phụ t rồi giải phương trình bậc nhất hay bậc 2 với t

B Bài tập

a) 3sin22x7cos2x30 b) 6cos2 x5sinx70 c) cos2x5sinx30

d) cos2xcosx10 e) 6sin23xcos12x14 f) 4sin4 x12cos2 x7

g) 8sin2 xcosx5

2 Giải các phương trình lượng giác:

5 cot









4 2









 

x

c) 7tanx4cotx12 d) cot2 x( 31)cotx 30

III Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Trang 10

Dạng phương trình: asinx cosb xc

Điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 b2  c2

Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho a2b2 rồi đặt:

2 2

cos

b a

a





2 2

sin

b a

b





Đưa phương trình về dạng: cossinxsincosxsin sin(x)sin Giải ra tìm được x

B Bài tập

1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

a) y(2 3)sin2xcos2x b) y(sinxcosx)2 2cos2x3sinxcosx

c) y(sinx2cosx)(2sinxcosx)1 d)

4 sin cos 2

3 sin 2 cos









x x

y

2

9 sin 3 2 cos

c) 3sin2x2cos2x3 d) 2sin2x3cos2x 13sin14x

e) 4sinx3cosx2 f) sinx 3cosx1

3 Tìm các giá trị của 











  ; 4

3

x thoả mãn phương trình sau với mọi m:

x x x

m x m x m x

m2sin  sin2  2cos  cos2 cos sin

4 Tìm các giá trị của  để phương trình:

a) (cos 3sin  3)x2 ( 3cos3sin 2)xsin cos  3 0 có nghiệm x = 1

b) (2sin cos2 1)x2 ( 3sin)x2cos2 (3 3)sin 0 có nghiệm x = 3

5 Giải phương trình:

14 sin 5 cos 12

5 sin

5

cos



x x

x

b) (4sinx5cosx)2 13(4sinx5cosx)420

1 sin 4 cos 3

6 sin

4

cos



x x

IV Phương trình thuần nhất đối với sinx và cosx

Dạng phương trình: asin2 xbsinxcosxccos2 xd

- Nếu cosx = 0 Thế vào phương trình thử nghiệm

- Nếu cosx0 Chia cả 2 vế của phương trình cho cos2 x rồi tiến hành giải phương trình bậc hai đối với tanx: (ad)tan2xbtanxcd 0

B Bài tập

Trang 11

a) sin2 x2sinxcosx3cos2 x0 b) 6sin2 xsinxcosxcos2 x2

c) sin2x2sin2 x2cos2x d) 2sin22x2sin2xcos2xcos22x2

2

3 sin 2 cos ) sin(

4 2 cos

sin





















f)

2

1 cos 2 cos sin

4

sin

a) 2sin3x4cos3 x3sinx









 

















2 2

sin 2

cos 2

sin 2

cos 2 sin 3 2 2

3 cos

2

sin

3 Số đo độ của một trong các góc trong tam giác vuông ABC là nghiệm của phương trình:

0 cos 3 2 sin sin sin3 x x x 3 x Chứng minh tam giác ABC vuông cân

V Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx.

Dạng phương trình: a(sinxcosx)bsinxcosxc

Cách giải: Đặt tsinxcosx, ta có: |t| 2 t2 12sinxcosx1sin2x Thay vào

phương trình rồi giải ra t

B Bài tập

1 Giải phương trình sau:

a) cotxtanxsinxcosx b) 2sinxcotx2sin2x1

c) cos3xsin3x1 d) |sinxcosx|4sin2x1

2

3 2 cos 2

sin

VI Một số dạng phương trình lượng giác khác

1 Giải các phương trình lượng giác sau:

4

3 cos

2

1 2

sin

cos

x x x

x

c) 4cos2x3tan2 x4 3cosx2 3tanx40 d) 1sinx 1sinx 2cosx

e)

2

7 2 4 sin 4 2 sin 4

cos









 



x

2

5 cos

2 tan

2

1







x x

g) (46m)sin3x3(2m1)sinx2(m2)sin2xcosx(4m3)cosx0 (Biện luận theo m) h)1tan2x2tanxtan2x i) sin4x2cos2x1

Trang 12

2 cos 2 sin 2 cos

x

x 



l)

2

3 4 sin

2

sin2 x 2 x m) tanxtan2xsin3xcosx

n) tanx3cotx4(sinx 3cosx) o) sin3xcos3xcos2x

r) 3(cotxcosx)5(tanxsinx)2 s) cos7x 3sin7x 2

t) tanx2 2sinx1 u) 2cos3xsin3x

v)

x

x x

sin 1

cos 1

tan2





6

5 cos sin6x 6 x 4x 4x

x x

4 cos 4

tan 4

tan

2 cos 2













 











 





1 4

tan 4

tan

cos















 











 



x x



z) cos2xsin2 x2cosx10

2 Giải các phương trình lượng giác sau:

x

2 sin 1

tan

1

tan





b)

x x

x

sin

1 cos

1 4

sin 2









  c) 9sinx6cosx3sin2xcos2x8 d) (cos2xcos4x)2 62sin3x

sin

5

sin 

x

f)

2

1 2

3 sin 2 sin sin 2

3 cos 2 cos

g) sin24xcos26xsin(10,5 10x) Tìm các nghiệm thuộc khoảng 









 2

;

0 

4

5 ) cos (sin

2 cos

sin8  8  10  10  i) 3sin2x2cos2 x2 22cos2x

j)

2

3 3 sin 2 sin

x x

x

cos

1 cos

sin

l) cot2x tan2x2tan2x1 m) 2cosx 2sin10x3 22cos28xsinx

n) sin2x2cos2x1sinx4cosx o) sin2x2tanx3

2

1 2 cos ) cos cos

1

1 cot

) sin (cos 2 2

cot tan

1





x x x

x

4

sin3 









  s) 8 2cos6x2 2sin3xsin3x6 2cos4x10 t) cos3xsin3xsin2xsinxcosx u) 34cos2xsinx(2sinx1)

v) 4 3sinxcosxcos2xsin8x w) tan2 xcot22xcot3xtan2xcot22xcot3x

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	287,13 KB