Thông tin tài liệu
CHƯƠNG 4: BẤT ĐẲNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH BÀI BẤT ĐẲNG THỨC Mục tiêu Kiến thức + Hiểu khái niệm bất đẳng thức + Nắm tính chất bất đẳng thức, bất đẳng thức Cô-si, hệ bất đẳng thức Cô-si bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Kĩ + Biết cách giải toán chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất định nghĩa + Biết cách chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương, sử dụng bất đẳng thức Cô-si + Vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức toán cực trị I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm bất đẳng thức - Ví dụ: Các mệnh đề dạng " a �b " " a �b " gọi bất đẳng ; a 1 �0 ; a thức Bất đẳng thức hệ bất đẳng thức tương đương - Nếu mệnh đề " a b � c d " ta nói bất đẳng thức c d bất đẳng thức hệ bất đẳng thức a b viết a b � c d - Nếu bất đẳng thức a b hệ bất đẳng thức c d ngược lại ta nói hai bất đẳng thức tương đương với viết a b � c d Tính chất bất đẳng thức Điều kiện c0 c0 Tính chất Nội dung c0 n ��* a b � ac bc a b � ac bc a b � ac bc a b� �� ac bd c d� ab� a n 1 b Từ � 2.3 2.6 � 12 Bất đẳng thức 12 bất đẳng thức hệ bất đẳng thức Chứng minh tương tự, ta thu kết hai bất đẳng thức 12 tương đương với Tên gọi a b� �� a c b d c d� a 0, Ví dụ: Cộng hai vế bất đẳng thức với số Nhân hai vế bất đẳng thức với số Cộng hai bất đẳng thức chiều Nhân hai bất đẳng thức chiều n 1 Trang a b � a 2n b2n n ��* , Nhân hai vế bất a0 đẳng thức lên a0 ab� a b lũy thừa Khai hai vế ab� a b bất đẳng thức Bất đẳng thức Cô-si - Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ab � ab Dấu " " xảy a b - Hệ quả: Tổng số dương nghịch đảo ln lớn Ví dụ: - mãn xy Khi đó, ta có a �2 , a a Nếu x , y dương có tổng khơng đổi tích xy đạt giá trị lớn x y x y �2 x y xy 18 Dấu " " xảy �x y �x y �� � �x y 3 �xy Nếu x , y dương có tích khơng đổi tổng x y đạt giá trị nhỏ x y Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối - Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có tính chất sau Điều kiện a0 Chứng minh: a b �a b 1 Nội dung x �0 , x �x , x � x x �a � a �x �a x �a � x �a � � x �a � a b �a b �a b Cho hai số thực x , y thỏa - Nếu a b 1 - Nếu a b , bình phương hai vế, ta a ab b �a b 2ab ۳ ab ab (bất đẳng thức đúng) Suy điều phải chứng minh Dấu " " xảy ab �0 Chứng minh tương tự với bất đẳng thức a b �a b II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất Phương pháp giải Trang Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Ví dụ: Chứng minh bất đẳng thức a b3 �a 2b ab với a �0 , b �0 A B A �B Chứng minh A B A B �0 dùng phép biến đổi tương đương để chứng minh A B A �B tương đương với bất đẳng thức Xuất phát từ bất đẳng thức Biến đổi vế bất đẳng thức �A C � A B Sử dụng tính chất bắc cầu � CB � Hướng dẫn giải Cách Xét hiệu a b3 a 2b ab a a 2b ab b3 a2 a b b2 a b a b a b2 a b a b Mà a b �0 với a , b a �0 , b �0 nên a b a b �0 Dấu " " xảy a b Vậy a b3 �a 2b ab với a �0 , b �0 Cách Biến đổi tương đương a b3 � a 2b ab � a a 2b ab b3 �0 � a a b b a b �0 � a b a b �0 � a b a b �0 * Lập luận tương tự Cách 1, ta suy bất đẳng thức * bất đẳng thức với a �0 , b �0 Vì ta có bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ mẫu Ví dụ Cho a , b hai số thực thỏa mãn ab �1 Chứng minh 1 � 2 a b ab Hướng dẫn giải Bất đẳng thức cho tương đương với 1 1 1 �0 � �0 2 2 a b ab a ab b ab Nhận xét: Khi chứng minh bất đẳng thức dạng A �B ta nên trường hợp Trang � � dấu đẳng thức (dấu " " ) ab a ab b �0 a ab b2 ab a b a b a b a ab b ab ba � a ��۳ � ab � 1 a �0 b a a ab b a 2b ab a b b � �0 b2 � b a a b ab b a ۳ ab a b xảy b a ab 1 ab a b2 0۳ Bất đẳng thức cuối ab �1 Dấu " " xảy a b ab Vậy bất đẳng thức ban đầu chứng minh Ví dụ Cho a , b thỏa mãn a b �0 �a b2 � a b3 �a b � �� Chứng minh � � � �2 � � � Hướng dẫn giải Ta có 2 �a b2 � a b a ab b �a b � �a b2 � a b3 �a b � � � � � � � � � 2 �2 � �2 � � � � � �2 �a 2ab b � a b � �a b � �a b � � a ab b � �� � � � � ��2 � �2 � � � � a b a b �0 (luôn a b �0 a b �0 ) Dấu " " xảy a b a b Vậy �a b2 � a b3 �a b � �� � �với a b �0 � �2 � � � 2 Ví dụ Cho a , b , c thỏa mãn a b c Chứng minh 35 33 1 1 a b c abc Hướng dẫn giải Ta có � a b c a b c ab ac bc � ac bc ab �a b c Trang � ac bc ab � a b c 35 � ac bc ab � hay ac bc ab 66 Vì abc nên chia hai vế cho abc , ta � ac bc ab abc abc 1 1 (điều phải chứng minh) a b c abc Ví dụ Chứng minh với a , b , c ta có a b c ab bc ca Hướng dẫn giải Ta có a b a b c � Tương tự ta có 1 a a � 1 ab a bc a b a bc b b bc abc 2 ; c c 3 ca abc Cộng theo vế bất đẳng thức 1 , , 3 ta a b c * ab bc c a 2 Ta có a a b c a ab ac a ab ac bc a b a c � a ac a b a b c 4 Tương tự ta có b ba bc abc 5 c cb c a a b c 6 Cộng theo vế bất đẳng thức , , ta a b c 2 ab bc ca Từ * ** ta ** a b c (điều phải chứng minh) a b bc ca Ví dụ Cho a , b , c số thực không âm thỏa mãn điều kiện Chứng minh a b c bc ca ab a b c � a bc b ca c ab Hướng dẫn giải Ta có Trang a b c a b c 3 � � bc ca ab � a b c a bc b ca c ab 4 1 1 1 bc ca ab Đặt x a b c ; y ; z bc ca ab Suy x , y , z �0 thỏa mãn x y z Ta cần phải chứng minh Dễ thấy x y z � 1 x 1 y 1 z x x y y z z � � � ; ; 1 x 1 x y z 1 y 1 y x z 1 z 1 z x y Cộng vế với vế bất đẳng thức, ta x y z x yz � (vì x y z ) 1 x 1 y 1 z 1 x y z Do bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu " " xảy số a , b , c có số hai số lại Ví dụ Cho x , y , z số thực dương thỏa mãn x �y �z �1 � �1 � x z Chứng minh y � � x z �� � �x z � y �x z � Hướng dẫn giải Bắt đẳng thức cho tương đương với x z xz � y x z x z � xz y xz y �0 (vì x z ) xz xz y � xy yz y xz �0 � x y z y y z �0 � x y y z �0 Bất đẳng thức ln x �y �z Vây bất đẳng thức ban đầu chứng minh Dấu " " xảy x y y z Ví dụ Cho abc a 36 Chứng minh a2 b c ab bc ca Hướng dẫn giải Xét hiệu Trang �a � a2 a2 2 2 b c ab bc ca � b c ab ca 2bc � 3bc �4 � 12 2 �a � a 36bc �a � a 36abc � b c � � b c � 12 12a �2 � �2 � �a � a 36 � b c � �2 � 12a a 36 Ta có a 36 � a 36 a 36 nên 0; 12a 3 �a � Lại có � b c ��0 �2 � �a � a 36 Do � b c � 0 �2 � 12a Vậy a2 a2 b2 c ab bc ca � b c ab bc ca (điều phải chứng minh) 3 Ví dụ Cho hai số thực dương a , b Bất đẳng thức sau đúng? A a2 � a 1 B C a2 1 � a2 2 D Tất ab � ab Hướng dẫn giải a 1 a2 2a a �0 , a �� Do A sai, D sai a4 2 a 1 a 1 ab ab ab � ab 2 ab 1 a 1 a 1 a � a2 2 a2 2 2 ab ab 1 ab ab a2 1 a 2 , a, b Do B sai 2 a2 a2 , a Do C Chọn C Ví dụ Nếu a bất đẳng thức sau đúng? A a a B a C a a a D a a Hướng dẫn giải 1 a 1 a a 1 a a a � a , a � 0;1 Do A a a a a Trang a a a 1 a 1 � a , a � 0;1 Do B sai a a a a a a a a � a a , a � 0;1 Do C sai a a a a 1 � a3 a , a � 0;1 Do D sai Chọn A Ví dụ 10 Cho a b x A x y C x y 1 a 1 b y Mệnh đề sau đúng? ; 1 a a b b2 B x y D Không so sánh Hướng dẫn giải Giả sử x y � 1 a 1 b � a b b2 b a a2 2 1 a a 1 b b � b b a ab ab a a b ab a 2b � b ab a a 2b � a b ab a b � a b a b ab với a b Do x y Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập a b2 �a b � a b Câu 1: Hai số , thỏa mãn bất đẳng thức �� � �2 � A a b B a b C a b D a �b 3 Câu 2: Với m , n , bất đẳng thức mn m n m n tương đương với bất đẳng thức 2 A m n m n �0 2 B m n m n mn �0 C m n m n 2 D m n m 2n �0 Câu 3: Cho x , y Bất đẳng thức sau sai? 1 x y x y A x y �4 xy B C xy � x y 2 D x y �2 x y 2 Câu 4: Với x , biểu thức A x B x 1 2 x 1 x , , , , giá trị biểu thức nhỏ nhất? x x x 1 2 C x 1 D x Trang Câu 5: Cho mệnh đề sau (I): a b �2ab , a, b 3 (II): ab a b �a b , a, b (III): ab �4 ab , a, b Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C (I) (III) D (I), (II) (III) Câu 6: Cho mệnh đề (I): a2 � a 1 (II): ab � ab (III): a2 1 � a2 2 (IV): ab �1 ab Số mệnh đề A B C D Câu 7: Giá trị lớn hàm số y x x đoạn 2;3 A B Câu 8: Cho hàm số f x C 1 x2 D Mệnh đề sau đúng? A f x có giá trị nhỏ 0, giá trị lớn B f x khơng có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn C f x có giá trị nhỏ 1, giá trị lớn D f x khơng có giá trị nhỏ giá trị lớn Câu 9: Cho a , b , c , d số dương Mệnh đề sau đúng? A Nếu a c ab cd b d a c C a b c � ab bc ca B Nếu a c ab cd � b d b d D ab a b �2ab a b Câu 10: Cho a , b , c , d số thực a , c �0 Nghiệm phương trình ax b nhỏ nghiệm phương trình cx d A b c a d B b c a d C b a d c D b d a c Bài tập nâng cao �x y Câu 11: Với giá trị a hệ phương trình � có nghiệm x; y với x y lớn nhất? �x y 2a A a B a C a D a Câu 12: Cho a b c Hãy chọn mệnh đề A ab bc ca �0 B ab bc ca � Trang C ab bc ca D ab bc ca �1 2 2 Câu 13: Bất đẳng thức a b c d e �a b c d e , a, b, c, d , e tương đương với bất đẳng thức sau đây? 2 2 2 2 2 2 � b� � c� � d � � e� A � a � � a � � a � � a ��0 � 2� � 2� � � � 2� � a� � a� � a� � a� B � b � � c � � d � � e ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� � a� � a� � a� � a� C � b � � c � � d � � e ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� D a b a c a d a e �0 2 2 Câu 14: Cho số a, b, c bất đẳng thức sau đúng? A a b �2 ab 2 B a 2b 3c �14 a b c C ab bc ca �a b c D 1 � a b ab Câu 15: Giá trị nhỏ biểu thức x x với x �� A B C D ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh bất đẳng thức dựa vào định nghĩa tính chất 1-C 2-C 3-B 4-B -A 11 - A 12 - B 13 - B 14 - C 15 - C 6-D 7-B 8-B -A 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Chọn B �x a Hệ phương trình có nghiệm � �y a 1 1� � 1� 1 �2 Ta có xy a a a a � a 2a � � a � � , a �� 4� � 2� 4 � Đẳng thức xảy a Vậy xy lớn a Câu 12 Chọn B Ta có a b �2ab ; b c �2bc ; c a �2ac 2 Cộng vế theo vế ta có a b c �2 ab bc ca � ab bc ca �1 Trang 10 2 Ta có a b c �0 � a b c ab bc ca �0 � ab bc ca � Câu 13 Chọn B a b c d e2 �a b c d e �a � a2 a2 a2 2�� 2�� 2�� � � ab b � � ac c � � ad d � � ae e2 ��0 �4 � �4 � �4 � �4 � 2 2 � a� � a� � a� � a� �� b � � c � � d � � e ��0 � 2� � 2� � 2� � 2� Câu 14 Chọn C Đáp án C ab bc ca �a b c � a b b c c a �0 2 Câu 15 Chọn C Ta có x �0 ; x �0 � x x �0 , x �� Vây giá trị nhỏ đạt x Dạng 2: Chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cô-si Phương pháp giải Bất đẳng thức Cơ-si (AM-GM) cho hai số Ví dụ Cho a, b, c �0 Chứng minh không âm: Với a, b �0 , ta ln có ab � ab Đẳng thức xảy a b Các dạng tương đương bất đẳng thức a b ab � a b � a b 2 a b b c c a �8abc Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có a b �2 ab ; b c �2 bc ; c a �2 ca Nhân vế với vế bất đẳng thức ta a b b c c a �8 a 2b 2c 8abc Đẳng thức xảy a b c Ví dụ Cho a, b, c Chứng minh Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho ba số không âm: Với a, b, c �0 , ta ln có a bc � abc Đẳng thức xảy a b c Dạng tương đương bất đẳng thức a b c �3 b c a Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có a b c a b c �3 b c a b c a Đẳng thức xảy a b c Trang 11 a b c abc � 27 Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) cho n số không âm Với a1 , a2 , , an �0 , ta ln có a1 a2 an n � a1.a2 an n Đẳng thức xảy a1 a2 an Ví dụ mẫu Ví dụ Chứng minh với số thực dương a, b ta có 1 � a b ab Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có a b �2 ab , 1 � a b ab Nhân vế với vế bất đẳng thức ta �a a b � � 1� 1 ��4 � � b� a b a b Đẳng thức xảy a b Ví dụ Cho a, b, c số dương thỏa mãn a b c 3 Chứng minh a 3b b 3c c 3a �3 Hướng dẫn giải Cách Theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có 3 a 3b 1.1 � a 3b 1 a 3b � a 3b � a 3b 1 Chứng minh tương tự ta có 3 b 3c � b 3c , 2 c 3a � c 3a 3 Cộng vế bất đẳng thức 1 , , 3 , ta a 3b b 3c c 3a � � a b c 6� � 3� Trang 12 1� � � a 3b b 3c c 3a � � 3� � � � abc � � abc Đẳng thức xảy � � a 3b b 3c c 3a � Cách 3 Đặt x a 3b , y b 3c , z c 3a ta có x y z a b c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x y z �3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có x �3 x 1.1 x Chứng minh tương tự, ta y �3 y , z �3 z Cộng vế bất đẳng thức tương tự, ta �3 x y z � x y z �3 Đẳng thức xảy x y z � a b c Ví dụ (Đề thi đại học khối D – 2005) Cho số dương x, y , z thỏa mãn xyz Chứng minh x3 y3 y3 z3 z x3 �3 xy yz zx Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho ba số dương, ta có x3 y �3 1.x y 3xy ۳ x3 y xy xy 1 Chứng minh tương tự ta y3 z3 � ; yz yz 2 z x3 � zx zx 3 Cộng vế bất đẳng thức 1 , 3 , ta x3 y3 y3 z z x3 � xy yz zx xy �3 3 yz zx 3 3 xy yz zx Trang 13 Đẳng thức xảy x y z Ví dụ Cho a, b, c Chứng minh a3 b3 c3 abc � b c a c a b a b c Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta a3 b ca a3 b ca �۳ 3 b c a b c a a3 b c a 3a 5a b c Tương tự, ta chứng minh b3 5b c a c3 5c a b � ; � c a b 4 a b c 4 Cộng vế với vế ba bất đẳng thức ta a3 b3 c3 abc � b c a c a b a b c Đẳng thức xảy a b c x2 y2 z2 x , y , z � Ví dụ Cho số dương xyz Chứng minh 1 y 1 z 1 x Hướng dẫn giải Ta có x 1 y x 1 y �۳2 1 y 1 y y2 z Tương tự �y 1 z 4 2 x2 1 y x y x 1 z2 x �z 3 1 x 4 Mẹo ta cần quan tâm dấu " " xảy để thêm bớt cho phù hợp Cộng theo vế bất đẳng thức 1 , , 3 ta x2 y2 z2 x yz � x y z 1 y 1 z 1 x 4 3 x y z � 3 xyz 4 3 1 Đẳng thức xảy x y z Ví dụ (Đề thi đại học khối A – 2005) Cho x, y , z số dương thỏa mãn 1 Chứng minh x y z 1 �1 x y z x y z x y 2z Hướng dẫn giải Trang 14 + a b Trước hết với a, b , ta có 4ab �+ ab 4ab ab ab �1 � �a 1� � b� Đẳng thức xảy a b Sử dụng kết trên, ta có � �1 1 �1 � �1 �1 � � � � � � � �� � � � x y z �2 x y z � � x �y z � � �x y z � Tương tự 1 �1 1 � 1 �1 1 � � � �; � � � x y z �y z x � x y z �z x y � Vậy 1 1 �1 1 � � � � x y z x y z x y z �x y z � Đẳng thức xảy x y z �1 5� ; Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f x x 3 x , với x �� � 2� � A M B M 24 C M 27 D M 30 Hướng dẫn giải Áp dụng hệ bất đẳng thức Cô-si: ab � f x 3� x 1 x 2 2x 1 2x a b , ta 2 27 f x 27 �1 �x � � � x Dấu " " xảy � � 2x 1 2x � Vậy M 27 Chọn C x 1 với x x Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f x A M B M C M D M Hướng dẫn giải Ta có f x x 1 x 1 x x 11 x 1 x 1 1 Trang 15 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x �2 x 1 x Dấu " " xảy x x 1 Do f x � x Vậy M Chọn B Ví dụ Giá trị lớn M hàm số f x x 1 , với x B M A M C M x D M Hướng dẫn giải Ta có f x x x 1 x x 2x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có x �2 x x x 1 x Do x 2� f x x 4x Dấu " " xảy x Vậy M Chọn B Ví dụ 10 Giá trị nhỏ m giá trị lớn M hàm số f x x x A m ; M B m ; M C m ; M D m ; M Hướng dẫn giải Hàm số xác định 3 �x �6 Tập xác định D 3; 6 Ta có f x Vì x 3 x x 3 x �0 , x � 3;6 nên f x � f x Dấu " " xảy x 3 x Vậy m Lại có 3 � x x x x Dấu " " xảy x x � x f x 18 f x 3 Vậy M Chọn B Bài tập tự luyện dạng Trang 16 Bài tập Câu 1: Cho x, y hai số thực thỏa mãn xy Giá trị nhỏ A x y A B C D a b a b c 1 �2 (I); �3 (II); � (III) (với a, b, c b a b c a a b c abc ) Bất đẳng thức bất đẳng thức đúng? Câu 2: Cho bất đẳng thức A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Chỉ (III) D (I), (II), (III) C �S � D 1 �S �1 Câu 3: Cho x y Gọi S x y , ta có A S � B S � Câu 4: Cho x, y hai số thực thay đổi cho x y Gọi m x y , ta có A Giá trị nhỏ m C Giá trị lớn m B Giá trị nhỏ m D Giá trị nhỏ lớn m Câu 5: Giá trị nhỏ hàm số f x A B x với x x 1 C 2 Câu 6: Giá trị nhỏ hàm số f x x A B D với x x C D 2 Câu 7: Cho a, b, c Bất đẳng thức đúng? � a� � b� � c� 1 � 1 � ��8 A � � � � b� � c� � a� � a� � b� � c� 1 � 1 � ��3 B � � � � c� � a� � b� � b� � c� � a� 1 � 1 � ��3 C � � � � c� � a� � b� D a b b c c a �6abc Câu 8: Cho x �3 Giá trị lớn hàm số f x A B C x3 x D Bài tập nâng cao Câu 9: Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện x y Giá trị nhỏ biểu thức P xy A xy 17 B Câu 10: Với a, b, c Biểu thức P A P � B P C D a b c Mệnh đề sau đúng? bc ca ab C �P D �P Trang 17 Câu 11: Cho a, b, c Khẳng định sau sai? A 2a 2a 3b 3b 1 �48ab C B 2b 2b 3a 3a 1 �48ab 1 1 �1 1 � � � � 2 1 a 1 b 1 c �a b c � Câu 12: Giá trị nhỏ m hàm số f x A m �a � �b � �c � D � 1� � 1� � 1��8 �b � �c � �a � x với x x 1 x B m C m D m ĐÁP ÁN Dạng Chứng minh bất đẳng thức sử dụng đẳng thức Cô-si 1-D 11 - C 2-D 12 - D 3-C 4-A 5-B 6-D 7-A -A 9-A 10 - D HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A �x y � Ta có xy � � � �2 � xy Đặt xy t , điều kiện t � � � 15 15 15 17 t �2 t Khi P t � � t � 16t � 16t 16t 16 4 Đẳng thức xảy t Vậy giá trị nhỏ P 1 hay x y 17 Câu 10 Chọn D 1 � �1 Ta có P a b c � � �b c c a a b � Áp dụng bất đẳng thức Do P �۳ P 1 1 � � , suy b c c a a b 2 a b c x y z x yz Đẳng thức xảy a b c Câu 11 Chọn C Đáp án A áp dụng bất đẳng thức Cô-si 2a �2 2a ; 2a 3b �2 6ab ; 3b �2 3b Đáp án B áp dụng bất đẳng thức Cô-si 2b �2 2b ; 2b 3a �2 6ab ; 3a �2 3a Đáp án C sai với a ; b ; c Trang 18 Đáp án D áp dụng bất đẳng thức Cô-si a a b b c c ; �2 ; �2 �2 b b c c a a Câu 12 Chọn D Ta có f x Vì x � 0;1 � 4 1 x x 4x x x 4 x 1 x x x 1 x x 1 x x nên theo bất đẳng thức Cơ-si, ta có 1 x 4 1 x f x �۳ x x 1 x 4 1 x x x 1 x f x 1 x � � Dấu " " xảy � �4 x x � x Vậy m � 1 x � x Trang 19 ... , điều kiện t � � � 15 15 15 17 t �2 t Khi P t � � t � 16 t � 16 t 16 t 16 4 Đẳng thức xảy t Vậy giá trị nhỏ P 1 hay x y 17 Câu 10 Chọn D 1 � ? ?1 Ta có P a ... ? ?1 1 ? ?1 � ? ?1 ? ?1 � � � � � � � �� � � � x y z �2 x y z � � x �y z � � �x y z � Tương tự 1 ? ?1 1 � 1 ? ?1 1 � � � �; � � � x y z �y z x � x y z �z x y � Vậy 1 1 ? ?1 1... ; 1? ?? x 1? ?? x y z 1? ?? y 1? ?? y x z 1? ?? z 1? ?? z x y Cộng vế với vế bất đẳng thức, ta x y z x yz � (vì x y z ) 1? ?? x 1? ?? y 1? ?? z 1? ?? x y z Do bất đẳng thức ban đầu chứng minh
Ngày đăng: 29/05/2021, 10:18
Xem thêm:
