Dạy thêm toán 10 4 1 bất ĐẲNG THỨC

TOÁN 10 0D4-1 BẤT ĐẲNG THỨC Contents PHẦN A CÂU HỎI DẠNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI ỨNG DỤNG .2 PHẦN B LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI ỨNG DỤNG .8 PHẦN A CÂU HỎI DẠNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC Câu Cho bất đẳng thức a  b c  d Bất đẳng thức sau A a  c  b  d Câu Câu Câu B a  c  b  d Tìm mệnh đề A a  b � ac  bc C a  b � a  c  b  c B a  b � ac  bc �a  b � ac  bd � cd D � Trong tính chất sau, tính chất sai? 0ab � a b � �  0cd d c A � �a  b � c  d �ac bd C � �a  b � c  d � ac  bd B � 0ab � �  c  d � ac  bd D � Nếu a  2c  b  2c bất đẳng thức sau đúng? B a  b A 3a  3b Câu Khẳng định sau đúng? A Câu C ac  bd a b  c d D x �۳ x x x B x �3 x x Suy luận sau đúng? �a  b  � ac  bd � c  d  � A C 2a  2b 1  D a b x 1 �0 C x 0 < D x �a  b �ac bd � c  d � B x ab � � ac  bd � c  d � C Câu Câu �a  b a b �  � cd c d D � Cho a số thực dương Mệnh đề đúng? x �a �  a �x �a x� a x a A B x �a � x �a � � x a� xa x �a � C D Bất đẳng thức sau với số thực a ? A 6a  3a B 3a  6a C  3a   6a D  a   a Câu (Độ Cấn Vĩnh Phúc-lần 1-2018-2019) Cho số a, b, c, d khác thỏa mãn a  b c  d Kết sau nhất? 1  A b a B ac  bd C a  d  b  c D a  c  b  d Câu 10 Cho a, b số thực Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? 1 a b 0�  a b C a  b � a  b3 D a  b � a  b A a  b � a  b  B Câu 11 Trong khẳng định sau, khẳng định sau đúng? ab ab � � �ac bd �ac bd � � c  d c  d � � A B ab � � ac  bd � cd C � Câu 12 ab � �ac bd � cd D � Cho a > b khẳng định sau đúng? A 2a  2b B C - a � 2.2 > 2.0 Câu A sai ví dụ a = 3, b = 2, c = - Câu B sai với Câu C - a b c �0 Câu D sai Câu 13 Chọn C Các mệnh đề A, B theo tính chất bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Mệnh đề D theo bất đẳng thức Cô- Si cho số không âm a b Mệnh đề C sai c  (vì nhân vế bất đẳng thức với số âm ta bất đẳng thức đổi chiều bất đẳng thức cho) Câu 14 Chọn A  x  � � xy  x  � � A Với �y  �x  3  x � xy    � y � B, C sai Chọn �y  1  �x  1  � x y  1 � � D sai Chọn �y  3  Câu 15 Chọn B x  y  hai số x , y phải dương Nếu �x �0 � Thật �y �0 � x  y �0 mâu thuẫn Câu 16 Chọn A a b  a  b  � a   b   � a 1 b 1 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu 21 DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI ỨNG DỤNG Chọn C Chọn A abc � abc � a  b  c �3 abc Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: Chọn C a  b  a.b � a.b 4 Với số thực a b ta ln có: Dấu “=” xảy � a  b  Vậy tích a.b lớn Chọn D Theo tính chất bất đẳng thức bất đẳng thức Cơsi A, B, C ln 1 ba0�  a b sai Ta có Chọn D a Với , b , c dương ta ln có: a b a b a b  �2 �  �2  I  b a b a b a , dấu xảy a  b Vậy a b c a b c a b c   �3 �   �3  II  b c a b c a b c a , dấu xảy a  b  c Vậy 1 1� 9 � 11 �  a  b  c  � �   ��3 abc 3 abc �a b c � a b c a  b  c , dấu xảy a  b  c Vậy  III  Câu 22 Chọn D 8 16 8 Côsi P  x2   x   �3 x  12 x x x x x Ta có: Vậy Pmin  12 Câu 23 Chọn C x  �2 f  x x Theo bất đẳng thức Cơsi ta có suy giá trị nhỏ Câu 24 Chọn B A  x    x có tập xác định D   2; 4 Ta có: Câu 25 Chọn A2  � 2  x 2  x  A , dấu xảy x  x  A x  3x   x2   x x Xét hàm số 9 4x  �2 x x  12 � y �9 x Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có y Câu 26 Vậy giá trị nhỏ hàm số Chọn D y x  3x  4x  � x  � x  � x 2 x a (a  a   an ) a12 a22    n � bn b1  b2   bn , số Theo BĐT CAUCHY – SCHAWARS: b1 b2 bi  Vì  x  nên x   x    3  25 22 32 � y    x 1 x x 1 x x 1 x Từ a x  y  25 b �ab  Suy Câu 27 Chọn D a  1 �0 � a  2a  �0  a Với số thực bất kì, ta có: 2a ۳ � a  �2a a2  Hay P �1 Câu 28 Chọn D Với x  � x   x  �x   � P  � � x 1 � 4 x 1 � x 1  x  có Áp dụng Bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương x 1 x 1  �2 x 1 x 1 x 1 �  �1 x 1 x 1  �  x  1  � x  x  Dấu đẳng thức xảy (vì x  ) P� Do Vậy giá trị nhỏ P (khi x  ) Câu 29 Chọn B 0 x Hàm số xác định khi: x �۳ 10      y  x   x   x3   x    x     x  �2 3  x �1     x3    x3    x   1  x  �0 Dấu “=” xảy khi: Do Với x    x �1 nên  � x��� 10 y    � y  x0 x0 ta có: x3 1 x Câu 30 Hướng dẫn giải Chọn Ta có: B f  x  x x 1 x 1     �2   x 1 x 1 2 x 1 2 �x �1 � �x  � x   � x 1 Đẳng thức xảy � f  x Vậy hàm số có giá trị nhỏ Câu 31 Hướng dẫn giải Chọn A x2 �1 � � f  x � �� 2 2 2� � � � f x �0 x x x �x � Ta có   Vậy giá trị lớn hàm số đạt x  Câu 32 f  x 2 Chọn A Tập xác định hàm số Ta có y D   2018; � x  2017 x  2018  1   x  2018  x  2018 x  2018 x  2018 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x  2018  �2 x  2018 � x  2018  � x  2019 x  2018 Dấu xảy x  2019 Vậy giá trị nhỏ hàm số Câu 33 Chọn C �3 � D�  ;3 �2 � � Tập xác định hàm số x  2018  �3 � y  x ��  ;3� � � Ta thấy 11 Có y2     2x   2x �3 � �3 � �9 x ��  ;3� x ��  ;3 � � Suy y �3 ; �2 � � � x � Min y  � �3 �  ;3 x  Vậy x�� �2 � � Dấu xảy �   x    x  �  x     x   Theo BĐT Cơ Si ta có �3 � �3 � y � 18,x � � ;3� y 2, x � ;3� � �2 � � � Suy  2x   2x � x  Dấu xảy Câu 34 Chọn A Với x  , ta có Vậy Câu 35 f  x  Min f  x   Max y  3 �3 � x��  ;3� � Vậy � x  x 1  �2 x 1 x 1 x 1  �3 � x ��  ;3 �2 � � với x  1 2 x 1 � x2 x 1 Chọn D Ta có �a 2a � �b 2b � a b 2a 2b �a � �b � P    1  �   1� �   1�  �  � �  1� �3 b a b a b a �b � �a � �b � �a � �a 1 � �b � a  b �0 � b � 1 Đẳng thức xảy �a P   a  b � Vậy Câu 36 Chọn A 1� 1 � P  x  y  xy �4  xy   xy  �2 xy  � � � 16 16 � Ta có � 16 x  y � � xy   * � �  x  y   xy �2 Đẳng thức xảy khi: � � x � � � �y  P   *   � nghiệm 16 Dễ thấy nên Câu 37 Chọn C x �1, y �2 Điều kiện: x  x 1  y   y Ta có: 12 � ( x  y )2   x 1  y   �9.2  x  y  3 ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki) � ( x  y )  18( x  y )  54 �0 � x  y �9  3 15 P 15 � 10  15 �x  � �x  y   15 � �  t /m  � � x   y   15 �y  � � � Dấu “=” xảy � 10  15 �x  � � �y   15 � Vậy max P   15 đạt � Câu 38 Chọn D x �1, y �2 Điều kiện: x  x 1  y   y Ta có: � ( x  y)2   x 1  y   �9.2  x  y   ( theo bất đẳng thức Bunhia – Côpxki) � ( x  y )  18( x  y )  54 �0 � x  y �9  3 15 P 15 � 10  15 �x  � x  y   15 � � ��  t /m  � � x 1  y  �y   15 � � Dấu “=” xảy � 10  15 �x  � � �y   15 � Vậy max P   15 đạt � Câu 39 Chọn B Ta có xy  x  y   x  y  xy � xy  x  y  x  y  xy  x2 y x2 y2 1 1 �1 � �   2 2  �  � x y x y xy �x y � xy Đặt a 1  ,b x y xy  a �4b  � a  a  3b � b  a2  a �1 � �1 � a2  a M  �  � �  � a  3ab  a  3a  a2 x y xy x y � � � � Biến đổi 13 a2  a a2 �b���  3� a 4� a2 4a Ta có Dấu "  " xảy Câu 40 � x y a 4a 0 a M a 16 � M max  16 Chọn A Ta có: x(3  xy  xz )  y  z �5 xz ( y  z ) � 3x  y z �x y  x z  xz ( y  z ) � 3x  y  z �x( y  z )( x  z ) �3x  y  z � � P x( y z )( x z ) � � � � P ۣ P ۳ P 54 ۳ P ۣ 27 2x  y  z  x  5z � 6 �x ,y ,z  � 10 10 3x  y  z  Dấu "  " xảy � Câu 41 Chọn B Áp dụng BĐT Cauchy ta được: 3 �1 a  b  c abc abc abc � a  b  c T  �  � 3 � a  b  c �9 abc� abc abc abc �9 �2 a  b  c abc 8 10     3 abc a  b  c Dấu "  " xảy � a  b  c Câu 42 Lờigiải Chọn B Áp dụng bất đẳng thức Cơ si cho hai số thực dương ta có:  36a �12 a (1)  36b �24 b (2)  36c �36 c (3) 36(a  b c) 72 Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) ta có P  � P 36 Dấu xảy 1  36a;  36b;  36c a  ;b  ;c  b c a a+b+c=1 hay Câu 43 Chọn A   �2 x  a  1, y  b  1, z  c  x  y  z  Đặt Khi tốn trở thành “ Cho , với x, y , z dương Tìm giá trị lớn P  xyz ” Ta có 14 y z �1  1   �2 x 1 y2 z3 y2 z3 Tương tự �2 y2 xz  x  1  z  3   �2 z3 xy  x  1  y    3  yz y    z  3  1 ,   ,  3 ta được: Nhân hai vế xyz �  x  1  y    z  3  x  1  y    z  3 ۣ xyz  1 P   a  1  2b  1  3c  1 Vậy giá trị lớn biểu thức Câu 44 Chọn B c3 � 2 c  d  25  6c  8d �  c  3   d    � � �d  Theo đề ta có: P  25   3a  4b  Do Áp dụng bất đẳng thức Bunhiaxcopski ta có: 3a  4b �  32  42   a  b  a b2   �� � 5 �3a  4b �5 �  3a  4b  �5 �� � 25  �25   3a  4b  �25  Hay �� � 25  �P �25  Vậy max P  25  Dấu “ = “ xảy � � � � b a0 a a  b2  a  b2  � � � � � � �� �� �� �3 16 b a0 �  0 � �a  a  � b �a b � � � � Câu 45 Ta có 2� 2� 1� 10 10 � S  x  y  z  �y  x  �  y  1  �  z  1  �  3x  y  z    � �z  x  � �x  � 3� 3� 3 � � � 3� Câu 46 Chọn A x2 y z  x  y  z    � b c a  b  c (1) Chứng minh được: với a, b, c  ta có: a x y z   a b c Dấu “=” xảy Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số không âm ta có:   2a     2a  a   8a    a    a  a  �   2a 2 1   8a  2a Tương tự ta được: 15 P 1  8a P   1  8b3  1  8c3 1 � 2 �    2a  2b  2c   a  b  c  (theo (1)) � � a   2a  a �  2b   2b  4b � � ��  2c   c  c � 1 �   2  2a  2b  2c � � a  b  c  3; a, b, c  � a  b  c  � Dấu “=” xảy P  � a  b  c  Vậy Câu 47 Chọn D 2 2 2 Từ 2a  b  2d  (*) suy b số chẵn Mặt khác a  2b  3c  4d  36 (**), ta 2b �36 Do b � 0, 2, 4 2 2 Xét b  Từ (*) ta có d a   d từ (**) ta có d �9 Do d  � a  b  c  ( loại khơng thỏa (*)) a  d 1 � a 1 � a2  d  �  a  d   a  d   � � �� a  d 1 � d  Thay vào (*) ta � Xét b  Từ (*) ta có a 1 � � b2 � � c3 � � d  Vậy Q  12  2  32  02  14 giải � Xét b  Từ (*) �a  d �a  d , ta có: �a  d  �a  a2  d  �  a  d   a  d   � � �� �a  d  �d  a2 � � b0 � � �2 28 c  � � d 1 � Thay vào (*) ta giải Kết luận Q  14 Chọn D Câu 48 Chọn D (mâu thuẫn c ��) x y z , , x , y , z yz zx xy số dương Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta Vì số thực dương suy có: x y x y  �2  yz xz yz xz z (1) 16 x z x z  �2  yz xy yz xy y (2) z y z y  �2  xy zx xy zx x (3) x y z 1   �   Cộng (1), (2) (3) ta yz zx xy x y z Áp dụng BĐT Cơ – si ta có: x2 1 x2 1   �3  2x 2x 2 x x (4) y2 1 y2 1   �3  2y 2y 2 y y (5) z2 1 z2 1   �3  2z 2z 2 z z (6) 1 (x  y2  z2 )    � x y z Cộng vế (4), (5) (6) ta P� Dấu “=” xảy � x  y  z Suy Câu 49 Chọn B � a � � b � � c � �1 a � �1 b � �1 c � E � 1 � 1 � 1 � � � �   � �  � �  � � 2b � � 2c � � 2a � �2 2b � �2 2c � �2 2 a � 1 a 31 b 31 c 27  2 2b 2 2c 2 2a Dấu  xảy � a  b  c �3 27 Vậy giá trị nhỏ biểu thức E Câu 50 Chọn B Áp dụng hệ BĐT Cơsi ta có: �2 1 � �1  y z �    � ( x x y z) �  2x � �x y z � �x x y 1� � 16 z� 2x  y  z �2 � 16 �x y 1� � z �(1) 1 �1 � 1 �1 � � �   �  2 ; � �   �  3 x  y  z 16 �x y z � Tương tự ta có : x  y  z 16 �x y z � Cộng BĐT (1),(2),(3) vế theo vế ta có: 1 1 �1 1 � F   � �   � x  y  z x  y  z x  y  z �x y z � xyz Vậy Fmax  đạt Câu 51 Chọn B + Theo số a, b, c, m, n, p  , áp dụng BĐT Cauchy cho 2018 số dương, gồm 2017 số (2a ) 2018 62018 2017 m số m ta được: 17   2017 (2 a ) 2018 (2a) 2018 �2018 2018 2018 2017 m  2018.6 2017.2a m m 2.(2a) 2018 2018 2017 � 2.2017.6 m  �2018.6 2017.4a m 2018 2.(2a)  2018.62017.4a 2017.6 2018.2 2017 m m (1) + Chứng minh tương tự ta có: 2.(2b) 2018 �2018.62017.4b  2017.6 2018.2 2017 n n (2) 2017.62018 2017 m  c 2018 �2018.62017.3c  2017.6 2018.3 2017 p p (3) Cộng BĐT (1), (2), (3) theo vế ta có: S �2018.62017 (4 a  4b  3c)  2017.6 2018 (2.2017 m  2.2017 m  3.2017 p ) 2017 m  2017 n  2017 p �7 4a  4b  3c �42 nên ta có: Theo ra: S �2018.62017.42  2017.62018.7  7.62018  62018 ⇒ Chọn B Câu 52 Hướng dẫn giải D 1 � �a ��b �� c � �1 P3 �  1� �  1� �  1�  a  b  c  �   � �b  c � �c  a � �a  b � �b  c c  a a  b � Ta có: x, y, z  �   � ; x y z x  y  z Áp dụng bất đẳng thức : đẳng thức xảy x  y  z 1   � b  c c  a a  b 2 a  b  c Ta , đẳng thức xảy a  b  c P � 3 P 2 ; đẳng thức xảy a  b  c Do Câu 53 Chọn B Chọn Áp dụng BĐT Cơ-si, ta có:  x  y �3 xy Tương tự, ta có: Suy ra:  y3  z3 � 3x yz , P � x  y  z �3 3 Dấu đẳng thức xảy � x  y  z  Vậy P  3 Câu 54 Chọn A  x3  y xy  z  x3 � 3y zx xyz  3 18  xy  z Kiểm tra x  không nghiệm phương trình Chia hai vế cho x �0 ta c c � x   ax  b   � x   ax  b  x  ax  bx  cx   x x x x 2 Bunhiacopxki 1 � � c � � � � � �x  � � ax   b � � a  b  c �x   1� � x � � x � � x �   �2 � �x  � x � 2 � a  b  c �� Cô-si 1 x2   � x  � x  �1 x Dấu “  ” xảy x Câu 55 Chọn B Đặt cạnh hình chữ nhật x , y ( x , y  ; y cạnh tường)  1 Ta có: x  y  100 � y� x y Cosi � � 1 2 S  xy  2.x �2 � �  x  y    100   1250 �2 � � � Diện tích hình chữ nhật y x  � y  x � x  25 m 2 Vậy Smax  1250 m Đạt ; y  50 m Câu 56 Chọn C a, b   a, b  150 Giả sử hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng , đơn vị: m a  b  150 Từ giả thiết, ta có Diện tích hình chữ nhật S  a.b Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có a b a.b � a.b 75 ab 5625 S 5625 �a  b � a  b  75 � a  b  150 � Dấu xảy Hay max S  5625 m Câu 57 Chọn A Gọi hai cạnh hình chữ nhật a, b với a.b  48 P   a  b  �2.2 ab  16 Khi chu vi hình chữ nhật Câu 58 Chọn C Đặt BM  x � MN  16  x với  x  19 QBM vuông M � QM  BM tan 60� x Câu 59 �8  x  x � S MNPQ  MN MQ   16  x  x    x  x �2 � � � � S MNPQ 32  Vậy tích hình chữ nhật MNPQ lớn 32 x  Chọn D Gọi H , K hình chiếu vng góc M lên AC , AB Khi ta ln có ME �MK , MF �MH 1 S MEF  ME.MF � MH MK 2 Vì tam giác MEF vng M nên 1 MK  AC MH  AB 2 Do M trung điểm BC nên , 1 1 S S MEF � MH MK  AB AC  2 2 Vì 20 ... 2 017 .4a m 2 018 2.(2a)  2 018 .62 017 .4a 2 017 .6 2 018 .2 2 017 m m (1) + Chứng minh tương tự ta có: 2.(2b) 2 018 �2 018 .62 017 .4b  2 017 .6 2 018 .2 2 017 n n (2) 2 017 .62 018 2 017 m  c 2 018 �2 018 .62 017 .3c... 2 018 số dương, gồm 2 017 số (2a ) 2 018 62 018 2 017 m số m ta được: 17   2 017 (2 a ) 2 018 (2a) 2 018 �2 018 2 018 2 018 2 017 m  2 018 .6 2 017 .2a m m 2.(2a) 2 018 2 018 2 017 � 2.2 017 .6 m  �2 018 .6 2 017 .4a... y � 10  15 �x  � � �y   15 � A max P   15 đạt � � 10  15 �x  � � �y   15 � B max P   15 đạt � � 10  15 �x  � � �y   15 � C max P   15 đạt � � 10  15 �x  � � �y   15 �