Toán 10 Bài 1 hàm số

CHƯƠNG 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI BÀI 1: HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Trình bày khái niệm hàm số, hàm số đồng biến hàm số nghịch biến, tập xác định hàm số, hàm số chẵn hàm số lẻ, đồ thị hàm số + Phát vấn đề toán học vấn đề hàm số nghiên cứu từ toán thực tế + Phát biểu vận dụng đièu kiện để điểm M ( x0; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) ; điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) tập X; điều kiện để hàm số hàm chẵn (hàm lẻ) tập D  Kĩ + Biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ + Tính tốn giá trị hàm số điểm cho trước, tìm tập xác định Tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đơn giản, khoảng cách hai điểm mặt phẳng tọa độ + Xét đồng biến, nghịch biến, tính chẵn – lẻ số hàm số đơn giản Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm hàm số Ví dụ: y = x2 - Cho hai đại lượng biến thiên x y, x x y nhận giá trị thuộc tập số D ⊂ ¡ Khi đó, đại lượng y 1 16 25 gọi hàm số đại lượng x Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi Với giá trị x∈ D ta xác định giá trị tương ứng y∈ ¡ - Hàm số cho bảng cơng thức - Khi hàm số cho công thức y = f ( x) Ví dụ: Hàm y = x y biến số x lấy giá trị làm cho f ( x) xác 2 định - Khi x thay đổi mà y ln nhận giá trị khơng đổi hàm số y gọi hàm Đồ thị hàm số Ví dụ: Hàm số y = 2x − có đồ thị hình vẽ Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định D Đồ thị hàm số y = f ( x) tập hợp tất điểm M ( x0; y0 ) hệ trục tọa độ Oxy thỏa mãn x0 ∈ D y0 ∈ f ( x0 ) Sự biến thiên hàm số Hàm số đồng biến Cho hàm số y = f ( x) xác định K - Hàm số y = f ( x) gọi đồng biến (hay tăng) K ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) - Hàm số y = f ( x) gọi nghịch biến (hay giảm) Hàm số nghịch biến K ∀x1, x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Trang Ví dụ: Hàm số f ( x) = + x − − x Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ Cho hàm số y = f ( x) với tập xác định D hàm số lẻ vì: Hàm số y = f ( x) gọi hàm số chẵn với Tập xác định hàm số D =  −2;2 nên x∈ D, ta có −x thuộc D f ( − x) = f ( x) dễ Hàm số y = f ( x) gọi hàm lẻ x∈ D, ta có −x thuộc D f ( − x) = − f ( x) Đồ thị hàm số chẵn hàm số lẻ thấy ∀x∈  −2;2 ⇒ − x∈  −2;2 f ( − x) = 2− x − + x = − f ( x) Ví dụ:  Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục Đồ thị hàm số chẵn y = x2 nhận trục Oy làm trục đối xứng đối xứng  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối Đồ thị hàm số lẻ y = x + − x − nhận gốc tọa độ xứng làm tâm đối xứng II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính giá trị hàm số điểm Phương pháp giải Để tính giá trị hàm số y = f ( x) x0 , ta thay Ví dụ: Cho hàm số y = f ( x) = x − Tính x = x0 vào y = f ( x) ta y0 = f ( x0 ) f ( 1) Hướng dẫn giải Trang Thay x = vào biểu thức hàm số f ( 1) = − = Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho y = f ( x) = x Tính giá trị biểu thức ff( 0) + ( −6) − f ( 2) Hướng dẫn giải Ta có ff( 0) = = 0, Vậy ff( 0) + ( 2) = 12.2 = 1, f ( −6) = 12.( −6) = −3 ( −6) − f ( 2) = 0− 3− 1= −4 ( ( 0) ) Ví dụ 2: Cho y = f ( x) = 2x + Tính giá trị biểu thức ff Hướng dẫn giải ( ( 0) ) = f ( 1) = Ta có f ( 0) = 2.0 + = ff 2.1+ = Ví dụ 3: Một chất điểm chuyển động biến đổi với vận tốc v = 5t + 3( cm/ s) , thời gian t ≥ đo giây Khi vận tốc v hàm số theo biến t a) Hãy tính giá trị v theo giá trị t hoàn thành bảng sau t ( s) 10 v( cm/ s) b) Tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc v = 38( cm/ s) Hướng dẫn giải a) Với giá trị t ta xác định giá trị v v = 5t + t ( s) v( cm/ s) 10 13 28 33 53 b) Với v = 38 5t + = 38 ⇔ t = Vậy chất điểm đạt vận tốc v = 38( cm/ s) thời diểm t = 7( s) Ví dụ 4: a) Cho hàm số f ( x) = 4x Giá trị lớn giá trị sau? A f ( −1) B f ( 0)  1 C f  ÷  2  3 D f  − ÷  4 b) Cho hàm số g( x) = 4x − Giá trị nhỏ giá trị sau? A g( −1) B g( 0)  1 C g ÷  2  3 D g − ÷  4 Trang Hướng dẫn giải a) Ta có ff( −1) = 4.( −1) = −4,   ( 0) = 4.0 =, ff 12 ÷ = 12 = 2,    3  3  − ÷ = 4. − ÷ = −3  4  4 Chọn C  1  3  3 b) Ta có g( −1) = 4.( −1) − = −9, g( 0) = 4.0− = −5, g ÷ = − = −3, g − ÷ = 4. − ÷− = −8  2  4  4 Chọn A Nhận xét: Từ tính toán ta thấy  1  1  3  3 f ( −1) > g( −1) , f ( 0) > g( 0) , f  ÷ > g ÷ f  − ÷ > g − ÷  2  2  4  4 Ta chứng minh với giá trị x∈ ¡ f ( x) > g( x)  x − x ≥ Giá trị f ( x) điểm x = Ví dụ Cho hàm số f ( x) =  2x + x < B −2 A C D Hướng dẫn giải Vì x = 1< nên giá trị f ( x) x = giá trị hàm số f ( x) = 2x + x = Khi f ( 1) = 2.1+ 1= Chọn A  1 Ví dụ Cho y = f ( x) xác định ¡ thỏa mãn f ( x) + 3f  ÷ = 2x − 1,∀x ≠ Tính f ( 2)  x Hướng dẫn giải Cách Thay x = vào đẳng thức đề bài, ta có  1 ff( 2) +  ÷ =  2 Thay x = (1) vào đẳng thứ đề bài, ta có  1  1 ff ÷+ ( 2) = ⇔ −9 ff( 2) −  ÷ =  2  2 (2) Cộng hai đẳng thức (1) (2) vế với vế, ta thu −8f ( 2) = 3 Vậy f ( 2) = − Cách Trang Thay x  1 đẳng thức đề trở thành ta có ff ÷+ x  x ( x) = 2x − 1,∀x ≠    1  1  f ( x) + 3f  ÷ = 2x − 1,∀x ≠  f ( x) + 3f  ÷ = 2x − 1,∀x ≠    x  x ⇒ Ta có   ff  + x = − 1,∀x ≠ −3ff  − x = 3− ,∀x ≠ ( ) x ( )  ÷   x ÷  x   x   ⇒ −8f ( x) = 2x + 2− ,∀x ≠ x 1 Từ tính f ( x) = − x − + ,∀x ≠ 4 4x 1 3 Vậy f ( 2) = − 2− + =− 4 4.2 Nhận xét: Về chất, hai cách làm tương tự Tuy nhiên cách tính giá trị hàm số điểm x = 2, cách tìm biểu thức f ( x) với x ≠ Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Biểu đồ (trích từ báo Khoa học Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mơ tả số cơng trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Cơng nghệ Việt Nam số cơng trình đoạt giải năm từ 1995 đến 2001 Gọi f ( x) tỉ số số cơng trình đoạt giải thưởng tổng số cơng trình tham dự giải thưởng năm x Ta có hàm số y = f ( x) với tập xác định D = { 1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001} Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A f ( 1995) = 10 39 B f ( 1996) = 17 43 C f ( 1999) = 23 56 D f ( 2001) = 43 141 Câu 2: Cho hàm số f ( x) = x + x − Giá trị lớn giá trị sau? Trang A f ( 1) B f ( −1) C f ( 3) ( ( 4) ) Câu 3: Cho hàm số f ( x) = x + x − Giá trị ff A B D f ( 0) C 5+ D 5− 2 Câu 4: Cho hàm số f ( x) = 2x + ax + b (với a,b tham số) thỏa mãn ff( 2) = 11, ( 3) = −7 Giá trị 5a + 2b A −22 B 22 C D −26 Câu 5: Cho hàm số y = 4x − với x∈ ¢ Có giá trị nguyên x để −3 < y ≤ 10 ? A B C D Câu 6: Một chất điểm chuyển động chậm dần với vận tốc v = 16 − 2t ( cm/ s) , thời gian t đo giây Tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc 6( cm/ s) ? A t = 10( s) B t = 4( s) C t = 5( s) D t = 2( s) Bài tập nâng cao   5   x − x ≥ Câu 7: Cho hàm số f ( x) =  Giá trị ff  ÷÷ 2x + x <   2  A B 2,5 C 0,5 D  1 Câu 8: Cho hàm số f ( x) có tập xác định ¡ \ { 0} thỏa mãn f ( x) + f  ÷ = x,∀x ≠ Giá trị  x f ( −4) A − B − C D Dạng 2: Đồ thị hàm số Phương pháp giải Điểm M ( x0; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) Ví dụ: Xét hàm số y = f ( x) = 3x − f ( x0 ) = y0 - Với điểm M ( 0;1) , ta có f ( 0) = 3.0 − 1= −1≠ nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số y = 3x2 − - Với điểm N ( 1;2) , ta có f ( 1) = 3.1 − 1= nên điểm N thuộc đồ thị hàm số y = 3x2 − Ví dụ mẫu 1  Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M ( 1; −1) , N ( −2;5) , P  ;1÷ 2  a) Biểu diễn điểm M, N, P mặt phẳng tọa độ Trang b) Trong điểm M, N, P điểm thuộc đồ thị hàm số y = x 1− x Hướng dẫn giải a) Biểu diễn điểm cho mặt phẳng tọa độ ta hình vẽ b) Vì x = không thuộc tập xác định hàm số y = y= x nên điểm M ( 1; −1) không thuộc đồ thị hàm số 1− x x 1− x Vì y( −2) = −2 = − ≠ nên N ( −2;5) không thuộc đồ thị hàm số y = x 1− ( −2) 1− x  1 1  x Vì y ÷ = = nên P  ;1÷ thuộc đồ thị hàm số y = 1− x   1− 2  Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y = 1− x + cắt trục hoành điểm A cắt trục tung điểm B Tính diện tích tam giác OAB Hướng dẫn giải Xét phương trình 1− x + = ⇔ x + = 1⇔ x + = 1⇔ x = −2 Đồ thị hàm số y = 1− x + cắt trục hoành điểm A( −2;0) ( ) Với x = y = 1− nên đồ thị hàm số y = 1− x + cắt trục tung điểm B 0;1− Ta có OA = 2,OB = − 1, tam giác OAB vuông đỉnh O nên có diện tích ( 1 S = OAOB = 2 ) − = − (đvdt) Nhận xét: Cho hai hàm số y = f ( x) , y = g( x) Trang - Nếu phương trình f ( x) = có nghiệm x = x0 M ( x0;0) điểm chung đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành ( ) - Nếu số thuộc tập xác định hàm số y = f ( x) đồ thị hàm số cắt trục tung điểm N 0; f ( 0) - Hai đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) có k điểm chung phân biệt phương trình f ( x) = g( x) có k nghiệm phân biệt Độ dài đoạn thẳng AB tính theo cơng thức AB = (x B − xA ) + ( yB − yA ) 2 Ví dụ Cho hàm số y = ( m− 1) x + 2m+ ẩn x m tham số Với giá trị m đồ thị hàm số qua điểm M ( 2; −1) ? A m= B m= −1 C m= D m= − Hướng dẫn giải Đồ thị hàm số y = ( m− 1) x + 2m+ qua điểm M ( 2; −1) −1= ( m− 1) + 2m+ 1⇔ 4m= ⇔ m= Chọn C Ví dụ Cho hai hàm số y = mx − 3, y = 2x + 1, biến x m tham số, có đồ thị ( d1 ) ,( d2 ) Với điều kiện m hai đồ thị ( d1 ) ,( d2 ) có điểm chung? A m≠ 2, m≠ −3 B m≠ C m≠ D m= Hướng dẫn giải Xét phương trình mx − = 2x + 1⇔ ( m− 2) x − = (1) Đồ thị ( d1 ) ( d2 ) có điểm chung phương trình (1) có nghiệm, điều xảy m≠ Chọn B Ví dụ Cho hàm số y = ( m− 1) x + 2m+ biến x tham số m Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m Hướng dẫn giải Gọi điểm M ( x0; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( m− 1) x + 2m+ qua với m Khi y0 = ( m− 1) x0 + 2m+ 1,∀m∈ ¡ ⇔ mx0 − x0 + 2m+ 1− y0 = 0,∀m∈ ¡ Trang ⇔ ( x0 + 2) m+ ( 1− x0 − y0 ) = 0,∀m∈ ¡  x + =  x = −2 ⇔ ⇔ 1− x0 − y0 =  y0 = Vậy M ( −2;3) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( m− 1) x + 2m+ qua với m Nhận xét: - Điểm M ( x0; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) y0 = f ( x0 ) - Điểm M ( x0; y0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x, m) với m y0 = f ( x0, m) ,∀m∈ ¡ - Ta có A.m+ B = 0,∀m∈ ¡ A = B = Tương tự A.m2 + B.m+ C = 0,∀m∈ ¡ A = B = C = Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị khơng qua điểm A( −2;3) ? A y = − x2 + x − B y = x +11 C y = x−1 x+ D y = x3 + x2 + Câu 2: Với giá trị m đồ thị hàm số y = f ( x) = ( m+ 1) x − qua điểm M ( 5; −1) ? A m= − B m= − C m= D m= − Câu 3: Hàm số sau có đồ thị không cắt đồ thị hàm số y = 2x2 − x − 1? A y = x + Câu 4: Cho hàm số y = B y = −2x + C y = − x − D y = 2x x + Đồ thị hàm số cho cắt đường thẳng y = hai điểm phân biệt A, B Độ dài đoạn AB A AB = 23 B AB = 16 C AB = 35 D AB = 32 Câu 5: Cho hàm số y = f ( x) = x − Đường thẳng sau cắt đồ thị hàm số cho nhiều điểm nhất? A y = 12 B y = C y = −3 D y = Sử dụng giả thiết cho câu 6, 8: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đồ thị hai hàm số y = y = −3x Đường thẳng y = cắt đường thẳng y = x x y = −3x điểm A, B Câu 6: Tọa độ giao điểm A, B Trang 10 Với x < −4 hàm số trở thành y = −5 − x xác định  x < −4  x < −4 ⇔ ⇔ x ≤ −5   −5 − x ≥  x ≤ −5 Với x ≥ −4 hàm số trở thành y = 3− x xác định x +1 −  x ≥ −4  x ≥ −4  x ≥ −1    x + ≥ ⇔  x ≥ −1 ⇔  x ≠  x +1 ≠   x +1 ≠ Vậy hàm số cho có tập xác định D = ( −∞; −5] ∪ [ −1; +∞ ) \ { 3} Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Tập xác định hàm số y = − x + A ( 1; ) B ( 1; 2] Câu 2: Tập xác định hàm số y = A ¡ x −1 C [ 1; ) D [ 1; 2] C ( −2; ) D ¡ \ { ±2} C ( −∞; ) D ( −∞; 2] x+2 x−2 − x−2 x+2 B ( 2; +∞ ) Câu 3: Tập xác định hàm số y = − x A [ 2; +∞ ) B ¡ \ { 2} Câu 4: Tập sau tập xác định hàm số y = 2019 ? 3x +  1 A ¡ \  −   3 1    B  −∞; − ÷∪  − ; +∞ ÷ 3    1  C ¡ \   3   1  1   D  −∞; − ÷∪  − ; ÷∪  ; +∞ ÷   3  3   Bài tập nâng cao Câu 5: Tất giá trị tham số m để hàm số y = A m < B m > có tập xác định D = ¡ x − 2mx + m − 2m + C m < −3 D m > −3 x −1  x ≥   − x + x − 12 Câu 6: Tập xác định hàm số y =   x −1 + x <  5− x A [ 1; ) B [ 1;3) ∪ ( 3; ) C ( 1;3) ∪ ( 3; 4] D [ 1; 4] Dạng 4: Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến Trang 15 Phương pháp giải Để xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số ta Ví dụ: Xét hàm số f ( x ) = x + [ −1; +∞ ) Với thực theo cách sau đây: x1 > x2 ≥ −1 , ta có hiệu Cách Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định H = f ( x1 ) − f ( x2 ) = x1 + − x2 + D Gọi X tập có hai phần tử x1 − x2 D = > 0, x1 + + x2 + Bước Xét hiệu H = f ( x1 ) − f ( x2 ) , Nên hàm số f ( x ) = x + đồng biến [ −1; +∞ ) Với x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 Bước 2: So sánh - Nếu H > 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 , hàm số f ( x ) đồng biến X - Nếu H < 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 > x2 , hàm số Ví dụ: Xét hàm số f ( x ) = − x ¡ f ( x ) nghịch biến X ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 , ta có 3 Cách Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định T = f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( − x1 ) − ( − x2 ) = − x + x x + x ( 1 2) x1 − x2 x1 − x2 D Gọi X tập có hai phần tử   2 D = −  x1 + x2 ÷ + x2  < 0∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2    f ( x1 ) − f ( x2 ) Bước Xét thương T = , với x1 − x2 Vậy hàm số f ( x ) = − x nghịch biến ¡ x1 , x2 thuộc X , x1 ≠ x2 Bước So sánh - Nếu T > 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x ≠ x2 , hàm số f ( x ) đồng biến X - Nếu T < 0, ∀x1 , x2 ∈ X , x1 ≠ x2 , hàm số f ( x ) nghịch biến X Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y = −2 x + a) Tính giá trị tương ứng y theo giá trị x điền vào bảng sau −2,5 −1,5 −0,5 x −2 −1 y = −2 x + b) Xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số cho ¡ 0,5 1,5 Hướng dẫn giải Trang 16 a) Để tính giá trị y ta thay giá trị cho x vào hàm số y = −2 x + Cũng sử dụng chức TABLE máy tính Casio fx-570ES để tính Ta có bảng kết sau: x y = −2 x + −2,5 −2 −1,5 −1 −0,5 0,5 1 1,5 −1 b) Ta chứng minh hàm số y = f ( x ) = −2 x + nghịch biến ¡ Cách Với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 > x2 , ta có H = f ( x1 ) − f ( x2 ) = ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = −2 ( x1 − x2 ) < Vậy hàm số cho hàm số nghịch biến ¡ Cách Với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 , ta có T= f ( x1 ) − f ( x2 ) ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = = −2 < 0, ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số cho hàm số nghịch biến ¡ Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y = −2 x + sau Ví dụ 2: Cho hàm số y = x −1 với x ∈ ¡ 2x +  3 \ −  Chứng minh hàm số đồng biến khoảng  2 xác định Hướng dẫn giải ∀x1 , x2 ≠ − ; x1 ≠ x2 , ta xét thương  x −1 x −1  T = − ÷: ( x1 − x2 ) = ( x1 + 3) ( x2 + 3)  x1 + x2 +  Với x1 , x2 > − x −1   x1 ≠ x2 T > nên hàm số y = đồng biến khoảng  − ; +∞ ÷ 2x +   Với x1 , x2 < − x −1 x1 ≠ x2 T > nên hàm số y = đồng biến khoảng 2x + 3   −∞; − ÷ 2  3    Vậy hàm số cho đồng biến khoảng  −∞; − ÷,  − ; +∞ ÷ 2    Ví dụ Cho hàm số f ( x ) xác định nghịch biến ¡ ( ( Giả sử f − f − f ( − f ( ) ) ) ) = −4 Tính f ( 4) Trang 17 Hướng dẫn giải Với x1 , x2 ∈ ¡ , ta ln có f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇔ x1 > x2 Khi - Nếu f ( ) > −4 − f ( ) < ⇒ f ( − f ( ) ) > −4 hay − f ( − f ( ) ) < ( ) ( ) ⇒ f − f ( − f ( ) ) > f ( ) > −4 ⇒ − f − f ( − f ( ) ) < ( ( ⇒ f − f − f ( − f ( 4) ) ) ) > f ( ) > −4 (mâu thuẫn với f ( − f ( − f ( − f ( ) ) ) ) = −4 ) Tương tự, f ( ) < −4 ( ) − f ( ) > ⇒ − f ( − f ( ) ) > −4 ⇒ − f ( − f ( ) ) > ⇒ − f − f ( − f ( ) ) > ( ( ⇒ f − f − f ( − f ( 4) ) ) ) < f ( ) < −4 (mâu thuẫn với f ( − f ( − f ( − f ( ) ) ) ) = −4 ) ( ( - Nếu f ( ) = −4 đẳng thức f − f − f ( − f ( ) ) ) ) = −4 thỏa mãn Vậy f ( ) = −4 Ví dụ Xét hàm số y = f ( x ) = x − x + xác định ¡ a) Chứng minh hàm số f ( x ) đồng biến [ 2; +∞ ) nghịch biến ( −∞; 2] b) Chứng minh ¡ hàm số f ( x ) hàm đồng biến, hàm nghịch biến Hướng dẫn giải a) Với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 , ta xét thương 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x1 − x1 + 1) − ( x2 − x2 + 1) T= = = x1 + x2 − x1 + x2 x1 − x2 - Nếu x1 , x2 ≥ 2, x1 ≠ x2 hai số x1 , x2 có số lớn x1 + x2 > ⇒ T > 0, ∀x1 , x2 ∈ [ 2; +∞ ) , x1 ≠ x2 Vậy f ( x ) đồng biến [ 2; +∞ ) - Nếu x1 , x2 ≤ 2, x1 ≠ x2 hai số x1 , x2 có số nhỏ x1 + x2 < ⇒ T < 0, ∀x1 , x2 ∈ ( −∞; 2] , x1 ≠ x2 Vậy f ( x ) nghịch biến ( −∞; 2] b) Giả sử f ( x ) đồng biến ¡ Khi đó, với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 > x2 , f ( x1 ) > f ( x2 ) Suy f ( 1) > f ( ) Tuy nhiên, điều khơng xảy f ( 1) = −2, f ( ) = Vậy hàm số f ( x ) hàm đồng biến ¡ Giả sử f ( x ) nghịch biến ¡ Khi đó, với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 > x2 , f ( x1 ) < f ( x2 ) Suy f ( 3) < f ( ) Tuy nhiên, điều khơng xảy f ( 3) = −2, f ( ) = −3 Trang 18 Vậy hàm số f ( x ) hàm nghịch biến ¡ Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) = x − x + sau Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ Khẳng định sau sai? A Nếu hàm số f ( x ) đồng biến ¡ ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≤ x2 ta có f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) B Nếu hàm số f ( x ) đồng biến ¡ ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 < x2 ta có f ( x1 ) < f ( x2 ) C Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến ¡ ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≤ x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) D Nếu hàm số f ( x ) nghịch biến ¡ ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 < x2 ta có f ( x1 ) > f ( x2 ) Câu 2: Hàm số sau đồng biến ¡ ? A y = −2 x + B y = −2 x − C y = + x D y = −6 x + Câu 3: Giá trị m để hàm số y = ( 3m − ) x + 2020 nghịch biến ¡ A m = B m < 2 C m < D m > Câu 4: Cho hàm số f ( x ) xác định ¡ Xét khẳng định sau: (1) Nếu hàm f ( x ) đồng biến ¡ ( f ( a ) − f ( b ) ) ( a − b ) ≥ 0, ∀a, b ∈ ¡ (2) Nếu f ( a) − f ( b) ≥ 0, ∀a, b ∈ ¡ , a ≠ b hàm f ( x ) đồng biến ¡ a−b (3) Nếu ( f ( a ) − f ( b ) ) ( a − b ) < 0, ∀a, b ∈ ¡ , a ≠ b hàm f ( x ) nghịch biến ¡ (4) Nếu hàm f ( x ) nghịch biến ¡ f ( a ) > f ( b ) > f ( c ) , ∀a, b, c ∈ ¡ , a < b < c Số khẳng định A B C D Câu 5: Cho hàm số f ( x ) xác định đoạn [ a; b ] , a < b Xét khẳng định sau: (1) Nếu hàm f ( x ) nghịch biến [ a; b ] ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) ( x1 − x2 ) ≤ 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a; b ] , x1 ≠ x2 (2) Nếu ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) ( x1 − x2 ) ≤ 0, ∀x1 , x2 ∈ [ a, b ] , x1 ≠ x2 , hàm số f ( x ) nghịch biến [ a; b ] (3) Nếu f ( a ) < f ( c ) < f ( b ) , ∀c ∈ ( a; b ) , hàm f ( x ) đồng biến [ a; b ] (4) Nếu hàm f ( x ) đồng biến ¡ f ( a ) < f ( c ) < f ( b ) , ∀c ∈ ( a; b ) Những khẳng định sai A (2), (3) B (1), (2) C (1), (3) D (2), (4) Trang 19 Câu 6: Cho hàm số y = x m + 2019 + m với x biến số, m tham số Khẳng định sau đúng? A Nếu m > hàm số đồng biến ¡ , m < hàm số nghịch biến ¡ B Nếu m > hàm số nghịch biến ¡ , m < hàm số đồng biến ¡ C Với m hàm số nghịch biến ¡ D Với m hàm số đồng biến ¡ ( ) Câu 7: Cho hàm số f ( x ) xác định đồng biến ¡ , thỏa mãn f f ( f ( 3) ) = Giá trị f ( 3) A B C D Câu 8: Có giá trị nguyên dương m để hàm số y = ( 2m − ) x − nghịch biến ¡ ? A B C D Bài tập nâng cao Câu 9: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định ¡ Những khẳng định sau đúng? (1) Nếu f ( x ) g ( x ) đồng biến ¡ hàm f ( g ( x ) ) đồng biến ¡ (2) Nếu f ( x ) g ( x ) nghịch biến ¡ hàm f ( g ( x ) ) nghịch biến ¡ (3) Nếu f ( x ) đồng biến g ( x ) nghịch biến ¡ hàm f ( g ( x ) ) nghịch biến ¡ A (1), (3) B (2), (3) C (1), (2) D (1), (2), (3) Câu 10: Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) xác định ¡ Khẳng định sau sai? A Nếu hàm f ( x ) , g ( x ) đồng biến ¡ hàm f ( x ) + g ( x ) đồng biến ¡ B Nếu hàm f ( x ) , g ( x ) nghịch biến ¡ hàm f ( x ) + g ( x ) nghịch biến ¡ C Nếu hàm f ( x ) đồng biến ¡ , hàm g ( x ) nghịch biến ¡ hàm f ( x ) − g ( x ) đồng biến ¡ D Nếu hàm f ( x ) nghịch biến ¡ , hàm g ( x ) đồng biến ¡ hàm số f ( x ) − g ( x ) đồng biến ¡ Dạng 5: Xét tính chẵn – lẻ hàm số Phương pháp giải Xét tính chẵn – lẻ hàm số y = f ( x ) xác định Ví dụ 1: Hàm số f ( x ) = x có tập xác định tập D - Nếu tồn x0 ∈ D để − x0 ∉ D kết luận hàm D = [ 0; +∞ ) tập đối xứng nên hàm chẵn, hàm lẻ f ( x ) hàm chẵn, hàm Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = x có tập xác định lẻ D - Trường hợp ∀x ∈ D ta có − x ∈ D (ta gọi tập D trường hợp tập đối xứng) D = ¡ tập đối xứng có f ( − x ) = ( − x ) = x = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ Nên hàm số chẵn Trang 20 + Tính f ( − x ) so sánh với f ( x ) Ví dụ 3: Hàm số f ( x ) = x có tập xác định + Nếu f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D, f ( x ) hàm D = ¡ tập đối xứng có f ( − x ) = −2 x = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ chẵn D + Nếu f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ D , f ( x ) hàm Nên hàm số lẻ lẻ D Ví dụ 4: Hàm số f ( x ) = x + có tập xác định + Nếu tồn x0 ∈ D để f ( − x0 ) ≠ ± f ( x0 ) D = ¡ tập đối xứng, f ( − x ) = − x + ≠ x + = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ , x ≠ 0, f ( x ) hàm chẵn, hàm f ( − x ) = − x + ≠ − x − = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ lẻ D Nên dây hàm chẵn hàm số lẻ Ví dụ mẫu Ví dụ Xét tính chẵn – lẻ hàm số sau tập xác định a) y = x−4 x +1 b) y = f ( x ) = x − c) y = f ( x ) = x + + x − d) y = f ( x ) = 1 − 3− x 3+ x Hướng dẫn giải a) Hàm số y = x−4 x−4 có tập xác định D = ¡ \ { −1} Ta thấy ∈ D −1 ∉ D nên hàm số y = x +1 x +1 hàm chẵn, hàm lẻ D = ¡ \ { −1} b) Hàm số y = f ( x ) = x − có tập xác định D = ¡ ∀x ∈ ¡ có − x ∈ ¡ Vì f ( x ) = x − f ( − x ) = −4 x − nên f ( − x ) ≠ f ( x ) , ∀x ≠ , đồng thời f ( − x ) ≠ − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số y = f ( x ) = x − hàm chẵn, hàm lẻ D = ¡ c) Hàm số y = f ( x ) = x + + x − có tập xác định D = ¡ ∀x ∈ ¡ − x ∈ ¡ Ta có f ( − x ) = − x + + − x − = x − + x + = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số y = f ( x ) = x + + x − hàm chẵn D = ¡ d) Hàm số y = f ( x ) = Ta có f ( − x ) = 1 − có tập xác định D = ( −3;3) ∀x ∈ ¡ − x ∈ ¡ 3− x 3+ x 1 − = − f ( x ) , ∀x ∈ ( −3;3) 3+ x 3− x Vậy hàm số y = f ( x ) = 1 − hàm lẻ D = ( −3;3) 3− x 3+ x Trang 21 Chú ý:  Nếu hàm số y = f ( x ) hàm chẵn D đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng  Nếu hàm số y = f ( x ) hàm lẻ D đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng  Nếu hàm số y = f ( x ) vừa hàm chẵn vừa hàm lẻ D f ( x ) = 0, ∀x ∈ D Ví dụ 2: Với giá trị tham số m hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + (ẩn x) hàm chẵn, hàm lẻ ¡ Hướng dẫn giải Hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + hàm chẵn ¡ f ( − x ) = f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ⇔ − ( 2m − 1) x + m + = ( 2m − 1) x + m + 3, ∀x ∈ ¡ ⇔ ( 2m − 1) x = 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ( 2m − 1) = ⇔m= Vậy với m = hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + hàm chẵn ¡ Hàm số y = f ( x ) = ( 2m − 1) x + m + hàm lẻ ¡ f ( − x ) = − f ( x ) , ∀x ∈ ¡ ⇔ − ( 2m − 1) x + m + = − ( 2m − 1) x − m − 3, ∀x ∈ ¡ ⇔ 0.x + ( m + 3) = 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ( m + 3) = ⇔ m = −3 Vậy với m = −3 hàm số y = f ( 2m − 1) = ( 2m − 1) x + m + hàm lẻ ¡ n Chú ý: Hàm đa thức y = an x + + a1 x + a0 hàm chẵn ¡ hệ số bậc lẻ Tương tự, hàm hàm lẻ ¡ hệ số bậc chẵn Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong hàm số cho sau đây, hàm số hàm chẵn tập xác định nó? A y = x − B y = x − C y = x − D y = x − Câu 2: Trong hàm số cho sau đây, hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng? A y = x −1 x +1 C y = x − B y = − x − + x D y = x + Câu 3: Giá trị m để hàm số y = ( 2m − 1) x + m + hàm số lẻ ¡ Trang 22 B m = A m = −4 C m = − D m = Câu 4: Trong hàm số cho sau đây, hàm số hàm lẻ tập xác định nó? B y = x + A y = x − x C y = −x x D y = x − Bài tập nâng cao Câu 5: Cho hàm số ¡  x + x ≤ −1  y = 0 − < x <  x − x ≥  Khẳng định sau đẩy đủ nhất? A Hàm số hàm số chẵn ¡ B Hàm số hàm lẻ ¡ C Hàm số hàm chẵn, hàm lẻ ¡ D Hàm số vừa hàm chẵn, vừa hàm lẻ ¡ Dạng 6: Tìm tập giá trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ Phương pháp giải - Để tìm tập giá trị hàm số y = f ( x ) với tập Ví dụ 1: Xét hàm số y = x + với tập xác định xác định D, ta tìm tập hợp giá trị y để đoạn [ 0; 4] Khi phương trình y = f ( x ) có nghiệm x ∈ D Kí hiệu G tập giá trị 0≤ x≤4 hàm số G = { f ( x ) x ∈ D} ⇔ ≤ 2x +1 ≤ ⇔ ≤ x + ≤ Vậy tập giá trị hàm số đoạn [ 1;3] - Xét hàm số y = f ( x ) với tập xác định D, gọi X Ví dụ 2: Xét hàm số f ( x ) = x + [ 1; 40] tập khác rỗng D Số m1 gọi giá trị Ta có x + ≤ 2.40 + = 9, ∀x ∈ [ 1; 40] Đẳng thức xảy x = 40 lớn hàm số y = f ( x ) X, kí hiệu f ( x ) = , đạt x = 40 Vậy xmax ∈[ 1;40] ∀x ∈ X : f ( x ) ≤ m1 max f ( x ) = m1 ,  x∈ X ∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = m1 - Xét hàm số y = f ( x ) với tập xác định D, gọi X Ví dụ 3: Xét hàm số f ( x ) = x − x ¡ Ta có f ( x ) = ( x − ) − ≥ −4, ∀x ∈ ¡ tập khác rỗng D Số m2 gọi giá trị Đẳng thức xảy x = nhỏ hàm số y = f ( x ) X, kí hiệu Vậy f ( x ) = −4 đạt x = Trang 23 ∀x ∈ X : f ( x ) ≥ m2 f ( x ) = m2  x∈X ∃x0 ∈ X : f ( x0 ) = m2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Tìm tập xác định tập giá trị hàm số y = −2 x + x + Hướng dẫn giải Hàm số y = −2 x + x + có tập xác định D = ¡ Xét phương trình (ẩn x, coi y tham số) y = −2 x + x + ⇔ x − x + ( y − 1) = (1) Phương trình bậc hai (1) có biệt thức ∆ = − ( y − 1) = − y Điều kiện để (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ − y ≥ ⇔ y ≤ 9  Vậy tập giá trị hàm số y = −2 x + x + G =  −∞;  8  Chú ý: Bảng biến thiên hàm số y = −2 x + x + sau Ví dụ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = −2 x + đoạn [ −3; 4] Hướng dẫn giải Với x ∈ [ −3; 4] ≥ −2 x ≥ −8 suy −7 ≤ −2 x + ≤ Đẳng thức thứ xảy x = 4, đẳng thức thứ hai xảy x = −3 Do f ( x ) = −7 , đạt x = 4, x∈[ −3;4] max f ( x ) = , đạt x = −3 x∈[ −3;4] Nhận xét: Bảng biến thiên hàm số f ( x ) = −2 x + đoạn [ −3; 4] sau Trang 24 Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Cho hàm số y = − x Xét khẳng định sau: (1) Tìm tập xác định hàm số đoạn [ 0; 4] (2) Hàm số đồng biến khoảng ( −2;0 ) nghịch biến khoảng ( 0; ) (3) Tập giá trị hàm số đoạn [ 0; 2] (4) Hàm số hàm chẵn, hàm lẻ tập xác định Số khẳng định sai A B C D C ( −∞; 4] D [ 0; +∞ ) Câu 2: Tập giá trị hàm số y = − x + x A ¡ B ( −∞; 2] Bài tập nâng cao Câu 3: Cho hàm số y = 3x − x + có tập xác định ¡ tập giá trị G Trong G có phần tử x2 + x + số nguyên? A B C D 4x + xác định ¡ Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ x2 + hàm số Giá trị M − m Câu 4: Cho hàm số y = A B D −1 C Câu 5: Giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + − x A B C 2 D Câu 6: Nhà ơng Minh có 50 phòng trọ cho thuê Biết cho thuê phịng với giá 000 000 đồng/tháng 50 phịng có người th Cứ lần tăng giá phịng thêm 50 000 đồng tháng có thêm phịng bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao ơng Minh phải cho th phòng giá đồng tháng? A 2250000 B 2800000 C 2500000 D 2000000 Đáp án lời giải Dạng Tính giá trị hàm số điểm 1–C 2–C 3–C 4–A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–A 6–C 7–A 8–D Câu Chọn A Vì 5 > nên giá trị hàm số f ( x ) x = giá trị hàm số f ( x ) = x − x = 2  5 Khi f  ÷ = − = − ⇒   2    1 f  ÷÷ = f  − ÷    2 Trang 25 Mà −  1 1 < nên f  − ÷ =  ÷+ =  2 2    Vậy f  f  ÷÷ =    Câu Chọn D 1 f ( x ) + f  ÷ = x, ∀x ≠ ⇒ f ( x ) + x 1 f  ÷ = , ∀x ≠ x x  1  f ( x) + f  x ÷= x 2 − x2    ⇒ f x = − x ⇒ f x = , ∀x ≠ ( ) ( ) Ta có  x x   4 f ( x ) + f  ÷=   x x Vậy f ( −4 ) = Dạng Đồ thị hàm số 1–A 2–D 3–C 4–D 11 – A 12 – A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–D 6–D 7–A 8–C 9–B 10 – D Câu 11 Chọn A Vì A ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( − m ) x + m − qua với m nên y0 = ( − m ) x0 + m − 1, ∀m ∈ ¡ ⇔ x0 − mx0 + m − − y0 = 0, ∀m ∈ ¡ ⇔ m ( − x0 ) + ( x0 − y0 − 1) = 0, ∀m ∈ ¡ 1 − x0 =  x0 = ⇔ ⇔ 3 x0 − y0 − =  y0 = Vậy A ( 1; ) thuộc góc phần tư thứ Câu 12 Chọn A Vì A ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà đồ thị hàm số y = ( 2m − 1) x + m + qua với m nên y0 = ( 2m − 1) x0 + m + 4, ∀m ∈ ¡ ⇔ 2mx0 − x0 + m + − y0 = 0, ∀m ∈ ¡ ⇔ ( x0 + 1) m + ( − x0 − y0 + ) = 0, ∀m ∈ ¡   x0 = − 2 x0 + = 41 ⇔ ⇔ ⇒ x02 + y02 = − x0 − y0 + = y =  Dạng Tìm tập xác định hàm số Trang 26 1–B 2–D 3–D 4–C HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–A 6–B Câu Chọn A Hàm số y = có tập xác định ¡ phương trình x − 2mx + m − 2m + x − 2mx + m − 2m + = vô nghiệm Phương trình x − 2mx + m − 2m + = vô nghiệm ∆′ = m − ( m − 2m + ) < ⇔ 2m − < ⇔ m < Câu Chọn B Khi x ≥ hàm số trở thành y = x −1 − x + x − 12 Hàm số xác định ( x − 3) ( x − ) <  − x + x − 12 >  x − x + 12 < 3 < x < ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 3< x <   x ≥ x ≥ x ≥ x ≥      Khi x < hàm số trở thành y = x − + xác định 5− x x < x <    x − ≥ ↔  x ≥ ⇔ ≤ x < 5 − x > x <   x −1  x ≥   − x + x − 12 Vậy tập xác định hàm số y =  D = [ 1;3) ∪ ( 3; )  x − + x <  5− x Dạng Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến 1–C 2–C 3–C 4–C HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–A 6–D 7–A 8–B 9–A 10 – D Câu Chọn A Khẳng định (2) sai Thật vậy, với a, b ∈ ¡ , a < b , g ( a) > g ( b) (do hàm g ( x) nghịch biến), suy f ( g ( a ) ) < f ( g ( b ) ) (do hàm g ( x ) nghịch biến), chứng tỏ f ( g ( x ) ) hàm đồng biến ¡ Lập luận tương tự ta thấy khẳng định (1) (3) Câu 10 Chọn D Khẳng định A f ( x ) g ( x ) hàm số đồng biến với a, b ∈ ¡ , a < b f ( a) < f ( b) ; g ( a) < g ( b) ⇒ f ( a ) + g ( a ) < f ( b) + g ( b ) Khẳng định B f ( x ) g ( x ) hàm số nghịch biến với a, b ∈ ¡ , a < b f ( a) > f ( b) ; g ( a) > g ( b) ⇒ f ( a ) + g ( a ) > f ( b) + g ( b) Trang 27 Khẳng định C D sai f ( x ) hàm số đồng biến g ( x ) hàm số nghịch biến ¡ với a, b ∈ ¡ , a < b f ( a) < f ( b) , g ( a) > g ( b) ⇒ f ( a ) − g ( a ) < f ( b) − g ( b) Dạng Xét tính chẵn – lẻ hàm số 1–B 2–B 3–A 4–C HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–B Câu Chọn B Tập xác định D = ¡ tập đối xứng, nghĩa với x ∈ ¡ − x ∈ ¡ Lấy x ∈ ¡ Nếu x ≥ − x ≤ −1 nên y ( − x ) = ( − x ) + = − ( x − 1) = − y ( x ) 3 Nếu x ≤ −1 − x ≥ nên y ( − x ) = ( − x ) − = − ( x + 1) = − y ( x ) Nếu −1 < x < −1 < − x < y ( − x ) = − y ( x ) = Do ta ln có y ( − x ) = − y ( x ) , ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số cho hàm lẻ ¡ Dạng Tìm tập giá trị hàm số, giá trị lớn giá trị nhỏ 1–C 2–C 3–C 4–A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 5–C –A Câu Chọn C Hàm số y = 3x − x + có tập xác định ¡ x2 + x + Xét phương trình ẩn x (với y tham số) 3x − x + = y ⇒ ( − y ) x − ( y + 1) x + − y = (1) x + x +1 - Nếu y = phương trình (1) trở thành −4 x − = ⇒ x = − Suy ∈G - Nếu y ≠ (1) phương trình bậc hai với biệt thức ∆ = −3 y + 18 y − 11 Lúc (1) có nghiệm ∆ ≥ ⇔ −3 y + 18 y − 11 ≥ ⇔ 9−4 9+4 ≤ y≤ 3 9 − +  ; Vậy G =   Trong tập G có số nguyên 1, 2, 3, 4,   Câu Chọn A Do ( x − 1) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ , nên x + ≥ x + 3, ∀x ∈ ¡ , hay y = 4x + ≤ 4, ∀x ∈ ¡ x2 + 1 Dấu đẳng thức xảy x = Suy M = Trang 28 Tương tự ( x + ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ , nên x + ≥ − x − 1, ∀x ∈ ¡ , hay y = 4x + ≥ −1, ∀x ∈ ¡ x2 + Dấu đẳng thức xảy x = −2 Do m = −1 Vậy M − m = Câu Chọn C Hàm số f ( x ) = x + − x có tập xác định đoạn [ 0; 4] Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có f ( x ) = x + − x ≤ (1 + 12 ) ( x + − x ) = 2 Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn hàm số 2 Câu Chọn A Giả sử ông Minh cho thuê với giá 2000000 + 50000k đồng phòng tháng, k = 0;1; 2; ;50, số phịng có người th 50 − k Tổng thu nhập tháng ơng Minh từ việc cho th phịng trọ f ( k ) = ( 2000000 + 50000k ) ( 50 − k ) (đồng) Ta có  40 + k + 50 − k  f ( k ) = ( 2000000 + 50000k ) ( 50 − k ) = 50000 ( 40 + k ) ( 50 − k ) ≤ 50000  ÷ = 101250000   Đẳng thức xảy 40 + k = 50 − k ⇔ k = Với k = giá phịng 250 000 đồng/ tháng  a+b Chú ý: Ta áp dụng bất đẳng thức ab ≤  ÷ , ∀a, b ∈ ¡ Đẳng thức xảy a = b   Trang 29 ... x − Bài tập nâng cao Câu 5: Cho hàm số ¡  x + x ≤ ? ?1  y = 0 − < x <  x − x ≥  Khẳng định sau đẩy đủ nhất? A Hàm số hàm số chẵn ¡ B Hàm số hàm lẻ ¡ C Hàm số hàm chẵn, hàm lẻ ¡ D Hàm số. .. a) Với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 , ta xét thương 2 f ( x1 ) − f ( x2 ) ( x1 − x1 + 1) − ( x2 − x2 + 1) T= = = x1 + x2 − x1 + x2 x1 − x2 - Nếu x1 , x2 ≥ 2, x1 ≠ x2 hai số x1 , x2 có số lớn x1 + x2... hàm số cho hàm số nghịch biến ¡ Cách Với x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 , ta có T= f ( x1 ) − f ( x2 ) ( −2 x1 + 3) − ( −2 x2 + 3) = = −2 < 0, ∀x1 , x2 ∈ ¡ , x1 ≠ x2 x1 − x2 x1 − x2 Vậy hàm số cho hàm