Toán 10 Bài 1 các ĐỊNH NGHĨA

CHƯƠNG VECTƠ BÀI CÁC ĐỊNH NGHĨA MỤC TIÊU  Kiến thức + Hiểu khái niệm vectơ - không, độ dài vectơ, hai vectơ phương, hướng, hai vectơ + Biết vectơ - không phương, hướng với vectơ  Kỹ + Chứng minh hai vectơ + Vẽ vectơ vectơ cho trước Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Vectơ - Vectơ đoạn thẳng có hướng - Mỗi vectơ có điểm đầu điểm cuối r r r uuu r uuur Kí hiệu: a; b; c; AB; CD; Điểm đầu A, điểm cuối B hướng từ A sang B uuur Kí hiệu AB Giá độ dài vectơ - Giá vectơ đường thẳng qua điểm đầu điểm cuối vectơ - Độ dài vectơ khoảng cách điểm đầu điểm cuối vectơ r uuu r Kí hiệu: a ; AB ; Vectơ phương, vectơ hướng - Hai vectơ phương giá chúng song song trùng - Hai vectơ phương hướng ngược hướng uuu r uuur Hai vectơ AB CE hướng - Vectơ – khơng vectơ có chung điểm đầu uuur uuur uuu r uuur Hai vectơ ngược hướng; CD CD CE AB r điểm cuối Kí hiệu: ngược hướng - Tính chất: Mở rộng:  Vectơ – không hướng với vectơ Ba điểm A, B, C thẳng hàng hai r uuur uuur  Độ dài vectơ – không:  vectơ AB AC phương Hai vectơ r r - Hai vectơ a b chúng r r hướng có độ dài, kí hiệu a  b II CÁC DẠNG BÀI TẬP Vectơ – không Dạng 1: Xác định vectơ, phương hướng hai vectơ Phương pháp giải  Hai vectơ có giá song song trùng Ví dụ: Cho tam giác ABC có M, N, P gọi hai vectơ phương trung điểm AB, BC, CA Trang  Hai vectơ phương chúng Khi đó, từ điểm cho ta có r hướng ngược hướng a) Các vectơ khác có điểm đầu A  Vectơ – không phương, hướng với uuuu r uuu r uuur uuu r uuur AM , AB, AN , AP, AC vectơ r b) Các vectơ khác có điểm cuối B Lưu ý: uur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur u AB , MB , PB , CB , NB Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB, AC r uuur c) Các vectơ khác phương với AP phương uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuuu r uuuur Ba điểm A, B, C thẳng hàng chưa xác định PA, AC , CA, PC , CP, MN , NM uuu r uuur r uuur AB, AC hướng hay ngược hướng (hình vẽ) d) Các vectơ khác hướng với MP uuur uuur uuur BN , NC , BC r uuuu r e) Các vectơ khác ngược hướng với AM uuur uuuu r uuu r uuur MA, BM , BA, NP Ví dụ mẫu r Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy vectơ khác a) Có điểm đầu A b) Có điểm cuối O uuur c) Cùng phương với CD uuur d) Cùng hướng với AO uuur e) Ngược hướng với DE Hướng dẫn giải uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r a) Các vectơ khác có điểm đầu A từ điểm cho AF , AE , AO, AD, AC , AB Trang uuur uuur uuur uuur uuur uuur có điểm cuối O từ điểm cho AO, BO, CO, DO, EO, FO uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur phương với CD DC , BO, OB, EO, OE , BE , EB, AF , FA uuur uuur uuur uuu r uuur hướng với AO OD, AD, BC , FE uuur uuur uuur uuur uuu r uuur ngược hướng với DE ED, FO, OC , FC , AB r Ví dụ Cho đa giác lồi 12 đỉnh Có vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối đỉnh đa r b) Các vectơ khác r c) Các vectơ khác r d) Các vectơ khác r e) Các vectơ khác giác? Hướng dẫn giải Chọn đỉnh số 12 đỉnh đa giác làm điểm đầu có 12 cách chọn Chọn đỉnh số 11 đỉnh cịn lại làm điểm cuối có 11 cách chọn r Số vectơ khác tạo thành 12.11  132 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình bình hành ABCD Mệnh đề đúng? uuu r uuur A Hai vectơ AB, BC phương B Hai vectơ uuu r uuur C Hai vectơ AB, CD hướng D Hai vectơ uuu r uuur AB, CD phương uuur uuur AB, DC ngược hướng Câu 2: Vectơ có điểm đầu D điểm cuối E kí hiệu đúng? uuur uuur A DE B ED C DE D DE r uuur Câu 3: Cho hình bình hành ABCD, tâm I Số vectơ khác hướng với vectơ AC từ điểm cho A B C D Câu 4: Chọn khẳng định A Hai vectơ phương hướng B Hai vectơ hướng phương C Hai vectơ phương có giá song song với D Hai vectơ hướng có giá song song Câu 5: Cho tam giác ABC Có thể xác định (khác vectơ - khơng) có điểm đầu điểm cuối đỉnh A, B, C? A B C D Câu 6: Khẳng định sau đúng? A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương r B Hai vectơ phương với vectơ thứ ba khác phương C Vectơ - khơng vectơ khơng có giá D Hai vectơ hướng hai vectơ có giá song song trùng Câu 7: Cho ba điểm M, N, P thẳng hàng; P nằm M N Cặp vectơ sau ngược hướng với nhau? uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur uuur A MN , NP B MN , MP C MP, PN D NM , NP Trang r uuur Câu 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O Các vectơ khác ngược hướng với OB uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A BD, OD B BD, OD, BO C DB, DO D BD, BO Câu 9: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng, điểm B nằm hai điểm A C Khi cặp vectơ sau hướng? uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r A CB AB B AB AC C AB CB D BA BC r Câu 10: Cho đa giác A1 A2 A2019 có 2019 cạnh Số vectơ khác có điểm đầu điểm cuối tạo thành từ đỉnh đa giác A 4074342 B 8148684 C 4076361 D 8152722 Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Bài toán Xác định vectơ Phương pháp giải Hai vectơ chúng hướng Ví dụ: a) Cho M trung điểm AB độ dài uuuu r uuur � �AM  MB r M trung điểm AB � �uuur uuuu MA  BM � b) Cho ABDC hình bình hành uuur uuur �AB  CD �uuur uuur �AC  BD r uuur ABDC hình bình hành � �uuu �BA  DC r uuur �uuu CA �  DB Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA r Tìm tất vectơ khác có điểm đầu điểm cuối điểm cho uuuur a) Bằng vectơ NM uuur b) Bằng vectơ DQ uuur c) Bằng vectơ CQ Hướng dẫn giải Trang Khi đó, vectơ uuur uuu r uuur uuuur a) Bằng NM CO, OA, PQ uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuur b) Bằng DQ QA, PO, OM , CN , NB uuur uuu r c) Bằng CQ NA Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O Hãy vectơ khác vectơ - khơng có điểm đầu điểm cuối đỉnh tâm lục giác uuur a) Cùng phương với vectơ OE uuur b) Ngược hướng với vectơ AB uuur c) Bằng vectơ EF Hướng dẫn giải uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuur uuur r uuur a) Các vectơ khác phương với OE EO, BE , EB, BO, OB, AF , FA, CD, DC uuu r uuur uuur uuur uuur r uuur b) Các vectơ khác ngược hướng với vectơ AB BA, CO, OF , CF , DE uuur uuu r uuu r uuur c) Các vectơ vectơ EF DO, OA, CB Bài toán Chứng minh hai vectơ Phương pháp giải Để chứng minh hai vectơ ta sử Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD Gọi E điểm uuur uuur dụng định nghĩa đưa chứng minh hai vectơ đối xứng với C qua D Chứng minh AE  BD hai cạnh đối hình bình hành Hướng dẫn giải Các em tham khảo toán sau: Trang Bước Chứng minh AB // DE Bước Chứng minh AB  DE Bước Chứng minh AEDB hình bình hành uuur uuur Bước Kết luận AE  BD �AB  CD Vì ABCD hình bình hành nên � �AB // CD Mà C, D, E thẳng hàng nên AB // ED (1) Lại có C E đối xứng với qua D, suy CD  DE � AB  DE (2) Từ (1) (2) suy AEDB hình bình hành uuur uuur Suy AE  BD Ví dụ mẫu uuur uuur Ví dụ Cho tứ giác ABCD Chứng minh ABCD hình bình hành AB  DC Hướng dẫn giải uuur uuur uuu r uuur �AB // DC Nếu AB  DC AB, DC hướng độ dài � � �AB  DC � ABCD hình bình hành �AB // DC Ngược lại, ABCD hình bình hành � �AB  DC uuur uuur uuur uuur Mà AB, DC hướng nên AB  DC uuu r uuur Vậy ABCD hình bình hành AB  DC (điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N hai điểm thuộc hai cạnh BC, AD cho BM  DN Gọi H giao điểm AM BN, K giao điểm DM CN Chứng minh uuur uuuu r a) BN  MD uuuu r uuur b) AM  NC uuuur uuuu r c) KM  NH Hướng dẫn giải Trang uuur uuuu r �BM  DN a) Vì � nên BMDN hình bình hành � BN  MD (điều phải chứung minh) �BM // DN uuuu r uuur �AN  MC b) Vì � nên AMCN hình bình hành � AM  NC (điều phải chứng minh) �AN // MC uuuur uuuu r �AM // NC �NK // HM � HMKN hình bình hành � KM  NH (điều phải chứng minh) c) Vì � nên � �BC // MD �NH // KM Bài tập tự luyện dạng uuur Câu 1: Cho hình vng ABCD tâm O Vectơ DO vectơ sau đây? uuu r uuur uuur uuur A OA B OC C BO D OB Câu 2: Chọn khẳng định A Hai vectơ phương B Hai vectơ ngược hướng có độ dài khơng C Hai vectơ phương độ dài D Hai vectơ hướng độ dài Câu 3: Mệnh đề sau đúng? A Hai vectơ phương với vectơ thứ ba phương B Mọi vectơ có độ dài lớn C Một vectơ có điểm đầu điểm cuối phân biệt khơng vectơ - khơng D Hai vectơ chúng phương độ dài Câu 4: Gọi M, N trung điểm cạnh AB, AC tam giác ABC Đẳng thức sau đúng? uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur A MA  MB B AB  AC C MN  BC D BC  MN uuur Câu 5: Cho lục giác ABCDEF tâm O Số vectơ OC có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác A B C uuu r uuur Câu 6: Cho bốn điểm A, B, C, D tùy ý Nếu AB  CD uuur uuur uuur uuur uuur uuur A AC  DB B CD  AD C AC  BD D uuu r uuur D CA  BD Câu 7: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, M điểm Mệnh đề sau đúng? uuur uuur A MA  MB với M uuur uuur uuuu r B Có điểm M cho MA  MB  MC uuur uuur uuuu r C MA �MB �MC với M Trang uuur uuur D Có điểm M cho MA  MB Câu 8: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N trung điểm AD BC, có vectơ uuuur với DM từ điểm cho? A B C D Câu 9: Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Chọn khẳng định khẳng định sau uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuur uuur A AD  BC B MQ  PN C MN  QP D AB  DC Câu 10: Cho tam giác ABC với trực tâm H, D điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khẳng định sau đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A HA  CD AD  CH B HA  CD DA  HC uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur C HA  CD AD  HC D HA  CD AD  HC OB  OD Dạng 3: Tính độ dài vectơ Phương pháp giải  Độ dài vectơ khoảng cách từ điểm đầu Ví dụ: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh đến điểm cuối vectơ uuu r uuu r  AB  BA  AB a uuu r uuu r AB  BA  AB Khi uuur a) Độ dài vectơ AB độ dài đoạn thẳng AB hay uuur AB  a uuur b) Với H trung điểm BC, độ dài vectơ AH uuur �a � a 2 AH  AH  AB  BH  a  � �  �2 � c) Với M điểm thuộc đoạn BC cho BM  MC , ta có HM  HC  CM  uuuu r Độ dài vectơ AM a a a   Trang uuuu r 3a a a AM  AM  AH  HM    36 Ví dụ mẫu Ví dụ Cho tam giác ABC vng A có độ dài AB  3a , AC  4a Gọi M trung điểm BC N điểm thuộc đoạn AC cho AN  NC uuur a) Tính độ dài vectơ BC uuuu r b) Tính độ dài vectơ AM uuur c) Tính độ dài vectơ BN Hướng dẫn giải uuur uuur a) Độ dài vectơ BC BC  BC  AB  AC   3a    4a   5a uuuu r uuuu r BC 5a  b) Độ dài vectơ AM AM  AM  2 AC  a uuur uuur Độ dài vectơ BN BN  BN  AN  AB  a   3a   a 10 c) Ta có AN  Ví dụ 2.Cho tam giác ABC có AB  cm Gọi H, K chân đường cao hạ từ A B tam giác ABC xuống cạnh BC AC Biết BH  cm, CH  cm Tính độ dài vectơ uuur a) AH uuur b) BK Hướng dẫn giải Trang 10 uuur 2 2 a) Ta có AH  AH  AB  BH     cm  b) Ta có AC  AH  CH  42  42   cm  1 AH BC Lại có S ABC  AH BC  BK AC � AH BC  BK AC � BK  2 AC � BK       cm  �  60� Ví dụ Cho hình thoi ABCD cạnh cm có góc BAD Tính độ dài vectơ uuur a) BD uuur b) AC Hướng dẫn giải � �AB  AD � BAD a) Ta có �� �BAD  60� uuur Do BD  BD  cm b) Gọi O giao điểm AC BD uuur 2 2 Ta có AC  AC  AO  AD  DO  2    cm  Ví dụ Cho lục giác ABCDEF tâm O cạnh a Tính độ dài vectơ uuu r uuu r a) AB, OA uuur b) DF uur c) AI với I trung điểm CD Hướng dẫn giải Trang 11 a) Theo tính chất lục giác ta có độ dài cạnh lục giác bán kính đường tròn ngoại tiếp lục giác uuu r uuu r Do AB  OA  AB  a b) Ta có tam giác ODE cạnh a Gọi M giao điểm OE FD Suy tam giác ODE có DM trung tuyến đường cao uuur a� � 2 Ta có DF  DF  DM  DO  OM  a  � �  a �2 � c) Vì AD có đường kính đường tròn tâm O nên � ACI  90� a Ta có AC  DF  a 3, CI  uur Do AI  AI  AC  CI    2 �a � a 13 a  � � �2 � Bài tập tự luyện dạng uuur Câu 1: Cho ABCD hình vng cạnh Khi độ dài AC A B C A cm B cm C cm D cm A 2a B C a D 2a 2 D uuur Câu 2: Cho tam giác ABC vng C có cạnh AC  4cm, BC  3cm Độ dài vectơ AB uuur Câu 3: Cho hình vng ABCD tâm O, cạnh 2a Độ dài vectơ DO a uuur uuu r uuur Câu 4: Cho đoạn thẳng AB  10 cm , điểm C thỏa mãn AC  CB Độ dài vectơ AC A 10 cm B cm C 20 cm D 15 cm uuur Câu 5: Cho hình chữu nhật ABCD có AB  3, BC  Độ dài vectơ AC A B C D B a C a D uuur Câu 6: Cho tam giác ABC cạnh a, G trọng tâm Độ dài vectơ AG A a a Câu 7: Cho hình chữ nhật ABCD có AB  AD  Khẳng định sau đúng? Trang 12 uuur uuur A CD  BC uuur uuu r B AC  AB uuur uuur C AC  BD uuur D BD  uuur Câu 8: Cho hình thang vng ABCD A D có AB  4a, DC  8a, AD  3a Độ dài vectơ BC A 4a B D 5a C 5a 73a �  60� Câu 9: Cho hình thoi ABCD cạnh a, BAD Đẳng thức sau đúng? uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur A AB  AD B BD  a C BD  AC D BC  DA uuuu r Câu 10: Cho tam giác ABC cạnh a Độ dài vectơ AM với M điểm thuộc đoạn BC cho BM  2019 MC A 12237155 a 4038 B 3062319 a 2020 C 4074343 a 2019 D 4078381 a 2020 8–B 9–B 10 – A –A 9–C 10 – C Đáp án lời giải CHƯƠNG VECTƠ BÀI CÁC ĐỊNH NGHĨA Dạng Xác định vectơ, phương hướng hai vectơ Đáp án trắc nghiệm 1–B 2–D Hướng dẫn giải 3–A 4–B 5–D 6–B 7–A Câu 10 Chọn A Đa giác có 2019 cạnh có 2019 đỉnh Chọn đỉnh làm điểm đầu 2019 đỉnh có 2019 cách chọn Chọn đỉnh làm điểm cuối 2018 đỉnh lại có 2018 cách chọn Suy có 2019.2018  4074342 vectơ tạo thành Dạng Chứng minh hai vectơ Đáp án trắc nghiệm 1–D 2–D Hướng dẫn giải 3–C 4–D 5–B 6–C 7–C Câu Chọn C uuur uuur uuuu r Vì A, B, C khơng thẳng hàng nên MA �MB �MC với M Câu Chọn C Trang 13 �MN // PQ // AC uuuu r uuur � � MNPQ hình bình hành � MN  QP Ta có � MN  PQ  AC � � Câu 10 Chọn C Ta có AH // CD (cùng vng góc với BC) CH // AD (cùng vng góc với AB) nên AHCD hình bình hành uuur uuur uuur uuur Suy HA  CD AD  HC Dạng Tính độ dài vectơ Đáp án trắc nghiệm 1–C 2–C Hướng dẫn giải 3–C 4–B 5–B –A 7–C 8–D 9–B 10 – D Câu Chọn B uuur uuu r Vì AC  CB nên C nằm A B; C trung điểm AB uuur Suy AC  AC  AB   cm  Câu Chọn D uuur uuuu r AB a Ta có AG  AM   3 Câu Chọn D Kẻ BE  CD Ta có BE  AD  3a , EC  CD  AB  8a  4a  4a uuur 2 Khi BC  BC  BE  CE   3a    4a   5a Câu Chọn B Trang 14 uuur �  60�nên ABD Suy BD  BD  AB  a Vì AD  AB mà BAD Câu 10 Chọn D a� a Gọi H trung điểm BC nên AH  AB  BH  a  � � � �2 � Vì BM  2019MC nên BM  2019 2019a 2019a a 1009a BC  � HM  BM  BH    2020 2020 2020 2020 2 uuuu r � � �1009 � 4078381 2 AM  AM  AH  HM  � a �a  �2 � � � 2020 � � �2020 � Trang 15 ... làm điểm đầu có 12 cách chọn Chọn đỉnh số 11 đỉnh lại làm điểm cuối có 11 cách chọn r Số vectơ khác tạo thành 12 .11  13 2 vectơ thỏa mãn yêu cầu toán Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hình bình... uuuu r Câu 10 : Cho tam giác ABC cạnh a Độ dài vectơ AM với M điểm thuộc đoạn BC cho BM  2 019 MC A 12 23 715 5 a 4038 B 3062 319 a 2020 C 4074343 a 2 019 D 40783 81 a 2020 8–B 9–B 10 – A –A 9–C 10 – C... Câu 10 : Cho đa giác A1 A2 A2 019 có 2 019 cạnh Số vectơ khác có điểm đầu điểm cuối tạo thành từ đỉnh đa giác A 4074342 B 814 8684 C 40763 61 D 815 2722 Dạng 2: Chứng minh hai vectơ Bài toán Xác định