Toán 10 Bài 1 CUNG LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC BÀI CUNG LƯỢNG GIÁC Mục tiêu  Kiến thức Nắm vững cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc đường trịn lượng giác; số đo đơn vị độ, rađian; mối quan hệ đơn vị Phát vấn đề toán học từ toán thực tế  Kĩ Đổi đơn vị từ độ sang rađian ngược lại Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác Tính độ dài cung tròn, số đo cung theo kiện cho trước Xác định điểm cuối cung lượng giác tia cuối góc lượng giác Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cung góc lượng giác - Đường trịn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ chiều dương (Hình 1) - Trên đường tròn định hướng, lấy hai điểm A B có vơ số cung lượng giác có điểm đầu A , điểm cuối B , Ð kí hiệu AB Lưu ý: kí hiệu »AB cung hình học xác định A, B Ð - Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động đường tròn từ C đến D tạo nên Ð cung lượng giác CD nói Khi tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD Ta nói tia OM tạo góc lượng giác, có tia đầu OC , tia cuối OD Kí hiệu góc lượng Hình giác ( OC , OD ) (Hình 1) - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = Đường trịn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A ( 1;0 ) , A′ ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) Ta lấy A ( 1;0 ) làm điểm gốc đường tròn Đường tròn xác định gọi đường tròn lượng giác gốc A (Hình 2) Hình Số đo cung góc lượng giác - Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bán kính 25π π = 8π + Ví dụ: Vì nên điểm gọi cung có số đo rad 3 - Quy tắc đổi từ độ sang rad từ rad sang độ: 25π cuối cung điểm M ° π 180  1° = rad rad =  ÷ 180  π  thuộc cung nhỏ »AB cho - Độ dài cung có số đo α rad đường tròn bán kinh R ·AOM = π = 60° tính theo cơng thức: I = α R Ð 25π - Số đo cung lượng giác AM ( A ≠ M ) số Biểu diễn cung lượng giác Ð Ð thực âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM đường trịn lượng giác hình vẽ: - Số đo góc lượng giác ( OA, OC ) số đo cung Ð lượng giác AC tương ứng - Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác ta chọn điểm gốc A ( 1;0 ) làm điểm đầu, điểm cuối điểm Ð M xác định hệ thức sđ AM = α Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Đơn vị đo độ rađian  Phương pháp giải Dùng mối quan hệ giữ độ rađian: 180° = π rad • 180° Đổi cung a có số đo từ rađian sang độ a π • Đổi cung x° có số đo từ độ rađian x° π 180° Ví dụ: a) Đổi cung 3π có số đo từ rađian sang độ 3π 3π 180° rad = = 135° 4 π b) Đổi cung 50°;11°15′ có số đo từ độ sang rađian π 5π rad = rad 180° 18  15  π π 11°15′ =  11+ ÷ rad = rad 60  180° 16  50° = 50°  Ví dụ mẫu ′ °30′ từ độ rađian Ví dụ Đổi số đo cung sau đây: 25°;30°;24°15;80 Hướng dẫn giải π 5π = rad 180° 36  15  π 97π 24°15′ =  24 + ÷ = rad 60  180° 720  π π = rad 180°  30  π 161π 80°30′ =  80 + ÷ = rad 60  180° 360  Ta có 25° = 25° Ví dụ Đổi số đo cung sau đây: 30° = 30° π π ; ;0,75π ;3,75 từ rađian sang độ 24 Hướng dẫn giải Ta có π π 180° rad= = 20° 9 π 0,75π rad = 0,75π 180° = 135° π π π 180° rad = = 7,5° = 7°30′ 24 24 π 3,75 rad = 3,75 180° 675° = ≈ 214,9° π π Ví dụ Số đo cung 10,5( rad) từ rađian sang độ, phút, giây ′ ′′ A 601°3619 ′ ′′ B 601°3620 ′ ′′ C 601°3621 ′ ′′ D 601°3622 Hướng dẫn giải 180° 1890° nên để kết xác đến giây, sử dụng máy tính bỏ túi = π π (CASIO-fx-570ES PLUS) ấn sau Do 10,5rad=10,5 Trang ′ ′′ Ta kết 601°3620.47 ′ ′′ Vậy góc lượng giác có số đo 10,5( rad) có số đo theo độ làm trịn đến giây 601°3620 Chọn B ′ ′′ từ độ sang rađian (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) Ví dụ Đổi số đo cung 138°3222 A 2,416 B 2,417 C 2,418 D 2,419 Hướng dẫn giải π ( rad) nên để kết xác đến giây, sử dụng máy tính 180° bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) ấn sau ′ ′′ = 138°32′22′′ Do 138°3222 Ta kết 2,417969449 Vậy góc lượng giác có số đo 138°32′22′′ có số đo theo rađian làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba 2,418 Chọn C Ví dụ Kim kim phút đồng hồ Hỏi sau lâu hai kim lại vng góc với nhau? Lúc tổng số đo góc hai kim quay theo rađian độ bao nhiêu? (Độ: xác đến giây; rađian: xác đến chữ số thập phân thứ ba) ′ ′′ A 212°8337 B 3,724( rad) C 3,713( rad) ′ ′′ D 213°8337 Hướng dẫn giải vịng đồng hồ Để kim phút vng góc với kim lần kim phút phải đuổi kịp kim tiếp đến khoảng cách Lúc hai kim vng góc với nên khoảng cách hai kim vòng đồng hồ lần Ở sử dụng công thức quen thuộc hai kim Thờ i gian = ( Quã ng đườ ng) : ( Vậ n tố c) 11 (vịng đồng hồ/giờ) = 12 12 Vào lúc khoảng cách hai kim vòng đồng hồ Vậy khoảng thời gian ngắn để kim phút Hiệu vận tốc kim phút kim 1−  1  11 lại vng góc với kim  + ÷: = (giờ)  4  12 11 Trong kim phút quay vòng 360° , kim quay 30° tổng số đo góc °  2340  hai kim quay ( 360° + 30° ) =  ÷ 11 11  11  Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi thực giống Ví dụ Ví dụ ta có kết ′ ′′ 3,713( rad) sau 212°4338 Chọn C Trang Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Góc lượng giác có số đo −2880° có số đo theo rađian A 16( rad) B 16π ( rad) C −16π ( rad) π rad có số đo theo độ 36 B 5° C 6° D −16( rad) Câu 2: Góc lượng giác có số đo A 4° D 7° 49 rad có số đo theo độ làm trịn đến phút B 561°30′ C 561°31′ D 561°32′ Câu 3: Góc lượng giác có số đo A 561°29′ Câu 4: Góc lượng giác có số đo 78° có số đo theo rađian 13π 13 C rad) ( ( rad) 30 30 Câu 5: Góc lượng giác có số đo 22°30′ đổi rađian A 13π ( rad) 30 B − D 30 ( rad) 13 π 7π π π B C ( rad) D ( rad) rad) rad) ( ( 12 · · Câu 6: Cho ( OA,OM ) = 23°15′ + k360°; k ∈ ¢ Với k ( OA,OM ) = 3263°15′ ? A A B C 16 D 18 Câu 7: Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ bốn điểm A ( 1;0 ) , A′ ( −1;0 ) , B ( 0;1) , B′ ( 0; −1) Ta thường chọn điểm gốc đường tròn lượng giác điểm nào? A A ( 1;0 ) B O ( 0;0 ) C B ( 0;1) D A′ ( −1;0 ) Câu 8: Một bánh xe có 108 bánh Góc mà bánh xe quy di chuyển 30 bánh A 80° B 90° C 100° D 110° Bài tập nâng cao Câu 9: Người ta muốn xây dựng cầu sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ) Biết AB = 50m Số đo cung ¼ AMB theo rad gần số số sau? A 0,25π ( rad) B 0,35π ( rad) C 0,45π ( rad) D 0,55π ( rad) Trang Dạng 2: Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác  Phương pháp giải Để biểu diễn cung lượng giác có số đo Ví dụ: Biểu diễn đường trịn lượng giác đường tròn lượng giác ta thực sau: 25π điểm cung lượng giác có số đo - Chọn điểm A ( 1;0 ) làm điểm đầu - cung Xác định điểm cuối M cung Ð cho AM = α Lưu ý: + Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội 2π là: Ð sñ AM = α + k2π ; k ∈ ¢ Ngồi ra, ta viết số đo độ: Ð sñ AM = x° + k360°, k ∈ ¢ Ð 2π + Nếu ta có AM = α + k ; k, n∈ ¢ n n có điểm Ta có Ð 25π π 24π π π sñ AM = = + = + 6π = + 2.3.π 4 4 Ð Vậy điểm cuối M cung AM trùng với π Suy M điểm » cung nhỏ AB điểm cung  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo −1485° Hướng dẫn giải Ð Ta có sđ AM = −1485° = −45° + ( −4) 360° Ð Vậy điểm cuối M cung AM trùng với điểm cung −45° Suy M điểm cung nhỏ ¼ AB′ Ví dụ 2: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo π π + k ; k∈ ¢ Trang Hướng dẫn giải Ð π 2π Ta có sđ AM = + k nên có điểm đường tròn lượng giác Ð π k = ⇒ sđ AM = có điểm M Ð π π k = 1⇒ sđ AN = + có điểm N Ð π k = ⇒ sñ AP = + π có điểm P Ð π 3π có điểm Q k = ⇒ sñ AQ = + Ð π k = ⇒ sđ AR = + 2π có điểm R Lúc điểm R trùng với M Vậy bốn điểm M , N, P ,Q tạo thành hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác π Ví dụ 3: Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo k ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải Ð 2π Ta có sđ AM = k nên có điểm đường trịn lượng giác Ð k = ⇒ sñ AM = có điểm M Ð π k = 1⇒ sđ AN = có điểm N Ð 2π có điểm P k = ⇒ sñ AP = Ð k = ⇒ sđ AQ = π có điểm Q Ð 5π có điểm S k = ⇒ sđ AS = Ð 4π có điểm R k = ⇒ sñ AR = Ð k = ⇒ sđ AT = 2π có điểm T Lúc điểm T trùng với M Vậy sáu điểm M; N; P;Q; R; S tạo thành lục giác nội tiếp đường tròn lượng giác Ví dụ 4: Kim kim phút đồng hồ Hỏi sau lâu hai kim lại vng góc với nhau? A 11 B 11 C 11 D 11 Câu ta thấy giống Dạng Ví dụ Nhưng ta giải theo cách tư khác sau Hướng dẫn giải Trang Một giờ, kim phút quét góc lượng giác 2π ; kim quét góc π Hiệu vận tốc π 11π = 6 kim phút kim 2π − Vào lúc hai kim vng góc với khoảng cách hai kim π Sau kim phút phải quay để bắt kịp kim tạo thành góc vng nên kim phút cần phải quay thêm π  π π  11π = ( h) Khoảng thời gian để hai kim vng góc với lần  + ÷:  2  11 Chọn A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối trùng với cung lượng giác có số đo A π 7π B 12π C −13π D 31π Câu 2: Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo khác đường trịn lượng giác, xảy trường hợp điểm đầu, cuối chúng trùng nhau? A Khi số đo bội 2π B Khi số đo ước 2π C Khi số đo bội π D Khi số đo ước π Câu 3: Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối khơng trùng với cung lượng giác có số đo A 5π −23π B 19π C 34π D 47π Câu 4: Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối trùng với cung lượng giác có số đo 1756° ? A 452° C 726° D 244° Câu 5: Cung sau có điểm cuối trùng với M ? Biết M điểm cung AB A α = π + k2π ; k ∈ ¢ B α = π + k2π ; k ∈ ¢ C α = π + k2π ; k ∈ ¢ B 4636° D α = π + k2π ; k ∈ ¢ Trang Câu 6: Cung sau có điểm đầu điểm B điểm cuối trùng với M ? Biết M điểm cung A′B′ A α = 3π + kπ ; k ∈ ¢ B α = 5π + kπ ; k ∈ ¢ C α = 3π + k2π ; k ∈ ¢ D α = 5π + k2π ; k ∈ ¢ Câu 7: Biết tam giác OCB′ ODB′ hai tam giác Cung sau có điểm đầu điểm A điểm cuối trùng với B,C, D A α = π + k2π ; k ∈ ¢ B α = − π + k2π ; k ∈ ¢ C α = π 2π + k ;k∈ ¢ D α = π 2π + k ;k∈ ¢ π π 5π 5π 13π −11π 7π 7π Câu 8: Cho ·AOB = Cho góc lượng giác có số đo ; ; − ; Trong ; ; ;− 6 6 6 6 góc lượng giác có số đo trên, có góc lượng giác có tia đầu OA , tia cuối OB A B C D Trang Bài tập nâng cao Câu 9: Kim kim phút thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Hỏi thời gian để hai kim vng góc với lần gần với số sau đây? A 15 phút B 16 phút C 17 phút D 18 phút Câu 10: Kim kim phút đồng hồ thời gian lúc 12 Hỏi thời gian để hai kim trùng lần thứ hai (khơng tính lúc 12 giờ)? A 23 11 B 24 11 C 25 11 D Câu 11: Kim kim phút thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Số lần hai kim vng góc với từ 12 đến 15 16 A lần B lần Dạng Độ dài cung trịn  Phương pháp giải Cung có số đo α rad đường trịn bán kính R có độ dài I = R.α C lần D lần Ví dụ: Một đường trịn có bán kính 30 cm Tìm độ dài cung đường trịn có số đo sau π rad;70° 15 Hướng dẫn giải Gọi α , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Khi R = 30 cm π Độ dài cung có số đo rad là: 15 π I = R.α = 30 = 2π ( cm) 15 Độ dài cung có số đo 70° π 7π Chuyển từ độ sang rađian: 70° = 70° = 180° 18 7π 35π Độ dài cung: I = R.α = 30 = ( cm) 18 đây:  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trên đường trịn định hướng có bán kính lấy cung có độ dài 2π Số đo theo độ cung A 120° B 150° C 180° D 210° Hướng dẫn giải Gọi α , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Khi R = 3; I = 2π Ta có I = R.α ⇒ α = I 2π 2π 180° = = = 120° R 3 π Chọn A Ví dụ 2: Một cung lượng giác đường trịn định hướng có độ dài nửa bán kính Số đo theo rađian cung Trang 10 A rad B rad C rad D rad Hướng dẫn giải Gọi α , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Vì độ dài nửa bán kính nên I = R R I Ta có I = R.α ⇒ α = = = ( rad) R R Chọn A Ví dụ 3: Biết độ dài xích đạo 40000 km Bán kính Trái Đất A 6166,2 km B 6266,2 km C 6366,2 km D 6466,2 km Hướng dẫn giải Gọi α , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Khi I = 40000( km) Ta có I = R.α ⇒ R = I 40000 20000 = = ≈ 6366,2( km) α 2π π Chọn C Ví dụ 4: Kim dài 5,5 cm kim phút dài 11 cm đồng hồ Hỏi sau lâu kim lại vuông góc với nhau? Lúc tổng quãng đường đầu mút kim kim phút bao nhiêu? A 5,54 cm B 6,54 cm C 7,54 cm D 8,54 cm Câu ta thấy giống Ví dụ Dạng ta giải theo cách khác sau Hướng dẫn giải - Một giờ, kim phút quét góc lượng giác 2π ; kim quét góc - Vào lúc hai kim cách π 2π đồng hồ khoảng cách hai kim Sau kim 3 phút phải quay để tạo thành góc vng với kim nên kim phút cần cách kim khoảng - Trong kim vng góc với kim phút lần nên ta có cung ⇒ k - π 2π = kπ Lưu ý chiều dương lượng giác chiều ngược kim đồng hồ Gọi x thời gian để hai kim vng góc với Ta có −π 2π π 2π 11x 1 6k x = −2π x + − +k ⇒ = + k ⇒ x = + ; k ∈ ¢; k ≥ 2 6 11 11 - Chọn k = ⇒ x = (giờ) 11 (giờ) hai kim lại vng góc với 11 - Tổng quãng đường hai đầu mút kim Vậy sau Trang 11 I = R.α = π 25π 5,5+ 2π 11= ≈ 6,54( cm) 11 11 12 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Điền vào chỗ cịn trống sau Cung có độ dài … độ dài đường trịn cung có số đo 1° A 90 B 180 C 360 D 720 Câu Điền vào chỗ trống sau Cung có độ dài bán kính đường trịn cung có số đo … rađian A B C D Câu Trên đường trịn có diện tích 16π cm2 Độ dài cung 75° đường tròn gần A cm B 5,1 cm C 5,2 cm Câu Trên đường trịn có bán kính R = 20 cm Độ dài cung A 9π cm B 10π cm D 5,3 cm π rad đường tròn C cm D 10 cm Câu Cung lượng giác có số đo x° đường trịn bán kính R có độ dài A I = R.x° B I = R.x° π 180° C I = R x° D I = x° R Câu Bánh xe máy có đường kính 60 cm Nếu chạy với vận tốc 30 km/h giây bánh xe quay góc (làm tròn đến độ, phút)? A 1591°33′ B 1491°33′ C 1691°33′ D 1791°33′ Câu Máy kéo nơng nghiệp có bánh xe sau to bánh trước Bánh xe sau có đường kính 1,892 m; bánh xe trước có đường kính 95 cm Hỏi xe chạy đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn 10 vịng xe di chuyển mét bánh trước lăn góc độ? A 7169°41′ B 7069°41′ C 7569°41′ D 7969°41′ Ð Câu Bánh xe ròng rọc có chu vi 0,54m Dây cua roa bao bánh xe cung AB có độ dài 0,2m Số đo góc ·AOB A 127° B 130° C 133°20′ D 136° Trang 12 Câu Kim đồng hồ dài 5,5 cm , kim phút dài 11 cm thời gian lúc 12 Hỏi hai kim trùng lần thứ ba tổng quãng đường hai kim quay bao nhiêu? A 25π cm B 50π cm C 75π cm D 100π cm Câu 10 Kim đồng hồ dài 11 cm , kim phút dài 22 cm thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Khi hai kim vng góc với lần thứ ba tổng quãng đường hai kim quay A 60π cm B 62,5π cm C 65π cm D 67,5π cm Bài tập nâng cao Câu 11 Người ta muốn xây dựng cầu sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ) Biết AM = 25m Độ dài cung ¼ AMB gần A 49m B 50m C 51m D 52m Câu 12 Từ miếng tơn hình trịn có bán kính R = cm, người ta muốn cắt thành hình chữ nhật có diện tích lớn Khi diện tích hình chữ nhật bao nhiêu? Độ dài cung AB bao nhiêu? A S = 128 cm2; I AB = 4π B S = cm2; I AB = 128π C S = 128 cm2; I AB = 128π D S = cm2; I AB = 4π Đề sử dụng cho câu 13, 14, 15 Để vẽ hình trứng, bạn Bình vẽ bốn cung trịn chắp nối với hình vẽ đây: nửa đường trịn ACB có đường kính AB, cung BE có tâm A bán kính AB, cung FA có tâm B bán kính BA cung EF có tâm D bán kính DE Biết AB = cm Câu 13 Độ dài cung EF bao nhiêu? A 1,6 cm B 1,84 cm C 2,04 cm D 2,24 cm Câu 14 Độ dài cung BE bao nhiêu? A 3,14 cm B cm C 3,24 cm D 3,41 cm Câu 15 Diện tích trứng bao nhiêu? A 14,9cm2 B 15,9cm2 C 16,9cm2 D 17,9cm2 Trang 13 ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Đơn vị đo độ rađian 1- C 2- B 3- B 4- A 5- A 6- B 7- A 8- C 9- A HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn A Gọi O tâm đường trịn chứa cung ¼ AMB , MK đường kính đường trịn tâm ( O;OA) Áp dụng hệ thức lượng tam giác ∆AMK vuông A , đường cao AN AN 252 Ta có AN = MN.NK ⇒ NK = = = 125( m) MN AN 25 · · · · Xét ∆ANK có tan AKN = = ⇒ AKN ≈ 11,3° ⇒ AKB = 2AKN = 22,6° NK 125 AMB = 45,2° ≈ 0,251π ( rad) số đo cung bị chắn nên ¼ Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác 1- D 2- A 3- C 4- B 5- C 6- C 7- C 8- C 9- B 11- A Do tính chất góc nội tiếp 10- B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu Chọn B Xét chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong giờ, kim phút quay vòng −2π rad kim quay π vòng − rad 12 π rad - Nhận thấy giờ, hai kim vng góc với lần nên chu kỳ phương trình kπ Gọi x thời gian để hai kim vng góc với Ta có phương trình sau π π −x 11x 6.k − x = −2π x + + kπ ; k ∈ ¢; k ≥ ⇒ = −2x + + k ⇒ = + k⇒ x= + 6 11 11 Chọn k = ⇒ x = ( giờ) ≈ 16,3( phú t) 11 Vậy sau 16,3 phút hai kim vng góc với lần - Hai kim vng góc với hai kim cách khoảng Trang 14 Câu 10 Chọn B Xét chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong giờ, kim phút quay vòng π vòng − ( rad) 12 Nhận thấy cách kim gặp lại nên chu kỳ phương trình k2π Gọi x thời gian để kim trùng Ta có phương trình sau π −x 11x 12.k − x = −2π x + k2π ; k ∈ ¢; k > ⇒ = −2x + k.2 ⇒ = 2.k ⇒ x = 6 11 −2π ( rad) kim quay Chọn k = ⇒ x = 24 ( giờ) 11 24 ( giờ) kim gặp lần thứ 11 Câu 11 Chọn A Vậy sau - Phương trình hai kim vng góc với x = - Vào lúc 15 cách 12 tiếng nên = Vì k số nguyên nên k = { 0,1,2,3,4,5} 6.k + ; k ∈ ¢; k ≥ (áp dụng kết câu 9) 11 11 6.k + ⇒ k= 11 11 Vậy vào lúc 15 hai kim vng góc với lần 6.k - Vào lúc 16 cách 12 tiếng nên = + ⇒ k = 6,8⇒ k = { 0,1,2,3,4,5,6} 11 11 Vậy vào lúc 16 kim vng góc với lần Dạng Độ dài cung tròn 1- C 2- A 3- C 4- B 11- C 12- A 13- B 14- A 5- B 15- B 6- A 7- A 8- C 9- C 10- B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Chọn C Gọi O tâm đường trịn chứa cung ¼ AMB , MK đường kính đường trịn tâm ( O;OM ) Áp dụng hệ thức lượng tam giác ∆AMK vng A , đường cao AN , ta có AM = MN.MK ⇒ MK = AM 252 = = 125( m) MN AM 25 · · · = ⇒ AKN ≈ 11,54° ⇒ AKB = 2AKM = 23,1° MK 125 AMB = 46,2° ≈ 0,26π ( rad) Do tính chất góc nội tiếp số đo cung bị chắn nên ¼ · Xét ∆AMK có sin AKM = MK = 62,5( m) Độ dài cung ¼ AMB I = R.α = 62,5.0,26π ≈ 51,1 m Vậy độ dài cung ¼ AMB 51,1 m MK = 125( m) ⇒ OM = Trang 15 Câu 12 Chọn A Gọi α , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính Đặt cạnh AB = x( cm) ( x > 0) Suy AC = BC − AB2 = 162 − x2 Diện tích hình chữ nhật S = AB.AC = x 162 − x2 x + 162 − x = 128 cm2 Dấu “=” xảy cạnh hình chữ nhật nên ABCD trở thành hình vng ( Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: x 162 − x2 ≤ ⇒ ·AOB = 90o = ) π ( rad) π = 4π ( cm) Vậy hình nhữ nhật có diện tích lớn 128cm2 độ dài cung AB 4π cm Câu 13 Chọn B π · · D nằm đường trịn đường kính AB ⇒ ·ADB = 90o ⇒ EDF = ADB = 90o = ( rad) ∆ODA vuông cân O ⇒ AD = OA = = 2 ( cm) Độ dài cung AB I = R.α = Cung BE có tâm A bán kính AB ⇒ AE = AB = 4( cm) Suy DE = AE − AD = − 2 ( cm) ( ) π · Vậy độ dài cung EF I = DE.EDF = − 2 ≈ 1,84( cm) Câu 14 Chọn A π · · Vì tính chất đối xứng nên dễ dàng thấy ∆ADB vuông cân D ⇒ DAB = DBA = 45° = ( rad) Vậy độ dài cung BE I = AE.α = π = π ≈ 3,14( cm) Câu 15 Chọn B ( 1 Diện tích hình quạt ACB S = π R2 = π 22 = 2π cm2 2 1 Diện tích ∆ABD S = DA.DB = 2 = cm2 2 ( ) ( ) ) Trang 16 Diện tích hình quạt ABE S = π R2 45° 45° = π 42 = 2π cm2 360° 360° ( ( ) ) ( ) ( ) 90° 90° = π 4− 2 = − π cm2 360° 360° Khi cộng diện tích lại em cần ý tổng diện tích hình quạt ABE hình quạt BAF dư diện tích ∆ABD Diện tích hình quạt DEF S = π R2 ( ) ( Vậy diện tích cần tìm S = 2π + ( 2π ) − + − π ≈ 15,9 cm ) Trang 17 ... 0 ,1, 2,3,4,5,6} 11 11 Vậy vào lúc 16 kim vng góc với lần Dạng Độ dài cung tròn 1- C 2- A 3- C 4- B 11 - C 12 - A 13 - B 14 - A 5- B 15 - B 6- A 7- A 8- C 9- C 10 - B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Câu 11 ... k ≥ 2 6 11 11 - Chọn k = ⇒ x = (giờ) 11 (giờ) hai kim lại vng góc với 11 - Tổng quãng đường hai đầu mút kim Vậy sau Trang 11 I = R.α = π 25π 5,5+ 2π 11 = ≈ 6,54( cm) 11 11 12 Chọn B Bài tập tự... 3: Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối khơng trùng với cung lượng giác có số đo A 5π −23π B 19 π C 34π D 47π Câu 4: Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm