Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 29 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
29
Dung lượng
3,85 MB
Nội dung
BÀI PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Mục tiêu Kiến thức + Nắm cách xác định mặt phẳng, vectơ pháp tuyến mặt phẳng + Nắm công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, góc hai mặt phẳng + Nhận biết vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng, mặt phẳng với mặt cầu Kĩ + Viết phương trình tổng quát mặt phẳng + Xác định vectơ pháp tuyến trường hợp + Tính khoảng cách góc + Xác định vị trí tương đối vận dụng vào giải tập I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình mặt phẳng Vectơ pháp tuyến r r r Vectơ n �0 vectơ pháp tuyến giá n vng góc với Cặp vectơ phương mặt phẳng r r Hai vectơ a, b không phương cặp vectơ phương giá chúng song song nằm Chú ý: r r Nếu n vectơ pháp tuyến k n k �0 vectơ pháp tuyến r r r r r � a Nếu a, b cặp vectơ phương n � �, b �là vectơ pháp tuyến Phương trình tổng quát mặt phẳng Ax By Cz D với A2 B C r Nếu ( ) có phương trình Ax By Cz D n ( A; B; C ) vectơ pháp tuyến ( ) r Phương trình mặt phẳng qua M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n ( A; B; C ) là: A x x0 B y y0 C z z0 Các trường hợp đặc biệt D 0 Phương trình mặt phẳng Ax By Cz A0 By Cz D B0 Ax Cz D C 0 Ax By D Các hệ số Tính chất mặt phẳng qua gốc tọa độ O / / Ox �Ox / /Oy �Oy / /Oz �Oz Trang AB0 AC 0 BC 0 Cz D / / Oxy By D � Oxy / / Oxz Ax D � Oxz / / Oyz hoặc � Oyz Nếu ( ) cắt trục toạ độ điểm (a;0;0), (0; b;0), (0;0; c) với abc �0 ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn ( ) : x y z a b c Chú ý: Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho điểm A xA ; y A ; z A mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D Khi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) tính theo cơng thức: d( A,( )) Ax A By A Cz A D A2 B C Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 0; ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 +) ( ) �( ) � A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 +) ( ) / /( ) � A1 B1 C1 D1 � A2 B2 C2 D2 ( ) +) ( ) �۹ A1 A2 B1 B1 C1 � B2 B2 C2 +) ( ) ( ) � A1 A2 B1B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu ( ) : Ax By Cz D ; ( S ) : ( x a )2 ( y b) ( z c) R Để xét vị trí ( ) ( S ) ta làm sau: Trang +) Nếu d I , R ( ) không cắt ( S ) +) Nếu d I , R tiếp xúc S H Khi H gọi tiếp điểm đồng thời H hình chiếu vng góc I lên gọi tiếp diện +) Nếu d I , R cắt S � ( x a )2 ( y b)2 z c � (C ) : � � �Ax By Cz D theo đường trịn có phương trình R2 Bán kính C r R d [ I , ( )] Tâm J (C) hình chiếu vng góc I Góc hai mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 r r Góc ( ) ( ) bù với góc hai vectơ pháp tuyến n , n Tức cos , r r r� r n n cos n , n r r n �n A1 A2 B1 B2 C1C2 A12 B12 C12 � A22 B22 C22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng ( ) : A1 x B1 y C1 z D1 ( ) : A2 x B2 y C2 z D2 Khi P mặt phẳng chứa d mặt phẳng P có dạng m� A1 x B1 y C1 z D1 n � A2 x B2 y C2 z D2 với m2 n �0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm vectơ pháp tuyến Phương pháp giải r Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có vectơ pháp tuyến n A; B; C A x x0 B y y0 C z z0 r Ví dụ: Phương trình mặt phẳng qua điểm A 1; 2;3 có vectơ pháp tuyến v 1; 2;1 là: 1 x 1 y 1 z � x y z Ví dụ mẫu x y z 2 1 r r C n 3; 6; 2 D n 2; 1;3 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, vectơ pháp tuyến mặt phẳng r A n 3;6; 2 r B n 2; 1;3 Hướng dẫn giải Ta có phương trình x y z 1 1� x y z � 3x y z 2 1 3 r Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng n 3;6; 2 Chọn A Trang Ví dụ 2: Cho ba điểm A 2;1; 1 , B 1;0; , C 0; 2; 1 Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x y z B x y z C x y D x y z Hướng dẫn giải uuur Mặt phẳng P qua A 2;1; 1 vng góc với BC nên nhận BC 1; 2; 5 làm vectơ pháp tuyến Vì ta viết phương trình mặt phẳng P là: x y 1 z 1 � x y z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M , vng góc với đường thẳng d , vectơ phương r u đường thẳng d vectơ pháp tuyến Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 3; , B 3;5; 2 Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB có dạng x ay bz c Khi a b c A 2 B 4 C 3 D Hướng dẫn giải uuu r r Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB, ta có M (2;1;0) AB (2;8; 4) 2(1; 4; 2) 2n r Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB qua M có vectơ pháp tuyến n nên có phương trình: x y z Suy a 4, b 2, c 6 Vậy a b c 4 Chọn B Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxy qua điểm A(1;1;1) có phương trình A y B x y z C x D z Hướng dẫn giải r Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxy ) qua A(1;1;1) nhận k (0;0;1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình z Chọn D Ví dụ 5: Cho mặt phẳng Q : x y z Viết phương trình mặt phẳng ( P ) song song với mặt phẳng Q , đồng thời cắt trục Ox, Oy điểm M , N cho MN 2 A ( P ) : x y z B ( P ) : x y z C ( P) : x y z �2 D ( P ) : x y z Hướng dẫn giải Trang ( P) / /(Q) nên phương trình mặt phẳng ( P ) có dạng x y z D ( D �2) Khi mặt phẳng ( P ) cắt trục Ox, Oy điểm M ( D; 0;0) , N (0; D;0) Từ giả thiết: MN 2 � D 2 � D (do D �2) Vậy phương trình mặt phẳng ( P ) : x y z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z0 song song với mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D có phương trình A x x0 B y y0 C z z0 Ví dụ 6: Cho điểm M (1; 2;5) Mặt phẳng ( P ) qua điểm M cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C cho M trực tâm tam giác ABC Phương trình mặt phẳng ( P ) A x y z B x y z 30 C x y z 0 D x y z 1 Hướng dẫn giải Ta có OA (OBC ) � OA BC � �� BC (OAM ) � BC OM (1) AM BC � Tương tự AB OM (2) Từ (1) (2) suy OM ( ABC ) hay OM ( P ) uuuu r Suy OM (1; 2;5) vectơ pháp tuyến ( P ) Vậy phương trình mặt phẳng P x y z � x y z 30 Chọn B Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD có đỉnh A(8; 14; 10); AD, AB, AC song song với Ox, Oy , Oz Phương trình mặt phẳng BCD qua H (7; 16; 15) trực tâm BCD có phương trình A x y z 100 C x y z 16 15 B x y z 100 D x y z 16 15 Hướng dẫn giải uuur Theo đề ra, ta có ( BCD ) qua H (7; 16; 15), nhận HA (1; 2;5) vectơ pháp tuyến Phương trình mặt phẳng BCD ( x 7) 2( y 16) 5( z 15) � x y z 100 Vậy ( BCD ) : x y 5z 100 Chọn B Trang Bài tốn Viết phương trình mặt phẳng biết điểm thuộc mặt phẳng tìm cặp vectơ phương Phương pháp giải r r Mặt phẳng ( ) qua điểm M x0 ; y0 ; z0 có cặp vectơ phương a , b Khi vectơ pháp tuyến r r r ( ) n [a , b ] r r Ví dụ: Mặt phẳng ( P ) qua điểm M (0; 2; 2) nhận vectơ a (2, 0,1), b (1,1,0) hai vectơ phương Suy P có vectơ pháp tuyến là: r r r n [a , b ] (1;1; 2) Từ ta có ( P) : x y z Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1; 1;5), B(0;0;1) Mặt phẳng ( P ) chứa A, B song song với trục Oy có phương trình A x z B x y z C x z D x z Hướng dẫn giải Do mặt phẳng ( P ) chứa A, B song song với trục Oy nên vectơ pháp tuyến ( P ) r r r uuu n [ AB; j ] (4;0; 1) Phương trình mặt phẳng ( P ) là: 4( x 0) 0( y 0) 1( z 1) � x z Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; 1 ; B 2;1;0 mặt phẳng ( P ) : x y z Gọi (Q) mặt phẳng chứa A; B vng góc với ( P ) Phương trình mặt phẳng (Q) A x y 3z B x y z C x y z D x y z Hướng dẫn giải Phương trình mặt phẳng Q chứa AB vng góc với mặt phẳng ( P ) nên có cặp vectơ phương uur uuur AB (1; 1;1) nP (2;1; 3) uur uuu r uur Suy nQ [ AB; nP ] (2;5;3) Mặt phẳng (Q) qua A(1; 2; 1) nên 2( x 1) 5( y 2) 3( z 1) � x y 3z Chọn A Chú ý: Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng : r r +) Xác định vectơ phương u (d ) vectơ pháp tuyến n Trang r r r u Một vectơ pháp tuyến ( ) là: n � �, n � � +) Lấy điểm M thuộc d M �( ) Ví dụ 3: Mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O vng góc với hai mặt phẳng ( P) : x y z 0, (Q) : 3x y 12 z có phương trình A x y z B 10 x 15 y z C 10 x 15 y z D x y z Hướng dẫn giải r Ta có ( P) : x y z có vectơ pháp tuyến n1 (1; 1;1) uu r (Q) : 3x y 12 z có vectơ pháp tuyến n2 (3; 2; 12) Do ( ) ( P) ( ) (Q) nên ( ) có vectơ pháp tuyến r r ur uu n [n1 ; n2 ] (10;15;5) Vậy ( ) có phương trình 10 x 15 y z � x y z Chọn D Chú ý: Mặt phẳng qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng cắt , : Chọn vectơ pháp tuyến là: r r r n� n , n � � � Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0;1; 2), B(2; 2;1) , C (2;1;0) Khi đó, phương trình mặt phẳng ( ABC ) ax y z d Hãy xác định a d A a 1, d B a 6, d 6 C a 1, d 6 D a 6, d Hướng dẫn giải uuur uuur Ta có: AB 2; 3; 1 ; AC 2;0; 2 uuur uuur �3 1 1 2 3 � � AB; AC � � � �0 2 ; 2 2 ; 2 � 6;6; 6 � � r uuur uuur ABC AB; AC � Chọn n � � 1;1; 1 vectơ pháp tuyến mặt phẳng 6� Ta có phương trình mặt phẳng ABC là: x y z � x y z Vậy a 1, d Chọn A Chú ý: Mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C Khi ta xác định vectơ pháp tuyến là: r uuur uuur n� AB , AC � � � Trang Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, biết mặt phẳng ax by cz qua hai điểm A(3;1; 1), B (2; 1; 4) vng góc với ( P ) : x y z Giá trị a b c A B 12 C 10 D Hướng dẫn giải uuu r uur Gọi ( ) : ax by cz Ta có AB (1; 2;5), nP (2; 1;3) r uur r uuu Mặt phẳng ( ) nhận n [ AB, nP ] (1;13;5) làm vectơ pháp tuyến nên ( ) có dạng x 13 y z D Mặt phẳng ( ) qua A(3;1; 1) nên 3 13.1 5.(1) D � D 5 � ( ) : x 13 y z hay ( ) : x 13 y z Suy a 1; b 13; c 5 Vậy a b c Chọn A Bài tốn Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách Phương pháp giải Sử dụng công thức liên quan đến khoảng cách: Khoảng cách từ điểm M x0 , y0 , z0 đến mặt phẳng ( ) : ax by cz d d( M , ( )) ax0 by0 cz0 d a2 b2 c2 Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song: d [( ), ( )] d[ M , ( )] điểm M �( ) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) : x y z cách ( ) khoảng A x y z 0; x y z B x y z C x y z 0; x y z D x y z 0; x y z Hướng dẫn giải Gọi ( ) mặt phẳng cần tìm Ta có A(0;0;3) �( ) Do ( ) / /( ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng: x y z m với m �3 Ta có d(( ), ( )) � d( A, ( )) � | m 3| 3 m6 � �| m | � � (thỏa mãn) m0 � Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm x y z x y z Trang Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x z 0, (Q ) : x z Mặt phẳng song song cách ( P ) (Q) có phương trình là: A x z B x z C x z D x z Hướng dẫn giải Điểm M ( x; y; z ) cách ( P ) (Q) � d ( M ;( P)) d ( M ;(Q)) � x 3z x 3z � | x 3z | | x 3z | �� x 3z x z 1 1 � 4 � �� � x 3z x 3z � Vậy M thuộc ( ) : x 3z Nhận thấy ( ) song song với ( P ) (Q) Chọn A Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2;1 , B 3; 4;0 mặt phẳng ( P) : ax by cz 46 Biết khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng ( P ) Giá trị biểu thức T a b c A 3 B 6 C D Hướng dẫn giải Gọi H , K hình chiếu A, B mặt phẳng ( P ) Theo giả thiết, ta có: AB 3, AH 6, BK Do A, B phía với mặt phẳng ( P ) Lại có: AB BK �AK �AH Mà AB BK AH nên H �K Suy A, B, H ba điểm thẳng hàng B trung điểm AH nên tọa độ H (5;6; 1) uuu r Vậy mặt phẳng ( P ) qua H (5;6; 1) nhận AB (2; 2; 1) vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x 5) 2( y 6) 1( z 1) � x y z 23 Theo ra, ta có ( P) : 4 x y z 46 nên a 4, b 4, c Vậy T a b c 6 Chọn B Bài toán Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu Phương pháp giải Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm H Giả sử mặt cầu S có tâm I bán kính R, ta viết phương trình mặt phẳng ( ) qua H r r uuu có vectơ pháp tuyến n IH Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x 1) y ( z 2) Trang 10 Chứng minh tương tự, ta có: BC OH 2 Từ (1), (2) ta có OH ( ABC ) Suy 1 1 2 OA OB OC OH 1 đạt giá trị nhỏ OH đạt giá trị lớn Mà OH �OM 2 OA OB OC nên OH đạt giá lớn OM hay H �M uuuu r Khi OM ( ABC ) nên ( P ) có vectơ pháp tuyến OM (1; 2;3) Vậy để biểu thức Phương trình mặt phẳng ( P ) 1( x 1) 2( y 2) 3( z 3) � x y 3z 14 Chọn B Ví dụ 5: Trong khơng gian Oxyz, có mặt phẳng qua điểm M 4; 4;1 chắn ba trục tọa độ Ox, Oy , Oz theo ba đoạn thẳng có độ dài theo thứ tự lập thành cấp số nhân có cơng bội A B C ? D Hướng dẫn giải Gọi A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c) với abc �0 giao điểm mặt phẳng ( P ) trục toạ độ Khi ( P ) có phương trình x y z a b c Theo giả thiết ta có: � �4 a 8, b 4, c � M �( P ) � �a b c � � �� �� a 8, b 4, c 2 � 1 � 1 OC OB OA � � | c | | b | | a | � a 16, b 8, c 4 � � � Vậy có ba mặt phẳng thỏa mãn Chọn C Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0 , B 0;1;0 Mặt phẳng x ay bz c qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C cho tứ diện OABC tích Giá trị a 3b 2c A 16 B C 10 D Hướng dẫn giải Mặt phẳng qua điểm A, B đồng thời cắt tia Oz C 0;0; t với t có phương trình x y z 1 1 t Mặt khác: VOABC 1 � OA.OB.OC � t 6 Trang 15 Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng x y z � x y z 1 1 Vậy a b 1, c 1 Suy a 3b 2c 3.1 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình x y z Vectơ pháp tuyến mặt phẳng P r r A n 1;1; 2 B n (1;1; 2) r C n (1; 2; 3) r D n (1; 2; 3) Câu 2: Cho ba điểm A(2;1; 1), B( 1;0; 4), C (0; 2; 1) Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với BC A x y z B x y z C x y D x y z Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M 3; 2;1 Mặt phẳng P qua M cắt trục tọa độ Ox, Oy , Oz điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ cho M trực tâm tam giác ABC Trong mặt phẳng sau, mặt phẳng song song với mặt phẳng P A x y z 14 B x y z C x y z 14 D x y z Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y z hai điểm A(3;0;1), B(0; 1;3) Phương trình mặt phẳng (Q) qua A song song với mặt phẳng ( P ) A x y z B x y z C x y z D x y z Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho A(0;1;1), B(1;0;0) mặt phẳng ( P) : x y z (Q) mặt phẳng song song với ( P ) đồng thời đường thẳng AB cắt (Q) C cho CA 2CB Mặt phẳng Q có phương trình là: A x y z x y z B x y z C x y z D x y z x y z Câu 6: Trong khơng gian Oxyz, phương trình mặt phẳng P song song cách mặt phẳng (Q) : x y z khoảng đồng thời ( P ) không qua O A x y z B x y z C x y z D x y z Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho A(2;0;0), B(0; 4;0), C (0;0;6), D(2; 4;6) Gọi ( P ) mặt phẳng song song với ( ABC ) , cách D mặt phẳng ( ABC ) Phương trình ( P ) A x y z 24 B x y z 12 C x y z D x y z 36 Trang 16 Câu 8: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A 3; 2;3 , B 2;1; , C 4;1;6 Phương trình mặt phẳng ( ABC ) A x y z B x y z C x y z D x y z Câu 9: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 2;3 Viết phương trình mặt phẳng P qua M cắt trục Ox, Oy , Oz A, B, C cho M trọng tâm tam giác ABC A ( P) : x y z 18 B ( P ) : x y z C ( P) : x y z 18 D ( P ) : x y z Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm M 1; 3; Hỏi có mặt phẳng qua M cắt trục toạ độ A, B, C mà OA OB OC �0? A B C D Câu 11: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa Oy cắt mặt cầu ( S ) theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A ( ) : x z B ( ) : x z C ( ) : x 3z D ( ) : 3x z Bài tập nâng cao 4; 7; 5 , N 3; 9; 10 đường thẳng d1 , d , d3 qua điểm N Câu 12: Cho điểm M � , B� , C �sao cho qua M �cắt d1 , d , d3 A� song song với Ox, Oy, Oz Mặt phẳng P� B C Phương trình mặt phẳng P� M �là trực tâm A��� A x y z 35 C x y z 7 5 B x y z 35 D x y z 7 5 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1;0;0 , B 0; 2;0 , C 0;0;1 Xét ba mặt cầu tiếp xúc ngồi đơi với tiếp xúc với mặt phẳng ABC A, B, C Tổng diện tích ba mặt cầu là: A 33 B 36 C 31 D 54 Câu 14: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y z , điểm A(0;1;1), B (1;0;0) với A B nằm mặt phẳng ( P ) mặt cầu ( S ) : ( x 2) ( y 1) ( z 2) CD đường kính thay đổi ( S ) cho CD / /( P ) bốn điểm A, B, C , D tạo thành tứ diện Giá trị lớn thể tích tứ diện ABCD A 2 B C D Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng, mặt cầu mặt phẳng Bài toán Vị trí tương đối hai mặt phẳng Phương pháp giải Cho hai mặt phẳng: ( P ) : Ax By Cz D ; Trang 17 x B� y C� z D� 0 P� : A� Khi đó: ۹ A : B :C ( P ) cắt P� ( P ) / / P� � A� : B� : C� A B C D � A� B� C � D� A B C D A� B� C � D� r r r r � n( P ) n P� � n( P ) n P� ( P ) P� ( P ) � P� � � AA� BB� CC � Chú ý: Nếu A tương ứng A� Nếu B tương ứng B� 0 Nếu C tương ứng C � Ví dụ: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : x y z ( ) : x y mz Tìm m để song song với Hướng dẫn giải Ta có ( ) / /( ) � (vơ lý 1 1 � m 2 2 ) 1 Vậy không tồn m để hai mặt phẳng , song song với Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng ( P ) : x y z vuông góc với mặt phẳng đây? A x y z B x y z C x y z D x y z Hướng dẫn giải uur Mặt phẳng ( P ) có vectơ pháp tuyến nP (2;1;1) uur Mặt phẳng (Q) : x y z có vectơ pháp tuyến nQ (1; 1; 1) uur uur uur uur nQ � nP nQ � ( P) (Q) Mà nP � Vậy mặt phẳng x y z mặt phẳng cần tìm Chọn B Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình mx (m 1) y z 10 mặt phẳng (Q) : x y z Với giá trị m ( P ) (Q) vng góc với nhau? Trang 18 A m 2 B m C m D m 1 Hướng dẫn giải r ( P) : mx (m 1) y z 10 có vectơ pháp tuyến n1 ( m; m 1;1) uu r (Q) : x y z có vectơ pháp tuyến n2 (2;1; 2) r r ( P ) (Q) � n1 � n2 � 2m m � m Chọn C Bài tốn Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Phương pháp giải Cho mặt phẳng ( ) : Ax By Cz D mặt cầu tâm I ; bán kính R ( ) ( S ) khơng có điểm chung � d ( I , ( )) R ( ) tiếp xúc với ( S ) � d ( I , ( )) R Khi ( ) tiếp diện ( ) ( S ) cắt � d ( I ;( )) R Khi O có tâm hình chiếu I bán kính r R d ( I ; ( )) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x y z x y 12 Mặt phẳng cắt S theo đường trịn có bán kính r 3? A x y z 26 B x y z 12 C x y z 17 20 D x y z Hướng dẫn giải Phương trình mặt cầu S x y z x y 12 Suy tâm I 3; 2;0 bán kính R Ta gọi khoảng cách từ tâm I mặt cầu tới mặt phẳng đáp án h, để mặt phẳng cắt mặt cầu S theo đường trịn có bán kính r h R r 25 Đáp án A loại h |18 26 | �4 26 Đáp án B loại h 14 �4 Chọn đáp án C h Đáp án D loại h 1 �4 Chọn C Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I 1; 2; 2 mặt phẳng Trang 19 ( P) : x y z Phương trình mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng ( P ) theo giao tuyến đường trịn có diện tích 16 A ( x 2) ( y 2) ( z 1) 36 B ( x 1)2 ( y 2)2 ( z 2) C ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 D ( x 1)2 ( y 2) ( z 2)2 16 Hướng dẫn giải Ta có a d ( I ;( P)) | 2.1 2.2 | 22 22 12 3 Bán kính đường tròn giao tuyến là: r S 16 Mặt cầu tâm I cắt mặt phẳng P theo giao tuyến đường trịn nên ta có R a r 16 25 � R Vậy phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R là: ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 Chọn C Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình x y z x y z mặt phẳng ( ) : x y 12 z 10 Tìm phương trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: tiếp xúc với S ; song song với ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y 12 z 78 B x y 12 z 26 C x y 12 z 78 D x y 12 z 26 Hướng dẫn giải Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3), bán kính R 12 22 32 Vì ( ) / /( ) nên phương trình ( ) có dạng: x y 12 z d 0, d �10 Vì ( ) tiếp xúc mặt cầu ( S ) nên d ( I ,( )) R � | 4.1 3.2 12.3 d | 42 32 (12) d 26 � �| d 26 | 52 � � d 78 � Do ( ) cắt trục Oz điểm có cao độ dương nên chọn d 78 Vậy phương trình mặt phẳng ( ) : x y 12 z 78 Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz ? A P : x B (Q ) : y C ( R ) : z D ( S ) : x z Trang 20 Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng : x y z ( ) : x y mz m , với m tham số thực Giá trị m để ( ) ( ) A 1 B D 4 C Câu 3: Trong khơng gian Oxyz, có số thực m để mặt phẳng ( P ) : x y z song song với mặt phẳng (Q) : x (m 2) y 2mz m 0? A B C Vô số D Câu 4: Cho mặt cầu S có đường kính 10 cm mặt phẳng P cách tâm mặt cầu khoảng cm Khẳng định sau sai? A ( P ) ( S ) có vơ số điểm chung B ( P ) tiếp xúc với ( S ) C ( P ) cắt ( S ) theo đường trịn bán kính cm D ( P ) cắt ( S ) Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : ( x 2) ( y 1) ( z 1)2 12 Mặt phẳng sau cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường tròn? A P1 : x y z B P2 : x y z C P3 : x y z 10 D P4 : x y z 10 Câu 6: Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình ( x 2) ( y 1) ( z 2) mặt phẳng ( P ) có phương trình x y m Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng ( P ) mặt cầu S có điểm chung A m B m 1 m 21 C m m 21 D m 9 m 31 Câu 7: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S có phương trình ( x 2)2 ( y 4)2 ( z 1) mặt phẳng ( P ) có phương trình x my z 3m Tìm tất giá trị thực tham số m để mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến đường trịn có đường kính A m B m 1 m 2 C m m D m 1 Bài tập nâng cao Câu 8: Biết không gian với hệ toạ độ Oxyz có hai mặt phẳng P Q thoả mãn điều kiện sau: qua hai điểm A 1;1;1 B 0; 2; đồng thời cắt trục toạ độ Ox, Oy hai điểm cách O Giả sử P có phương trình x b1 y c1 z d1 Q có phương trình x b2 y c2 z d Giá trị biểu thức b1b2 c1c2 A B 9 C 7 D Trang 21 2 Câu 9: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2mx m 1 y m 1 z 10 điểm A 2;11; 5 Biết m thay đổi tồn hai mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng P qua A Tổng bán kính hai mặt cầu A B 15 C D 12 Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 tiếp xúc với hai mặt 2 phẳng P : x y z Q : x y z điểm A, B Độ dài đoạn AB A B C D Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp giải Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z0 đến mặt phẳng : Ax By Cz D d M0 , Ax0 By0 Cz0 D A2 B C Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, khoảng cách từ điểm A 1; 2;3 đến mặt phẳng P có phương trình x y z d A, P 2 4.3 12 32 4 26 13 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, khoảng cách hai mặt phẳng Q : x y 2z A P : x y z 10 B C D Hướng dẫn giải Vì P / / Q nên d P , Q d A, Q với A � P Chọn A 0;0;5 � P d A Q 2.0 2.5 12 22 22 Chọn D Chú ý: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng khơng song song khoảng cách chúng Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho A 1; 2;3 , B 3;4; Tìm tất giá trị tham số m cho khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng P : x y mz độ dài đoạn thẳng AB A m B m 2 C m 3 D m �2 Trang 22 Hướng dẫn giải uuur Ta có AB 2; 2;1 � AB 22 22 12 1 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng P d ( A, ( P )) | 2.1 m � 1| 22 12 m Vì AB d ( A,( P )) � | 3m | m2 | 3m | 5 m (2) � m 9(m 1) � m Chọn A Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1; 2;1 , B 2;1;3 , C (3; 2; 2), D (1;1;1) Độ dài chiều cao DH tứ diện A 14 14 B 14 14 C 14 D 14 Hướng dẫn giải uuu r uuur uuu r uuur Ta có AB (1; 1; 2), AC (2;0;1) � [ AB; AC ] (1;3; 2) vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) Vậy phương trình mặt phẳng ( ABC ) 1( x 1) 3( y 2) 2( z 1) � x y z Độ dài chiều cao DH tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến ( ABC ) Suy DH d ( D, ( ABC )) | 1.1 3.1 2.1 | (1) 32 2 14 14 Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A a; b; c với a, b, c �0 Xét P mặt phẳng thay đổi qua điểm A Khoảng cách lớn từ điểm O đến mặt phẳng ( P ) A a b2 c2 B a b c C a b c D a b c Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc O lên mặt phẳng P Khi d (O, ( P )) OH �OA a b c Chọn A Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng ( P ) : x y z 10 (Q) : x y z Điểm M giao điểm mặt phẳng P với trục Oz Khoảng cách từ M tới mặt phẳng Q A B C D Trang 23 Câu 2: Trong không gian cho hệ trục tọa độ Oxyz, tất điểm M nằm Oz có khoảng cách đến mặt phẳng ( P ) : x y z A M (0;0; 4) B M (0; 0;0), M (0; 0; 2) C M (0;0; 2) D M (0; 0; 2), M (0;0; 4) Câu 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 2x y z điểm A 1; 2;3 Gọi M a; b; c � P cho AM Giá trị a b c A B C D 12 Bài tập nâng cao �3 � Gọi S1 mặt Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 2; 3 , B � ; ; � �2 2 � cầu tâm A, bán kính S mặt cầu tâm B, bán kính Gọi P mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu S1 , S Khoảng cách lớn từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng P A 58 36 61 127 B 11 61 C 11 61 D 63 61 89 169 Dạng Góc hai mặt phẳng Phương pháp giải Cho hai mặt phẳng , có phương trình: : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C2 z D2 ur uu r Góc , bù với góc hai vectơ pháp tuyến n1 , n2 ur uu r n1.n2 A1 A2 B1 B2 C1C2 cos � , ur uu r A12 B12 C12 A22 B22 C22 n1 n2 o o � Chú ý: � , �90 Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình x z Tính góc P mặt phẳng Oxy Hướng dẫn giải ur Mặt phẳng P : x z có vectơ pháp tuyến n1 1;0; 1 mặt phẳng Oxy có vectơ pháp tuyến uu r n2 0;0;1 Gọi góc mặt phẳng P mặt phẳng Oxy ur uu r n1.n2 � 45o r Ta có cos ur uu n1 n2 Trang 24 Ví dụ mẫu Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, biết hình chiếu O lên mặt phẳng P điểm H 2; 1; 2 Số đo góc mặt phẳng P với mặt phẳng Q : x y A 30o B 90o C 60o D 45o Hướng dẫn giải Gọi góc mặt phẳng P với mặt phẳng Q uuur r Ta có OH 2; 1; 2 vectơ pháp tuyến mặt phẳng P n 1; 1;0 vectơ pháp tuyến mặt phẳng Q uuur r uuur r OH n � 45o Ta có cos cos OH , n uuur r OH n Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong hệ trục toạ độ Oxyz, cho điểm H 2;1; Điểm H hình chiếu vng góc gốc toạ độ O xuống mặt phẳng P , số đo góc mặt phẳng P mặt phẳng Q : x y 11 A 90o B 30o C 60o D 45o Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng P có phương trình: ax by cz với c qua điểm A 0;1;0 , B 1;0;0 tạo với mặt phẳng Oyz góc 60o A 5;8 B 8;11 C 0;3 D 3;5 Bài tập nâng cao � Câu 3: Cho khối chóp S ABCD có đáy hình bình hành AB 3, AD 4, BAD 120o Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ABCD Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA, SD BC , góc hai mặt phẳng SAC MNP Chọn khẳng định khẳng định sau đây: o o A � 60 ;90 o o B � ;30 o o C � 30 ; 45 o o D � 45 ;60 Dạng Một số toán cực trị Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho ba điểm A 1;1;1 , B 1; 2; , C 3; 1; M điểm thuộc mặt phẳng : x y z uuur uuur uuuu r Tính giá trị nhỏ P 3MA 5MB MC A Pmin 20 B Pmin C Pmin 25 D Pmin 27 Hướng dẫn giải Trang 25 uu r uur uur r Gọi điểm I x; y ; z cho 3IA 5IB IC � x 1 x x �x 23 � � y y 1 y � �y 20 � I 23; 20; 11 Khi � � � 3 1 z 5 z z �z 11 � uuur uuur uuuu r uuu r uur uuu r uur uuu r uur P MA MB MC MI IA MI IB MI IC Xét uuu r uur uur uur uuu r MI 3IA IB IC MI MI Pmin MI ngắn hay M hình chiếu vng góc I lên mặt phẳng Khi đó: Pmin d I , 23 20 11 22 1 22 27 Chọn D Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 3;5; 5 , B 5; 3;7 mặt phẳng ( P) : x y z Tìm toạ độ điểm M mặt phẳng ( P ) cho MA2 MB lớn A M (2;1;1) B M (2; 1;1) C M (6; 18;12) D M (6;18;12) Hướng dẫn giải uu r uur r Gọi I thỏa mãn IA IB uur uuu r uur uuu r r uur uuu r uuu r Khi IO OA 2( IO OB) � OI 2OB OA � I (13; 11;19) uuur uuur uuu r uu r uuu r uur Ta có MA2 2MB MA MB MI IA MI IB MI IA2 IB MA2 2MB lớn MI nhỏ Khi I hình chiếu vng góc M lên ( P ) Ta tìm M (6; 18;12) Chọn C Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho điểm M (m;0;0), N (0; n;0), P(0;0; p) không trùng với gốc tọa độ thỏa mãn m n p Giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP A B C D 27 Hướng dẫn giải Do M , N , P không trùng với gốc tọa độ nên m �0, n �0, p �0 Phương trình mặt phẳng ( MNP ) là: Suy d (O, ( MNP )) x y z 1 � x y z 1 m n p m n p 1 1 2 2 m n p Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương m , n , p ba số dương 1 , ta có: m2 n p Trang 26 m n p �3 m2 n p 1 1 �3 2 m n p mn p 1 � 2 �1 Suy m n p � ��9 n p � �m �1 1 � 2 � 3� � ��9 m n p p � �m n 1 �2��� m n p2 Vậy d (O, ( MNP )) � m2 n2 p2 1 1 2 2 m n p Dấu "=" xảy m n p Vậy giá trị lớn khoảng cách từ O đến mặt phẳng MNP Chọn C Ví dụ 4: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : x y z mặt cầu uuuu r ( S ) : x y z x y z Giả sử M �( P ) N �( S ) cho MN phương với vectơ r u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính MN A MN B MN 2 D MN 14 C MN Hướng dẫn giải S có tâm I (1; 2;1) bán kính R Ta có: d ( I ,( P)) | 1 2.2 2.1 | 12 22 22 2 R Gọi H hình chiếu vng góc N mặt phẳng P góc MN NH uuuu r r Vì MN phương với u nên góc có số đo khơng đổi � MNH vng H có HNM nên HN MN cos � MN HN cos Do MN lớn � HN lớn � HN d ( I , ( P )) R r uur 1 HN Có cos cos(u , nP ) nên MN cos Chọn C Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi P : ax by cz (với a, b, c số nguyên không đồng thời 0) mặt phẳng qua hai điểm M 0; 1; , N 1;1;3 không qua điểm H (0; 0; 2) Biết khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( P ) đạt giá trị lớn Giá trị tổng T a 2b 3c 12 A 16 B C 12 D 16 Hướng dẫn giải Gọi K hình chiếu H lên ( P ), E hình chiếu H lên MN Trang 27 Ta có d ( H ;( P )) HK d ( H ; MN ) HE , HK �HE (không đổi) Vậy d ( H ;( P )) lớn K �E , với E hình chiếu H lên MN �1 1 � Suy E � ; ; � �3 3 � uuur � 1 � ; ; �làm vectơ pháp tuyến qua M Vậy mặt phẳng ( P ) cần tìm mặt phẳng nhận HE � � 3 3� có phương trình x y z �a 1 � b 1 Suy � � c 1 � Vậy T 16 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu 1: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A 2;1;3 , B 1; 1; , C 3; 6;1 Điểm M x; y; z thuộc mặt phẳng Oyz cho MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ Tính giá trị biểu thức P x y z A P B P C P D P 2 Câu 2: Cho A 4;5;6 ; B 1;1; , M điểm di động mặt phẳng P : x y z Khi MA MB nhận giá trị lớn A 77 B 41 C D 85 Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z hai điểm A 1;0; , B 2; 1; Tập hợp điểm M nằm mặt phẳng P cho tam giác MAB có diện tích nhỏ �x y z A � x y z � �x y z 14 B � x y z � �x y z C � x y z � �x y z D � x y z � Bài tập nâng cao Câu 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A 3; 2; mặt phẳng P : m 2m x m 4m 1 y 3m 1 z m Tìm giá trị lớn khoảng cách từ A đến mặt phẳng P A B 29 C 33 D 21 Trang 28 Câu 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x y 3 z 45 M 1; 4;5 Ba đường 2 thẳng thay đổi d1 , d , d ln đơi vng góc với O cắt mặt cầu điểm thứ hai A, B, C Khoảng cách lớn từ M đến mặt phẳng ABC A B C D ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Dạng Xác định vectơ pháp tuyến viết phương trình mặt phẳng 1-A 11-A 2-A 12-B 3-A 13-A 4-D 14-A 5-A 6-C 7-A 8-A 9-C 10-A 9-D 10-C Dạng Vị trí tương đối hai mặt phẳng, hai mặt phẳng mặt cầu 1-B 2-A 3-B 4-C 5-A 6-C 7-A 8-B Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 1-B 2-D 3-A 4-C Dạng Góc hai mặt phẳng 1-D 2-C 3-A Dạng Một số toán cực trị 1-A 2-B 3-C 4-B 5-D Trang 29 ... �n A1 A2 B1 B2 C1C2 A 12 B 12 C 12 � A 22 B 22 C 22 Chùm mặt phẳng Tập hợp tất mặt phẳng qua giao tuyến hai mặt phẳng ( ) ( ) gọi chùm mặt phẳng Gọi d giao tuyến hai mặt phẳng. .. C1 D1 � A2 B2 C2 D2 ( ) +) ( ) �۹ A1 A2 B1 B1 C1 � B2 B2 C2 +) ( ) ( ) � A1 A2 B1B2 C1C2 Vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng mặt cầu ( )... ( y 2) 2 ( z 2) C ( x 1) ( y 2) ( z 2) 25 D ( x 1 )2 ( y 2) ( z 2) 2 16 Hướng dẫn giải Ta có a d ( I ;( P)) | 2. 1 2. 2 | 22 22 12 3 Bán kính đường