Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 7 BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ( Dạng 1 Lập phương trình mặt cầu Phương pháp giải ( Phương trình chính tắc của mặt cầu ( Phương trình tổng quát của mặt cầu với tâm bán kính Chú ý Nếu A, B thuộc mặt cầu Nếu thì ta có Chứng minh Ta có Với bài toán Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D ta sẽ làm như sau Gọi là tâm mặt cầu thì khi đó là nghiệm của hệ phương trình CASIO suy ra tọa độ điểm I Trong đó là gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy ra tọa độ điểm I Ví dụ 1 Lập phương tr.
CHỦ ĐỀ 7: BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Dạng 1: Lập phương trình mặt cầu Phương pháp giải: Phương trình tắc mặt cầu S : x a y b z c R 2 2 2 Phương trình tổng quát mặt cầu S : x y z 2ax 2by 2cz d với tâm I a; b; c bán kính R a b2 c d Chú ý: - Nếu A, B thuộc mặt cầu S � IA IB R uuu r uur uuu r uur OB OA2 - Nếu IA IB ta có: AB.OI OB OA2 � AB.OI uu r uur2 uur uuu r uur uuu r Chứng minh: Ta có: IA IB � IA2 IB � IA IB � IO OA IO OB uur uuu r uuu r uuu r uur OB OA2 � IO OB OA OB OA2 � AB.OI - Với toán: Viết phương trình mặt cầu qua điểm A, B, C, D ta làm sau: Gọi I x; y; z tâm mặt cầu thì: IA IB IC ID I x; y; z nghiệm hệ phương trình: r uur OB OA2 �uuu AB � OI � �IA IB u u u r u u r OC OA2 � � �� � CASIO suy tọa độ điểm I �IA IC � �AC OI �IA ID � � �uuur uur OD OA2 �AD.OI � Trong O 0;0;0 gốc tọa độ, giải hệ phương trình suy tọa độ điểm I Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu S biết: a) Tâm I thuộc Oy, qua A 1;1;3 ; B 1;3;3 b) Tâm I thuộc Oz, qua A 2;1;1 ; B 4; 1; 1 Lời giải a) Gọi I 0; y;0 ta có: IA2 IB � y 1 y 3 � y � R IA 14 2 Suy S : x y z 14 b) Gọi I 0;0; z ta có: IA2 IB � z 1 16 z 1 � z 12 � z 3 � I 0;0; 3 ; R 21 Phương trình mặt cầu S : x y z 3 21 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu S biết: �x t � a) Tâm I thuộc d : �y t qua A 3;0; 1 ; B 1; 4;1 �z 2t � b) Tâm I thuộc d : x y 1 z qua A 3;6; 1 ; B 5; 4; 3 1 Lời giải a) Gọi I t ; t ; 2t tâm mặt cầu ta có: IA2 IB � t t 2t 1 t t 2t 1 2 2 � 12t 12 � t � I 2;1; � R 11 Phương trình mặt cầu là: x y 1 z 11 2 b) Gọi I t ;1 t ; 2t tâm mặt cầu ta có: IA2 IB � t 1 t 5 2t 1 t 3 t 3 2t 3 2 2 2 � 16t � t � I 2;1;0 � R 3 Phương trình mặt cầu là: x y 1 z 27 2 Ví dụ 3: Lập phương trình mặt cầu S biết S a) Đi qua điểm A 2; 4; 1 ; B 1; 4; 1 ; C 2; 4;3 ; D 2; 2; 1 b) Đi qua điểm A 3;3;0 ; B 3;0;3 ; C 0;3;3 ; D 3;3; 3 Lời giải r uur OB OA2 �uuu AB � OI � u u u r u u r OC OA2 � Áp dụng: IA IB IC ID I x; y; z nghiệm hệ phương trình: �AC.OI � �uuur uur OD OA2 �AD.OI � r uur OB OA2 �uuu AB � 45 � OI �x � �IA IB 2 � �uuur uur OC OA � � �z a) Gọi I x; y; z tâm mặt cầu ta có: �IA IC � �AC.OI �IA ID � �y � u u u r u u r � � OD OA2 � �AD.OI � 2421 2 � 45 � Phương trình mặt cầu: �x � y 3 z 1 � � � � �x � 0; 3;3 x; y; z � � � y 3;0;3 x; y; z � � b) Gọi I x; y; z tâm mặt cầu ta có: � � � � � 0;0; 3 x; y; z � �z � 2 � � � � � � 171 Phương trình mặt cầu: �x � �y � �z � � 2� � 2� � 2� Ví dụ 4: Lập phương trình mặt cầu S biết a) S qua A 2;0;1 ; B 1;0;0 ; C 1;1;1 I � P : x y z b) S qua A 2; 4;1 ; B 3;1; 3 ; C 5;0;0 I � P : x y z Lời giải Gọi I x; y; z tâm mặt cầu r uur OB OA2 �uuu �AB.OI � 1; 0; 1 x; y; z 2 �x � u u u r u u r � OC OA2 � � �� y 0 1;1;0 x; y; z 1 � � a) Ta có: �AC.OI � �x y z �z � � �x y z � � Khi S : x 1 y z 1 2 r uur OB OA2 �uuu �AB.OI � 5; 3; 4 x; y; z 1 �x � u u u r u u r � OC OA2 � �� 3; 4; 1 x; y; z � � b) Ta có: �AC.OI �y 2 � � � x y z 3 �z � 2x y z � � � Khi S : x 1 y z 3 49 2 Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu qua ba điểm M 2;3;3 ; N 2; 1; 1 ; P 2; 1;3 có tâm thuộc mặt phẳng: : 2x y z A x y x y z 10 B x y z x y z C x y z x y z D x y z x y z Lời giải Giả sử mặt cầu có tâm I x; y; z r uur ON OM �uuuu MN � OI � 0; 4; 4 x; y; z 8 �x � u u u r u u r � OP OM � �� 4; 4;0 x; y; z 4 � � Ta có: �MP.OI �y 1 � � � x y z 2 �z � 2x y z � � � Phương trình mặt cầu là: x y 1 z 3 16 hay x y z x y z 2 Chọn B Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 4;0 , B 0;0; , C 1;0;3 Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là: A x y z x y z B x y z x y z C x y z x y z D x y z x y z Lời giải r OA2 �uur uuu OI OA � � 2; 4;0 x; y; z 10 �x � u u r u u r � OB � � OI OI �� y 2 0;0; x; y; z � � Gọi I x; y; z tâm mặt cầu ta có: � � � �z 1;0;3 x; y; z � � �uuur uur OC OC.OI � � Phương trình mặt cầu là: x 1 y z hay x y z x y z Chọn D 2 Ví dụ 7: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A 3; 2; 3 ; B 1; 2;1 mặt phẳng P : x y z Viết phương trình mặt cầu S có tâm I thuộc P qua A, B cho tam giác OIA vuông gốc tọa độ O A S : x y z 1 84 B S : x y z 1 84 C S : x y z 1 42 D S : x y z 1 42 2 2 2 2 Lời giải Phương trình mặt phẳng trung trực AB là: Q : x y z �x t � Gọi d P � Q � d �y t � I t ;1 t ; 1 �z 1 � 2 2 uur uuu r Ta có: OI OA � 3t 2t � t 5 � I 5;6; 1 Vậy PT mặt cầu S : x y z 1 84 Chọn A Ví dụ 8: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu qua điểm A 3;1;1 ; B 0;1; ;C 1; 3;1 có tâm thuộc mặt phẳng P : x y z là: A x 1 y 1 z B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z 81 D x 1 y 1 z 81 2 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi I x; y; z tâm mặt cầu r uur OB OA2 �uuu �AB.OI � 3;0;3 x; y; z � �x u u u r u u r � OC OA2 � � �� y 1 4; 4;0 x; y; z � � Ta có: �AC.OI � �x y z 4 �z � � �x y z � � Khi phương trình mặt cầu là: x 1 y 1 z Chọn A 2 Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng P : x y z cắt trục Oz đường thẳng d : x 5 y z 6 A B Phương trình mặt cầu đường kính AB 1 A x y 1 z 5 B x y 1 z 36 C x y 1 z 36 D x y 1 z 2 2 2 2 2 2 Lời giải Ta có A �Oz � A 0;0; a mà A � P � 2.0 6.0 a � a � A 0;0;3 �x t � Lại có d : �y 2t t �� mà B �d � B t 5; 2t ;6 t �z t � Hơn B � P � t 5 6.2t t � 13t 13 � t 1 � B 4; 2;7 Mặt cầu đường kính AB có tâm I trung điểm AB � I 2; 1;5 Mặt cầu đường kính AB có bán kính R AB uuu r 2 2 Mà AB 4; 2; � AB 42 2 � R � S : x y 1 z Chọn A Dạng 2: Bài toán mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng Có hai đặc điểm quan trọng toán trường hợp mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu Điều kiện tiếp xúc d I ; P R Tâm I nằm đường thẳng qua điểm tiếp xúc vng góc với mặt phẳng P Ví dụ 1: Lập phương trình mặt cầu S tiếp xúc P : 3x y z điểm M 1; 2;3 qua A 1;0;1 Lời giải Do S tiếp xúc với P M 1; 2;3 nên IM P � IM qua M 1; 2;3 có vectơ phương �x 3t r uuur � u n P 3;1;1 suy IM : �y 2 t �z t � Gọi I 3t ; 2 t;3 t Ta có IM IA2 � 11t 3t t t 2 � 12t 12 � t 1 Suy I 2; 3; ; R IA 11 � S : x y z 11 2 Ví dụ 2: Lập phương trình mặt cầu S tiếp xúc P : x y z 10 điểm M 2; 3; 2 qua A 0;1; Lời giải Do S tiếp xúc với P M 2; 3; 2 nên IM P � IM qua M 2; 3; 2 có vectơ �x t r uuur � phương u n P 1; 2;3 suy IM : �y 3 2t �z 2 3t � Gọi I t ; 3 2t ; 2 3t Ta có IM IA2 � 14t t 2t 3t 2 � 36 36t � t � I 3; 1;1 ; R IA 14 Phương trình mặt cầu S : x 3 y 1 z 1 14 2 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2; 1 tiếp xúc với mặt phẳng P : x y z ? A x 1 y z 1 B x 1 y z 1 C x 1 y z 1 D x 1 y z 1 2 2 2 2 2 2 Lời giải 1 Bán kính mặt cầu tâm I là: R d I ; P 1 3 Do phương trình mặt cầu là: x 1 y z 1 Chọn D 2 Ví dụ 4: Có mặt phẳng song song với mặt phẳng : x y z đồng thời tiếp xúc với mặt 2 cầu S : x y z x y z ? A B C vô số Lời giải D Mặt cầu có tâm I 1;1;1 ; R cầm tìm có dạng P :x y z m Do P / / Mặt phẳng Điều kiện tiếp xúc: d I ; P R � m 0 � m loai 3�� Chọn A m 6 � m3 �x t � Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y 1 hai mặt phẳng �z t � P : x y 2z Q : x y z Phương trình mặt cầu S có I �d tiếp xúc với hai mặt phẳng P Q có phương trình là: A x 3 y 1 z 3 B x 3 y 1 z 3 C x 3 y 1 z 3 D x 3 y 1 z 3 2 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi I t ; 1; t �d , S tiếp xúc với mặt phẳng P Q nên: d I; P d I; Q R � 1 t 5t � t 3� R 3 Phương trình mặt cầu cần tìm là: x 3 y 1 z 3 2 Chọn B Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : P : x y z Phương trình mặt cầu S x 1 y 1 z mặt phẳng 1 có tâm thuộc đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất, tiếp xúc với P qua điểm A 1; 1;1 là: A x 1 y 1 z B x 1 y 1 z C x 1 y 1 z D x 1 y 1 z 2 2 2 2 Lời giải Do I �d ta gọi I 3t ; 1 t ; t IA d I ; P R t � R 1 � 5t 2 � 11t 2t R � 11t 2t t 5t 3 � � 24 77 � t �R 37 � 37 Do S có bán kính nhỏ nên ta chọn t 0; R � I 1; 1;1 � S : x 1 y 1 z 2 Chọn A Ví dụ 7: [Đề thi chuyên ĐH Vinh 2017] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S qua điểm A 2; 2;5 tiếp xúc với mặt phẳng : x 1; : y 1; : z Bán kính mặt cầu S bằng: A 33 B C Lời giải D Gọi I a; b; c ta có: d I ; d I ; d I ; suy R a b c Do điểm A 2; 2;5 thuộc miền x 1; y 1; z nên I a; b; c thuộc miền x 1; y 1; z 2 Khi I R 1; 1 R; R 1 Mặt khác IA R � R 1 R 1 R R � R Chọn D 2 Dạng 3: Bài toán tương giao mặt cầu với mặt phẳng Phương pháp giải: Mặt cầu S có tâm I bán kính R cắt mặt phẳng P theo giao tuyến đường tròn bán kính r 2 d I ; P R Khi d I ; P r R Tâm đường tròn giao tuyến S P hình chiếu vng góc xủa điểm I mặt phẳng P Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho I 1; 2; 2 P : x y z Lập phương trình mặt cầu S có tâm I cho giao tuyến S P đường trịn có chu vi 8 Lời giải Do chu vi đường tròn giao tuyến C 2 r 8r � r Ta có: d I ; P Bán kính mặt cầu R r d 42 32 2425 1 Phương trình mặt cầu là: S : x 1 y z 25 2 Ví dụ 2: Cho mặt phẳng : x y z mặt cầu S : x 1 y z 2 Lập phương trình mặt phẳng P song song với cắt S theo giao tuyến đường trịn có diện tích 6 Lời giải Mặt cầu S : x 1 y z có tâm I 1;0; 2 bán kính R 2 Do diện tích đường trịn giao tuyến S r 6 � r � d I ; P R r Mặt phẳng P song song với � P : x y z D Ta có: d I ; P 1 D D0 � 3�� D 6 � Do P : x y z x y z Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y z 1 mặt cầu 2 S : x y z x y z 19 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d cho mặt phẳng qua M vng góc với d cắt mặt cầu S theo đường trịn có chu vi 8 Lời giải Mặt cầu S có tâm I 1; 1; , bán kính R Do C 2 r � r mặt phẳng qua M vng góc với d cắt S theo đường trịn có bán kính uu r VTCP d ud 2;1; 2 M �d � 2t ; t ;1 t Phương trình mặt phẳng P có dạng x 2t y t z 2t Hay x y z 9t 2 Ta có: d I ; P R r � t 0 9t � 3� � t 2 � Từ suy M 3; 2;1 , M 1;0;5 điểm cần tìm Ví dụ 4: Trong khơng gian cho mặt cầu có phương trình S : x 3 y z mặt phẳng P : x y z Biết mặt cầu S 2 cắt mặt phẳng P theo đường trịn C Tính chu vi đường tròn C A 8 B 4 C 2 Lời giải D 4 Mặt cầu S có tâm I 3;5;7 bán kính R Khoảng cách từ tâm I đến P là: d 3 Bán kính đường trịn C là: r R d Chu vi đường tròn C là: C 2 r 2 Chọn C 2 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy cắt mặt cầu S theo thiết diện đường trịn có chu vi 8 A x z B x z C x z Lời giải D x z Ta có: S : x 1 y z 16 S có tâm I 1; 2;3 bán kính R 2 Bán kính đường trịn là: r C R đường tròn qua tâm mặt cầu S 2 r Vtcp Oy u 0;1;0 , điểm A 0;1;0 �Oy uu r r uu r r � IA Ta có: IA 1;1;3 � n � � ; u � 3;0;1 Mặt phẳng r qua O nhận n làm vtpt suy phương trình mặt phẳng là: : 3x z Chọn C Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu Δ: S có tâm I thuộc đường thẳng x y3 z Biết mặt cầu S có bán kính 2 cắt mặt phẳng Oxz theo đường 1 trịn có bán kính Tìm tọa độ tâm I A I 1; 2; ; I 5; 2;10 B I 1; 2; ; I 0; 3;0 C I 5; 2;10 ; I 0; 3;0 D I 1; 2; ; I 1; 2; 2 Lời giải Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng Oxz d R r I 5; 2;10 t 5 � � Điểm I �d suy I t ; t 3; 2t � d I ; P t � � � � Chọn A t 1 � I 1; 2; � Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm S 0;0;1 Hai điểm M m;0;0 ; N 0; n;0 thay đổi cho m n m 0; n Biết mặt phẳng SMN tiếp xúc với mặt cầu cố Do phương trình mặt cầu cần tìm là: x y 3 z 1 289 2 �x t � Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : �y 2 t , P : x y z Viết phương trình mặt cầu S tiếp xúc với �z 2 � P M 1;0; 2 cắt d A, B cho AB 2 Lời giải uu r Đường thẳng d qua E 1; 2; 2 có vectơ phương ud 1; 1;0 �x t � Gọi I tâm mặt cầu suy đường thẳng IM P � IM : �y t �z 2 t � �AB � Khi gọi I t ; t ; 2 t � d I ; d � � R � d I ; d IM �2 � uur uu r � � t ; t ; 2t IE ; u d 6t 8t � � Trong d I ; d IM 3t uu r 2 ud 2 Suy 3t 4t 3t � t 1 � I 0; 1; 3 ; R IM Phương trình mặt cầu S là: x y 1 z 3 2 Ví dụ 3: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z 1 điểm I 2;1;0 Viết 1 phương trình mặt cầu S tâm I cắt d điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB vuông Lời giải uu r Ta có: ud 1; 2; 1 , gọi H trung điểm AB ta có: IH AB uuu r uuu r uu r Khi H 1 t ; 2t;1 t � IH 3 t; 2t 1;1 t � IH ud � 3 t 4t t � t � H 0; 2;0 Tam giác IAB vuông cân I nên ta có: R IH 10 Do phương trình mặt cầu S cần tìm là: x y 1 z 10 2 Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : S : x y z x y Viết phương trình đường thẳng x y z 1 mặt cầu 1 Δ qua M 1; 1;0 cắt đường thẳng d đồng thời cắt mặt cầu S A, B cho AB Lời giải uur uuuu r Ta có: I 1; 2;0 , R Gọi N t ;3 2t;1 t Ta có: uΔ MN t ; 2t ;1 t �AB � Mặt khác � � d I ;Δ R � d I;Δ 1 �2 � uuur uuuu r � � IM ; MN 2t � � d I ;Δ 1 � t 16 t 16 � t 2 uuuu r t 16 t 18 MN � Với t 2Δ: �x 3t � đường thẳng cần tìm �y 1 �z t � Ví dụ 5: Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng Δ1 : P : x y z 10 đường thẳng x y z 1 x2 y z 3 Δ : Viết phương trình mặt cầu S có tâm thuộc Δ1 đồng thời 1 1 tiếp xúc với Δ P Lời giải � Gọi I t ; t; t 1Δ uuu r tâm mặt cầu Δ xác định qua M 2;0; 3 , uΔ 1;1; Ta có: d I ;Δ d I; P Khi d I ; P t 2t t 10 1 10 3t uuur uuu r � � 3t 3t IM ; u uuur Δ � � IM t ; t; 4 t � d I ;Δ uuu r 16 uΔ Cho 10 3t 3t 13 10 � � �t �I� ; ; � 3 �3 3 � 2 � 13 � � � � 10 � Vậy phương trình mặt cầu S : �x � �y � �z � � � � 3� � � Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 4;5 Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A cắt trục Oz hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông A x y z 5 40 B x y z 82 C x y z 5 58 D x y z 90 2 2 2 2 2 Lời giải Gọi H 0;0;5 hình chiếu vng góc A xuống trục Oz Khi tam giác OHB vuông cân H suy OH R � R OH 10 Suy S : x y z 40 Chọn A 2 2 Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y 1 z 1 điểm I 2; 1;1 2 1 Viết phương trình mặt cầu có tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B cho tam giác IAB vuông I A x y 1 z 1 B x y 1 z 1 C x y 1 z 1 D x y 1 z 1 2 2 2 2 2 2 80 Lời giải Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d � H 2t 2; 2t 1; t 1 Đường thẳng d có uuu r uu r uu r �2 1 � vecto pháp tuyến ud 2; 2; 1 Sử dụng IH ud � t � H � ; ; �� IH �3 3 � uuuu r uu r � � IM ; u d � � Hoặc ta có IH d I ; d uu r ud Tam giác IAB vuông cân I nên R IA 2.IH 2 Suy phương trình mặt cầu là: x y 1 z 1 Chọn C 2 �x t �x 2t � � Ví dụ 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y 6 t ;Δ : �y 1 t mặt �z t �z 1 t � � phẳng P : x y z Mặt cầu S có tâm I thuộc d, tiếp xúc với Δ P Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A C 4 Lời giải B D 2 Gọi I t ; 6 t ; t tâm mặt cầu R bán kính mặt cầu S Ta có R d I ; P Điểm A 5;1; 1Δ � Mặt khác R d I ;Δ Từ (1), (2) ta t 6 t t 1 1 uur � AI 5; t t 7;3 2 5t 21 11 1 t suy VTCP Δ u 2;1; 1 r uur � � u �; AI � 2t 20t 98 r u 2 5t 21 2t 20t 98 � t � xI � yI 4 Chọn C 11 Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y 1 z 1 điểm A 2;3; 1 Xét điểm M thuộc S cho đường thẳng 2 AM tiếp xúc với S M ln thuộc mặt phẳng có phương trình A x y 11 B x y C x y Lời giải D x y 11 Mặt cầu S có tâm I 1; 1; 1 , bán kính R uu r Ta có: IA 3; 4;0 � IA Vì AM tiếp tuyến mặt cầu nên ta có: AM IM � AM IA2 IM mặt cầu tâm A, bán kính R� Gọi S � Ta có phương trình mặt cầu S � : x y 3 z 1 16 2 Vì AM nên điểm M ln thuộc mặt cầu S � tọa độ điểm M nghiệm hệ: Vậy M � S � S � 2 � x 1 y 1 z 1 1 � 1 ��� � x y 11 7 hay M � P : x y Chọn C � 2 x y z 16 � � BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu S tâm I a;b;c bán kính 1, tiếp xúc mặt phẳng Oxz A a B b C c D a b c Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 1; 2; 3 đường d có phương trình x 1 y z Tính đường kính mặt cầu S có tâm A tiếp xúc với đường thẳng d 1 A B 10 C D 2 Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng chứa trục Oy cắt mặt cầu S theo thiết diện đường tròn có chu vi 8 A x z B x z C x z D x z Câu 4: Trong không gian Oxyz, mặt cầu S tâm I 2; 3; cắt trục Ox hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB 10 Viết phương trình mặt cầu S A x y 3 z 26 B x y 3 z 50 C x y 3 z 25 D x y 3 z 29 2 2 2 2 2 Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng Q mặt cầu chứa trục Ox cắt S theo giao tuyến đường trịn có bán kính A Q : y z B Q : y z C Q : y z D Q : x z Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng P x 1 y 1 z mặt cầu 2 vng góc với d, P tiếp xúc với S đồng thời P cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x y z B x y z 16 C x y z 10 D x y z Câu 7: S : x 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng Oxy cắt mặt cầu y z 3 14 theo giao tuyến đường trịn tâm H, bán kính R Tìm tọa độ tâm H tính bán kính R 2 A H 1; 2; ,R B H 1; 2; ,R C H 1; 2; ,R D H 1; 0; ,R I 2; 3; 1 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm d: đường thẳng x7 y 9 z7 Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng d hai điểm A, B thỏa 2 mãn AB 40 A x y 3 z 1 252 B x y 3 z 252 C x y z 1 25 D x y 3 z 1 25 2 2 2 Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng S : x 4 2 2 P : x y 3z mặt cầu y z 25 Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường 2 tròn bán kính r bao nhiêu? B r A r C r D r Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y 1 z 1 25 mặt 2 phẳng P : x y z Diện tích hình trịn thiết diện P S A 25 B 9 D 16 C 16 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : x y z S : x y z x y 10 z 14 Mặt phẳng P cắt mặt cầu S mặt cầu theo đường trịn Tính chu vi đường trịn A 2 B 8 C 4 D 3 �x t �x 2t � � Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : �y 6 t : �y t �z t �z 1 t � � mặt phẳng P : x y z Mặt cầu S có tâm I thuộc d, tiếp xúc với P Biết hoành độ điểm I số nguyên Tung độ điểm I A B C -4 D -2 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 0; ,B 0; 4; C 0; 0; Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC A x 1 y z 56 B x 1 y z 28 C x 1 y z 3 14 D x 1 y z 3 28 2 2 2 2 2 2 Câu 14: Cắt mặt cầu S I ,R mặt phẳng P cách tâm I khoảng R ta nhận giao tuyến đường trịn có chu vi bao nhiêu? B R A R C 2 R D 2 R Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng cắt mặt cầu S tâm I 1; 3; 3 theo giao tuyến đường tròn tâm H 2; 0;1 , bán kính r Phương trình S A x 1 y 3 z 3 B x 1 y 3 z 3 C x 1 y 3 z 3 18 D x 1 y 3 z 3 18 2 2 2 2 Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng S : x 4 2 2 P : x y 3z mặt cầu y z 25 Mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường 2 trịn Tính bán kình r đường trịn giao tuyến A r B r C r D r Câu 17: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I 2; 3; tiếp xúc với mặt phẳng Oyz ? A x y 3 z B x y 3 z C x y 3 z D x y 3 z 2 2 2 2 2 2 Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y z điểm 2 M 1; 2;1 Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc với mặt cầu S M A P : x y 3z B P : z C P : y 2 D P : x y z Câu 19: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x 1 y z 3 có tâm I 2 thời điểm A 0; 2;1 Một mặt phẳng P cắt vng góc với đoạn thẳng IA cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính r Viết phương trình mặt phẳng P A x z B x z x z C x z D x z Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y 1 z 1 Mặt 2 phẳng P cắt mặt cầu S theo thiết diện đường tròn lớn cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A a; 0; ,B 0;b; ,C 0; 0; 3 a,b Tính tổng T a b thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị nhỏ A T 18 B T D T C T 11 A 1; 3; Câu 21: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm P : 3x y z Phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng P A x 1 y 3 z B x 1 y 3 z C x 1 y 3 z 49 D x 1 y 3 z 2 2 2 2 mặt phẳng 2 49 2 Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z x y z Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S điểm A 3; 4; 3 A : x y z 25 B : x y z 17 C : x y z 22 D : x y z 10 2 Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z x y z cắt mặt phẳng Oxy theo giao tuyến đường trịn Tìm tọa độ tâm bán kính đường tròn �1 � A I � ; ; �,r �2 � �1 � B I � ; ; �,r �2 � �1 � 2 ; ;0� ,r C I � �2 � D I 1;1; ,r Câu 24: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1; 6; ,B 5;1; 3 ,C 4; 0; ,D 5; 0; Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mặt phẳng ABC A x y z 223 B x y z C x y z 223 D x y z 2 2 2 Câu 25: Trong không gian với hệtọa độ Oxyz, cho mặt cầu d: 2 S có 446 223 tâm I thuộc đường thẳng x y 3 z Biết S có bán kính R 2 cắt mặt phẳng Oxz theo đường trịn có bán 1 kính Tìm tọa độ tâm I A I 1; 2; ,I 5; 2;10 B I 1; 2; ,I 0; 3; C I 5; 2;10 ,I 0; 3; D I 1; 2; ,I 1; 2; 2 Câu 26: Trong hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu S qua A 1; 2; ,B 2;1;1 có tâm nằm trục Oz A x y z z B x y z C x y z x D x y z y Câu 27: Viết phương trình mặt phẳng P qua A 0; 0;1 ,B 0; 0; 2 tiếp xúc với mặt cầu S : x2 y2 z 4x y 4z 4x 3y � B � z0 � A x y 4x 3y � C � y0 � D z Câu 28: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A 1; 2; 2 mặt phẳng P : x y z Viết phương trình mặt cầu S tâm A biết mặt phẳng P cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có chu vi 8 A x 1 y z 25 B x 1 y z C x 1 y z D x 1 y z 16 2 2 2 2 2 Câu 29: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho hai mặt phẳng 2 P : x y 2z Q : x y z Phương trình phương trình mặt cầu S có tâm thuộc trục Ox tiếp xúc với hai mặt phẳng cho? A x 3 y z B x 1 y z C x 1 y z D x 1 y z 2 2 Câu 30: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A 1; 2; 4 ,B 1; 3;1 ,C 2; 2; Tính bán kính mặt cầu S qua A, B,C có tâm thuộc mặt phẳng Oxy A 34 B 26 C 34 D 26 Câu 31: Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho điểm A 2; 0; ,B 0; 4; ,C 0; 0; D 2; 4; uuur uuur uuuu r uuuu r Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn MA MB MC MD A x 1 y z 3 B x 1 y z C x 1 y z 3 D x 1 y z 2 2 2 2 2 2 �x m t � Câu 32: Trong không gian với hệ trục Oxyz, giả sử đường thẳng : �y n 2t cắt mặt cầu �z mt � S : x2 y 2 A m;n 1; z tạ hai điểm A,B cho AB Tìm cặp số m;n B m;n 1; C m;n 2; D m;n 0; 2 Câu 33: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu S : x y z x y z điểm A 2; 2; Viết phương trình mặt phẳng OAB , biết điểm B thuộc mặt cầu S , có hồnh độ dương tam giác OAB A x y z B x y z C x y z D x y z LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: R d I ; Oxz b � b Chọn B uu r Câu 2: Ta có ud 2;1;1 , M 1; 2; 3 �d Ta có uu r uuuu r uuuu r � � u , AM 2; 14; 10 , AM 2; 4; 6 �d � uu r uuuu r � � 22 14 10 u , AM �d � Chọn A uu r Ta có R d M , d ud 22 12 1 Câu 3: Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R Do chứa Oy nên : ax cz Bán kính thiết diện r R � qua I 1; 2;3 � a 3c � chọn a 3, c 1 Do phương trình mặt phẳng x z Chọn C Câu 4: Giả sử A a;0;0 , B b;0;0 Ta có IA IB � a 32 42 b 32 42 � b a 2 Gọi M trung điểm AB � M 2;0;0 Ta có S IAB 2S 2.10 IM AB � AB IAB 4 IM a4 � � R IA 29 Ta có AB � 2a � a � � a0 � Do phương trình mặt cầu S : x y 3 z 29 Chọn D 2 Câu 5: Mặt cầu S có tâm I 3; 2;1 , bán kính R Do Q chứa Ox nên Q : by cz Ta có d I ; Q R r 32 22 Ta có d I ; Q � 2b c b2 c � b 4bc 4c � b 2c � chọn b 2, c 1 � Q : y z Chọn A Câu 6: Mặt cầu S có tâm I 1; 2;1 , bán kính R Đường thẳng uu r ud 2; 2;1 , M 1; 1;0 �d uur uu r Do P vng góc với d nên nP ud 2; 2;1 � P : x y z m Do P tiếp xúc với S � d I ; P � m2 m7 � 3� � m 16 � Do P cắt Oz điểm có cao độ dương nên chọn m 16 � P : x y z 16 Chọn B Câu 7: Mặt cầu S có tâm I 1; 2;3 , bán kính R� 14 d I ; Oxy Ta có d I ; Oxy � R R� Tâm H hình chiếu I 1; 2;3 lên Oxy � H 1; 2;0 Chọn C d có Câu 8: Gọi H trung điểm AB � IH AB � IH d I ; d uu r uuur � � u uu r uu r uuur �d , IM � � u , IM 30; 30;15 � d I ; d 15 Ta có ud 2;1; 2 , M 7; 9; 7 �d Ta có � u u r �d � ud Bán kính mặt cầu R AH d I ; d 202 152 25 � S : x y 3 z 1 252 Chọn A 2 Câu 9: Mặt cầu S có tâm I 4; 5; 2 , bán kính R Ta có d I ; P 19 Bán kính giao tuyến r R d I , P 52 19 Chọn D Câu 10: Mặt cầu S có tâm I 0;1;1 , bán kính R Ta có d I ; P Bán kính thiết diện r R d I ; P � diện tích r 16 Chọn A Câu 11: Mặt cầu S có tâm I 2;1; 5 , bán kính R Ta có d I ; P Bán kính thiết diện r R d I ; P � chu vi 2 r 4 Chọn C Câu 12: Do I �d � I t ; 6 t ; t Ta có d I ; P uur uuur Ta có � � u �Δ , IM � 4; t 1; t � d I ;Δ Mà S tiếp xúc với Δ 5t 21 � 11 P 4 5t 21 11 uur Ta có uΔ 2;1; 1 , M 5;1; 1Δ � t 1 t 2 2t 20t 98 5t 21 2t 20t 98 11 nên d I ; P d I ;Δ � t2 � 2t 20t 98 � � 49 � I 2; 4;0 Chọn A � t l � Câu 13: Giả sử I x; y ; z tâm mặt cầu �x y z x y z �IO IA �x � � �2 � 2 2 Ta có �IO IB � �x y z x y z � �y �IO IC �2 �z � � x y z x2 y z 6 � � Suy tâm I 1; 2;3 , bán kính R IO 14 � S : x 1 y z 3 14 Chọn C 2 2 R� R Câu 14: Bán kính giao tuyến r R � � chu vi 2 r R Chọn A � � �2 � uuu r Câu 15: Ta có IH 1;3; 2 � IH 12 32 2 14 � R IH r 18 � S : x 1 y 3 z 3 18 Chọn C 2 Câu 16: Mặt cầu có tâm I 4; 5; 2 bán kính R Ta có d I ; P 3.4 2 32 3 19 � r R 19 Chọn C Câu 17: Oyz : x � R d I ; Oyz � S : x y z Chọn B 2 Câu 18: Mặt cầu có tâm I 1; 2;3 uuu r Mặt phẳng P qua M nhận MI 0;0; VTPT � P : z 1 � z Chọn B uur Câu 19: Ta có I 1; 2;3 � AI 1;0; VTPT P � P : x z m � d I; P m3 Câu 20: Ta có P : h �� �h r R 2 m 3 � � m � Chọn D x y z 1 2 qua tâm I 2;1;1 � � a b a b a b 1 Lại có VOABC OA.OB.OC a.b.3 ab 6 Ta có 2 � a b 2 a b ab 18 VOABC �2 b3 � � 0 �� � a b Chọn B Dấu “=” xảy � �a b a � � ab 18 � Câu 21: Ta có R d A; P 1 6.3 2.2 32 62 2 � S : x 1 y 3 z Chọn B 2 Câu 22: Mặt cầu S : x 1 y z có tâm I 1; 2; uu r Mặt phẳng qua A nhận IA 2; 2;1 VTPT 2 � : x 3 y z 3 � x y z 17 Chọn B Câu 23: Ta có Oxy : z 2 � 1 1� � 1� � 1� � 1� ; ; �và bán kính R Mặt cầu S : �x � �y � �z � có tâm K � � 2 2� � 2� � 2� � 2� Ta có h d I ; Oxy � r R2 h2 2 �1 1� �1 � ; ; �trên Oxy � I � ; ;0 � Chọn A Đường trịn cần tìm có tâm I hình chiếu K � � 2 2� �2 � uuu r � uuu r uuur �AB 4; 5;1 � �� AB Câu 24: Ta có �uuur � ; AC � 14; 13; 9 VTPT ABC �AC 3; 6; r � n 14;13;9 VTPT ABC � ABC :14 x 1 13 y z � 14 x 13 y z 110 � R d D; ABC 14.5 13.0 9.4 110 142 132 � S : x 5 y z 2 Chọn D 223 �x t � Câu 25: Ta có d : �y 3 t � I t; t 3; 2t �z 2t � Lại có Oxz : y � h d I ; Oxz t � t � I 1; 2; 2 2 Ta có R h � t 3 � � Chọn A t � I 5; 2;10 � uur �AI t � �AI 1; 2; t � �� Câu 26: Ta có tâm I �Oz � I 0;0; t � �uur �BI t 1 �BI 2; 1; t 1 � Ép cho AI BI � t 21 � R AI 2 � � 21 � S : x y �z � � x y z z Chọn A � 2� 2 Câu 27: Gọi P : ax by cz d a b c cd 0 � � c d � P : ax by Ta có A, B � P � � 2c d � Mặt cầu S : x y 1 z � I 2;1; 2 , R Ta có d I ; P 2 a0 � R � 4a b 4ab a b � � 3a 4b a b2 � 2a b +) Với a � P : y +) Với 3a 4b , chọn a � b � P : x y Chọn C Câu 28: Đường trịn có bán kính r Ta có d A; P 2.1 2.2 1 2 8 2 � R 32 � S : x 1 y z 25 Chọn A Câu 29: Ta có tâm I �Ox � I t ;0;0 Ta có d I ; P d I ; Q � t 2 t 4 � t 1 � R d I ; P 3 2 � S : x 1 y z Chọn C uur �AI a 1 b 16 �AI a 1; b 2; � � 2 �uur � Câu 30: Gọi tâm I a; b;0 � �BI a 1; b 3; 1 � �BI a 1 b �uur � 2 CI a 2; b 2; 3 CI a b � � � 20 4b 10 6b b 1 �IA IB � � �� �� � R IA 26 Chọn B Ta có � 17 2a 13 4a a 2 �IA IC � � uuuu r �AM x 2; y; z �uuuu r �BM x; y 4; z � r Câu 31: Gọi M x; y; z � �uuuu CM x; y; z � �uuuur �DM x 2; y 4; z uuuu r uuuu r uuuu r uuuur � AM BM CM DM x 4; y 8; z 12 uuuu r uuuu r uuuu r uuuur � AM BM CM DM 4x 4 y z 12 2 � x 1 y z 3 Chọn A 2 Câu 32: Mặt cầu có bán kính R AB � AB qua tâm I 0; 2; � � mt � �m t � � �� n 2t � � n 2t � m 0; n Chọn D � � mt m0 � �� � � t 0 �� Câu 33: Mặt cầu S có tâm I 1;1;1 , bán kính R Ta thấy O, A � S Ta có OA 2 � ROAB OA Gọi H tâm tam giác OAB 3 Do O, A, B � S � IH d I ; OAB R ROAB 3 Giả sử OAB : ax by cz A � OAB � 2a 2b � a b � OAB : ax ay cz Ta có d I ; OAB c 2a c 2 ac � � a2 c2 � � a c � Với a c chọn a 1, c � P : x y z � B 2; 2; (loại) Với a c chọn a 1, c 1 � P : x y z � B 2; 2; Chọn B ... IA 14 Phương trình mặt cầu S : x 3 y 1 z 1 14 2 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, phương trình phương trình mặt cầu có tâm I 1; 2; 1 tiếp xúc với mặt phẳng ... �z 1 �0 mn Do mặt cầu cần tìm mặt cầu tâm P0 1;1;0 bán kính R Chọn C Dạng 4: Bài toán tương giao mặt cầu với đường thẳng Phương pháp giải: Xét tương giao mặt cầu S có tâm I... � 10 � Vậy phương trình mặt cầu S : �x � �y � �z � � � � 3� � � Ví dụ 7: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 2; 4;5 Phương trình phương trình mặt cầu có tâm A