Chủ đề 7 bài toán tương giao của hai đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 7 BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI (Dạng 1 Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị Phương pháp giải Cho 2 hàm số và có đồ thị lần lượt là và Lập phương trình hoành độ giao điểm của và là Giải phương trình tìm x thay vào hoặc để suy ra y và tọa độ giao điểm Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của và Ví dụ 1 Đề minh họa THPT QG năm 2017 Biết rằng đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại điểm duy nhất; ký hiệu là tọa độ củ.

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị Phương pháp giải: Cho hàm số y = f ( x) y = g ( x ) có đồ thị ( C ) ( C ′ ) :  Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( C ′ ) f ( x) = g ( x) ( ∗)  Giải phương trình tìm x thay vào f ( x) g ( x) để suy y tọa độ giao điểm  Số nghiệm phương trình ( ∗) số giao điểm ( C ) ( C ′ ) Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết đường thẳng y = −2 x + cắt đồ thị hàm số y = x + x + điểm nhất; ký hiệu ( xo ; yo ) tọa độ điểm Tìm yo A yo = B yo = C yo = Lời giải D yo = −1 Phương trình hồnh độ giao điểm là: −2 x + = x + x + ⇔ x + 3x = ⇔ x = ⇒ y = Vậy tọa độ giao điểm ( 0; ) Chọn C Ví dụ 2: Biết đồ thị hàm số y = x − 3x + đường thẳng y = cắt hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Tính x1 + x2 A x1 + x2 = B x1 + x2 = C x1 + x2 = 18 Lời giải D x1 + x2 = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là:  x = −1 x = x = x − 3x + = ⇔ x − x − = ⇔  ⇒ x2 = ⇔  ⇒ ⇒ x1 + x2 =  x =  x = −2  x2 = −2 Chọn B Ví dụ 3: Hỏi đồ thị hàm số y = x + x − x + đồ thị hàm số y = x − x + có tất điểm chung? A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x + x − x + = x − x + ⇔ x + x − = ( ) ⇔ ( x − 1) x + x + = ⇔ x − = ⇔ x = Suy hai đồ thị có điểm chung Chọn C Ví dụ 4: Số giao điểm đồ thị hai hàm số y = x + x + y = x + x − A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x + x + = x + x − ⇔ x − x − =  x = −1 x = ⇔ ⇒ x2 = ⇔  ⇒ đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D  x = −2  x = Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = A B x2 − 2x + với đường thằng y = 3x − x −1 C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) đường thẳng ( d ) x2 − x + = 3x − x −1 x −1 ≠ x ≠ x ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ( ∗)  x − x + = ( x − 1)(3 x − 6)  x − x + = 3x − x + 2 x − x + = Hệ phương trình ( ∗) có hai nghiệm phân biệt nên ( C ) cắt ( d ) hai điểm Chọn D Ví dụ 6: Hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y =  x = −1 A  x = x = B   x = −3 x −1 ( C ) đường thẳng d : y = x − x+2 x = 1+ C   x = − Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị ( C ) ( d )  x = −1 D   x = −3  x ≠ −2 2x −1 = x−2⇔  x+2 2 x − = x −  x ≠ −2  x ≠ −2  x = −1  ⇔ ⇔   x = −1 ⇔  Chọn A x = x − 2x − =  x =  Ví dụ 7: Biết đường thẳng y = 3x + cắt đồ thị hàm số y = 4x + hai điểm phân biệt có tung độ y1 x −1 y2 Tính y1 + y2 A y1 + y2 = 10 B y1 + y2 = 11 C y1 + y2 = Lời giải D y1 + y2 =  x2 − x − =  x = −1 4x + = x + ⇔ ⇔ Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị  x −1 x = x ≠  x1 = −1  y1 = ⇒ ⇒ y1 + y2 = 11 Chọn B Ta có:   x2 =  y2 = 10 Ví dụ 8: Gọi A, B giao điểm hai đồ thị hàm số y = x−3 y = − x Diện tích tam giác OAB x −1 bằng: A 2 B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x ≠  x = −1 ⇒ y = x −3 = 1− x ⇔  ⇔ x −1  x = ⇒ y = −1 x − x − = Khi AB = + = d ( O; AB ) = d ( O; d : x + y − = ) = Do SOAB = 1 d ( O; AB ) AB = = Chọn C 2 2 Ví dụ 9: Đồ thị hàm số y = x − x đồ thị hàm số y = + cắt hai điểm A B Khi độ dài x AB B AB = 25 A AB = C AB = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x − x = + D AB = 10 x ≠ ⇔ x  x − x − 5x − = x = ⇒ y =  A(3;6) ⇔ ⇒ ⇒ AB = Chọn C  x = −1 ⇒ y =  B (−1; 2) Ví dụ 10: Gọi M, N giao điểm đường thẳng y = x + đường cong y = 2x + Khi hồnh độ x −1 trung điểm I đoạn thẳng MN A B − C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x = 1+ 2x + = x + ⇔ x2 − 2x − = ⇔  x −1  x = −  x = + ⇒ M ⇒ xI = Chọn C  xN = − Ví dụ 11: Đồ thị hàm số y = x − x + x − cắt đồ thị hàm số y = x − x + hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB = B AB = 2 C AB = Lời giải D AB = Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị x − x + x − = x − x + ⇔ x − x + x − = ⇔ ( x − 1) x =  A(1; −1) → ⇒ AB = Chọn D  x =  B (2; −1) ( x − 2) = ⇔  Dạng 2: Sự tương giao đồ thị hàm số phân thức bậc bậc Phương pháp giải: Xét tương giao đồ thị ( C ) : y = ax + b đường thẳng d : y = kx + l cx + d d  ax + b x ≠ − = kx + l ⇔  c ( ∗) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: cx + d  g ( x ) = Ax + Bx + C =   Bài toán biện luận số giao điểm hai đồ thị  Trường hợp 1: Xét A = ⇒ Kết luận số giao điểm  Trường hợp 2: Xét A ≠ +) d cắt ( C ) hai điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = hai nghiệm phân biệt ∆ = B − AC > −d  ⇔   −d  khác −d  −d  c = A  + B +C ≠ g  ÷ ÷ c  c    c  +) d cắt ( C ) điểm ⇔ g ( x ) có nghiệm kép khác −d g ( x ) có hai nghiệm phân c  ∆ g ( x ) =    g  −d  ≠    c ÷  −d ⇔ biệt có nghiệm x = c  ∆ g ( x ) >    g  −d  =    c ÷   ∆ g ( x) <  =0 ∆ −d ⇔   g ( x ) +) d không cắt ( C ) ⇔ g ( x ) vơ nghiệm có nghiệm kép c   g  −d ÷ =    c   Bài tốn liên quan đến tính chất giao điểm Phần này, ta xét toán mà có liên quan đến d cắt ( C ) hai điểm phân biệt Bước Tìm điều kiện để d cắt ( C ) hai điểm phân biệt ∆ = B − AC > −d  ⇔ g ( x ) = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔   −d  ( 1) − d −d   c g = A + B + C ≠   ÷  c ÷ c     c  Bước Khi gọi A( x1 ; kx1 + l ), B( x2 ; kx2 + l ) tọa độ hai giao điểm B  x + x = −  A Với x1 , x2 hai nghiệm phương trình g ( x) = nên theo định lý Viet ta có  C x x =  A Bước Theo u cầu tốn, ta tìm giá trị tham số ý đối chiếu với điều kiện (1) để chọn đáp án Chú ý: • x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 • ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 • AB = • S IAB = ( x A − xB ) + ( y A − yB ) d ( I ; AB ) AB uu r uur • Tam giác IAB vuông I ⇔ IA.IB =  x + x A + xB y I + y A + y B  ; • Trọng tâm tam giác IAB G  I ÷ 3   Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng ( d ) : x − y + m = cắt đồ thị hàm số y= A x−3 hai điểm phân biệt x +1 3− 3+  m < − D   m > + Lời giải Ta có: d : y = x m x −3 x + m + = Phương trình hồnh độ giao điểm là: 2 x +1  x ≠ −1 ⇔  g ( x ) = x + (m − 1) x + m + = Để d cắt đồ thị hàm số y = x−3 điểm phân biệt g ( x) = phải có nghiệm phân biệt x +1 m > +  ∆ = (m − 1) − 4(m + 6) > − ⇔ ⇔ m2 − 6m − 23 > ⇔  khác Chọn D   m < −  g (−1) = ≠ Ví dụ 2: Tìm tập hợp tất giá trị tham số m để đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số y= 2x + m hai điểm phân biệt có hồnh độ dương x −1 A −2 < m < −1 B m < −1 C m < Lời giải Điều kiện: x ≠ Phương trình hồnh độ giao điểm x + = D −2 < m < 2x + m ⇔ x − x − m − = ( ∗) x −1 Để cắt hai điểm phân biệt có hồnh độ dương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt  ∆′ > 1 + m + > m > −2 S > 2 >    ⇔ ⇔ m < −1 ⇔ −2 < m < −1 Chọn A khác ⇔  P > − m − >   m ≠ −2 m ≠ −2 m ≠ −2 x +1 ( C ) đường thẳng d : y = x + m Gọi S tập hợp giá trị m để d x −1 Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 cắt ( C ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 + x2 = Tổng phần tử tập hợp S là: A – B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d D –  x ≠ x +1 = x+m ⇔  ( 1) x −1  g ( x ) = x + (m − 2) x − m − = Để đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆ = (m − 2) + 4(m + 1) > ⇔ ( *) Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) =  g (1) = −2 ≠  x1 + x2 = − m Theo Viet ta có:   x1 x2 = −m − m = 2 2 Ta có: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (2 − m) + 2(m + 1) = m − 2m + = ⇔  (thỏa mãn (*))  m = −1 Vậy S = { 3; −1} ⇒ T = Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số: y = 2x −1 (C ) đường thẳng d : y = x + m Gọi S tập hợp giá trị m để x +1 d cắt ( C ) điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 thỏa mãn x1 − x2 = Tổng phần tử tập hợp S là: A B Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: C 10 Lời giải D -1  x ≠ −1 2x −1 = 2x + m ⇔  x +1  g ( x ) = x + mx + m + = Để đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = m − 8( m + 1) > ⇔ (*) Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) = g ( − 1) = ≠  −m   x1 + x2 = Theo Viet ta có:  x x = m +1  2 Khi x1 − x2 = ⇔ 1 ⇔ ( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4 m = m2 − 2(m + 1) = ⇔  (t/m) 4  m = −1 Vậy S = { 9; −1} ⇒ T = Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y = x +1 (C ) đường thẳng d : y = x + m Số giá trị tham số m để d cắt (C) x−2 điểm phân biệt A, B cho AB = A B Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: C Lời giải D x ≠ x +1 = x+m⇔  (1) x−2  g ( x) = x + (m − 3) x − 2m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆ = (m − 3) + 4(2m + 1) > ⇔ ( ∗) g (2) = − ≠  Khi gọi A( x1 ; x1 + m); B ( x2 ; x2 + m) tọa độ giao điểm  x1 + x2 = − m Theo Viet ta có:   x1 x2 = −2m − Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + ( x1 − x2 ) = ( x1 − x2 )  = ( x1 + x2 ) − x1 x2  m = = (3 − m) − 4(−2m − 1)  = 2( m2 + 2m + 13) = ⇔ m + 2m − = ⇔  (t / m)  m = −3 Vậy m = −3; m = giá trị cần tìm Chọn A 2x +1 (C ) đường thẳng d : y = x + m Số giá trị m để d cắt (C) x +1 uuu r uuur điểm phân biệt A, B cho OA.OB = −10 O gốc tọa độ Ví dụ 6: Cho hàm số y = A B C Lời giải D Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d:  x ≠ −1 2x +1 = 2x + m ⇔  (1) x +1  g ( x) = x + mx + m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác -1 ∆ = m − 8(m − 1) > ⇔ ( ∗)  g (−1) = ≠ Khi gọi A( x1 ; x1 + m); B ( x2 ; x2 + m) tọa độ giao điểm −m   x1 + x2 = Theo Viet ta có:  x x = m −1  2 uuu r uuu r 5m − − m + m = −10 Khi OA.OB = x1.x2 + (2 x1 + m)(2 x2 + m) = x1 x2 + 2m ( x1 + x2 ) + m = ⇔ m = −3 ( t / m ) Vậy m = −3 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y = x −1 (C ) đường thẳng d : y = − x + m Gọi m giá trị để d cắt ( C ) điểm x−2 phân biệt A, B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thẳng x + y = Tính độ dài AB B AB = 10 A AB = 2 C AB = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: D AB = 10 x ≠ x −1 = −x + m ⇔  (1) x−2  g ( x ) = x − (m + 1) x + 2m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆ = ( m + 1) − ( 2m − 1) > ⇔ ( ∗) g (1) = − ≠  Khi gọi A( x1 ; − x1 + m); B ( x2 ; − x2 + m) tọa độ giao điểm  x1 + x2 = m + Theo Viet ta có:   x1 x2 = 2m − x1 + x2 + m +  =  xG =  m +1 m −1  3 ⇒ G ; Gọi G trọng tâm tam giác OAB ta có  ÷    y = − x1 + m − x2 + m + = m −  G 3 Do điểm G ∈ x + y = nên ta có: m +1 m −1 + = ⇔ m = 0( t / m) 3 Khi AB = ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ( m + 1) − ( 2m − 1) = 10 ⇒ AB = 10 Chọn D 2 Ví dụ 8: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = 2mx + m − cắt đường x +1 thẳng d : y = x + hai điểm phân biệt A, B cho tam giác IAB có diện tích 3, với I (−1;1) Tính tổng tất phần tử S A B – 10 C Lời giải D  f ( x ) = x − 2(m − 2) x + − m = 2mx + m − = x+3⇔  Phương trình hồnh độ giao điểm x +1  x ≠ −1  ∆′ > ( m − ) − ( − m ) > ⇔ ( ∗) Hai đồ thị có giao điểm   f ( −1) ≠ 1 + ( m − ) + − m ≠  x A + xB = 2(m − 2) 2 ⇒ AB = ( x A − xB ) = ( x A + xB ) − x A xB Khi   x A xB = − m = 8( m − 2) − 8(5 − m) Mặt khác d ( I ; d ) = −1 − + 12 + ( −1) = 1 1 ⇒ S ∆ABC = AB.d ( I ; d ) = 8(m − 2)2 − 8(5 − m) 2 2 m = = (m − 2) − (5 − m) = m − 3m − = ⇔ m − 3m − 10 = ⇔   m = −2 Kết hợp điều kiện (*) suy m = Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y = 2x +1 đường thằng d : y = x − m Gọi S tập hợp tất giá trị thực x −1 tham số m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A, B cho SOAB = O gốc tọa độ Tính tổng tất phần tử S A B Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d: C Lời giải D x ≠ 2x +1 = 2x − m ⇔  (1) x −1  g ( x ) = x − (m + 4) x + m − = Để đồ thị (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ∆ = (m + 4) − ( m − 1) > ⇔ ( ∗)  g (1) = −3 ≠ Khi gọi A( x1 ; x1 − m); B ( x2 ; x2 − m) tọa độ giao điểm m+4   x1 + x2 = Theo Viet ta có:  x x = m −1  2 Ta có: AB = ( x1 − x2 ) + (2 x1 − x2 ) = 5( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − x1 x2  = m + 24 ( ) d ( O; AB ) = m Khi đó: SOAB = ( 1 AB.d ( O; AB ) = m m + 24 = 4 )( ) ⇔ m + 24m = 25 ⇔ m − m + 25 = ⇔ m = ±1( t / m ) ⇒ S = { ±1} Chọn B Ví dụ 10: Cho hàm số y = x +1 đường thằng y = −2 x + m Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số x −1 cho cắt điểm phân biệt A, B trung điểm AB có hồnh độ A B 11 C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) (d): D 10 x ≠ x +1 = m − 2x ⇔  (*) x −1  x − (m + 1) x + m + = Để đồ thị (C) cắt (d) điểm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm khác m > ⇔ (m + 1) − ( m + 1) > ⇔   m < −1 Khi gọi x A , xB hoành độ hai giao điểm A, B suy x A + xB = = m +1 ⇒ m = 9( t / m) Chọn C Ví dụ 11: Tìm m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị ( C ) hàm số y = x hai điểm phân biệt x −1 A B cho hai điểm A, B cách đường thẳng ∆ : x − y + = A m = B m = −5 C m = Lời giải D m = Để A, B cách đường thẳng ∆ : x − y + = AB P∆ trung điểm I AB thuộc ∆ Do AB ≡ d khơng song song với ∆ nên tốn thỏa mãn trung điểm I AB thuộc ∆  x − mx + m = ( *) x = − x + m ⇔ Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị  x −1  x ≠ Hai đồ thị cắt hai điểm PT (*) có hai nghiệm phân biệt x ≠  ∆(*) >  m >  A ( x A ; y A )  x + x y + yB  ⇒ m − 4m > ⇔  ⇒ ⇒I A B ; A Suy  ÷ trung điểm AB   1 − m + m ≠  m <  B ( xB ; yB ) Hai điểm A, B cách đường thẳng ∆ : x − y + = ⇒ I ∈ ∆ ⇒ ( x A + xB ) − ( y A + yB ) + = ⇔ ( x A + xB ) − ( − x A − xB + m ) + = ⇔ ( x A + x B ) − m + = ⇔ − m = ⇔ m = m > ⇒ m = Chọn D Kết hợp với điều kiện  m < Ví dụ 12: Số giá trị nguyên tham số m ∈ [ −20; 20] để đồ thị ( C ) hàm số y = x+3 cắt đường x +1 t1 + t2 =   t1 = ; t2 = 5 Theo đề ta có − t1 + t2 = −2 t2 ⇒ t1 = t2 ⇔ t1 = 9t2 ⇒ t1.t2 = m − ⇒  t = 9t t1.t2 = m − 1 34 ⇔m= Chọn B 25 25 ⇒ m −1 = 2 Ví dụ 7: Cho hàm số y = x − 2(2m + 1) x + 4m ( C ) Các giá trị tham số thực m để đồ thị ( C ) cắt trục 2 2 hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 thỏa mãn x1 + x2 + x3 + x4 = A m ≥ − B m = − D m = C m = 1 Lời giải t=x → t − 2(2m + 1)t + 4m = ( *) PT hoành độ giao điểm hai đồ thị x − 2(2m + 1) x + 4m =   ∆′ >  Đồ thị cắt trục hoành điểm ⇔ (*) có nghiệm dương phân biệt t1 + t2 > t t > 1 (2m + 1) − 4m >  t1 = x12 = x22  m > − ⇔ 2(2m + 1) > ⇔ 4⇒ 2  4m > m ≠ t1 = x3 = x4   m > − Chọn D Khi x + x + x + x = 2(t1 + t2 ) = ( 2m + 1) = ⇔ m = thỏa mãn   m ≠ 2 2 4 2 Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − (4m + 2) x + 2m + 1( C ) Có giá trị m để ( C ) chia trục hồnh thành đoạn phân biệt có độ dài A B C Lời giải D 2 Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) Ox x − (4m + 2) x + 2m + = ( 1) 2 Đặt t = x : ( 1) ⇒ t − (4m + 2)t + 2m + = ( ) Để ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm phân biệt t1 > t2 > ∆′ = ( 2m + 1) − 2m − >   m + 4m > ⇔  S = ( 4m + ) > ⇔ ( *) m + >    P = 2m + > t1 + t2 = 4m + Theo định lý Viet ta có:  t1.t2 = 2m + Khi PT (1) có điểm A, B, C, D theo thứ tự hoành độ tăng dần là: − t1 ; − t2 ; t2 ; t1 Ta có: AB = CD = t1 − t2 ; BC = t2 ⇒ AB = BC = CD ⇔ t1 = t2 ⇔ t1 = 9t2 t1 + t2 = 4m + 2m + 2m +  , t2 =  t1 = ⇔ 5 ⇒ ( 2m + 1) = 25 2m + Giải hệ: t1 = 9t2  t t = 2m + 1 t1.t2 = 2m + ( ) m = ⇔ m − 18m + = ⇔  t / m(*) ) Vậy m = 2, m = ( giá trị cần tìm Chọn C m = 7  Dạng 4: Sự tương giao đồ thị hàm số bậc Phương pháp giải: Xét đồ thị ( C ) : y = ax + bx + cx + d ( a ≠ ) đường thẳng d : y = kx + l Hoành độ giao điểm y = x + m ( C ) nghiệm phương trình ax + bx + cx + d = kx + l ⇔ ax + bx + ( x − k ) x + d − l = (1) → Số giao điểm d ( C ) nghiệm phương trình (1)  Trường hợp 1: Phương trình (1) có nghiệm đẹp x = xo  x = xo Khi (1) thành ( x − xo ) Ax + Bx + C = ⇔   g ( x) = Ax + Bx + C = ( )  ∆ g ( x ) > - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác xo ⇔   g ( xo ) ≠ Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình g ( x) = tọa độ giao điểm d ( C ) là: A ( xo ; kxo + l ) , B ( x1 ; kx1 + l ) , C ( x2 ; kx2 + l ) −B  x + x =  A  ( Định lý Viet) C  x x =  A - Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm kép khác xo g ( x) = có hai nghiệm phân biệt, nghiệm xo nghiệm lại khác xo - Phương trình (1) có nghiệm ⇔ g ( x ) = vô nghiệm g ( x) = có nghiệm kép x = xo  Trường hợp 2: Phương trình (1) khơng có nghiệm đẹp x = xo cô lập tham số Khi ta biến đổi (1) thành ϕ ( x) = h(m) Từ số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số y = ϕ ( x ) y = h(m) Lập bảng biến thiên cho hàm số y = ϕ ( x ) ⇒ Kết luận Ví dụ 1: Cho hàm số y = x − 3x + 1( C ) Tìm giá trị tham số m để ( C ) cắt đường thẳng y = mx + điểm phân biệt  m > A   m ≠ −9  m > B   m ≠ −9 C m >  m > − D   m ≠ Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x = x − x + = mx + ⇔ x − x − mx = ⇔   g ( x) = x − 3x − m = −9   ∆ g ( x ) = + 8m > m > ⇔ Chọn D ĐK cắt điểm phân biệt ⇔   g (0) = − m ≠ m ≠ 2 Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = ( x − )  x − ( 2m + 1) x + m + m  cắt trục hoành ba điểm phân biệt A Không tồn m B m < m > C m ≠ 1, m ≠ Lời giải D ∀m ∈ ¡ Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số ( C ) trục hoành x = (1) ⇔ ( x − )  x − ( 2m + 1) x + m + m  = ⇔  2  f ( x ) = x − ( 2m + 1) x + m + m = Đồ thị hàm số cho cắt trục hoành ba điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ f ( x) = có hai nghiệm phân biệt 1 > ( 2m + 1) − m + m > ∆ > m ≠  x≠2⇔ ⇔ ⇔ m ≠ ⇔  Chọn C  f (2) ≠ m ≠ 4 − ( 2m + 1) + m + m ≠ m ≠  ( ) Ví dụ 3: Số giá trị nguyên tham số m để m ∈ [ −10;10] đường thẳng y = x − cắt đồ thị hàm số y = x − (m + 2) x + 2m − ba điểm phân biệt A 10 B 11 C 12 Lời giải D 13 Phương trình hồnh độ giao điểm x − (m + 2) x + 2m − = x + ⇔ x − (m + 6) x + 2m + = 0(*) x = ( x − 2)( x + x − m − 2) = ⇔   f ( x) = x + x − m − = Hai đồ thị có giao điểm PT (*) có ba nghiệm phân biệt, PT f ( x) = có nghiệm  ∆′ > 1 + m + >  m > −3 ⇔ ⇔ phân biệt x ≠ ⇔   f (2) ≠ 4 + − m − ≠ m ≠  m ∈ [ −10;10] ⇒ có 12 giá trị m Chọn C Kết hợp   m ∈ ¢ ( ) Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số ( C ) : y = ( x − ) x − 2mx + m cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hoành độ dương 4 A m ∈ ( 1; +∞ ) \   3  4 4  B m ∈ ( −∞;0 ) ∪ 1; ÷∪  ; +∞ ÷  3 3  C m ∈ ( 1; +∞ ) D m ∈ ( 0; +∞ ) Lời giải x = 2 Phương trình hồnh độ giao điểm ( x − ) x − 2mx + m = ⇔   f ( x) = x − 2mx + m = ( ( C) ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ dương ⇔ PT f ( x) = có hai nghiệm x > 0, x ≠ m − m >  ∆′ >  m > x + x >   2m >  ⇔ ⇔ Suy  ⇔ m ∈ ( 1; +∞ ) x x > m ≠ m >     f (2) ≠ 4 − 4m + m ≠ 4 \   Chọn A 3 Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 3x + (m + 2) x − m đồ thị hàm số y = x − có ba điểm chung phân biệt A m < B m < C m > Lời giải D m > Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số ( ) x − x + ( m + 2) x − m = x − ⇔ x − 3x + mx − m + = ⇔ ( x − 1) x − x + m − = ( *) Đồ thị hai hàm số có ba điểm chung phân biệt pt (*) có ba nghiệm phân biệt Khi x = ( x − 1) ( x − x + m − ) = ⇔   f ( x) = x − x + m − =  f (1) ≠ 1 − + m − ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇒ m < Chọn A Yêu cầu toán ⇒  1 − m + > m < ∆′f ( x ) > ( ) Ví dụ 6: Cho hàm số y = ( x − 1) x + mx + ( C ) Số giá trị m thỏa mãn đồ thị ( C ) cắt trục Ox 2 điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn x1 + x2 + x3 = 10 A B C Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) trục Ox là:  x3 = ( x − 1) ( x + mx + 1) = ⇔   f ( x) = x + mx + = ( 1) D Đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g( x) = có nghiệm phân ∆ = m − > m > ⇔ ⇔ biệt nghiệm khác    g (1) ≠ m + ≠  x1 + x2 = −m Khi cho x3 = x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) = Theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = Theo đề ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ m − = ⇔ m = 11 ⇔ m = ± 11 ( t / m ) Vậy m = ± 11 giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y = x − mx + m − 1( C ) Gọi mo giá trị m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thỏa mãn: A = A mo ∈ ( −2;0 ) B mo ∈ ( 0;3) 1 + + = Khi đó: x1 x2 x3 C mo ∈ ( 3;5 ) Lời giải D mo ∈ ( 5;7 ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) trục Ox là: x − mx + m − =  x3 = x − − m( x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x + x + − m) = ⇔  ( 1)  g ( x) = x + x + − m = Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ∆ = − 4(1 − m) = 4m − > ⇔ ( *)  g (1) = − m ≠ Khi gọi x3 = x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) =  x1 + x2 = −1 Theo Viet ta có:   x1.x2 = − m Do A = 1 x +x −1 + +1 = +1 = + = ⇔ m = ( tm ) x1 x2 x1 x2 1− m Vậy m = giá trị cần tìm Chọn B Ví dụ 8: Cho hàm số y = x − 2mx − có đồ thị ( Cm ) , với m tham số thực Hỏi có tất giá trị nguyên m để ( Cm ) cắt đường thẳng d : y = x − ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa 2 mãn x1 + x2 + x3 ≤ 20 A B Phương trình hồnh độ giao điểm C Lời giải D x = x − 2mx − = x − ⇔ x( x − 2mx − 1) = ⇔  ( 1)  x − 2mx − = Ta có d cắt ( Cm ) điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt khác ∆′ = m + > ⇔ ⇔ m∈¡ 0 − 2m.0 − ≠ (*)  x1 + x2 = 2m Giả sử x3 = x1 ; x2 nghiệm (1), theo Viet có   x1.x2 = −1 2 2 Do x1 + x2 + x3 ≤ 20 ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 ≤ 20 ⇔ 4m + ≤ 20 ⇔ m ≤ 3 ⇔− ≤m≤ 2 Mà m ∈ ¢ ⇒ m ∈ { ±2; ±1;0} Chọn C Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − x ( C ) đường thẳng d : y = m( x − 1) Gọi mo giá trị m để đồ thị ( C )   cắt đường thẳng d điểm phân biệt A; B; C cho điểm M  − ; −9 ÷ trung điểm đoạn AB   C ( 1;0 ) Khi đó: B mo ∈ ( 0; ) A mo < −1 C mo ∈ ( 4;7 ) Lời giải ( D mo ∈ ( 7; +∞ ) ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) đường thẳng d là: x x − − m ( x − 1) = x = ⇔ ( x − 1) x + x − m ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) x + x − m = ⇔   g ( x) = x + x − m = ( ) ( ) Đồ thị ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt  ∆ = + 4m > 4m + > ⇔ (*) nghiệm khác ⇔   g (1) ≠ 2 − m ≠  x1 + x2 = −1 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm PT g ( x) = Theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = −m Ta có: A ( x1 ; m ( x1 − 1) ) ; B ( x2 ; m ( x1 − 1) ) , trung điểm AB x1 + x2 −1  x = = M  2   y = m ( x1 − 1) + m ( x2 − 1) = m ( x1 + x2 ) − 2m = −3m  M 2 −3m   = −9 ⇔ m = ( tm ) Theo M  − ;0 ÷ nên   Vậy m = giá trị cần tìm Chọn C Ví dụ 10: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2017] Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng y = mx − m + cắt đồ thị hàm số y = x − x + x + ba điểm A, B, C phân biệt cho AB = BC   B m ∈  − ; +∞ ÷   A m ∈ ( −∞;0] ∪ [ 4; +∞ ) C m ∈ ( −2; +∞ ) D m ∈ ¡ Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x − x + x + = m ( x − 1) + x =1 ( x − 1) ( x − x − − m ) = ⇔   g ( x) = x − x − − m = Giả thiết toán B trung điểm AC hay g ( x) = có nghiệm phân biệt x1 ; x1 ≠ thỏa mãn ∆′g ( x ) = + m >  ⇔ x A + xC = xB ⇔ x1 + x2 = ⇔  g (1) = −2 − m ≠ ⇔ m > −2 Chọn C x + x =  Ví dụ 11: Cho hàm số: y = x + ( m + ) x − m ( C ) đường thẳng d : y = x + Số giá trị nguyên m để 2 đồ thị ( C ) cắt đường y = x + m điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn A = y1 + y2 + y3 ≤ 83 A B 10 C 11 Lời giải D 12 Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) đường thẳng d là: x + mx − m − =  x3 = ⇒ y3 = ⇔ ( x − 1) x + x + − m = ⇔  ( 1) g ( x ) = x + x + − m =  ( ) Đồ thị ( C ) cắt y = x + m điểm phân biệt ⇔ ( 1) có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm  ∆ = − 4(1 − m) > 4m − > m ≥ ⇔ ⇔ (*) phân biệt nghiệm khác ⇔   g (1) ≠ 3 − m ≠ m ≠ Khi cho x3 = 1; y3 = x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x) =  x1 + x2 = −1 Theo định lý Viet ta có:   x1.x2 = −m ( ) 2 2 Theo đề ta có: A = y1 + y2 + y3 = ( x1 + 1) + ( x2 + 1) + = x1 + x2 + ( x1 + x2 ) + 11 2 A = ( x1 + x2 ) − x1 x2  + ( x1 + x2 ) + 11 = 1 − ( − m )  − + 11 = 8m + ≤ 83 ⇔ m ≤ 10   Kết hợp (*) m ∈ ¢ ⇒ có giá trị m Chọn A Ví dụ 12: Cho hàm số: y = x + mx − ( C ) đường thẳng d : y = 2mx + Gọi mo giá trị m để d   cắt ( C ) điểm phân biệt A, B, C cho trọng tâm tam giác OAB G  − ;8 ÷ ( C ) điểm   có hồnh độ xC = O gốc tọa độ Khi A mo ∈ ( −5; −2 ) B mo ∈ ( −1;3) C mo ∈ ( 3;6 ) Lời giải D mo ∈ ( 6; +∞ ) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d là: x + mx − 2mx − =  x = ⇒ C ( 2; 4m + ) ⇔ ( x − 2) x2 + 2x + + m ( x − 2) = ⇔ ( x − 2) x2 + 2x + + m = ⇔  ( 1)  g ( x) = x + x + + m = ( ) ( ) Để đồ thị ( C ) cắt đường thẳng d điểm phân biệt ⇔ (1) có nghiệm phân biệt ∆′ = − − m = − m − > ⇔ (*)  g ( ) = 12 + m ≠  x1 + x2 = −2 Khi gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình g ( x) = Theo Viet ta có:   x1.x2 = + m x1 + x2 + −2  =  xo = 3 Gọi A ( x1 ; 2mx1 + ) ; B ( x2 ; 2mx2 + ) ta có:   y = 2mx1 + + 2mx2 + + = 2m ( x1 + x2 ) +  o 3 − 4m  − 4m  = ⇔ m = −4(tm) Do G  − ; ÷ Cho   Vậy m = −4 giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y = x − x (2m + 3) + x(6m + 7) − 4m − đường thẳng d : y = x + Gọi S tập hợp giá trị thực m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt A, B, C cho x A = diện tích tam giác OBC A T = , với O gốc tọa độ Tổng phần tử tập hợp S là: B T = C T = −2 Lời giải D T = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x − x (2m + 3) + x (6m + 7) − 4m − = x + ⇔ x − (2m + 3) x + (6m + 6) x − 4m − = ⇔ ( x − 1)  x − ( 2m + ) x + 4m +  =  x −1 =  x A = ⇔ ⇔  f ( x ) = x − ( 2m + ) x + 4m + = 0(*)  x − ( 2m + ) x + m + = Hai đồ thị có ba giao điểm (*) có hai nghiệm phân biệt x ≠  m≠−  − m − + m + ≠   f (1) ≠    xB + xC = ( m + 1) ⇔ ⇔ ⇒ Suy  m >   ∆′(*) > ( m + 1) − ( m + 1) >  xB xC = ( m + 1)    m < −1 ( xB − xC ) Ta có BC = + ( yB − yC ) = ( xB − xC ) = ( xB + xC ) − xB xC = ( m + 1) − 32 ( m + 1) Mặt khác d ( O; d ) = Suy S ∆OBC = 2 12 + ( −1) =  m = −2 1 d ( O; d ) BC = ( m + 1) − 32 ( m + 1) = ⇒  ⇒ m ∈ { −2; 4} ( t / m ) 2 m = Vậy T = Chọn A BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Có số nguyên dương m cho đường thẳng y = x + m cắt đồ thị hàm số y = 2x −1 x +1 hai điểm phân biệt A, B AB ≤ ? A B C D Câu 2: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng (d ) : y = mx − m − ( C ) : y = x − 3x + cắt đồ thị điểm A, B, C phân biệt (B thuộc đoạn AC), cho tam giác AOC cân O (với O gốc tọa độ) A m = −2 B m = C m = −1 D m = Câu 3: Tìm tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = −2 x + m cắt đồ thị ( H ) hàm số y= 2x + hai điểm A, B phân biệt cho P = k12018 + k22018 đạt giá trị nhỏ nhất, với k1 , k2 hệ số x+2 góc tiếp tuyến A, B đồ thị ( H ) A m = B m = Câu 4: Cho hàm số y = C D x+3 có đồ thị ( C ) Tìm m cho đường thẳng d : y = x + m cắt x +1 ( C) hai điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện G ( 2; −2 ) trọng tâm tam giác OAB A m = B m = Câu 5: Cho hàm số y = C m = D m = x+3 đường thẳng y = x + m Tìm giá trị m để đồ thị hai hàm số cho x +1 cắt hai điểm A, B phân biệt cho độ dài đoạn AB nhỏ A m = −1 B m = C m = D m = Câu 6: Tìm giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = x − x + cắt đường thẳng ( d ) : y = m( x − 1) A m ≥ −3 2 ba điểm phân biệt hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x1 + x2 + x3 > B m ≥ −2 C m > −3 D m > −2 Câu 7: Cho hàm số y = x − 2mx + 3(m − 1) + có đồ thị ( C ) Đường thẳng d : y = − x + cắt đồ thị ( C ) ba điểm phân biệt A(0; 2), B C Với M (3;1) , giá trị tham số m để tam giác MBC có diện tích A m = −1 B m = −1 m = C m = D Không tồn m Câu 8: Cho hàm số y = x + x + m có đồ thị ( C ) Biết đồ thị ( C ) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C cho B trung điểm AC Phát biểu sau đúng? A m ∈ ( 0; +∞ ) B m ∈ ( −∞; −4 ) C m ∈ ( −4;0 ) D m ∈ ( −4; −2 ) Câu 9: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Gọi S tập hợp tất giá trị thực k để đường thẳng d : y = k ( x + 1) + cắt đồ thị ( C ) ba điểm phân biệt M, N, P cho tiếp tuyến ( C ) N P vng góc với Biết M ( −1; ) , tính tích tất phần tử tập S A B − C D −1 Câu 10: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông với O gốc tọa độ Mệnh đề sau đúng? A m ∈ ( 5;7 ) B m ∈ ( 3;5 ) C m ∈ ( 1;3) D m ∈ ( 0;1) Câu 11: Gọi S tập tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = x + x − x + 2m + trục Ox có hai điểm chung phân biệt Tính tổng T phần tử thuộc tập S A T = 12 B T = 10 C T = −12 D T = −10 Câu 12: Biết đường thẳng y = x − m cắt đồ thị hàm số y = x − 3x ba điểm phân biệt cho có giao điểm cách hai giao điểm cịn lại Khi m thuộc khoảng đây? A ( 2; ) B ( −2;0 ) C ( 0; ) D ( 4;6 ) Câu 13: Cho hàm số y = x − mx + x + M (1; −2) Biết có giá trị m m1 m2 để đường thẳng ∆ : y = x + cắt đồ thị điểm phân biệt A(0;1) , B, C cho tam giác MBC có diện tích 2 Hỏi tổng m1 + m2 thuộc khoảng khoảng sau: A ( 15;17 ) B ( 3;5 ) C ( 31;33) D ( 16;18 ) LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có 2x −1 = x + m ⇔ x + ( m − 1) x + m + = x +1 m > + Để cắt điểm phân biệt ∆ > ⇔ m − 6m − > ⇔   m < − Giả sử A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) ⇒ AB = ( x1 − x2 ) Ta có AB ≤ ⇔ ( x1 − x2 ) ≤ ⇔ ( x1 − x2 ) ≤ ⇔ ( x1 − x2 ) − x1 x2 ≤ 2 ⇔ (m − 1) − 4(m + 1) ≤ ⇔ m2 − 6m − 11 ≤ ⇔ − ≤ m ≤ + Do + < m ≤ + ⇒ m = Chọn C x = 2 Câu 2: x − x + = mx − m − ⇔ ( x − 1)( x − x − m − 2) = ⇔   g ( x ) = x − 2x − m − =  g ( 1) ≠ m ≠ ⇔ ⇔ m > −3 Để cắt nhai điểm  m + >  ∆′ > Giả sử A ( x1 ; mx1 − m − 1) , C ( x2 ; mx2 − m − 1) với x1 + x2 = 2, x1 x2 = − m − 2 2 Ta có OA = OC ⇔ x1 + (mx1 − m − 1) = x2 + (mx2 − m − 1) ⇔ (m + 1)( x12 − x22 ) − 2m(m + 1)( x1 − x2 ) = ⇔ (m + 1)( x1 + x2 ) − 2m( m + 1) = ⇔ 2(m + 1) − 2m(m + 1) = ⇔ − m = ⇔ m = Chọn D Câu 3: Ta có y ′ = 2x + = −2 x + m ⇔ x − (m − 6) x − 2m + = Xét phương trình (x + 2) x+2 Để cắt điểm ∆ > ⇔ (m − 6) − 8(−2m + 3) > ⇔ m + 4m + 12 > 0, ∀m 2018 2018 Ta có P = k1 + k2 = 1 + 4036 (x1 + 2) (x + 2) 4036 Để đạt giá trị nhỏ 1 = 4036 (x1 + 2) (x + 2) 4036 ⇔ x1 + = −( x2 + 2) ⇔ x1 + x2 = −4 ⇔ Câu 4: Ta có m−6 = −4 ⇔ m = −2 Chọn D x+3 = x − m ⇔ x − mx − m − = Giả sử A ( x1 ; x1 − m ) , B( x2 ; x2 − m) x +1  x1 + x2 m =2  =  ⇔ ⇔ m = Chọn C Do G trọng tâm ∆ABC nên  x + x − m − m   = −2 = −2   3 Câu 5: Ta có x+3 = x + m ⇔ x + (m + 1) x + m − = Giả sử A ( x1 ; x1 + m ) , B ( x2 ; x2 + m ) x +1 Ta có AB = ( x1 − x2 )  m +  m − 3   = ( x1 + x2 ) − x1 x2 =  −4  ÷      −b 25  1 = Chọn B =  m − m + ÷ nhỏ m = 2a 4  4 x = 2 Câu 6: Ta có x − x + = m ( x + 1) ⇔ ( x − 1)( x − x − m − 2) = ⇔   x − 2x − m − =  x2 + x3 = 2 Giả sử x1 = ⇒  Ta có x12 + x22 + x32 > ⇔ x12 + ( x2 + x3 ) − x2 x3 > x x = − m −  ⇔ + 22 − 2( −m − 3) > ⇔ m > −3 Chọn C Câu 7: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x + 2mx + 3(m − 1) x + = − x + x = ⇔ x + 2mx + (3m − 2) x = ⇔ x( x + 2mx + 3m − 2) = ⇔  x + 2mx + 3m − =  44 4 43 f ( x)  2 3m − ≠ ( ∗) Để (C) cắt d điểm ⇔ f ( x) = có hai nghiệm phân biệt khác ⇔  m − 3m + > Khi đó, gọi A(0; 2), B(x1 ; y1 ) C (x ; y2 ) tọa độ giao điểm (C) d  x1 + x = −2m Với x1 , x thỏa mãn hệ thức Vi – et :   x1x = 3m − Ta có d  M ; ( BC )  = d  M ; ( d )  = ⇒ S ∆MBC = d  M ; ( d )  BC ⇒ BC = 2 Lại có BC = (x − x1 ; − x + x1 ) ⇒ BC = 2(x − x1 ) = ( x − x1 ) − x1x  = 48  m = −1 2 Suy (−2 m) − 4(3m − 2) = 24 ⇔ 4m − 12m − 16 = ⇔  (thỏa mãn ( ∗) ) m = Vậy m = −1 m = giá trị cần tìm Chọn B Câu 8: Yêu cầu toán ⇔ Điểm uốn đồ thị (C) thuộc trục hồnh Ta có y ′ = x + x ⇒ y′′ = x + 6; y′′ = ⇔ x = −1 ⇒ y (−1) = m + Do đó, tọa độ điểm uốn 1(−1; m + 2) ∈ Ox ⇒ m + = ⇔ m = −2 Chọn C Câu 9: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x − x = k (x + 1) +  x = −1 ⇔ x − 3x − = k (x + 1) ⇔ (x + 1)(x − x − 1) = k (x + 1) ⇔  x − x − k − =  44 43 f ( x)  k ≠  Để (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác −1 ⇔   k > − Khi đó, gọi M (−1; 2), N (x1 ; y1 ) P(x ; y2 ) tọa độ giao điểm (C) d  x1 + x2 = Với thỏa mãn hệ thức Vi – et :   x1 x2 = − k − 2 Theo ra, ta có y ′( x1 ) y′( x2 ) = −1 ⇔ (3 x1 − 3)(3 x − 3) = −1 ( ) 2 ⇔ ( x1 x2 ) − x12 + x22 + 10 = ⇔ ( x1 x2 ) − 9 ( x1 + x2 ) − x1 x2  + 10 =   ⇔ ( k + ) − 1 + ( k + )  + 10 = ⇔ 9k + 18k + = ⇒ k1.k2 = Chọn A Câu 10: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x − x − m − 10 = ( ∗) t1 + t2 = 2 Đặt t = x ≥ 0, ( ∗) ⇔ t − t − m − 10 = ln có hai nghiệm thỏa mãn  t1t2 = −m − 10  x1 = t1 Vì −m − 10 < ⇒ t1t2 < nên giả sử t2 < ⇒ t1 > ⇒   x2 = − t1 Do tọa độ hai điểm A, B A uuu r Ta có OA = ( ( ) ( t1 ; m ; B − t1 ; m ) uuu r uuu r uuu r t1 ; m , OB = − t1 ; m ⇒ OA.OB = t1 − t1 + m m = −t1 + m ) ( ) ( ) uuu r uuur Tam giác OAB vuông ⇒ OA.OB = ⇒ −t1 + m = ⇒ t1 = m 4 Thay t1 = m vào phương trình ẩn t, ta m − m2 − m − 10 = ⇒ m = + 11 Chọn B Câu 11: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) Ox x − x − x + 2m + = ⇔ −2m = x − x − x + ⇔ −2m = f ( x) x =1 Xét hàm số f ( x) = x − x − x + có f ′( x) = x + x − 9; f ′( x) = ⇔   x = −3  −2m = 28  m = 14 ⇔ Lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) , để −2m = f ( x ) có nghiệm ⇔   −2m = −4 m = Vậy tổng giá trị m T = −12 Chọn C 3 Câu 12: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x − x = x − m ⇔ f ( x ) = x − 3x − x + m = Yêu cầu toán trở thành: Đồ thị y = f ( x ) cắt trục Ox điểm phân biệt có giao điểm cách hai giao điểm lại ⇔ Đồ thị y = f ( x ) có điểm uốn thuộc Ox Xét hàm số f ( x ) = x − 3x − x + m, có f ′( x) = x − x − 1; f ′′( x ) = x − Ta có f ′′( x) = ⇔ x = ⇒ f ( 1) = m − nên tọa độ điểm uốn I (1; m − 3) Theo ra, ta có m − = ⇔ m = Chọn A Câu 13: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d x − mx + x + = x + x = ⇔ x − mx + x = ⇔ x x − mx + = ⇔  x − mx + =  43 f ( x)  ( 2 ) Để (C) cắt d điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác ⇔ m − > Khi đó, gọi A(0;1), B(x1; y1 ) C (x ; y2 ) tọa độ giao điểm (C) d  x1 + x2 = m Với x1 , x thỏa mãn hệ thức Vi – et :   x1 x2 = Khoảng cách từ điểm M → BC h = d  M ; ( BC )  = 2 Suy S ∆MBC = h.BC = ⇒ BC = ⇒ ( x2 − x1 ) = 16 ⇔ ( x2 − x1 ) − x1 x2 = ⇔ m − = ⇔ m = 16 → m12 + m22 = 32 Chọn C ... hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số x + x + = x + x − ⇔ x − x − =  x = −1 x = ⇔ ⇒ x2 = ⇔  ⇒ đồ thị hàm số có giao điểm Chọn D  x = −2  x = Ví dụ 5: Tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = A... trị tham số m cho đồ thị hàm số y = x − 3x + (m + 2) x − m đồ thị hàm số y = x − có ba điểm chung phân biệt A m < B m < C m > Lời giải D m > Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số ( )... dụ 11: Đồ thị hàm số y = x − x + x − cắt đồ thị hàm số y = x − x + hai điểm phân biệt A, B Tính độ dài AB A AB = B AB = 2 C AB = Lời giải D AB = Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị x −