chu de tuong giao cua do thi ham so on thi tot nghiep thpt mon toan

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 06 : TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÍ THUYẾT ❖ Tọa độ giao điểm hai đồ thị hàm số: • Phương pháp: Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) có đồ thị ( C ) ( C  ) ▪ Lập phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( C  ) : f ( x ) = g ( x ) ▪ Giải phương trình tìm x từ suy y tọa độ giao điểm ▪ Số nghiệm (*) số giao điểm ( C ) ( C  ) (* ) ❖ Tương giao đồ thị hàm bậc • Phương pháp 1: Bảng biến thiên (phương pháp đồ thị) ▪ Lập phương trình hồnh độ giao điểm dạng F ( x , m ) = (phương trình ẩn x tham số m ) ▪ Cơ lập m đưa phương trình dạng m = f ( x ) ▪ Lập bảng biến thiên cho hàm số y = f ( x ) ▪ Dựa giả thiết bảng biến thiên từ suy m ➢ Dấu hiệu: Sử dụng phương pháp bảng biến thiên m độc lập với x ❖ Phương pháp 2: Nhẩm nghiệm – tam thức bậc ▪ Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x , m ) = ▪ Nhẩm nghiệm: (Khử tham số) Giả sử x = x0 nghiệm phương trình ▪ ▪  x = x0 Phân tích: F ( x , m ) =  ( x − x0 ) g ( x ) =   (là g ( x ) = phương trình bậc  g ( x ) = hai ẩn x tham số m ) Dựa vào u cầu tốn xử lý phương trình bậc hai g ( x ) = ❖ Phương pháp 3: Cực trị • Nhận dạng: Khi tốn không cô lập m không nhẩm nghiệm • Quy tắc: ▪ Lập phương trình hồnh độ giao điểm F ( x , m ) = (1) Xét hàm số ▪ Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x , m ) cắt trục hoành điểm ▪ Hoặc hàm số đơn điệu  hàm số khơng có cực trị  y ' = vơ nghiệm có nghiệm kép   y '  ▪ Hoặc hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh y = F ( x, m) Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số ▪ Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x , m ) cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct  (tham khảo hình vẽ) ▪ Để (1) có nghiệm đồ thị y = F ( x , m ) cắt trục hoành điểm phân biệt  Hàm số có cực đại, cực tiểu ycd yct = (tham khảo hình vẽ) ❖ Tương giao hàm số phân thức • Cho hàm số y = ( C ) ( d ) : ax + b (C ) đường thẳng d : y = px + q Phương trình hồnh độ giao điểm cx + d ax + b = px + q  F ( x , m ) = (phương trình bậc ẩn x tham số m ) cx + d • Các câu hỏi thường gặp: ▪ d Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt  ( 1) có nghiệm phân biệt khác − c ▪ Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt thuộc nhánh phải (C)  ( 1) có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn : −  x1  x2 c ▪ Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt thuộc nhánh trái ( C )  ( 1) có d nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  − c ▪ Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt thuộc hai nhánh ( C )  ( 1) có nghiệm d phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  −  x2 c ▪ Tìm m để d cắt ( C ) điểm phân biệt A B thỏa mãn điều kiện hình học cho trước: ✓ Đoạn thẳng AB = kS ✓ Tam giác ABC vuông ✓ Tam giác ABC có diện tích S0 Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 • Quy tắc: ▪ Tìm điều kiện tồn A, B  (1) có nghiệm phân biệt ▪ Xác định tọa độ A B (chú ý Vi ét) ▪ Dựa vào giả thiết xác lập phương trình ẩn m Từ suy m • Chú ý: Cơng thức khoảng cách: (x ( ▪ A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) : AB = − xA ) + y B − y A ▪  M ( x0 ; y0 ) Ax0 + By0 + C  d( M,) =  A + B2  : Ax0 + By0 + C = B ) • ❖ Tương giao hàm số bậc Nghiệm phương trình bậc bốn trùng phương: ax + bx + c = ( 1) • Nhẩm nghiệm: • • ▪ Nhẩm nghiệm: Giả sử x = x0 nghiệm phương trình ▪  x =  x0 Khi ta phân tích: f ( x , m ) = x − x02 g ( x ) =    g ( x ) = ▪ Dựa vào giả thiết xử lý phương trình bậc hai g ( x ) = ( ) Ẩn phụ - tam thức bậc 2: ▪ Đặt t = x , ( t  ) Phương trình: at + bt + c = ( ) ▪ t  = t Để (1) có nghiệm ( ) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1 = t2 = ▪ t   t Để (1) có nghiệm ( ) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  0  t1 = t2 ▪ Để (1) có nghiệm ( ) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn: = t1  t2 ▪ Để (1) có nghiệm ( ) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1  t2 Bài tốn: tìm m để ( C ) : y = ax + bx + c ( 1) cắt Ox bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng ▪ Đặt t = x , ( t  ) Phương trình: at + bt + c = (2) ▪ Để (1) cắt Ox điểm phân biệt ( ) phải có nghiệm dương t1 , t2 ( t1  t2 ) thỏa mãn t2 = 9t1 ▪ Kết hợp t2 = 9t1 vơi định lý vi – ét tìm m | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số VÍ DỤ MINH HỌA Lời giải VÍ DỤ 1: Gọi m số thực dương cho đường thẳng y = m + cắt đồ thị hàm số y = x − 3x − hai điểm phân biệt M , N thỏa mãn tam giác OMN vuông O ( O gốc tọa độ) Kết luận sau đúng?  11 15  A m   ;   4  1 3 B m   ;  2 4 7 9 C m   ;  4 4 3 5 D m   ;  4 4 Chọn D Ta có y = m + ( d ) y = x − 3x − ( C ) Xét phương trình tương giao: x − 3x − = m +  x − 3x − ( m + ) = (1) Đặt t = x  0, phương trình (1) trở thành: t − 3t − ( m + ) = ( ) Phương trình ( ) có tích a.c = − m −  m số thực dương Suy phương trình ( ) ln có hai nghiệm trái dấu t1   t2 Từ suy phương trình (1) có hai nghiệm đối x1 = − t2 , x2 = t2 đồng thời ( d ) ( C ) ( ) ( cắt hai điểm phân biệt đối xứng qua Oy M − t2 ; m + , N ) t2 , m + Mặt khác tam giác OMN vng O OM.ON =  t2 = ( m + 1) Thay t2 = ( m + 1) vào phương trình ( ) ta được: ( m + 1) − ( m + 1) − ( m + ) =  ( m + 1) − ( m + 1) − ( m + 1) − = Đặt a = m +  ta phương trình ( ) a − 3a − a − =  ( a − ) a3 + a + a + =  a = (do a  nên a3 + a + a +  ) Từ ta m + =  m = (thỏa mãn m  ) Vậy m = VÍ DỤ 2: Cho hàm số y = f ( x) xác định \{1} , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên hình vẽ sau: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m cho phương trình f ( x ) + = m có ba nghiệm thực phân biệt A ( −4; ) B ( − ;  C −  4; ) D ( −3; ) Lời giải Chọn D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Phương trình f ( x ) + = m  f ( x ) = m − có ba nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = m − cắt ba điểm phân biệt Căn vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) ta −4  m −   −3  m  Vậy m  ( −3; ) VÍ DỤ 3: Cho hàm số f ( x ) = x + 3x + mx + Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) B , C vng góc với Gía trị S A B C D 11 Lời giải Chọn C Phương trình hồn độ giao điểm y = x + 3x + mx + y = là: x = x3 + 3x2 + mx + =  x x + x + m =    x + x + m = ( * ) ( ) Để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đồ thị hàm số y = ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B ( x1 ; y1 ) , C ( x2 ; y2 ) phương trình ( * ) có hai nghiệm phân biệt khác m  m     Theo hệ thức Viet ta có  = − 4m  m    x1 + x2 = −3   x1 x2 = m Để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) B , C vng góc với ( )( ) f  ( x1 ) f  ( x2 ) = −1  3x12 + x1 + m 3x22 + x2 + m = −1 ( )  x12 x22 + 18 x1 x2 ( x1 + x2 ) + 3m x12 + x22 + 6m ( x1 + x2 ) + 36 x1 x2 + m + =  + 65 m = + 65 − 65  4m2 − 9m + =   S= + = 8  − 65 m =  VÍ DỤ 4: Cho hàm số y = (C ) hai điểm phân biệt A m = −1 x 1− x (C ) điểm A ( −1;1) Tìm m để đường thẳng d : y = mx − m − cắt M , N cho AM + AN đạt giá trị nhỏ B m = C m = −2 Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D m = − Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Chọn A x = mx − m − (đk: x  ) 1− x Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d là:  x = ( − x )( mx − m − 1)  x = mx − m − − mx + mx + x  mx − 2mx + m + = (*) Để ( C ) d cắt hai điểm phân biệt M , N (*) phải có nghiệm phân biệt khác m      ' = m − m ( m + 1) = − m   m  m − 2m + m +   Giả sử M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) Theo hệ thức viét : x1 + x2 = 2; x1 x2 = m+1 m  y1 + y2 = m ( x1 + x2 ) − 2m − = 2m − 2m − = −2 y1 y2 = ( mx1 − m − 1)( mx2 − m − 1) = m2 x1 x2 − m ( m + 1)( x1 + x2 ) + ( m + 1) = m( m + 1) − m ( m + 1) + ( m + 1) = m + Ta có: AM + AN = ( x1 + 1) + ( y1 − 1) + ( x2 + 1) + ( y2 − 1) 2 2 = ( x1 + x2 + ) − ( x1 + 1)( x2 + 1) + ( y1 + y2 − ) − ( y1 − 1)( y2 − 1) 2 ( = ( x1 + x2 + ) − ( x1 x2 + x1 + x2 + 1) + ( y1 + y2 − ) − y1 y2 − ( y1 + y2 ) + 2 2  m+1  = ( + 2) −  + +  + ( −2 − ) − m + − ( −2 ) +  m  ( ) )  m +1   = 18 −  + ( −m)   16 + 2.2 = 20 (BĐT Cauchy)  − 2m = 18 − − − 2m = 16 +  m  m   −m  Suy ra: AM + AN đạt giá trị nhỏ 20 m = 1 = − m  m2 =   −m  m = −1 Vậy m = −1 (vì m  ) VÍ DỤ 5: Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C ) , có đường thẳng d có điểm chung với đồ thị (C ) điểm chung có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13 + x2 + x3 = −1 A B C D Lời giải Chọn B Vì đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (C ) điểm phân biệt nên đường thẳng d đường thẳng có hệ số góc dạng y = ax + b Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x − x = ax + b Mà phương trình phương trình bậc nên phương trình muốn có nghiệm phân biệt có nghiệm kép gọi x1 , hai nghiệm lại x2 , x3 Suy đường thẳng d tiếp tuyến đồ thị (C ) , khơng tính tổng qt giả sử đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) x1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi d tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x1 , d cắt (C ) điểm phân biệt có hồnh độ x2 , x3 (  x1 ) thỏa mãn x13 + x2 + x3 = −1 Ta có: d : y = (4 x13 − x1 )( x − x1 ) + x14 − x12 Phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) là: x − x = (4 x13 − x1 )( x − x1 ) + x14 − x12 (1) u cầu tốn  (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13 + x2 + x3 = −1   x = x1 (1)  ( x − x1 )2 ( x2 + x1 x + 3x12 − 2) =   2   f ( x) = x + x1 x + 3x1 − = Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt thỏa mãn x13 + x2 + x3 = −1 phương trình   x + x3 = −2 x1 f ( x) = phải có nghiệm phân biệt x2 , x3 khác x1 thỏa mãn định lí Vi – ét:  2   x2 x3 = 3x1 −  ' = x12 − 3x12 +  −1  x1    2 Ta có:  x1 + x1 + 3x1 −   3x12 −   x + ( x + x )3 − 3x x ( x + x ) = −1  x + ( −2 x )3 − 3(3x − 2).( −2 x ) = −1 3 1    x1 = −11 + 165 Vậy có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu tốn 22 VÍ DỤ 6: Có số thực tham số m để đường thẳng y = ( m − ) x − cắt đồ thị hàm số y = x + x − 3x − ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y , y thỏa mãn A B 1 + + = y1 + y2 + y3 + C D Lời giải Chọn D Ta có phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng đồ thị hàm bậc ba cho x + x − 3x − = ( m − ) x −  x + x + ( − m ) x + = ( 1) Giả sử x1 , x , x ba nghiệm phân biệt phương trình (1)  x1 + x2 + x3 = −1  Theo hệ thức viet phương trình bậc ba ta có :  x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = − m  x x x = −3  Nhận thấy tung độ ba giao điểm thỏa mãn phương trình y = ( m − ) x − nên ta có y1 + = ( m − ) x1 , y2 + = ( m − ) x2 y3 + = ( m − ) x3 Khi  1 1 + + =  + + = y1 + y2 + y3 + ( m − ) x1 ( m − ) x2 ( m − ) x3 3−m x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 =  m = =  m − −3 m−6 x1 x2 x3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Thử lại với m = suy phương trình hồnh độ giao điểm x + x − x + = có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn giả thiết cho (Dùng casio để kiểm tra) Vậy có số thực m thỏa mãn VÍ DỤ 7: Một đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x − x bốn điểm phân biệt có hồnh độ , , m n Tính S = m + n2 A S = B S = C S = D S = Lời giải Chọn D Do đường thẳng cắt đồ thị hàm số y = x − x điểm có hồnh độ nên phương trình đường thẳng có dạng y = ax Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng y = ax với đồ thị hàm số y = x − x : ( ) x4 − 2x2 = a x  x4 − 2x2 − a x =  x x3 − 2x − a = Do phương trình có bốn nghiệm , , m , n nên ta có : ( ) ( ) x x − x − a = x ( x − 1)( x − m )( x − n )  x − x − a = x − mx − x + m ( x − n )  x − x − a = x − nx − mx + mnx − x + nx + mx − mn  x − x − a = x + ( −n − m − 1) x + ( m + n + mn ) x − mn −m − n − = m + n = −1   m + n + mn = −2    S = m2 + n2 = ( m + n ) − 2mn = mn = −1 −mn = −a  ( ) VÍ DỤ 7: Cho phương trình x − 3x + m + x − x + 2m = Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn −  20; 20  để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 19 B 18 D 20 C 17 Lời giải Chọn B ( ) ( ) ( ) Ta có x − 3x + m + x − x + 2m =   x2 − 3x + m − x  + x − x + 2m =   ( )( ) ( ) ( )( )  x2 − 4x + m x2 − 2x + m + x2 − 4x + m =  x2 − 4x + m x2 − 2x + m + =  x2 − 4x + m =   x − x + m + = ( 1) (2) u cầu tốn  phương trình (1) ( ) có nghiệm phân biệt khơng trùng Phương trình (1) ( ) có nghiệm phân biệt Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh   4 − m  m      m  −1 1 − m −  m  −1 2  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Giả sử phương trình (1) ( ) có nghiệm x trùng  x − x + m =  Hệ sau có nghiệm    x − x + m + = ( ( 1) (2) )  x0 − x0 + m − x0 − x0 + m + =  x0 = −1 Với x0 = −1 thay vào (1) ta m = −5  Với m  −5 phương trình ( 1) ( ) khơng có nghiệm trùng Kết hợp m số nguyên thuộc đoạn −  20; 20   m  −  20; −1) \−5 Vậy có 18 số nguyên m thoả mãn yêu cầu toán | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh DẠNG Câu 1: Câu 2: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Bài toán tương giao đồ thị hàm số 01 Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị đường cong hình vẽ bên Số nghiệm thực phân ) biệt phương trình f ( A 24 B 14 Cho hai hàm số u ( x ) = − x2 − x2 − = x+3 x2 + 2021 C 12 D 10 f ( x ) , đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ bên Hỏi có số nguyên m để phương trình f ( u ( x ) ) = m có nghiệm phân biệt? A Câu 3: B C D Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai R có đồ thị y = f '( x) đường cong hình vẽ bên Đặt g ( x) = f ( f '( x) − 1) Gọi S tập nghiệm phương trình g '( x) = Số phần tử tập S A B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 10 D Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 25: Cho hàm số f ( x) = x − x + Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 2021 f ( f ( x) ) = m có nghiệm phân biệt? A 8078 B C 4041 Lời giải D 8076 Chọn C Ta có: 2021 f ( f ( x) ) = m  f ( f ( x) ) = Khảo sát hàm số y = f ( f ( x) ) m 2021 ( Đạo hàm: y = f  ( x ) f  ( f ( x ) ) = ( 3x − x ) ( f ( x ) ) − f ( x ) )  x = = x1 x = = x =0  f ( x) =   f ( x ) =  x = x3  2,879 Chú ý rằng: f ( x) =   x = x4  0, 653 f ( x) =  x = x6  3,104  x = x5  −0,532 Do nghiệm nghiệm đơn nên hàm số y = f ( f ( x) ) có cực trị xi , i = 1, 2, , Bảng biến thiên: Phương 2021 f ( f ( x ) ) = m trình có nghiệm phân biệt m   −2021  m  2021 2021 Do m nguyên nên m  −2020, −2019, , 2019, 2020 , có 4041 số thỏa u cầu tốn  −1  ( ) 3 Câu 26: Cho hàm số f ( x ) = − m x + 3x + ( − m ) x + với m tham số Có số tự nhiên 1  m cho phương trình f ( x ) = có nghiệm đoạn  ; 5 5  A B C Lời giải Chọn D Ta có: f ( x ) =  ( x + 1) + x + = ( mx ) + mx (*) Xét f ( t ) = t + t với t  f  ( t ) = 3t +  t  21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Suy hàm số f ( t ) đồng biến Khi (*)  x + = mx  ( m − 1) x = m −  m    1   6 Để phương trình có nghiệm đoạn  ; 5  5    m −    m  Vì m số tự nhiên nên m  2;3; 4;5;6 Vậy có giá trị m thỏa để y = f ( x ) = x3 − 3x + Tập hợp giá trị m để phương trình Câu 27: Cho hàm số   2sin x +   ff   = f ( m ) có nghiệm đoạn  a ; b  Khi giá trị 4a + 8b thuộc khoảng    sau đây?  23   43 39   37 65  A  7;  B ( −2;5 ) C  ;  D  ;        Lời giải Chọn D Ta có: y = x − x x = y =   x = Bảng biến thiên: Ta  f  có: 2sin x + 1  3 = sin x +   − ;  2  2 suy  2sin x +  f    0;1   nên  2sin x +   f     0;1    Phương trình f   2m − 3m +   2sin x +    f = f m   f m  có nghiệm ( ) ( )   2   2m − 3m  − m 2 Vậy 4a + 8b = + = 13 Câu 28: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x − x + − 21− m = có nghiệm thực phân biệt 1 A  m  B −1  m  C  m  D −1  m  2 Lời giải Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 22 Phan Nhật Linh x3 − 3x + − 21− m =  x3 − x + = 21− m (1) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Xét hàm số f ( x ) = x3 − 3x + f  ( x ) = 6x2 − 6x x = f  ( x ) =  x2 − x =   x = Bảng biến thiên x ∞ f'(x) + 0 +∞ + +∞ f(x) ∞ Phương trình (1) có nghiệm thực phân biệt   21−2 m    − 2m    m  Câu 29: Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x + ( 5m + 1) x − 2m − có đồ thị (Cm ) , với m tham số Tập S tập hợp giá trị nguyên m (m  (−2021;2021)) để (Cm ) cắt trục hoành ba điểm phân biệt A ( 2;0 ) , B, C cho hai điểm B, C có điểm nằm điểm nằm ngồi đường trịn có phương trình x + y = Tính số phần tử S ? A 4041 B 2020 C 2021 Lời giải D 4038 Chọn D Xét phương trình x − 2(m + 1) x + (5m + 1) x − 2m − = 0(1) x = (1)  ( x − 2)( x − 2mx + m + 1) =    g ( x) = x − 2mx + m + = (2) Cm ) cắt trục Ox ba điểm phân biệt  (2) có nghiệm phân biệt x1; x2 khác m − m −   '     g (2)   − 4m + m +     1−  1+ ; +  m   −;       (*)   m  Khi đó: A(2;0), B ( x1;0), C ( x2 ;0) ; Hai điểm B, C thỏa mãn điều kiện đầu  (OB − 1)(OC − 1)   ( x1 − 1)( x2 − 1)   x1 x2 +  x1 + x2  ( x1 x2 ) +  ( x1 + x2 ) − x1 x2 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số  3m − 4m −   m  (−; Kết hợp với đk ta có m  (−; −2 )  (2; +) −2 )  (2; +) thỏa mãn ycbt Vậy số phần tử S 4038 Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = x3 − mx + ( m − ) x + với m tham số Có tất giá trị nguyên m f  ( x ) e f ( x) để phương + f ( x )  f ( x ) trình sau nghiệm thực phân biệt = f ( x) + f ( x) B vơ số A có C Lời giải D Chọn B f x f x Xét f  ( x ) e ( ) + f ( x )  ( ) = f  ( x ) + f ( x ) (*)  Ta có f ( x ) = x3 − mx + ( m − ) x + = ( x − 1)  x + (1 − m ) x − 1 = ( x − 1) g ( x ) Với g ( x ) = x + (1 − m ) x − g (1) = − m g ( m − 1) = −1  f  (1) = − m Lại có f  ( x ) = 3x − 2mx + m − với   f (1) = e f ( x )  f ( x ) + Với f (1) f  (1)   m  f ( x )  0, x  suy  f x ( )  f ( x) +1  Khi (*)  f ( x ) + f  ( x )  f  ( x )  f ( x ) + 1 + f ( x )  f ' ( x ) + 1  f ( x ) f  ( x )  (**) Trường hợp Nếu f ( x ) = f  ( x ) = Trường hợp Nếu f ( x )  (**)  f ( x) f ( x)   15  Mặt khác f ( x ) = m − 3m + =  m −  +  0, m  f  ( x ) = ln có hai nghiệm phân 2  biệt hay hàm số ln có điểm cực trị f ( x) n Giả sử f ( x ) = có nghiệm x = ( x1 ; x2 ; ) , ta có =  (1) f ( x ) i =1 x − xi Do f ( x ) = có ba nghiệm nên (1) có nghiệm (vơ lí)  x =  f ( x ) = 2      g ( x ) = x + (1 − m ) x − = 0;  g ( x ) = (1 − m ) +  Như    f  ( x ) = 2 h ( x ) = x − 2mx + m − = 0;  h( x ) = m − 3m +  Với g (1) =  − m =  m = h (1) =  −m + =  m = f x f x Do với m  , phương trình f  ( x ) e ( ) + f ( x )  ( ) = f  ( x ) + f ( x ) ln có nghiệm thực  phân biệt Vậy có vơ số giá trị m thỏa đề Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 24 Phan Nhật Linh 25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Phan Nhật Linh DẠNG Câu 1: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Tìm m liên quan đến tương giao hàm trùng phương Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x − x + m = có nghiệm thực phân biệt? A Câu 2: B C D Biết đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x + 1) ( x − ) − m cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để 1 1 + + +  1 − x1 − x2 − x3 − x4 A Câu 3: B C Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ) Mệnh đề sau đúng? A m  ( 5;7 ) B m  ( 3;5) C m  ( 0;1) Câu 4: D D m  (1;3) Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình x − x + − 2m = có nghiệm thuộc ( −2; ) ? A Câu 5: B C D Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ) Mệnh đề sau đúng? A m  ( 5;7 ) B m  ( 3;5) C m  ( 0;1) D m  (1;3) Câu 6: Đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Mệnh đề đúng? A m ( 6;9 ) Câu 7: B m  ( −6; −3) C m  ( −3;2 ) D m  ( 2;6 ) Cho hàm số y = x − ( 3m + ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) Xác định tất giá trị tham số thực m để ( Cm ) cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt m   A   m  − Câu 8: Câu 9: m   B   m  − C m  − D m  − Tập giá trị tham số m để phương trình x − x − 3m + = có hai nghiệm phân biệt 1  A (1; +  )  0 B  ; +    0 C ( 0; +  ) D (1; +  ) 3  Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x − x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; + ) ? A 25 B 30 C 29 D 24 Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x )  0, x   − 5;  là: A m  f ( 0) B m  ( ) f − C m  f ( 5) D m  f ( 5) Câu 11: Cho hàm số y = x − ( 3m + ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) Xác định tất giá trị tham số thực m để ( Cm ) cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt m   A   m  − m   B  m−   C m  − D m  − Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x − x + m = có nghiệm thực phân biệt? A B C D Lời giải Chọn C Đặt t = x ( t  ) Ta phương trình t − 3t + m = 0, (1) Phương trình cho có nghiệm thực phân biệt phương trình có nghiệm dương   9 − 4m    phân biệt   S   3  0m P  m    Do m nguyên nên m  1; 2 Vậy có giá trị nguyên tham số m thoả mãn yêu cầu toán Câu 2: Biết đồ thị hàm số y = ( x − 1)( x + 1) ( x − ) − m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 , x4 Hỏi có tất giá trị nguyên tham số m để 1 1 + + +  1 − x1 − x2 − x3 − x4 A B C Lời giải D Chọn C Ta có y = ( x − 1)( x + 1) ( x − ) − m = x − x + − m x = Mặc khác ta có y ' = x3 − 16 x =   Ta có bảng biến thiên sau:  x = 2 Để phương trình có nghiệm phân biệt −9  m  Vì hàm số chẵn nên có cặp nghiệm đối xứng Giả sử x1 + x2 = x3 + x4 = Theo đề ta có: − ( x 23 + x 21 ) 1 1 2 + + + = + = 1 − x1 + x1 − x3 + x3 − x 21 − x 23 − ( x 23 + x 21 ) + x 23 x 21 − 2.8    m  12 Kết hợp điều kiện suy  m   m  1; 2;3; 4;5;6 − + (7 − m) Câu 3: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ) Mệnh đề sau đúng? A m  ( 5;7 ) B m  ( 3;5) C m  ( 0;1) Lời giải Chọn D | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D m  (1;3) Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Xét: y = x − x − 10 x =  y ' = 4x − 2x =  x =   x = −  Vì m  với m nên từ bảng biến thiên thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 cặp điểm đối xứng qua Oy Giả sử A ( x1; m ) ; B ( − x1; m ) Tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ)  OA.OB =  − x12 + m =  x12 = m  x1 = m  A ( m ; m ) A ( m ; m ) thuộc đồ thị hàm số nên m8 − m − 10 = m  m = Câu 4: Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình x − x + − 2m = có nghiệm thuộc ( −2; ) ? B A C Lời giải D Chọn C x − x + − 2m =  x − x + = 2m Xét f ( x ) = x − x + 3, x  ( −2; )  x = −1  f  ( x ) = x − x + =   x =  x = Bảng biến thiên Theo u câu tốn, có:  2m  11   m  5,5 m   m  1, 2,3, 4,5 Câu 5: Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ) Mệnh đề sau đúng? A m  ( 5;7 ) B m  ( 3;5) C m  ( 0;1) D m  (1;3) Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Chọn D Xét: y = x − x − 10 Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x =  y ' = 4x − 2x =  x =   x = −  Vì m  với m nên từ bảng biến thiên thấy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x − x − 10 cặp điểm đối xứng qua Oy Giả sử A ( x1; m ) ; B ( − x1; m ) Tam giác OAB vuông (với O gốc tọa độ)  OA.OB =  − x12 + m =  x12 = m  x1 = m 2  A ( m ; m ) A ( m ; m ) thuộc đồ thị hàm số nên m − m − 10 = m  m = Câu 6: Đồ thị hàm số y = x − ( m + 1) x + 2m + cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Mệnh đề đúng? A m ( 6;9 ) B m  ( −6; −3) C m  ( −3;2 ) D m  ( 2;6 ) Lời giải Chọn D Phương trình hồnh độ giao điểm: x − ( m + 1) x + 2m + = (1) Đặt t = x , t  Phương trình trở thành t − ( m + 1) t + 2m + = (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương  m    ( m + 1) − ( 2m + 1)      m  − phân biệt, nghĩa  S   m +   m  −1   P   2m +   m    m  −  Cách Gọi x1 , x2 , x3 , x4 ( x1  x2  x3  x4 ) nghiệm phương trình (1) t1 , t2 ( t1  t2 ) nghiệm phương trình (2) Theo giả thiết, ta có x4 − x3 = x3 − x2 = x2 − x1  x4 − x3 = x3 − x2  t2 − t1 = t1 + t1  t2 = 9t1  Ta có hệ | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số m  t1 = + t1 + t2 = ( m + 1)  m =  9m  m  9m    t2 = +   +  +  = 2m +   (nhận) t1t2 = 2m + m = − 5 5 5   t = 9t   2 t1t2 = 2m +   Cách Với   , phương trình (1) có nghiệm t1 = 1, t2 = 2m + Biện luận trên, ta có hai m = t2 = 9t1  trường hợp  (nhận) m = − t1 = 9t2  Câu 7: Cho hàm số y = x − ( 3m + ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) Xác định tất giá trị tham số thực m để ( Cm ) cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt m   A   m  − m   B   m  − C m  − D m  − Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm x − ( 3m + ) x + 3m = −1  x − x + − 3m ( x − 1) =  ( x − 1) − 3m ( x − 1) =  x2 −1 =  x = 1, x = −1  ( x − 1)( x − 3m − 1) =     x = 3m +  x − 3m − = Đồ thị ( Cm ) cắt y = −1 bốn điểm phân biệt x = 3m + có hai nghiệm phân biệt khác −1  3m +  m  − Khi đó, ta có   3m +   m  Câu 8: Tập giá trị tham số m để phương trình x − x − 3m + = có hai nghiệm phân biệt 1  A (1; +  )  0 B  ; +    0 C ( 0; +  ) D (1; +  ) 3  Lời giải Chọn B  Ta có: x − x − 3m + =  3m = x − x +  Xét hàm số y = f ( x ) = x − x +  Tập xác định D = , y = x3 − x x =  y =   x = −1  x =  Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x ∞ y' + +∞ 0 +∞ + +∞ y 0  Yêu cầu toán tương đương đường thẳng ( d ) : y = 3m cắt đường cong ( C ) : y = f ( x ) hai điểm phân biệt m = 3m =  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt   m  m    Câu 9: Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( x − x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; + ) ? A 25 B 30 C 29 Lời giải D 24 Chọn B Đặt g ( x ) = f ( x − x )  g  ( x ) = ( x − ) f  ( x − x )  x=2   2x − = x = +   2x − = x − x = −  g ( x ) =  ( 2x − 4) f  ( x − 4x ) =     x = −    f x − x = x − x = − ( )   x=0   x − 4x =   x=4 Ta có bảng biến thiên: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Yêu cầu toán  g ( x ) = m có nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng ( 0; + ) m   −18  m  12 mà m  nên m  −17; −16; ;11;12 Vậy có 30 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán  −3  Câu 10: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m tham số thực Điều kiện cần đủ để g ( x )  0, x   − 5;  là: A m  f ( 0) B m  ( ) 2 C m  f f − 3 Lời giải ( 5) D m  f ( 5) Chọn D Ta có: g  ( x ) = f  ( x ) + x − , g  ( x ) =  f  ( x ) = −3x + (1) Vẽ parabol y = −3 x + ta thấy phương trình (1) có nghiệm x = − 5, x = 0, x = BBT g ( x )  0, x   − 5;   f ( ) − 3m   m  23 f ( ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 11: Cho hàm số y = x − ( 3m + ) x + 3m có đồ thị ( Cm ) Xác định tất giá trị tham số thực m để ( Cm ) cắt đường thẳng y = −1 bốn điểm phân biệt m   A   m  − m   B  m−   C m  − D m  − Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm x − ( 3m + ) x + 3m = −1  x − x + − 3m ( x − 1) =  ( x − 1) − 3m ( x − 1) =  x2 −1 =  x = 1, x = −1  ( x − 1)( x − 3m − 1) =     x = 3m +  x − 3m − = Đồ thị ( Cm ) cắt y = −1 bốn điểm phân biệt x = 3m + có hai nghiệm phân biệt khác −1  3m +  m  − Khi đó, ta có   3m +   m  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 06: Tương giao đồ thị hàm số Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 ... Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Bảng biến thi? ?n: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Dựa vào bảng biến thi? ?n ta thấy để phương trình có nghiệm phân biệt m  Do có 2021 giá trị nguyên tham... ) đường thẳng (r ) y = 2t + m − Gọi ( p ) : y = x + song song với đường thẳng (  ) : y = 2t qua điểm A ( 0;1) Gọi q : y = x − song song với đường thẳng (  ) : y = 2t qua điểm B (1; −1) Để... biến thi? ?n: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 m 2  −18  m  12 Vậy có tất 30 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán Từ bảng biến thi? ?n