chu de he truc toa do oxyz on thi tot nghiep thpt mon toan

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ : HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXYZ LÍ THUYẾT ➢ Trong khơng gian xét hệ trục Oxyz , có trục Ox vng góc với trục Oy O , trục Oz vng góc với mặt phẳng Oxy O Các vectơ đơn vị trục Ox , Oy , Oz i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) ▪ Nếu a = a1 i + a2 j + a3 k a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ▪ M ( xM ; yM ; zM )  OM = xM i + yM j + zM k ▪ Cho A ( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; yB ; z B ) ▪ Ta có: AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) ▪  x + xB y A + y B z A + z B M trung điểm AB M  A ; ; 2  ▪ a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  3 ▪ a.b = a b cos(a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3 ▪ cos = cos(a, b) = ▪ a b vng góc  a.b =  a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 = ▪ a1 = kb1  a b phương  k  R : a = kb  a2 = kb2 a = kb     ➢ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 ) ta có a  b = (a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 k a = (ka1 ; ka2 ; ka3 ) a = a12 + a22 + a32 (với a  , b  ) ➢ Tích có hướng a = (a1 ; a2 ; a3 ) b = (b1 ; b2 ; b3 )  a, b  = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) a , b , c đồng phẳng   a, b  c = ▪ a b phương   a, b  = ▪ Diện tích tam giác : S ABC = [ AB, AC ] ▪ Thể tích tứ diện VABCD = [ AB, AC ] AD ▪ Thể tích khối hộp: VABCD A' B'C ' D' = [ AB, AD] AA ' ➢ Một số kiến thức khác ▪ Nếu M chia đoạn AB theo tỉ số k ( MA = k MB ) ta có : x − kxB y − kyB z − kzB Với ( k  1) xM = A ; yM = A ; zM = A 1− k 1− k 1− k ▪ G trọng tâm tam giác ABC x + xB + xC y + yB + yC z +z +z xG = A ; yG = A ; zG = A B C 3 ▪ G trọng tâm tứ diện ABCD  GA + GB + GC + GD = | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ u = (1;1;− ) , v = (1;0;m ) Tìm m để góc hai vectơ u , v 45 B m = − A m = D Lời giải Chọn B C m = + ( ) Ta có: cos u ,v = − 2m u.v − 2m = = = 2 2 2 u v + m + + ( −2 ) + m  − 2m = − m  4m − 4m + = + 3m (điều kiện m  m = −  m − 4m − =    m = + ) Đối chiếu điều kiện ta có m = − 2;1; , b VÍ DỤ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho hai véc tơ a m để A hai véc tơ u 26 2a 3mb v B 26 0; 2; Tất giá trị ma b vng góc với C 11 26 18 26 D Lời giải Chọn D Ta có: u 2a 3mb Khi đó: u.v 9m 2 2;2 4m 6m 3m 2; 3m v 3m m 26 m ma b 2m; m 3m 2m 2; 2m 2 VÍ DỤ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 0; −1;2 ) , B ( 2; −3;0 ) , C ( −2;1;1) , D ( 0; −1;3) Gọi ( L ) tập hợp tất điểm M không gian thỏa mãn đẳng thức MA.MB = MC.MD = Biết ( L ) đường trịn, đường trịn có bán kính r bao nhiêu? A r = B r = C r = 11 D r = Lời giải Chọn C Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi M ( x; y; z ) tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu tốn Ta có AM = ( x; y + 1; z − ) , BM = ( x − 2; y + 3; z ) , CM = ( x + 2; y − 1; z − 1) , DM = ( x; y + 1; z − 3)  MA.MB = Từ giả thiết: MA.MB = MC.MD =    MC.MD = 2  x ( x − ) + ( y + 1)( y + 3) + z ( z − ) =   x + y + z − 2x + y − 2z + =   2  x ( x + ) + ( y + 1)( y − 1) + ( z − 1)( z − 3) =   x + y + z + 2x − 4z + = Suy quỹ tích điểm M đường trịn giao tuyến mặt cầu tâm I1 (1; −2;1) , R1 = mặt cầu tâm I ( −1;0;2 ) , R2 = M I1 I2 Ta có: I1I = Dễ thấy: r = R12 −  I1 I  = − = 11   VÍ DỤ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A ( −2;3;1) B ( 5; 6; ) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng ( Oxz ) điểm M Tính tỉ số AM BM A AM = BM B AM = BM C AM = BM D AM = BM Lời giải Chọn B  AB = ( ; ; 1)  AB = 59 M  ( Oxz )  M ( x ; ; z ) ;    AM = ( x + ; − ; z − 1) A, B , M thẳng hàng  AM = k AB (k  )  x + = 7k  x = −9    −3 = 3k  −1 = k  M ( −9 ; ; ) z −1 = k z =   BM = ( −14 ; − ; − )  BM = 118 = AB VÍ DỤ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 2; −3;7 ) , B ( 0; 4;1) , C ( 3;0;5 ) D ( 3;3;3) Gọi M điểm nằm mặt phẳng MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ Khi tọa độ A M ( 0;1; −2 ) B M ( 0;1; ) cho biểu thức M là: C M ( 0;1; −4 ) Lời giải | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( Oyz ) D M ( 2;1;0 ) Hình học tọa độ Oxyz Chọn B Ta có: AB = ( −2;7; −6 ) , AC = (1;3; −2 ) , AD = (1;6; −4 ) nên  AB, AC  AD = −4  Suy ra: AB , AC , AD không đồng phẳng Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD Khi G ( 2;1; ) Ta có: MA + MB + MC + MD = 4MG = 4MG Do MA + MB + MC + MD nhỏ MG ngắn Vậy M hình chiếu vng góc G lên mặt phẳng ( Oyz ) nên M ( 0;1; ) VÍ DỤ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A ( 7;2;3) , B (1;4;3) , C (1;2;6 ) , D (1;2;3) điểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD đạt giá trị nhỏ A OM = 21 B OM = 26 C OM = 14 D OM = 17 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có DA = ( 6;0;0 ) , DB = ( 0;2;0 ) , DC = ( 0;0;3) nên tứ diện $ABCD$ tứ diện vuông đỉnh D Giả sử M ( x + 1; y + 2; z + 3) Ta có MA = ( x − 6) + y + z  x −  − x , MB = x + ( y − ) + z  y −  − y MC = x + y + ( z − 3)  z −  − z , 3MD = ( x + y + z )  ( x + y + z)  x + y + z Do P  ( − x ) + ( − y ) + ( − z ) + ( x + y + z ) = 11 x = y = z = 6 − x   Vậy P đạt giá trị nhỏ $11$,  − y   x = y = z = 3 − z    x + y + z  Khi M (1;2;3) suy OM = 12 + 22 + 32 = 14 VÍ DỤ 7: Trong khơng gian Oxyz , cho bốn điểm A (1;1; ) , B ( 5; −1;3) , C ( 2;2; m ) , D ( 3;1;5 ) Tìm tất giá trị thực tham số A m  m để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện B m  C m  D m = Chọn C Ta có AB = ( 4; −2; −1) , AD = ( 2;0;1) ,  AB, AD  = ( −2; −6; ) , AC = (1;1; m − ) Để A , B , C , D bốn đỉnh hình tứ diện  AB, AD  AC  −2 − + 4m − 16   m   Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Điểm vecto hệ trục tọa độ I PHẦN ĐỀ BÀI Câu Trong không gian với hệ trục Oxyz cho ba điểm A hàng Khi x A x Câu y y B x y 17 C x y 11 D x y 11 Tìm tọa độ véctơ u biết u + a = a = (1; − 2;1) A u = ( −3; − 8;2 ) Câu 1; 2; , B 1;0; , C x; y; thẳng B u = (1; − 2;8 ) C u = ( −1;2; −1) D u = ( 6; − 4; − ) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( −1;0; ) , B ( 2;1; − 3) C (1; − 1;0 ) Tìm tọa độ điểm D cho ABCD hình bình hành A D ( 0; 2; − 1) Câu B D ( −2; − 2;5 ) C D ( −2; 2;5 ) D D ( 2; 2; − ) Trong không gian Oxyz , cho điểm A (1;1;1) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A mặt phẳng ( Oxz ) A (1;1;0 ) Câu C (1;0;1) D ( 0;1;0 ) Trong không gian Oxyz , cho A ( −3;1; ) , tọa độ điểm A ' đối xứng với điểm A qua trục Oy A ( 3; −1; −2 ) Câu B ( 0;1;1) B ( 3; −1; ) C ( 3;1; −2 ) D ( −3; −1; ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A (1; 2; −1) ; B ( 2; −1;3) ; C ( −3;5;1) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành A D ( −4; 8; − ) Câu B D ( −4; 8; − 3) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : C D ( −2;8; −3) D D ( −2; 2;5 ) x − y + z −1 điểm M (1; 2; − 3) Gọi = = 2 M hình chiếu vng góc M lên đường thẳng d Độ dài đoạn thẳng OM A 2 Câu B C D Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2; 4;1) B ( 4;5; ) Điểm C thỏa mãn OC = BA có tọa độ A ( −6; − 1; − 1) Câu B ( −2; − 9; − 3) C ( 6; 1;1) D ( 2; 9;3) Trong không gian với hệ toạn độ Oxyz , cho A (1;1; ) , B ( 2; − 1;1) , C ( 3; 2; − ) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD hình bình hành A ( 4; 2; − ) B ( 0; − 2;6 ) C ( 2; 4; − ) D ( 4;0; − ) Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 3;1; −2 ) , B ( 2; −3;5 ) Điểm M thuộc đoạn AB cho MA = MB , tọa độ điểm M | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz  −5  A M  ; ;   3 3 B M ( 4;5; −9 ) 17  3 C M  ; −5;  2 2 D M (1; −7;12 ) Câu 11 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , gọi a , b , c khoảng cách từ điểm M (1;3; ) đến ba mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) , ( Oyz ) , ( Oxz ) Tính P = a + b + c ? A P = 32 B P = 18 C P = 30 D P = 12 Câu 12 Cắt hình trụ mặt phẳng qua trục nó, ta thiết diện hình vng có cạnh 3a Tính diện tích tồn phần hình trụ cho 27 a 9 a 13 a C D 2 Câu 13 Trong không gian (oxyz ) cho OA = i − j + 3k , điểm B(3; −4;1) điểm C (2; 0; −1) Tọa độ A 9a 2 B trọng tâm tam giác ABC A (1; −2;3) B (−2; 2; −1) C (2; −2;1) D (−1; 2; −3) Câu 14 Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa mãn CD = AB diện tích 27 , đỉnh A ( −1; −1;0 ) , phương trình đường thẳng chứa cạnh CD x − y +1 z − Tìm tọa độ điểm D biết xB  x A = = 2 A D ( −2; −5;1) B D ( −3; −5;1) C D ( 2; −5;1) D D ( 3; −5;1) Câu 15 Trong không gian Oxyz , cho OA = i − j + 3k , điểm B ( 3; − 4;1) điểm C ( 2;0; − 1) Tọa độ trọng tâm tam giác ABC A (1; − 2;3) Câu 16 B ( −2; 2; − 1) C ( 2; − 2;1) D ( −1; 2; − 3) Trong không gian Oxyz , cho AO = i − j + 3k , điểm B ( 3; − 4;1) C ( 2;0; − 1) điểm D ( a ; b ; c ) cho B trọng tâm tam giác ACD Khi P = a + b + c A B −3 C −1 D Câu 17 Trong không gian Oxyz , cho hình hộp ABCD ABC D biết A (1; 0;1) , B ( 2;1; ) , D (1; −1;1) , C  ( 4;5; −5 ) Tọa độ điểm A là: A A ( 4;6; −5 ) B A ( −3; 4; −1) C A ( 3;5; −6 ) D A ( 3;5;6 ) Câu 18 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; − 2;1) , B ( 0;1; ) Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho ba điểm A , B , M thẳng hàng A M ( 4; − 5;0 ) B M ( 2; − 3;0 ) C M ( 0;0;1) D M ( 4;5;0 ) Câu 19 Trong không gian Oxyz , véctơ u vng góc với hai véctơ a = (1;1;1) b = (1; −1;3) ; đồng thời u tạo với tia Oz góc tù độ dài véctơ u Tìm véctơ u     6 6 6 6 A  ; − ;− ;− ; ;  B  ;  C  − ;  D  − ; −   2  2  2  2      Câu 20 Trong hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1; −1;1), N(2;0; −1), P( −1; 2;1) Xét điểm Q cho tứ giác MNPQ hình bình hành Tọa độ Q A ( −2;1;3) B ( −2;1;3) C (−2;1; −3) D (4;1;3) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3;5; − 1) , B ( 7; x ;1) C ( 9; 2; y ) Để A , B , C thẳng hàng giá trị x + y A B C D Câu 22 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( −2;3; ) , B ( 8; −5;6 ) Hình chiếu vng góc trung điểm I đoạn AB mặt phẳng ( Oyz ) điểm đây? A N ( 3; −1;5 ) C Q ( 0;0;5 ) B M ( 0; −1;5 ) D P ( 3;0;0 ) Câu 23 Trong không gian Oxyz , cho điểm M ( 2; −5; ) Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Khoảng cách từ M đến mặt phẳng tọa độ ( xOz ) B Khoảng cách từ M đến trục Oz 29 C Tọa độ điểm M  đối xứng với M qua mặt phẳng ( yOz ) M  ( 2;5;− ) D.Tọa độ điểm M  đối xứng với M qua trục Oy M  ( −2; −5; −4 ) Câu 24 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A ( −1;1;2 ) , B ( 0;1; − 1) , C ( x + 2; y; −2 ) thẳng hàng Tổng x + y B − C − D − 3 3 Câu 25 Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm H ( 2;1;1) Gọi điểm A, B, C trục A tọa độ Ox, Oy, Oz cho H trực tâm tam giác ABC Khi hồnh độ điểm A là: A −3 B −5 C D Câu 26 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , biết u = ; v = góc hai vectơ u v 2 Tìm k để vectơ p = ku + v vng góc với vectơ q = u − v A k = B k = C k = 2 D k = − Câu 27 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' với A ( −2;1;3) , C ( 2;3;5 ) , B ' ( 2;4; − 1) , D ' ( 0;2;1) Tìm tọa độ điểm B A B (1; − 3;3) B B ( −1;3;3) C C (1;3; − 3) D B (1;3;3) Câu 28 Trong không gian Oxyz , cho bốn điểm A ( −1;2;0 ) , B ( 3;1;0 ) , C ( 0;2;1) D (1;2;2 ) Trong có ba điểm thẳng hàng A A , C , D B A , B , D C B , C , D D A , B , C Câu 29 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm A (1;0;0 ) , B ( 5;0;0 ) Gọi ( H ) tập hợp điểm M không gian thỏa mãn MA.MB = Khẳng định sau đúng? A ( H ) đường trịn có bán kính B ( H ) mặt cầu có bán kính C ( H ) đường trịn có bán kính D ( H ) mặt cầu có bán kính | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Câu 30 Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vectơ a = ( 2; m − 1;3) , b = (1;3; −2n ) Tìm m, n để vectơ a, b hướng A m = 7; n = − B m = 4; n = −3 C m = 1; n = D m = 7; n = − Câu 31 Trong không gian Oxyz , cho A ( 1;1; −3 ) , B ( 3; −1;1) Gọi G trọng tâm tam giác OAB ,véc tơ OG có độ dài bằng: 5 5 B C D Câu 32 Trong khơng gian vói hệ trục tọa độ Oxyz , cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB , CD thỏa A mãn CD = AB diện tích 27 , đỉnh A ( −1; −1;0 ) , phương trình đường thẳng chứa cạnh CD x − y +1 z − Tìm tọa độ điểm D biết hồnh độ điểm B lớn hoành độ điểm = = 2 A A D ( −2; −5;1) B D ( −3; −5;1) C D ( 2; −5;1) D D ( 3; −5;1) Câu 33 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;3; ) , B ( −2; −1; ) Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Oz cho E cách hai điểm A, B 1 1   A  0;0;  B  0;0;  C ( 0;0; −1) D ( 0;0;1) 2 3   Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A (1;0; ) , B ( 3;1; ) , C ( 3; −2;1) Tìm tọa độ điểm S , biết SA vng góc với ( ABC ) , mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S ABC có bán kính 11 S có cao độ âm A S ( 4;6; −4 ) B S ( 4; −6; −4 ) C S ( −4;6; −4 ) D S ( −4; −6; −4 ) Câu 35 Trong không gian Oxyz , cho hình thang cân ABCD có đáy AB, CD Biết A ( 3;1; −2 ) , B ( −1;3; ) , C ( −6;3;6 ) D ( a; b; c ) với a; b; c  A T = −3 B T = C T = Tính T = a + b + c D T = −1 Câu 36 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với A (1; 2;5 ) , B ( 3; 4;1) , C ( 2;3; −3) Gọi G trọng tâm tam giác ABC M điểm thay đổi mp ( Oxz ) Độ dài GM ngắn nhất A B C D Câu 37 Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 5;1;5 ) , B ( 4;3; ) , C ( −3; − 2;1) Điểm I ( a ; b ; c ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tính a + 2b + c ? A B C D −9 Câu 38 Trong không gian với hệ tọa Oxyz , cho vectơ a = (1; −2; ) , b = ( x0 ; y0 ; z0 ) phương với vectơ a Biết vectơ b tạo với tia Oy góc nhọn b = 21 Giá trị tổng x0 + y0 + z0 A −3 B C −6 D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 39 Trong không gian Oxyz cho A ( 4; −2;6 ) , B ( 2; 4; ) , M  ( ) : x + y − 3z − = cho MA.MB nhỏ nhất Tọa độ M  29 58   37 −56 68  A  ; ;  B ( 4;3;1) C (1;3; ) D  ; ;   13 13 13   3  Câu 40 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình thang ABCD có hai đáy AB, CD ; có tọa độ ba đỉnh A (1; 2;1) , B ( 2;0; −1) , C ( 6;1;0 ) Biết hình thang có diện tích Giả sử đỉnh D ( a; b; c ) , tìm mệnh đề đúng? A a + b + c = B a + b + c = C a + b + c = D a + b + c = Câu 41 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x + y + z − = đường thẳng x y +1 z − Gọi  hình chiếu vng góc d ( ) u = (1;a; b ) = = −1 vectơ phương  với a, b  Tính tổng a + b d: A C −1 B D −2 Câu 42 Trong không gian Oxyz , cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có A ( ) ; − 1;1 , hai đỉnh B , C thuộc trục Oz AA = ( C không trùng với O ) Biết véctơ u = ( a ; b ; ) với a , b  véctơ phương đường thẳng AC Tính T = a + b A T = B T = 16 C T = D T = 8 8 Câu 43 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2; −2) B  ; ;  Biết I ( a; b; c ) tâm  3 3 đường tròn nội tiếp tam giác OAB Giá trị a − b + c A B C Câu 44 D  11  Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(1; 0; 0) , B ( 2; 2; −2 ) , C  ; ;  Bán kính đường  3 3 tròn nội tiếp tam giác ABC thuộc nửa khoảng  1 A  0;   2 Câu 45 1  B  ;1 2   3 C 1;   2 3  D  ;  2  5 8 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A(−1;0;0) , B ( 0; 2; −2 ) , C  ; ;  Độ dài đường  3 3 phân giác đỉnh A tam giác ABC A 12 B 12 C 13 D 13 Câu 46 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + = hai điểm A (1; 2;3) , B (1;0;1) Điểm C ( a; b; − )  ( P ) cho tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất Tính a + b A B −3 C D Câu 47 Trong không gian tọa độ Oxyz , cho hai điểm A(1; 0; 0) , B (5; 6; 0) M điểm thay đổi mặt cầu ( S ) : x2 + y + z = Tập hợp điểm M 3MA2 + MB = 48 có phần tử? | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh mặt cầu (S ) thỏa mãn Hình học tọa độ Oxyz A B D C Câu 48 Trong không gian Oxyz , cho OA = i + j − 3k , B ( 2; 2;1) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục tung cho MA2 + MB nhỏ nhất A M ( 0; −2;0 )     C M ( 0; −3;0 ) B M  0; ;0  Câu 49 Trong không gian Oxyz cho hai điểm D M ( 0; −4;0 ) A (1; 5;0 ) , B ( 3;3;6 ) đường thẳng x +1 y −1 z = = Điểm M ( a ; b ; c ) thuộc đường thẳng d cho chu vi tam giác MAB −1 nhỏ nhất Khi biểu thức a + 2b + 3c d: A B ( C ) ( ) D Câu 50 Trong không gian Oxyz , cho điểm A 0; ;0 , B 0;0; , điểm C  ( Oxy ) tam giác OAC vng C , hình chiếu vng góc O BC điểm H Khi điểm H ln thuộc đường trịn cố định có bán kính A 2 B C D Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Hình học tọa độ Oxyz ( Câu 48: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2 ) = Có tất điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C D 16 Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z = , điểm M (1;1; 2) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Gọi  đường thẳng qua M, thuộc cắt hai điểm A, B cho AB nhỏ Biết  có vectơ phương u = (1; a; b) Tính t = a − b A T = −2 B T = C T = −1 D T = Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử M  ( P ) N  ( S ) phương với vectơ u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính A MN = B MN = + 2 C MN = cho MN MN D MN = 14 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 II PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2; −4;3) B ( 2; 2;7 ) Trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ A (1;3; ) B ( 2;6; ) C ( 2; −1;5 ) D ( 4; −2;10 ) Lời giải Chọn C x A + xB   xI = =  y + yB  = −1 Gọi I trung điểm AB , ta có tọa độ điểm I  yI = A  z A + zB   zI = =  Vậy I ( 2; − 1;5 ) Câu 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm A ( 2; 2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA A OA = B OA = C OA = Lời giải D OA = Chọn A OA = 22 + 22 + 12 = Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 3; −2;3) B ( −1; 2;5 ) Tìm tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB A I ( −2; 2;1) B I (1; 0; ) C I ( 2; 0;8 ) D I ( 2; −2; −1) Lời giải Chọn B Tọa độ trung điểm I đoạn AB với A ( 3; −2;3) B ( −1; 2;5 ) tính x A + xB   xI = =   y + yB =  I (1;0; )  yI = A   z A + zB  z I = = Câu 4: ( ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai vecto a ( 2;1;0 ) , b ( −1;0; −2 ) Tính cos a, b ( ) 25 C cos a, b = − 25 A cos a, b = ( ) ( ) B cos a, b = − D cos a, b = Lời giải Chọn B | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( ) Hình học tọa độ Oxyz ( ) Ta có cos a, b = a.b = a.b ( −1) + 1.0 + ( −2 ) 22 + 12 + 02 ( −1) + 02 + ( −2 ) 2 =− Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + z = có bán kính Câu 5: A B C 81 Lời giải D Chọn B Mặt cầu ( S ) : x + ( y − 1) + z = có bán kính Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = Tâm ( S ) có tọa Câu 6: độ A ( −1; −2;3) B ( −2; −4;6 ) 2 D ( 2; 4; −6 ) C (1; 2; −3) Lời giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tọa độ tâm I (1; 2; −3) (Đề TNTHPT 2020 - mã đề 103) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu Câu 7: ( S ) :( x − 1) + ( y + ) + ( z + 3) = Tâm ( S ) có tọa độ A ( −1; 2;3) 2 B (2; −4; −6) C ( −2; 4; 6) Lời giải D (1; −2; −3) Chọn D Tâm ( S ) có tọa độ I (1; −2; −3) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = Tâm ( S ) có tọa Câu 8: độ là: A (−2; −4; 6) B (2; 4; −6) C (−1; −2;3) D (1; 2; −3) Lời giải Chọn C Tâm ( S ) có tọa độ là: (−1; −2;3) Câu 9: TCTrong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = Tâm ( S ) có tọa độ là: A ( −1; 2; − 3) B ( 2; − 4;6 ) C (1; − 2;3) D ( −2; 4; − ) Lời giải Chọn A Mặt cầu ( S ) có tâm ( −1; 2; − 3) Câu 10: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − ) = 16 Bán kính ( S ) bằng: A B 32 C 16 Lời giải D Chọn A Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − ) = 16 có bán kính R = Câu 11: Trong không gian Oxyz Cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = 16 Bán kính ( S ) A 32 C Lời giải B D 16 Chọn C Bán kính ( S ) R = 16 = Câu 12: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + (y− 2) + z = Bán kính mặt cầu (S) A C Lời giải B 18 D Chọn C Áp dụng phép cộng số phức ta có bán kính mặt cầu Câu 13: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + ) = Bán kính ( S ) A B 18 C Lời giải D Chọn D Mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có tâm I ( a ; b ; c ) bán kính R 2 Vậy mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + ) = có tâm I ( 0;0; − ) bán kính R = Câu 14: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y + ) + ( z − 1) = Tâm ( S ) có tọa 2 độ A ( −2; 4; − 1) B ( 2; − 4;1) C ( 2; 4;1) D ( −2; − 4; − 1) Lời giải Chọn B Tâm mặt cầu ( S ) có tọa độ ( 2; − 4;1) Câu 15: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 Tâm ( S ) có 2 tọa độ A ( −1; −2; −3) B (1; 2;3) C ( −1; 2; −3) D (1; −2;3) Lời giải Chọn D 2 Câu 16: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − y + z − = Bán kính mặt cầu cho A B C 15 Lời giải D Chọn B 2 Ta có: x + y + z − y + z − =  x + ( y − 1) + ( z + 1) =  ( S ) có bán kính R = = | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz Câu 17: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + y − z − = Bán kính mặt cầu cho A B 15 D C Lời giải Chọn D Bán kính mặt cầu là: R = a + b + c − d = 02 + ( −1) + 12 − ( −7 ) = 2 2 Câu 18: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y − = Bán kính mặt cầu cho A B C 15 Lời giải D Chọn A a =  b = −1  2 Ta có   R = a + b2 + c − d = (1) + ( −1) + ( ) + = c =  d = −7 Câu 19: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − z − = bán kính mặt cầu cho A B 2 D 15 C Lời giải Chọn C Ta có: ( S ) : x + y + z + x − z − =  ( x + 1) + y + ( z − 1) =  ( x + 1) + y + ( z − 1) = 32 2 2 Suy bán kính mặt cầu cho R = Câu 20: Trong không gian Oxyz , mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = có bán kính A B 2 C Lời giải D Chọn A Câu 21: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 3) + ( y + 1) + ( z − 1) = Tâm ( S ) có tọa độ A ( 3;1; −1) B ( 3; −1;1) 2 C ( −3; −1;1) D ( −3;1; −1) Lời giải Chọn C Tâm ( S ) có tọa độ ( −3; −1;1) Câu 22: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = Tính 2 bán kính R ( S ) A R = B R = 18 C R = D R = Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Chọn A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính R : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (S ) 2 có tâm: I ( 5;1; −2 ) ; R = Câu 23: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 20 A I ( −1; 2; −4 ) , R = B I ( −1; 2; −4 ) , R = C I (1; −2; ) , R = 20 D I (1; −2; ) , R = 2 Lời giải Chọn D Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt cầu ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R có 2 tâm I ( a; b; c ) bán kính R Nên mặt cầu ( x − 1) + ( y + ) + ( z − ) = 20 có tâm bán kính I (1; −2; ) , R = 2 Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = Tìm 2 tọa độ tâm I tính bán kính R ( S ) A I ( −1; 2;1) R = B I (1; −2; −1) R = C I ( −1; 2;1) R = D I (1; −2; −1) R = Lời giải Chọn A Mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = có tâm I ( −1; 2;1) bán kính R = 2 Câu 25: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;3;0 ) bán kính Phương trình mặt cầu ( S ) là: A ( x − 1) + ( y + 3) + z = B ( x − 1) + ( y + 3) + z = C ( x + 1) + ( y − 3) + z = D ( x + 1) + ( y − 3) + z = 2 2 2 2 Lời giải Chọn C Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1;3;0 ) bán kính R = có dạng: ( x − a) + ( y − b ) + ( z − c ) = R  ( x + 1) + ( y − 3) + z = 2 2 Câu 26: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; − ) bán kính Phương trình ( S ) là: A x + ( y − 1) + ( z + ) = B x + ( y + 1) + ( z − ) = C x + ( y − 1) + ( z + ) = D x + ( y + 1) + ( z − ) =   2   Lời giải Chọn A 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 2 Hình học tọa độ Oxyz Phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;1; − ) bán kinh là: ( x − 0) + ( y − 1) + ( z + ) = 32  x + ( y − 1) + ( z + ) =   2 Câu 27: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0; −2;1) bán kính Phương trình ( S ) là: A x + ( y + ) + ( z − 1) = B x + ( y − ) + ( z + 1) = C x + ( y − ) + ( z + 1) = D x + ( y + ) + ( z − 1) = 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Phương trình mặt cầu tâm I ( a; b; c ) bán kính R : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R I ( 0; −2;1) Vậy phương trình mặt cầu ( S ) có tâm 2 bán kính là: x + ( y + ) + ( z − 1) = 2 Câu 28: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −4;0 ) bán kính Phương trình ( S ) là: A ( x + 1) + ( y − ) + z = B ( x − 1) + ( y + ) + z = C ( x − 1) + ( y + ) + z = D ( x + 1) + ( y − ) + z = 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Mặt cầu có tâm I (1; −4;0 ) bán kính ( x − 1) + ( y + ) + z = 2 Câu 29: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + ( y + ) + ( z − ) = Tính bán 2 kính R ( S ) A R = B R = C R = 2 Lời giải D R = 64 Chọn C Phương trình mặt cầu tổng quát: ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R  R = 2 2 Câu 30: Trong khơng gian Oxyz , điểm hình chiếu vng góc điểm A ( 3; 4; 1) mặt phẳng ( Oxy ) ? A Q ( 0; 4; 1) B P ( 3; 0; 1) C M ( 0; 0; 1) D N ( 3; 4; ) Lời giải Chọn D Hình chiếu vng góc điểm A ( 3; 4; 1) mặt phẳng ( Oxy ) điểm N ( 3; 4; ) Câu 31: Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 3; −1;1) Hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng ( Oyz ) điểm A M ( 3;0;0 ) B N ( 0; −1;1) C P ( 0; −1;0 ) D Q ( 0;0;1) Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Chọn B Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Khi chiếu vng góc điểm khơng gian lên mặt phẳng ( Oyz ) , ta giữ lại thành phần tung độ cao độ nên hình chiếu A ( 3; −1;1) lên ( Oyz ) điểm N ( 0; −1;1) Câu 32: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( 3; −4;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 3,1, ) Tìm tọa độ điểm D trục hoành cho AD = BC A D ( −2;1;0 ) , D ( −4;0;0 ) B D ( 0;0;0 ) , D ( −6;0;0 ) C D ( 6;0;0 ) , D (12;0;0 ) D D ( 0;0;0 ) , D ( 6;0;0 ) Lời giải Chọn D Gọi D ( x; 0; )  Ox AD = BC  ( x − 3) x = + 16 =   x = ( ) Câu 33: Trong không Oxyz , cho vectơ a = (1;0;3) b = ( −2; 2;5 ) Tích vơ hướng a a + b A 25 B 23 Chọn B ( C 27 Lời giải D 29 ) Ta có a + b = ( −1; 2;8)  a a + b = 1( −1) + 0.2 + 3.8 = 23 Câu 34: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 2;3; −1) , N ( −1;1;1) P (1; m − 1; ) Tìm m để tam giác MNP vuông N A m = −6 B m = C m = −4 Lời giải D m = Chọn B MN = ( −3; −2; ) ; NP = ( 2; m − 2;1) Tam giác MNP vuông N  MN NP =  −6 − ( m − ) + =  m − = −2  m = Câu 35: Trong khơng gian Oxyz , mặt cầu có tâm gốc tọa độ O ( ; ; ) qua điểm M ( ; ; ) có phương trình A x + y + z = B x + y + z = C x + y + ( z − ) = D x + y + ( z − ) = Lời giải Chọn B Ta có mặt cầu có tâm gốc tọa độ O ( ; ; ) qua điểm M ( ; ; ) nên bán kính R = MO = Vậyphương trình mặt cầu mặt cầu x + y + z = Vậy đường thẳng AB qua điểm A (1; ; − 1) có VTCP u = (1; − ; ) nên phương trình Câu 36: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 0;0; −3) qua điểm M ( 4;0;0 ) Phương trình ( S ) 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz A x + y + ( z + 3) = 25 B x + y + ( z + 3) = C x + y + ( z − 3) = 25 2 D x + y + ( z − 3) = 2 Lời giải Chọn A Bán kính mặt cầu r = IM = 42 + 02 + ( −3) = Phương trình mặt cầu là: x + y + ( z + 3) = 25 Câu 37: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm I (1;1;1) A (1; 2;3) Phương trình mặt cầu có tâm I qua A A ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = 29 B ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = C ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 25 D x + 12 + y + 12 + ( z + 1) = 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn B Do mặt cầu ( S ) có tâm I (1;1;1) qua A (1; 2;3) nên bán kính mặt cầu ( S ) R = IA = Vậy phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 Câu 38: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , tìm tất giá trị m để phương trình x + y + z − x − y − z + m = phương trình mặt cầu A m  B m  C m  Lời giải D m  Chọn D Phương trình x + y + z − x − y − z + m = phương trình mặt cầu  12 + 12 + 22 − m   m  Câu 39: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; −2;3) Gọi I hình chiếu vng góc M trục Ox Phương trình phương trình mặt cầu tâm I, bán kính IM? A ( x − 1) + y + z = 13 B ( x + 1) + y + z = 13 C ( x − 1) + y + z = 13 D ( x + 1) + y + z = 17 Lời giải Chọn A I hình chiếu vng góc M lên trục Ox  I (1;0;0)  IM = ( 0; − 2;3)  IM = 13 (S ) tâm I , bán kính IM : ( x − 1) + y2 + z2 = 13 2 Câu 40: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình dây phương trình mặt cầu có tâm I (1; 2; −1) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) : x − y − z − = ? A ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 1) = B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = C ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = D ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 1) = 2 2 2 2 2 2 Lời giải Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh Chọn C Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi mặt cầu cần tìm ( S ) Ta có ( S ) mặt cầu có tâm I (1; 2; −1) bán kính R Vì ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P) : x − y − z − = nên ta có − 2.2 − 2.( −1) − R = d ( I ; ( P )) = + ( −2 ) + ( − ) 2 = Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là: ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 Câu 41: (Đề minh họa BGD&ĐT năm 20016-20017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S ) ( S ) có tâm I ( 2;1;1) mặt phẳng ( P ) : x + y + z + = Biết mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu S theo giao tuyến đường trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( ) A ( S ) : ( x + ) + ( y + 1) + ( z + 1) = B ( S ) : ( x + ) + ( y + 1) + ( z + 1) = 10 C ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = D ( S ) : ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 2 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Gọi R, r bán kính mặt cầu ( S ) đường tròn giao tuyến ( Ta có R = r + d ( I , ( P ) ) 2 ) 2  2.2 + 1.1 + 2.1 +  = 1+   = 10 22 + + 22   Mặt cầu ( S ) tâm I ( 2;1;1) bán kính R = 10 ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10 2 Câu 42: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = điểm A ( 2;3; −1) 2 Xét điểm M thuộc ( S ) cho đường thẳng AM tiếp xúc với ( S ) , M thuộc mặt phẳng có phương trình A x + y + 11 = B x + y + = C x + y − = Lời giải Chọn C M (S') (S) I cầu ( S ) có tâm I ( −1; −1; −1) 25 2 ( S  ) mặt cầu đường kính AI  ( S  ) :  x −  + ( y − 1) + ( z + 1) = 2  có AM tiếp xúc ( S ) M nên AM ⊥ IM  AMI = 90 M thuộc giao hai mặt cầu cầu ( S ) mặt cầu ( S  ) 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh A D x + y − 11 = Hình học tọa độ Oxyz  M  ( S ) có   Tọa độ M thỏa hệ phương trình:  M  ( S  ) 1 25 2 −  + ( y − 1) + ( z + 1) = 2 (1) + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = ( 2) 2 (1) −( )  x + y − 11 = −7 M  ( P ) : 3x + y − = Câu 43: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , phương trình phương trình mặt cầu qua ba điểm M ( 2;3;3) , N ( 2; −1; −1) , P ( −2; −1;3) có tâm thuộc mặt phẳng ( ) : x + y − z + = A x + y + z − x + y − z − 10 = B x + y + z − x + y − z − = C x + y + z + x − y + z + = D x + y + z − x + y − z − = Lời giải Chọn B Giả sử phương trình mặt cầu ( S ) có dạng x + y + z − 2ax − 3by − 2cz + d = Điều kiện: a + b + c − d  (*) Vì mặt cầu ( S ) qua điểm M ( 2;3;3) , N ( 2; −1; −1) , P ( −2; −1;3) có tâm I thuộc 4a + 6b + 6c − d = 22 a = 4a − 2b − 2c − d = b = −1    : T / m ( *) mp ( P ) nên ta có hệ phương trình  4a + 2b − 6c + d = −14 c = 2a + 3b − c = −2 d = −2 Vậy phương trình mặt cầu : x + y + z − x + y − z − = Câu 44: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , xét điểm A ( 0; 0;1) B ( m; 0; ) C ( 0; n;0 ) D (1;1;1) , , , với m  0; n  m + n = Biết m , n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng ( ABC ) qua A R = B R = D Tính bán kính R mặt cầu đó? C R = D R = Lời giải Chọn A Gọi I (1;1; ) hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (Oxy ) x y + + z =1 m n Suy phương trình tổng quát ( ABC ) nx + my + mnz − mn = Ta có: Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng ( ABC ) là: Mặt khác d ( I ; ( ABC ) ) = − mn = (vì m + n = ) ID = = d (( I ; ( ABC ) ) m + n2 + m2 n2 Nên tồn mặt cầu tâm I (là hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với ( ABC ) qua D Khi R = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 45: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A (1; 2;1) , B ( 3; −1;1) C ( −1; −1;1) Gọi ( S1 ) mặt cầu có tâm A , bán kính ; ( S ) ( S3 ) hai mặt cầu có tâm B , C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu ( S1 ) , ( S ) , ( S3 ) A B C Lời giải D Chọn B Gọi phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: ax + by + cz + d =  a + 2b + c + d =2  2 a + b + c  d ( A; ( P ) ) =  3a − b + c + d   =1 Khi ta có hệ điều kiện sau: d ( B; ( P ) ) =   2  a +b +c   −a − b + c + d  d ( C ; ( P ) ) =  =1  a + b + c  a + 2b + c + d = a + b + c     3a − b + c + d = a + b + c  2  − a − b + c + d = a + b + c 3a − b + c + d = −a − b + c + d Khi ta có: 3a − b + c + d = −a − b + c + d   3a − b + c + d = a + b − c − d a =  a − b + c + d = với a=0 ta có  2b + c + d = b + c  2b + c + d = b + c     4b − c − d =   2b + c + d = −b + c + d   c + d = c + d =  c = d = 0, b  có mặt phẳng  c + d = 4b, c = 2 2b Với a −b+c + d = ta có  3b = a + b + c  3b = a    2  2a = a + b + c  2a = a + b + c  b = a     c = 11 a   có mặt phẳng thỏa mãn tốn.Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Câu 46: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z − 1) = Có tất điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến (S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Hình học tọa độ Oxyz A 12 B 16 C 20 Lời giải D Chọn C Do A ( a; b; c )  ( Oxy )  c = Gọi I tâm mặt cầu Từ A kẻ hai tiếp tuyến nên ta có IA  R = Gọi hai tiếp điểm hai tiếp tuyến M,N hai tiếp tuyến vng góc với nên MN = AM = ( IA2 − R )  R  IA  R Từ ta có  IA  10   a + b +  10   a + b  ( a; b ) ( 0; 2 ) , ( 0; 3) , ( 2;0 ) , ( 1; 2 ) , ( 2; 1) , ( 2; 2 ) , ( 3;0 ) Các cặp số nguyên thỏa mãn là: Vậy 20 điểm A thỏa mãn điều kiện cho Câu 47: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x + y + ( z + 1) = Có tất điểm A ( a ; b ; c ) ( a , b , c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 20 B C 12 Lời giải D 16 Chọn A I R M r H A r N Gọi M , N tiếp điểm, H tâm đường tròn giao tuyến mặt phẳng ( AMN ) mặt cầu ( S ) , r bán kính đường trịn giao tuyến Ta có: AM = MH = r Dễ thấy: IM + MA2 = AI  R + r = AI Do  r  R  R  AI  R Với giả thiết tốn, ta có I ( 0;0; − 1) , R = , A ( a ; b ;0 ) , ta có  a + b +  10   a + b  a = b = a = 2 Do đó:  ;  ;  ; b = 2 a = 2 b = 2 a = 1 ;  b = 2 b = 1 ;  a = 2 a = ;  b = 3 b =  a = 3 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh KL: có 20 điểm thỏa mãn tốn Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ( 2 Câu 48: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − ) = Có tất điểm A ( a; b; c ) ( a, b, c số nguyên) thuộc mặt phẳng ( Oxy ) cho có hai tiếp tuyến ( S ) qua A hai tiếp tuyến vng góc với nhau? A 12 B C Lời giải D 16 Chọn A Mặt cầu ( S ) có tâm I 0; 0; , bán kính R = ( ) Dễ thấy ( S ) cắt mặt phẳng ( Oxy ) nên từ điểm A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) nằm ( S ) kẻ tiếp tuyến tới ( S ) tiếp tuyến nằm mặt nón đỉnh A , tiếp điểm nằm đường tròn xác định Cịn A thuộc ( S ) ta kẻ tiếp tuyến thuộc mặt phẳng tiếp diện ( S ) điểm A Để có hai tiếp tuyến qua A thỏa mãn toán + Hoặc A thuộc ( S )  IA = R = + Hoặc tiếp tuyến tạo thành mặt nón góc đỉnh mặt nón MAN  90  MAI  45 suy SinMAI  IM      IA  IA IA Vậy điều kiện toán  IA    IA2  Vì A  ( Oxy )  A ( a ; b ;0 ) Ta có  IA2    a + b +    a + b  (*) Do A ( a ; b ; c ) có tọa độ nguyên nên ta có điểm thỏa mãn (*) A ( 0;2;0 ) , A ( 0; − 2;0 ) , A ( 0;1;0 ) , A ( 0; − 1;0 ) , A ( 2;0;0 ) , A ( −2;0;0 ) , A (1;0;0 ) , A ( −1;0;0 ) , A (1;1;0 ) , A (1; − 1;0 ) , A ( −1;1;0 ) , A ( −1; − 1;0 ) Vậy có 12 điểm thỏa mãn yêu cầu toán Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z = , điểm M (1;1; 2) mặt phẳng ( P ) : x + y + z − = Gọi  đường thẳng qua M, thuộc cắt hai điểm A, B cho AB nhỏ Biết  có vectơ phương u = (1; a; b) Tính t = a − b A T = −2 C T = −1 B T = Lời giải Chọn C ( S) có tâm O( 0;0;0) , bán kính R = 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D T = Hình học tọa độ Oxyz M  ( P)  d ( O; ( P) ) =  R=  ( P) cắt ( S) theo giao tuyến đường trịn ( C ) có tâm H bán kính HA = HB + ABmin  d ( H, AB)max Dựng HI ⊥ AB  HIM ⊥ I  HI  HM = const   AB ⊥ HM Dấu “=” xảy  M  I    uAB =  HM, n( P)  = ( −1;1;0)   AB  P ( )   (1; − 1;0) Mà  có VTCP: u = (1; a; b) Suy T = a − b = −1 − = −1 Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử M  ( P ) N  ( S ) phương với vectơ u (1;0;1) khoảng cách M N lớn Tính A MN = B MN = + 2 C MN = Lời giải cho MN MN D MN = 14 Chọn C Mặt phẳng ( P ) có vtpt n = ( 1; − 2; ) Mặt cầu ( S ) có tâm I ( −1; 2; 1) bán kính r = Nhận ο thấy góc u n 45 Vì d ( I ; ( P ) ) =  = r nên ( P ) không cắt ( S ) Gọi H hình chiếu N lên ( P ) NMH = 45ο MN = NH = NH nên MN sin 45ο lớn NH lớn Điều xảy N  N  H  H  với N  giao điểm đường thẳng d qua I , vng góc ( P ) H  hình chiếu I lên ( P ) Lúc NH max = N H  = r + d ( I ; ( P ) ) = MNmax = NHmax =3 sin 45ο Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 ... , ON = ( 0;0; −3)  OM , ON  =  0; − ;0      Vậy diện tích tam giác OMN S = OM , ON  =   Cách , ON = Vì hai điểm M , N thuộc trục Ox , Oz nên tam giác OMN vng O Ta có OM = Do. .. Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Câu 9: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Trong không gian Oxyz , xét mặt cầu ( S ) có phương trình dạng x + y + z − x + y − 2az + 10a = a để ( S ) có chu vi... −2;1;3) C (−2;1; −3) D (4;1;3) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 3;5; − 1) , B ( 7; x ;1) C (