chu de tiem can cua do thi ham so on thi tot nghiep thpt mon toan

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ 04: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LÝ THUYẾT ❖ Đường tiệm cận ngang ▪ Cho hàm số y = f ( x) xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( a; + ) , ( −; b ) ( −; + ) ) Đường thẳng y = y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) = y0 , lim f ( x) = y0 x →+ x →− ❖ Đường tiệm cận đứng ▪ Đường thẳng x = x0 gọi đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y = f ( x) điều kiện sau thỏa mãn: lim f ( x) = + , lim− f ( x) = − , lim+ f ( x) = − , lim− f ( x) = + x → x0 + x → x0 x → x0 x → x0 Lưu ý: ▪ Với đồ thị hàm phân thức dạng y = ax + b a c  0; ad − bc  ) ln có tiệm cận ngang y = ( cx + d c d tiệm cận đứng x = − c ❖ Dấu hiệu nhận biết đường tiệm cận đồ thị hàm số ▪ Hàm phân thức mà nghiệm mẫu không nghiệm tử có tiệm cận đứng ▪ Hàm phân thức mà bậc tử  bậc mẫu có TCN ▪ Hàm thức dạng: y = f ( x) − g ( x) , y = f (x) − g (x) , y = g (x) − ngang (dùng liên hợp) ▪ Hàm y = a x , (  a  1) có tiệm cận ngang y = ▪ Hàm số y = log a x , (  a  1) có tiệm cận đứng x = ❖ Cách tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số ▪ Tiệm cận đứng: ta tìm nghiệm mẫu khơng nghiệm tử ▪ Tiệm cận ngang: tính giới hạn: lim y lim y x →+ ❖ Một số ý trình tìm tiệm cận ▪ Nếu x → +  x   x = x = x ▪ Nếu x → −  x   x = x = − x | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x →− f ( x ) có tiệm cận Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x ) có lim f ( x ) = + lim f ( x ) = Mệnh đề sau đúng? x →1+ x →1− B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = D Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = A Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận C Đồ thị hàm số có hai tiệm cận Lời giải Chọn B Vì lim f ( x ) = + nên đồ thi hàm số có tiệm cận đứng x = x →1+ VÍ DỤ Cho hàm số y = A 2x2 − x Số đường tiệm cận đồ thị hàm số là: x2 + 5x + B C D Lời giải Chọn C  x = −1 Xét phương trình x2 + 5x + =   , hai nghiệm không nghiệm tử số nên  x = −4 hai đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số 2x2 − x Mặt khác: lim = , nên đường y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x → x + x + Vậy đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận VÍ DỤ Cho hàm số y = A x+3 −2 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận x − 3x + B C D 2 Lời giải Chọn D Ta có: x+3 −2 x −1 = = , x  x − x + ( x − 1)( x − ) x + + ( x − 2) x + + ( ) ( ) Khi ta thấy x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Mặt khác: lim x →+ ( x − 2)( x+3 +2 ) = , nên đồ thị hàm số nhận y = làm tiệm cận ngang Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận VÍ DỤ Đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số f ( x) = A y = 2; y = −2 B y = 2; y = − x2 − 5x − x2 − 3x C y = D y = Lời giải Chọn B Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 x − 5x + x − 3x 5  Tập xác định D = ( −;0 )   ; +  Ta có lim f ( x) = lim =− x →+ x →+ −2 x 2  Và lim f ( x) = lim x →− x →− x − 5x + x − 3x = −2 x Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang đường thẳng y =  VÍ DỤ Cho hàm số y = f ( x) = ax + bx + cx + d có đồ thị hình bên Hỏi đồ thị hàm số y = g ( x ) = A 2x có đường tiệm cận đứng? f ( x) B C D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định: f ( x)  Từ đồ thị ta thấy f ( x) = x = −4 , x = −1 x = Khi f ( x) = a( x + 4)( x + 1)( x − 2) có nghiệm Do đồ thị hàm số y = g ( x ) có đường tiệm cận đứng VÍ DỤ Biết đồ thị hàm số y = A −8 x − + ax + b ( x − 2) tiệm cận đứng Khi 4a − b bằng: C −4 B 10 Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số y = x − + ax + b ( x − 2) tiệm cận đứng  f ( x ) = 3x − + ax + b = có nghiệm kép x = 1 + a + b =   f ( ) =  a = −    +a=0  f  ( ) =  b =   2.3 −  3 Vậy 4a − b =  −  − = −8  2 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số VÍ DỤ Tìm tập hợp giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = ( x − 1) ( x + 3x + mx + x − ) có đường tiệm cận   A m   − ;0      B m   − ; +      C m   − ;0      D m   − ;0    Lời giải Chọn A ( ) Ta có ( x − 1) x + 3x +   x  Trường hợp 1: Nếu m = đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Do đồ thị hàm số khơng thể có ba đường tiệm cận Trường hợp 2: Nếu m  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Do đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận  mx + x − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thuộc nửa khoảng 1; + )   1 + 3m   '  m  −       −1  ( x1 − 1)( x2 − 1)      m   −  m  Vậy m   − ;0     m m  −1 ( x1 − 1) + ( x2 − 1)  1 + m    m  VÍ DỤ Cho hàm số y = x −1 có đồ thị ( C ) , gọi d tiếp tuyến với ( C ) điểm có hồnh độ x+2 m − Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng ( C ) điểm A ( x1 ; y1 ) cắt tiệm cận ngang (C ) điểm B ( x ; y ) Gọi S 2 tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần tử S A B C 10 D Lời giải Chọn C Ta có y = ( x + 2) Với x = m −  y = −  3 : A  m − 2;1 −  ( m  ) m m  Phương trình tiếp tuyến d ( C ) : y = 3 x − m + 2) + − ( m m Đồ thị ( C ) có tiệm cận ngang y = tiệm cận đứng x = −2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  3  6 y = ( x − m + 2) + − y = − Tọa độ điểm A nghiệm hệ:  m  m nên y1 = − m m  x = −2  x = −2    3 y = y = ( x − m + 2) + − Tọa độ điểm B nghiệm hệ:  nên x2 = m − m  m x = 2m − y =  Suy x2 + y1 = 2m − m = − = −5  m2 + m − =   m = − m  Vậy tổng bình phương phần tử S 12 + ( −3 ) = 10 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Phan Nhật Linh DẠNG Câu 1: Đồ thị hàm số y = A Câu 4: B D C D x +9 −3 x2 + x C D x −1 − x2 + x + x2 − 5x + C x = −3 x = −2 D x = −3 B x = B B x + 16 − x2 + x C D x+4 −2 x2 + x C D Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A Câu 9: x−2 có tiệm cận x2 − B Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Câu 8: x2 − 5x + x2 −1 C Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Câu 7: B 4x x D Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A x = x = Câu 6: 5x2 C Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = A Câu 5: B Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y = A Câu 3: Cơ tiệm cận đồ thị hàm số Tổng số tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y A Câu 2: Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Cho hàm số y = A B x2 + x + x − 3x + B Câu 11: Đồ thị hàm số y = A Câu 12: Đồ thị hàm số y = B x+2 D C C C D x − +1 x − 3x + D 2 x + x2 − x có tất đường tiệm cận? 3x + B C 5x + − x + có tất đường tiệm cận? x2 − x | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh là? Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? Câu 10: Số đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = A x ( 4x + 6) − D Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số A B C Câu 13: Tìm số đường tiệm cận đồ thị hàm số y = A B x2 + x + Câu 14: Cho hàm số y = x − 3x + B A Câu 15: Đồ thị hàm số y = A D x −1 3x + − 3x − C D Đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận? C D x2 + x −1 + x có đường tiệm cận? x +1 B C Câu 16: Gọi S tập hợp giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = cận đứng Số phần tử S A vô số B 12 D x+2 x − x + 2m C 14 D 13 Câu 17: Có giá trị nguyên dương tham số m để đồ thị hàm số y = tiệm cận? A 14 Câu 18: Cho hàm số y = B C 15 có hai đường tiệm x −1 có đường x − 8x + m D 16 x −3 Có giá trị nguyên tham số m thuộc x − 3mx + ( 2m2 + 1) x − m đoạn  −2020; 2020 để đồ thị hàm số có đường tiệm cận? A 4039 B 4040 C 4038 D 4037 Câu 19: Có số nguyên m thuộc đoạn  −100;100 để đồ thị hàm số y = có hai đường tiệm cân? A 200 B C 199 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y = tiệm cận A m = −1 Câu 21: Cho hàm số y = f ( x ) = B m  {1; 4} C m = ( x − m) 2x − x2 D x2 + m có hai đường x − 3x + D m  { − 1; −4} x +1 Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị có ba đường x − 2mx + tiệm cận A m   m  −2  B   m  −  m    m  −2 C     m  −  m  −2 D   m2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Câu 22: Biết đồ thị hàm số y = Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ( n − 3) x + n − 2017 ( m, n số thực) nhận trục hoành làm x+m+3 tiệm cận ngang trục tung tiệm cận đứng Tính tổng m + n A B −3 C D Câu 23: Có giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A B x −1 mx − x + có bốn D Vô số C Câu 24: Với giá trị hàm số m để đồ thị hàm số y = x − mx − 3x + có tiệm cạn ngang A m = B m = −1 Câu 25: Cho hàm số y = C m = 1 D Khơng có m ax + 1 Tìm a, b để đồ thị hàm số có x = tiệm cận đứng y = tiệm bx − 2 cận ngang A a = −1; b = B a = 4; b = C a = 1; b = D a = −1; b = −2 Câu 26: Có giá trị nguyên m   −10;10 cho đồ thị hàm số y = đường tiệm cận đứng? A 19 B 15 x −1 có hai 2x + 6x − m − D 18 C 17 Câu 27: Có giá trị nguyên m để tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = mx + 3mx + 3? x+2 A C Vô số B Câu 28: Tổng giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = D x −1 có x + ( m − 1) x + m2 − 2 tiệm cận đứng A − C −3 B Câu 29: Cho hàm số y x 3mx x 2m x m D Có giá trị nguyên thuộc đoạn tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận? A 12 B C B m  C m = m = Câu 31: Có giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn y x x2 4x A 2019 x + 3x + m khơng có tiệm x−m D m  2017; 2017 để đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng m B 2021 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 2018 6;6 D 11 Câu 30: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y = cận đứng A m = D 2020 Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số Câu 32: Cho hàm số y f (x ) thỏa mãn lim f (x ) 2019m , lim f (x ) x x nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số y A 2020m Hỏi có tất bao f (x ) có tiệm cận ngang? B C D 1 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ  x − ( 2m + 1) x + 2m  x − m thị hàm số có đường tiệm cận 0  m  m  0  m     A  B  C m  D  1 m  m  m     2 Câu 33: Cho hàm số y = Câu 34: Có giá trị nguyên m để đồ thị hàm số y = đường tiệm cận? A 6x − có ( mx − x + 3)(9 x2 + 6mx + 1) D Vô số C B Câu 35: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số: y A m B m C m x mx có tiệm cận ngang D m x−2 Có tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số có mx − x + hai đường tiệm cận? A B C D Câu 36: Cho hàm số y = Câu 37: Gọi S tập giá trị nguyên m cho đồ thị hàm số y = tiệm cận Tính số phần tử tập S A Vô số B C 2019 x 17 x − − m x có bốn đường D Câu 38: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số x f ( x) = nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi tổng phần x + mx + − x + x + + m2 x tử S 1 1 A B − C D − 2 3 Câu 39: Có giá trị m nguyên thuộc khoảng ba đường tiệm cận? A 12 B 11 Câu 40: Cho hàm số y = 10;10 để đồ thị hàm số y C x ( x m) có x D 10 với m tham số Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm x3 − 3x + m − số cho có đường thẳng tiệm cận A  m  B −1  m  C m  m  D m  m  −1 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Câu 41: Hàm số y = A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 3x + + ax + b ( x − 1) khơng có tiệm cận đứng Khi hiệu a − b bằng: B − C − Câu 42: Có giá trị nguyên tham để m đồ thị hàm số y = tiệm cận đứng? A vô số B C 2017 D − − x + 2016 x + 2017 − 24 có x−m D 2019 Câu 43: Gọi S tập hợp tất giá trị tham số thực m cho đồ thị hàm số x f ( x) = nhận trục tung làm tiệm cận đứng Khi tổng phần x3 + mx + − x + x + + m2 x tử S 1 1 A B − C D − 2 3 Câu 44: Có giá trị m nguyên thuộc khoảng ba đường tiệm cận? A 12 B 11 10;10 để đồ thị hàm số y C Câu 45: Tìm tất giá trị thực m cho đồ thị hàm số y = cận A −  m  B −  m  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C m  −1 x ( x m) có x D 10 mx + có đường tiệm x +1 D m  Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.D 8.A 9.B 10.D 11.B 12.C 13.C 14.A 15.C 16.C 17.C 18.D 19 20 21 22 23 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn B Ta có lim y = lim y = 0, suy y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x →+ x →− Để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đồ thị hàm số có đường tiệm cận 2 đứng, hay x − 3mx + (2m + 1) x − m = (1) có nghiệm phân biệt khác Ta có x3 − 3mx + (2m + 1) x − m =  ( x − m ) ( x − 2mx + 1) = x = m   f ( x ) = x − 2mx + = ( ) Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác phương trình ( ) có nghiệm phân m     m  −1    m2 −      m  −1  biệt khác m  f ( 3)   32 − 6m +   m   m     m − 2m +     f ( m)  m  1    Vì m số nguyên thuộc đoạn  −2020; 2020 nên có 4038 giá trị tham số m Câu 2: Chọn B Ta có tập xác định hàm số phải thỏa mãn x − x    x  Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình x − x + 2m = có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  x1  x2  2 Ta có: x − x = −2m Đặt f ( x ) = x − x Ta có bảng biến thiên hàm f ( x ) đoạn  0;6 Yêu cầu toán  −16  −2m  −12   m  Câu 3: Chọn A Hàm số bậc bốn có dạng y = ax + bx + cx + dx + e ( a  ) Ta có: y = 4ax3 + 3bx + 2cx + d Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Từ đồ thị hình vẽ cho ta thấy: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị ( −1;0 ) , ( x0 ; y0 ) , ( 2;0 ) với  x0  1; y0  Ngoài đồ thị hàm số qua điểm ( −2;3) , ( 3;3)  y ( −1) = −4a + 3b − 2c + d =  a = 32a + 12b + 4c + d =  y ( ) = b = −2   y −1 =  ( ) a −b+c −d +e =     c = −3 Từ ta có:   y ( 2) = 16a + 8b + 4c + 2d + e = d =  y −2 = 16a − 8b + 4c − 2d + e =   ( )  e = 81a + 27b + 9c + 3d + e =  y ( 3) =  Suy bậc bốn y = f ( x ) = x − x − 3x + x + Ta có: f ( x ) = x − x3 − 3x + x + = ( x + 1) ( x − ) Từ ta có hàm − ) ( x − 3) ( x + 1) f ( f ( x ) − 1) (( x + 1) ( x − 2) ) (( x + 1) ( x − 2) − 3) 2 2 f − ) ( x − 3) ( x + 1) (( x + 1) ( x − 2) −1) 2 2 ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1) ( x + 1) ( x − ) ( ( x + 1) ( x − ) 4  y = g ( x) = −3 ) ( x + 1) ( x − ) 4 (x ( − x−2− Xét ( x + 1) ( x − ) x − x − − ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1) 4 ) (x Ta có: lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = x →−1 x →2 2 ) (x 2 − x−2+ − x−2+ ) Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 9+4 = x1 9+4 = x2 9−4 = x3 9−4 = x4 −256 ; lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = + ; lim g ( x ) = − ; x → x1 x → x2 x → x3 81 x → Chọn C )  x = −1 x =   x = 1+   =  x = 1−    1+ x =   1− x =  lim g ( x ) = − ; lim g ( x ) = x → x4 Câu 4: (x  y= 4  y= số ( x − ) ( x + ) ( x − 3)( x + 1) ( x − x + 1)  y= (x y= Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số  f ( x) = Xét phương trình f ( x ) − f ( x ) =    f ( x ) = Dựa vào đồ thị ta suy ra:  x = −2 Phương trình f ( x ) =   , với x = −2 nghiệm đơn x = nghiệm kép x = Suy ra: f ( x ) = a ( x + )( x − 1) , ( a  ) x =  Phương trình f ( x ) =   x = m ( −2  m  −1) , nghiệm nghiệm đơn x = n n  ( )  Suy f ( x ) − = ax ( x − m )( x − n ) , ( a  ) ( x − 1)( 3x + ) = ( x − 1)( 3x + ) f ( x )  f ( x ) − 2 3a ( x + )( x − 1)2 x ( x − m )( x − n ) ( 3x + ) = , ( a  0) 3a x ( x + )( x − 1)( x − m )( x − n ) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Cách 2: Chọn hàm số f ( x ) Ta có f ( x ) = ax + bx + cx + d Đồ thị hàm số qua điểm A ( −2;0 ) , B ( −1; ) , C ( 0; ) , D (1;0 ) Khi đó: g ( x ) = a = b =  suy  hay f ( x ) = x − 3x +  c = −3  d =  Khi đó: 3x − x − 3x − x − 3x2 − x − g ( x) = = = f ( x ) − f ( x ) f ( x ) ( f ( x ) − ) ( x3 − x + )( x − x ) = ( x − 1)( 3x + ) ( x + )( x − 1) x ( x − 3) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Câu 5: Chọn B  x  − Hàm số g ( x ) xác định   f ( x )  1  Ta có y = f ( x ) hàm bậc ba dựa vảo bảng biến thiên ta có y = a ( x − 1) y= a x − ax + b Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  a − +a+b =3 a =  y ( −1) =     y = x3 − 3x +  y = − a b =   ( )  − a + b = −1  + −3 + 2x + − 4x + x x x =0 lim g ( x ) = lim = lim x x →+ x →+ x →+ 1 x − 3x + − 1− + − x x x  y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số ( )( ) x2 − 8x + f ( x ) + 2x + − 4x + g ( x) = = f ( x) −1 f ( x) −1 2x + + 4x + ( = = = ( x − 1) ( f ( x ) + 1) ( f ( x ) − 1) ( f ( x ) + 1) ( x + + ( )( )( ( x − 1) ) 4x + ) ( f ( x ) + 1) ( x x + x − ( x + )( x − 1) x + + x + ( )( ( ) f ( x) +1 ) ( ) x x + x − ( x + 2) 2x + + 4x + ) )  x=0 (vì x  − x x + x − ( x + 2) 2x + + 4x +   x = ( )( ) ( )  lim+ g ( x ) = −  x →0  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g ( x ) = +  xlim − →0  lim+ g ( x ) = +  x→  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số  g x = − ( )  xlim  → 3− Vậy đồ thị hàm số có tiện cận ngang y = tiệm cận đứng y = Câu 6: Chọn C Điều kiện xác định hàm số g ( x ) x  | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số x =  Xét phương trình x  f ( x ) − f ( x )  =  x f ( x )  f ( x ) − 1 =   f ( x ) =  f x =1  ( ) Xét phương trình f ( x ) = có nghiệm kép x = nghiệm đơn x =  x = a,  a  Xét phương trình f ( x ) = có ba nghiệm đơn  x = b,  b  2, b  a Ta thấy  x = c, c  Nên khơng tính tổng qt, ta có + f ( x) =  + f ( x) =   lim f ( x ) = +  x→+  f ( x ) = −  xlim →− ( x − 1)( x − ) = ( x − a )( x − b )( x − c ) = Do đó: g ( x) = x − 3x + x − x − 3x + x − = x  f ( x ) − f ( x )  x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) Khi  lim+ g ( x )  x →0 +  không tồn giới hạn  x = không tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) lim g x ( )   x → 0− + lim+ g ( x ) = lim+ x →1 x →1 x − 3x + x − x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) = +  x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = −  x → 2+ ( ) x → 2+ x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →2− ( ) x →2− x x − x − 2 x − a x − b x − c = + ( )( )( )( )( )   x = tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = −  x→a+ ( ) x →a+ x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →a− ( ) x →a − x x − x − 2 x − a x − b x − c = + ( )( )( )( )( )   x = a tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x )  x − 3x + x − lim g x = lim = +  x →b + ( ) x →b + x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim  x →b− ( ) x →b− x x − x − 2 x − a x − b x − c = − ( )( )( )( )( )   x = b tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  x − 3x + x − g x = lim = + ( )  xlim →c + x →c + x x − x − ( )( ) ( x − a )( x − b )( x − c )  +  x − 3x + x −  lim g x = lim = − ( )  x →c − x →c − x x − x − x − a x − b x − c ( )( ) ( )( )( )   x = c tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) + lim g ( x ) = lim x → x → x − 3x + x − x ( x − 1)( x − ) ( x − a )( x − b )( x − c ) =0  y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số g ( x ) Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận Câu 7: Chọn D Ta có: (x )( ) ( x − )( x + ) x ( x + ) = ( x − )( x + ) x y= = 2  f ( x )  + f ( x ) −  f ( x )  + f ( x ) −  f ( x )  + f ( x ) − − x2 + 2x  x = m, m  −2  x=0   f ( x) =   x = n, n  Xét  f ( x )  + f ( x ) − =   f x = − ( )   x=2   x = −2 Dựa vào đồ thị ta thấy nghiệm x = 0; x = 2 nghiệm kép (nghiệm bội 2) Do đa thức  f ( x )  + f ( x ) − có bậc ( x − )( x + ) x y= 2 2 a x ( x + ) ( x − ) ( x − m )( x − n ) Suy = a x ( x − )( x − m )( x − n ) Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 0, x = 2, x = m, x = n Câu 8: Chọn A Xét hàm số f ( x ) = 3x + + ax + b có f  ( x ) = 3x + +a Để hàm số khơng có tiệm cận đứng: f ( x ) = ( x − ) g ( x )   3.5 + + a.5 + b = 5a + b = −4  f ( ) = b =         −3 +a=0  f  ( ) =  a = a =   3.5 +  −17 −3  −1   −3  −4814 Nên a + b =   +   = 152     Câu 9: Chọn B Ta có I =  e x− x2  dx +   x + x 1 3 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 2 x−  x − x2  x e d x I = e dx ; I =   x + = I + I , với  1  x  1 3 3  x − x2 .e dx  Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số    x − x2  x− x du =  +  e dx  Tính I1 =  e x dx Đặt u = e  x   dv = dx v = x  x− Ta có I1 = x.e x− x  −  x + x 1 25 −353  x − x2 .e dx = 3e − e − I  −353 Do I = I1 + I = 3e − e 25 Ta có a = 25; b = ; c = 53; d = Suy hàm số y = Khi đồ thị hàm số y = 25x + 53x + 25x + 25 có phương trình đường tiệm cận ngang y = 53x + 53 Câu 10: Chọn D Ta thấy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận ngang y = Để đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận phương trình f ( f ( x ) + 1) − m = có nghiệm phân biệt Đặt h ( x ) = f ( f ( x ) + 1) Khi đó, h ( x ) = f  ( x ) f  ( f ( x ) + 1)  f ( x) =  f ( x) =  x  1,2  f ( x) =    h ( x ) =     f ( x ) + =   f ( x ) =   x  x1 ; x2 ; x3   f  f ( x ) + =     f ( x ) + =  f ( x ) =  x  x4 ; x5 ; x6  ( (x )  x4   x5  x2   x3  x6 ) Ta có h ( x1 ) = h ( x2 ) = h ( x3 ) = f ( f ( x1 ) + 1) = ; ( ) ( ) ( ) h ( x4 ) = h ( x5 ) = h ( x6 ) = f f ( x4 ) + = −1 ; h ( 1) = f f ( 1) + = 14 ; h ( ) = f f ( ) + = −13 Bảng biến thiên: Căn vào bảng biến thiên để phương trình f ( f ( x ) + 1) − m = có ba nghiệm phân biệt thì:   m  14  − 13  m  −  Câu 11: Chọn B  x   x − + mx − 2m − lim x   Điều kiện xác định: Ta có x→+ 3x3 − 14 x2 + 20 x − = với m   x   Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 12 Phan Nhật Linh Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = Ta có y = f ( x) = x − + mx − m − ( x − ) ( 3x − ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 u cầu tốn trở thành, tìm m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 2 x = 3 Nếu x − + mx − m − nhận x = nghiệm m = − Khi 3 6x − − x −3 lim = lim = 2   32 x→ ( x − ) ( 3x − ) x→ 3 4( x − 2)  6x − + x    6x − − x −3 lim+ = lim+ = − x→2 ( x − ) ( 3x − ) x→2 ( x − )  x − + x    Suy x = đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số Nếu   6 x − + mx − 2m − = ( x − )  + m  nhận x = nghiệm kép m = −1  6x − +  Khi lim 2 x →   3 lim x→2 6x − − x − + ( x − ) ( 3x − ) 6x − − x − ( x − ) ( 3x − ) Suy x = 2 = lim x→2 = lim + 2 x →   3 ( 3x − ) ( ( 3x − ) ( −1 6x − + x + −1 6x − + x + ) =− ) = − 24 đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số  3 Vậy có hai giá trị m  −1; −  thỏa mãn toán 2  Câu 12: Chọn C Tập xác định: D = ( −1; + ) \0;1 Ta có : 3   − x −  ln ( x + 1)   = lim x→+ x −x 3  3  2  − x −  ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)    = lim  = 2−39 lim x x −x x −1 x→0+ x→0+ 3  3  2  − x −  ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)    = lim  = 2−39 lim x x −x x −1 x→0− x→0− 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số 3  − x2 ln ( x + 1)  − x −  ln ( x + 1)   = lim lim −x   + + x x→ −1 x→ −1 x2 − x  − x + 23 − x +      ( ) ( ( = ) ) − ln ( x + 1) = − lim   + x→ −1 x  − x2 + 23 − x2 +      ) ( 3   − x −  ln ( x + 1)   = lim lim x −x x→1+ x→1+ (1 − x2 ) ln ( x + 1)   2 − x  − x2 + 23 − x2 +  x ( )( )    − ln ( x + 1) = lim = ln  12 x→1+  3 x − x2 + − x2 +      ) ( 3   − x −  ln ( x + 1)  = ln Tương tự lim  12 − x − x x→1 Vậy đồ thị hàm số cho có tiệm cận y = x = −1 Câu 13: ChọnC Từ giả thiết, ta có f ( x ) = x − 3x + Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = g ( x ) (x = ) − x − x − x x − 17 x + 16 ( x − 3x + x − 3x ) x2 − x   x  −4   Điều kiện xác định:  x − 17 x + 16    −1  x  −   x  2  x − 3x + x − x   ( )    17 16   − x −  − x − + x  x x  lim g ( x ) = lim  = x →+  x→+   3   − x +   − x  x     Ta có:    1 17 16  − − − −   − +     x x  x x x   lim g ( x ) = lim = x →− x →−   3  −  − +   −   x x  x    đường thẳng y = lim− g ( x ) = lim− x →0 x →0 (x tiệm cận ngang ( C ) ) − x − − x x − 17 x + 16 ( )( ) x − 3x + − x ( x − ) = − Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 14 Phan Nhật Linh  đường thẳng x = tiệm cận đứng ( C ) lim − g ( x ) = ( x → 1− ) lim ( x → 1− (x ) ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 − x − x − x x − 17 x + 16 ( x − 3x2 + x − 3x − ) = −  đường thẳng x = − tiệm cận đứng ( C ) Vậy M = 2; m = nên M = m Câu 14: Chọn A Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = f ( x ) = Ta có ( x + − 1) ( ( ( 2x − 3) )( x + −1 x2 + 2x − 4x2 + x + + 2x )  x + = 1  x = −1 x+2 =1     x = −3 4x + x + + 2x =    x   x + x + = −2 x x + =  x = −4  ) Suy tập xác định hàm số y = f ( x ) là: D = ( −; −4 )   2; + ) lim − y = lim − +) x →( −4 ) x →( −4 ) ( x − ) ( −x + )( −x − ) ( x + x + − x ) = lim ( ) ( −x − 3) ( x + ) ( 2x − 3) −x + ( 4x + x + − 2x ) = lim = + ( ) ( x + 3) −x − Suy đường thẳng x = −4 tiệm cận đứng ( C ) ( 2x − 3) ( x + − 1) ( x2 + 2x − x2 + x + + x ) x → −4 − x → −4 −  3 −  1+ −  ( x − ) x + x − = lim  x  x x +) lim y = lim = x →+ x →+ ( x + 1) x2 + x + + x x→+  +   + + +   x   x x2   ) ( ( x − ) x + x − = lim ( x − ) lim y = lim ( −x − 3) ( 4x + x + + 2x ) +) x →− x →− x →−     − + + − 2   − + −   x x  x x    = + = lim ( x − )   x →−   4   − − +    x x        tiệm cận ngang ( C ) Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Suy đường thẳng y = Câu 15: Chọn C 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh x2 + 2x − ( 4x2 + x + − 2x ( − x − )( x + ) ) Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số 1 −2 + x −2 x+2 x x x =0 Gọi ( C ) đồ thị hàm số y = f ( x ) ; lim y = lim = lim 2 x →+ x →+ x →+ x ( x − 2)  2 1 − x    Suy ( C ) nhận đường thẳng y = đường tiệm cận ngang lim y = lim x →− x →− ( ) x+1 x + x + + x = lim x →− 4x + x + − 2x 1+ = lim x →− − 4+ x 1 + −2 x x2 =− Suy ( C ) nhận đường thẳng y = − tiệm cận ngang x4 − ( x + ) x2 − x + x3 + 2x2 + 4x + lim+ y = lim+ = lim = lim = + 2 x→2 x→2 x → 2+ x → 2+ x ( x − ) x2 + x + x( x − 2) x ( x − ) x2 + x + ( ( ) ) Suy ( C ) nhận đường thẳng x = tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Câu 16: Chọn C Ta có 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + = (1)  350 x2 + 245x + 315 35 + (14 x + 11) x + = 2  35   35  35 1225 315 35   14 x +  +  14 x +  x2 + + x2 + + x2 + 2x2 + + =0   16 8   ( )  35 35  315 35   14 x + + 2x2 +  + x2 + 2x2 + + = (2) 4 8   Nhận thấy phương trình (2) vơ nghiệm nên phương trình (1) vơ nghiệm Do 20 x + 14 x + − ( 14 x + 11) x = x4 − 56 x3 + 118 x − 5x − 40 ( 20x +1 = ) 2 = ( ( x − ) x − 12 x − y= ( x − ) ( x − 12 x + m )  y = f ( x) =  20 x ( x − ) ( x − 12 x − )  x2 − 12 x + m ) 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + Khi hàm số ) 20 x + 14 x + + ( 14 x + 11) x + 20 x2 + 14 x + + (14 x + 11) x2 + ( + 14 x + − ( 14 x + 11) x + 2 + 14 x + + (14 x + 11) x +    20 x2 + 14 x + + (14 x + 11) x2 +   ( x − ) x − 12 x −  ( ) Hàm số y = f ( x ) có TXĐ D =   14  \ 2;    Dễ thấy để đồ thị ( C ) hàm số y = f ( x ) có tiệm cận đứng phương trình x − 12 x + m = ( 1) phải có hai ba nghiệm 2;  14 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 =  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Do đó, (1) phải có hai nghiệm  14 , suy m = −5 Do S = −5 Vậy tổng giá trị S −5 Câu 17: Chọn C Đồ thị hàm số y = f ( x ) có hai đường tiệm cận ngang y = −5, y =  Đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có hai đường tiệm cận ngang y = −5 + m , y = + m Do đồ thị hàm số y = f ( x ) + m có đường tiệm cận ngang hai đường thẳng y = −5 + m , y = + m đối xứng qua trục Ox  −5 + m + + m =  m = Câu 18: Chọn D Trường hợp 1: lim f ( x ) = x →+  lim  x  x →+   b 1  lim x2  a + − − − +  x →+ x x x  Suy lim  x x →+   ( ) ax + bx − − x − x +  =   =   a − =  a = Thay lại ta ( ) x + bx − − x − x +  =  (  lim  x x + bx − − ( x − 1) + ( x − 1) − x − x + x →+     ( b + 12 ) x3 − 6x2  lim  x →+  x + bx − + ( x − 1) x + bx − + ( x − 1)2  ) ( ) = 45   + = 2 x − + x − x +  ( )  −3x   −3 −3 x = Do lim  lim f ( x ) = nên x →+  x →+  4  ( x − 1) + x − x +    lim  x →+   ( x + bx − ) ( b + 12 ) x + ( x − 1)    phải hữu han 3 x + bx − + ( x − 1)   − 6x2 Do ( b + 12 ) =  b = −12 thay lại ta   lim  x →+     −1 = 2 3 3 x − 12 x − + ( x − 1) x − 12 x − + ( x − 1)   Thay lai lim f ( x ) = − không thỏa mãn x →+ 5 Trường hợp 2: Xét lim f ( x ) =  lim  x ax + bx − − x − x +  =   x →− x →−   4 ( ) −6 x (  b 1  lim x2  a + − + − +  x →− x x x  17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh  =   ) Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số Suy a + =  a = −8 Thay lại ta lim  x  x →−  (  lim x  x →−     lim  x →−   ( ) −8 x + bx − − x − x +  =  ( 3 ) −8 x + bx2 − + ( x − 1) − ( x − 1) − x − x +  =  −8 x + bx − ) ( b − 12 ) x − ( x − 1) + 6x2 −8 x + bx − + ( x − 1)   − = ( 2x − 1) − x2 − x +   −3x   −3x  = − lim f ( x ) = Do lim  x →−  x →−  4  ( x − 1) − x − x +    nên lim  x →−   ( −8 x + bx − ) ( b − 12 ) x + ( x − 1)    hữu han −8 x + bx − + ( x − 1)   + 6x2 Do ( b − 12 ) =  b = 12 thay lại ta   lim  x →−     = 2 3 3 −8 x + 12 x − + ( x − 1) −8 x + 12 x − + ( x − 1)   Từ suy lim f ( x ) = thỏa mãn Vậy ta a + b =  ( 3; ) x →− ) ( 6x2 Câu 19: Chọn C  f ( x) =  x  Điều kiện:  Xét phương trình: f ( x ) − f ( x ) =    f ( x ) − f ( x )   f ( x ) =  x = −1 Từ đồ thị  phương trình f ( x ) =   x = x = −1 không tiệm cận đứng đk x  x = nghiệm kép tử số có nghiệm x =  x = đường tiệm cận đứng x = a  Từ đồ thị  phương trình f ( x ) =   x =  x = b (b  2) x = a không tiệm cận đứng (vì x  ) x = 1, x = b hai đường tiệm cận đứng Vậy tổng số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số g ( x ) Câu 20: Chọn C lim y = 0, lim y = nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 0, m x →− x →+ Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 18 Phan Nhật Linh Do đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  phương trình x − 2mx + = có hai nghiệm phân biệt khác  m  m −             m2  5 m   m      m  −2 Câu 21: Chọn B 1 − x x Ta có lim y = lim = x → x → 2m m − 2m − 1− + x x2 Nên đồ thị hàm số ln có đường tiệm cận ngang y = Do để đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận phương trình: x − 2mx + m − 2m − = có nghiệm kép có hai nghiệm phân biệt có nghiệm  m = −3  2m + =  m = −3  m  −       m = −1 Khi  2m +   m = −     m − 4m − =  m =      m = Vậy S = −3; − 1;5 Nên tập S có phần tử Câu 22: Chọn A  f ( x)   Điều kiện  f ( x )    x − 2mx + m +  Nếu f ( x )   x  −2 x = Nếu f ( x ) =   ( x = nghiệm kép)  x = −1  x = −2 Nếu f ( x ) =   ( x = nghiệm kép) x =  x −1 a ( x + 2) ( x + 1) a ( x + )( x − 1) Khi g ( x ) = = ( a  0) 2 a ( x − )( x + 1) ( x − 2mx + m + ) a ( x − )( x + 1) ( x − 2mx + m + ) Ta có lim g ( x ) = , nên hàm số có tiện cận ngang y = x →+ lim g ( x ) =  , nên hàm số có tiện cận đứng x = x→2 lim g ( x ) =  , nên hàm số có tiện cận đứng x = −1 x →−1 Để hàm số g ( x ) có đường tiệm cận (tiệm cận đứng tiệm cận ngang) Thì phương trình h ( x ) = x − 2mx + m + = có nghiệm phân biệt lớn −2 x  −1;1; 2 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Chủ đề 04: Tiệm cận đồ thị hàm số   m  −1  m − m −  m     5 m +  m−   −  m  −1   m  −2    m  −  m  m +      m3 m  −1 3 − m     6 − 3m  m  m  Do m có giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 )  '   ah( x ) h ( −2 )  S   −2  2  h ( −1)   h (1)   h ( )  Vậy có 2016 giá trị nguyên m thuộc khoảng ( −2019; 2020 ) 4;5;6 ; 2019 Câu 23: x   x   Điều kiện:  x −    f ( x ) + f ( x )   f x +3f x  ( )  ( ) x = ( L)  Ta có ( x − 3)  f ( x ) + f ( x )  =   f ( x ) = Dựa vào đồ thị ta có  f x = −3  ( )  x = x1  ( −1;0 )  f ( x) =   x = x2  ( 0;1) (loại x3  ), có tiệm cân đứng x = x1 , x = x2  x = x  2; + ( )   x = x4 , x4  f ( x) = −3   , có tiệm cận đứng x = x4 (L) x = Vậy đồ thị hàm số g ( x ) có đường tiệm cận đứng Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 20 ... 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 16 Phan Nhật Linh Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 =  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Do đó, (1) phải có hai nghiệm  14 , suy m = −5 Do S = −5... Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Đồ thị hàm số g ( x ) = A x ( x − 2) f ( x) − f ( x) có đường tiệm cận đứng? B C D Câu 20: Tìm tất giá trị thực tham số... f ( x ) hàm bậc ba dựa vảo bảng biến thi? ?n ta có y = a ( x − 1) y= a x − ax + b Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  a − +a+b =3 a =