Thông tin tài liệu
Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 CHỦ ĐỀ : KHỐI NĨN - TRỤ - CẦU LÍ THUYẾT ❖ MẶT NĨN TRỊN XOAY VÀ KHỐI NĨN Mặt nón trịn xoay ▪ Đường thẳng d , cắt O tạo thành góc với 00 900 Mặt phẳng ( P ) chứa d , ( P ) quay quanh trục với góc khơng đổi tạo thành mặt nón trịn xoay đỉnh O Trong đó: • gọi trục • d gọi đường sinh Góc gọi góc đỉnh • Khối nón ▪ ▪ ▪ Khối nón phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay, kể hình nón Đỉnh, mặt đáy, đường sinh hình nón đỉnh, mặt đáy, đường sinh khối nón tương ứng Cho hình nón có chiều cao h , đường sinh l bán kính đáy r Khi đó, ta có cơng thức sau: • Diện tích xung quanh hình nón: S xq = r.l • Diện tích đáy hình nón: S day = r • Diện tích tồn phần hình nón: Stp = S xq + S day = r.l + r • Thể tích khối nón: Vnon = r h | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay ❖ MẶT TRỤ TRÒN XOAY Mặt trụ ▪ Trong mặt phẳng ( P ) cho hai đường thẳng l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mặt phẳng ( P ) xung quanh đường thẳng đường thẳng l sinh mặt trịn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ Trong đó: • Đường thẳng gọi trục • Đường thẳng l gọi đường sinh • r bán kính mặt trụ Hình trụ trịn xoay khối trụ trịn xoay ▪ ▪ ▪ Khối trụ tròn xoay hay khối trụ phần khơng gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụ trịn xoay Mặt đáy, đường sinh, chiều cao, bán kính hình trụ mặt đáy, đuowngf sinh, chiều cao, bán kính khối trụ tương ứng Cho hình trụ có chiều cao h , đường sinh l , bán kính đáy r Khi ta có cơng thức sau: • Diện tích xung quanh: S xq = 2 r.l • Diện tích tồn phần: Stp = 2 r.l + 2 r • Thể tích khối trụ: V = r h Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ❖ MẶT CẦU VÀ KHỐI CẦU Mặt cầu ▪ Cho điểm I cố định số thực dương R Tập hợp tất điểm M không gian cách I khoảng R gọi mặt cầu tâm I , bán kính R Được kí hiệu là: S ( I ; R ) ▪ Khi S ( I ; R ) = M / IM = R Cơng thức tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu ▪ Cho mặt cầu ( S ) có tâm I , bán kính R Khi đó, ta có cơng thức sau: • Diện tích mặt cầu: S = 4 R Thể tích khối cầu: V = R3 3 Một số cơng thức tính đặc biệt khối trịn xoay ▪ Hình nêm loại • Thể tích : V = R tan ▪ Hình nêm loại 2 Thể tích: V = − R3 tan 3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối trịn xoay VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Một hình nón trịn xoay có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh a Tính diện tích Stp tồn phần hình nón đó: A Stp = C Stp = a2 a2 ( ( +8 ) B Stp = ) +1 D Stp = a2 a2 ( 2+4 ) Lời giải Chọn C Theo đề suy đường sinh l = a , đường trịn đáy có bán kính r = , diện tích đáy S = a2 Vậy Stp = a2 ( ) a a2 Khi S xq = 2 +1 VÍ DỤ 2: Một hình nón đỉnh S , đáy hình trịn tâm O SO = h Một mặt phẳng ( P ) qua đỉnh S cắt đường tròn ( O ) theo dây cung AB cho góc AOB = 90 , biết khoảng cách từ O đến ( P ) h Khi diện tích xung quanh hình nón A h 10 B h 10 3 C 2 h 10 D h 10 Lời giải Chọn A Gọi I trung điểm AB Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 1 1 h = + = − = OI = 2 OH SO OI OI h h h Tam giác OAB vuông cân O nên: AB = 2OI = 2h h , R = OA = OB = 3 h 6 h 15 Suy ra: SB = SO + OB = h + = 2 h h 15 h 10 Diện tích xung quanh hình nón: S xq = R.SB = = 3 VÍ DỤ 2: Hình nón ( N ) có đỉnh S , tâm đường trịn đáy O , góc đỉnh 120 Một mặt phẳng qua S cắt hình nón ( N ) theo thiết diện tam giác vuông SAB Biết khoảng cách hai đường thẳng AB SO Tính diện tích xung quanh S xq hình nón ( N ) A S xq = 27 3 B S xq = 18 3 C S xq = 3 D S xq = 36 3 Hướng dẫn giải Chọn B Theo ta có tam giác SAB vng S OH = ; BSO = 60 Gọi r bán kính đường trịn đáy hình nón đường sinh l = SB = Suy BH = r 2r l = sin 60 r AB = Xét tam giác OBH vng H , ta có + 6r = r2 r = 3 Diện tích xung quanh S xq hình nón ( N ) S xq = r.l = 3 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh = 18 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Câu 1: Câu 2: Các yếu tố liên quan đến khối nón, khối trụ Một hình nón trịn xoay có đường sinh 2a Thể tích lớn khối nón 16 a 16 a 4 a3 8 a3 A B C D 3 3 3 Cho đường tròn ( C ) có tâm I , bán kính R = a Gọi M điểm nằm ( C ) IM = a 3; A điểm thuộc ( C ) MA tiếp xúc với ( C ) ; H hình chiếu A đường thẳng IM Tính theo a thể tích V khối trịn xoay tạo hình tam giác MAH quay xung quanh trục IM A V = Câu 3: 3 a 12 B V = 3 a C V = 3 a 27 D V = a3 Hình bên bao gồm hình chữ nhật ABCD hình thang vuông CDMN Các điểm B , C , N thẳng hàng, AB = CN = 2dm ; BC = 4dm; MN = 3dm Quay hình bên xung quanh cạnh BN ta khối trịn xoay tích A 54 dm Câu 4: 86 dm C 86 dm D 54dm Biết thiết diện qua trục hình nón tam giác có diện tích a Tính thể tích khối nón cho A V = Câu 5: B a3 B V = a3 C V = a3 6 D V = a3 3 Cho hình trụ (T ) có chiều cao h = m , bán kính đáy r = 3m Giả sử ( L ) hình lăng trụ n cạnh có hai đáy đa giác nội tiếp đường tròn đáy hình trụ (T ) Khi n tăng lên vơ hạn tổng diện tích tất mặt của khối lăng trụ ( L ) có giới hạn là: A S = 12 Câu 6: B S = 20 C 30 D 12 Một khối nón làm chất liệu khơng thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơ khối lượng riêng nước, có đường kính đáy a chiều cao 12 , đặt đáy cốc hình trụ bán kính đáy a hình vẽ, cho đáy khối nón tiếp xúc với đáy cốc hình trụ Đổ nước vào cốc hình trụ đến mực nước đạt đến độ cao 12 lấy khối nón Hãy tính độ cao nước cốc sau lấy khối nón | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay C B 11 A 11,37 D 37 Câu 7: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình vng Biết diện tích xung quanh khối trụ 16 Thể tích V khối trụ A V = 32 B V = 64 C V = 8 D V = 16 Câu 8: Cho hình nón trịn xoay có độ dài đường sinh 2a , góc đỉnh hình nón 60 Thể tích V khối nón cho A V = Câu 9: a3 B V = 3a3 C V = a D V = 3a 3 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi N điểm thuộc cạnh AD cho AN = ND Đường thẳng qua N vng góc với BN cắt BC K Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay tứ giác ANKB quanh trục BK 14 A V = a3 B V = a3 C V = a3 D V = a3 14 Câu 10: Cho khối trụ có đáy đường trịn tâm ( O ) , ( O ) có bán kính R chiều cao h = R Gọi A , B điểm thuộc ( O ) ( O ) cho OA vng góc với OB Tỉ số thể tích khối tứ diện OOAB với thể tích khối trụ là: 1 A B C 3 3 6 D 4 Câu 11: Người ta cần đổ ống cống nước hình trụ với chiều cao 2m , độ dày thành ống 10cm Đường kính ống 50cm Tính lượng bê tơng cần dùng để làm ống nước đó? A 0,08 ( m3 ) B 0,18 (m3 ) C 0,5 (m3 ) D 0,045 (m3 ) Câu 12: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = , AD = nằm mặt phẳng ( P ) Quay ( P ) vòng quanh đường thẳng BD Khối trịn xoay tạo thành tích 28 28 56 56 A B C D 9 Câu 13: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính Trong tất khối trụ nội tiếp mặt cầu ( S ) , khối trụ tích lớn bao nhiêu? 3 A B 4 C 3 D 4 Câu 14: Cho hình thang ABCD có A = B = 90 , AB = BC = a , AD = a Tính thể tích khối trịn xoay sinh quay hình thang ABCD xung quanh trục CD 2 a 7 a 2 a 7 a A B C D 12 6 12 Câu 15: Cho hình thang ABCD vng A D có CD = AB = AD = Thể tích khối trịn xoay sinh hình thang ABCD quay xung quanh đường thẳng BC A 28 B 20 C 32 D 10 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 16: Một khối trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương cạnh a Tính thể tích V khối trụ cho 1 A V = a3 B V = a3 C V = a 3 D V = a3 Câu 17: Một khối trụ có hai đáy hai hình trịn nội tiếp hai mặt đối diện hình lập phương cạnh a Tính thể tích V khối trụ cho 1 A V = a3 B V = a3 C V = a 3 D V = a3 Câu 18: Cho tứ diện ABCD có DA vng góc với mp ( ABC ) , DB ⊥ BC , AD = AB = BC = a Kí hiệu V1 , V2 , V3 thể tích hình tròn xoay sinh tam giác ABD quay quanh AD , tam giác ABC quay quanh AB , tam giác DBC quay quanh BC Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A V1 + V2 = V3 B V1 + V3 = V2 C V2 + V3 = V1 D V1 = V2 = V3 Câu 19: Một đội xây dựng cần hồn thiện hệ thống cột trụ trịn cửa hàng kinh doanh gồm 10 Trước hoàn thiện cột khối bê tơng cốt thép hình lăng trụ lục giác có cạnh 20 cm , sau hoàn thiện cột khối trụ có đường kính đáy 42 cm Chiều cao cột trước sau hoàn thiện m Biết lượng xi măng cần dùng chiếm 80% lượng vữa bao xi măng 50 kg tương đương với 64000cm3 xi măng Hỏi cần bao xi măng loại 50 kg để hoàn thiện toàn hệ thống cột cho? A 25 B 18 C 28 D 22 Câu 20: Để định vị trụ điện, người ta cần đúc khối bê tơng có chiều cao h = 1,5m gồm: h; Phần có dạng hình nón bán kính đáy R bị cắt bỏ bớt phần hình nón có bán kính đáy R phía ; Phần rỗng có dạng hình trụ, bán kính đáy R Phần có dạng hình trụ bán kính đáy R = 1m có chiều cao Thể tích khối bê tông A 2,815 m B 2,814 m | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 3,403 m D 3,109 m Khối tròn xoay Câu 21: Cho khối trụ (T ) , AB CD hai đường kính mặt đáy khối (T ) Biết góc AB CD 30 , AB = 6cm thể tích khối ABCD 30cm Khi thể tích khối trụ (T ) A 90 cm B 30 cm C 45 cm D 90 3 cm 270 Câu 22: Cho hình nón đỉnh S có đáy đường trịn tâm O bán kính R Trên đường tròn ( O ) lấy hai điểm A , B cho tam giác OAB vuông Biết diện tích tam giác SAB R 2 Thể tích hình nón cho A R3 14 12 B R3 14 C R3 14 D R3 14 Câu 23: Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R , người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hoàn thiện? A 3 R3 B 3 R3 C 3 R3 D 3 R3 12 Câu 24: Một hình thang cân có chiều cao h độ dài hai đáy a , b Tính thể tích vật thể trịn xoay thu quay hình thang quanh đường trung trực hai đáy 1 A h a2 + ab + b2 B h a2 + ab + b2 C D Cả A, B, C sai h a2 + ab + b2 12 ( ) ( ( ) ) Câu 25: Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) , tứ giác ABCD hình thang vng với cạnh đáy AD , BC AD = 3CB = 3a , AB = a , SA = a Điểm I thỏa mãn AD = AI , M trung điểm SD , H giao điểm AM SI Gọi E , F hình chiếu A lên SB , SC Tính thể tích V khối nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng ( ABCD ) a3 a3 a3 A V = B V = C V = 5 5 D V = a3 10 Câu 26: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn ( O; R ) ( O; R ) AB dây cung đường tròn (O; R ) cho tam giác OAB tam giác mặt phẳng (OAB ) tạo với mặt phẳng chứa đường tròn ( O; R ) góc 60 Tính theo R thể tích V khối trụ cho Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh A V = Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 R3 3 5R B V = C V = 5R3 D V = 3 R3 Câu 27: Có miếng bìa hình chữ nhật ABCD với AB = AD = Trên cạnh AD lấy điểm E cho AE = , cạnh BC lấy điểm F trung điểm BC A E B D C F Cuốn miếng bìa lại cho cạnh AB DC trùng để tạo thành mặt xung quanh hình trụ Khi tính thể tích V tứ diện ABEF A V = π B V = 2π C V = 3π D V = 3π Câu 28: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh Tính diện tích xung quanh hình nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABCD chiều cao chiều cao hình chóp A Sxq = 9 B Sxq = 2 C Sxq = 9 D Sxq = 2 Câu 29: Một hình nón có chiều cao 2a , bán kính đáy a Một phẳng phẳng qua đỉnh tạo với mặt đáy góc 60 Tính diện tích thiết diện A 2a2 B 3a C 3a D 2a2 Câu 30: Cho hình trụ có tâm hai đáy O O ' ; bán kính đáy hình trụ a Trên hai đường tròn ( O ) ( O ' ) lấy hai điểm A B cho AB tạo với trục hình trụ góc 30 có khoảng cách tới trục hình trụ a Tính diện tích tồn phần hình trụ cho A 2 a2 ( ) +1 B a2 ( ) 3+2 C a2 ( ) 3+2 D 2 a2 ( ) 3+3 Câu 31: Cho hình nón đỉnh I , đường cao SO có độ dài đường sinh 3cm , góc đỉnh 60 Gọi K điểm thuộc đoạn SO thỏa mãn IO = IK , cắt hình nón mặt phẳng ( P) qua K vuông góc với IO , thiết diện tạo thành có diện tích S Tính S 2 (cm2 ) A S = (cm2 ) B S = cm2 C S = 3 (cm2 ) D S = 3 ( | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ) Phan Nhật Linh A Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 V1 = V2 B V1 =1 V2 C V1 =2 V2 D V1 =4 V2 Lời giải Chọn C Ban đầu bán kính đáy R , sau cắt tơn bán kính đáy R Đường cao khối trụ không đổi 2 V R R Ta có V1 = h R , V2 = 2.h = h Vậy tỉ số = V2 2 Câu 14: Cho hình nón đỉnh S có chiều cao h = a bán kính đáy r = 2a Mặt phẳng P qua S cắt đường tròn đáy A B cho AB = 3a Tính khoảng cách d từ tâm đường trịn đáy đến P A d = 3a B d = a C d = 5a Lời giải Chọn D SO = h = a; OA = OB = r = 2a; AB = 3a Dựng OH ⊥ AB HA = HB Mà AB ⊥ SO AB ⊥ ( SOH ) ( SAB ) ⊥ ( SOH ) Mà ( SAB ) ( SOH ) = SH Dựng OK ⊥ SH OK ⊥ ( SAB ) 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D d = 2a Khối tròn xoay d ( O; ( SAB ) ) = OK BHO ⊥ H: HO = OB − HB = 4a − 3a = a SHO ⊥ O: 1 1 a = + = + = OK = 2 OK SO OH a a a Câu 15: Ơng Bình làm lan can ban cơng ngơi nhà cường lực Tấm kính phần mặt xung quanh hình trụ hình bên Biết giá tiền m kính 1.500.000 đồng Hỏi số tiền (làm trịn đến hàng nghìn) mà ơng Bình mua kính bao nhiêu? A 23.591.000 đồng B 36.173.000 đồng C 9.437.000 đồng D 4.718.000 đồng Lời giải Chọn C Giả sử mặt đáy hình trụ đường trịn tâm I , bán kính R qua ba điểm A , B , C hình vẽ AC 4, 45 Khi R = = R = 4, 45 m sin ABC sin150 Thế nên IAC tam giác 89 Do độ dài dây cung AC l = R = R = 60 89 Tấm kính trải phẳng hình chữ nhật có chiều rộng 1,35 m chiều dài m 60 89 Thế nên số tiền ơng Bình mua kính 1500000.1,35 9.437.000 đồng 60 Câu 16: Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn có bán kính mm Giã định m3 gỗ có giá a , m3 than chì có giá 7a Khi giá nguyên vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 84,5.a B 9, 07.a C 8, 45.a D 90, 07.a Lời giải Chọn C Thể tích phần lõi than chì: V1 = 0, 0012.0, = 2 10−7 m3 Số tiền làm lõi than chì T1 = (2 10−7 )7 a.106 = 1, 4 a Thể tích phần thân gỗ bút (0, 003) V2 = .0, − 2 10−7 = 3.27.10−7 − 2 10−7 m3 Số tiền làm phần thân gỗ bút T2 = 27 3.10−7 − 2.10−7 a.106 = 2, − 0, a Vậy giá vật liệu làm bút chì là: T = T1 + T2 8, 45.a Câu 17: Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định 1m3 gỗ có giá a 1m3 than chì có giá 9a Khi giá ngun vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 97, 03a đồng B 10,33a đồng C 9,7a đồng D 103,3a đồng Lời giải Chọn C 3mm = 0,003m;200mm = 0, 2m;1mm = 0,001m Diện tích đáy phần than chì: S1 = r = 10−6 (m ) 32 27 − 10−6 = − 10−6 (m2 ) Diện tích đáy phần bút gỗ: S2 = 6SOAB − S1 = Thể tích than chì cần dùng: V1 = S1.h = r 0, = 0, 2 10−6 (m3 ) 27 − 0,2.10−6 (m3 ) Thể tích gỗ làm bút chì: V2 = S2 h = Tiền làm bút: 27 V1.9a + V2 a = ( 9V1 + V2 ) a = 9.0, 2 10 −6 + − 0, 2.10 −6 a = 9,7 a Câu 18: Một bút chì có dạng khối trụ lục giác có cạnh đáy ( mm ) chiều cao 200 ( mm ) Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính ( mm ) Giả định m3 gỗ có giá a triệu đồng, m3 than chì có giá 6a triệu đồng Khi giá ngun vật liệu làm bút chì gần với kết đây? A 84,5.a đồng B 78, 2.a đồng C 8, 45.a đồng D 7,82.a đồng 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay Lời giải Chọn D a đồng 1000 m3 gỗ có giá a triệu đồng suy mm3 gỗ có giá m3 than chì có giá 6a triệu đồng suy mm3 than chì có giá 6a đồng 1000 Phần chì bút tích V1 = 200. 12 = 200 ( mm3 ) Phần gỗ của bút chì tích V2 = 200.6 Số tiền làm bút chì 32 − 200 = 2700 − 200 ( mm3 ) 6a.V1 + a.V2 7,82a đồng 1000 Câu 19: Một bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút chì làm gỗ phần lõi làm than chì Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính đáy mm Giả định m3 gỗ có giá a , m3 than chì có giá 8a Khi giá ngun liệu làm bút chì gần với kết đây? A 9, 7.a B 97, 03.a C 90, 7.a D 9, 07.a Lời giải Chọn D 3 Diện tích khối lăng trụ lục giác S = 3.10−3 ( m ) ( ) 3 −3 −7 Thể tích bút chì là: V = S h = 3.10−3 200.10 = 27 3.10 ( m ) ( ) Thể tích phần lõi bút chì V1 = r h = (10−3 ) 200.10−3 = 2 10−7 ( m3 ) ( ) Suy thể tích phần thân bút chì V2 = V − V1 = 27 − 2 10−7 ( m3 ) Giá nguyên liệu làm bút chì là: Tư tốn học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh ( ) Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 ( ) V2 a.10 + V1.8a.10 = 27 − 2 10 a.10 + 2 10 8a.106 = 2, + 1, 4 a 6 −7 −7 9, 07a Câu 20: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy 30 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC A 43 a B 19 a C 19 a D 13 a Lời giải Chọn B Gọi M trung điểm BC , ta có góc SMA góc ( SBC ) ( ABC ) SMA = 30 Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có: AM = 2a 2a =a = a , AG = AM = , SA = AM tan 30 = a 3 3 Qua G kẻ đường thẳng d vng góc với ( ABC ) d / / SA ( P ) ⊥ SA Gọi E trung điểm SA , qua E kẻ mặt phẳng ( P ) cho: ( P ) d = I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC khối cầu có bán kính là: a 4a a 57 SA R = IA = IG + AG = + AG = + = 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: S = 4 R = 19 a Câu 21: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 2a SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy 60o Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay 43 a A B 19 a C 43 a D 21 a Lời giải Chọn A AI ⊥ BC + = 60o góc mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) Lấy I trung điểm BC SI ⊥ BC = ( SI , AI ) = SIA = 60o + AI = 2a = a SA = AI = 3a + Gọi G trọng tâm tam giác ABC Qua G kẻ đường thẳng ⊥ ( ABC ) // SA Trong mp ( SA, ) : Đường trung trực SA cắt O Mặt cầu S ( O; OA) ngoại tiếp S ABC Gọi K trung điểm AS Ta có AK = R= 3a 2a AS = ; AG = AI = 2 3 AK + AG = 9a 4a 43 + =a 12 + Diện tích mặt cầu S ( O; OA ) là: S = 4 R = 4 a 43 43 a = 12 Câu 22: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a , SA vng góc với đáy, góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy 300 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng: A 52 a B 172 a C 76 a D 76 a Lời giải Chọn D Gọi N trung điểm BC , O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng qua O , ⊥ ( ABC ) trục đường tròn ngoại tiếp ABC , SA đồng phẳng Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Trong mặt phẳng ( SAN ) dựng đường trung trực d cạnh bên SA Gọi I = d , suy IA = IB = IC = IS , suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R = IA BC ⊥ AN BC ⊥ ( SAN ) BC ⊥ SN Ta có: BC ⊥ SA Suy ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = ( AN , SN ) = SNA = 30 Mặt khác: AN = AB 4a 3a = = 2a , AO = AN = 2 3 Vì SA ⊥ ( ABC ) SA ⊥ AN SAN vng A Ta có tan SNA = SA SA SA = AN tan 30 = 2a =a = 2a , suy MA = IO = AN 3a 57 a Xét tam giác IOA vuông O : R = IA = IO + AO = a + = 2 2 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC S( S ABC ) 57 a 76 a = 4 R = 4 = Câu 23: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh 4a , SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( SBC ) mặt phẳng đáy 60 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 172 a A 76 a B C 84 a 172 a D Lời giải Chọn A Gọi O tâm tam giác ABC , M N trung điểm BC SA , R, S bán kính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC 19 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay Dựng trục d tam giác ABC , d qua O d // SA Trong mặt phẳng ( SA, d ) dựng đường thẳng qua N song song với AO cắt d I Khi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R = AI ABC Do SA ⊥ ( ABC ) nên BC ⊥ AM BC ⊥ ( SAM ) ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA = 60 BC ⊥ SA 4a AO = AM = 3 AM = 4a = 2a 1 AN = SA = AM tan 60 = 3a 2 16a 43 =a ANIO hình chữ nhật AI = AN + AO = 9a + 3 Vậy S = 4 R = 2 172 a Câu 24: Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vng C , AB vng góc với mặt phẳng ( BCD ) , AB = 5a , BC = 3a CD = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A R = 5a B R = 5a C R = 5a D R = 5a Lời giải Chọn C Tam giác BCD vuông C nên BD = 5a Tam giác ABD vuông B nên AD = 5a Ta có: B C nhìn AD góc vng nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD trung điểm I AD Bán kính mặt cấu là: R = AD 5a = 2 Câu 25: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a, cạnh bên 5a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD A R = 3a B R = 2a C R = 25a D R = 2a Lời giải Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD , G trung điểm SD , GI ⊥ SD, I SO Ta có cạnh đáy 2a nên BD = 2a = 6a , OD = 3a Xét SOD vng O ta có: SO = SD − OD = 4a Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 20 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 SO SD 25a Ta có SOD SGI , suy = 4a.R = ( 5a ) R = SG SI Câu 26: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho A V = 15 18 B V = 15 54 C V = 3 27 D V = 5 Lời giải Chọn B Gọi H trung điểm AB Vì SAB nên SH ⊥ AB Mà ( SAB ) ⊥ ( ABC ) SH ⊥ ( ABC ) SH đường cao hình chóp S ABC Gọi G trọng tâm ABC G tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua G kẻ đường thẳng d song song với SH d ⊥ ( ABC ) Gọi K trung điểm SC , SHC vuông cân H ( SH = HC ) HK đường trung trực ứng với SC IA = IB = IC IA = IB = IC = IS Gọi I = d HK ta có IS = IC I tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Xét hai tam giác ABC = SAB có độ dài cạnh G trọng tâm ABC CG = CH = 3 Xét HIG vng G ta có IG = HG = 15 IC = 6 4 15 5 15 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V = IC = = 3 54 Cách 2: Rb , Rd bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB ABC Rb = Rd = 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp S ABC R = Rb + Rd − 21 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh GT 15 R= 3 Khối trịn xoay 5 15 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp V = R3 = 54 TS SH Câu 27: nên = AS SK Suy TS = AS SH 2a 2.a 4a = = SK a Câu 28: Cho hình nón N có đỉnh S , bán kính đáy a độ dài đường sinh 4a Gọi T mặt cầu qua S đường tròn đáy N Bán kính T A 6a 16 15 a 15 B C 15 a 15 D 15 a Lời giải Chọn C Cách Đặt IA x R Mặt khác R IS a2 IB SA IA Từ ta có phương trình: Bán kính T R a2 x2 16a a2 x2 a 15 a 15 x x a 15 x a2 x x2 15a 2a 15 x x2 x 7a 15 a 15 15 Cách 2: ( Thầy Quang Nam ) Xét SAO vuông O: SO = SA2 − AO = 16a − a = a 15 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 22 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 SO a 15 15 Gọi R bán kính mặt cầu T R bán kính đường trịn = = SA 4a ngoại tiếp SAB Áp dụng định lí hàm số sin tam giác SAB : sin SAO = SB R= 2sin SAO = 4a 15 = a 15 15 Câu 29: Cho hình nón ( N ) có đỉnh S , bán kính đáy 3a độ dài đường sinh 4a Gọi (T ) mặt cầu qua S đường tròn đáy ( N ) Bán kính (T ) A 10 a B 16 13 a 13 C 13 a 13 D 13a Lời giải Chọn C Xét tam giác SHB ta có: SH = SB − BH = a 13 Kẻ OK ⊥ SB Do SOB cân O suy K trung điểm SB SHB SKO SO SK SK SB 2a.4a 13 = SO = = = a SB SH SH 13 13a Câu 30: Cho hình nón ( N ) có đỉnh S Bán kính đáy 2a độ dài đường sinh 4a Gọi (T ) mặt cầu qua S đường tròn đáy ( N ) Bán kính (T ) A 2a B 14a C Lời giải Chọn D 23 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh 14a D 14a Khối trịn xoay Hình nón ( N ) đỉnh S có bán kính đáy OA = 2a , độ dài đường sinh SA = 4a Gọi H trung điểm SA , từ H dựng mặt phẳng trung trực SA cắt đường SO I Điểm I tâm mặt cầu (T ) qua S đường tròn đáy ( N ) Xét hai tam giác SHI SOA có đỉnh S chung SHI = SOA = 90 SHI ∽ SOA SA SA2 SI SH SI = = Suy = = SA SO SA2 − OA2 SA2 − OA2 SA Vậy bán kính mặt cầu (T ) SI = ( 4a ) ( 4a ) − ( 2a ) = 14a 14a Câu 31: Cho mặt cầu ( S ) tâm O , bán kính R = Mặt phẳng ( P ) cách O khoảng cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn ( C ) có tâm H Gọi T giao điểm tia HO với ( S ) , tính thể tích V khối nón có đỉnh T đáy hình trịn ( C ) A V = 32 B V = 16 C V = 16 D V = 32 Lời giải Chọn A T O R=3 H (C) Gọi r bán kính đường trịn ( C ) r bán kính đáy hình nón Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 24 Phan Nhật Linh Ta có: r = R − OH = HT = HO + OT = + = = h chiều cao hình nón 1 32 Suy ra: Vno´n = HT S(C ) = 4. = 3 Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 32: Cho mặt cầu ( S ) có bán kính , hình trụ ( H ) có chiều cao hai đường tròn đáy nằm ( S ) Gọi V1 thể tích khối trụ ( H ) V2 thể tích khối cầu ( S ) Tính tỉ số V1 V2 A V1 = V2 16 B V1 = V2 C V1 = V2 16 D V1 = V2 Lời giải Chọn A Ta có r = 42 − 22 = Thể tích khối trụ ( H ) V1 = r h = 12.4 = 48 4 256 V Thể tích khối cầu ( S ) V2 = R3 = 43 = Vậy = 3 V2 16 Câu 33: Trong tất hình chóp tứ giác nội tiếp mặt cầu có bán kính 9, tính thể tích V khối chóp tích lớn A V = 144 B V = 576 C V = 576 Lời giải D V = 144 Chọn B Gọi độ dài cạnh đáy, chiều cao hình chóp tứ giác x; h ( x, h 0) Ta có đáy hình vng với độ dài nửa đường chéo x x2 suy độ dài cạnh bên l = h + 2 x2 = x = 36h − 2h 2h h2 + l = 2h 1 Diện tích đáy hình chóp S = x nên V = h.x = h ( 36h − 2h ) 3 Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R = 1 h + h + 36 − 2h Ta có h ( 36h − 2h ) = h.h ( 36 − 2h ) = 576 V 576 , dấu xảy 3 3 h = h = 36 − 2h h = 12, x = 12 Vmax = 576 25 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Khối tròn xoay Câu 34: Cho mặt cầu tâm O bán kính R Xét mặt phẳng ( P ) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến đường trịn ( C ) Hình nón ( N ) có đỉnh S nằm mặt cầu, có đáy đường trịn ( C ) có chiều cao h ( h R ) Tính h để thể tích khối nón tạo nên ( N ) có giá trị lớn A h = 3R C h = B h = R 4R D h = 3R Lời giải Chọn C Cách 1: Gọi I tâm mặt cầu H , r tâm bán kính ( C ) Ta có IH = h − R r = R − IH = R − ( h − R ) = Rh − h Thể tích khối nón V = h r = h ( Rh − h ) 3 4R h + h + R − 2h R Ta có h h ( R − 2h ) = h ( 2R − h ) 2 4R Do V lớn h = R − 2h h = Cách 2: Gọi I tâm mặt cầu H , r tâm bán kính ( C ) 3 Ta có IH = h − R r = R − IH = R − ( h − R ) = Rh − h Thể tích khối nón V = h r = h ( Rh − h ) = ( 2h R − h3 ) 3 3 Xét hàm f ( h ) = −h + 2h R, h ( R, R ) , có f ( h ) = −3h + 4hR f ( h ) = −3h + 4hR = h = h = 4R Bảng biến thiên Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 26 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 32 4R Vậy thể tích khối nón tạo nên ( N ) có giá trị lớn R , h = 27 32 32 4R V = R = R3 h = 27 81 max f ( h ) = 27 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ... thể tích khối trịn xoay 86 V = Vtruï + Vnon cut = 4 + 4 + 9 + 4 9 = dm 3 ( ) ( ) Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 4: Chọn D Gọi... A O B A m Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 22 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi S diện tích thi? ??t diện, S diện tích hình chiếu thi? ??t diện lên mặt phẳng đáy Khi S... nước khối đồ chơi Suy thể tích khối nón khơng chứa nước: Vnon = r2 h2 Đặt: h2 r2 = = k h2 = k.h , r2 = k.r h r ( ) 1 1 Vnuoc = V − Vnon = r h − r2 h2 = r h − ( k.r ) k.h = r h −
Ngày đăng: 13/10/2022, 08:23
Xem thêm:
