chu de so phuc on thi tot nghiep thpt mon toan

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 DẠNG Xác định yếu tố bản, biểu diễn hình học số phức Phần thực, phần ảo số phức, số phức liên hợp • ( ) Số phức có dạng z = a + bi a, b  R, i = −1 Phần thực z a , phần ảo z b i gọi đơn vị ảo • Số phức liên hợp z z = a + bi = a − bi  z z = a + b  z1 • Lưu ý: i n z2  Tổng tích z z số thực z1 1; i n  z1 z2 z2 i; i n 1; i n  z1 z2 i ; với n z1 z2 z1 z2 N Hai số phức • Cho hai số phức z1 = a1 + b1i , z2 = a2 + b2 i ( a1 , a2 , b2 , b2  R ) Khi đó: a1 = a2 z1 = z2   b1 = b2 Biểu diễn hình học số phức, mơđun số phức • Biễu diễn hình học số phức ▪ • Số phức z = a + bi ( a, b  R ) biểu diễn điểm M ( a; b ) mặt phẳng tọa độ ▪ z z biểu diễn hai điểm đối xứng qua trục Ox Mô đun số phức ▪ 2 Mô đun số phức z z = OM = a + b ▪ Ta có : z = z.z ; z = z | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức I PHẦN ĐỀ BÀI Câu 1: Câu 2: Cho số phức z = − 2i Tìm phần ảo số phức z A B −2 C −1 Tìm số thực x, y thỏa mãn ( − 2i )( x − yi ) − (1 − i ) = ( + i )( x + yi ) A x = 3, y = −1 Câu 3: Cho hai số phức B x = −3, y = −1 Câu 9: ) B z = D w = 53 C z = D z = 10 B ( −2; −2 ) C ( 2; ) D ( −2; ) B z = 17 C z = 29 D z = Tìm tất số thực x, y để hai số phức z1 = y − − 10 xi , z2 = y + 20i11 hai số phức liên hợp x = A   y = 2 Câu 8: ( C w = 19 Tìm mơ đun số phức z , biết z − ( + 3i ) z = −17 + 9i A z = 26 Câu 7: B w = Cho số phức z thỏa mãn z + z = + 2i Điểm biểu diễn số phức z có tọa độ A ( 2; −2 ) Câu 6: D x = 3, y = Cho số phức z thỏa mãn z = i z + Tính z A z = Câu 5: C x = −1, y = w = z12 − z2 z1 = + i z2 = − 3i , Tính mơ-đun số phức A w = Câu 4: D  x = 2 B  y =  x = −2 C   y = 2  z −1  z −i =1  Biết số phức z thỏa mãn  Số phức z bằng: z − i  =1  z + i A z = + i B z = − i C z = −1 − i  x = −2 D  y = D z = −1 + i Tính mơđun số phức z , biết: (1 − 2i ) z + − i = −12i A Câu 10: Nếu z = a + bi ( a, b  A a + b = B ) có số phức nghịch đảo z −1 = B a + b = Câu 11: Cho số phức z = a + bi với a , b  A −1 C B D 2 a − bi C a + b = thỏa mãn z − + i = z i Giá trị a + b − i 15 B + i 15 D 12 C Câu 12: Cho i đơn vị ảo Nghiệm phương trình 3z + i − = A D a + b = 16 C − i+2 i−2 2 − i 15 D − + i 15 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 13: Có số phức z thỏa mãn z − 2018 z = 2019 z ? 2 A Vô số B D C Câu 14: Có số phức z thỏa mãn z − 2018 z = 2019 z ? A Vô số B D C Câu 15: Cho hai số phức z = − 4i z  = ( + m ) + mi ( m  ) thỏa mãn z  = iz Tổng tất giá trị m A −1 B 46 C D −2 Câu 16: Có số phức z thỏa mãn đồng thời điều kiện: z = z + = A C B Câu 17: Cho số phức z = a + bi ( a, b  P = (a + i) 2019 + (b − i ) 2019 A −21010 ) D thỏa mãn z + 2iz = + 3i Tính giá trị biểu thức: B −21009 C −21011 D −21008 Câu 18: Có số phức z thỏa mãn z + i + = z − 2i z = A B C D Câu 19: Tìm hai số thực x y thỏa mãn ( 3x + yi ) + ( − i ) = x − 3i với i đơn vị ảo B x = ; y = −1 A x = 3; y = −1 C x = 3; y = −3 D x = −3; y = −1 C D C số D số ảo khác Câu 20: Có số phức z thỏa mãn z + z = A B Câu 21: Với số ảo z , số z + z A số thực dương B số thực âm Câu 22: Cho số phức z = 10 − 2i Phần thực phần ảo số phức z là: A Phần thực −10 phần ảo −2i B Phần thực −10 phần ảo −2 C Phần thực 10 phần ảo D Phần thực 10 phần ảo 2i Câu 23: Cho số phức z = ( − 3i )( − i ) Tìm tọa độ điểm biểu diễn số phức + 2i z mặt phẳng Oxy A (1; ) B ( −1; ) C ( −1; − ) D (1; − ) Câu 24: Cho số phức z có phần thực số nguyên z thỏa mãn z − z = −7 + 3i + z Tính mơ-đun số phức  = − z + z A  = 37 Câu 25: Cho số phức z = a + bi B  = 457 ( a, b  ) | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C  = 425 D  = 445 thỏa mãn z + 3iz = − z Tính S = ab Số phức A S = B S = − C S = D S = − Câu 26: Cho số phức z = a + bi ( a, b  , a  ) thỏa z.z − 12 z + ( z − z ) = 13 + 10i Tính S = a + b A S = B S = 17 C S = −17 D S = Câu 27: Có số phức z thỏa mãn z = z + z + z − − i = z − + 3i ? A C B D Câu 28: Cho hai số phức z w khác thoả mãn z + 3w = w z − 2wi = z − 2w − 2wi Phần thực số phức z w A B −3 C −1 D Câu 29: Cho số phức z thoả mãn z + = z − i Tính mơđun số phức z + + i A B Câu 30: Số phức z = a + bi , a, b  C nghiệm phương trình D ( z − 1) (1 + iz ) = i Tổng T = a z− z + b2 A B − C + 2 D Câu 31: Gọi S tập hợp tất số nguyên m cho tồn số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời phương trình z − = z − i z + 2m = m + Tổng tất phần tử S A B C D Câu 32: Gọi S tập hợp tất số m cho tồn số phức z thỏa mãn đồng thời phương trình z + + i = z + A z − + 2i = m − 5m + Tích tất phần tử S B C D Câu 33: Gọi S tập hợp tất số nguyên m cho tồn số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn đồng thời phương trình ( + 4i ) z + 25 = 20 z + m + 2i = Số phần tử S A B C D Câu 34: Trên mặt phẳng phức, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + ( − 3i ) = đường trịn có phương trình sau đây? 2 A x + y − x − y + = C x + y − x − y + 11 = 2 B x + y − x + y + 11 = D x + y + x − y + = Câu 35: Tìm số phức z biết điểm biểu diễn z nằm đường trịn có tâm O, bán kính nằm đường thẳng d : x − y + = A z = − 4i B z = + 4i C z = + 3i D z = − 3i Câu 36: Cho số thực x, y thỏa mãn ( x + yi ) + ( − 2i )( x + y ) = 1, với i đơn vị ảo A x = 1, y = −2 B x = 2, y = −1 C x = −1, y = D x = −2, y = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Câu 37: Cho số phức z = m + + ( m − m − ) i với m  Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Gọi ( P ) tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Diện tích hình phẳng giới hạn ( P ) trục hoành A 125 B 17 C D 55 Câu 38: Cho số phức z thỏa mãn z + = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức ( ) w = + i z + i đường tròn Bán kính r đường trịn A B 36 C D Câu 39: Gọi z1 , z hai số phức thỏa mãn z − + 2i = z1 − z2 = Tìm mô đun số phức w = z1 + z2 − + 4i A w = B w = 10 C w = 16 D w = 13 Câu 40: Cho số phức z thoả mãn z −  z − z có phần ảo khơng âm Tập hợp điểm biểu diễn số phức z miền phẳng Tính diện tích S miền phẳng A S =  B S = 2 C S =  D S = Câu 41: Cho số phức z = m + (m3 − m)i, với m tham số thực thay đổi Tập hơp tất điểm biểu diễn số phức z đường cong (C ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C ) trục hoành A B C D Câu 42: Phần gạch hình vẽ hình biểu diễn tập số phức thỏa mãn điều kiện sau đây? A  z  B  z + + 4i  C  z − − 4i  D  z − − 4i  16 z+2 số ảo Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z +i z đường trịn, tâm I đường trịn có tọa độ 1  3  1  A I 1;  B I  −1; −  C I ( 2;1) D I  ;1 2  2 2   Câu 43: Xét số phức z thỏa mãn | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức Câu 44: Gọi z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn z − + 5i = z1 − z2 = Tìm mơđun số phức  = z1 + z2 − + 10i A  = 10 B  = 32 ( C  = 16 D  = ) Câu 45: Xét số phức z thỏa mãn ( z + 2i ) z + số ảo Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + i ) z + 2019 − 2019i đường trịn, bán kính đường trịn A B C 2019 D Câu 46: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy gọi hình ( H ) tập hợp điểm biểu diễn số phức | z + − i | Tính diện tích ( S ) hình phẳng ( H ) z thỏa mãn điều kiện  x + y +1  1 A S = 4 B S =  C S =  D S = 2 Câu 47: Cho số phức z thỏa mãn: z + − i = Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) biểu diễn số phức  = + z A Đường trịn tâm I ( −2;1) bán kính R = B Đường tròn tâm I ( 2; − 1) bán kính R = C Đường trịn tâm I ( −1; − 1) bán kính R = D Đường tròn tâm I ( −1; − 1) bán kính R = Câu 48: Cho z1 , z2 hai số phức thỏa mãn điều kiện | z − − 3i |= đồng thời | z1 − z2 |= Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường trịn có phương trình A ( x − 10) + ( y − 6) = 36 B ( x − 10) + ( y − 6) = 16 C ( x − ) + ( y − ) = 2 D ( x − )2 + ( y − ) = 2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 II PHẦN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Chọn A Ta có z = − 2i  z = + 2i Vậy z có phần ảo b = Câu 2: Chọn A Có: ( − 2i )( x − yi ) − (1 − i ) = ( + i )( x + yi )  3x − y − + ( −2 x − y + ) i = x − y + ( x + y ) i 3x − y − = x − y x − y = x = Vậy khẳng định A    −2 x − y + = x + y −3x − y = −4  y = −1 Câu 3: Chọn D Ta có: w = z12 − z2 = ( + i ) − (1 − 3i ) = + 7i  w = 22 + = 53 Câu 4: Chọn C Đặt z = a + bi ( a; b  ) , suy (  2a = b a = ( a + bi ) = i ( a − bi + 3)  2a + 2bi = b + ( a + 3) i    2b = a + b = Vậy z = + 2i , suy z = 12 + 22 = Câu 5: Chọn A Gọi số phức z = x + yi với x, y  Theo ta có x =  y = −2 ( x + yi ) + ( x − yi ) = + 2i  3x − yi = + 2i   Vậy điểm biểu diễn số phức z có tọa độ ( 2; −2 ) Câu 6: Chọn C Gọi z = a + bi, ( a, b  ) Suy z = a − bi Ta có z − ( + 3i ) z = −17 + 9i  ( a + bi ) − ( + 3i )( a − bi ) = −17 + 9i −a − 3b = −17 a =  a + bi − 2a + 2bi − 3ai − 3b = −17 + 9i    −3a + 3b = b = Suy z = + 5i Do z = 29 Câu 7: Chọn C Ta có: z1 = z2  y − − 10 xi = y − 20i11  y − − 10 xi = y + 20 i 9 y − = y  x = −2  x = −2   Vậy:   y = 2  y = 2 −10 x = 20 Câu 8: Chọn B Giả sử z = a + bi, a, b  , i = −1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ) z = a − bi Thay vào đẳng thức z = i z + ta có: Số phức Ta       có: z −1 =1 z −i  ( a − 1)2 + b = a + ( b − 1)2  z − = z − i −2a + 2b =     a = b =1  2 2 b − = z − 3i  z − 3i = z + i a + b − = a + b +  ( ) ( )  =1 z +i Do z = + i  z = − i Câu 9: Chọn A Ta (1 − 2i ) z + − i = −12i  z = có: −2 − 11i ( −2 − 11i )(1 + 2i ) = = − 3i − 2i 12 + ( −2 )  z = 32 + ( −4 ) = Câu 10: Chọn B Ta có: z −1 = a − bi a − bi a − bi  ( a + bi )( a − bi ) =  a + b =  =  = z a + bi Câu 11: Chọn B Ta có: z − + i = z i  a + bi − + i = a + b i  a − + ( b + 1) i = ( ) a + b2 i  a =  a −3= Vậy a + b = + =    2 b =  b + = a + b Câu 12: Chọn A ( i + )( −i − ) i+2  3z + i − = i−2 −3 − 4i − 9i  3z = − i +  3z =  z = − i 5 15 Câu 13: Chọn B Đặt z = a + bi ( a, b  ) Ta có: 3z + i − = a − b − 2018a = 2019 ( a + b ) (1) Ta có z − 2018 z = 2019 z   (2) 2ab − 2018b = 2 b = Từ (2) ta   a = 1009 a = Thay b = vào (1) ta −2018a = 2018a    a = −1 Do trường hợp ta có số phức thỏa yêu cầu z = 0; z = −1 Thay a = 1009 vào (1) ta −2018.1009.1010 = 2020b vô nghiệm b  Vậy có số phức z thỏa mãn Câu 14: Chọn B Đặt z = a + bi ( a, b  ) 2 2 a − b − 2018a = 2019 ( a + b ) (1) Ta có z − 2018 z = 2019 z   (2) 2ab − 2018b = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 b = Từ (2) ta   a = 1009 a = Thay b = vào (1) ta −2018a = 2018a    a = −1 Do trường hợp ta có số phức thỏa yêu cầu z = 0; z = −1 Thay a = 1009 vào (1) ta −2018.1009.1010 = 2020b vô nghiệm b  Vậy có số phức z thỏa mãn Câu 15: Chọn D  −2 + 46 m=  2 Ta có: z  = iz = i z  ( + m ) + m =  2m + 4m − 21 =    −2 − 46 m =  Tổng tất giá trị m −2 Câu 16: Chọn D Gọi số phức z = a + bi ( a , b  Từ giả thiết, ta suy ra: ) Ta có z + = a − b + + 2abi a + b = a + b =  2  2 2 2 ( a − b + ) + 4a b = 12 ( a + b ) + 8a − 8b = −4  13 ;b = a = 4   13  ;b = − a = a = 16 a + b = 4     8a − 8b = −5 13 b = 13 ;b = a = −  16 4   13 ;b = − a = −  4 Vậy có số phức z thỏa mãn tốn Câu 17: Chọn A Ta có: z + 2iz = + 3i  a + bi + 2i ( a − bi ) = + 3i  a + 2b + ( 2a + b ) i = + 3i a + 2b = a =   2a + b = b = P = (a + i) 2019 = (1 + i )( 2i ) + (b − i ) 1009 2019 = (1 + i ) + (1 − i )( −2i ) 1009 2019 + (1 − i ) Câu 18: Chọn B )  z = a − bi Ta có: | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh = (1 + i ) (1 + i )    = 21009 (1 + i ) i − 21009 (1 − i ) i = 21009 ( i + i − i + i ) = 21009 ( −2 ) = −21010 Gọi z = a + bi ( a, b  2019 1009 + (1 − i ) (1 − i )    1009 Số phức  z + i + = z − 2i ( a + 1) + ( b + 1) = a + ( b + )    2 a + b =  z = 2  b = −1   z = −i a = b + a =    2 z = ( b + 1) + b =  b =   a = Vậy có số phức z = −i z = thỏa mãn Câu 19: Chọn A Ta có ( 3x + yi ) + ( − i ) = x − 3i  ( 3x + − x ) + ( y − + 3) i =  ( − x ) + ( y + ) i =  3− x =  x=3   2 y + =  y = −1 Câu 20: Chọn D Gọi z = a + bi , ( a, b  ) Khi z + z =  a − b + a + b + 2abi =  a =   a =  b =  2  a = a − b + a + b =  −b + b =      b =  b = 2ab =   2  a =  a + a =  b = −2 Vậy có số phức z cần tìm Câu 21: Chọn C Ta có z = bi ( b  )  z2 + z = ( bi ) +b = Câu 22: Chọn C Số phức z = 10 + 2i nên phần thực 10 phần ảo Câu 23: Chọn C Ta có z = = ( − 3i )( − i ) = (8 − 3) − ( + 12 ) i + 2i (15 − 28) − (10 + 42 ) i 9+4 + 2i = = − 14i ( − 14i )( − 2i ) = + 2i ( + 2i )( − 2i ) −13 − 52i = −1 − 4i 13 Vậy điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng Oxy M ( −1; − ) Câu 24: Chọn B Đặt z = a + bi, ( a  , b  Ta có: ) z − z = −7 + 3i + z  a + b − ( a − bi ) = −7 + 3i + a + bi  a + b − 3a + =  a + b2 − 3a + + ( b − 3) i =   b − = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 17: [Số Phức 2023] Cho số phức z , w thỏa mãn z = , w − + 2i = z − zw − đạt giá trị lớn A 16 B 24 C + 13 Câu 18: [Số Phức 2023] Cho số phức z = x + yi, ( x, y  ) D 20 thỏa mãn z + z − + z − z + 4i  z − − i  z + + i Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y + Khi M + m bằng: 17 A B 33 C − 13 D 22 ( ) m − 5m − = 0(m tham số thực) Có số nguyên m  [−10;10] đề phương trình có hai nghiệm phức Câu 19: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − m + 1z − z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2  z1 − z2 ? A 11 B 10 C D Câu 20: [Số Phức 2023] Cho M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 + − 3i = z1 , z2 − = z2 − − i , z3 + + z3 − = Khi M , N , P không thẳng hàng, giá trị nhỏ nửa chu vi p tam giác MNP A 10 B C 10 10 D 11 13 Câu 21: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z , w thỏa mãn z + w = 10 , z + w = 17 z − 3w = 146 Tính giá trị biểu thức P = z.w + z.w A P = −14 B P = 14 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C P = 16 D P = −8 Số phức I HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: [Số Phức 2023] Xét số phức z = a + bi (a, b  ) thỏa mãn | z − + 2i |= Tính P = a − b | z − − 3i | + | z − − i | đạt giá trị lớn B A D 10 C Lời giải Chọn B Ta có | z − + 2i |=  ( a − 3) + ( b + ) 2 2  a −3  b+  =5  +  =1     a −  = sin t  a = sin t + Đặt  ( *) b +  = cos t  b = cos t −  ( a − 3) + ( b − 3) Đặt T =| z − − 3i | + | z − − i |= 2 + ( a − ) + ( b − 1) 2 Thay (*) vào ta có: T = 5sin t + ( cos t − ) + ( ) ( sin t − + cos t − ) = 30 − 10 cos t + 30 − sin t − cos t ( )  60 − sin t − 16 cos t = 60 − ( sin t + cos t )  ( ( Mà −  sin t + cos t   T  60 − − )) = 10 Suy Tmax = 10 khi: −2  cos t = 30 − 10 cos t = 30 − sin t − cos t 4sin t − cos t = a =      sin t + cos t = − b = −4 sin t + cos t = − sin t = −1  Vậy P = a − b = Câu 2: [Số Phức 2023] Trong tập số phức, phương trình z − z + m = 0, m  (1) Gọi m0 giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thoả mãn z1.z1 = z2 z2 Hỏi khoảng ( 0; 20 ) có giá trị m0  A 10 B 12 ? C 11 Lời giải D 13 Chọn A Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Để phương trình (1) z1 , z2 thoả mãn z1 z1 = z2 z2 có hai nghiệm phân biệt     62 − 4m   m   n đú ng)   z1.z1 = z2 z2  z1.z2 = z2 z1 ( luoâ   m       − 4m   m      z z = z z  z = z   z1 = z2 ( L )   1 2  z1 = − z2  z1 + z2 =  = ( L )  Mà khoảng ( 0; 20 ) m0  Câu 3: nên có 10 giá trị m0 thoả mãn [Số Phức 2023] Xét số phức z w thỏa mãn | z |=| w |= | z + w |= Giá trị nhỏ biểu thức P =| zw + 2i ( z + w) − | A 1+ B C − 2 D Lời giải Chọn A Gọi A, B điểm biểu diễn số phức z , w , với | z + w |= ta ln có OAB tam giác vuông O với OA  OB = , ta ln có z  w số ảo tức z  w = ki (k  ) Khi  w  ki  2  P =| zw + 2i ( z + w) − |= ki + 2i  + w  − = kiw + 2i (kiw + w) − = kiw − 2kw + 2iw − w w     | z + w |= ki + w =| w(ki + 1) |=| w | k + =  k =  w w = a + bi (a, b  ) Đặt ta có: P = w2 + (2i − 2) w − = w2 + (2 + 2i ) w + 4i = ( w + + i ) + 2i Đặt u = w + + i  w = u − − i | w |=| u − − i |= , ta suy (đặt trước z0 = −1 − i ) ( )( ) ( P = u + 2i = u + z02 = u + z0 u + z02 =| u |4 + z0 + u  z0 + z0  u ( Mà ( u + z ) ( u + z ) = u + z =| u |4 −4 | u |2 +4 + u  z0 + z0  u o o ) ) − u  z0 2 =  u  zo + zo  u = 1− | u |2 − zo = − | u |2 −1 2 92 1 9  Suy =| u |4 −4 | u |2 +4 + | u |2 +1 = | u |4 −2 | u |2 +5 =  | u |2 −  +   P  2 2  ( Câu 4: ) [Số Phức 2023] Gọi S tập hợp tất số phức z thỏa mãn điều kiện z  z =| z + z | Xét số phức z1 , z2  S cho z1 − z2 = Giá trị nhỏ biểu thức P = z1 − 3i + z2 + 3i A B + C Lời giải Chọn A | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh D 20 − Số phức Đặt z = a + bi; a, b   a + b = 2a Ta có: z.z =| z + z | a + b = | a |   a + b = −2a Gọi A, B hai điểm biểu diễn số phức z1 , z2 2 z1 − z2 =  AB = Khi đó: P = z1 − 3i + z2 + 3i = CA + CB , với C (0; 3)  Pmin  I1C − R + I 2C − R = 2; v?i I1 (−1;0), I (1;0), R = Dấu " = " xảy A, B trung điểm CI1 , CI AB = Câu 5: I1 I = (thỏa mãn) [Số Phức 2023] Biết phương trình z + mz + m − = ( m tham số thực) có hai nghiệm phức z1 , z2 Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1 , z2 z0 = i Có giá trị tham số m để diện tích tam giác ABC 1? A B C Lời giải Chọn C ( D ) Ta có:  = m2 − m2 − = −3m2 + TH1:    −3m2 +   −2 6 Khi đó, phương trình có hai nghiệm thực phân m 3 biệt z1 , z2 Vì A, B  Ox nên AB = z1 − z2 = ( z1 − z2 ) = ( z1 + z2 ) − z1 z2 = −3m + Mặc khác, ta có C (0;1)  d (C ; AB ) = −3m2 + AB  d (C; AB) = =1 m =  ( n) 2  m  TH2:    −3m +    Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức liên hợp  −2 m    SABC = z1,2 = −m + i |  | Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Ta có: AB = z1 − z2 =| i |  | |= −3m + = 3m − C (0;1) m |m| = nên d (C; AB) = 2  m = 2 | m | 3m − Do đó, S ABC = AB  d (C ; AB ) = =1   m =  i (l )  Vậy có giá trị thực tham số m thỏa mãn đề Phương trình đường thẳng AB x + Câu 6: [Số Phức 2023] Cho số phức z thoả mãn iz.z + (1 + 2i ) z − (1 − 2i) z − 4i = Giá trị lớn P = z + + i + z + − i gần số sau đây? A 7,4 B 4,6 C 4,2 D 7,7 Lời giải Giả sử z = x + yi, ( x, y  ) Ta có iz.z + (1 + 2i) z − (1 − 2i) z − 4i =  i( x + yi)( x − yi) + (1 + 2i)( x + yi) − (1 − 2i)( x − yi) − 4i =  i ( x + y ) + ( x − y ) + (2 x + y)i − ( x − y) − (−2 x − y)i − 4i =  x + y + x + y − = Suy ra, tập hợp số phức z có điểm biểu diễn thuộc đường trịn (C ) có tâm I ( −2; −1) , bán kính R = Lại có P =| z + + 2i | + | z + − i |=| ( x + 1) + ( y + 2)i | + | ( x + 4) + ( y − 1)i | = x + y + x + y + + x + y + x − y + 17 Kết hợp với (2) ta P = − 2( x − y ) + 21 + 4( x − y )  21  Đặt t = x − y P = f (t ) = − 2t + 21 + 4t với t   − ;   2 Khảo sát hàm số f (t ) hoăc áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski, ta 21  26  21   P = − 2t +  + 2t   (1 + 2)  +  =  7, 65 2    Dấu xảy t = Câu 7: −7  217 −17  217 , từ tính z = +i 8 [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − 2mz + 6m − = 0(m tham số thực) Có giá trị ngun m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1  z1 = z2  z2 ? A B C D Lời giải Ta có  = m − 6m + Phương trình có hai nghiệm phân biệt nên xảy hai trường hợp: - Nếu    m  (−;1)  (5; +) phương trình có hai nghiệm thực phân biệt z1 , z2 z1 = z1 ; z2 = z2 nên | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức  z1 = z2 (ko thoai mãn), z1  z1 = z2  z2  z12 = z22    z1 = − z2  z1 + z2 =  m = - Nếu    m  (1;5) , phương trình có hai nghiệm phức hai số phức liên hợp Khi z1 = z2 ; z1 = z2 nên z1 z1 = z2 z2  z1 z2 = z1 z2 ln với m  (1;5) Vầy có giá trị nguyên m thoả mãn toán Câu 8: [Số Phức 2023] Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1 = 2, z2 = 3, z1 + z2 = Giá trị nhỏ biểu thức P = 3z1 − z2 − 10 + 5i + B 10 − B − D − C + Lời giải Chọn C Gọi z1 = a + bi, z2 = c + di, ( a, b, c, d  ) Ta có: z1 =  a + b =  a + b = z2 =  c + d =  c + d = z1 + z2 =  ( a + c ) + (b + d ) 2 =  ( a + c ) + ( b + d ) =  ac + bd = −1 2 Suy ra: 3z1 − z2 = ( 3a − c ) + ( 3b − d ) 2 = ( a + b ) + ( c + d ) − ( ac + bd ) = Khi đó: P = 3z1 − z2 − 10 + 5i + = ( z1 − z2 ) + ( −10 + 5i ) +  −10 + 5i − z1 − z2 + = + Câu 9: [Số Phức 2023] Có tất số phức w thỏa mãn điều kiện ww = ảo? A B Chọn B Gọi số phức w = x + yi, x, y  w w2 số D C Lời giải Điều kiện: w2   w  Từ giả thiết 2ww =  w = Mặt khác: Đề w w w w2 = w3 w2 w2 = 1  x + y = (*) 2 ( x + yi ) (x + y2 ) số ảo Với x =  y =  = x − xy (x + y2 ) x − xy (x +y ) 2 + 3x y − y (x + y2 ) i  x=0  x − xy   x = 3y , suy tồn hai số phức Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Với x = y thay vào (*) ta được: y =  y= , với giá trị y tồn hai giá trị x , có cặp ( x; y ) Vậy có tất số phức w thỏa mãn toán Câu 10: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z w thay đổi thỏa mãn điều kiện z + + i = z w − − 4i = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = z − w − − i A P = − B P = C P = Lời giải D P = − Chọn A Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn M ( x ; y ) M nằm đường thẳng  : x + y + = hay x = − y − Ta có P = z − w − − i = ( z − − 5i ) − ( w − − 4i )  z − − 5i − w − − 4i P ( x − ) + ( y − 5) 2 −1 = ( y + 5) + ( y − 5) 2 −1 = y + 50 −  − Câu 11: [Số Phức 2023] Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z − + 3i = số phức w = (1 − 2i ) z Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường tròn ( C ) mặt phẳng ( Oxy ) Tìm bán kính R đường tròn ( C ) A R = B R = 10 C R = Lời giải D R = Chọn D Ta có: w = (1 − 2i ) z = (1 − 2i ) ( z + ( −1 + 3i ) ) − (1 − 2i )( −1 + 3i )  w = (1 − 2i ) ( z + ( −1 + 3i ) ) − ( + 5i )  w + ( + 5i ) = (1 − 2i )( z − + 3i )  w + ( + 5i ) = (1 − 2i )( z − + 3i ) = − 2i z − + 3i  w + ( + 5i ) = Tập hợp điểm biểu diễn số phức w đường trịn ( C ) có bán kính R = Câu 12: [Số Phức 2023] Gọi S tập hợp tất số phức z cho iz.z + (1 + 2i ) z − (1 − 2i) z − 4i = T tập hợp tất số phức w có phần thực khác cho phức z1 , z2  S w  T thỏa mãn z1 − z2 = w số thực Xét số w + 6i w − z1 w − z1 = Khi w − z1  w − z1 đạt z2 − z1 z2 − z giá trị nhỏ w − z1 + w − z1 A B Chon D Giả sử z = x + yi, ( x, y  ) Ta có | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh C 3 Lời giải D −4 Số phức iz.z + (1 + 2i ) z − (1 − 2i ) z − 4i =  i ( x + yi )( x − yi ) + (1 + 2i )( x + yi ) − (1 − 2i )( x − yi ) − 4i =  i ( x + y ) + ( x − y ) + (2 x + y )i − ( x − y ) − (−2 x − y )i − 4i =  x2 + y + 4x + y − = Suy S tập hợp số phức có điểm biểu diễn thuộc đường trịn (C ) có tâm I ( −2; −1) , bán kính R = Giả sử w = a + bi, (a, b  ; a  0) Ta có w a + bi (a + bi )[a + (b − 6)i] a − b + 6b 2ab − 6a = = = + i 2 w + 6i a + (6 − b)i a + (b − 6) a + (6 − b) a + (6 − b) 2ab − 6a w số thực =  b = a + (6 − b) w + 6i Suy T tập hợp số phức có điểm biểu diễn thuộc đường thẳng  : y = Do Xét số phức z1 , z2  S w  T thỏa mãn z1 − z2 = Giả sử z1 = x1 + y1i, z2 = x2 + y2i ( x1 , y1 , x2 , y2  ) w − z1 w − z1 = z2 − z1 z2 − z1 w = x + 3i, ( x  , x  0) Gọi M , M , M điểm biểu diễn z1 , z2 w Khi đó, M , M  (C ) M   , đồng thời w − z1 w − z1 = MM 1MM Do z1 − z2 = nên M 1M = w − z1 w − z1 = nên ba điểm M , M , M thẳng z2 − z1 z2 − z hàng Suy MM 1MM = IM − R Vì w − z1  w − z1 = IM − R Do đó, w − z1  w − z1 đạt giá trị nhỏ IM đạt giá trị nhỏ Lúc đó, M hình chiếu vng góc I  M = (−2;3) Gọi H trung điểm M 1M , ta có IH = IM 12 − M H = 32 − ( 5) = Vì bốn điểm M1 , M , M , H thẳng hàng nên MIH vuông H suy MH = IM − IH = 42 − 22 = đó, w − z1 + w − z1 = MM + MM = MH − HM + MH + HM = 2MH = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 10 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 13: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z + 2mz − m + 12 = ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 − z2 ? A B C Lời giải D Phương trình cho có  = m + m − 12  m  −4 Trường hợp 1:    m2 + m − 12    m  Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm thực z1 , z2 phân biệt Do đó,  ( z1 + z2 z1 + z2 = z1 − z2  z12 + z22 + z1 z2 = ( z12 + z22 − z1 z2 )  ( z1 + z2 ) − z1 z2 − z1 z2 = ) =( 2 z1 − z2 ) 2  ( z1 + z2 ) − z1 z2 + z1 z2 = ( z1 + z2 ) − z1 z2     4m − 6(−m + 12) − | − m + 12 |= 0(*) Nếu m  −4  m = −6  m  12 (*)  4m2 − 8(−m + 12) =  m2 + 2m − 24 =   m = Nếu m  12 (*)  4m − 4(− m + 12) =  m + m − 12 = (không thỏa mãn) Trường hợp 2:    m + m − 12   −4  m  Khi đó, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 hai số phức liên hợp: −m + i −m − m + 12 − m − i −m − m + 12 Do đó, z1 + z2 = z1 − z2  m2 + ( −m2 − m + 12 ) = −m2 − m + 12  −m + 12 = −m − m + 12  m = (thỏa mãn) Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa mãn đề Câu 14: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − 2mz + 3m + 10 = ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m để phương trình có hai nghiệm z1 , z2 khơng phải số thực thỏa mãn z1 + z2  ? A B C Lời giải D Ta có: z − 2mz + 3m + 10 = 0(*)  = m − 3m − 10 Điều kiện    −2  m  Phương trình (*) có nghiệm z1,2 = m  i m − 3m − 10 Do z1 + z2   z1   z1   3m + 10   − 10  m  Kết hợp điều kiện −2  m  , suy −2  m  Vậy giá trị nguyên thỏa mãn là: m  {−1; 0;1; 2} Câu 15: [Số Phức 2023] Cho số phức z số phức w = ( z − i )( z + i ) + z − 3i thỏa mãn w − i 2022 − i 2023  w − = Giá trị lớn biểu thức T =| z − + i |2 + | z + − 3i |2 m + n với m, n  Tính P = m.n 11 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức B P = 876 A P = 124 Gọi w = x + yi với x, y  C P = 416 Lời giải D P = 104 Hệ thức w − i 2022 − i 2023  w − = | w + 1|= −i  w + i | w + 1|=| −i | | w − i | | w + 1|=| w − i || x + yi + 1|=| x − yi − i | ( x + 1) + y = x + ( y + 1)  x = y  số phức w có phần thực phần ảo Gọi z = a + bi với a, b   w = ( z − i )( z + i ) + z − 3i =| z |2 +i ( z − z ) + + z − 3i = a + b + i (2bi ) + + 2( a + bi ) − 3i = ( a + b + 2a − 2b + 1) + (2b − 3)i ( ) Suy ra: a + b + 2a − 2b + = (2b − 3)  (a + 1) + (b − 2) = (1) Suy quỹ tích điểm biểu diễn số phức z đường trịn (C ) có tâm I ( −1; 2) bán kính R = Biểu thức T =| z − + i | + | z + − 3i | =| z − + i | + | z + + 3i | =| z − + i | + | z + + 3i | = MA + MB 2 2 2 2 , với điểm M biểu diễn số phức z nằm đường trịn (C ) có tâm I ( −1; 2) bán kính R = điểm A(3; −1), B(−1; −3) AB Ta có T = MA + MB = 2MK + (với K trung điểm đoạn AB ) 2 2 Có K (1; −2) AB = suy T = MA2 + MB = MK + 10 Suy Tmax  MK max  K hình chiếu vng góc M AB  M , I , K thẳng hàng I nằm M , K Mặt khác ta có IM = (a + 1; b − 2), IK = (2; −4)  IK = Suy IM =  −1 5 5 IK  M  −1 − ;2 + ;b = +   a = −1 − 5  5  Vậy Tmax = 2(2 + 1) + 10 = 52 +  m = 52; n =  P = m.n = 416 Câu 16: [Số Phức 2023] Giả sử z1 ; z2 hai số phức z thỏa mãn ( z − 6)(8 − i.z ) số thực Biết z1 − z2 = Giá trị nhỏ z1 + z2 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 12 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 B − 21 A −5 + 73 Đặt z = x + yi với x; y  D 20 − 21 C 20 − 73 Lời giải Gọi A; B điểm biểu diễn số phức z1 ; z2 Ta có: z1 − z2 =  AB = Và ( z − 6)(8 − iz ) = ( x + yi − 6)(8 − xi − y ) = [( x − 6) + yi ][(8 − y ) − xi] = [( x − 6)(8 − y ) + xy ] + [(8 − y ) y − ( x − 6) x]i = x + y − 48 − ( x + y − x − y ) i Theo giả thiết ( z − 6)(8 − i.z ) số thực nên x + y − x − y = Do A; B  (C ) : x + y − x − y = đường tròn tâm I (3; 4) , bán kính R = Xét điểm M thỏa mãn MA + 3MB =  MO + OA + 3MO + 3OB =  OA + 3OB = 4OM đó: HI = R − HB = 16 , Gọi H trung điểm AB, 73 3 IM = HI + HM = +   = 2 2 Suy ra: Điểm M thuộc đường tròn ( C1 ) tâm I (3; 4) , bán kính R1 = 73 Ta có: z1 + 3z2 =| OA + 3OB |=| 4OM |= 4OM  73   z1 + 3z2  4OM = OI − R1 =  −  = 20 − 73   Vậy z1 + 3z2 = 20 − 73 Câu 17: [Số Phức 2023] Cho số phức z , w thỏa mãn z = , w − + 2i = z − zw − đạt giá trị lớn A 16 C + 13 Lời giải B 24 D 20 Chọn B Ta có T = z − zw − = z − zw − z Gọi z = x + yi  z − z = yi 13 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh = z − zw − z.z = z z − z − 2w = z − z − 2w Số phức Vì z = nên −4  y  Gọi w = x + yi = 2w  w − + 4i =  w − + 4i =  ( x − ) + ( y + ) = 2 Gọi A điểm biểu diễn z − z  A thuộc trục Oy với −4  y A  Gọi B điểm biểu diễn 2w  B thuộc đường tròn tâm I ( 6; −4 ) ; bán kính R = Khi T = AB Ta có hình vẽ: Ta có Tmax = ABmax = ( IA + R ) = 24 với A ( 0; ) Câu 18: [Số Phức 2023] Cho số phức z = x + yi, ( x, y  ) thỏa mãn z + z − + z − z + 4i  z − − i  z + + i Gọi M , m giá trị lớn nhỏ biểu thức P = x + y + Khi M + m bằng: 17 A B 33 C − 13 D 22 Lời giải Chọn D +) z + z − + z − z + 4i   x − + yi + 4i   x − + y +  x  1, y  −2 x + 3y +   x − y − 10  x  1, y  −2    x − y −  x  1, y  −2  x + y +  x  1, y  −2 +) z − − i  z + + i  ( x − 1) + ( y − 1) i  ( x + 3) + ( y + 1) i  ( x − 1) + ( y − 1) 2  ( x + 3) + ( y + 1) 2  −8 x − y −   x + y +  +) Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn yêu cầu toán ngũ giác ABCDE (như hình vẽ) Giá trị lớn nhỏ P = x + y + đạt hai đỉnh ngũ giác ABCDE Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 y d d1 x d3 d2 A B E C d4 Δ D d: 2x + y + = d1: x + 3y + = d2: x + 3y + = d3: x - 3y - = d4: x - 3y - 10 = Δ: 2x + 3y = +) Biểu thức P = x + y + đạt giá trị lớn M = Pmax = x = 4, y = −2 (tại C ) Biểu thức P = x + y + đạt giá trị nhỏ m = Pmin = − Suy M + m = 13 14 x = , y = − (tại E ) 5 22 ( ) m − 5m − = 0(m tham số thực) Có số ngun m  [−10;10] đề phương trình có hai nghiệm phức Câu 19: [Số Phức 2023] Trên tập hợp số phức, xét phương trình z − m + 1z − z1 , z2 thỏa mãn z1 + z2  z1 − z2 ? A 11 B 10 C Lời giải D Điều kiện m +   m  −1. = m − 4m − m  phương trình có nghiệm thực z1 , z2 + Trường hợp 1:    m2 − 4m −     m  −1 Theo định lý Viet z1  z2 = − ( ) m − 5m − z1 + z2  z1 − z2  z1 + z2  z1 − z2  z1  z2  2 m  − ( m − 5m − )   m − 5m −     m  −1 Do m  m  [−10;10] nên số giá trị m thỏa mãn (10 − 6) + + = + Trường hợp :    m − 4m −   −1  m  phương trình có nghiệm phức z1 , z2 15 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh Số phức z1 + z2  z1 − z2  z1 + z2  z1 − z2  m +  m − 4m − 2  m   m − 5m −     m  −1  m − 3m −   −1  m  Do m  , −1  m  m  [−10;10] nên số giá trị m thỏa mãn m = 0, m = 1, m = 2, m = Vậy có 10 giá trị m Câu 20: [Số Phức 2023] Cho M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 + − 3i = z1 , z2 − = z2 − − i , z3 + + z3 − = Khi M , N , P không thẳng hàng, giá trị nhỏ nửa chu vi p tam giác MNP A 10 B C 10 10 D 11 13 Lời giải Trong mặt phẳng Oxy , gọi A(−1;0), B(0;3), C (3;0) M , N , P điểm biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Ta có Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z1 đường thẳng AB Tập hợp điểm N biểu diễn số phức z đường thẳng BC z3 + + z3 − =  PA + PC = AC  Tập hợp điểm P biểu diễn số phức z3 đoạn AC MN + NP + PM Gọi P1 , P2 đối xứng với P qua AB, BC Ta có MP = MP1 , NP = NP2 Khi p = + MN + NP2  P1P2 Khi MN + NP + PM = PM + ABC + CBP = PBA + ABC + PBC = ABC Ta thấy PBP = PBA Theo đinh lí Sin: AB = AC sin BCA sin ABC Gọi H trung điểm P1 P2 ,  sin ABC = AC sin BCA = AB PP = P2 H = BP2  sin P2 BH = BP  sin ABC = BP  Vậy giá trị nhỏ p 5 12 = BP  BO = 5 5 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 16 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 Câu 21: [Số Phức 2023] Cho hai số phức z , w thỏa mãn z + w = 10 , z + w = 17 z − 3w = 146 Tính giá trị biểu thức P = z.w + z.w A P = −14 C P = 16 Lời giải B P = 14 Chọn D Gọi z = a + bi w = x + yi với a, b, x, y  D P = −8 Theo đề ta có: z + w = 10  ( a + x ) + ( b + y ) = 10  a + 2ax + x + b + 2by + y = 10 (1) 2 z + w = 17  ( 2a + x ) + ( 2b + y ) = 17  4a + 4ax + x + 4b + 4by + y = 17 (2) 2 z − 3w = 146  ( a − 3x ) + ( b − y ) = 146  a − 6ax + x + b − 6by + y = 146 (3) 2 Lấy 35.(1) − 8.(2) − 3.(3) vế theo vế ta được: 56.ax + 56.by = −224  ax + by = −4 Ta có P = z.w + z.w = ( a + bi ) ( x − yi ) + Cách 2: ( a − bi ) ( x + yi ) = 2.ax + 2.by = −8 ( ) z + w = 10  z + w = 10  ( z + w ) z + w = 10 ( )  ( z + w ) z + w = 10  z + P + w = 10 2 (1) Tương tự z + w = 17  z + P + w = 17 2 z − 3w = 146  z − 3P + w = 146 z2 =5   Từ (1) , ( ) , ( 3)   P = −8    w = 13 Vậy P = −8 17 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh ( 2) ( 3) ... z2  MN = OM ON (1) 2 Lại có: z12 + z22 = z1 z2  z12 = z2 ( z1 − z2 )  z1 = z2 z1 − z2  OM = ON MN Tương tự ta có: ON = OM MN ( 3) OM ON Từ ( ) ( 3) ta có: =  OM = ON ( ) ON OM 17 | Facebook... = + 4i  A 2; ( )  Theo giả thi? ??t, ta có: z + − 3i + z − − 5i = 38  MF1 + MF2 = 38 Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 14 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023  38 = 38 a... phẳng tọa độ Oxy Theo giả thi? ??t ta có A , B thuộc đường tròn tâm I ( 2;3) , bán kính r = AB = Tư toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2022 | 18 Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023 z +z w