CHỦ ĐỀ 8 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm Phương pháp giải Cho hàm số Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm là Trong đó được gọi là hoành độ tiếp điểm là tung độ tiếp điểm và là hệ số góc của tiếp tuyến Điểm được gọi là tiếp điểm Ví dụ 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại a) Điểm b) Điểm có hoành độ c) Điểm có tung độ d) Giao điểm của với đường thẳng Lời giải a) Ta có Do vậy phương trình tiếp tuyến tại là b) Với Do vậy phương trình tiếp tuyến.
CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải: Cho hàm số y = f ( x ) ( C ) Khi phương trình tiếp tuyến điểm A ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + f ( x0 ) Trong x0 gọi hồnh độ tiếp điểm: y0 = f ( x0 ) tung độ tiếp điểm k = f ′ ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến Điểm A ( x0 ; y0 ) gọi tiếp điểm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + 3x ( C ) tại: a) Điểm A ( 1; ) b) Điểm có hồnh độ x0 = −1 c) Điểm có tung độ y0 = 14 d) Giao điểm ( C ) với đường thẳng d : y = x − Lời giải a) Ta có: f ′ ( x ) = 3x + ⇒ f ′ ( 1) = Do phương trình tiếp tuyến A ( 1; ) y = ( x − 1) + = 6x − b) Với x = x0 = −1 ⇒ f ( x0 ) = −4 ⇒ f ′ ( x0 ) = Do phương trình tiếp tuyến y = ( x + 1) − = x + c) Với y0 = 14 ⇒ x + 3x = 14 ⇔ x0 = 2; f ′ ( ) = 15 Do phương trình tiếp tuyến là: y = 15 ( x − ) + 14 = 15 x − 16 d) Hoành độ giao điểm ( C ) d x + 3x = 3x − ⇔ x = −2 Với x = −2 ⇒ y = −14 ⇒ f ′ ( −2 ) = 15 Do phương trình tiếp tuyến y = 15 ( x + ) − 14 = 15 x + 16 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x−2 ( C) 2x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có tung độ y0 = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với đường thẳng d : y = x − Lời giải Ta có: y ′ = ( x + 1) a) Ta có: y0 = ⇒ x−2 = ⇔ 5x = −5 ⇔ x0 = −1 ⇒ y′ ( −1) = 2x +1 Do phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 1) + hay y = x + b) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: Với x0 = ⇒ y0 = 0; y′ ( ) = x = x−2 = x−2⇔ 2x +1 x = 1 suy phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − ) 5 Với x0 = ⇒ y0 = −2; y′ ( ) = suy phương trình tiếp tuyến là: y = x − Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm có hồnh độ là: A y = − x − C y = − x Lời giải B y = x − D y = − x + Ta có x0 = ⇒ y0 = −1; f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( 1) = −1 Do PTTT là: y = − ( x − 1) − = − x Chọn C Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = −3 x − B y = −3 x − ( C ) ∩ Oy = A ( 0; −1) Lại có y′ = −3 ( x − 1) 2x +1 ( C ) giao điểm ( C ) với trục tung là: x −1 C y = −3 x Lời giải D y = −3 x + ⇒ y ′ ( ) = −3 Do phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − Chọn A Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + − − x điểm có hồnh độ x − là: A y = 3 x+ B y = x− C y = 3 x− D y = x+ 2 Lời giải Với x = ⇒ y = Lại có f ′ ( x ) = 1 + ⇒ f ′ ( 2) = x + 2 3− x Do phương trình tiếp tuyến là: y = 3 ( x − ) + = x − Chọn B 4 Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm x0 thỏa mãn f ′′ ( x0 ) = là: A y = −3 x + B y = −4 x − C y = x − Lời giải D y = −4 x + Ta có: f ′ ( x ) = x − x ⇒ f ′′ ( x ) = x − Giải f ′′ ( x ) = ⇔ x0 = ⇒ y0 = −7; f ′ ( ) = −4 Do phương trình tiếp tuyến là: y = −4 ( x − ) − = −4 x + Chọn D Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + điểm x0 = −1 là: A y = x + B y = −4 x − C y = x + Lời giải Ta có: x0 = −1 ⇒ y0 = −1 Mặt khác y ′ = x − x ⇒ y ′ ( −1) = D y = x + Khi phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 1) − = x + Chọn D Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = ( x − 2) B y = ( x − 2) 25 x−2 ( C ) giao điểm ( C ) với trục hoành là: 2x +1 C y = ( x − 2) D y = −3 ( x − 2) 25 Lời giải Ta có: ( C ) ∩ Ox = A ( 2;0 ) Mặt khác f ′ ( x ) = ( x + 1) Do phương trình tiếp tuyến điểm A ( 2;0 ) là: y = ⇒ f ′ ( 2) = ( x − ) Chọn A Ví dụ 9: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + 1( C ) điểm có hồnh độ x = cắt đồ thị ( C ) điểm thứ có hồnh độ là: B −2 A C Lời giải D −1 Ta có: x = ⇒ y = 0; f ′ ( x ) = x − ⇒ f ′ ( 1) = Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 1) ( d ) x =1 Xét d ∩ ( C ) ⇒ x − x + = ( x − 1) ⇔ Chọn B x = −2 Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = 3x + Giải B y = ( x + 1) 2x −1 điểm có tung độ −3 là: x+2 C y = 3x + Lời giải D y = x + x ≠ −2 2x −1 ⇒ f ′ ( −1) = = −3 ⇔ ⇔ x = −1 Lại có f ′ ( x ) = x + ( ) x+2 2 x − = −3 x − Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 1) − = x + Chọn D Ví dụ 11: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + thời điểm có hồnh độ x = −1 cắt trục hoành điểm A A ( 0; −1) B A − ;0 ÷ C A − ;0 ÷ Lời giải D A − ;0 ÷ Ta có: x = −1; y = 3; y′ ( −1) = −4 Do phương trình tiếp tuyến là: y = −4 ( x + 1) + = −4 x − 1( d ) −1 Do d ∩ Ox = A ;0 ÷ Chọn D Ví dụ 12: Cho hàm số y = x − x + 1( C ) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = là: A d = B d = 5 C d = D d = Lời giải Ta có x = ⇒ y = 0; f ′ ( 1) = − = Do phương trình tiếp tuyến y = ( x − 1) ( d ) Do d : x − y − = suy d ( 0; d ) = −2 Chọn A Chú ý: Bài toán yêu cầu em ghi nhớ công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng d : ax + by + c = là: d = ax0 + by0 + c a + b2 Ví dụ 13: Cho hàm số y = x + mx ( C ) Tìm giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = ( C ) m = −4 A m = −1 m = −5 B m = −3 là: m = −4 C m = −2 Lời giải m = −2 D m = Với x0 = ⇒ y0 = + m; f ′ ( 1) = + m Phương trình tiếp tuyến là: y = ( m + 3) ( x − 1) + m + 1( d ) d ( O; d ) = m = −4 = ⇔ ( m + 3) + = ⇔ Chọn C m = −2 ( m + 3) + −m − + m + Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp giải: Để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) ( C ) biết hệ số góc k x = x01 x = x 02 ⇒ y ( xi ) ⇒ Phương trình tiếp tuyến Giải phương trình k = f ′ ( x ) ⇒ x = xi Chú ý: Cho đường thẳng d1 : y = k1 x + b1 d : y = k2 x + b2 Khi k1 , k2 hệ số góc đường thẳng d1 d k1 = k2 ▪ Nếu d1 / / d ⇔ b1 ≠ b2 ▪ Nếu d1 ⊥ d ⇔ k1.k2 = −1 ▪ Đường thẳng d : y = kx + b tạo với trục hồnh góc α k = ± tan α Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + x −1 biết: x−2 c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + Lời giải Ta có: y ′ = −1 ( x − 2) a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 nên ta có: −1 ( x − 2) x = = −1 ⇔ x = Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −1( x − 3) + = − x + Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = − ( x − 1) = − x + b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + ⇒ ku = −4 ⇔ ⇔ ( x − 2) x = = ⇔ x = −1 ( x − 2) = −4 Với x0 = 5 ⇒ y0 = ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −4 x − ÷+ = −4 x + 13 2 Với x0 = 3 ⇒ y0 = −1 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = −4 x − ÷− = −4 x + (loại trùng với đường 2 thẳng cho) Vậy phương trình tiếp tuyến y = −4 x + 13 c) Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + suy ku kd = −1 ⇔ −1 ( x − 2) = −1 −1 = kd x = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x = −1 Với x0 = ⇒ y0 = 4 −1 17 ⇒ phương trình tiếp tuyến là: y = − ( x − ) + = x+ 9 Với x0 = −1 ⇒ y0 = 2 −1 ⇒ phương trình tiếp tuyến y = − ( x + 1) + = x+ 9 Ví dụ 2: Cho hàm số: y = x −1 ( C) x +1 a) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d : x + y + = b) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : x − y − = Lời giải Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ ( C ) tiếp điểm a) Ta có: d : y = x0 = −1 1 = ⇔ x − ⇒ kd = − ⇒ ku = Khi y ′ ( x0 ) = x = −2 2 2 ( x0 + 1) Với x0 = ⇒ y0 = −1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = x − Với x0 = −2 ⇒ y0 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + ) + = x + b) Ta có: d1 : y = 1 x− 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 20 x + ⇒ kn = y′ ( x0 ) = Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x0 + 1) = x0 = 1 ⇔ x0 = −3 ( x − 1) ≡ d (loại) Với x0 = −3 ⇒ y0 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 1 ( x + 3) + = x + 2 Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + có hệ số góc k = −3 là: A y = −3 x + B y = −3 x + C y = −3 x Lời giải D y = −3 x − Ta có: y ′ = x − x Giải x − x = −3 ⇔ ( x − 1) = ⇔ x = Với x = ⇒ y = ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −3 ( x − 1) Chọn A Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x +1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1 d : x + y − = là: A y = −2 x − Ta có: d : y = −2 x + 7; y′ = B y = −2 x + −2 ( x − 1) C y = −2 x + Lời giải D y = −2 x − x = = −2 ⇔ x = Với x = ⇒ y = ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −2 ( x − ) + = −2 x + ≡ d (loại) Với x = ⇒ y = −1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = −2 x − Chọn D Ví dụ 5: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − mà vng góc với đường thẳng x + y + 1999 = là: A y = x − Ta có: y = B y = x − C y = −6 x + Lời giải D y = −6 x + −1 −1 1999 x− ( d ) Do tiếp tuyến vng góc với d nên kd ku = −1 ⇒ ku = k = 6 d Giải y ′ = ⇔ x + x = ⇔ x = ⇒ y = −3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 1) − = x − Chọn A Ví dụ 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x − điểm có hồnh độ x = −1 có hệ số góc là: 2− x A B C D Lời giải Ta có: y ′ = ( − x) ⇒ y′ ( −1) = = k Chọn C Ví dụ 7: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x−m điểm có hồnh độ x = −2 có hệ số góc k = Giá trị x +1 tham số m là: A m = Ta có: y ′ = B m = −4 1+ m ( x + 1) C m = −2 Lời giải D m = ⇒ y′ ( −2 ) = + m = ⇔ m = Chọn D Ví dụ 8: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − 4mx + x + điểm có hồnh độ x = có hệ số góc k = −2 Giá trị tham số m là: A m = B m = −1 C m = −2 Lời giải D m = Ta có: y ′ ( 1) = − 8m + = −2 ⇔ m = Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y = x − x − Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x − A y = 24 x − 48 B y = 24 x − 21 C y = 24 x − 45 Lời giải D y = 24 x − 43 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x − suy kn = 24 Khi y ′ = x − x = 24 ⇔ x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến là: y = 24 ( x − ) + = 24 x − 43 Chọn D Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = A y = x − −x +1 B y = x + 24 C y = x + 10 Lời giải Do tiếp tuyến vng góc với y = −1 −x =9 + nên ku = kd x = Giải y ′ = x + x = ⇔ x = −3 Với x = ⇒ y = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x − 1) + = x − y = 9x − D y = x + 24 Với x = −3 ⇒ y = −3 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 3) − = x + 24 Vậy có phương trình tiếp tuyến y = x − 8; y = x + 24 Chọn D Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = 3x + biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x −1 5x + y + = A y = −5 x − B y = −5 x + 18 Ta có: d : y = −5 x − ⇒ ku = −5 Giải y ′ = C y = −5 x + 10 Lời giải −5 ( x − 1) D y = −5 x + 12 x = = −5 ⇔ x = Với x = ⇒ y = −2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = −5 x − (loại) Với x = ⇒ y = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = −5 ( x − ) + = −5 x + 18 Chọn B Ví dụ 12: Cho hàm số y = x + 2mx + ( C ) Tìm giá trị tham số m biết tiếp tuyến ( C ) điểm có hồnh độ x = −1 vng góc với đường thẳng y = A m = −5 B x +3 −5 C D Lời giải −5 Ta có: ku = y′ ( −1) = + 2m Từ gt ⇒ ( + 2m ) = −1 ⇔ + 2m = −2 ⇔ m = Chọn B 2 Ví dụ 13: Cho hàm số y = − x + 2mx + n ( C ) Tìm tổng m + n biết tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 1;3) có hệ số góc k = A B C Lời giải D Ta có: y ′ = −3 x + 4mx ⇒ y′ ( 1) = −3 + 4m = ⇔ m = Mặt khác điểm A ( 1;3) ∈ ( C ) nên = −1 + 2m + n = n + ⇔ n = Vậy m + n = Chọn B Ví dụ 14: Cho hàm số y = x+m ( C ) Biết tiếp tuyến ( C ) điểm A ( 2; −4 ) song song với đường x+n thẳng y = −5 x + 2017 Vậy giá trị 2m − n là: A B C Lời giải D m+2 m = −4n − 10 m = −4n − 10 −4 = n + n = −3 n + 10 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ 2m − n = Giải hệ n−m = −5 m=2 = −1 y′ ( ) = = − n + ( n + 2) ( n + 2) Chọn D Ví dụ 15: Cho hàm số y = mx + n ( C ) Biết ( C ) qua điểm A ( 1; −3) tiếp tuyến ( C ) điểm có x−2 hồnh độ x = có hệ số góc k = −5 Giá trị biểu thức m + n bằng: A B 10 C 13 Lời giải D 25 m+n −3 = − m + n = m = ⇔ ⇔ ⇒ m2 + n2 = Giải hệ −2 m − n m + n = n = y′ ( 3) = = −5 ( − 2) Chọn A Ví dụ 16: Cho hàm số y = x + mx + nx ( C ) Tìm giá trị m + n để đồ thị hàm số qua điểm A ( −1;5 ) tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = vng góc với đường thẳng y = A B 10 C 20 Lời giải −1 x+2 D 25 5 = −1 + m − n m = m − n = ⇔ ⇔ ⇒ m + n = 20 Chọn C Giải hệ −1 y′ ( 1) = −1 ( + 2m + n ) = n = −4 Ví dụ 17: Tìm tất giá trị tham số m để có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + 3mx + có hệ số góc k = −3 A −1 < m < B −1 ≤ m ≤ m > C m < −1 Lời giải D m = ±1 Để có tiếp tuyến phải có tiếp điểm phân biệt Giả sử hoành độ tiếp điểm x = a 2 Khi ta có: y ′ ( a ) = 3a + 6ma = −3 ⇔ a + 2ma + = m > Đk có tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 là: ∆ ( 1) = m − > ⇔ Chọn C m < −1 Ví dụ 18: Gọi d tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số y = x − x + x − 11 Đường thẳng d qua điểm đây? 2 A M −5; ÷ 3 Ta có y = 2 B P 5; − ÷ 3 5 C N 2; − ÷ 3 Lời giải 5 D Q −2; ÷ 3 x − x + x − 11 → y′ = x − x + 9, ∀x ∈ ¡ Hệ số góc tiếp tuyến d đồ thị hàm số M ( x0 ; y0 ) k = y′ ( x0 ) = x0 − x0 + 2 Mặt khác x0 − x0 + = ( x0 − x0 + ) + = ( x0 − ) + ≥ ⇒ kmin = Dấu xảy ( x0 − ) = ⇔ x0 = ⇒ y0 = − Vậy phương trình d y + 11 11 17 2 = x − ⇔ y = x − ⇒ P 5; − ÷∈ d Chọn B 3 3 Ví dụ 19: Cho hàm số y = ax + b ( C ) có bảng biến thiên hình vẽ Biết tiếp tuyến ( C ) giao cx − điểm ( C ) với trục tung song song với đường thẳng y = x + 2018 −∞ x +∞ y′ + + +∞ −3 y −∞ −3 T = a + b + c Giá trị biể thức là: A T = C T = Lời giải B T = D T = Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = tiệm cận ngang y = −3 −3 x + b 3−b ⇒ y′ ( ) = − b Do hàm số có dạng: y = x − ⇒ y′ = ( x − 1) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2018 ⇒ − b = ⇔ b = Vậy a = −3; b = 1; c = ⇒ T = Chọn D Ví dụ 20: Cho hàm số y = x+4 ( C ) Điểm M ( x0 ; y0 ) (với y0 > ) thuộc ( C ) cho tiếp tuyến M cắt x−3 trục Ox, Oy A B cho AB = 5.OA Giá trị x0 + y0 là: A 16 B 17 · Ta có: ∆OAB vng O ta có: tan BAO = C 18 Lời giải OB = OA AB − OA2 =7 OA Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ta có: k = ±7 x0 + x0 = −7 = ±7 ⇔ ( x0 − 3) = ⇔ Gọi M x0 ; ÷ ⇒ y ′ ( x0 ) = x0 − ( x0 − 3) x0 = Suy M ( 4;8 ) ⇒ T = 16 Chọn A Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm D 19 A −1 B Câu 20: Cho hàm số y = x−2 có đồ thị ( C ) điểm A ( m;1) Gọi S tập giá trị m để có 1− x C D tiếp tuyến ( C ) qua A Tính tổng bình phương phần tử tập S A 13 B Câu 21: Cho đồ thị ( C ) : y = C D 25 x −1 d1 , d hai tiếp tuyến ( C ) song song với Khoảng cách 2x lớn d1 d A B C D 2 Câu 22: Cho hàm số y = x − x + có đồ thị ( C ) Gọi A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) với x A < xB điểm thuộc ( C ) cho tiếp tuyến A, B song song với AB = Tính S = x A − xB A S = −16 B S = 16 C S = 15 D S = −9 Câu 23: Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau f ( x ) > 0, ∀x ∈ ¡ , f '( x) = −e x f ( x )∀x ∈ ¡ f ( ) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln A x + y − ln − = B x − y − ln + = C x − y + ln − = D x + y + ln − = Câu 24: Cho hàm số y = x4 − x + , có đồ thị ( C ) điểm M ∈ ( C ) có hồnh độ xM = a Có bao 2 nhiêu giá trị nguyên a để tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) hai điểm phân biệt khác M A B Câu 25: Cho hàm số y = f ( x ) = y = f ′ ( x ) hình vẽ C D ax + b ( a, b, c, d ∈ ¡ ; c ≠ 0, d ≠ ) có đồ thị ( C ) Đồ thị hàm số cx + d Biết ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ Tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục hồnh có phương trình là: A x + y − = B x + y + = Câu 26: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C) A cắt ( C) C x − y − = D x − y + = hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? A B C D 14 Câu 27: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp tuyến 3 ( C) A cắt ( C) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) ? A B Câu 28: Cho hàm số y = C D 27 15 x − x + có đồ thị ( C ) điểm A − ; − ÷ Biết có ba điểm 4 2 16 M ( x1 ; y1 ) , M ( x2 ; y2 ) , M ( x3 ; y3 ) thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) điểm qua A Tính S = x1 + x2 + x3 A S = − Câu 29: Cho hàm số y = B S = −3 C S = − D S = 2x ( C ) Các điểm M ∈ ( C ) cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai x +1 có dạng M ( a; b ) , M ( c; d ) Khi tổng trục tọa độ A, B với diện tích tam giác OAB a + b + c + d A − B − C − D − Câu 30: Cho hàm số y = x + x + 3x + có đồ thị ( C ) Có tất giá trị nguyên tham số m để từ điểm M ( 0; m ) kẻ tiếp tuyến đến đồ thị ( C ) mà hoành độ tiếp điểm thuộc đoạn [ 1;3] A Vô số B C 61 D 60 Câu 31: Cho hàm số y = ( dm ) : y = x + m 2x + có đồ thị x−2 ( C) Có giá trị thực tham số m để cắt ( C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến ( C ) hai điểm song song với nhau? A Vô số B C D Câu 32: Cho hàm số y = x −1 , gọi d tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hồnh độ m − x+2 Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A ( x1 ; y1 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B ( x2 ; y2 ) Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần từ S A B C 10 D Câu 33: Cho hàm số y = x − 2009 x có đồ thị ( C ) M điểm ( C ) có hồnh độ x1 = Tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) điểm M khác M , tiếp tuyến ( C ) M cắt ( C ) điểm M khác M … tiếp tuyến ( C ) M n −1 cắt ( C ) M n khác M n −1 (n = 4;5;…), gọi ( xn ; yn ) tọa độ 2013 điểm M n Tìm n để: 2009 xn + yn + = A n = 685 B n = 679 C n = 672 D n = 675 Câu 34: Cho hàm số y = x + x có đồ thị ( C ) M điểm ( C ) có hồnh độ Tiếp tuyến điểm M cắt ( C ) điểm M khác M Tiếp tuyến điểm M cắt ( C ) điểm M khác M Tiếp tuyến M n −1 cắt ( C ) điểm M n khác M n −1 ( n ≥ 4, n ∈ ¥ ) ? Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều 21 kiện yn − xn + = A n = B n = C n = 22 D n = 21 Câu 35: Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc đồ thị ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) (M, N khác A) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) A B C D Câu 36: Giả sử đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến chung đồ thị hàm số y = x − x + y = x + x − 10 Tính M = 2a + b A M = 16 B M = −4 C M = D M = Câu 37: Cho hàm số y = x − 2mx + ( m − 1) x + , (m tham số) có đồ thị ( Cm ) tồn hai điểm phân biệt A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) cho tiếp tuyến ( Cm ) A, B vng góc với đường thẳng ∆ : x − y + = đồng thời A x A + xB ≤ 2 S = [ u; v ) Tính u + v B C Câu 38: Qua điểm A ( 1; −4 ) kẻ hai tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = D hai tiếp điểm M ( x1 ; y1 ) x +1 N ( x2 ; y2 ) Khẳng định A x1 x2 = B x1 x2 = −1 C x1 x2 = −5 D x1 x2 = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có y ′ = ( x − 2) −a + Giả sử M a; ÷ tọa độ tiếp điểm a−2 Phương trình tiếp tuyến M y = Mà tiếp tuyến qua A ( 2; −1) nên ( a − 2) ( a − 2) 2 ( x − a) + ( − a) + −a + a−2 −a + −a = −1 ⇔ = −1 ⇔ − a = − a a−2 a−2 Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn D Câu 2: Ta có y ′ = −3 2a + Giả sử M a; ÷ tọa độ tiếp điểm ( x − 1) a −1 Phương trình tiếp tuyến M y = Mà tiếp tuyến qua M ( 1; ) nên −3 ( a − 1) −3 ( a − 1) 2 ( x − a) + ( 1− a) + 2a + a −1 2a + 2a + =2⇔ = ⇔ 2a + = 2a − a −1 a −1 Do khơng có giá trị a thỏa mãn Chọn A Câu 3: Ta có y ′ = Hệ số góc ( x + 2) ( a + 2) 2 a −1 Giả sử M a; ÷ tọa độ tiếp điểm a+2 a = −1 ⇒ M ( −1; −2 ) =3⇔ ⇒ S = −2 + = Chọn D a = −3 ⇒ M ( −3; ) Câu 4: Ta có y ′ = −3 x + x = −3 ( x − 1) + ≤ x = ⇒ y = Do phương trình tiếp tuyến y = ( x − 1) + = x + Chọn A Câu 5: Ta có y ′ = −3 x + Giả sử M ( a; −a + 2a + ) a = ⇒ M ( 1;5 ) ⇒ m = 2 Ta có k = y′ ( a ) = −3a + = −1 ⇔ a = ⇔ Chọn B a = −1 ⇒ M ( −1;3) ⇒ m = Câu 6: Ta có f ′ ( x ) = x − x − ⇒ f ′′ ( x ) = x − 1; f ′′ ( x ) = ⇔ x = 17 1 Hệ số góc f ′ ÷ = − Chọn D 2 11 x =1⇒ y = − ⇒ cực tiểu ( 3; −5 ) Câu 7: Ta có y ′ = x − x + 3; y′ = ⇔ x = ⇒ y = −5 Hệ số góc cực tiểu y ′ ( 3) = ⇒ song song trục hoành Chọn B Câu 8: Ta có y ′ = −3 ( x − 2) Tại x = ⇒ y = Hệ số góc y ′ ( 3) = −3 Phương trình tiếp tuyến y = −3 ( x − 3) + = −3 x + 13 Chọn D Câu 9: Ta có y ′ = −1 ( x + 1) Giao điểm với trục tung ( 0; ) Hệ số góc y ′ ( ) = −1 Phương trình tiếp tuyến y = − x + Chọn A Câu 10: Ta có y ′ = x − Giả sử M ( a; a − 3a + ) tọa độ tiếp điểm a = ⇒ M ( 2; ) ⇒ y = x − 14 2 Hệ số góc k = y′ ( a ) = 3a − = ⇔ a = ⇔ Chọn C a = −2 ⇒ M ( −2;0 ) ⇒ y = x + 18 Câu 11: Ta có y ′ = ( 1− x) Giao điểm với trục tung ( 0; ) Hệ số góc y ′ ( ) = Phương trình tiếp tuyến y = x + Chọn A Câu 12: y ′ = x − x Hệ số góc y′ ( 3) = ⇒ tiếp tuyến y = x − 26 Chọn B Câu 13: y ′ = x − x + = ( x − ) − ≥ −1 x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến y = − ( x − ) + = − x + Chọn A 3 x = ⇒ y = −1 Câu 14: y ′ = −8 x + x; y ′ = ⇔ x = ±1 ⇒ y = Do tung độ tiếp điểm Chọn A Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến điểm x = x0 k = y′ ( x0 ) = 3x0 − x0 + m − 2 1 Ta có x − x0 + = x0 − ÷ − ≥ − ⇒ k ≥ m − Do kmin = m − 3 3 4 Theo ra, ta có 3kmin = −1 ⇔ m − ÷ = −1 ⇔ m − = − ⇔ m = Chọn B 3 3 x0 − Câu 16: Gọi M x0 ; ÷⇒ y′ ( x0 ) = − nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M x0 − ( x0 − ) y − y0 = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − x0 − =− x − x0 ) ( x0 − ( x0 − ) 2x − Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = A 2; ÷ ⇒ IA = 0; ÷ x0 − x0 − Tiếp tuyến d cắt TCN: y = B ( x0 − 2; ) ⇒ IB = ( x0 − 4;0 ) Suy IA.IB = x0 − = mà IA2 + IB = AB = ⇒ IA = IB = x0 − → k = −1 Chọn D Do x0 − = ⇔ ( x0 − ) = ( d) f ( 1) = Câu 17: Thay x = vào giả thiết, ta f ( 1) = − f ( 1) ⇔ f ( 1) = −1 Đạo hàm vế giả thiết, ta có f ′ ( + x ) f ( + x ) = + f ′ ( − x ) f ( − x ) (*) Thay x = vào (*), ta f ′ ( 1) f ( 1) = + f ′ ( 1) f ( 1) (I) TH1 Với f ( 1) = thay vào (I), ta có = (vơ lý) TH2 Với f ( 1) = −1 thay vào (I), ta có −4 f ′ ( 1) = + f ′ ( 1) ⇒ f ′ ( 1) = − Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y + = − (vô lý) 1 ( x − 1) ⇔ y = − x − Chọn A 7 Câu 18: Tiếp tuyến song song với trục Ox ⇒ k = y′ ( x0 ) = x = ⇒ y = m − Giải phương trình y ′ = x − x = ⇔ x = ±1 ⇒ y = m − Phương trình tiếp tuyến điểm ( 0; m − ) là: y = m − Phương trình tiếp tuyến điểm ( ±1; m − 3) là: y = m − m − = m = ⇔ Để có tiếp tuyến song song với trục Ox m − = m = Vậy S = { 2;3} ⇒ T = Chọn B Câu 19: Phương trình hồnh độ giao điểm là: x3 − 3x − = mx − m − ⇔ x − x + − m ( x − 1) = ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) − m ( x − 1) = x = ⇒ y = −3 ⇔ ( x − 1) ( x − x − − m ) = ⇔ g ( x ) = 2x − x −1− m = ∆ = + ( + m ) > Để d cắt ( C ) điểm phân biệt g ( x ) = có nghiệm khác ⇔ (*) g ( 1) = −m ≠ x1 + x2 = Gọi A ( x1 ; mx1 − m − 3) B ( x2 ; mx2 − m − 3) theo Vi-ét ta có: x x = −1 − m 2 Để tiếp tuyến A B ( C ) vng góc với y ′ ( x1 ) y′ ( x2 ) = −1 ⇔ ( x12 − x1 ) ( x22 − x2 ) = −1 ⇔ x1 x2 ( x1 − 1) ( x2 − 1) = − ⇔ x1 x2 ( x1 x2 − x1 − x2 + 1) = − 36 −1 − m −1 − m ⇔ − + 1÷ = − 36 2 36 m + 2m + 1 + m 1 −3 ± ⇔ − = − ⇔ m2 + m + = ⇔ m = ( t / m ( *) ) 4 36 Suy tổng phần tử S −1 Chọn A x −2 Câu 20: Phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm M x0 ; ÷ là: − x0 + y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + x0 − x −2 −1 = x − x0 ) + ( − x0 + ( x0 − 1) − x0 + Do tiếp tuyến qua điểm A ( m;1) nên = x0 − a + ( − x0 ) ( x0 − 1) ( x0 − 1) ⇔ ( x0 − 1) = − x02 + x0 − − m ⇔ x02 − x0 + + m = ( *) Để có tiếp tuyến qua A (*) có nghiệm kép (*) có nghiệm phân biệt có ∆′ = − m = m= ′ nghiệm x0 = ⇔ ∆ = − 2m > ⇔ 2.1 − + + m = m = 13 3 Vậy S = ;1 ⇒ Tổng bình phương trình tập hợp S + = Chọn A 4 2 Câu 21: ( C ) : y = x −1 1 ⇒ y ′ = Ta có: y = − 2x 2x 2x 1 1 Gọi A a; − ÷, B b; − ÷( a ≠ b, ab ≠ ) hai điểm thuộc đồ thị ( C ) 2a 2b Gọi d1 , d hai tiếp tuyến ( C ) A B song song với Theo giả thiết ta có: y ′ ( a ) = y′ ( b ) ⇔ 1 a ≠b = ⇔ a = b ⇔ ( a − b ) ( a + b ) = → a = −b 2a 2b 1 Suy B −a; + ÷ 2a Phương trình tiếp tuyến A là: d1 : y = Khi d ( d1 ; d ) Mặt khác 1 x 1 x − a) + − = 2+ − ( 2a 2a a a −a 1 1 + − − − 2a 2 a 2a = d ( B; d1 ) = = +1 4a a = +1 4a + a2 4a 1 2 + a2 ≥ a = ⇒ d ≤ = ⇒ d max = Chọn C 2 4a 4a 3 Câu 22: Gọi A ( a; a − 3a + 1) , B ( b; b − 3b + 1) với a < b 2 2 Tiếp tuyến A, B song song với ⇒ y′ ( a ) = y′ ( b ) ⇔ 3a − = 3b − ⇔ a = b a ≠b ⇔ ( a − b ) ( a + b ) = → a = −b ( Khi đó: B ( − a; −a + 3a + 1) ⇒ AB = 4a + ( 2a − 6a ) = 2 ) 2 t =a ⇔ 4a − 24a + 40a = 32 → 4t − 24t + 40t − 32 = ⇔ t = ⇒ a = ±2 Do a < b ⇒ a = −2, b = ⇒ S = ( −2 ) − 5.2 = −16 Chọn A −1 ′ f ′( x) x x ′ Câu 23: Ta có: f ′ ( x ) = −e f ( x ) ⇒ = −e ⇒ = ex + C = ( −e ) ⇒ f ( x) f x f x ( ) ( ) x 1 −e x ′ f = ⇒ = e + C ⇒ C = ⇒ f x = ⇒ f x = ( ) ( ) ( ) Mặt khác f ( 0) ex +1 ( e x + 1) −2 ′ f ln = ( ) ⇒ Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ x0 = ln là: Ta có: f ( ln ) = y= −2 ( x − ln ) + ⇔ y = −2 x + ln + ⇔ x + y − ln − = Chọn A a4 5 M Câu 24: Gọi a; − 3a + ÷, y′ = x − x 2 Phương trình tiếp tuyến M là: y = ( 2a − 6a ) ( x − a ) + a4 − 3a + ( d ) 2 Phương trình hồnh độ giao điểm d ( C ) là: ( 2a − 6a ) ( x − a ) + a4 x4 − 3a + = − 3x + ⇔ ( 2a − 6a ) ( x − a ) + ( a − x ) − ( a − x ) = 2 2 ⇔ ( x − a ) 2a − 6a − ( a + x ) ( a + x ) + ( x + a ) ÷ = 1 1 ⇔ ( x − a ) 2a − 6a − a − ax − a x − x + 3x + 3a ÷ = 2 2 ⇔ ( x − a ) ( 3a − ax − a x − x + 3x − 3a ) = ⇔ ( x − a ) ( x − a ) ( − x − 2ax − 3a ) + ( x − a ) = ⇔ ( x − a) (x x = a ⇒ M ( a; y M ) + 2ax + 3a − 3) = ⇔ 2 g ( x ) = x + 2ax + 3a − = Để d cắt ( C ) điểm phân biệt khác M phương trình g ( x ) = phải có nghiệm phân biệt khác 2a < ∆′ = a − 3a + > a⇔ ⇔ g ( a ) = 6a − ≠ a ≠ Kết hợp a ∈ ¢ ⇒ a = { 0; ±1} Vậy có giá trị a Chọn B Câu 25: ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ nên f ( ) = ⇒ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có tiệm cận đứng x = − b = ⇒ b = 2d d d b = −1 ⇒ c = d ⇒ c = d = c a a c2 − ÷ −2 = c Ta có: y = f ( x ) = ax + b ⇒ f ′ ( x ) = ad − bc = ac − 2c = c 2 cx + d c ( x + 1) ( cx + d ) ( cx + c ) ( x + 1) Lại có: f ′ ( −2 ) = f ′ ( ) = −3 ⇒ a − = −3 ⇒ a = − c c ax + b −cx + 2c − x + −3 , C ) ∩ Ox = A ( 2;0 ) Vậy y = cx + d = cx + c = x + , y′ = ( ( x + 1) 1 Ta có: y ′ ( ) = − ⇒ Phương trình tiếp tuyến A là: y = − ( x − ) hay x + y − = Chọn A 3 2 Câu 26: Gọi A a; a − a ÷∈ ( C ) nên phương trình tiếp tuyến d ( C ) A y − y A = y′ ( x A ) ( x − x A ) ⇔ y = ( a − 7a ) ( x − a ) + a − a Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d 7 x − x = ( a3 − a ) ( x − a ) + a − a 4 ⇔ x − 14 x − ( 4a3 − 28a ) ( x − a ) − a + 14a = ⇔ ( x − a) (x x = a + 2ax + 3a − 14 ) = ⇔ 2 x + 2ax + 3a − 14 = ( 1) Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a ⇔ ≠ a2 < 3 Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k = ⇒ a − a = ⇒ a = { −2; −1;3} Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn B 14 Câu 27: Gọi A a; a − a ÷∈ ( C ) nên phương trình tiếp tuyến d ( C ) A 28 14 4 y − y A = y′ ( x A ) ( x − x A ) ⇔ y = a − a ÷( x − a ) + a − a 3 3 Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d 14 28 14 x − x = a − a ÷( x − a ) + a − a 3 3 3 ⇔ x − 14 x − ( 4a3 − 28a ) ( x − a ) − a + 14a = ⇔ ( x − a) (x x = a + 2ax + 3a − 14 ) = ⇔ 2 x + 2ax + 3a − 14 = ( 1) Ta tìm điều kiện để (1) có nghiệm phân biệt khác a ⇔ Theo ra, hệ số góc tiếp tuyến k = ⇒ ≠ a2 < 28 a − a = ⇒ a = { −2; −1;3} 3 Vậy có tất hai giá trị a cần tìm Chọn A Câu 28: Gọi tiếp tuyến d qua A có phương trình y + 15 27 27 15 = k x + ÷ ⇔ y = kx + k − 16 16 2 x − x = k Vì ( C ) d tiếp xúc ⇒ 27 15 x − 3x + = kx + k − 16 2 x = −2; x = −1 27 15 Suy x − x + = x + ÷( x − x ) − ⇔ Vậy S = − Chọn C 2 16 x= x0 Câu 29: Gọi M x0 ; ÷⇒ y′ ( x0 ) = nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M ( x0 + 1) x0 + y− x0 x0 = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − = ( x − x0 ) x0 + x0 + ( x0 + 1) 2 Tiếp tuyến d cắt Ox A ( − x0 ;0 ) ⇒ OA = x0 x02 x02 ÷⇒ OB = Tiếp tuyến d cắt Oy B 0; ( x + 1) ÷ ( x0 + 1) Do S ∆OAB x0 = − ⇒ y0 = −2 x04 1 = OA.OB = = ⇔ 2 ( x0 + 1) x0 = ⇒ y0 = 1 Vậy a + b + c + d = − Chọn D Câu 30: Phương trình tiếp tuyến d ( C ) qua M y − m = k ( x − ) ⇔ y = kx + m 3 x + x + = k ⇔ m = −2 x − x + Vì ( C ) tiếp xúc với d nên suy x + x + x + = kx + m Yêu cầu toán ⇔ m = g ( x ) = −2 x − x + có nghiệm thuộc [ 1;3] (d) 2 Xét hàm số g ( x ) = −2 x − x + [ 1;3] , có g ′ ( x ) = −6 x − x < 0; ∀x ∈ [ 1;3] Suy g ( x ) hàm số nghịch biến ( 1;3) ⇒ g ( 3) ≤ m ≤ g ( 1) ⇔ −62 ≤ m ≤ −2 Vậy có tất −2 − ( −62 ) + = 61 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Câu 31: Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d 2x + = 2x + m x−2 x ≠ x − ≠ ⇔ ⇔ x + ( m − ) x − 2m − = 43 2 x + = ( x − ) ( x + m ) 144444444444f24444444444 ( x) Để ( C ) cắt d điểm phân biệt ⇔ f ( x ) = có nghiệm phân biệt khác f ( ) ≠ ⇔ ⇔ ( m − ) + ( 2m + 3) > ⇔ m + 4m + 60 > 0; ∀m ∆ > 6−m x1 + x2 = Khi đó, gọi x1 , x2 hoành độ giao điểm ⇒ x x = − 2m + 2 Theo ra, ta có y ′ ( x1 ) − y′ ( x2 ) ⇔ − Từ (1), (2) suy ( x1 − ) =− ( x2 − ) (1) x = x2 ⇔ x1 + x2 = (2) 6−m = ⇔ m = −2 Chọn B x0 − Câu 32: Gọi M x0 ; ÷ ⇒ y′ ( x0 ) = nên phương trình tiếp tuyến ( C ) M ( x0 + ) x0 + y− x0 − x −1 = y′ ( x0 ) ( x − x0 ) ⇔ y − = ( x − x0 ) x0 + x0 + ( x0 + ) x −4 x0 − Tiếp tuyến d cắt TCĐ: x = A −2; ÷⇒ y1 = x0 + x0 + Tiếp tuyến d cắt TCN: y = B ( x0 + 2; ) ⇒ x2 = x0 + Theo ra, ta có x2 + y1 = −5 ⇔ x0 + + x0 = −5 m = −3 x0 − = −5 ⇔ ⇒ Chọn C x0 + x0 = −1 m = Câu 33: Phương trình tiếp tuyến ( C ) M k ( xk ; yk ) y − yk = y ′ ( xk ) ( x − xk ) ⇔ y = y ′ ( xk ) ( x − xk ) + yk = ( 3xk2 − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x − 2009 x = ( 32k − 2009 ) ( x − xk ) + xk3 − 2009 xk ⇔ ( x − xk ) x = xk x = −2 xk ( x + xk ) = ⇔ (d) Do xk +1 = −2 xk suy ( xn ) cấp số nhân với x1 = 1; q = −2 ⇒ xn = ( −2 ) Vậy 2009 xn + yn + 22013 = ⇔ xn3 + 22013 = ⇔ ( −2 ) n −3 n −1 + 22013 = ⇔ n = 672 Chọn C Câu 34: Phương trình tiếp tuyến ( C ) M k ( xk ; yk ) y − yk = y ′ ( xk ) ( x − xk ) ⇔ y = y ′ ( xk ) ( x − xk ) + yk = ( 3xk2 + 3) ( x − xk ) + xk3 + 3xk (d) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) d x + 3x = ( 3xk2 + 3) ( x − xk ) + xk3 + xk ⇔ ( x − xk ) Do xk +1 = −2 xk suy ( xn ) cấp số nhân với x1 = 1; q = −2 ⇒ xn = ( −2 ) Vậy yn − xn + 221 = ⇔ xn3 + 221 = ⇔ ( −2 ) n −3 x = xk x = −2 xk ( x + xk ) = ⇔ n −1 + 21 = ⇔ n = Chọn B r Câu 35: Từ giả thiết ta suy đường thẳng MN có vectơ phương u ( 1;3) Gọi A ( x0 ; y0 ) −45 x0 = ⇒ y0 = −13 ta có: f ′ ( x0 ) = ⇔ x0 − x0 = ⇔ x0 = −1 ⇒ y0 = 2 x = − ⇒ y = − Ta phương trình tiếp tuyến tương ứng y = 3x − 117 11 , y = 3x + , y = 3x + 8 Kiểm tra điều kiện cắt điểm Ta xét phương trình 7 x − x = x + m ⇔ g ( x ) = x − x − x = m ( *) 8 x = 3 Khi g ′ ( x ) = ⇔ x − x − = ⇔ x = −1 Ta bảng biến thiên sau: 2 x = −2 x −∞ g′ ( x) −2 + −1 − + 14 +∞ − +∞ g ( x) +∞ −117 Dựa vào BBT suy m = 11 , m = phương trình (*) có ba nghiệm Vậy có hai điểm A thỏa mãn yêu cầu toán Chọn B Câu 36: Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x − x + phương trình x − x + = ax + b ⇔ x − ( a + ) x + − b có nghiệm kép ⇔ ∆ = ( a + ) − ( − b ) = (1) Tương tự đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + x − 10 phương trình x + x − 10 = ax + b ⇔ x + ( − a ) x − 10 − b = có nghiệm kép ⇔ ( a − 3) + ( b + 10 ) = (2) a + 10a + 4b + = 16a − 48 = a = ⇒ ⇔ Từ (1) (2) ⇒ a − 6a + 4b + 49 = a − 6a + 4b + 49 = b = −10 Vậy M = 2a + b = −4 Chọn B Câu 37: Viết lại: d : y = x + 1, y ′ = x − 4mx + ( m − 1) 1 Ta có: y ′ ( x1 ) = −1, y′ ( x2 ) = −1 nên x1 ; x2 nghiệm phương trình: y ′ ( x ) = −4 4 x = ⇔ x − 4mx + 8m − = ⇔ ( x − ) − 4m ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + − 4m ) = ⇔ x = 4m − (1) Để tồn điểm A, B thỏa mãn u cầu tốn phương trình (1) có nghiệm phân biệt không âm 4m − ≥ m ≥ ⇔ ⇔ 4m − ≠ m ≠ Khi ta có: x A + xB ≤ 2 ⇔ 4m − + ≤ 2 ⇔ m − ≤ ⇔ m ≤ 1 Kết hợp điều kiện suy S = ;1÷ ⇒ u + v = Chọn A 2 Câu 38: Gọi K a; ÷( a ≠ 1) thuộc ( C ) a +1 Phương trình tiếp tuyến K là: y = −1 ( a + 1) Tiếp tuyến qua điểm A ( 1; −4 ) ⇔ −4 = ( x − a) + −1 ( a + 1) a +1 ( 1− a) + a −1 + a +1 ⇔ −4 = a +1 ( a + 1) a=− ⇔ −2 ( a + 1) = a ⇔ 2a + 5a + = ⇔ ⇒ x1 x2 = a1a2 = Chọn A a = −1 2 ... Phương trình tiếp tuyến là: y = ( x + 3) − = x + 24 Vậy có phương trình tiếp tuyến y = x − 8; y = x + 24 Chọn D Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) : y = 3x + biết tiếp tuyến song song... trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm D 19 Phương pháp giải: Cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua B ( α ; β ) Gọi A ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C ) Khi phương trình tiếp. .. Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = a) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −1 b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −4 x + x −1 biết: x−2 c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng