Đang tải... (xem toàn văn)
CHỦ ĐỀ 8 BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ 1 Bài toán 1 Tìm tham số m để có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên miền D Bước 1 Tách m ra khỏi biến số x và đưa về dạng Bước 2 Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên D Bước 3 Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số để đường thẳng nằm ngang cắt đồ thị hàm số Một số kiến thức quan trọng để giải quyết bài toán 1 ( Hàm số có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên D thì giá trị cần tìm để phương trình có nghiệm thỏa mãn ( Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để.
CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Bài tốn Tìm tham số m để f ( x; m ) = có nghiệm (hoặc có k nghiệm) miền D - Bước Tách m khỏi biến số x đưa dạng f ( x ) = P ( m ) - Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D - Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P ( m ) để đường thẳng y = P ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) Một số kiến thức quan trọng để giải toán Hàm số y = f ( x ) có giá trị nhỏ giá trị lớn D giá trị P ( m ) cần tìm để phương trình f ( x ) ≤ P ( m ) ≤ max f ( x ) có nghiệm thỏa mãn x∈D x∈D Nếu tốn u cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y = P ( m ) nằm ngang cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) k điểm phân biệt Nếu đổi biến, nói cách khác đặt ẩn phụ ta cần tìm điều kiện cho biến biện luận mối tương quan số nghiệm biến cũ biến Nếu đề yêu cầu tìm tham số m để phương trình bậc hai theo mũ lơgarit có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = a x1 x2 = b , ta sử dụng định lý Vi-ét sau lấy mũ lôgarit hai vế hợp lí Bài tốn Tìm tham số m để f ( x; m ) ≥ f ( x; m ) ≤ có nghiệm D - Bước Tách m khỏi biến số x đưa dạng f ( x ) ≥ P ( m ) f ( x ) ≤ P ( m ) - Bước Khảo sát biến thiên hàm số f ( x ) D - Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số P ( m ) để bất phương trình có nghiệm: f ( x) P ( m ) ≤ f ( x ) có nghiệm D ⇔ P ( m ) ≤ max x∈D f ( x) P ( m ) ≥ f ( x ) có nghiệm D ⇔ P ( m ) ≥ x∈D Một số kiến thức quan trọng để giải toán f ( x) Bất phương trình P ( m ) ≤ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ P ( m ) ≤ x∈D f ( x) Bất phương trình P ( m ) ≥ f ( x ) nghiệm ∀x ∈ D ⇔ P ( m ) ≥ max x∈D Nếu f ( x; m ) ≥ 0; ∀x ∈ ¡ f ( x; m ) ≤ 0; ∀x ∈ ¡ với f ( x; m ) tam thức bậc hai, ta sử dụng dấu tam thức bậc hai Một số phương pháp áp dụng toán a) Phương pháp đặt ẩn phụ: Đặt t = a u ( x ) t = log a u ( x ) , tùy theo điều kiện x ta tìm miền xác định biến t b) Phương pháp hàm số: Đưa phương trình (bất phương trình) dạng f ( u ) = f ( v ) với f ( t ) hàm số đơn điệu đại diện cho hai vế phương trình Khi f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v c) Dấu tam thức bậc hai: Xét hàm số f ( x ) = ax + bx + c có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 b x1 + x2 = − a Ta có ∆ = b − 4ac định lý Vi-ét: x x = c a ∆ > Phương trình f ( x ) = có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ x1 + x2 > x x > Phương trình f ( x ) = có hai nghiệm trái dấu ⇔ ac < a > Bất phương trình f ( x ) > 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ < a < Bất phương trình f ( x ) < 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ < Ví dụ 1: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình x −2 x = m − m + có nghiệm thuộc đoạn [ 0; 2] ? A B C Lời giải D Xét u ( x ) = x − x [ 0; 2] , có u ′ ( x ) = x − 2; u ′ ( x ) = ⇔ x = → −1 ≤ u ( x ) ≤ ⇔ Tính u ( ) = 0; u ( 1) = −1; u ( ) = Do đó, phương trình cho có nghiệm ⇔ ≤ x −2 x ≤ ≤ m2 − m + ≤ ⇔ ≤ m ≤ Kết hợp với m ∈ ¢ → có giá trị ngun m cần tìm Chọn A Ví dụ 2: Có giá trị nguyên m thuộc [ −10;10] để phương trình x +1 − x + + m = có nghiệm? A B 12 C Lời giải Ta có x +1 − x + + m = ⇔ ( x +1 ) − 2.2 x +1 + m = D 15 (1) Đặt t = x +1 > Phương trình (1) trở thành t − 2t + m = ⇔ t − 2t = −m (2) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ phương trình (2) có nghiệm t > Cách Xét hàm f ( t ) = t − 2t với t > Đạo hàm lập bảng biến thiên, ta kết luận −m ≥ −1 ⇔ m ≤ Chọn C 0 < t1 ≤ t2 Cách u cầu tốn ⇔ phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn t1 ≤ < t ∆′ ≥ 0 < m ≤ P > m∈¢ ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ Kết hợp m ∈ [ −10;10] → có 12 số nguyên m cần tìm S > m ≤ P ≤ Chọn B x x m x Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình + + = ( + 1) có hai nghiệm phân biệt A log ≤ m < B log < m < C < m ≤ log Lời giải D < m < log Đặt t = x > ⇔ x = ( x ) = t a = 3m nên phương trình cho trở thành: t + t + = a ( t + 1) ⇔ t − ( a − 1) t + − a = (*) ∆ > Yêu cầu tốn ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 ⇔ S = t1 + t2 > P = t t > ( a − 1) − ( − a ) > a + 2a − 15 > ⇔ ⇔ ⇔ < a < ⇔ < 3m < ⇔ < m < log 1 < a < a − > 0; − a > Chọn D Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 25 x − m.5 x +1 + m − = có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có phần tử? A B C Lời giải D Ta có 25 x − m.5 x +1 + m − = ⇔ ( x ) − 5m.5 x + 7m − = Đặt t = x > nên phương trình trở thành: t − 5mt + m − = (*) Với nghiệm t > phương trình (*) tương ứng với nghiệm x phương trình ban đầu Do đó, u cầu tốn tương đương phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt ∆ > 2 28 − 3m > 28 25m − ( 7m − ) > S > ⇔ ⇔ ⇔1< m < Khi m > P > 5m > 0;7m − > → m = { 2;3} hai giá trị nguyên cần tìm Chọn C Kết hợp với m ∈ ¢ Ví dụ 5: Có giá trị thực tham số m để phương trình x − 2m.2 x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A B C Lời giải D Đặt t = x > nên phương trình cho trở thành: t − 2mt + 2m = (*) Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt ⇔ (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 m − 8m > m > ∆ > ⇔ S = t1 + t2 > ⇔ 2m > ⇔ m < ⇔ m > P = t t > 2m > m > x x x +x Ta có t1t2 = 1.2 = 2 = = = 2m suy m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy m = giá trị cần tìm Chọn D x x Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất giá trị tham số thực m để phương trình + ( − m ) − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) A [ 3; 4] B [ 2; 4] C ( 2; ) Lời giải Ta có x + ( − m ) x − m = ⇔ x + 3.2 x = ( x + 1) m ⇔ m = D ( 3; ) x + 3.2 x 3x + = −x 2x + +1 3x.ln ( 2− x + 1) + ( 3x + ) 2− x ln 3x + >0 Xét hàm số f ( x ) = − x ( 0;1) , có f ′ ( x ) = 2 +1 ( 2− x + 1) Suy hàm số f ( x ) đồng biến ℝ, f ( ) < f ( x ) < f ( 1) ⇔ < f ( x ) < Vậy để phương trình m = f ( x ) có nghiệm < m < Chọn C Ví dụ 7: Cho phương trình 32 x −3 x + m + = 3x − x+2 + 3x −2 x+m Có giá trị nguyên tham số m thuộc [ −10;10] để phương trình cho có nghiệm phân biệt? A 12 B 2x Ta có ⇔3 x2 − x ( −3 x + m + = 3x x2 −2 x +m − x+2 ) ( −9 − + 3x C Lời giải x2 − x +m ( −2 x + m ⇔ 32 x ) ( −3 x + m −9 = ⇔ x2 − x − 3x )( −2 x + m −1 x2 − x = x = 0; x = ⇔ ⇔ g ( x ) = x − 2x + m − = x − 2x + m = D 17 ) +( 9−3 x2 −2 x + m x2 −2 x+m ) =0 3 x − x = −9 = ⇔ 3x − x + m = ) Để phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = có nghiệm phân biệt khác 0, ( −1) − ( m − ) > ∆′ > m < ⇔ g ( ) ≠ ⇔ m − ≠ ⇔ m ≠ m − ≠ g ( 1) ≠ → có 12 giá trị ngun m cần tìm Chọn A Vì m ∈ ¢ m ∈ [ −10;10] Ví dụ 8: Có giá tham số thực m để phương trình x − 2.3x +1 + 3m − = có nghiệm phân biệt? A B Ta có x − 2.3x +1 C Lời giải ( ) + 3m − = ⇔ 3x 2 D 2 − 6.3x + 3m − = (*) 2 Vì x ≥ ⇔ 3x ≥ 30 = Đặt t = 3x ≥ nên phương trình (*) ⇔ f ( t ) = t − 6t + 3m − = Yêu cầu tốn ⇔ f ( t ) = có nghiệm 1; nghiệm lại khác ⇔ f ( 1) = ⇔ 12 − 6.1 + 3m − = ⇔ 3m − = ⇔ m = Chọn B Ví dụ 9: Cho phương trình 251+ 1− x − ( m + ) 51+ 1− x + 2m + = với m tham số thực Số nguyên dương m bé để phương trình có nghiệm A m = B m = C m = Lời giải D m = Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Xét u ( x ) = + − x , có u ′ ( x ) = − Đặt t = 51+ 1− x max u ( x ) = [ −1;1] ′ ; u ( x ) = ⇔ x = → u ( x) = 1 − x2 [ −1;1] x ⇒ t ∈ [ 5; 25] nên phương trình ⇔ t − ( m + ) t + 2m + = ⇔ m = → Do phương trình có nghiệm ⇔ f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ¬ [ 5;25] [ 5;25] 16 576 ≤m≤ 23 Suy số nguyên dương m lớn m = Chọn D Cách CASIO Cô lập m ta m = Đặt f ( x ) = 251+ 1− x 51+ − 2.51+ 1− x 1− x −2 +1 251+ 1− x − 2.51+ 1+ 1− x 1− x −2 +1 Khi phương trình ⇔ f ( x ) = m Sử dụng MODE7 khảo sát hàm f ( x ) với thiết lập Start −1 , End 1, Step 0, Quan sát bảng giá trị ta thấy f ( x ) ≥ f ( ) = 16 16 hay m ≥ f ( ) = 3 t − 2t + t −2 Vậy m nguyên dương bé x x Ví dụ 10: Cho phương trình ( m + 1) 16 − ( 2m − 3) + 6m + = với m tham số thực Tập tất giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có dạng ( a; b ) Tính P = ab A P = C P = − B P = −4 D P = Lời giải ( m + 1) t − ( 2m − 3) t + 6m + = (*) Đặt t = x > Phương trình trở thành 14444444444444244444444444443 f ( t) x x → t1 < < t2 Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 < < x2 < < m + ≠ Yêu cầu toán ⇔ (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa < t1 < < t2 ⇔ ( m + 1) f ( 1) < ( m + 1) f ( ) > m + ≠ a = −4 ⇔ ( m + 1) ( 3m + 12 ) < ⇔ −4 < m < −1 → → P = Chọn A b = − ( m + 1) ( 6m + ) > Ví dụ 11: Có giá trị ngun tham số m ∈ [ −10;10] để phương trình 2x + mx − 22 x + mx + m = x + mx + m có hai nghiệm thực phân biệt? A B x Ta có ⇔ 2x 2 + mx + mx − 22 x + mx + m C 16 Lời giải = x + mx + m ⇔ x + x + mx = 22 x + mx + m + mx − 22 x + mx + m D 13 = x + 2mx + m − ( x + mx ) + x + 2mx + m ⇔ f ( x + mx ) = f ( x + 2mx + m ) (*) t t Xét hàm số f ( t ) = + t ( −∞; +∞ ) , có f ′ ( t ) = ln + > 0; ∀x ∈ ¡ Suy f ( t ) hàm số đồng biến ( −∞; +∞ ) nên (*) ⇔ x + mx = x + 2mx + m m > ⇔ x + mx + m = có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m − 4m > ⇔ m < → có 16 giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Kết hợp với m ∈ ¢ m ∈ [ −10;10] Ví dụ 12: Cho phương trình e m.sin x − cos x − e 2( 1−cos x ) = − cos x − m.sin x với m tham số thực Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để phương trình cho có nghiệm? A B 18 C 11 Lời giải D 15 m.sin x − cos x + m.sin x − cos x = e 2− 2cos x + − cos x ⇔ f ( m.sin x − cos x ) = f ( − cos x ) PT ⇔ e t Với f ( t ) = e + t hàm số đồng biến ( −∞; +∞ ) nên ta m.sin x − cos x = − cos x m ≥ 2 2 ⇔ m.sin x + cos x = có nghiệm m + ≥ ⇔ m ≥ ⇔ m ≤ − → có + = 18 giá trị nguyên cần tìm Chọn B Kết hợp với m ∈ ¢ m ∈ [ −10;10] Ví dụ 13: Có giá trị nguyên tham số thực m nhỏ 10 cho phương trình m + m + e x = e x có nghiệm thực? A Ta có B C Lời giải m + m + ex = ex ⇔ m + m + ex = ( ex ) ⇔ ( D 10 m + ex ) + m + ex = ( ex ) + ex (*) Xét hàm số f ( t ) = t + t ( 0; +∞ ) , có f ′ ( t ) = 2t + > 0; ∀t > Suy f ( t ) hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) nên (*) ⇔ f ) ( m + ex = f ( ex ) a =e > ⇔ m + e x = e x ⇔ m + e x = ( e x ) ⇔ m = ( e x ) − e x → m = g ( a ) = a2 − a 2 x Xét hàm số g ( a ) = a − a ( 0; +∞ ) , có g ′ ( a ) = 2a − 1; g ′ ( a ) = ⇔ a = 1 Dựa vào BBT, ta thấy m = g ( a ) có nghiệm thực dương ⇔ m ≥ g ÷ = − 2 Kết hợp với m ∈ ¢ m < 10 → có 10 giá trị ngun m cần tìm Chọn D x Ví dụ 14: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình m + e = e x + có nghiệm? B < m ≤ A < m < e C ≤ m → t > Suy t = e + ⇔ e ÷ = t − ⇔ e = t − 2x 2x 2x Khi phương trình cho trở thành m + t − = t ⇔ m = t − t − ′ Xét hàm số f ( t ) = t − t − ( 1; +∞ ) , có f ( t ) = − t3 (t − 1) (*) < 0; ∀t > Suy hàm số f ( t ) nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) t f ′( t ) +∞ − f ( t) Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm < m < Chọn A x + mx +1 Ví dụ 15: Có giá trị ngun tham số m để bất phương trình ÷ e x −3 m e ≤ ÷ 2 nghiệm với x ∈ ¡ ? A B x + mx +1 Ta có ÷ e x −3m e ≤ ÷ 2 C Lời giải x + mx +1 2 ⇔ ÷ e D 3m − x 2 ≤ ÷ e ⇔ x + 2mx + ≥ 3m − x a = > ⇔ x + ( m + 1) x − 3m + ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ −5 ≤ m ≤ ∆′ = ( m + 1) − ( − 3m ) ≤ Kết hợp với m ∈ ¢ → có giá trị ngun m cần tìm Chọn C Ví dụ 16: Có giá trị nguyên m ∈ [ −10;10] để bất phương trình x − m.3x − m + > nghiệm với x ∈ ¡ ? A 12 B 20 C Lời giải D Đặt t = 3x > bất phương trình trở thành: t − mt − m + > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 1) < t + ⇔ m < Ta có f ′ ( t ) = t t + 2t − ( t + 1) t2 + = f ( t ) , ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ m < f ( t ) ( 0;+∞ ) t +1 t > ; f ′( t ) = ⇔ ⇔ t = t + 2t − = −∞ −3 f ′( t ) 0 − +∞ − + +∞ f ( t) m ∈ ¢ f ( t ) = Kết hợp ⇒ có 12 giá trị nguyên m Chọn A Từ BBT, suy m < (min 0; +∞ ) m ∈ [ −10;10] Ví dụ 17: Có giá trị ngun tham số m ∈ [ −10;10] để bất phương trình 32 x +1 − ( m + 3) 3x − ( m + 3) > có nghiệm? A 10 B C 19 Lời giải Đặt t = 3x > bất phương trình trở thành: 3t − ( m + 3) t − 2m − < ⇔ 3t − 3t − < m ( t + ) ⇔ m > 3t − 3t − = f ( t) t+2 D 13 3t + 12t 3t − 3t − ′ f t = > 0; ∀t > Xét hàm số f ( t ) = ( 0; +∞ ) , có ( ) t + ( ) t+2 Suy f ( t ) hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ f ( t ) = −3 f ( t ) = −3 Yêu cầu toán ⇔ m > (min 0;+∞ ) → có 13 giá trị ngun cần tìm Chọn D Kết hợp với m ∈ ¢ m ∈ [ −10;10] ( Ví dụ 18: Cho bất phương trình m.3x +1 + ( 3m + ) − ) +( 4+ 7) x x > , với m tham số Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình cho nghiệm với x < ? A m > 2+2 3 2−2 3 B m > C m ≥ 2−2 3 D m > − 2−2 3 Lời giải x x 4− 4+ Bất phương trình ⇔ 3m + ( 3m + ) ÷ ÷ ÷ + ÷ >0 x −x 4− 4+ 4− 4+ = ⇔ Ta có ÷ ÷ ÷ = ÷ 3 Khi (*) ⇔ 3m + (*) x x 4+ 4− ⇒ nên đặt t = ÷ ÷ ÷ ÷ = t 3m + t2 + + t > 0, ∀t ∈ ( 0;1) ⇔ 3m > − , ∀t ∈ ( 0;1) t t +1 Xét hàm số f ( t ) = − t2 + f ( t) = f ( 0;1) , suy max ( 0;1) t +1 Do 3m > f ( t ) ; ∀t ∈ ( 0;1) ⇔ 3m > − ⇔ m > ( ) −1 = − 2−2 Chọn B Ví dụ 19: Gọi m số thực cho phương trình log x − ( m + ) log x + 3m − = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 = Khẳng định đaya đúng? A < m < B −3 < m < −1 C −1 < m < Lời giải Đặt t = log x phương trình trở thành: t − ( m + ) t + 3m − = D < m < (*) Để phương trình cho có hai nghiệm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt a = ≠ m > ⇔ ⇔ m − 8m + 12 > ⇔ m < ∆ = ( m + ) − ( 3m − ) > Ta có x1 x2 = ⇔ log3 ( x1 x2 ) = ⇔ log x1 + log3 x2 = ⇔ t1 + t2 = ⇔ m = (thỏa mãn) Vậy −1 < m < Chọn C Ví dụ 20: Cho phương trình log ( m + x ) + log ( − x − x ) = Có giá trị nguyên dương tham số m để phương trình cho có nghiệm? A 17 B 23 C Lời giải D 15 2 Ta có log ( m + x ) + log ( − x − x ) = ⇔ log ( − x − x ) = log ( m + x ) 3 − x − x > −3 < x < ⇔ ⇔ 2 → f ( x ) = − x2 − 8x + m = − x − x + 3 − x − x = m + x Xét hàm số f ( x ) = − x − x + ( −3;1) , có f ′ ( x ) = −2 x − < 0; ∀x ∈ ( −3;1) Dựa vào BBT, để m = f ( x ) có nghiệm thuộc ( −3;1) ⇔ f ( −3) < m < f ( 1) ⇔ −6 < m < 18 Kết hợp với m nguyên dương → có 17 giá trị cần tìm Chọn A Ví dụ 21: Có giá trị nguyên m ∈ [ −10;10] để phương trình log ( mx ) = log ( x + 1) có nghiệm nhất? A 11 B C 16 Lời giải D Điều kiện: x > −1 Phương trình log ( mx ) = log ( x + 1) ⇔ mx = ( x + 1) ⇔ m = ( Xét hàm f ( x ) = x + x + 1) = x+ +2 x x x = −1 1 + ( −1; +∞ ) , có f ′ ( x ) = − ; f ′ ( x ) = ⇔ x x x =1 x −1 f ′( x) +∞ − − + +∞ f ( x) +∞ −∞ m = Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm ⇔ m < → có 11 giá trị m nguyên Chọn A Kết hợp với m ∈ ¢ m ∈ [ −10;10] Ví dụ 22: Tìm tập hợp giá trị thực tham số m để log ( x − x + ) − m.log x2 − x +5 = có hai nhiệm phân biệt nghiệm bất phương trình log 25 A − ; −6 25 B − ; −6 ÷ ( x + 1) − log ( x − 1) > log3 ? 25 C − ; +∞ ÷ Lời giải x + > 0; x − > x > x > ⇔ x +1 ⇔ BPT ⇔ x +1 ⇔1< x < log x − > log x − > x < 25 D − ; −6 Câu 12: Tìm m để log x − m log x + 2m − = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 x2 = 16 A m = −4 B m = 11 C m = D m = Câu 13: Tìm m để phương trình x − m.3x + = có hai nghiệm phân biệt? A m > B m > C m > D m > x x x Câu 14: Có giá trị nguyên dương m để 16 + ( m − ) = 2.12 có nghiệm dương A B C D Câu 15: Có số ngun m để phương trình x − m.2 x +1 + 2m = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = A B C D Câu 16: Tìm m để phương trình x − m.2 x +1 + 3m − = có hai nghiệm trái dấu A m ∈ ( −∞; ) B m ∈ ( 1; +∞ ) ( Câu 17: Phương trình + 2 A m ∈ ( −∞;5 ) C m ∈ ( 1; ) ) +( 3− 2) x x D m ∈ ( 0; ) = m có nghiệm C m ∈ ( −∞;5] B m ∈ ( 2; +∞ ) D m ∈ [ 2; +∞ ) x x Câu 18: Tìm m để phương trình − ( m + 1) + m = có nghiệm phân biệt? A m ≥ B m > C ≠ m > D m > Câu 19: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên không dương m để phương trình log ( − x ) = log ( x + m ) có nghiệm Tập S có tập con? A B C Câu 20: Tìm tất giá trị m để phương trình 812 x − A m ≥ 3 B m ≥ B Câu 22: Tìm m để phương trình log A < m < B m > x = m có nghiệm D m ≥ − C m ≥ Câu 21: Có giá trị nguyên m để log A D ( x − 1) = log ( mx − 8) C 2018 có nghiệm phân biệt D Vơ số ( x − ) = log 2018 ( mx ) có nghiệm thực C m > D m < x x Câu 23: Tìm giá trị tham số m để phương trình − ( m − 1) + m − 4m + = có hai nghiệm phân biệt? A m ≥ Câu 24: Biết m = B m > C m > D m ≥ a a x x với phân số tối giản m.25 − ( m + 1) + m + = có hai nghiệm phân b b biệt x1 , x2 thỏa mãn x1 + x2 = Giá trị a + b A 35 B C D 27 Câu 25: Có giá trị nguyên dương m để phương trình 5.16 x − 2.81x = m 36 x có nghiệm dương? A B C D Vơ số Câu 26: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log x − m log x + 2m − = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 81 A m = −4 B m = C m = 81 D m = 44 Câu 27: Giá trị thực tham số m để phương trình log x − 3log x + 2m − = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 71 thuộc khoảng sau đây? A ( 0;3) B ( −6; −3) C ( 3;6 ) D ( −3;0 ) x x Câu 28: Giá trị thực tham số m để phương trình − ( 2m + 1) + ( 4m − 1) = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + ) ( x2 + ) = 12 thuộc khoảng sau đây? A ( 3;9 ) 1 C ;3 ÷ 4 B ( 9; +∞ ) D − ; ÷ Câu 29: Tìm tập hợp tham số m để x − m.2 x + 2m − = có hai nghiệm trái dấu 5 A ; +∞ ÷ 2 5 B 0; ÷ 2 5 D ; ÷ 2 C ( 0; +∞ ) Câu 30: Tập hợp giá trị thực m để phương trình log ( − x ) + log ( x + m − ) = có hai nghiệm thực phân biệt T = ( a; b ) , a, b số nguyên phân số tối giản Giá trị M = a + b A 33 B 17 C D 41 Câu 31: Có giá trị nguyên m để phương trình x + 3x +1 − m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) A 11 B 12 Câu 32: Có giá trị nguyên m để A B C 13 D 14 m + 3 m + 3sin x = sin x có nghiệm? C D Câu 33: Tìm giá trị lớn tham số m để phương trình ln m + ln ( m + cos x ) = cos x có nghiệm thực? A e +1 B e − C e D 2 Câu 34: Tìm m để bất phương trình + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) thỏa mãn với ∀x ∈ ¡ A −1 < m ≤ B −1 < m < C < m ≤ D < m < x −1 x Câu 35: Tìm giá trị m để phương trình − m ( + 1) > có nghiệm với ∀x ∈ ¡ A m ∈ ( −∞;0] B m ∈ ( 0; +∞ ) C m ∈ ( 0;1) D m ∈ ( −∞;0 ) ∪ ( 1; +∞ ) Câu 36: Tìm m để bất phương trình x − m.2 x +1 + − 2m ≤ có nghiệm thực A m ≥ B m ≤ C m ≤ D m ≥ 2 Câu 37: Bất phương trình ln ( x + 3) > ln ( x + ax + 1) nghiệm với số thực x A −2 < a < 2 C < a < B < a < 2 D −2 < a < Câu 38: Có giá trị nguyên tham số m để bất phương trình sau nghiệm với x thuộc ¡ :1 + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) A B C D Câu 39: Có giá trị nguyên dương m để log 22 x − log x + 3m − < có nghiệm A B C D Vơ số Câu 40: Tìm m để bất phương trình log 22 x + log x + m ≥ nghiệm ∀x ∈ ( 1;64 ) A m ≤ B m ≥ C m < D m > 2 Câu 41: Biết tất cặp ( x; y ) thỏa mãn log ( x + y + ) ≤ + log ( x + y − 1) , có cặp ( x; y ) thỏa mãn x + y − m = Khi tính tổng tất giá trị m tìm được? A 20 B 46 Câu 42: Biết phương trình log x − m log C 28 D 14 x + = có nghiệm nhỏ Hỏi m thuộc đoạn đây? A [ 1; 2] B [ −2;0] Câu 43: Có số nguyên dương m để A B C [ 3;5] x −3 x + m + 2.3 D ( 1; 2] x2 −3 x + m − 2+ x < 32 x −3 có nghiệm? C D x x+2 Câu 44: Tìm tham số m cho bất phương trình m.4 + ( m − 1) + m − > nghiệm ∀x ∈ ¡ A m ≤ B m ≤ C −1 ≤ m ≤ D m ≥ x x Câu 45: Tìm tham số m cho bất phương trình log ( − 1) log ( 2.5 − ) ≥ m có nghiệm ∀x ≥ A m ≥ B m > C m ≤ D m < Câu 46: Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số thực m để bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) có tập nghiệm ℝ Tổng phần tử S A 10 B 11 C 12 D 13 Câu 47: Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm bất phương trình log 22 x + 3log 0,5 x − < m ( log x − ) chứa khoảng ( 256; +∞ ) A B 10 C D Câu 48: Tìm tham số m để tồn cặp ( x; y ) thỏa mãn log x2 + y + ( x + y − ) ≥ x2 + y + x − y + − m = A ( 10 − ) C ( 10 − ) B 10 − 10 + ( 10 + ) D 10 − Câu 49: Có giá trị nguyên tham số m ∈ ( −9;9 ) để bất phương trình 3log x ≤ log m x − x − ( − x ) − x có nghiệm thực? A B C 10 D 11 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Phương trình có nghiệm thực ⇔ m > Chọn C Câu 2: PT ⇔ ( x ) − ( m − 1) x + 3m − = ∆′ = ( m − 1) − ( 3m − ) ≥ 2 x1 + x2 = ( m − 1) > → ⇔ m = Chọn B x x 2 2 = 3m − > x1 x2 x1 + x2 = 23 2 = 3m − = ∆′ = m − 2m > x1 x 27 3 + = 2m > x x → x x ⇒m= Câu 3: PT ⇔ ( ) − 2m.3 + 2m = thỏa mãn Chọn B 2 3 = 2m > 3x1.3x2 = 2m = 3x1 + x2 = 33 ∆′ = − m ≥ x1 x2 3 + = > x x → x x ⇒ m = thỏa mãn Chọn C Câu 4: PT ⇔ ( ) − 6.3 + m = 3 = m > 3x1.3x2 = m = 3x1 + x2 = ∆ = ( m + ) − ( 3m − ) ≥ ⇒ m = thỏa mãn Chọn B Câu 5: Ta giải hệ log x + log x = m + = log x x = log = ( ) 3 3 ∆ = ( 3m − 1) − ( 2m − m ) ≥ x x → 2 x1 + x2 = 3m − > Câu 6: PT ⇔ ( ) − ( 3m − 1) + 2m − m x1.2 x2 = 2m − m > m − 2m + ≥ 1 ⇔ m > ⇔ m > Chọn D m > m < Câu 7: PT ⇔ log x − 3log x + = m [ ] Đặt t = log x → t ∈ [ 0;3] ⇒ m = t − 3t + = f ( t ) ⇒ f ′ ( t ) = 2t − = ⇔ t = x∈ 1;8 3 → ≤ m ≤ ⇒ m ∈ { 1; 2;3} Chọn D Tính f ( ) = 3; f ( 3) = 3; f ÷ = 2 1 Câu 8: PT ⇔ log x ÷ − log 2−1 x + m = ⇔ log 22 x + log x + m = 2 2 Đặt t = log x < ⇒ − m = t + t = f ( t ) ⇒ f ′ ( t ) = 2t + = ⇔ t = − 1 1 → − ≤ − m ≤ ⇔ < m ≤ Chọn C Tính f ( ) = 0; f − ÷ = − 4 2 ∆ = ( m + ) − ( 3m − 1) ≥ ⇒ m = thỏa mãn Chọn A Câu 9: Ta giải hệ log x + log x = m + = log x x = log 27 = ( ) 3 3 Câu 10: Đặt t = log x < ⇒ m = t + 4t = f ( t ) ⇒ f ′ ( t ) = 2t + = ⇔ t = −2 → −4 ≤ m < Chọn C Tính f ( ) = 0; f ( −2 ) = −4 −x −x −x Câu 11: Đặt t = log ( + 1) ⇒ log ( 2.5 + ) = log ( + 1) = + t ⇒ m = t + t = f ( t ) −x Ta có 5− x + > ⇒ t > với x > ⇒ − x < ⇒ + < ⇒ t < ⇒ t ∈ ( 0;1) → Tính f ( ) = 0; f ( 1) = → < m < Chọn D Lại có f ′ ( t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ ( 0;1) ∆ = m − ( 2m − ) ≥ ⇒ m = thỏa mãn Chọn C Câu 12: Ta giải hệ log x1 + log x2 = m = log ( x1 x2 ) = log 16 = ∆ = m − 24 > x x → 3x1 + 3x2 = m > ⇔ m > 24 ⇔ m < Chọn D Câu 13: PT ⇔ ( ) − m.3 + = 3x1.3x2 = > x x 2x x 16 4 4 4 Câu 14: 16 x + ( m − ) x = 2.12 x ⇔ ÷ − ÷ + m − = ⇔ ÷ − ÷ + m − = 9 3 3 3 ∆′ ≥ 3 − m ≥ ⇔ < m ≤ ⇒ m = Chọn A Để phương trình có nghiệm dương P > ⇔ 2 > S > m − > Câu 15: x − m.2 x +1 + 2m = ⇔ 22 x − 2m.2 x + 2m = m − 2m > ∆′ > ⇔m>2 Để phương trình có nghiệm phân biệt S > ⇔ 2m > P > 2m > Ta có x1.2 x2 = 2m ⇔ x1 + x2 = 2m ⇔ 23 = 2m ⇔ m = Chọn C Câu 16: x − m.2 x +1 + 3m − = ⇔ 2 x − 2m.2 x + 3m − = m − 3m + > ∆′ > ⇔ m >1 Phương trình có nghiệm 2m > ⇔ m > 3m − > m > Phương trình có nghiệm trái dấu ( t1 − 1) ( t2 − 1) < ⇔ t1t2 − ( t1 + t2 ) + < ⇔ 3m − − 2m + < ⇔ m < ⇒ m ∈ ( 1; ) Chọn C 3+ 2) +( 3− 2) Câu 17: Ta có ( x ( ⇔ 3+ 2 ) 2x ( − m 3+ 2 ) x x ( = m ⇔ 3+ 2 ) x + ( 3+ 2 ) x =m +1 = m2 − ≥ ∆ ≥ ⇔ m ≥ Chọn D Phương trình có nghiệm S > ⇔ m > P > 1 > 2 x = m 2 x = m ⇔ Câu 18: Ta có − ( m + 1) + m = ⇔ − m − = ⇔ x = x = x x ( )( x x ) Để phương trình có nghiệm phân biệt m > m ≠ Chọn C Câu 19: Điều kiện: x < Ta có log ( − x ) = log ( x + m ) ⇔ − x = x + m ⇔ x = Ta có 3− m 3− m < ⇔ − m < ⇔ m > −3 ⇒ m ∈ { −2; −1;0} ⇒ có 23 = tập Chọn B 2 − 1 1 Câu 20: Ta có x − x = x − Chọn A x ÷= x − ÷ − ≥ − ⇒ m ≥ 8 = 4 8 Câu 21: Điều kiện: x > Ta có log ( x − 1) = log ( mx − 8) ⇔ log ( x − 1) = log ( mx − ) ⇔ ( x − 1) = mx − ⇔ x − ( m + ) x + = Phương trình có nghiệm phân biệt ( m + ) − 36 > m > ∨ m < −8 ∆ > x1 − > ⇔ ( x1 − 1) ( x2 − 1) > ⇔ x1 x2 − ( x1 + x2 ) + > x −1 > x + x > ( x1 − 1) + ( x2 − 1) > m > ∨ m < −8 m > ∨ m < −8 ⇔ 9 − ( m + ) + ≥ ⇔ m < ⇔ < m < ⇒ m ∈ { 5;6;7} Chọn A m + > m > Câu 22: Điều kiện: x > Ta có log 2018 ( x − ) = log 2018 ( mx ) ⇔ log 2018 ( x − ) = log 2018 ( mx ) ⇔ ( x − ) = mx ⇔ x − x + = mx ⇔ x − ( m + ) x + = m = Trường hợp Có nghiệm kép ⇒ ∆ = ⇔ ( m + ) − 16 = ⇔ (không thỏa mãn) m = −8 m > ∆ > ( m + ) − 16 > ⇔ m < −8 Trường hợp x1 − > ⇔ x − > ( x1 − ) ( x2 − ) < x x − x + x + < ( 2) m > m > ⇔ m < −8 ⇔ m < −8 ⇔ m > Chọn C 4 − m + + < m > ( ) 2m − > ∆′ > m > ⇔ ⇔ m > Chọn Câu 23: Phương trình có nghiệm phân biệt S > ⇔ 2 ( m − 1) > m > P > m − 4m + > B x x Câu 24: Ta có 5 = m+3 m+3 m+3 ⇔ x1 + x2 = ⇔ 52 = ⇔ m = ⇒ a = 1, b = ⇒ a + b = Chọn m m m C x x 2x 2x 16 81 2 3 Câu 25: PT ⇔ ÷ − ÷ = m ⇔ ÷ − ÷ = m 36 36 3 2 2x 2 Đặt t = ÷ , với x ∈ ( 0; +∞ ) ⇒ t ∈ ( 0;1) 3 Khi PT trở thành: f ( t ) = 5t − Xét hàm số f ( t ) = 5t − = m2 t 2 với t ∈ ( 0;1) ta có: f ′ ( t ) = + > ( ∀t ∈ ( 0;1) ) f ( t ) đồng biến t t khoảng ( 0;1) f ( t ) = −∞;lim f ( t ) = ⇒ f ( t ) ∈ ( −∞;3) suy phương trình cho có nghiệm dương Mặt khác tlim t →1 →0+ m2 < − < m < + Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ m = { 1} Chọn A Câu 26: Điều kiện: x > Đặt t = log x với x > → t ∈ ( −∞; +∞ ) 2 Khi đó, phương trình log x − m log x + 2m − = ⇔ t − mt + 2m − = (*) Để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = m − ( 2m − ) = ( m − 1) + > 0, ∀m t1 = log x1 ⇔ t1 + t2 = log3 x1 + log x2 Với m ∈ ¡ , phương trình (*) có hai nghiệm t2 = log3 x2 ⇔ t1 + t2 = log ( x1 x2 ) mà x1 x2 = 81 t1 + t2 = m (hệ thức Vi-ét) Suy m = log 81 = log 3 = Chọn B Câu 27: ĐK: x > Đặt t = log x ta có: t − 3t + 2m − = Phương trình cho có nghiệm x1 , x2 ∆ = − ( 2m − ) > ⇔ 37 − 8m > (*) t1 + t2 = log3 x1 + log x2 = Khi theo định lý Vi-ét ta có: t1t2 = log x1.log x2 = 2m − Suy log ( x1 x2 ) = ⇔ x1 x2 = 27 x1 x2 = 27 x1 x2 = 27 ⇔ Kết hợp ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 71 ⇒ 35 x1 x2 + ( x1 + x2 ) = 62 x1 + x2 = 35 + 253 35 − 253 log x1.log x2 + ⇒ ( x1 x2 ) = ; ≈ 4,5 (thỏa mãn (*)) Chọn C ⇒m= 6 x Câu 28: Đặt t = ( t > ) ta có: t − ( 2m + 1) t + ( 4m − 1) = 3x = t = ⇔ ( t − 3) t − ( 4m − 1) = ⇔ ⇒ x t = m − = m − 1 m > m > ⇔ 4 Phương trình cho có nghiệm 4m − ≠ m ≠ Khi x1 = 1; x2 = log ( 4m − 1) Mặt khác ( x1 + ) ( x2 + ) = 12 ⇔ log3 ( 4m − 1) + = 12 ⇔ log ( 4m − 1) = ⇔ m = Vậy m = ( t / m) Chọn C x Câu 29: Đặt t = ( t > ) phương trình trở thành: t − mt + 2m − = ∆′ = m2 − ( 2m − ) > ⇔ m > (*) Phương trình có nghiệm thực phân biệt S = m > P = 2m − > t1 = x1 ⇒ x1 = log t1 ; x2 = log t Khi PT có nghiệm t1 < t2 ⇒ x t2 = 2 Giả thiết thỏa mãn log t1 < < log t2 ⇔ t1 < < t2 ⇔ ( t1 − 1) ( t2 − 1) < ⇔ t1t2 − ( t1 + t2 ) + < ⇔ 2m − − m + < ⇔ m < Kết hợp (*) suy < m < Chọn D 2 Câu 30: log ( − x ) + log ( x + m − ) = ⇔ log ( − x ) = − log ( x + m − ) = log ( x + m − ) 1 − x > m = − x − x = g ( x ) ⇔ ⇔ 1 − x = x + m − x ∈ ( −1;1) Xét hàm số g ( x ) = − x − x với x ∈ ( −1;1) ta có: g ′ ( x ) = −2 x − = ⇔ x = − 21 g ( x ) = 5;lim g ( x ) = 3; g − ÷ = Lại có: xlim →( −1) x →1 2 21 41 21 Lập BBT suy phương trình cho có nghiệm thực m ∈ 5; ÷⇒ a + b = + = Chọn D 4 4 x Câu 31: Đặt t = ( t > ) , với x ∈ ( 0;1) ⇒ t ∈ ( 1;3) Khi PT trở thành f ( t ) = t + 3t = m Xét hàm số f ( t ) = t + 3t với t ∈ ( 1;3) ta có: f ′ ( t ) = 2t + > ( ∀t ∈ ( 1;3) ) ⇒ hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 1;3) f ( t ) = 4;lim f ( t ) = 18 ⇒ f ( t ) ∈ ( 4;18 ) Lại có: lim t →1 t →3 Để PT cho có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) ⇔ < m < 18 Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có 13 giá trị tham số m Chọn C Câu 32: Đặt 3 m + 3a = b m + 3a = b ⇔ ta có: m + 3sin x = a;sin x = b 3 m + 3b = a m + 3b = a ⇒ ( a − b ) = b3 − a = ( b − a ) ( b + ba + a ) ⇔ ( b − a ) ( b + ba + a + 3) = 2 3 Do b + ba + a + > ⇒ a = b ⇒ m + 3sin x = sin x ⇔ m = sin x − 3sin x = b − 3b = f ( b ) Xét f ( b ) = b − 3b ( b ∈ [ −1;1] ) , ta có: f ′ ( b ) = 3b − ≤ ( ∀b ∈ [ −1;1] ) Do hàm số f ( b ) nghịch biến [ −1;1] Vậy f ( b ) ∈ f ( 1) ; f ( −1) = [ −2; 2] Do PT cho có nghiệm ⇔ m ∈ [ −2; 2] Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị ngun m thỏa mãn Chọn C a = cos x Câu 33: Đặt ta có: b = ln ( m + cos x ) ln ( m + b ) = a ⇒ a + ln ( m + a ) = b + ln ( m + b ) b = ln ( m + a ) Xét hàm số f ( t ) = t + ln ( m + t ) (với m + t > ) Ta có: f ′ ( t ) = + > ( ∀m + t > ) nên f ( t ) hàm đồng biến m+t Khi (1) ⇔ f ( a ) = f ( b ) ⇔ a = b ⇒ a = ln ( m + a ) (Do a = cos x ⇒ a = [ −1;1] ) ⇒ m = ea − a = f ( a ) a a Xét g ( a ) = e − a với a ∈ [ −1;1] ta có: g ′ ( a ) = e − = ⇔ a = Mặt khác g ( −1) = + 1; g ( O ) = 1; g ( 1) = e − e (1) Để phương trình có nghiệm m ∈ [ 1; e − 1] Do giá trị lớn m để phương trình cho có nghiệm e − Chọn B 2 Câu 34: Bất phương trình cho ⇔ log 5 ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) ( − m ) x − x − m + ≥ ⇔ ( x + 1) ≥ mx + x + m > ⇔ mx + x + m > 2 (*), ∀x ∈ ¡ TH1 m = m = : (*) không thỏa mãn a1 = − m > ∆′( 1) = − ( − m ) ≤ ⇔ < m ≤ TH2 m ≠ m ≠ : (*) ⇔ a2 = m > ∆′ = − m < ( 2) Vậy m ∈ ( 2;3] giá trị cần tìm Chọn C Câu 35: Bất phương trình ⇔ x −1 > m ( x + 1) ⇔ m < x −1 4x = 2x + 2x + t2 = g ( t) ( t + 1) x Đặt t = ( t > ) suy ra: m < Bất phương trình cho có nghiệm với ∀x ∈ ¡ ⇔ m < g ( t ) ( ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ) (*) 2t ( t + 1) − t t + 2t = > ( ∀t ∈ ( 0; +∞ ) ) Lại có: g ′ ( t ) = 4 ( t + 1) ( t + 1) f ( t ) = 0; lim f ( t ) = +∞ ⇒ f ( t ) ∈ ( 0; +∞ ) Mặt khác lim t →0 t →+∞ Do (*) ⇔ m ≤ Chọn A Câu 36: Bất phương trình ⇔ x − 2m.2 x + − 2m ≤ ⇔ x + ≤ 2m ( x + 1) ⇔ 2m ≥ x Đặt t = ( t > ) bất phương trình trở thành: 2m ≥ t2 + = g ( t) t +1 g ( t) Bất phương trình có nghiệm thực 2m ≥ t∈Min ( 0;+∞ ) Lại có: g ′ ( t ) = 2t ( t + 1) − t − ( t + 1) = t + 2t − ( t + 1) 4x + 2x + (*) t >0 = → t =1 g ( t ) = 3; g ( 1) = 2; lim g ( t ) = +∞ Mặt khác lim t →0 x →+∞ Do (*) ⇔ 2m ≥ ⇔ m ≥ Chọn D 2 x + ax + > x + ax + > ; ∀x ∈ ¡ ⇔ ; ∀x ∈ ¡ Câu 37: Yêu cầu toán ⇔ 2 x − ax + > 2 x + > x + ax + Với x + ax + > 0; ∀x ∈ ¡ → ∆ = a − < ⇔ −2 < a < Với x − ax + > 0; ∀x ∈ ¡ → ∆ = a − < ⇔ −2 < a < 2 Vậy a ∈ ( −2; ) giá trị cần tìm Chọn D 2 2 Câu 38: Ta có + log ( x + 1) ≥ log ( mx + x + m ) ⇔ log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) mx + x + m > mx + x + m > ⇔ ; ∀x ∈ ¡ Yêu cầu toán ⇔ 2 6 x + ≥ mx + x + m ( − m ) x − x + − m ≥ a = m > → ⇔ m >1 Với mx + x + m > 0; ∀x ∈ ¡ ′ ∆ = − m < a = − m > → ⇔ m ≤ Với ( − m ) x − x + − m ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ∆′ = − ( − m ) ≤ Do < m ≤ giá trị cần tìm Vậy có tất giá trị nguyên m cần tìm Chọn C Câu 39: Ta có log 22 x − log x + 3m − < ⇔ ( log x ) − log x − < −3m (*) 2 Đặt t = log x , (*) ⇔ t − 2t − < −3m ⇔ −3m > { t − 2t − 2} 2 Lại có t − 2t − = ( t − 1) − ≥ −3 ⇒ { t − 2t − 2} = −3 Do −3m > −3 ⇔ m < Kết hợp với m ∈ ¢ + ⇒ khơng có giá trị tham số m Chọn C Câu 40: Ta có log 22 x + log x + m ≥ ⇔ ( log x ) + log x x + m ≥ (*) Đặt t = log x , với < x < 64 → < t < , (*) ⇔ −m ≤ f ( t ) = t + t f ( t) Yêu cầu toán ⇔ −m ≤ ( 0;6 ) (**) Xét hàm số f ( t ) = t + t ( 0;6 ) , có f ′ ( t ) = 2t + > 0; ∀t ∈ ( 0;6 ) f ( t ) = f ( ) = Do (**) ⇔ −m ≤ ⇔ m ≥ Chọn B Suy ( 0;6 ) 2 2 Câu 41: Ta có log ( x + y + ) ≤ + log ( x + y − 1) ⇔ x + y + ≤ ( x + y − 1) ⇔ x2 + y2 − 4x − y + ≤ ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) ≤ 2 Do cặp ( x; y ) thuộc hình trịn tâm I ( 2; ) , bán kính R = u cầu tốn ⇔ d ( I ; ∆ ) = R ⇔ m = 14 − 14 − m = 2⇔ m = 14 + Vậy tổng tất giá trị tham số m cần tìm ∑ m = 28 Chọn C Câu 42: Phương trình ⇔ ( log x ) − 2m log x + = ⇔ ( log x ) − 2m log x + = 2 Đặt t = log x , với < x < ⇒ t < , (*) 4t − 2mt + = ⇔ 2m = 4t + t (*) Xét hàm số f ( t ) = 4t + 1 ( −∞;0 ) , có f ′ ( t ) = − ; f ′ ( t ) = ⇔ t = − t t Dựa vào BBT, để 2m = f ( t ) có nghiệm ⇔ 2m = −4 ⇔ m = −2 Chọn B ( Câu 43: Bất phương trình ⇔ ( ⇔ x −3 x + m − x + ) + 2.3 x −3 x + m x −3 x + m − x + ) + 2.3 −3< ⇔ x2 −3x + m 3x − < ( 3x − ) x −3 x + m − x + 2 2 Đặt t = x > , (*) ⇔ mt + 4mt − 4t + m − > ⇔ m > f (t) Yêu cầu toán ⇔ m > max ( 0;+∞ ) Xét hàm số f ( t ) = (*) 4t + = f ( t) t + 4t + (**) 4t + → max f ( t ) = ( 0; +∞ ) ( 0;+∞ ) t + 4t + Do (**) ⇔ m > Với m = thỏa mãn toán Vậy m ≥ Chọn B x x Câu 45: Bất phương trình ⇔ log ( − 1) 1 + log ( − 1) ≥ m (*) x x Đặt t = log ( − 1) , với x ≥ ⇔ − ≥ ⇒ t ≥ log = f ( t) Khi (*) ⇔ t ( + t ) ≥ m ⇔ m ≤ f ( t ) = t + t Ycbt ⇔ m ≤ [min 2;+∞ ) (**) Xét hàm số f ( t ) = t + t [ 2; +∞ ) , có f ′ ( t ) = 2t + > f ( t ) = f ( ) = Do (**) ⇔ m ≤ Chọn C Suy [min 2; +∞ ) mx + x + m > mx + x + m > ⇔ ⇔ ; ∀x ∈ ¡ Câu 46: Yêu cầu toán 2 − m x − x + − m ≥ ( ) 7 x + ≥ mx + x + m m > 2 → ∆ = − m2 < ⇔ Với mx + x + m > 0; ∀x ∈ ¡ m < −2 a = − m > → ⇔ m≤5 Với ( − m ) x − x + − m ≥ 0; ∀x ∈ ¡ ∆ = − ( − m ) ≤ Vậy < m ≤ giá trị cần tìm Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ m = { 3; 4;5} Chọn C ( log x ) Câu 47: Bất phương trình ⇔ − log x − < m ( log x − ) (*) Đặt t = log x , với x > 256 ⇒ t > log 256 = , (*) ⇔ t − 6t − < m ( t − ) ⇔ t − 6t − < m ( t − ) ⇔ m > t − 6t − ( t − 7) = t +1 = f ( t) t −7 m > f ( t ) = f ( 8) = ⇔ Yêu cầu toán ⇔ m > max ( 8; +∞ ) m < −3 m ∈ ¢ → m = { 4;5;6; ;10} Chọn A Kết hợp điều kiện 0 ≤ m ≤ 10 2 Câu 48: Ta có log x2 + y + ( x + y − ) ≥ ⇔ x + y + ≤ x + y − ⇔ ( x − ) + ( y − ) ≤ 10 2 Lại có x + y + x − y + − m = ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = m > 2 m = Yêu cầu tốn ⇔ Hai đường trịn tiếp xúc ⇔ m = ( ( ) 2) 10 − 10 + 2 Chọn C Câu 49: Điều kiện: < x < ( ) Bất phương trình ⇔ log x x ≤ log m x − x − ( − x ) − x ( x) +( 1− x ⇔ m ≥ ⇔ x x ≤ m x − x2 − ( − x ) 1− x ) (*) x − x Đặt t = x + − x , với < x < →1 < t < Ta có t = + x − x ⇔ x − x = Và ( ) ( x + 1− x ) ( = Do (*) ⇔ m ≥ f ( t ) = t −1 t − 3t − t x + − x − x − x = t 1 − ÷= )( ) ( ) 3t − t 3t − t Xét 1; ⇒ f ( t ) = f t = ( ) t −1 t −1 f ( t ) = Kết hợp m ∈ ¢ ⇒ có giá trị nguyên m Chọn B Yêu cầu toán ⇔ m ≥ 1; ( ) −9 < m < ... = log ( mx − 8) C 20 18 có nghiệm phân biệt D Vơ số ( x − ) = log 20 18 ( mx ) có nghiệm thực C m > D m < x x Câu 23: Tìm giá trị tham số m để phương trình − ( m − 1) + m − 4m + = có hai nghiệm... nguyên tham số thực m để bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( mx + x + m ) có tập nghiệm ℝ Tổng phần tử S A 10 B 11 C 12 D 13 Câu 47: Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm bất phương... m 36 x có nghiệm dương? A B C D Vơ số Câu 26: Tìm giá trị thực tham số m để phương trình log x − m log x + 2m − = có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1.x2 = 81 A m = −4 B m = C m = 81 D m =