Chủ đề 10 bài toán về min max loga

CHỦ ĐỀ 10 BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT 1 Công thức lôgarit Giả sử và các số A, B, N, > 0 ta có các công thức sau đây ( Mở rộng ( Hệ quả ( ( Công thức đổi cơ số Giả sử a, b dương và khác 1; ta có ( và ( và 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D( f(x) xác định và liên tục trên D) Phương pháp giải Bước 1 Tính , tìm tất cả các nghiệm của phương trình và các điểm làm cho không xác định Bước 2 ( Trường hợp 1 Tính các giá trị Với ( Trường hợp 2 Lập bảng biến thiên suy ra min,.

CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN MIN – MAX LOGARIT Công thức lôgarit Giả sử a > 0, a ≠ số A, B, N,… > ta có cơng thức sau đây: • log a ( AB ) = log a A + logb B Mở rộng log a ( A1 A2 AN ) = log a A1 + log a A2 + + log a AN • log a A = log a A − log a B Hệ log a = − log N N B • log a N α = α log a N • log a n N = log a N n Công thức đổi số: Giả sử a, b dương khác 1; c, x > ta có • log a b.log b c = log a c log a b = • log aα x = ; log x = − log a x log b a a log a x log n a x = n.log a x α Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f(x) D( f(x) xác định liên tục D) Phương pháp giải - Bước 1: Tính y ′ = f ′ ( x ) , tìm tất nghiệm xi phương trình f ′ ( x ) = điểm α i làm cho f ′ ( x ) khơng xác định - Bước 2: • Trường hợp 1: D ∈ [ a; b ] Tính giá trị f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) , f ( α i )  f ( x ) = { f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) , f ( α i ) }  D → Với xi , α i ∈ [ a; b ]  f ( x ) = max { f ( a ) , f ( b ) , f ( xi ) , f ( α i ) }  max D → Lập bảng biến thiên suy min, max • Trường hợp 2: D ∉ [ a; b ]  Chú ý: Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đơn điệu đoạn [ a; b ] y = f ( a ) ; max y = f ( b ) Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến với ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ [ a ;b ] [ a ;b ] y = f ( b ) ; max y = f ( a ) Nếu hàm số y = f ( x ) nghịch biến với ∀x ∈ [ a; b ] ⇒ [ a ;b ] [ a ;b ] Các bất đẳng thức quen thuộc a) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực dương: a + b ≥ ab Mở rộng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương: a + b + c ≥ 3 abc 2 2 b) Bất đẳng thức Bunhiacopxki: ( ab + cd ) ≤ ( a + c ) ( b + d ) 2 x + y) c) Bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức x + y ≥ ( a b a +b Ví dụ 1: Cho m = log a ( ) ab , với a, b > P = log 2a b + 16 log b a Khi biểu thức P đạt giá trị nhỏ giá trị m A m = C m = B m = D m = Lời giải: Ta có: P = log a b + 16 log b a = ( log a b ) + 16 log a b Đặt t = log a b a, b > ⇒ log a b = t > Khi P = t + 16 8 8 = t + + ≥ t = 12 t t t t t Dấu xảy t = Lại có m = log a ( ⇔ t = ⇔ log a b = t ) 1 ab = log a ( ab ) = log a ab = ( + log a b ) = Chọn B 3 Ví dụ 2: Cho x, y số thực dương thỏa mãn ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x + y A Pmin = B Pmin = 2 + C Pmin = + D Pmin = 17 + Lời giải: 2 2 Ta có ln x + ln y ≥ ln ( x + y ) ⇔ ln ( xy ) ≥ ln ( x + y ) ⇔ xy ≥ x + y ⇔ y ( x − 1) ≥ x Mà x, y > suy y ( x − 1) ≥ x > ⇔ x − > ⇔ x > Khi y ( x − 1) ≥ x ⇔ y ≥ Do đó, biểu thức P = x + y = x + x2 2x2 − x  → f ( x) = x −1 x −1 Xét hàm số f ( x ) khoảng ( 1; +∞ ) , có f ′ ( x ) = 2x2 − 4x + ( x − 1) , ∀x ≠ x > 2+ ⇔x= Phương trình f ′ ( x ) = ⇔   x − 4x + =  2+2  Dựa vào bảng biến thiên, suy f ( x ) = f  ÷ ÷= + 2   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin = + 2 Chọn B x2 x −1 Nhận xét Vì hàm số y = ln x đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) nên f ( x ) > g ( x ) ⇔ ln f ( x ) > ln g ( x ) Ví dụ 3: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log ( x + y ) = log x + log y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= e x2 1+ y e y2 1+ x B Pmin = e A P = e C P = e D P = e Lời giải: Từ giả thiết, ta có log ( x + y ) = log x + log y ⇔ log ( x + y ) = log ( xy ) ⇔ x + y = xy Ta có P= e x2 1+ y e y2 1+ x =e x2 1+ y e y2 1+ x =e  x  ÷  2 + y 1+ y 1+ x Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta x  a = , giả thiết ⇔ a + b = ab Đặt  b = y ( a + b) a + b = ab ≤ ⇔ a+b ≥ ( a + b )  a2 b2 t2 + ≥ → f ( t) = Và xét biểu thức T = với t = a + b ≥ + 2b + 2a + ( a + b ) t +1 Xét hàm số f ( t ) [ 4; +∞ ) , có f ′ ( t ) = Do f ( t ) ≥ f ( ) = t + 2t ( t + 1) > ⇒ f ( t ) hàm số đồng biến [ 4; +∞ ) 16 suy T ≥  → P = eT ≥ e Chọn C 5 2 x + y) Nhận xét Bài tốn có sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức x + y ≥ ( a b a +b Ví dụ 4: Cho x, y số thực dương thỏa mãn log ( x + y ) + log ( x − y ) ≥ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = x − y A Pmin = B Pmin = −4 C Pmin = D Pmin = 10 Lời giải: 2 Điều kiện: x > y > Từ giả thiết, ta có log ( x + y ) ( x − y )  ≥ ⇔ x − y ≥ ( *) Ta có P = x − y ⇔ y = x − P vào (*), ta x − ( x − P ) ≥ ⇔ x − x + xP − P ≥ ⇔ x − xP + P + ≤ ( *) 2 Để bất phương trình (*) có nghiệm Δ′= ( −2 P ) − ( P + ) ≥ ⇔ P − 12 ≥ ⇔ P ≥ Vậy giá trị nhỏ P Pmin = Chọn C Ví dụ 5: [Đề thi THPT Quốc gia 2017] Xét số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện log − xy = xy + x + y − Tìm giá trị nhỏ Pmin P = x + y x + 2y A Pmin = 11 − 19 B Pmin = 11 + 19 C Pmin = 18 11 − 29 21 D Pmin = 11 − Lời giải: Ta có log − xy = xy + x + y − ⇔ log ( − xy ) − log ( x + y ) = xy + x + y − x + 2y ⇔ − xy + log ( − xy ) = x + y + log ( x + y ) Xét hàm số f ( t ) = t + log t khoảng ( 0; +∞ ) , có f ′ ( t ) = + > 0, ∀t > t.ln Suy f ( t ) hàm số đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Mà f ( − xy ) = f ( x + y ) ⇔ − xy = x + y ⇔ y = Khi đó, biểu thức P = x + y = x + 3− x 3x + − x 3x + x + 3x + x + =  → f ( x) = 3x + 3x + 3x + Xét hàm số f ( x ) khoảng ( 0; +∞ ) , có f ′ ( x ) = x + 12 x − ( 3x + ) , ∀x > x > 11 − ⇔x= Phương trình f ′ ( x ) = ⇔  9 x + 12 x − =  11 −  11 − 3 11 − = , f ( ) = lim f ( x ) = +∞  Tính f  ÷ → f ( x ) = ÷ x →+∞ ( 0;+∞ )   Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin = 11 − Chọn D Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x + y > log x2 + y2 ( x + y ) ≥ Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Tính M + m A Pmin = B Pmin = C Pmin = D Pmin = Lời giải: Vì x + y > suy y = log x2 + y2 f ( x ) hàm số đồng biến tập xác định 2 2 Khi log x2 + y ( x + y ) ≥ log x2 + y ( x + y ) ⇔ x + y ≥ x + y 1 1   ⇔ x − x + y − y ≤ ⇔  x − x + ÷+ ( y − y + 1) ≤ ⇔  x − ÷ + ( y − 1) ≤ 4 2   1 1   Xét biểu thức P, ta có P = x + y =  x − ÷+ y − + ⇔  x − ÷+ y − = P − 2 2   10 2    1  1 2 2 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, có   x − ÷+ y − 1 ≤ ( + )  x + ÷ + ( y − 1)  2 2      ⇔ ( P − 2) 2  Pmin = −  25 5  ≤ = ⇔ − ≤ P − ≤ ⇔ − ≤ P ≤  → 2 2 P =  max Vậy tổng M + m =  1 +  − ÷ = Chọn C  2 Ví dụ 7: [Đề thi Thử nghiệm 2017 – Bộ GD&ĐT] Xét số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > b > Tìm a 2 giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = log a ( a ) + 3logb  ÷ b b A Pmin = 19 B Pmin = 13 C Pmin = 14 D Pmin = 15 Lời giải: Ta có log a b (a )  =  log a  b Khi biểu thức P =  4 a÷ = = = 2 ( log a a − log a b ) ( − log a b )   log a   a ÷ b  ( − log a b ) + 3log b a − = ( − log a b ) + −3 log a b a > + −3 ⇒ t > suy P = f ( t ) = Đặt t = log a b với  ( 1− t ) t b > Xét hàm số f ( t ) , có f ′ ( t ) = − ( t − 1) − , f ′( t ) = ⇔ t = t 1 f ( t ) = +∞ f ( t ) = +∞ lim Tính f  ÷ = 15, lim t →0 t →1  3 Dựa vào bảng biến thiên, suy giá trị nhỏ hàm số f ( t ) 15 Vậy giá trị nhỏ cần tìm Pmin = 15 Chọn D Ví dụ 8: Cho số thực a, b thỏa mãn a > 1, b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = A Pmin = 36 B Pmin = 24 27 ( log ab a + log ab b ) + log a ab C Pmin = 48 Lời giải: D Pmin = 32 Xét biểu thức P, ta có P = 27   +  ÷+ log a b +  log a ab log b ab  27  t  Đặt t = log a b ( t > ) ⇔ log b a = Khi P = +  ÷ + 4t + t  t +1 t +1  ( t − ) ( 2t + ) = ⇔ t = 27  t +  ′ t ∈ 0; +∞ f t = ( ) ( ) Xét hàm số f ( t ) = với , có + t  ÷ t+2 ( t + 1) 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy f ( t ) đạt giá trị nhỏ f ( ) = 32 ⇒ Pmin = 36 Chọn A Ví dụ 9: Cho hai số thực a ≥ b > Biết biểu thức T = a + log a đạt giá trị lớn M log ab a b có số thực m cho b = a m Tính P = M + m A M − m = 23 B M − m = 81 16 C M − m = 19 D M − m = 51 16 Lời giải: Xét biểu thức T, ta có T = log a ab + log a a − log a b = log a b + − log a b + Đặt t = log a b với t ∈ ( −∞;1] , T = f ( t ) = 2t + − t + Xét hàm số f ( t ) khoảng ( −∞;1] , có f ′ ( t ) = − 15 ; f ′( t ) = ⇔ t = 16 1− t  15  33 f ( t ) = −∞ Tính f ( 1) = 4, f  ÷ = tlim →−∞  16  Dựa vào bảng biến thiên, suy giá trị lớn hàm số f ( t ) Vậy M = 33 33 15 51 m b = a ⇔ m = log a b = t = ⇒ M − m = Chọn D 16 16 b + log b a a Ví dụ 10: Cho a, b số thực dương khác Biết biểu thức P = đạt giá trị nhỏ log a ( ab ) + log b a log a M b = a m Tính M + m A M + m = B M + m = C M + m = Lời giải: Xét biểu thức P, ta có P = log a b − log a a + log b a log a b + log b a − = log a a + log a b + log b a log a b + log b a + 1 t + −1 t − t +1 t = Đặt t = log a b ⇔ log b a = với t ∈ ¡ , P = f ( t ) = t + t + t t + +1 t D M + m = Xét hàm số f ( t ) khoảng ( −∞; +∞ ) , có f ′ ( t ) = ( t − 1) ( t + t + 1) , f ′ ( t ) = ⇔ t = ±1 f ( t ) = suy giá trị nhỏ hàm số f ( t ) Tính f ( 1) = , f ( −1) = lim t →∞ 3 Dấu “=” xảy t = ⇔ log a b = ⇔ a = b 1 m → M + m = + = Chọn C Vậy M = , b = a = a ⇒ m =  3 32 Ví dụ 11: Cho a, b hai số thực dương thỏa mãn b = 3ab + 4a a ∈  4;  Gọi M, m giá b trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = log b 4a + log Tính tổng T = M + m 4 A T = 3701 124 B T = C T = 2957 124 D T = 1897 62 Lời giải: a a a Từ giả thiết, ta có b = 3ab + 4a ⇔  ÷ + − = ⇔ = ⇔ b = 4a b b b 2 b 3 P = log b 4a + log = log b b + ( log b − log ) = + log b − b Khi 4 8 log b = 3 3 log b 3 + log b − = + log b − = + log b − − log b 1− log b − log b 32 34 Đặt t = log b với a ∈  4;  ⇒ 16 ≤ b ≤ ⇒ ≤ log b ≤ 34 ⇒ t ∈ [ 4;34] ( t − 6t + ) t ′ ; ∀t ∈ [ 4;34] + t với t ∈ [ 4;34] , ta có f ( t ) = Xét hàm số f ( t ) = t −3 4 ( t − 3)  ≤ t ≤ 34 25 1649 ⇔ t = ⇒ f ( ) = 7, f ( ) = , f ( 34 ) = Phương trình f ′ ( t ) = ⇔  62 t − 6t + = 1649  778  f ( t ) = f ( 34 ) = M = Pmax =  max  [ 4;34] 3701  62 31 ⇒ ⇒T = M +m = Suy  Chọn A 25 19 124  f ( t ) = f ( ) = m = P =  [ 4;34]  4 Ví dụ 12: Cho số thực a, b thỏa mãn điều kiện ab = 4, a ≥ , b ≥ Tìm giá trị lớn Pmax biểu 3     thức P =  log a ÷ +  log b − 1÷     A Pmax = −63 B Pmax = −6 C Pmax = − 27 D Pmax = Lời giải: Đặt x = log a y = log b suy 2 x + y = log a + log b = log ( ab ) = log = −2 2 2 Khi P = x + ( y − 1) mà x + y = −2 ⇔ y = − x − ⇒ P = x + ( − x − 3) = −9 x − 27 x − 27 3  27  27 −27 27   = −9 ( x + x + 3) = −9  x + x + ÷− = −9  x + ÷ − ≤ ⇒ Pmax = − 4 2 4    − − log a = −  1 1 → ⇔ a =  ÷ ; b =  ÷ Chọn C Dấu “=” xảy ⇔ x = − ⇒ y = −  2 2 2 log b = − 1  2 b  Ví dụ 13: Cho hai số thực a, b thỏa mãn < a < b < biểu thức P = log a a − log a  a + ÷ đạt giá trị 4  b nhỏ Tính S = a + b A S = 16 B S = C S = D S = Lời giải: Ta có log a a = b 1 log a a = = a ( − log a b ) b log a b Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có a + b b ≥ a = ab 4 b b   Do a < ⇒ log a  a + ÷ ≤ log a ab ⇒ −4 log a  a + ÷ ≥ −4 log a ab = −2 ( + log a b ) 4 4   Suy P = 1 − ( + log a b ) = − ( + x ) = f ( x ) , với x = log a b ( − log a b ) 2( 1− x) Do < a < b < ⇒ < log a b < ⇒ < x < Xét khoảng ( 0;1) có f ′ ( x ) = −2 + 2(1− x) ⇒ f ′( x) = ⇔ x = 1 1 f ( x ) = f  ÷ = −2 Suy f ( x ) ≥ f  ÷ = −2 Vậy Pmin = ( 0;1) 2 2 b   a = a =   16 ⇔ ⇒ S = a + b = Chọn A Dấu “=” xảy ⇔  16 log b = x = b = a    32 Ví dụ 14: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện < a < b < Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức 1  P = log b  a − ÷+ log a a 4  b A B C 19 D Lời giải: Ta có log a a = b a log a b = ( − log a b )  1 1 1   Và a − a + =  a − ÷ ≥ ⇔ a − ≤ a ⇒ log b  a − ÷ ≥ log b a = , với b ∈  ;1÷  2 4 log a b 4   1 2  + = + = f ( x ) , với x = log a b Vậy P = log b  a − ÷+ log a a ≥ 4 log a b ( − log a b ) x ( − x )  b Do 1 < a < b < ⇒ < log a b < ⇒ x ∈ ( 0;1) Xét f ( x ) = + ( 0;1) , có x 2( 1− x) f ′( x) = − 2 2 + , f ′( x) = ⇔ − + = ⇔ ( 1− x ) = x2 ⇔ x = 2 x 2( 1− x) x 2( 1− x) 2 Suy P ≥ f ( x ) ≥ f  ÷ = Dấu “=” xảy ⇔ log a b = x = Chọn B 3 b2 Ví dụ 15: Cho hai số thực a, b thỏa mãn < a < b < Biết biểu thức P = log b a − log a đạt giá a a trị nhỏ m có số thực n cho b = a n Tính S = m + n A S = B S = A T B T C S = − C T Lời giải: D S = 1 b2 log 2b a = log 2b a = = , log = log a b − a Ta có b a log b − ( ) a a a log a a D T 1 − log a b + = − x + = f ( x ) , với x = log a b Vậy P = 2 ( log a b − 1) ( x − 1) Do < a < b < a ⇒ < log a b < ⇒ x ∈ ( 0;1) Xét f ( x ) = ( x − 1) − x + ( 0;1) , có f ′( x) = − ( x − 1) − 2, f ′ ( x ) = ⇔ + 1 = ⇔ ( x − 1) = − ⇔ x = ( x − 1) 1 Suy P = f ( x ) ≥ f  ÷ = Dấu “=” xảy ⇔ log a b = x = ⇔ b = a 2 2 Vậy m = , n = ⇒ S = m + n = Chọn B 2 Ví dụ 16: Gọi a, b, c ba số thực khác thay đổi thỏa mãn điều kiện 3a = 5b = 15− c 2 Tìm giá trị nhỏ P = a + b + c − ( a + b + c ) A −3 − log B −4 C −2 − D −2 − log Lời giải:  a = log t 1  Ta có = = 15 = t ⇔ b = log t ⇔ = log t 3; = log t 5; − = log t 15 a b c  −c = log t 15  a −c b Mặt khác log t + log t = log t ( 3.5 ) = log t 15 ⇒ 1 1 1 + = − ⇔ + + = ⇔ ab + bc + ca = a b c a b c Khi P = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) − ( a + b + c ) = ( a + b + c ) − ( a + b + c ) 2 = ( a + b + c ) − 2.2 ( a + b + c ) + 22 − = ( a + b + c − ) − ≥ −4 ⇒ Pmin = −4 Chọn B 2 Ví dụ 17: Cho hai số thực a, b thỏa mãn điều kiện a > 0, < b < Tìm giá trị nhỏ Pmin A Pmin = biểu thức P = B Pmin = ( 2b ) (2 a a − ba ) + 2a + 2b a 2b a C Pmin = 13 D Pmin = Lời giải: Ta có P = ( 2b ) (2 a a − ba ) 2a + 2b a 2a.b a 2a + = + a +1 2 2b a ( 2a ) − 2.2a.2b + ( ba ) 2b a Đặt t = 2a   =  ÷ , b ∈ ( 0; ) ⇔ > a > o suy a b b b a 2  ÷ > ⇔ t > b a Khi (2 ) a 2a.b a − 2.2a.2b + ( b a ) Xét hàm số f ( t ) = 2  ÷ t t t b = =  →P = + +1 a a t − 2t + t − 2t + 2 2  ÷ −  ÷ + b b t − 3t + t − t t ′ f t = , ∀t > ( ) 1; +∞ + ) , có khoảng ( ( t − 1) t − 2t + t > t > ⇔ ⇔ t = Phương trình f ′ ( t ) = ⇔   2 t − 3t + t − = t ( t − 3) + t − = f ( t ) = +∞ suy f ( t ) = f ( 3) = Tính f ( 3) = , lim+ f ( t ) = +∞ tlim →+∞ ( 1;+∞ ) t →1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin = 13 + = Chọn C 4 x Ví dụ 18: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn + 16.4 Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = A Pmin = 16 −2 y ( = + 16 x −2 y ) y − x2 + xy + 16 x B Pmin = C Pmin = 12 D Pmin = 10 Lời giải: Đặt t = x − y , giả thiết ⇔ + 16.4t = ( + 16t ) 2−t ⇔ a a + 4t + + t = 7t + 2t a a + 4a 1 4 1 1 4 4 Xét hàm số f ( a ) = =  ÷ +  ÷ , có f ′ ( a ) =  ÷ ln  ÷+  ÷ ln  ÷ < 0, ∀a ∈ ¡ a 7 7 7 7 7 7 Suy f ( a ) hàm số nghịch biến ¡ mà f ( t + ) = f ( 2t ) ⇔ t + = 2t ⇔ t = Do x − y = ⇔ y = x −  →P = Xét hàm số f ( x ) = x + x ( x − ) + 16 x = x2 + 16 − = f ( x) x 16 16 − khoảng ( 0; +∞ ) , có f ′ ( x ) = x − , f ′ ( x ) = ⇔ x = x x f ( x ) = f ( ) = 10 f ( x ) = +∞ lim f ( x ) = +∞ suy Tính f ( ) = 10, xlim ( 0;+∞ ) x →+∞ → 0+ Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Pmin = 10 Chọn D Ví dụ 19: Cho hai số thực a > 1, b > thỏa mãn phương trình a x b x −1 = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  xx  Giá trị nhỏ biểu thức S =  ÷ − ( x1 + x2 ) thuộc khoảng đây?  x1 + x2   3 A  1; ÷  2 x x Ta có a b  5 B  2; ÷  2 −1 ( = ⇔ log b a x b x −1 9  C  ;5 ÷ 2  Lời giải: ) = log ⇔ x b + x.log a b − = 7  D  ; ÷ 2  ( *) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ = ( log a b ) + > (luôn đúng)  x1 + x2 = − log a b  → S = log a b + b Khi đó, theo hệ thức Viet ta  log 2a  x1 x2 = −1 Lại có log a b + 1 b = log a b + log a b + ≥ 3 log a2 b = 3 2 log a log a b log a b 1 ⇔ ( log a b ) = ⇔ log a b = Suy S ≥ 3 Dấu xảy ⇔ log a b = log a b 2 9  Vậy giá trị nhỏ S ∈  ;5 ÷ Chọn C 2  Nhận xét: • Bài tốn áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số thực dương a + b + c ≥ 3 abc → log a b > nên áp dụng bất đẳng thức AM – GM • Với điều kiện a > 1, b >  Ví dụ 20: Cho x > 0, y > thỏa mãn 2018 ( ) = 2x + y x − y +1 ( x + 1) Tính giá trị nhỏ biểu thức P = y − x A B C D Lời giải: Ta có 2018 ( ) = x + y ⇔ x + 20182( x +1) = x + y 20182( x+ y ) ( ) ( ) 2 x − y +1 ( x + 1) ( *) 2t 2t 2t Xét hàm số f ( t ) = t.2018 ( 0; +∞ ) , có f ′ ( t ) = 2018 + 2t.2018 ln 2018 > Suy f ( t ) hàm đồng biến ( 0; +∞ ) nên ( *) ⇔ f ( x + 1)  = f ( x + y ) ⇔ ( x + 1) = x + y ⇔ x + x + = x + y ⇔ y = x + 2 Khi P = y − x = ( x + 1) − x = x − x + = Dấu xảy x − = ⇔ x = 7 ( x − 3) + ≥ 8 25  →y= Vậy Pmin = Chọn B 16 2 Ví dụ 21: Cho a > 0, b > thỏa mãn log 3a + 2b +1 ( 9a + b + 1) + log ab +1 ( 3a + 2b + 1) = Giá trị biểu thức a + 2b A B C D Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có = log 3a + 2b +1 ( 9a + b + 1) + log ab +1 ( 3a + 2b + 1) ≥ log 3a + 2b +1 ( 9a + b + 1) log ab +1 ( 3a + 2b + 1) ⇔ ≥ log ab +1 ( 9a + b + 1) ⇔ log ab +1 ( 9a + b + 1) ≤ ⇔ 9a + b + ≤ 6ab + ⇔ ( 3a ) − 2.3a.b + b ≤ ⇔ ( 3a − b ) ≤ ⇔ 3a − b = ⇔ b = 3a 2 2 Dấu xảy ⇔ log 3a + 2b +1 ( 9a + b + 1) = log 6ab +1 ( 3a + 2b + 1) = b = 3a b = 3a 1 3 ⇔ ⇔ ( a; b ) =  ; ÷ Khi đó, ta có hệ  2 2 2 9a + b + = 3a + 2b + 9a + b = 3a + 2b Vậy a + 2b = + = + = Chọn C 2 2 Ví dụ 22: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Giá trị nhỏ biểu thức P = A 45 ( 2x + y ) x + 2y + ln a + ln b Tích a.b x y B 115 C 108 Lời giải:  x y −1 1 Ta có xy ≤ y − ⇔ ≤ = − = 4−2− ÷ ≤ y y y y y  Lại có P = Đặt t = ( 2x + y ) x  x + 2y 6y + ln = 12 + + ln  + ÷ x y x y  x ∈ ( 0; 4] P = f ( t ) = 12 + + ln ( t + ) y t 6 Xét hàm số f ( t ) = 12 + + ln ( t + ) ( 0; 4] , có f ′ ( t ) = − + ; t t t+2 Dựa vào bảng biến thiên, ta f ( ) = f ( ) = ( 0;4] 27 + ln 6 27  27 27 a = + ln = a + ln b  → Vậy a.b = = 81 Chọn D Do P = 6 b = D 81 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn + ln x + y +1 = xy − x − y Tìm giá trị nhỏ biểu 3xy thức P = xy A B C D Câu 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn x + y + xy + x + = + 3− x− y + y ( x − ) Tìm giá 3xy trị nhỏ biểu thức S = x + y A − B + Câu 3: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn log C − D + − ab = 2ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ biểu a+b thức P = a + 2b A 10 − B 10 − C 10 − D 10 − Câu 4: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x2 + xy +3 y ( 11x + 20 y − 40 ) = Gọi a, b giá trị lớn giá trị nhỏ S = A a + b = 10 y Tính a + b x B a + b = 14 C a + b = 11 D a + b = Câu 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log x2 + y + ( x + y + 3) ≥ Tìm giá trị lớn biểu thức S = 3x + y − A −9 B −3 C −5 D −5 2 Câu 6: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y ≥ log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y A B C D x+2 y Câu 7: Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn xy −1 1 − ÷ 3 = − xy − x − y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y A − B 10 + 10 C 15 − 20 D −4 Câu 8: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ( x + y ) + x + y + log x+ y = ( − xy ) − xy + Tìm giá − xy trị nhỏ biểu thức P = x + y A + 15 B 15 + C 15 − Câu 9: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log D 15 + y = − y + y + x − + x Tìm giá trị nhỏ 1+ x biểu thức P = x − 100 y A −2499 B −2501 C −2500 Câu 10: Cho số thực dương a, b thỏa mãn log D −2490 − ab = 3ab + a + b − Tìm giá trị nhỏ biểu a+b thức S = a + 5b A 95 − B 95 + 15 12 C 95 − 16 D 95 − 21 Câu 11: Cho hai số thực x, y thỏa mãn log x2 + y2 +1 ( x − y ) = Tính P = A P = x biểu thức S = x + y − đạt giá trị lớn y B P = C P = − 13 D P = 17 44 Câu 12: Cho hai số thực x, y thỏa mãn xy ≤ y − Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = A 24 + ln B 12 + ln  x + 2y  6y + ln  ÷ x  y  C + ln D + ln Câu 13: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y + ≥ log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A 1+ 10 B 2+ C 3+ 30 D 1+ Câu 14: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn log x + log y ≥ log ( x + y ) Giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A 2 − B C + D + 2 Câu 15: Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b > log a2 +b2 ( a + b ) ≥ Giá trị lớn biểu thức P = 2a + 4b − 10 A B 10 C 10 10 D Câu 16: Cho hàm số x, y thay đổi thỏa mãn xy = 4, x ≥ , y ≥ Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = log 22 x + ( log y − 1) Tính S = M + 2m A S = C S = B S = 11 21 D S = 11 Câu 17: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log ( x + y ) + log ( x − y ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x − y A B 2 C 10 D Câu 18: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện log ( x + y ) + log ( x − y ) = Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x − y + A 10 + B −3 C 3+5 D 3+ Câu 19: Cho số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A B 2 C D Câu 20: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x + log y = log ( x + y ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x + y A B x Câu 21: Cho số thực x, y thỏa mãn C 16 + y −1 D + log ( x + y + 1) = Biết giá trị lớn biểu thức a S = x − y + x − y a với a, b số nguyên dương phân số tối giản Tính T = a + 2b b b A T = 25 B T = 34 C T = 32 D T = 41 Câu 22: Với a, b, c > Hỏi giá trị nhỏ biểu thức P = log a ( bc ) + log b ( ca ) + log c ( ab ) A B 12 C 10 D 11 Câu 23: Cho số thực a, b, c lớn thỏa mãn log a ≥ ( − log b log c ) log bc Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức S = 10 log a + 10 log b + log c A B C D 2 2 Câu 24: Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 5log a + 16 log b + 27 log c = Tìm giá trị lớn biểu thức S = log a log b + log b log c + log c log a A Với a, b, c > 16 B 12 C D Câu 25: Với a, b, c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = log a ( bc ) + 3log b ( ca ) + log c ( ab ) B + A 16 C + D + Câu 26: Cho số thực a, b, c > Tính log b ( ca ) biểu thức S = log a ( bc ) + log b ( ca ) + log c ( ab ) đạt giá trị nhỏ A 2 B ( ) 2 −1 C + 2 Câu 27: Cho số thực dương a, b, c khác thỏa mãn log a b + log b c = log a D 8−2 c c − log b − Gọi M, m a b giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = log a b − log b c Tính S = 2m + 3M A S = B S = C S = D S = LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ta có + ln x + y +1 = xy − x − y ⇔ ln ( x + y + 1) + ( x + y + 1) = ln ( xy ) + xy 3xy Xét hàm số f ( t ) = ln t + 3t ( t > ) ta có: f ′ ( t ) = + > ( ∀t ∈ ¡ t ) Do hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Ta có: f ( x + y + 1) = f ( xy ) ⇔ x + y + = 3xy Do x, y > ⇒ x + y ≥ xy (BĐT AM – GM) ( )( ⇒ xy = x + y + ≥ xy + ⇔ xy − xy − ≥ ⇔ xy + ) xy − ≥ ⇔ xy ≥ ⇔ xy ≥ Dấu xảy ⇔ x = y = Chọn D Câu 2: Ta có: x+2 y xy + xy + x + = + 3− x − y + y ( x − ) ⇔ x + y + 31− xy + x + = 5xy −1 + 3− x − y + xy − y ⇔ x + y − 3− x − y + x + y = xy −1 − 31− xy + xy − ( *) t −t Xét hàm số f ( t ) = − + t ( t ∈ ¡ ) t −t ta có: f ′ ( t ) = ln + ln + > ( ∀t ∈ ¡ ) Do hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Ta có: ( *) ⇔ f ( x + y ) = f ( xy − 1) ⇔ x + y = xy − Lại có: x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤ ( Khi x + 2y) nên ta có: x + y = xy − ≤ ( x + 2y) −1 S2 − S − ≥ ⇔ S ≥ + Chọn B Câu 3: Do a, b > ⇒ − ab > Khi ta có: log ( − ab ) − log ( a + b ) = 2ab + a + b − ⇔ log ( − ab ) + log 2 + − 2ab = log ( a + b ) + a + b ⇔ log ( − 2ab ) + − 2ab = log ( a + b ) + a + b ( *) Xét hàm số f ( t ) = log t + t ( t > ) ta có: f ′ ( t ) = + > ( ∀t > ) t ln Do hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Ta có: ( *) ⇔ f ( − 2ab ) = f ( a + b ) ⇔ − 2ab = a + b ⇔ − a = b ( 2a + 1) ⇔ b = Khi đó: P = a + 2−a 2a + 10 a >0 − 2a =  → ⇔ 2a + = 10 = g ( a ) (với a > ) suy g ′ ( a ) = − ( 2a + 1) 2a + ⇔a=  10 −  10 − 10 − ⇒ Pmin = g  Chọn A ÷ ÷= 2   2 Câu 4: log x2 + xy +3 y ( 11x + 20 y − 40 ) = ⇔ 11x + 20 y − 40 = x + xy + y Lại có: y = S x ⇒ 11x + 20 Sx − 40 = x + Sx + 3S x ⇔ ( + S + 3S ) x − ( 20 S + 11) x + 40 = Δ = ( 20S + 11) − 160 ( + S + 3S ) ≥  ( *) ( Vì + S + 3S > ) Điều kiện để tồn x > là:  20S + 11 >  40 >  Do S > nên ( *) ⇔ 80 S − 280 S + 199 ≤ ⇔ Do a + b = Smin + S max = ( ) ( 1 35 − 230 ≤ S 35 + 230 20 20 ) Chọn D 2 2 Câu 5: Do x + y + > 1( ∀x; y ) nên ta có: log x2 + y2 + ( x + y + 3) ≥ ⇔ x + y + ≤ x + y + 2 1  1  ⇔ x + y − x − y −1 < ⇔  x − ÷ +  y − ÷ < 2  2  2 1 2 Đặt a = x − ; b = y − ⇒ a + b ≤ 2 1  1 5  Lại có: S =  x − ÷+  y − ÷− = 3a + 4b − ≤ 2  2 2  Vậy S = (3 + 42 ) ( a + b ) − 5 −5 = 2 −5 Chọn D Câu 6: log x + log y ≥ log ( x + y Khi P = x + y ≥ Ta có: f ′ ( y ) = − ) y >1  ⇔ xy ≥ x + y ⇔ x ( y − 1) ≥ y > ⇒  y2 x ≥  y −1  y2 + 3y = f ( y ) y −1 ( y − 1) 2 ( y > 1) y >1 = → y= 3 3 Khi Pmin = f  ÷ = Dấu xảy ⇔ y = ; x = Chọn C 2 2 x+2 y Câu 7: Ta có: xy −1 1 − ÷ 3 = − xy − x − y ⇔ 3xy −1 − 3− x − y = −2 ( xy − 1) − ( x + y ) ⇔ 3xy −1 + ( xy − 1) = 3− x − y − ( x + y ) ( *) t Xét hàm số f ( t ) = + 2t ( t ∈ ¡ ) t ta có: f ′ ( t ) = ln + > ( ∀t ∈ ¡ ) Do hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Ta có: ( *) ⇔ f ( xy − 1) = f ( − x − y ) ⇔ xy − = − x − y ⇔ x ( y + 1) = − y ⇔ x = ⇒P= −2 y + y +1 −4 y + −6 y >0 + 3y = g ( y ) , ( y > 0) ⇒ g′ ( y ) = + = → y +1 = ⇔ y = −1 y +1 ( y + 1) Ta có: Pmin = g ( ) − = − Chọn A Câu 8: Ta có: x, y > ⇒ x + y > ⇒ − xy > Khi đó: ( x + y ) + x + y + log x+ y = ( − xy ) − xy + − xy ⇔ ( x + y ) + x + y + log ( x + y ) − log ( − xy ) = ( − xy ) − ( xy − 1) + 3 ⇔ ( x + y ) + x + y + log ( x + y ) = log ( − xy ) + + ( − xy ) + ( − xy ) 3 ⇔ ( x + y ) + x + y + log ( x + y ) = log ( − xy ) + ( − xy ) + ( − xy ) 3 Xét hàm số f ( t ) = t + t + log t ( t > ) ta có: f ′ ( t ) = 3t + + > ( ∀t > ) t ln Do hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Ta có: f ( x + y ) = f ( − xy ) ⇔ x + y = − xy ⇔ x ( + y ) = − y ⇔ x = Khi đó: P = ⇔ y= −y + −5 y >0 + y = g ( y ) ( y > 0) ⇒ g′ ( y ) = + = → 2y +1 = 2 y +1 ( y + 1)  15 −  15 − ⇒ Pmin = g  ÷ ÷ = 15 − Chọn C   Câu 9: Ta có: log y = − y2 + 3y + x − 1+ x 1+ x ( ) ⇔ log y − log 2 + x = − y + y + x − + x ⇔ log y − − log ( ) 1+ x + y2 − 3y = x − 1+ x ⇔ log y + y − y = log ( ) 1+ x + ( 1+ x) − 1+ x Xét hàm số f ( t ) = log t + t − 3t (với t > ) ta có: f ′ ( t ) = Lại có: 2− y 1+ y 1 + 2t ≥ 2 > ⇒ f ′ ( t ) > ( ∀t > ) t ln ln Do hàm số f ( t ) đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) Ta có: f ( y ) = f ( ) 1+ x ⇔ y = 1+ x ⇔ x = y2 −1 + 2t − t ln Khi P = y − 100 y − = ( y − 50 ) − 2051 ≥ −2051 dấu xảy ⇔ y = 50 Vậy Pmin = −2051 Chọn B Câu 10: Do a; b > nên a + b > suy − ab > − ab = 3ab + a + b − ⇔ log ( − ab ) − log ( a + b ) = ( ab − ) + a + b − a+b Ta có: log ⇔ log ( − ab ) + + ( − ab ) = log3 ( a + b ) + a + b ⇔ log 3 ( − ab ) + ( − ab ) = log ( a + b ) + a + b Xét hàm số f ( t ) = log t + t (với t > ) ta có: f ′ ( t ) = + > ( ∀t > ) t ln 6−b Ta có: f 3 ( − ab )  = f ( a + b ) ⇔ − 3ab = a + b ⇔ a = 3b + Khi S = −b + −19 19 b >0 + 5b = g ( b ) ( b > ) ⇒ g ′ ( b ) = + = → 3b + = 3b + ( 3b + 1)  19  95 −  19  ⇔ b =  − 1÷ ⇔ S = f − ÷ Chọn A  ÷ ÷= 3  3 3  x = + 2sin t 2 2 → Câu 11: Ta có: x − y = x + y + ⇒ ( x − 1) + ( y + ) =   y = −2 + cos t ⇒ S = ( + 2sin t ) + ( −2 + cos t ) − = −7 + 8sin t + cos t ≤ −7 + 82 + = 13 Dấu “=” xảy ⇔ sin t = ; cos t = ⇒ P = − Chọn C 5 Câu 12: Ta có ( y − 1) ≥ ⇒ y ≥ y − ⇒ y ≥ xy Với y > ⇒ ⇒ f ′( t ) = x  x y x ≤  → S = + ln  + ÷ = ln ( t + ) + = f ( t ) ; t = ∈ ( −2; ] y x t y y  ( ) ( ) 6 − = ⇒ t = − 21 ⇒ f − 21 = ln − 21 + t+2 t − 21 Tính f ( ) = ln + 3 ⇒ S ≥ + ln 2 Tương tự với y < ⇒ x x ≥ ⇒ S ≥ g ( u ) = + ln ( u + ) ; u = ≥ ⇒ S ≥ g ( ) = + ln Chọn C y u y Câu 13: log ( 10 xy ) ≥ log ( x + y ) ⇒ 10 xy ≥ x + y ⇒ x ( 10 y − 1) ≥ y > ⇒ y > ⇒S≥ y ⇒x≥ 10 10 y − y 1 2+ + y ⇒ 10 S ≥ + + 30 y = + ( 10 y − 1) + ≥ + ⇒ S = Chọn B 10 y − 10 y − 10 y − x3 Câu 14: log ( xy ) ≥ log ( x + y ) ⇒ xy ≥ x + y ⇒ y ( x − 1) ≥ x > ⇒ x > ⇒ y ≥ x −1 3 3 x ( x − 1) − x x3 ′ ⇒ S ≥ 2x + = f ( x )  → f ( x) = + = ⇒ x − x + ( x − x + 1) = x −1 ( x − 1) ⇒ ( x − 1) ( x − ) = ⇒ x = ( x > 1) ⇒ S ≥ f ( 2) = 4+ Chọn C sin t  a= +  1  1   2 → a + b = a + b ⇒  a − ÷ +  b − ÷ =  → Câu 15: Ta có a + b ≥ a + b  2  2  b = + cos t  2 ( ) ( ⇒ P = + sin t + + cos t − = sin t + 2 cos t ≤ + 2 ) = 10 Chọn B Câu 16: Ta có x =  4 4 2 ; y = ≤ ⇒ P =  log ÷ + ( log y − 1) = ( − log y ) + ( log y − 1) y x y  2 Đặt t = log y − ∈ [ −2;1] ⇒ P = t + ( t + 1) = 2t + 2t + = f ( t ) ⇒ f ′ ( t ) = 4t + = ⇒ t = − f  Tính  f  ( −2 ) = 5; f ( 1) = ⇒ M = 5; m =  1  − ÷=  2 ⇒ S = Chọn A Câu 17: Từ x + y > 0; x − y > ⇒ ( x + y ) + ( x − y ) > ⇒ x > Ta có log ( x + y ) ( x − y )  = ⇒ x − y = 10 ⇒ x = y + 10 ⇒ S = y + 10 − y = 9t + 10 − t = f ( t ) ⇒ 9t + 10 = 81t ⇒ t = (t = y ≥ 0) ⇒ f ′ ( t ) = 18t 9t + 10 −1 =  5 5 ⇒ f ( t ) ≥ f  ÷ ÷ = Chọn A   Câu 18: : Từ x + y > 0; x − y > ⇒ ( x + y ) + ( x − y ) > ⇒ x > Ta có log ( x + y ) ( x − y )  = ⇒ x − y = 10 ⇒ x = y + 10 ⇒ S = y + 10 − y + = 9t + 10 − 2t + = f ( t ) ⇒ ( 9t + 10 ) = 81t ⇒ t = (t = y ≥ 0) ⇒ f ′ ( t ) = 18t 9t + 10 −2=0  2  3+5 2 ⇒ f ( t ) ≥ f  Chọn C ÷ ÷= 3   Câu 19: log ( xy ) = log x + y ⇒ xy = x + y ⇒ x + y = x y ⇒ S = ( x + y ) − xy = ( xy ) − xy Lại có x y = x + y ≥ xy ⇒ xy ≥ ⇒ S ≥ ( 4) − = Chọn A Câu 20: log ( xy ) = log ( x + y ) ⇒ xy = x + y ⇒ S = ( x + y ) − xy = ( xy ) − xy Lại có xy = x + y ≥ xy ⇒ xy ≥ ⇒ S ≥ 42 − 2.4 = Chọn A u −2 u Câu 21: Đặt u = x + y + suy giả thiết ⇔ + log u = ⇔ + 4.log u − 12 = u u Xét hàm số f ( u ) = + 4.log u − 12 ( 1; +∞ ) , có f ′ ( u ) = ln + > 0; ∀u > u.ln 2 Suy f ( u ) hàm số đồng biến ( 1; +∞ ) mà f ( 3) = ⇒ u = ⇒ x + y = 3 2 Khi S = x − y + x − y = x − y + ( x − y ) ( x − xy + y ) = x − y + ( x − y ) ( + xy ) − ( x − y) 2− x− y = 2 Lại có x + y = ⇔ x − xy + y = − xy ⇔ xy = 2  2− x− y  t ÷ = t + − t2 Đặt t = x − y , S = x − y + ( x − y )  +  ÷ 2   2 Mà ( x + y ) + ( x − y ) = ( x + y ) = ⇔ ( x + y ) = − ( x − y ) ≥ ⇔ t ≤ ⇔ ≤ t ≤ 2 2 t t3 16 Xét hàm số f ( t ) = t + − t = − + 4t [ 0; 2]  → max f ( t ) = [ 0;2] 2 Vậy S max =  a = 16 16 a =  → ⇒ T = a + 2b = 16 + 2.9 = 34 Chọn B b b = Câu 22: Đặt x = log a b; y = log b c; z = log c a ( x; y; z > ) Khi P = log a b +  1  + log b c + +  log c a + ÷ log c a log a b log b c         =  log a b + ÷+  log b c + ÷+  log c a + ÷ log a b   log b c   log c a   Lại có log a b + Và log c a + 1 4 ≥ log a b = ; 3log b c + ≥ log b c =4; log a b log a b log b c log b c 1 ≥ log c a = nên suy P ≥ + + = 10 log c a log c a Vậy giá trị nhỏ biểu thức P 10 Chọn C Câu 23: Ta có log a ≥ ( − log b log c ) log bc ⇔ log a.log ( bc ) ≥ − log b.log c ⇔ log a ( log b + log c ) + log b.log c ≥ ⇔ log a.log b + log b.log c + log c.log a ≥  xy + yz + zx ≥ → Đặt x = log a; y = log b; z = log c  2  P = 10 x + 10 y + z 2 2 2 2 Lại có P = 20 x + 20 y + x = 16 x + z + 16 y + z + ( x + y ) 16 x + z ≥ xz  2 Mà 16 y + z ≥ yz suy P ≥ xz + yz + 4.2 xy ⇔ P ≥ ( xy + yz + zx ) ≥  x + y ≥ xy  Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Chọn A 5 x + 16 y + 27 z = → Câu 24: Đặt x = log a; y = log b; z = log c   P = 1xy + yz + zx 2 2 2 2 Ta có = x + 16 y + 27 z = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) ≥ 3.2 x y + y z + 2.2 z x = 12 ( xy + yz + zx ) ⇒ P ≤ Vậy giá trị lớn biểu thức P 12 Chọn B 12 Câu 25: Đặt x = log a b; y = log b c; z = log c a ( x; y; z > ) Khi P = log a b +  1    +  log b c + ÷+  log c a + ÷ log c a log a b   logb c         =  log a b + ÷+  3logb c + ÷+  log c a + ÷ log a b   log b c   log c a   Lại có log a b + Và log c a + 3 4 ≥ log a b = ; 3log b c + ≥ 3log b c =4 3; log a b log a b log b c log b c 1 ≥ log c a = nên suy P ≥ + + = + log c a log c a Vậy giá trị nhỏ biểu thức P + Chọn C Câu 26: Đặt x = log a b; y = log b c; z = log c a ( x; y; z > ) Khi P = log a b +  1    +  log b c + ÷+  log c a + ÷ log c a log a b   log b c         −  log a b + ÷+  log b c + ÷+  log c a + ÷ log a b   log b c   log c a   Lại có log a b + Và log c a + 2 9 ≥ log a b = 2 ; log b c + ≥ 2 log b c =6 ; log a b log a b log b c logb c 1 ≥ log c a = nên suy P ≥ 2 + + = + log c a log c a  log a b =  3 2  ⇒ log b ( ca ) = log b c + = + =2 Dấu xảy log b c = log a b 2   log c a = Vậy giá trị nhỏ biểu thức P + logb ( ca ) = 2 Chọn A Câu 27: Giả thiết ⇔ ( log a b ) + ( log b c ) = log a c − log a b − log b c − 2 ( *) 2 Đặt x = log a b; y = log b c ⇒ xy = log a c suy ( *) ⇔ x + y = xy − x − y − Khi P = x − y ⇔ y = x − P suy x + ( x − P ) = x ( x − P ) − x − ( x − P ) − ⇔ x2 + ( − P ) x + P − 2P + = ( 1) Để phương trình (1) có nghiệm ⇔ Δ = ( − P ) − ( P − P + 1) ≥ ⇔ −1 ≤ P ≤ 5 Do P = −1; max P = Vậy S = 2m + 3M = ( −1) + = Chọn C 3 ... Câu 13: log ( 10 xy ) ≥ log ( x + y ) ⇒ 10 xy ≥ x + y ⇒ x ( 10 y − 1) ≥ y > ⇒ y > ⇒S≥ y ⇒x≥ 10 10 y − y 1 2+ + y ⇒ 10 S ≥ + + 30 y = + ( 10 y − 1) + ≥ + ⇒ S = Chọn B 10 y − 10 y − 10 y − x3 Câu... 2a + 1) ⇔ b = Khi đó: P = a + 2−a 2a + 10 a >0 − 2a =  → ⇔ 2a + = 10 = g ( a ) (với a > ) suy g ′ ( a ) = − ( 2a + 1) 2a + ⇔a=  10 −  10 − 10 − ⇒ Pmin = g  Chọn A ÷ ÷= 2   2 Câu 4:... Pmin = 15 Chọn D Ví dụ 8: Cho số thực a, b thỏa mãn a > 1, b > Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = A Pmin = 36 B Pmin = 24 27 ( log ab a + log ab b ) + log a ab C Pmin = 48 Lời giải: D Pmin