Bài toán min-max liên quan hàm số mũ, hàm số logarit nhiều biến - Đặng Việt Đông

MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN).. DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT.[r]

(1)

MIN-MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LƠ-GA-RÍT (NHIỀU BIẾN)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG + ÁP DỤNG HÀM SỐ

+ ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

(2)

DẠNG 1: ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BĐT

Câu 1: Xét số thức , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = √ Giá trị nhỏ biểu thức = + thuộc tập hợp đây?

A.(0; 1) B. 2; , ; C. ; D. ;

Lời giải Chọn B

= = √ ⇒

= √ =

3(1 + )

= √ =

3(1 + )

⇒ = + =1

3(1 + ) + + =

4

3+

1

3 + ≥

4

3+

1

3∈ 2;

5

Câu 2: Cho hai số thực , lớn Giá trị nhỏ biểu thức = +

√

A B C D

Ta có = +

√

= ( ) + √

= + + ( + 1) = + +

Đặt = Do , > nên >

Khi = + + ≥2 + = (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương )

Dấu " = " xảy ⇔ =

> ⇔

= ±

> ⇒ =

Vậy = = ⇔ = √

Câu 3: Với , , số thực lớn 1, đặt = ( ) , = ( ) , = ( ) Tìm giá trị nhỏ biếu thức = + +

A.6 B.12 C.10 D.16

Lời giải Chọn C

Ta có = + ; = + ; = + Khi

= + + = + + + + +

= + + + + +

Vì , , > 1⇒ > 0; > 0; > nên

= + + + + + ≥2.2 + 2.2 + 2.1 = 10

Vậy = 10 ⇔

= = =

⇔

= = =

⇔ =

=

Câu 4: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > = = √ Giá trị nhỏ biểu thức = + thuộc tập hợp đây?

A.(1; 2) B.(2; C.(3; 4) D.( ;

(3)

Lời giải Chọn D

Ta có = = √ ⇔ = √

= √ ⇔

= (1 + )

= + = + + + = + +

Đặt = > 0⇒ = + + ( > 0)

= + + ≥2 + = √2 + ∈( ;

Dấu xảy =

> 0⇔ =√2

Vậy = √2 + ∈ ;

Câu 5: Cho , số thực thỏa ( + )≤ Khi + đạt giá trị lớn nhất, giá trị

=

A. = B. = C. = D. =

Xét trường hợp + >

 2 2

3

log x y x y  1 x y 3xy (1)

Đặt = + ⇒ = −3

(1)⇔ + ( −3 ) − ≤0 2

10x 6Px P P

     (2)

Δ= −10( −2) =− + 10

Nếu Δ< (2)vơ nghiệm Do Δ≥0⇔0≤ ≤10 Vậy Khi (2)⇔ = = 3⇒ = 1⇒ = =

Câu 6: Cho số thực ; thỏa mãn + + 12 = Giá trị lớn biểu thức =

( −2 )

A. = B. =

C. = 12 D. = 16

Điều kiện ≠2 Từ + + 12 = 4suy ra: Nếu = = ⇒ =

Nếu ≠0ta có: = ( −2 ) ⇔4( −2 ) =

⇒4

4 =

4 ( −2 )

+ + 12 =

4 2 −1

2 + 22 +

Đặt = , ∈ ℝ, = ⇔2 ( + + 3) = −8 +

⇔(2 −4) + 2(2 + 4) + −4 = 0Xét với ( ≠ 2)

Đểphương trình có nghiệm: ≥ 0⇔(2 + 4) −(2 −4)(3 −4)≥0

⇔ −2(2 ) + 24 ≥ 0⇔0 ≤2 ≤ 12⇒ ≤

Vậy =

Dấu đẳng thức xảy

=−2

=

+ + 12 =

⇒ =−4

=

(4)

Câu 7: Cho , số thực dương, thỏa mãn  2

2

1

log xlog ylog 3xy Tìm giá trị nhỏ

min

P biểu thức = +

A. √5 B. √5 C. √5 D. √5

Lời giải: Chọn A

 

2 2

1 1

log xlog ylog 3xy xy3xy x y( 3) y Từ đây, , số thực dương nên ta

suy > 3 ≥ = + +

Do đó, ≥4 + + + = 5( −3) + + 27≥12√5 + 27

Dấu xảy = + √ , = + √

Câu 8: Cho = √ với > 1, > = + 16 Tìm cho đạt giá trị nhỏ

A = B. = C. = D. =

Theo giả thiết ta có = ( ) = (1 + )⇒ = −1

Suy = + ⇔ = (3 −1) + ⇔ = (3 −1) + +

Vì > 1, > nên = −1 > Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có:

⇔ = (3 −1) + + ≥3 (3 −1)

( ) ⇔ ≥ 12

Dấu xảy (3 −1) = ⇔ =

Câu 9: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > = = Biết giá trị nhỏ biểu thức = + + có dạng + √14 (với , số tự nhiên), tính

= +

A.48 B.34 C.30 D.38

Theo ta có: = = ⇔ =

= ⇔

2 = ( )

= ( ) ⇔

2 = + = +

⇔ = 2(1 + )

= 4(1 + )

Do đó: = + + = 8(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 8(1 + )

= 16 + + + + + +

= 30 + 14 + 16

Đặt = Vì , > nên > = Khi = 30 + 14 + ≥30 + 14 = 30 + 8√14

Vậy đạt giá trị nhỏ 30 + 8√14 14 = ⇒ = √ hay = √

(5)

Ta có: = 30

= ⇒ = + = 38

Câu 10: Trong nghiệm ( ; ) thỏa mãn bất phương trình ( + )≥1, tìm giá trị lớn biểu thức = +

A B C D.1

Nếu < + < từ giả thiết ( + )≥1 ta suy + ≤1 Nếu + > ta có:

( + )≥1 ⇔ + ≥ + ⇔3 − + −2 ≤

⇔ √3−

√ + √2−√ ≤

Ta viết lại = + =

√ √3− √ +√2 √2−√ +

Theo bất đẳng thức Cauchy – Schwartz

1

√3 √3−

2√3 +√2 √2−

1

√2 ≤

√3 + √2 √3−

2√3 + √2−

1

√2

≤ =

Do ≤ + = Dấu “=” xảy ( ; ) = ; Vậy đạt ( ; ) = ;

Câu 11: Xét số thực , thỏa mãn ( −1) + ( −1) = Khi biểu thức = + đạt giá trị nhỏ −2 = + √3 với , ∈ ℚ Tính =

A = B = C = D =

Điều kiện: −1 > −1 > 0⇔

> >

Khi đó: ( −1) + ( −1) = 1⇔( −1)( −1) = 2⇔ −1 = ⇔ = + Suy ra: = + = + + = 2( −1) + +

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 2( −1) + ≥ 2( −1)

⇒2( −1) + ≥4√3⇒ ≥4√3 +

Dấu “=” xảy ⇔2( −1) = ⇔( −1) = 3⇔| −1| = √3⇔ = +√3( )

= 1− √3( )

⇒ =

√ + =

√

Do đó: −2 = +√3 −2 √ = + √3⇒ = 1; = ⇒ = = Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: = + + ⇒ ′= 2−

( )

′= ⇔ = +√3( )

= 1− √3( )

Bảng biến thiên

(6)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √

Do đó: −2 = +√3 −2 √ = + √3⇒ = 1; = ⇒ = =

Câu 12: Xét số thực , thỏa mãn ( −1) + ( −1) = Khi biểu thức = + đạt giá trị nhỏ −2 = + √3với , ∈ ℚ Tính = ?

A = B = C = D =

Điều kiện: −1 > −1 > 0⇔

> >

Khi đó: ( −1) + ( −1) = 1⇔( −1)( −1) = 2⇔ −1 = ⇔ = +

Suy ra: = + = + + = 2( −1) + +

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có: 2( −1) + ≥ 2( −1)

⇒2( −1) +

−1≥4√3⇒ ≥ 4√3 +

Dấu “=” xảy ⇔2( −1) = ⇔( −1) = 3⇔| −1| = √3⇔ = +√3( )

= 1− √3( )

⇒ =

√ + =

√

Do đó: −2 = +√3 −2 √ = + √3⇒ = 1; = ⇒ = = Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: = + + 3⇒ ' = 2−

( )

' = 0⇔ = +√3( )

= 1− √3( )

(7)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: √3√3 √

Do đó: −2 = +√3 −2 √ = + √3⇒ = 1; = ⇒ = =

Câu 13: Cho , , số thực dương thỏa mãn 64 + 64 + 64 = Giá trị lớn biểu

thức = + + + 1515

A.2020 B.2019 C.2021 D.2018

Lời giải Chọn A

Áp dụng hệ bất đẳng thức cơsi cho sốdương ta có:

( + + + ) 1+

2 +

1

2 +

1

3 ≥ 16⇔

1

+ + + ≤

1 16 + 2 +

( + + + ) 1+1+

2 +

1

3 ≥16⇔

1

+ + + ≤

1 16 + +

( + + + ) 1+

2 +

1

3 +

1

3 ≥ 16⇔

1

+ + + ≤

1 16 + +

Từđó suy = + + + 1515≤ + + + 1515

Từ giả thiết ta lại có = 64 + 64 + 64 ≥3 64 64 64 =

Suy ≤ ⇔ + + ≤2020

Vậy ≤ + + + 1515≤ + 1515 = 2020

Dấu xảy

= =

+ + = 2020⇔ = ; = ; =

Câu 14: Xét số thực dương , , , , , thỏa mãn > 1, > 1, > = = = √ Giá trị nhỏ biểu thức = + + + thuộc tập hợp đây?

A.10; 13) B.7; 10) C.3; 5) D.5; 7)

Từ giả thiết ta có

 

1

1 log log

2 a a

x  b c , 11 log log 

2 b b

y  a c , 11 log log 

2 c c

z  b a Khi ta có

(8)

2P4 log ablogbalogaclogcalogbclogcb

Vì > 1, > 1, > nên logab0, logbc0, logca0, logba0, logcb0, logac0 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta

logablogba2 logab.logba hay logablogba2 Tương tự logaclogca2 logbclogcb2

Do ≥ 10 hay ≥ Dấu " = " xảy = = Vậy giá trị nhỏ Pmin 5

Câu 15: Cho hai số thực dương , thỏa mãn ( + + 2) = + + Giá trị nhỏ biểu thức = với , ∈ ℕ, ( , ) = Hỏi +

A.2 B.9 C.12 D.13

Ta có ( + + 2) = + + ⇔ = − −

⇔ = ( ) Gọi > 0là giá trị nhỏ sốdương nhỏ để hệ

+ =

= có nghi

ệm

Ta có

+ =

= ⇔

( )

−2 =

+ = ⇔

( + ) = ( + 2)

+ =

Từ( + ) = ( + 2) ⇒( + 2) ≥4 ⇒ ≥2

Đặt t xy0 + = ⇔ + (2−3 ) + + = 0(*) Ta tìm ≥ 2để (*) có

nghiệm dương ⇔ = −24 −20≥0⇔ ≥ Do ≥ , dấu “=” xảy

+ =

= ⇒( ; ) = (1; 3) Vậy + = 13

Câu 16: Cho số thực dương thỏa mãn + = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức =

A. = B. = √ C. = + 9√2 D. = √

Từ giả thiết ta đặt = −2 , ∈ ℝ

Phương trình + = + trở thành

4 + = (4 + ) ⇔4(7 −49) + 9 −49 =

Nhận thấy = 2là nghiệm phương trình

Ta chứng minh = 2là nghiệm phương trình

Xét > 2: > 49và > 49nên vếtrái phương trình ln dương, nên phương trình vơ nghiệm

Xét < 2: < 49và < 49nên vế trái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm

(9)

Vậy = −2 = 2⇔ = thay vào = =

Dấu đạt = ⇒ =

Câu 17: Xét số thực dương , , , thỏa mãn > 1, > 1và = = Biết giá trị nhỏ biểu thức = + + có dạng + √30 (với , số tự nhiên), tính =

+

A.34 B.36 C.52 D.48

Theo ta có: = = ⇔ =

= ⇔

2 = ( )

3 = ( ) ⇔

2 = + = +

⇔ = 3(1 + )

= 2(1 + )

Do đó: = + + = 18(1 + )(1 + ) + 6(1 + ) + 2(1 + )

= 18 + 18 + 18 + 18 + + + +

= 44 + 24 + 20

Đặt = Vì , > 1nên > =

Khi = 44 + 24 + ≥44 + 24 = 44 + 8√30

Vậy đạt giá trị nhỏ 44 + 8√30khi 24 = ⇒ = √ hay = √ Ta có: = 44

= ⇒ = + = 52

Câu 18: Cho hai số thực ; ; thỏa mãn hệ thức + ≤3 + + Giá trị nhỏ biểu thức = + + −22 bằng?

A.−19 B.12 C.−15 D.8

Chúng ta nắm bắt dạng có cách giải sau:

+ ≤3 + + ⇔ + ≤ + + 2⇔ = 2= + + = 0− −2 = 0 ⇔ = −2

= −5 +

Thế vào biểu thức , ta được:

= + (2 −2) + 2(−5 + 4) −22 = 55 −110 + 36 = 55( −1) −19≥ −19

Vậy giá trị nhỏ là: = −19

Câu 19: Cho hai số thực dương , lớn biết phương trình = có nghiệm thực Biết giá trị nhỏ biểu thức log  

log  a 

a

P ab

b có dạng với , số tự nhiên phân số tối giản Khi +

A.34 B.21 C.23 D.10

Phương trình tương đương với  

2 log log log

  a    a  a 

x x b x x b b

Điều kiện đểphương trình có nghiệm là:  logab28logab0 logab8( ) >

16 16

1

x x

     

(10)

Khi log log  a  

a

P b

b = ( ) = + + 1≥ ; ) ( ) = (8) = =

Vậy + = 23

Câu 20: Cho số thực , thỏa mãn điều kiện < < < Tìm giá trị nhỏ biểu thức =

( )

+ −1

A.6 B.8 C.3√2 D.7

Ta có: = =

( )

(3 −2) ≥ ⇒9 −12 + 4≥ ⇒ ≤ ⇒ ( )≥ =

Do đó: ≥ +

( ) −1 ⇒ ≥ ( −1) + ( −1) +( ) +

Mà < < < 1⇒ > = ⇒ −1 >

Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ( −1) + ( −1) +

( ) ≥6 ⇒ ≥7

Dấu " = " xảy ⇔ −2 = 0−1 =

( )

⇔ =

= ⇔

= =

Vậy =

Câu 21: Cho số thực , > 1thỏa mãn điều kiện + = 2020 Tìm giá trị lớn

của biểu thức = + ?

A 2020 log20192018 log 20182019 B. log20192018 log20182019

2020 

C

2019 2018

2020

log 2018 log 2019 D 2020 log201920182020 log20182019 Lời giải

Chọn A

Ta có: P log2019a log2018b  log20192018 log2018a log20182019 log2019b Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky, ta có:

 2

2

2019 2018 2018 2019

log 2018 log log 2019 log

P  a b

    

2019 2018 2018 2019 2019 2018

log 2018 log 2019 log a log b log 2018 log 2019 2020

    

2019 2018

2020 log 2018 log 2019

P 



Đẳng thức xảy

2018 2019

2019 2018

2 2018 2019

l

log log

og log

log

0

018 log 201

02 a b b a        

 2018  2018  2019 

8

019

201 2019

log 2019 log log 2018

g log log 202

lo a b a b         

⇔& = = (với = 2019)

Vậy tồn , > 1đểđẳng thức xảy nên maxP2020 log20192018 log 20182019

(11)

Câu 22: Cho > 0, > thỏa mãn log4a5b116a2b21log8ab14a5b12 Giá trị +

2

A B.6 C D.9

Ta có: 16 + + ≥2√16 + = + 1do đó:

 2   

4

log ab 16a b 1 log ab 4a5b1

   

4

log ab 8ab log ab 4a 5b

    

 

4

4 1 8 log log a b a b ab ab            

4

4 1

2

8

log

a b a b ab ab         Dấu " = " xảy khi:

16 =

8 + = + + 1⇔

4 =

2 + = + ⇔

=3

4 =

Vậy + =

Câu 23: Cho , , > 0; , , > = = =√ Giá trị lớn biểu thức = +

− thuộc khoảng đây?

A.(10; 15) B ; C.−10; 10) D.[15; 20]

Ta có: = = = √

⇒ = = =

2 ⇒ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧1=

1 =

=

Do đó: + + = 2( + + ) = =

Suy ra: + = 2−

Ta có: = + − = 16 2− − = 32− − ( > 0) Mặc khác, + = + + ≥3 = 12

Dấu “=” xảy ⇔ =

Vậy giá trị lớn biểu thức 32−12 = 20 =

(12)

DẠNG 2: ÁP DỤNG PHÁP HÀM SỐ, HÀM ĐẶC TRƯNG ÁP DỤNG HÀM SỐ

Câu 24: Cho , số thực dương thỏa mãn > √ ≤ < Giá trị nhỏ biểu thức

= + √

A.6 B.7 C.5 D.4

Đặt = , > √ ≤ < nên ≤ <

Ta có = + √ = + −4 = ( )

Xét hàm số ( ) = + −4 nửa khoảng ; , ta có

( ) =

( ) − =

( )( )

.( ) ; ( ) = 0⇔ = ∉ ; = ∈ ;

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có

;

( ) = = Vậy = = ⇔ = √

Câu 25: Cho , số thực dương thỏa mãn ≤4 −1 Giá trị nhỏ = ( )+

+ Giá trị tích

A.45 B.81 C.115 D.108

Từ giả thiết, ta có ≤ −1 nên ≤ − Đặt = , ta có < ≤4 (vì − ≤4, ∀ > 0)

Ta có = 12 + + ( + 2); ( ) =− + < 0, với < ≤4 Do (4) = + Suy = , = nên = 81

Câu 26: Cho số thực , , khác thỏa mãn = = 15 Hỏi giá trị nhỏ biểu thức

= + + −4( + + ) là?

A.−3− B.−4 C.−2− √3 D.−2−

Đặt = = = 15 ; >

Suy

= =

− =

⇒ − = = = = ⇔ + + =

Ta có = + + −4( + + ) = ( + + ) −2( + + )−4( + + )

⇒ = ( + + ) −4( + + ) = [( + + )−2] −4≥ −4

(13)

⇒ + + =

+ + =

Câu 27: Xét số thực , cho > 1, √ ≤ < Biểu thức = + √ đạt giá trị nhỏ

A. = B. = C. = D. =

Do > mà > suy >

Ta có √ ≤ < ⇔log √ ≤log < log ⇔ ≤ log <

Theo = + √ ⇔ = +

√

⇔ = +

Đặt = log suy ∈ ; ta = + với ∈ ;

=

( ) − cho = ⇒ = 4(1− )

⇔3 −8 + = 0⇔ = (thỏa mãn) = 2(loại)

Dựa vào bảng biến thiên giá trị nhỏ = = ⇔ = ⇔ =

Cho , số thực thỏa mãn < < Tìm giá trị nhỏ biểu thức = ( −1) +

8 √

√

A.18 B.9 C.27 D.30

Ta có √

√ = = = =

√

Suy = −1 + √

√

Đặt = , < < ⇔ < < ⇒ > Ta có hàm số ( ) = ( −1) + với >

( ) = ( )( )

( ) ;

′( ) = 0⇒ =

=

Lập bảng biến thiên (2; +∞)ta

(14)

Vậy giá trị nhỏ biểu thức = ( −1) + √

√ 27 đạt = 4⇔

2 = ⇔ = ⇔ =

Câu 28: Cho , hai số thực dương thỏa mãn = + ∈[4; ] Gọi , lần lượt giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = + Tính tổng = +

A. = B. = C. = D. =

Ta có = + ⇔ − = ( + )⇔( + )( −4 ) = 0⇔ = −

=

Vì , dương nên = , ta thay vào ta

= +3

4 =

4

+3

4 =

+

−1+

4

Đặt = ∈[4; ] nên ∈[2; 32]

Xét hàm số ( ) = +

( ) = −3

( −1) +

3

4⇒ ( ) = 0⇔

= −1 ( ) =

Ta có bảng biến thiên

Vậy = ; = ⇒ = + =

Câu 29: Cho m loga 3ab với > 1, > P log2ab16 logba Tìm cho đạt giá trị nhỏ

A. = B. = C. = D. =

Ta có: log  3 1log   11 log 

3

a a a

m  ab  ab   b

3m logab logab 3m

     

Do > 1, > 1nên logab log 1a  0⇒ >

(15)

Ta có: log2 16 log log2 16 3 12 16

log

a b a

a

P b a b m

b m

      

 , với ∈ ; +∞

= 6(3 −1)−

( )

= 0⇔6(3 −1)−( ) = 0⇔(3 −1) = 8⇔3 −1 = 2⇔ =

Vậy minP 12m 1

Câu 30: Tính giá trị biểu thức = + − + biết = 14−( −

2) + với ≠0 −1≤ ≤

A. = B. = C. = D. =

Ta có biểu thức vế trái: ≥4 = (1)

Xét biểu thức ( ) = 14−( + 1) + + + với −1≤ ≤

Đặt = + 1⇒ ∈ 0; suy ( ) = 14−( + 1) + + + = ( ) =− + + 14

Khảo sát hàm số ( ) =− + + 14trên đoạn 0; ta kết quả: ( )≤ 16

⇒ ( )≤ = 4(2)

Từ (1) (2) ta có: =

+ = 1⇒ = 1, = 0⇒ = + =

Câu 31: Cho , số thực dương thỏa mãn + (7 )≥ ( + ) Giá trị nhỏ

= + có dạng √ + , , , số tự nhiên > Xác định: + +

A. + + = 13 B. + + = 12 C. + + = 11 D. + + = 10

Từ + (7 )≥ ( + )⇔7 ≥ +

Nhận xét: Nếu < ≤1 ≥ ≥ + ⇔0 ≥ (vơ lý)

Xét > ≥ + ⇔7 ( −1)≥ ⇔7 ≥

Vậy = + ≥ +

Xét: ( ) = + (1; +∞)

Có ( ) = + ( )

( ) = ( )

Xét ( ) = 0⇔5 −10 + = 0⇔ =

√

(loai)

= √ (nhan)

Vậy

( ; ) ( ) =

√

= 2√5 +

(16)

Câu 32: Cho , số thực dương thoả mãn + ≥ ( + ) Tìm giá trị nhỏ =

+

A. = B. = + 3√2 C. = + 2√2 D. =√17 +√3

Ta có + ≥ ( + )⇔ ≥ ( + )⇔ ≥ + ⇔ ( −1)≥ >

Mà > 0, > 0nên > 1và ≥ Suy + ≥ +

Xét hàm số ( ) = + = + + , > Ta có: ( ) = 2−( ) = 0⇔ = +

√ (Do > 1)⇒ +√ = + 2√2

Vậy = + 2√2

Chú ý: Ta có tìm minh ( )như sau:

( ) = + + = 2( −1) + + 3≥ 2( −1) + = 2√2 +

Đẳng thức xảy 2( −1) = = √2⇔ = +√

Câu 33: Tính giá trị biểu thức = + − + biết = 14−( −

2) + với ≠0 −1≤ ≤

A. = B. = C. = D. =

Xét = 14−( −2) +

Ta có ≥4 = 4, dấu xảy = ±1, Mặt khác 14−( −2) + = 14 + + 1− +

Đặt = + ta có 0≤ ≤√ Xét hàm số ( ) = − + + 14 Ta tìm GTLN – GTNN hàm sốtrên đoạn 0;√

;√

( ) = √ = √ ;

;√

( ) = (1) = 16

Suy 14−( −2) + ≤ = 4, Từ suy ta có = ±1

= + = 1⇔

= ±1

= Thay vào =

Câu 34: Xét số thực , thỏa mãn > 0và + −3 = (1−2 ) Giá trị lớn biểu thức = + thuộc tập hợp đây?

A.(1; 2) B.2; 4) C.−3; 0) D.0; 3)

(17)

Xét phương trình + −3 = (1−2 )

Đặt = ( > 0)ta có: + −3 = (1−2 )⇔3 + = ( + ) ≥4( )

⇔ − ≤ ≤1

Lại , > 0⇒0 < ≤1⇒0 < ≤1⇔ + ≤ 0nên ≤0

Dấu xảy

= = , >

⇔ = = 1hay =

=

Vậy 0; 3)

Câu 35: Gọi tập cặp số thực ( , ) cho ∈ [−1; 1] ( − ) −2017 = ( − ) −

2017 + Biết giá trị lớn biểu thức = ( + 1)−2018 với

( , )∈ đạt ( ; ) Mệnh đề sau ?

A. ∈(−1; 0) B. =−1 C. = D. ∈ 0; 1)

Điều kiện − >

Ta có ( − ) −2017 = ( − ) −2017 +

⇔( − ) ( − )−2017( − ) = ⇔ ( − )−2017− = (*)

Xét hàm ( ) = −2017− , có ( ) = + > với ∀ >

Do ( )đồng biến khoảng (0; +∞),

suy (∗)⇔ ( − ) = = ( ) ⇔ − = ⇔ = −

Khi = (1 + − )−2018 = ( )

   

g x (2019 + 2018 −2018 )−4036

   

g x (2018.2020 + 2018 −2018 )−4036

≤ (2018.2020 + 2018 −2018 )−4036 < với ∀ ∈[−1; 1]

Nên ( ) nghịch biến đoạn [−1; 1],

mà (−1) = + 2018 > 0, (0) = 2019−2018 < nên tồn ∈ (−1; 0) cho

( ) =

[ ; ] ( ) = ( )

Vậy lớn ∈(−1; 0)

Câu 36: Cho , thỏa mãn ( + ) + ( − )≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức = −

A. √3 B. √ C. D.

Theo giả thiết: ( + ) + ( − )≥ 1⇔

+ >

− >

− ≥4

⇒ >

≥ +

Ta có: = − ≥2 + 4− Xét hàm số: ( ) = + 4− có

( ) =

+ 4−1 =

2 − +

+

(18)

( ) = 0⇔2 − + = 0⇔ ≥

= ⇔ =

√

BBT:

Từ BBT suy = − ≥ ( ) ≥2√3, dấu " = "xảy =

√

= +

⇔ =

√

= √

Vậy √3

= √

Câu 37: Cho hai số thực , thỏa mãn ≤ ≤ , 0≤ ≤ (11−2 − ) = + −1 Xét biểu thức = 16 −2 (3 + 2)− + Gọi , giá trị nhỏ giá trị lớn Khi giá trị = (4 + ) bao nhiêu?

A.16 B.18 C.17 D.19

Ta có

(11−2 − ) = + −1⇔2(2 + )− 11−(2 + ) −1 =

Đặt = + , < < 11 Phương trình trở thành: − (11− )−1 = (1) Xét hàm số ( ) = − (11− )−1 khoảng (0; 11)

Có = + > 0, ∀ ∈(0; 11) Do hàm số ( )ln đồng biến

Dễ thấy (1) có nghiệm = Do = nghiệm (1)

Suy = 1− Khi = 16 ( ) −(1− )(3 + 2)− + = −5 + + Xét hàm số ( ) = −5 + + 0; , có

( ) = 12 −10 + > 0, ∀ ∈ 0;

Do đó, ;

( ) = (0) = 3,

;

( ) = (1) =

Suy = 3, = Vậy = 4.3 + = 16

Câu 38: Xét số thực dương , thỏa mãn + ≤ ( + ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A. B C. √ D.

Với , > 0, ta có:

 2    2

1

1 1

2

2 2

log xlog ylog xy log x y log xy xy x y ⇔ ≤ − ⇔ ≤ ( −1) Suy ra: −1 >

(19)

Từ ≤ ( −1) ⇒ ≥ , với >

Khi đó: = + ≥ + = + + , với >

Xét hàm số: ℎ( ) = + + khoảng (1; +∞) Ta có: ℎ( ) = 4−

( ) = ( ) ;

ℎ( ) = 0⇔4 −8 + = 0⇔

=3

2

=1

2∉(1; +∞)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

( ; )ℎ( ) = =

Suy ra: ≥

( ; )ℎ( ) =

Vậy = = =

Câu 39: Cho số thực , , , thỏa mãn điều kiện > 1, > 1, > 0, > 0, + = Biết biểu thức = đạt giá trị nhỏ = Khẳng định sau ?

A. + = B. + = C. + = D. + =

Ta có = + = ( ), suy ( ) = − = 0⇔ = ⇔ = ⇔

= ⇔ = ⇔ =

( ) = 1,

→ ( ) = +∞, → ( ) = +∞

Ta có BBT

Từ BBT⇒ = 1, đạt = Do = 1, = −1⇒ + =

Câu 40: Với hai số thực , bất kỳ, ta kí hiệu : ( ; )( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3| Biết tồn số thực để

∈ℝ ( ; )( ) = ( ; )( ) với số thực , thỏa

mãn = < < Số

A.2 −1 B.2,5 C. D.2

(20)

Trước tiên ta xét , thỏa mãn = < <

Ta có: = ⇔ = ⇔ =

Xét hàm số ( ) = (0; +∞) Ta có: ′( ) = ; ′( ) = 0⇔ =

Do < < ( ) = ( ) nên ta có < < <

Khi ( ; )( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3|

= (| − | + | − |) + (| −2| + |3− |)

≥| − + − | + | −2 + 3− | = − +

Mặt khác < < < < nên ta có:

( ; )( ) = | − | + | − | + | −2| + | −3| = − + − + −2 + 3− = − +

Vậy =

Câu 41: Cho , số thực dương thỏa mãn ≤4 −1 Giá trị nhỏ = ( )+

+ Giá trị tích

A.45 B.81 C.108 D.115

Ta có: ≤4 −1⇔4 ≥ + 1≥2 ⇒4 ≥ nên: ≤ 2⇔ ≤

Xét = ( )+ = 12 + + +

Đặt = , < ≤4

Suy ra: = ( ) = 12 + + ( + 2) Ta có: ( ) =− + =

.( ) = ( )

.( )

Với < ≤4 −3 < −3≤ 1⇒0 ≤( −3) < nên ( −3) −21 < 0, ∀ ∈0; Do đó: ( ) <

Hàm số ( ) nghịch biến (0; 4]

Suy ra: ( )≥ (4), ∀ ∈0; Hay ≥ (4) = 12 + + 6⇔ ≥ + Vậy Dấu xảy =

= 1⇔

= =

Khi đó: = ; = nên = 81

Câu 42: Xét số thực dương , thỏa mãn = + −1 Tìm giá trị nhỏ

= + √

A. B. C. D.

(21)

Điều kiện < <

Từ giả thiết = + −1⇔ (1−2 ) + (1−2 ) = ( + ) + ( + )(1)

Xét hàm số ( ) = + (0; +∞) có ( ) = + > 0, ∀ > 0do hàm ( )đơn điệu Vậy (1)⇔1−2 = + ⇔3 + = 1(2)

Có = +

√ ≥ + = +

Đặt ( ) = + , ta có ( ) =− +

( ) suy ( ) = 0⇔ = Do

;

( ) = Vậy Bổ sung: có thểđánh giá = +

√ ≥ + = + ≥ =

Câu 43: Xét số thực , thỏa mãn 2

x y  (2 + )≥ Giá trị lớn

max

P biểu thức P2xybằng

A. 19 19

2 max

P   B. 65

2 max

P   C. 11 10 max

P   D. 10

2 max

P  

Ta có: (2 + )≥ 1⇔2 + ≥ + ⇔ −2 + −3 ≤

= 1−( −3 ) =− + +

Để tồn , ≥0 ⇔ ∈ √ ; √ Khi = ± − + +

Ta có: = + ≤2 + − + + + = ( )

( ) = +

( ) = 0⇔ − + + = −3⇔ − + + = −12 + 9, = 16

⇔ = √

Do = + ≤ √

Vậy = √

= √

= + − + + = √

(thỏa mãn điều kiện 2 x y  )

Câu 44: Cho hai số thực , thỏa mãn + = Giá trị lớn biểu thức =

+

A. + B. +

C ( + 2) D

(22)

Biến đổi yêu cầu toán ta được:

= + = + = +

Xét hàm số ( ) = √ + √1− ⇒ ( ) =

√ − √

Ta có ( ) = 0⇔ √1− = 3√ ⇔ 1− = 3⇔ =

⇒ ( )≥ = + 2⇒ = +

Câu 45: Cho , sốdương thỏa mãn + + −10 + ≤ Gọi , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ = Tính = 10 −

A. = 60 B. = 94 C. = 104 D. = 50

+

+ 10 + + + −10 + ≤

⇔ ( + )− ( + 10 + ) + + 2( + )

−( + 10 + )≤

⇔ (2 + 10 ) + 2( + )≤ ( + 10 + ) + ( + 10 + )

⇔2 + 10 ≤ + 10 + vi)

⇔ −10 + ≤ 0⇔ −10 + 9≤ 0⇔1≤ ≤9

= + +

+ =

+ +

+

Đặt = , điều kiện: 1≤ ≤9

( ) = ; ( ) = ( ) ; ( ) = 0⇔ = −4

=

(1) = ; (2) = ; (9) =

Nên = , = Vậy = 10 − = 94

ÁP DỤNG HÀM ĐẶC TRƯNG

Câu 46: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( −1) = ( + )

Tìm giá trị nhỏ

A. B. C. D. √3

Ta có ( −1)2 = ( + )2 ⇔(2 −1−1)2 = ( + )2 (1)

Xét hàm ( ) = ( −1) với ≥1

Khi ( ) = + ( −1) > với ∀ ≥1 Từ(1)⇔2 −1 = + + 1⇔ =

= −2 −4

(2 −1) = 0⇔2 −2 −4 = ⇔

=

=−1

Loại = −1 điều kiện nên (2) =

(23)

Câu 47: Cho số thực , thỏa mãn 0≤ , ≤ 1và + ( + 1)( + 1)−2 =

Tìm giá trị nhỏ với = +

A.2 B.1 C D.0

+ ( + 1)( + 1)−2 = 0log3xy  xylog 13 xy  1xy(1) Xét hàm số ( ) = + với > 0, ta có ( ) =

+ > 0∀ >

⇒ ( )luôn đồng biến với ∀ > 0(1)⇔ + = 1− 1

1

x y

x x



    

  (2)

Thế(2)vào ta = + Với 0≤ ≤

= 2−

( ) ; = 0⇔

= 0∉[0; 1]

=−2∉[0; 1] (0) = 1; (1) =

Vậy giá trị nhỏ đạt = 0; =

Câu 48: Cho , hai số thực dương thỏa mãn = + −4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A B C D.1

4 + +

+ = + −4⇔ (4 + + 5)− ( + )

= 5( + )−(4 + + 5)

⇔ (4 + + 5) + (4 + + 5) = ( + ) + 5( + )(*)

Hàm số ( ) = + ( > 0) có '( ) = + >

( )đồng biến nên (*)⇔ (4 + + 5) = 5( + ) ⇔4 + + = 5( + )

4 + + = 5( + )⇔ = 5−3

= + ⇒ = (5−3 ) + = 10 −30 + 25 = 10 − + ≥

Vậy GTNN =

Câu 49: Cho 2 số thực dương , thỏa mãn [( + 1)( + 1)] = 9−( −1)( + 1) Giá trị nhỏ biểu thức = +

A. B. C. √3 D. √2

Lời giải Chọn D

Ta có [( + 1)( + 1)] = 9−( −1)( + 1)

⇔( + 1)[ ( + 1) + ( + 1)] + ( −1)( + 1) =

⇔( + 1)[ ( + 1) + ( + 1) + −1] =

⇔ ( + 1) + −1 =

+ 1− ( + 1)

⇔ ( + 1) + + 1−2 = −2 + (*)

Xét hàm số ( ) = + −2 với > có ( ) = + > với > nên hàm số ( ) đồng biến liên tục (0; +∞)

(24)

Từ (*) suy + = ⇔ = −1 = , > nên ∈ (0; 8)

Vậy = + = + = −1 + = 2( + 1) + −3≥ −3 + 6√2

Vậy √2 2( + 1) = ⇔ =

√ −1

Câu 50: Cho số thực dương x, y thỏa mãn: + + ( + 1) = + + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A. √6 B. √2 C. √2 D. √2

Ta có: + + ( + 1) = + + +

3 − + −5 = − + − (∗)

Xét hàm số ( ) = − + có ( ) = 3− + > 0,∀ suy hàm số ( ) đồng biến

Từ (*) ta có ( −5) = (2 − ) ⇔ −5 = − ⇔ =

Suy = + =

⇔ = 2( + 1) + 4( + 1) +

+ = 2( + 1) + +

9

+ 1≥ + 6√2

Câu 51: Cho hai số thức , thỏa mãn 16 = ( ) Tính giá trị lớn biểu thức = +

A B C D.1

Từ giải thiết suy 1−2 > Theo ra:

16 = 8(1−2 )

+ ⇔ ( + ) =

8(1−2 )

16

⇔2 ( + ) = 8(1−2 )

2 ⇔2 ( + ) = (2−4 )(1)

Xét hàm số ( ) = với ∈ = (0; +∞)

Do hàm số liên tục có ( ) = + > 0,∀ ∈ suy hàm sốđồng biến Khi (1)⇔ + = 2−4 ⇔ (1 + ) = 2−2 suy 2−2 > 0⇔ <

Ta có = + = (1 + ) = (2−2 ) = (1− ) ≤ =

Vậy = xảy

=

Câu 52: Cho hai sốdương , thỏa mãn = −2 −1 Tìm giá trị lớn biểu

thức = −18 + 72 −45 nửa khoảng 0;

A.2020 B.20 C.15 D.30

Ta có:

+

3 + + = −2 −1

⇔ ( + )− (3 + + ) = −2 −1

(25)

⇔ ( + ) + + = (3 + + ) +

⇔ (3 + ) + + = (3 + + ) + + +

Hàm đặc trưng ( ) = + ∀ > 0⇒ ( ) = + > 0∀ >

⇒Hàm sốđồng biến khoảng (0; +∞)

Do đó: + = + + ⇔2 =

Thay vào ta có: = ( ) = −27 + 72 −45

( ) = −54 + 72

( ) = 0⇔ = 2= 4

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị lớn P 15

Câu 53: Cho hai số thực dương , thỏa mãn + + = + ( + ) Giá trị nhỏ biểu thức =

A B C D.

Đặt = ( + )⇔3 = + ⇔3 = −3

Khi phương trình + + = + ( + ) trở thành:

3 + + = −3 +

⇔3 + + = +

⇔3 + + = + (1)

Xét hàm số: ( ) = + khoảng (0; +∞)

Ta có: ( ) = + > 0,∀ ∈(0; +∞) suy hàm sốluôn đồng biến

Do (1) suy ( + 1) = ( )⇔ + = ⇔ + = ( + )⇔3 −3 = ⇔ =

Khi = = = ( )có ⇒ ( ) = = 0⇔ = Lập bảng biến thiên hàm số khoảng (0; +∞) suy

( ; ) = =

Câu 54: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log , = + 4− − −2 Gọi

giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = + + 12 Giá trị biểu

thức ( + )tương ứng

A.28 B.26 C.29 D.27

Điều kiện xác định: > 0⇔ + −2 + 10 > 0.(*)

Ta sẽđưa phương trình dạng log = − ⇔ .⇔ = (với > 1)

Giả thiết log , = + 4− − −2

⇔log( + −2 + 10)−log(2 + + 6) = (2 + + 6)−( + −2 + 10)

⇔log( + −2 + 10) + ( + −2 + 10) = log(2 + + 6) + (2 + + 6) (1)

(26)

Xét hàm sốđồng biến ( ) = log + ′( ) = + > ∀t >

Từ (1) suy ( + −2 + 10) = (2 + + 6) ⇔ + −2 + 10 = + +

⇔( −2) + ( + 1) = (2)

Xét biểu thức: = + + 12 = 3( −2) + 4( + 1) + 14

Theo BĐT buhia, ta có 3( −2) + 4( + 1) ≤ (3 + )(( −2) + ( + 1) ) = 225

⇔|3( −2) + 4( + 1)|≤ 15⇔ −|3( ≤ −2) + 4( + 1)|≤ 3( −2) + 4( + 1)≤ |3( ≤ −2) +

4( + 1)| ⇔ −15≤ 3( −2) + 4( + 1)≤ 15⇔ −1≤ = 3( −2) + 4( + 1) + 14≤29

Suy giá trị nhỏ là: = 9; = −1⇒( + ) = 27

Câu 55: Cho , , số thực thỏa mãn = ( −2) + ( −2) + ( −2) Tìm giá trị lớn Cho ; số thực dương thỏa mãn điều kiện + + + =

+ + ( −4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A.3 B.5 + 2√5 C.3−2√5 D.1 +√5

Ta có + + + = + + ( −4)

5 −3 + + = −3 + −1(1)

Xét hàm số ( ) = −3 + ℝ

Vì ( ) = + + > 0;∀ ∈ ℝnên hàm số ( )đồng biến (2) Từ (1)và (2)ta có + = −1(3) Dễ thấy = 4không thỏa mãn (3)

Với ≠4, (3)⇔ = kết hợp điều kiện > 0suy > Do = + = +

Xét hàm số ( ) = + (4; +∞) Ta có ( ) = 1−

( ) = 0⇔

= +√5

= 4− √5

Dựa vào bảng biến thiên ta có

( ; ∞)( )√5

Câu 56: Cho số thực , với ≥ thỏa mãn + + ( + 1) + = + −

3 Gọi giá trị nhỏ biểu thức = + + Mệnh đề sau đúng?

A. ∈ (2; 3) B. ∈(−1; 0) C. ∈(0; 1) D. ∈(1; 2)

Đẳng thức cho tương đương − + + = − + (− −1)(∗) Xét hàm số ( ) = − + với ∈ ℝ

Ta có ( ) = + + 1⇒ ( ) > với ∀ ∈ ℝ Suy hàm số ( )đồng biến ℝ

(27)

Khi (∗)được viết lại thành

( + ) = (− −1)⇔ + =− −1⇔ ( + 3) =− −1⇔ =

Thay = vào biểu thức ta

= + + = + −1 + = + −1 = + + −4

Đặt + = Vì ≥ nên ≥ Ta có

= + −4 = + + −4Côsi≥ + −4=

Do với = = suy = ∈ (0; 1)

Câu 57: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức ( −1) = ( + ) Tìm giá trị nhỏ

A. B. C. D. √3

Ta có ( −1)2 = ( + )2 ⇔(2 −1−1)2 = ( + )2 (1)

Xét hàm ( ) = ( −1) với ≥1

Khi ( ) = + ( −1) > 0với ∀ ≥1 Từ (1)⇔2 −1 = + + 1⇔ =

= −2 −4

(2 −1) = 0⇔2 −2 −4 = ⇔

=

=−1

Loại = −1vì điều kiện nên (2) =

Câu 58: Cho số dương , thỏa mãn + + ≤4 Giá trị nhỏ biểu thức

= + + +

A √ B.11√3 C √ D.19

ĐK: >

, > ⇔ + >

Ta có:

+ −1

2 + + + ≤

⇔( ( + −1) + 1) + 5( + −1)≤ (2 + ) + +

⇔ [5( + −1)] + 5( + −1)≤ (2 + ) + + (∗)

Xét hàm số ( ) = ( ) + (0; +∞) ta có

( ) =

5+ > 0,∀ ∈(0; +∞)

⇒Hàm số ( ) = ( ) + đồng biến (0; +∞)

(∗)⇔5( + −1)≤ +

⇔3 + ≤

Mặt khác, ta có:

= + +4+9

= +4 + +9 −(3 + )≥2.6 + 2.6−5 = 19

(28)

⇒GTNN = 19, dấu “ = ” xảy ⇔ ⎩ ⎨ ⎧9 =

4 =

3 + =

⇔ =

= ( )

Câu 59: Cho số thực , với ≥0 thỏa mãn + + ( + 1) + = + −

3 Gọi giá trị nhỏ biểu thức = + + Mệnh đề sau đúng?

A. ∈ (0; 1) B. ∈(1; 2) C. ∈(2; 3) D. ∈(−1; 0)

Ta có: + + ( + 1) + = + −3

⇔5 −5 + + = −5 − −1

Xét hàm số ( ) = −5 + có ( ) = 5 + 5 + > 0, ∀ ∈ ℝ

Do hàm số ( )đồng biến ℝ ⇒ ( + ) = (− −1)⇔ + =− −1

⇔ (3 + ) =− −1⇔ = (do ≥ nên + 3≠0) ⇔ + + = + +

=

Xét hàm số ( ) = với ≥0 có ( ) =

( ) > 0, ∀ ≥0

Do đó: ( )≥ (0) = , ∀ ≥0 hay + + ≥ , ∀ ≥0 Vậy = ∈(0; 1)

Câu 60: Cho , ∈(0; 2) thỏa mãn ( −3)( + 8) = ( −11) Giá trị lớn =√ +

1 +

A.√1 + 3− B.2√ 3− C.1 +√ 3− D.1 +√ Lời giải

Chọn B

Điều kiện: ≥1, ≥

Ta có : ( −3)( + 8) = ( −11)⇔ + −24 = −11

⇔ −11 −( + −24) = 0, có = (2 + 5) > 0,∀ ≥1

Do ⇔ =

( )

= ( )⇔

= +

= 3− ⇔

=

+) Do = > > nên loại = +) Với = , 1≤ < 2:

Cách 1:

Khi đó, ta được: = √ + (3− ) 1; 2) Ta có =

√ − ( ) ( )

= ⇔

2 √ −

1

2(3− ) (3− )=

⇔(3− ) (3− )− √ = 0⇔(3− ) (3− ) = √ Xét hàm ( ) = √ 1; +∞), có ( ) =√ +

√ > 0,∀ ∈(1; +∞)

Khi ⇔ (3− ) = ( )⇔3− = ⇔ = Bảng biến thiên:

(29)

Từđó max = 2√ 3− = , =

Cách 2:

Khi đó, ta được: = √ + (3− ) 1; 2)

⇒ = √ + (3− ) ≤2( + (3− )) = [ (3− )] ≤2 =

4( 3− 2),∀ ∈ 1; 2)

Dấu “=” xảy

√ = (3− )

= 3−

∈ 1; 2)

⇔ = Vậy Từđó max = 2√ 3− = , =

Câu 61: Cho hai số thực ; thỏa mãn: √ ( + + 16) + [(5− )(1 + )] =

2 + (2 + 8)

Gọi tập giá trị nguyên tham số để giá trị lớn biểu thức = + − không vượt 10 Hỏi có tập khác rỗng

A.16385 B.2047 C.32 D.16383

ĐKXĐ: −1 < < ≠ −4

Ta có: √ ( + + 16) + [(5− )(1 + )] = + (2 + 8)

⇔ ( + 4) + [(5− )(1 + )]

= 2{ [(5− )(1 + )]− 3} + [ + ( + 4) ]

⇔2 ( + 4) + [(5− )(1 + )] = [(5− )(1 + )] + ( + 4)

⇔2log3y42log2y42 2log35x1xlog25x1x(∗)

Xét hàm số: ( ) = − (0; +∞)

Ta có: ′( ) =

− = >

⇒ ( )đồng biến (0; +∞)

(∗)⇔ (( + 4) ) = (5− )(1 + )

( + 4) = (5− )(1 + )

( −2) + ( + 4) =

Đặt: = +

=−4 +

= + − = (2 + ) + (−4 + ) − = √29 + 12 −24 −

Ta có: 29−12√5≤29 + 12 −24 ≤ 29 + 12√5

⇒ −3 + 2√5≤ √29 + 12 −24 ≤3 + 2√5

⇒ −3 + 2√5− ≤ √29 + 12 −24 − ≤ + 2√5−

(30)

 −3 + 2√5−

3 + 2√5− [

 −3 + 2√5− ≤ 10

3 + 2√5− ≤10

 −10≤ −3 + 2√5− ≤10

−10≤3 + 2√5− ≤ 10 

−13 + 2√5≤ ≤7 + 2√5

−7 + 2√5≤ ≤13 + 2√5⇔ −7 + 2√5≤ ≤7 + 2√5

Vì ∈ ℤ ⇒ ∈{−2;−1; 10; 11}

Do số phần tử là: 14

⇒Số tập khác rỗng −1 = 16383

Câu 62: Cho hai số thực , thỏa mãn 0≤ , ≤1 , khơng đồng thời

+ ( + 1) ( + 1)−2 = Tìm giá trị nhỏ với = +

A.2 B.1 C D.0

Từđiều kiện đề > 0; 1− ≠0 ⇒ + > 0; 1− > 0khi

+

1− + ( + 1) ( + 1)−2 = ⇔ ( + ) + ( + ) = (1− ) + (1− )(1)

Xét hàm số ( ) = + ( > 0) có ( ) =

+ > 0∀ >

⇒ ( ) hàm sốđồng biến khoảng (0; +∞)

Vậy phương trình (1)⇔ + = 1− ⇒ = ⇒ = +

Xét hàm số ( ) = + với ∈[0; 1]có ( ) = +

( ) cho ( ) = 0⇔

=

= −2

(0) = 1; (1) = 2⇒

[ ; ] ( ) = 1⇒Chọn B

Câu 63: Cho ; số thực dương thỏa mãn điều kiện + + + = + + ( −4) Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A.3 B.5 + 2√5 C.3−2√5 D.1 +√5

Ta có + + + = + + ( −4)

⇔ −3 + + = −3 + −1(1)

Xét hàm số ( ) = −3 + ℝ

Vì ( ) = + + > 0;∀ ∈ ℝ nên hàm số ( )đồng biến ℝ (2) Từ(1) (2) ta có + = −1(3) Dễ thấy = không thỏa mãn (3)

Với ≠4, (3)⇔ = kết hợp điều kiện > suy > Do = + = +

Xét hàm số ( ) = + (4; +∞) Ta có ( ) = 1−

( ) = ⇔

= +√5

= 4− √5

4 4 +√5 +∞

( ) – +

(31)

( )

+∞

5 + 2√5

+∞

Dựa vào bảng biến thiê n ta có

( ; )( )√5

Câu 64: Xét số thực dương , thỏa mãn √ = ( −3) + ( −3) + Tìm giá trị lớn biểu thức =

A.3 B.2 C 1 D 4

Ta có:

√

+

+ + + 2= ( −3) + ( −3) +

⇔ √ ( + ) + 3( + ) = √ ( + + + 2) + + + +

Xét hàm số ( ) = √ + , > có ( ) =

√ + > 0,∀ > Vậy hàm số ( ) đồng

biến liên tục khoảng (0; +∞)

Do đó: 3( + ) = ( + + + 2)⇔3( + ) = + + + 2(1)

Cách 1: Từ(1) ⇔ = ( + ) −3( + ) +

Ta có = + − = ( + 1)− ≤ −

Đẳng thức xảy = +

Do từ(1), suy ra: ≤( ) −( + ) + 3( + )−2 Đặt = + , >

Suy ra: = ( ) ≤

( )

=

( ) = ( )

Ta có: ( ) =

( ) = ⇔ = (nhận)

Dựa vào BBT, ta có =

( ; ) ( ) = (3) =

= +

+ = 3⇔

= =

Cách 2: (Trắc nghiệm) Ta có: = +

Trong (1) coi ẩn, tham số Ta có + ( −3) + −3 + = có nghiệm

= ( −3) −4( −3 + 2)≥0⇔ √ ≤ ≤ √ < nên −11 <

Vậy < nên 4phương án = 2, = Cách 3: (Trắc nghiệm)

Ta có: = 3− < với , >

(32)

+ Nếu = = 2⇔ = 11 Thay vào (1)ta được: + + 90 = (vô lý) + Nếu = = 1⇔2 + = 5⇔ = 5−2 Thay vào (1), ta được:

3( + 5−2 ) = + (5−2 ) + (5−2 ) + 2⇔3 −12 + 12 = 0⇔ = 2⇒ =

Vậy

Câu 65: Cho số thực dương thỏa mãn + = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức =

A. = B. = √ C. = + 9√2 D. Hàm số khơng có

giá trị nhỏ

Từ giả thiết ta đặt = −2 , ∈ ℝ

Phương trình + = + trở thành

4 + = (4 + ) ⇔4(7 −49) + 9 −49 =

Nhận thấy = nghiệm phương trình

Ta chứng minh = nghiệm phương trình

 Xét > 2: > 49 > 49 nên vếtrái phương trình ln dương, nên phương trình vơ nghiệm

 Xét < 2: < 49 < 49 nên vếtrái phương trình ln âm, nên phương trình vơ nghiệm

Vậy = −2 = 2⇔ = thay vào = =

Dấu đạt = ⇒ =

Câu 66: Cho hai số thực , thay đổi thỏa mãn đẳng thức + ( −1) = Tìm giá trị lớn , biết >

A. =− B. = −3 C. = D. =

Ta có: + ( −1) = ⇔ = ( + − −1) (∗) Xét hàm số ( ) = 0; +∞) Ta có ( ) = + 2 > 0∀ ≥0

Vậy hàm số ( ) = đồng biến 0; +∞)

Suy ra: (∗)⇔ ( ) = ( + − −1)⇔ + − −1 = ⇒ = > Ta có: =( )( )

( ) = ( ) ; = ⇔

= =

16 16

1

x x

     

(33)

Từ bảng biến thiên suy ra: = −3

Câu 67: Cho hai số thực , không âm thỏa mãn + − + = Giá trị nhỏ

biểu thức = + −2 +

A.− B.1 C D.−1

+ − + = ⇔2( + 1) + (2( + 1) ) = (2 + 1) + (2 + 1)

Xét hàm số ( ) = + , ( > 0); ( ) = +

> 0,∀ >

Suy 2( + 1) = + ⇒2 = 2( + 1) −1

= + −2 + 1= + −2( + 1) + + = + −4 = ( )

( ) = + −4 hàm số đồng biến nửa khoảng 0; +∞) nên ( ) = có tối đa

nghiệm, nhẩm nghiệm = nên nghiệm

Vậy = − =

Câu 68: Cho hai số thực , thỏa mãn

      

2

3

5

log 16 log log log

3 x x

y  y   x x     y

Gọi tập giá trị nguyên tham số để giá trị lớn biểu thức = + − không vượt q 10 Hỏi có tập khơng phải tập rỗng?

A.2047 B.16383 C.16384 D.32

ĐK: −1 < < 5, ≠ −4 Ta có:

      

2

3

5

log 16 log log log

3 x x

y  y   x x     y

   2    2

3 2

2 log y 8y 16 2log 4x x log y 8y 16 log 4x x

           

       2

3

log log y 8y 16 log log 4x x

       

⇔ + + 16 = + − (vì hàm f t   log log3   2tđồng biến (0; +∞))

⇒( + + 11) = (4 −8 ) ≤80( + )⇒( + ) −58( + ) + 121≤0

⇒29−12√5≤ + ≤ 29 + 12√5⇒ 29−12√5≤ + ≤ 29 + 12√5

Đặt = 29−12√5, = 29 + 12√5, ta có:

[ ; ] = {| − |, | − |} Do đó,

[ ; ] ≤ 10⇔

| − |≤10

| − |≤ 10⇔

−10≤ ≤ + 10

−10≤ ≤ + 10 ⇒ −10≤ ≤ + 10

Vì ∈ ℤnên = {−2;−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11}

Câu 69: Cho số thực , , thỏa mãn điều kiện = ( −2) + ( −2) + ( −2) Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức = bằng?

(34)

A.− B C.− D Lời giải

Chọn B Ta có:

+ +

2 + + + = ( −2) + ( −2) + ( −2)

⇔ ( + + ) + 2( + + ) = (2 + + + 1) + ( + + )

⇔2 ( + + ) + 4( + + ) = (2 + + + 1) + 2( + + )

⇔ ( + + ) + 4( + + ) + = (2 + + + 1) + ( + + ) +

⇔ ( + + ) + 4( + + ) = (2 + + + 1) + (2 + + + 1)

Xét hàm số: ( ) = + ( > 0) Hàm sốluôn đồng biến tập xác định

Suy ra: 4( + + ) = (2 + + + 1)

⇒4( + + ) = + + +

⇔ + + −2 −2 −2 +1

2= 0( )

Ta có mặt cầu: ( ):

(1; 1; 1)

= √

Ta có: = ⇔( −1) + ( −1) + ( + 1) = 0( )

Để mặt phẳng ( ) mặt cầu ( )có điểm chung:

[ ; ( )]≤ ⇔| |

( ) ( )≤

√

⇔3 −2 −13≤0

⇔ √ ≤ ≤ √

Tổng giá trị lớn nhỏ biểu thức =

Câu 70: Cho hai số thực dương , thay đổi thỏa mãn đẳng thức: (2 −1)4 = ( + + 1)2 Tìm giá trị nhỏ

A. B. √3 C. D.

Do , số thực dương đẳng thức (2 −1)4 = ( + + 1)2 Suy −1 > Khi ta có (2 −1) + (2 −1) = ( + + 1) + ( + + 1) (1)

Xét hàm số ( ) = + Hàm sốnày đồng biến (0; +∞)

Nên từ(1) ta (2 −1) = ( + + 1)⇔2 −2 = + ⇔ (2 −1) = +

Do > 0, + > nên −1 > ⇔ > Suy = Xét hàm số ( ) = ; +∞

Bảng biến thiên ( )

(35)

Dựa vào bảng biến thiên suy =

Câu 71: Cho ; số thực dương thỏa mãn = + Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

√

A.3 +√3 B.4 C.3 + 2√3 D.6

Ta có = + ⇔ (2 + + 1)− ( + ) = +

⇔ (2 + + 1) = (3 + ) + + −1

⇔ (2 + + 1) + + + = (3 + ) + + (*)

Xét hàm số ( ) = + với >

Khi ( ) = + > 0,∀ > 0, suy hàm số ( ) liên tục đồng biến (0; +∞) Do (∗)⇔2 + + = + ⇔ + = 1⇔ = 1−2

Vì , > ⇒0 < < Xét = +

√ = +√ = +√ +√

Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có ≥3

( ) = ( ) ≥ 3.√8 =

Dấu " = " xảy ⇔

= 1−2

1−2 =

2 = 1−2

⇔ =

=

Câu 72: Cho hai số thực dương thỏa mãn = ( ) Giá trị lớn biểu thức =

+

A.1 B.3 C √ D

Từ giả thiết suy 1− >

4 = ( )⇔( + ) = ( ) ⇔( + ) = (2−2 ) (1)

Xét hàm số ( ) = với ∈(0; +∞) = Dễ thấy hàm số ( )liên tục

( ) = + > 0,∀ ∈ suy ( )là hàm sốđồng biến

(1)⇔ + = 2−2 ⇒ (1 + ) = 2− (2) Từ (2), suy 2− > ⇒ <

Ta = + = (1 + ) =( ) (2− )

Theo bất đẳng thức Cô – si, ta = (2− )≤ ( ) =

Vậy = 1, đạt =

=

(36)

Câu 73: Cho , số thực dương thỏa mãn + + + = + + ( −2) Tìm giá trị nhỏ biểu thức = +

A. √2 B. √3 C. √5 D. √2

Theo đề ta có

5 +

3 + + =

5

5 + + ( −2)

⇔5 −

3 + + = −

1

3 + −1

Xét ( ) = − + ⇒ ( ) = 5 + 3 + >

⇒ + = −1⇒ = Do > 0, > 0⇒ > 0⇒ >

Ta có: = + = + =

= −4 +

( −2) = ⇔

= +√3∈(2; +∞) = 2− √3∉(2; +∞)

Chỉnh lại bbt cho em,chỉ xét với > 2nhé,kết quảkhông thay đổi

Từ bảng biến thiên ta thấy √3 = +√3

Câu 74: Cho hai số thực , dương thỏa mãn hệ thức log + log + 1− = Khi biểu thức = − − + + 1đạt giá trị nhỏ biểu thức = ( −1) +

A.9 B.1 C.5 D.4

Từ giả thiết: log + log + 1− = 0⇔ log + log + 1− =

⇔2 log + log = 0⇔3 log = log + +

⇔ ( ) = + + Với hàm số: ( ) = log ; ′( ) = log ln3 +

>

Suy ( ) = + + ⇔ = + + Thế vào biểu thức ta được:

= − − + + = − + + − + + = −2 = ( −1) −1≥ −1

Dấu ′′ =′′ xảy = 1⇒ = + + = +√2⇒ = +√2

Suy ra: = ( −1) + =

Câu 75: Xét số thực dương , thoả mãn 2018 =

( ) Giá trị nhỏ biểu

thức = −3

A. B. C. D.

(37)

Ta có:

2018 = +

( + 1)

⇒2( − + 1) = (2 + )− ( + + 1)

⇔ ( + + 1) + 2( + + 1) = (2 + ) + 2(2 + )(∗)

Xét hàm: ( ) = + , > Suy ra: ( ) = + > 0,∀ >

Do hàm ( )đồng biến khoảng (0; +∞)

Mà (∗) ⇔ ( + + 1) = (2 + )⇔ + + = + ⇔ = +

Khi đó: = −3 = −3 + = − + ≥ Kết luận: =

Câu 76: Cho hai số thực dương , thỏa mãn + ( + )≥ (6− ) + Giá trị nhỏ biểu thức = + + +

A B.19 C D.8 + 6√2

Điều kiện: >

0 < <

Từ giả thiết ta có: + ( + )≥ (6− ) + ⇔ + ≥ [ (6− )] + (6− ) (*)

Xét hàm số ( ) = + với > 0, Ta có ′( ) = + > 0,∀ > nên hàm số ( ) = +

đồng biến khoảng (0; +∞)

Do (∗)⇔ ( )≥ [ (6− )]⇔ ≥ (6− )⇔ ≥6− ⇔ + ≥6(∗∗) (do > 0) Áp dụng Bất đẳng thức Cô si cho cặp sốdương bất đẳng thức (∗∗), ta có: = + + + =

( + ) + + + + ≥ + + = 19

Đẳng thức xảy ⎩ ⎨

⎧ + =

= =

⇔ =

= Vậy giá trị nhỏ 19

Câu 77: Xét số thực , y( ≥ 0)thỏa mãn

2018 + 2018 + + = 2018 + − ( + 3)

Gọi giá trị nhỏ biểu thức = + Mệnh đềnào sau ?

A. ∈ (0; 1) B. ∈(1; 2) C. ∈(2; 3) D. ∈(−1; 0)

Ta có 2018 + 2018 + + = 2018 + − ( + 3)

⇔2018 −2018 + + = 2018 −2018 − −1

   1

f x y f xy

     (1)

Xét hàm số ( ) = 2018 −2018 + , với ∈ ℝta có

(38)

( ) = 2018 018 + 2018 018 + > 0, ∀ ∈ ℝ Do ( )đồng biến ℝnên (1)⇔ + = − −1

⇔ ( + 3) =− −1⇒ =− ⇒ = − ( )

Xét hàm số ( ) = − ( ), với ∈0; +∞)có

( ) = 1−

( ) = ( ) > 0, ∀ ∈(0; +∞)

Do ( )đồng biến 0; +∞) ⇒ ( )≥ (0) =− Dấu “=” xảy ⇔ = 0⇒ = −

Câu 78: Cho 0≤ ; ≤ thỏa mãn 2017 = Gọi , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức = (4 + )(4 + ) + 25 Khi + bao nhiêu?

A B C D

Ta có 2017 = ⇔ =

( )

⇔ 2017 [(1− ) + 2018] = 2017 ( + 2018)

Xét hàm số ( ) = 2017 ( + 2018), với 0≤ ≤1

⇒ ( ) = ( + 2018) 2017 017 + 2017 = 2017 [( + 2018) 017 + ] >

⇒Hàm số ( )đồng biến 0≤ ≤

⇒1− = ⇔ = 1− Cách 1:

Theo giả thiết = (4 + )(4 + ) + 25

= [4 + 3(1− )] [4(1− ) + ] + 25 (1− )

= (4 −3 + 3)(4 −5 + 4) + 25 (1− )

= 16 −20 + 16 −12 + 15 −12 + 12 −15 + 12 + 25 −25

= 16 −32 + 18 −2 + 12

Xét hàm số ( ) = 16 −32 + 18 −2 + 12, với 0≤ ≤1

⇒ ( ) = 64 −96 + 36 −2 Cho ( ) = ⇔ =

±√

=

Từ bảng biến thiên, ta có

=

[ ; ] ( ) =

=

[ ; ] ( ) =

191 16

12

+

2-

+

191 16

1

12

2+

y y'

x

1

0

25

(39)

Vậy + = + = Cách 2:

Từ0≤ ; ≤1và + = suy 0≤ ≤ =

Viết lại = 16 + 12( + ) + 34

= 16 + 12[( + ) −3 ( + )] + 34

= 16 −2 + 12

Đặt = , ∈ 0; = ( ) = 16 −2 + 12

Khảo sát hàm ( )ta

∈ ;

( ) = = , max

∈ ;

( ) = =

Vậy + = + =

Câu 79: Cho số thực , thỏa mãn log = ( −2) + ( −2) + ( −2) Giá trị lớn biểu thức =

A √ B √ C √ D √

Điều kiện: > 0⇔ + + > (∗)

Ta biến đổi hệ thức ban đầu ⇔log = ( −2) + ( −2) + ( −2)

⇔1 + log + +

+ + + 1= + + + 1−2 −2 −2

⇔log + +

+ + + 1= + + + 1−(2 + + )

⇔log (2 + + )−log ( + + + 1) = + + + 1−(2 + + )

⇔log (2 + + ) + (2 + + ) = log ( + + + 1) + ( + + + 1) (1)

Xét hàm số ( ) = log + , > ⇒ ′( ) = + > 0,∀ > ⇒ ( )tăng (0 ; +∞)

Từ(1) ⇔ (2 + + ) = ( + + + 1) ⇔2 + + = + + +

Suy ra: ( −1) + ( −1) + ( −1) = (∗∗)

Dễ thấy điều kiện (∗)được thỏa mãn hệ thức: + + = + + + >

Ta có: = ⇔( −1) + ( −2) + ( −1) =−

⇔( −1)( −1) + ( −2)( −1) + ( −1)( −1) = 4−4

⇒(4−4 ) = [( −1)( −1) + ( −2)( −1) + ( −1)( −1)] Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

⇒(4−4 ) ≤[( −1) + ( −2) + ( −1) ][( −1) + ( −1) + ( −1) ]

⇒(4−4 ) ≤ 2[( −1) + ( −2) + ( −1) ]⇔5 −8 + 2≤0 ⇔4− √6

5 ≤ ≤

4 +√6

Suy giá trị lớn = √

Câu 80: Cho hai số thực , thỏa mãn hệ thức log = + −5 + Giá trị nhỏ

biểu thức = −10 + + 2019tương ứng

A.2019 B.2010 C.2011 D.1990

Điều kiện xác định: > 0.(*)

Ta có log = + −5 + 1⇔ log = (5 + + 1)−(5 + )

(40)

⇔1 + log = (5 + + 12)−5( + + 2)

⇔log = (5 + + 12)−(5 + + 10)

⇔log (5 + + 10)−log (5 + + 12) = (5 + + 12)−(5 + + 10)

⇔log (5 + + 10) + (5 + + 12) = log (5 + + 12) + (5 + + 10)

⇔ (5 + + 10) = (5 + + 12)⇔5 + + 10 = + + 12

Suy −2 = + ⇒ = −2(5 −2 ) + 2019 = −2(5 + 2) + 2019 =

( −5) + 1990

Khi = ⇒ = ⇒thỏa mãn điều kiện (*)

Suy giá trị nhỏ là: = 1990 Câu 81: Cho , > thỏa 2019 −

( ) = Tìm giá trị nhỏ Pmin = −4

A.2018 B.2019 C D.2

Ta có: 2019 −

( ) = ⇔2019

( ) =

( )

⇔2019 ( ) ( + 2) = 2019 ( ) (4 + + 2)(∗)

Đặt = ( + 2)

= + + 2( , > 0)

Khi đó: (∗)⇔2019 = 2019 ⇔ ( ) = ( )

với ( ) = 2019 , ( > 0)

⇒ ′( ) = 2019 2 019 + 2019 > 0,∀ >

Do đó: ( ) = ( )⇔ = ⇔( + 2) = + + ⇔ = +

⇒ = −4 = −4 + = 2( −1) + 2≥2

Vậy

Câu 82: Cho , số dương thỏa mãn ≤4 −1 Giá trị nhỏ của: = ( )+

+ Giá trị tích

A. = 18 B = 81 C. = 28 D. = 82

Với > 0, > ta có

≤4 −1⇔ < − + ⇔ < − −2.2 + + 4⇔ < 4− −2 ⇒ ≤

Vậy < ≤4

= ( )+ = 12 + + +

Đặt = ⇒0 < ≤

( ) = 12 + + ( + 2)⇒ ( ) =− + =

( )

( ) = 0⇔ −6 −12 = 0⇔ = 3− √21( )

= +√21( )

Lập bảng biến thiên

(41)

Vậy = 81

Câu 83: Cho hai số thực dương , thỏa mãn log + log + 1− = Giá trị lớn = − −3 tương ứng

A B.3 C D

Ta đổi biến giả thiết sau:

2 log + log + 1− = ⇔2 log

2

= −2 log + 1− + +

+ +

⇔2 log =−2 log

+ + ⇔2 log = log + +

⇔2 log = log + + ⇔ ( ) = + + ⇔ = + +

(Với hàm ( ) = log ⇒ ′( ) = log ln2 + > với ∀ > Suy hàm đặc trưng xét đơn điệu tăng)

Thay = + + vào biểu thức:

= + + − −3 =− + + = − + 1− ≤

Dấu ′′ =′′ xảy + 1− = 0⇔ = ±√ ⇒ =√ ; = √

Suy giá trị lớn biểu thức là: =

Câu 84: Xét số thực , thỏa mãn > + −3 = (1−2 ) Giá trị lớn biểu thức = ln + thuộc tập hợp đây?

A.(1; 2) B.[2; 4) C.[−3; 0) D.[0; 3)

Xét phương trình + −3 = (1−2 )

Đặt = ( > 0) ta có: + −3 = (1−2 )⇔3 + = ( + ) ≥ 4( )

⇔ − ≤ ≤1

Lại , > 0⇒0 < ≤1⇒0 < ≤1⇔ln + ≤0 nên ≤0

Dấu xảy

= = , >

⇔ = = hay =

=

Vậy = 0∈[0; 3)

Câu 85: Cho hai số thực , lớn thỏa mãn ( ) ≥ ( ) Tìm giá trị nhỏ

biểu thức = +

(42)

A √ B.2√2 C √ D √ Lời giải

Chọn C

Với , > 1, ta có

( ) ≥ ( )

⇔ ( ) ≥ ( )

⇔ + ≥ +

⇔ + ≥ + (1)

Xét hàm số ( ) = − + 1− 1; +∞), có ′( ) = − > 0,∀ ≥1

Hàm số ( )đồng biến 1; +∞) nên ( ) > (1) = > 0,∀ >

Xét hàm số ( ) = + (1; +∞), có ′( ) = ( )> 0,∀ > 1, nên ( ) đồng biến (1; +∞)

Với , > (1)⇔ ( ) ≥ ( ) ⇔ ≥

Đặt = Do ≥ > nên ≥1 Ta có =ℎ( ) = + Nhận thấy ℎ′( ) = , nên

ℎ′( ) = =√2, ℎ′( ) < 1≤ <√2, ℎ′( ) > >√2 Dẫn tới = ℎ( )≥ ℎ √2 = √

,∀ ≥1,đẳng thức xảy =√2

Vậy = √ ,đạt = √ > 1.

Câu 86: Cho hai số thực dương , thỏa mãn hệ thức: − ≤ ( + ) Tìm giá trị lớn biểu thức

2

ab b P

a ab b

 

 

A. = B. = C.

2 Max

P  D. =

Ta có: − ≤ ( + )⇔ ≤ ( + ) ⇔ ≤ +

⇔ − −6 ≤0⇔ −3≤ ≤2 Do , dương nên < ≤

Đặt = , < ≤

Khi đó:

2

2 2

1

2 2

ab b t

P

a ab b t t

 

 

   

Xét hàm số ( ) = với < ≤ Ta có: ( ) =

( ) ≥0,∀ ∈0;

Suy ( )≤ (2) = Vậy

; ( ) = =

Do Max

P 

(43)

DẠNG 3: ÁP DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

Câu 87: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời điều kiện + ≤ log (2 + + −4)≥ Gọi tập chứa tất giá trị nguyên tham số để tồn cặp số thực ( ; ) thỏa mãn toán Số phần tử tập là:

A.2 B.1 C.3 D.0

Miền điều kiện + ≤4 miền nằm hình trịn ( ) tâm gốc toạn độ (0; 0) bán kính = kể cảđường trịn ( ) hình vẽ

Từ giả thiết:

log (2 + + −4)≥ 1⇔2 + + −4 ≥ + +

⇔( −1) + ( − ) ≤ + −4

Nằm hình trịn ( ) tâm (1; ) bán kính =√ + −4 ( ≤ −`4 ; ≥1) kể cảđường trịn ( )như hình vẽ

Để tồn cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đềtốn xảy hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đường trịn ( ) có = 0coi điểm điểm nằm ( )

Ta có điều kiện tương ứng:

=

≤ = 2⇔

=√ + −4 =

= √1 + ≤ = 2⇔

= 1; =−4

| |≤ √3 ⇔ = (thỏa mãn) (1)

Trường hợp 2: Đường trịn ( ) tiếp xúc ngồi với đường trịn ( ) Ta có điều kiện tương ứng:

= + ⇔ + = + + −4

⇔ + = + + −4 + + −4

⇔1−3 = + −4

⇔ ≤

1

(1−3 ) = 16 + 48 −64

⇔ <

1

7 + 54 −65 =

⇔ ⎩ ⎪ ⎨ ⎪

⎧ ≤

= √

⇔ = √ , ( ∈ ℤ) (loại)

Câu 88: Cho hai số thực , thỏa mãn √ = ( −3) + ( −3) + Tìm giá trị lớn biểu thức =

A √ B √ C √ D √

• Ta có: √ = ( −3) + ( −3) +

(C2)

(C1)

O I

(C2)

(C1)

O I

(44)

⇔ √ ( + )− √ ( + + + 2) + √ = + + + 2−3( + )

⇔ + + + + √ ( + + + 2) = 3( + ) + √ ( + )

⇔ + + + = 3( + )

⇔ + + + − + −3 + + =

⇔ + −3 + + + √ −√ =

⇔ + − + √ −√ = (*)

Đặt:

= + −

= √ −√ ⇒

= −

√ +

=

√ +

⇒(*) trở thành: 2

a b  ( )là đường trịn tâm (0; 0), bán kính =

• = ⇒ ( + + 6) = + +

⇒ +

√ + = +√3 +

⇒( −1) +

√ + −6 = 0( )

• Điều kiện đểđường trịn ( )và đường thẳng có giao điểm là:

( ; )≤ ⇔ | |

( ) ( )

≤

⇔|8 −6|≤ ( −1) +( )

⇔ −92 + 32≤

⇔ √ ≤ ≤ √

⇒ √

Câu 89: Cho hai số thực , thỏa điều kiện log (2 + + 1)≥ 1, + ≤ Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = + Giá trị biểu thức = +

bằng:

A.7 B.5 C.8 D.11

Đây dạng toán max-min miền điển hình Từ giả thiết suy ra: log (2 + + 1)≥1

+ ≤6 ⇔

2 + + 1≥ −2 +

≤6− ⇔

≥ −4 +

≤6− Chúng ta dể dàng phác họa nhanh miền hình vẽ

(45)

Ta xác định rõ hai giao điểm hai đường cong tạo nên miền là:

= −4 +

= 6− ⇔

=−1; = 7⇒ (−1; 7)

= 4; = ⇒ (4; 2)

Tiếp ta xử lý tới biểu thức max-min: = + ⇔ =−2 + ; họđường thẳng song song với ta gọi họđường thẳng Δ

Trong cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện tọa cho sẽứng với điểm ( ; )∈ Điều kiện đường thẳng Δ phải cắt miền (có điểm chung với miền )

Bằng trực quan đồ thị, ta có thểxác định trường hợp đường thẳng Δ qua điểm ứng với giá trị Thõa mản: =−2 + ⇔2 =−2.4 + ⇒ = 10

Đường thẳng Δ tiếp xúc với đường parabol ( ) hoành độ < 2ứng với giá trị Thỏa mãn phương trình có nghiệm kép: =−2 + = −4 + 2⇔ −2 + 2− = 0⇔ =

Các giá trị phải nằm đoạn: = ≤ ≤ = 10

Suy ra: = 10 =

= = ⇒ = + = 11

Câu 90: Cho số thực , , , cho + < thỏa mãn điều kiện

( + + 9) = + (3 + )

9 + [(2 + + 2) + 1] = 81

Tìm giá trị nhỏ biểu thức = ( − ) + ( − )

A.2√5−2 B.2 C.√5−2 D.2√5

Ta có: ( + + 9) = + (3 + )⇔ ( + + 9) = [2(3 + )]

⇔ + + = + ⇔( −3) + ( −2) =

Gọi ( ; ), suy thuộc đường trịn ( ) có tâm (3; 2), bán kính = Lại có + [(2 + + 2) + 1] = 81

⇔3 ( ) + [(2 + + 2) + 1] = 81, (1)

Với ∀ , thỏa mãn + < 0, ta có:

+) −(2 + ) + ≥2 [−(2 + )] = 4⇒3 ( ) ≥81

+) [(2 + + 2) + 1]≥ =

Suy ( ) + [(2 + + 2) + 1]≥ 81

(46)

Do (1)⇔ −(2 + ) =

2 + + = ⇔2 + + =

Gọi ( ; ), suy thuộc đường thẳng có phương trình + + = Ta có: = ( − ) + ( − ) =

( , ) =| √ |= 2√5 > ⇒ đường thẳng không cắt đường trịn ( )

Do ngắn hình chiếu điểm đường thẳng điểm giao điểm đoạn thẳng với đường tròn ( )

Lúc = − = 2√5−2 Vậy giá trị nhỏ 2√5−2

Câu 91: Cho số thực dương , thỏa mãn ( )( + ) ≤1 Giá trị lớn biểu thức

= 48( + ) −156( + ) + 133( + ) +

A.29 B C 30 D

TH1: ( )( + ) ≤1 ⇔ + >

+ ≤ + ⇔

+ >

− + − ≤ (∗)(1)

Tập nghiệm BPT (*) tọa độ tất cảcác điểm thuộc hình trịn tâm ; bán kính = √

Miền nghiệm hệ (1) phần tơ màu hình vẽ

Đặt = + ⇒1 < ≤2

Khi ( ) = 48 −156 + 133 +

( ) = 144 −312 + 133; ( ) = 0⇔ =

=

(47)

Do đó, ( ) = 30⇒ = 2⇒ + = TH2: ( )( + ) ≤1 ⇔ < + <

+ ≥ + ⇔

0 < + <

− + − ≥ (2)

(2)không thỏa điều kiện > 0, >

Câu 92: Cho hai số thực , thỏa mãn điều kiện log ( + −1)≤ 1, ≥ 0, ≥0 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = + −6 −4 + Giá trị biểu thức = + bằng:

A.12 B.104 C.20 D.48

Đây tốn max-min miền điển hình

Từ giả thiết ta suy ra: log ( + −1)≤1⇔ + −1 >

+ = 1≤ 2⇔

> 1− ≤3− Chúng ta có miền sau: = { ≥ 0; ≥ 0; > 1− ; ≤3− } Chúng ta dễ dàng phác họa nhanh miền hình vẽ

Mô tả qua miền sau: phần gạch chéo bao gồm tất cảcác đường biên bỏđi phần đường biên màu đỏứng với đường thẳng = 1−

Tiêp ta xử lý tới biểu thức max-min: = + −6 −4 + = ( −3) + ( −2) −12

Trong cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện toán cho sẽứng với điểm ( ; )∈ Nếu ta gọi điểm (3; 2)⇒ = −12

Đến ta việc tìm giá trị nhỏ lớn khoảng cách

Dễ thấy trực quan hình vẽ: = =√10

= = ( ; ( + −3 = 0)) =| |

√ = √2

Suy ra: = −12 =−2 =

= −12 = −10 = ⇒ = + = 104

(48)

Câu 93: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời điều kiện + = log (2 −2 +

−1)≥ Gọi tập chứa tất giá trị thực tham số để tồn cặp số thực ( ; ) thỏa mãn toán Tổng giá trị tất phần tử tập nằm khoản cho đây?

A.(4; 5) B.(1; 2) C.(2; 3) D.(3; 4)

Miền điều kiện + =

log (2 −2 + −1)≥ 1⇔

+ =

2 −2 + −1≥ + +

⇔ + = ( )

( −1) + ( + 1) ≤ −1 ( ) có nghiệm

( )là đường trịn có tâm gốc toạn độ (0; 0) bán kính =

( ) miền đường tròn đường tròn tâm (1 ; −1), = √ −1 ( > 1) Để tồn cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đề tốn xảy hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Đường trịn ( ) có = 0coi điểm (1 ; −1)và điểm (1 ; −1) nằm ( )

Ta có điều kiện tương ứng:

=

≤ = ⇔

= −1 =

= + (−1) ≤ = ⇔

=

√2≤ √3⇔ =

Trường hợp 2: Đường tròn ( ) tiếp xúc ngồi vớiđường trịn ( ) Ta có điều kiện tương ứng:

= + ⇔ + (−1) = +√ −1

⇔ √ −1 = 3− √2

⇔ −1 = 11−6√2⇔ = 12−6√2 (thỏa mãn > 1)

Vậy tìm được: = 12−6√2, = Suy + = 13−6√2≈4,5

Câu 94: Cho hai số thực thõa mãn điều kiện + ≥9 log ( (8 + −7 )−

7 ) ≥2 Gọi giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức = + Khi giá trị biểu thức + √2 bằng:

A.12 + 18√2 B.24 C.6√10 D.10−2√3

Từ

log ( (8 + −7 )−7 )≥ 2⇔( + )(8 −7)≥( + ) ⇔( −4) + ≤

Như thỏa mãn: + ≥9

( −4) + ≤ Đây miền giới hạn bên đường tròn

( ): ( −4) + = bên ngồi đường trịn ( ): + ≥9

Hai đường trịn bán kính = = tâm (0; 0) tâm (4; 0)như hình vẽ

(C2)

(C1)

O I

(C2)

(C1)

O I

(49)

Giao điểm hai đường tròn 2; ±√5 Cụ thểđiểm hình vẽ, có 2;−√5

Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: + − =

Để thỏa mãn tốn họđường thẳng phải cắt miền

Ứng với vịtrí đường thẳng Δ qua điểm , ta có: 3.2− √5− = 0→ = 6− √5

Ứng với vịtrí đường thẳng Δ tiếp xúc với ( ) ta có: ( ;Δ ) =

⇔|3.4 + 0− |

√9 + = 3↔

= 12−3√10

= 12 + 3√10⇒ = 12 + 3√10

Suy ra: giá trị lớn giá trị nhỏ tương ứng là: = = = 12 + 3√10

= = = 6− √5

Suy ra: + √2 = 12 + 18√2

Câu 95: Cho hai số thực thõa mãn đồng thời điều kiện: + + 2≥0 log (2 −

2 + 3)≥ Giá trị nhỏ lớn biểu thức = + Giá trị biểu thức = + bằng:

A.−2 + 2√5 B.2 C.4−2√3 D.4

Từ giả thiết log (2 −2 + 3)≥ 1⇔2 −2 + 3≥ + + 1⇔( −1) + ( + 1) ≤

Như vậy, điểm ( ; ) nằm miền giới hạn bởi: = {( −1) + ( + 1) ≤4; + + 2≥ 0}

Miền xác định hình vẽ:

Biểu thức biến đổi dạng họđường thẳng: : + − =

Khi = đường thẳng qua gốc tọa độ tương ứng là: Δ : + = 0, hình vẽ

(50)

Ứng với vị trí: Δ : + − = 0; qua điểm (−1;−1); suy ra: 2(−1) + (−1)− = 0⇔ =

−3

Suy ra: vị trí Δ : + − = (thì > 0) Ở vịtrí đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn

( ), nên ta có: ( ;Δ ) =

> ⇔

| |

√ =

> ⇔

= ± 2√5

> ⇔ = + 2√5

Từđó suy giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức là: = + 2√5 = ; =−3 = Suy ra: + =−2 + 2√5

Câu 96: Cho hai số thực , thỏa mãn:

√ ( + + 16) + (5− ) (1 + ) = + (2 + 8)

Gọi tập giá trị nguyên tham số để giá trị lớn biểu thức = + − không vượt q 10 Hỏi có tập khơng phải tập rỗng?

A.2047 B.16383 C.16384 D.32

Điều kiện: ≠ −4;−1 < <

Ta có: √ ( + + 16) + (5− ) (1 + ) = + (2 + 8) (1)

⇔2 ( + 4) + (− + + 5) = 2[ (− + + 5)−1] + [4( + 4) ]

⇔2 ( + 4) − ( + 4) = (− + + 5)− (− + + 5) (2)

Xét hàm số ( ) = − , > 0, ta có: ′( ) = − =

> 0,∀ >

⇒ Hàm số ( ) đồng biến với > 0, suy ra: (2)⇔( + 4) =− + + 5⇔( −2) + ( + 4) =

⇒Tập hợp cặp số( ; ) thỏa mãn (1) đường tròn ( )tâm (2;−4) bán kính = bỏ bớt điểm (−1;−4), (5;−4)

Gọi ( ; )là điểm thuộc đường tròn ( )⇒ = + khoảng cách từ đến gốc

Vì = 2√5 > nên nằm ngồi ( ) ta có: 2√5−3 ≤ ≤2√5 + ⇔2√5−3− ≤ − ≤

2√5 + 3−

⇒Với = | − |, = 2√5−3− , 2√5 + 3−

⇒Để thỏa mãn toán ta phải có: 2√5−3− ≤10

2√5 + 3− ≤10⇔

−10≤2√5−3− ≤10

−10≤2√5 + 3− ≤10

(51)

⇔ 2√5−13≤ ≤ 2√5 +

2√5−7≤ ≤ 13 + 2√5⇔2√5−7≤ ≤2√5 +

Ta có: 2√5−7≈ −2,5; 2√5 + ≈11,5⇒ ∈{−2;−1; 0; ; 11} ⇒ Tập có 14 phần tử ⇒ Số tập khác rỗng tập là: −1 = 16383