Câu 87: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện + ≤ 4 và log (2 + 2 + 3 −4)≥ 1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn bài toán. Số phần tử của tập là:
A.2. B.1. C.3. D.0.
Lời giải Chọn B
Miền điều kiện + ≤4 là miền nằm trong hình tròn ( ) tâm là gốc toạn độ (0; 0) bán kính = 2 kể cả đường tròn ( ) như hình vẽ.
Từ giả thiết:
log (2 + 2 + 3 −4)≥ 1⇔2 + 2 + 3 −4 ≥ + + 1
⇔( −1) + ( − ) ≤ + 3 −4
Nằm trong hình tròn ( ) tâm (1; ) bán kính =√ + 3 −4 ( ≤ −`4 ; ≥1) kể cả đường tròn ( ) như hình vẽ.
Để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đềtoán thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường tròn ( ) có = 0 coi như chỉ là một điểm và điểm này sẽ nằm trong hoặc trên ( )
Ta có điều kiện tương ứng:
= 0
≤ = 2⇔ =√ + 3 −4 = 0
= √1 + ≤ = 2⇔ = 1; =−4
| |≤ √3 ⇔ = 1 (thỏa mãn) (1) Trường hợp 2: Đường tròn ( ) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ).
Ta có điều kiện tương ứng:
= + ⇔ 1 + = 2 + + 3 −4
⇔ + 1 = 4 + + 3 −4 + 4 + 3 −4
⇔1−3 = 4 + 3 −4
⇔ ≤ 1 3
(1−3 ) = 16 + 48 −64
⇔ <1 3
7 + 54 −65 = 0
⇔
⎩⎪
⎨
⎪⎧ ≤
= √
= √
⇔ = √ , ( ∈ ℤ) (loại)
Câu 88: Cho hai số thực , thỏa mãn √ = ( −3) + ( −3) + . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = .
A. √ . B. √ . C. √ . D. √ .
Lời giải Chọn D
• Ta có: √ = ( −3) + ( −3) +
(C2)
(C1)
O I
(C2) (C1)
O I
Trang 43
⇔ √ ( + )− √ ( + + + 2) + √ 3 = + + + 2−3( + )
⇔ + + + 2 + √ ( + + + 2) = 3( + ) + √ 3 ( + ).
⇔ + + + 2 = 3( + ).
⇔ + + + − + −3 + + = 1.
⇔ + −3 + + + √ −√ = 1.
⇔ + − + √ −√ = 1 (*) Đặt:
= + −
= √ −√ ⇒ = −
√ + 1
= √ + 1
⇒(*) trở thành: a2b2 1( ) là đường tròn tâm (0; 0), bán kính = 1.
• = ⇒ ( + + 6) = + 2 + 3.
⇒ +
√ + 8 = +√3 + 6.
⇒( −1) +
√ + 8 −6 = 0 ( ).
• Điều kiện để đường tròn ( ) và đường thẳng có giao điểm là:
( ; )≤ 1 ⇔ | |
( ) ( )
≤ 1.
⇔|8 −6|≤ ( −1) +( ) .
⇔ −92 + 32≤ 0.
⇔ √ ≤ ≤ √ .
⇒ √ .
Câu 89: Cho hai số thực , thỏa điều kiện log (2 + + 1)≥ 1, + ≤ 6. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 2 + lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = +
bằng:
A.7. B.5. C.8. D.11.
Lời giải Chọn D
Đây là dạng toán max-min trên miền điển hình.
Từ giả thiết suy ra: log (2 + + 1)≥1
+ ≤6 ⇔ 2 + + 1≥ −2 + 3
≤6− ⇔ ≥ −4 + 2
≤6− Chúng ta dể dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
Trang 44
Ta xác định rõ được hai giao điểm của hai đường cong tạo nên miền là:
= −4 + 2
= 6− ⇔ =−1; = 7⇒ (−1; 7)
= 4; = 2 ⇒ (4; 2)
Tiếp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: = 2 + ⇔ =−2 + ; đây là một họ đường thẳng song song với nhau ta gọi họ đường thẳng Δ .
Trong đó mỗi cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện bài tọa đã cho sẽ ứng với một điểm ( ; )∈ Điều kiện là đường thẳng Δ phải cắt miền (có ít nhất một điểm chung với miền ).
Bằng trực quan trên đồ thị, ta có thể xác định được trường hợp đường thẳng Δ đi qua điểm ứng với giá trị . Thõa mản: =−2 + ⇔2 =−2.4 + ⇒ = 10.
Đường thẳng Δ tiếp xúc với đường parabol ( ) tại hoành độ < 2 ứng với giá trị . Thỏa mãn phương trình có nghiệm kép: =−2 + = −4 + 2⇔ −2 + 2− = 0⇔ = 1 Các giá trị phải nằm trong đoạn: 1 = ≤ ≤ = 10
Suy ra: = 10 =
= 1 = ⇒ = + = 11.
Câu 90: Cho các số thực , , , sao cho 2 + < 0 và thỏa mãn điều kiện ( + + 9) = 1 + (3 + 2 )
9 . 3 . 3 + [(2 + + 2) + 1] = 81 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức = ( − ) + ( − ) .
A.2√5−2. B.2. C.√5−2. D.2√5.
Lời giải Chọn A
Ta có: ( + + 9) = 1 + (3 + 2 )⇔ ( + + 9) = [2(3 + 2 )]
⇔ + + 9 = 6 + 4 ⇔( −3) + ( −2) = 4.
Gọi ( ; ), suy ra thuộc đường tròn ( ) có tâm (3; 2), bán kính = 2.
Lại có 9 . 3 . 3 + [(2 + + 2) + 1] = 81
⇔3 ( ) + [(2 + + 2) + 1] = 81, (1) Với ∀ , thỏa mãn 2 + < 0, ta có:
+) −(2 + ) + ≥2 [−(2 + )]. = 4⇒3 ( ) ≥81
+) [(2 + + 2) + 1]≥ 1 = 0.
Suy ra 3 ( ) + [(2 + + 2) + 1]≥ 81
Trang 45
Do đó (1)⇔ −(2 + ) =
2 + + 2 = 0 ⇔2 + + 2 = 0.
Gọi ( ; ), suy ra thuộc đường thẳng có phương trình 2 + + 2 = 0.
Ta có: = ( − ) + ( − ) = .
( , ) =| .√ |= 2√5 > 2 ⇒ đường thẳng không cắt đường tròn ( ).
Do đó ngắn nhất khi là hình chiếu của điểm trên đường thẳng và điểm là giao điểm của đoạn thẳng với đường tròn ( ).
Lúc đó = − = 2√5−2.
Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng 2√5−2.
Câu 91: Cho các số thực dương , thỏa mãn ( )( + ) ≤1. Giá trị lớn nhất của biểu thức
= 48( + ) −156( + ) + 133( + ) + 4 là
A.29. B. . C. 30. D. .
Lời giải Chọn C
TH1: ( )( + ) ≤1 ⇔ + > 1
+ ≤ + ⇔
+ > 1
− + − ≤ (∗)(1).
Tập nghiệm của BPT (*) là tọa độ tất cả các điểm thuộc hình tròn tâm ; bán kính =
√ . Miền nghiệm của hệ (1) là phần tô màu như hình vẽ.
Đặt = + ⇒1 < ≤2
Khi đó ( ) = 48 −156 + 133 + 4
( ) = 144 −312 + 133; ( ) = 0⇔ =
= Bảng biến thiên
Trang 46
Do đó, ( ) = 30⇒ = 2⇒ + = 2.
TH2: ( )( + ) ≤1 ⇔ 0 < + < 1
+ ≥ + ⇔
0 < + < 1
− + − ≥ (2).
(2)không thỏa điều kiện > 0, > 0.
Câu 92: Cho hai số thực , thỏa mãn điều kiện log ( + −1)≤ 1, ≥ 0, ≥0. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = + −6 −4 + 1 lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = + bằng:
A.12. B.104. C.20. D.48.
Lời giải Chọn B
Đây là bài toán max-min trên miền điển hình.
Từ giả thiết ta suy ra: log ( + −1)≤1⇔ + −1 > 0
+ = 1≤ 2⇔ > 1−
≤3− Chúng ta có miền như sau: = { ≥ 0; ≥ 0; > 1− ; ≤3− }.
Chúng ta dễ dàng phác họa nhanh được miền như trên hình vẽ.
Mô tả qua về miền như sau: là phần gạch chéo bao gồm tất cả các đường biên chỉ bỏ đi phần đường biên màu đỏ ứng với đường thẳng = 1−
Tiêp đó ta xử lý tới biểu thức max-min: = + −6 −4 + 1 = ( −3) + ( −2) −12 Trong đó mỗi cặp ( ; ) thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho sẽ ứng với một điểm ( ; )∈
Nếu ta gọi điểm (3; 2)⇒ = −12.
Đến đây ta chỉ việc đi tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của khoảng cách . Dễ thấy trực quan hình vẽ: = =√10
= = ( ; ( + −3 = 0)) =| |
√ = √2
Suy ra: = −12 =−2 =
= −12 = −10 = ⇒ = + = 104.
Trang 47
Câu 93: Cho hai số thực , thỏa mãn đồng thời các điều kiện + = 9 và log (2 −2 +
−1)≥ 1. Gọi là tập chứa tất cả các giá trị thực của tham số để tồn tại duy nhất một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn bài toán. Tổng giá trị tất cả các phần tử của tập nằm trong khoản nào cho ở dưới đây?
A.(4; 5). B.(1; 2). C.(2; 3). D.(3; 4).
Lời giải Chọn D
Miền điều kiện + = 9
log (2 −2 + −1)≥ 1⇔ + = 9
2 −2 + −1≥ + + 2
⇔ + = 9 ( )
( −1) + ( + 1) ≤ −1 ( ) có duy nhất 1 nghiệm.
( ) là đường tròn có tâm là gốc toạn độ (0; 0) bán kính = 3.
( ) là miền trong đường tròn và đường tròn tâm (1 ; −1), = √ −1 ( > 1).
Để tồn tại một cặp số thực ( ; ) thỏa mãn đề toán thì xảy ra hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: Đường tròn ( ) có = 0 coi như chỉ là một điểm (1 ; −1) và điểm (1 ; −1) này sẽ nằm trong hoặc trên ( )
Ta có điều kiện tương ứng:
= 0
≤ = 3 ⇔ = −1 = 0
= 1 + (−1) ≤ = 3 ⇔ = 1
√2≤ √3⇔ = 1.
Trường hợp 2: Đường tròn ( ) tiếp xúc ngoài với đường tròn ( ).
Ta có điều kiện tương ứng:
= + ⇔ 1 + (−1) = 3 +√ −1
⇔ √ −1 = 3− √2
⇔ −1 = 11−6√2⇔ = 12−6√2 (thỏa mãn > 1)
Vậy tìm được: = 12−6√2, = 1. Suy ra + = 13−6√2≈4,5.
Câu 94: Cho hai số thực và thõa mãn các điều kiện + ≥9 và log ( (8 + 8 −7 )− 7 ) ≥2. Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức = 3 + lần lượt là và . Khi đó giá trị của biểu thức + 3 √2 bằng:
A.12 + 18√2. B.24. C.6√10. D.10−2√3
Lời giải Chọn A
Từ
log ( (8 + 8 −7 )−7 )≥ 2⇔( + )(8 −7)≥( + ) ⇔( −4) + ≤ 9 Như vậy và thỏa mãn: + ≥9
( −4) + ≤ 9. Đây là miền giới hạn bởi bên trong đường tròn ( ): ( −4) + = 9 và bên ngoài đường tròn ( ): + ≥9
Hai đường tròn cùng bán kính = = 3 và tâm (0; 0) và tâm (4; 0) như hình vẽ.
(C2)
(C1)
O I
(C2) (C1)
O I
Trang 48
Giao điểm của hai đường tròn là 2; ±√5 . Cụ thể điểm như hình vẽ, có 2;−√5 Xét họ đường thẳng Δ song song với nhau: 3 + − = 0
Để thỏa mãn bài toán thì họ đường thẳng này phải cắt miền .
Ứng với vị trí đường thẳng Δ đi qua điểm , ta có: 3.2− √5− = 0→ = 6− √5 Ứng với vị trí đường thẳng Δ tiếp xúc với ( ) ta có: ( ;Δ ) =
⇔|3.4 + 0− |
√9 + 1 = 3↔ = 12−3√10
= 12 + 3√10⇒ = 12 + 3√10
Suy ra: giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tương ứng là: = = = 12 + 3√10
= = = 6− √5
Suy ra: + 3 √2 = 12 + 18√2.
Câu 95: Cho hai số thực và thõa mãn đồng thời các điều kiện: + + 2≥0 và log (2 − 2 + 3)≥ 1. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức = 2 + lần lượt là và . Giá trị của biểu thức = + bằng:
A.−2 + 2√5. B.2. C.4−2√3. D.4 Lời giải
Chọn A
Từ giả thiết log (2 −2 + 3)≥ 1⇔2 −2 + 3≥ + + 1⇔( −1) + ( + 1) ≤ 4 Như vậy, điểm ( ; ) nằm trong miền giới hạn bởi: = {( −1) + ( + 1) ≤4; + + 2≥ 0}
Miền được xác định như hình vẽ:
Biểu thức được biến đổi về dạng họ đường thẳng: : 2 + − = 0
Khi = 0 thì đường thẳng đi qua gốc tọa độ và tương ứng là: Δ : 2 + = 0, như hình vẽ.
Trang 49
Ứng với vị trí: Δ : 2 + − = 0; đi qua điểm (−1;−1); suy ra: 2(−1) + (−1)− = 0⇔ =
−3
Suy ra: ở vị trí Δ : 2 + − = 0 (thì > 0). Ở vị trí này đường thẳng Δ tiếp xúc với đường tròn ( ), nên ta có: ( ;Δ ) =
> 0 ⇔
| . |
√ = 2
> 0 ⇔ = 1 ± 2√5
> 0 ⇔ = 1 + 2√5
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là: = 1 + 2√5 = ; =−3 = . Suy ra: + =−2 + 2√5.
Câu 96: Cho hai số thực , thỏa mãn:
√ ( + 8 + 16) + (5− ) (1 + ) = 2 + (2 + 8) .
Gọi là tập các giá trị nguyên của tham số để giá trị lớn nhất của biểu thức = + − không vượt quá 10. Hỏi có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
A.2047. B.16383. C.16384. D.32.
Lời giải Chọn B
Điều kiện: ≠ −4;−1 < < 5.
Ta có: √ ( + 8 + 16) + (5− ) (1 + ) = 2 + (2 + 8) (1)
⇔2 ( + 4) + (− + 4 + 5) = 2[ (− + 4 + 5)−1] + [4( + 4) ]
⇔2 ( + 4) − ( + 4) = 2 (− + 4 + 5)− (− + 4 + 5) (2).
Xét hàm số ( ) = 2 − , > 0, ta có: ′( ) = − = .
. > 0,∀ > 0
⇒ Hàm số ( ) đồng biến với > 0, suy ra: (2)⇔( + 4) =− + 4 + 5⇔( −2) + ( + 4) = 9
⇒Tập hợp các cặp số ( ; ) thỏa mãn (1) là đường tròn ( )tâm là (2;−4) và bán kính = 3 bỏ bớt 2 điểm (−1;−4), (5;−4).
Gọi ( ; ) là điểm thuộc đường tròn ( )⇒ = + là khoảng cách từ đến gốc .
Vì = 2√5 > 3 nên nằm ngoài ( ) và ta có: 2√5−3 ≤ ≤2√5 + 3 ⇔2√5−3− ≤ − ≤ 2√5 + 3−
⇒Với = | − |, = 2√5−3− , 2√5 + 3−
⇒Để thỏa mãn bài toán ta phải có: 2√5−3− ≤10
2√5 + 3− ≤10⇔ −10≤2√5−3− ≤10
−10≤2√5 + 3− ≤10
Trang 50