Vận dụng tính chất hình phẳng để giải bài toán Oxy liên quan đến đường tròn - Trần Duy Thúc

Điểm M thuộc BC(M khác trung điểm của BC). Phân tích: Chắc chắn là ta phải nghĩ đến tìm điểm E,F,M hoặc điểm nào đó thuộc cạnh BC. Vì các điểm này đã thuộc một đường thẳng có phương t[r]

(1)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89

Lời nói đầu

Chào Em học sinh thân mến!

Câu hình học phẳng Oxy chắn xuất đề thi THPT Quốc Gia hàng năm Nhằm đáp ứng xu hướng đề Bộ Giáo Dục Đào Tạo nội dung câu này.Thầy biên soạn tài liệu với mục đích giúp Em chinh phục câu hình học phẳng Từ xây dựng lịng tin để đạt kết tốt kì thi Tài liệu đựơc chia thành chương:

Chương Các tốn liên quan đến đường trịn Chương Các tốn hình vng – hình chữ nhật

Chương Các tốn hình thang- hình bình hành-hình thoi Chương Các tốn tam giác

(2)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89

CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG TRÒN

Phần Một số kiến thức cần nhớ

1 Đường kính dây cung

Cho đường trịn tâm I có dây cung AB khác đường kính H trung điểm AB Khi đó, IH đường trung trực AB

Thật ra, IAB cân I (IA=IB=R) nên IH vừa đường cao, đường trung tuyến, đường trung trực, đường phân giác

2 Tiếp tuyến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

a.Cho d tiếp tuyến đường tròn tâm (I;R) H tiếp điểm Khi đó: i) d I d

 

R

b.Giả sử AB, AC tiếp tuyến đường tròn (I;R) với B,C tiếp điểm đó:

i) AI đường trung trực BC ii) Tứ giác ABIC nội tiếp

3 Góc tâm

a Định nghĩa:Góc tâm góc có đỉnh tâm hai cạnh hai bán kính. b.Tính chất:Hai góc tâm chắn hai cung nhau. 4 Góc nội tiếp

a Định nghĩa:Góc nội tiếp góc có đỉnh nằm đường trịn hai cạnh hai dây cung. b Tính chất:

i) Các góc nội tiếp chắn hai dây cung nhau.Đặt biệt, góc nội tiếp chắn dây cung

ii) Các góc nội tiếp chắn dây cung

iii) Góc nội tiếp (90 ) góc tâm chắn dây cung iv) Góc nội tiếp chắn đường kính góc vng

5 Góc tạo tiếp tuyến dây cung

a Định nghĩa:Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc có đỉnh tiếp điểm, có cạnh tia tiếp tuyến cạnh lại dây cung

H

I

A

B

H

A

I B

C

x

A

C

(3)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 xAC góc tạo tiếp tuyến dây cung

b Tính chất:

i) Góc tạo tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn ii) Góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn dây cung 6 Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp tứ giác có bốn đỉnh nằm đường trịn Ta có phát biểu tương đương sau: a.Tứ giác nội tiếp tổng hai góc đối tứ giác 180

b Tứ giác nội tiếp  hai góc kề chắn cạnh

c Tứ giác nội tiếp  góc ngồi đỉnh góc đối đỉnh

Phần Rèn luyện kỉ chứng minh vận dụng tính chất biết trước để giải

toán

1.Bài toán 1(BT1)

Cho ABCnội tiếp đường tròn (I;R).H trực tâm,M trung điểm BC G trọng tâm ABC AKlà đường kính Chứng minh:

a) BKCH hình bình hành

b) AH2IM;BH 2INvà CH2IP.N,P trung điểm AC AB c) H,G,I thẳng hang HI 3GI

d) Trong trường hợp A60 Chứng minh: AH AI Chứng minh

a)      

 

 ;

CH AB CH KB BH AC BH KC

KB AB KC AC Do đó,

ABKC hình bình hành

b) ABKC hình bình hành M trung điểm BC, suy M trung điểm HK Do IM đường trung bình

AHK.   

 2

AH IM AH IM

AH IM

Các ý lại tương tự Bạn đọc thử chứng minh để nhớ c) G trọng tâm ABC nên 3

2

AM AG.Mà AM đường trung tuyến AHK nên G trọng tâm AHK HI đường trung tuyến AHKnên H,G,I thẳng hàng

3 HI GI

d) A60 BIC120 MIC60 (góc nội tiếp 1/2 góc tâm chắn dây cung) IMC vng M Ta có:

 cos60  2   2

IM IC IC IM IA IC IM Mà AH 2IM (câu b) Suy AH AI

G

M H

K F

E

I A

(4)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có đỉnh A





H

 

ngoại tiếp I

 

Phân tích: BC có vtpt AH





AH

IM

Giải

BC có vtpt AH





Gọi M trung điểm BC Khi đó:









    



     

    



2 2

2 3;

1 MM

x

AH IM M

y

BC qua M có vtptAH nên : 2





 

2

BC x y BC x y

Chú ý: Trong làm em phải chứng minh AH2IM(xem BT1 câu b) Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H

 

3

G tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC có phương trình x3y 5 Tìm tọa độ đỉnh ABC

Giải

Đặt d x: 3y 5 tiếp tuyến A đường tròn ngoại tiếp ABC Gọi M,I trung điểm BC tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Khi đó: HI 3GI(xem

BT1 câu c) AM3GM(tính chất trọng tâm)

Từ:

   

  

      

  

     

   

       



  



4 3

1

3

3 2

3 1 ;

4 2

3

2

I I I

I

I I

x x x

HI GI I

y

y y

Ta có: IA d IA x y m:3   0  3.3 1     0

2

I IA m m

Vậy IA x y:3   5 A d IA  nên tọa độ A nghiệm hệ:

 

   

  

 

   

 

3 1;2

3

x y x A

x y y

.Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính IA

 

 1 ;3    5

2 2

IA IA IA .

 

   

2

3

:

2 2

C x y

G

M H

K F

E

I A

(5)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Ta có                                  3 3 ;1 3 M M M M x x

AM GM M

y y

BC qua M có vtpt AH

 





: 1 :

2

BC x y BC y

 

, ( )

B C BC C nên tọa độ B,C nghiệm hệ phương trình:

   

3

2 2

y x y            

(0;1), (3;1) B(3;1), (0;1)

1

x x

B C C

y y

Vây: A(1;2), (0;1), (3;1)B C A(1;2),B(3;1), (0;1)C

Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H









I đỉnh B

 

xA

xC

Giải

Ta có: IB ( 2;4)IB 20 Đường trịn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IB có phương trình:



x

 

y



Gọi M trung điểm AC, ta cóBH 2IM(xem BT1 câu b)





 





3 1 2

2

2 1 2 2;

3

2

M M

x x

BH IM y M

y

Đường thẳng AC vng góc IM qua M có phương trình:   

:

AC x y

 

A,C BC ( )C nên tọa độ A,C nghiệm hệ phương trình:



 



  







 2

4 1, 5

5;1 ,C 1;5 5,

3 20 A c

x y x y

A x x

x y

Vậy tọa độ điểm cần tìm A

  



 





I , A60 Tìm tọa độ đỉnh ABC, đỉnh A thuộc đường thẳng d :x y  5 G M H K F E I B

(6)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 xB xC

Giải

Với A60 ta chứng minh AH AI Suy A thuộc đường trung trực IH

Đường trung trực IH qua trung điểm N(2;0) IH có vtpt HI 





:x2y 2 ĐiểmA d  nên tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:

 

      

     

 

2 4;1

5

x y x A

x y y

Đường trịn ngoại tiếp ABCcó tâm I bán IA nên có phương trình:



x

 

y











 

     



      

   

 

  



3

3 2 3

2 ;

3

1 2 2

2

x x

AH IM M

y y

BC qua M có vtpt AH 

 

BC

x y

 

, ( )



 



     

   

 

            



         

   

   



2

3 3, 3

3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3

; ;C ;

2 2

3 10 3, 3

2

x y

x y

B

x y x y Vì

 B C

x x Vậy điểm cần tìm A

 

   

3 3; ;C 3; 3

2 2

B

Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trọng tâm G

 





18 18

I cạnh AC có phương trình 2x y  4 Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết xA 2

Giải

Gọi M trung điểm AC, ta có IM AC IM x: 2y m 0 I thuộc IM nên suy

  9

:

2

(7)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89                         

2

5;1

9 2

2 1

2

x y x

M

x y y Do G trọng tâm ABC,ta có

                   

5 3(1 5) 2

2

3 ( 2;1)

1 3(1 1)

B B

x x

MB MG B

y

y Đường trịn ngoại tiếp ABC có tâm I bán

kính IB có phương trình:       

   

2

7 37 1105

( ) :

18 18 162

C x y Các điểm A,C AC ( )C nên tọa độ A,C nghiệm hệ phương trình:

   





2 3, 2

3;2 ,C 2;0

7 37 1105 2, 0

18 18 162

A

x y x y

A x

x y

 









I đỉnh C





ABC

Giải

Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IC có phương trình:



x



y

Gọi M trung điểm AB, ta cóCH2IM(xem BT1 câu b)













3 3 3

2

2 1 3 3;3

1 M M M M x x

IM CH y M

y

Đường thẳng AB vng góc IM qua M có phương trình:  

:

AB y

 

A,B AB ( )C nên tọa độ A,B nghiệm hệ phương trình:





 2 

3 3 19, 3

3 85 3 19, 3

y x y

x y x y



 



A  3 19;3 ,B 19;3 A 19;3 ,B 19;3      

Vậy tọa độ điểm cần tìm là: A



 



(8)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A

có phương trình 13x6y 2 x2y14 0 Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết tâm đường tròn ngoại tiếp ABC I( 6;0)

Giải

Đặt d1:13x6y 2 0,d :2 x2y14 0 đường trung tuyến đường cao xuất phát từ A Khi đó, tọa độ A nghiệm hệ phương trình          

    

 

13

( 4; 9)

2 14

x y x

A

x y y Gọi H M

lần lượt trực tâm trung điểm BC Khi đó:  1 H(2 14; ),M d 2  (m;13 2)

6

m

H d h h M Ta

có: AH 2IM(xem BT1 câu b)





        

    

            



 

   



2 14 2 2 6

1

2 9 2 13 0 13 29 2

3

6

h m h m

h

AH IM h m h m m

Vậy H



  

M

IM

:

BC x y Đường tròn ngoại tiếp ABC có tâm I bán kính IA có phương trình:



x



y

C BC

C





   

  

   

   

   

   

 2

2 3, 2

3;2 ,C 1;6 1;6 ,C 3;2 1,

6 85

x y x y

B B

x y



    

B

A



    

B

2 Bài toán 2(BT2)

Cho ABCnội tiếp đường tròn (I;R) D,E,F chân đường cao kẻ từ A,B,C ABC.H trựctâm Chứng minh:

a) IA FF ;IB DF IC DE b) H tâm đường tròn nội tiếp DEF

Chứng minh

a) Kẻ tiếp tuyến xy A Khi đó: xAB ACB

 

 90 

BFC BEC tứ giác BCEF nội tiếp Suy AFE ACB

 

Từ (1) (2) suy AFE xAB xy EF Mà xy IA ,do



IA EF

Các ý lại Em chứng minh tương tự nhé.!

b) Tứ giác BDHF nội tiếp HDF HBF

 

H F

E I A

B D C

(9)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 tiếp HDE HCE

 

FBE FCE

 

HDE HDF

FDE

DEF

Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nội tiếp đường tròn ( ) :C



x

 

y



E

 

F

 

ABC

xA

Giải

Đường trịn ( )C có tâm I(1;2) Ta có IA EF (xem BT2 câu a) IA qua I có vtpt EF(1;2) có phương trình

       

:1( 1) 2( 2) :

IA x y IA x y Khi tọa độ điểm A

nghiệm hệ phương trình:



 



       

 

    



  



2 3, 1

1

1,

x y

Vậy A(3;1) (vìxA 0 ) AC qua A E có phương trình AC y:  1 C AC ( )C nên tọa độ ,C nghiệm hệ phương trình:



 



       

   

    

  



2 3, 1( )

1 ( 1;1)

1, 1( )

x y l

x y C

x y n

y Ở ta loại x3,y1vì trùng điểm A AB qua

A F có phương trình AC: x  y B AB ( )C nên tọa độ B nghiệm hệ phương trình:



 



       

  

  

 

   

2 3, 1( )

1 (0;4)

0, 4( )

x y l

x y B

x y n

x y Ở ta loại x3,y1vì trùng điểm A

  



B

Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy.Cho chữ nhật ABCD Gọi M điểm đối xứng B qua C N hình chiếu vng góc B MD Tam giác BMD nội tiếp đường tròn



 



( ) :C x y 25 Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật biết đường thẳng CN có phương trình 3x4y17 0 Đường thẳng BC qua điểm E

 

Giải

Đường trịn ( )C có tâm I(1;2)và bán kính R5 Do BMD nội tiếp đường tròn (C) N,C chân đường cao nên ta chứng minh IM NC (xem BT2 câu a) IM qua I IM NC nên có phương trình

I N M

A C

B

D

F

E I A

B C

(10)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 10

   

: 4( 4) 3( 1)

IM x y IM x: 3 19 0y  M giao điểm (C) IM nên tọa độ M nghiệm hệ: 



 









  



2

7,

4 25 7; 3

1, 19

x y

x y M

x y

x y (vì tung độ M âm)

Đường thẳng BC qua M E có phương trình BC:x7 Điểm C giao điểm BC NC nên tọa C nghiệm hệ      

 

 

 

3 17

7;1

7

x y x

C

x y Điểm C trung điểm M B B(7;5) DC qua C vng góc BC có phương trình DC: y 0. 

Tọa độ D nghiệm hệ 



 



  

2 9, 1

4 25

1, 1

x y

y Vì B D phải nằm phía so với

đường thẳng CN nên ta

nhận D

 

DA CB

A







      

D

3.Bài tốn 3(BT3)

Cho ABCnội tiếp đường trịn (I;R) Điểm E là giao điểm tiếp tuyến A BC D chân đường phân giác kẻ từ A Chứng minh: EAD cân

Chứng minh

Đặt: A EAB A1 ; 2BAD A; 3DAC D ADE C ACB;  ;  Ta có: D A C 3 (1)(góa ngồi DAC)

 1 2 (2)

EAD A A Mà A3  A2 (3) ( AD đường phân giác góc A A C1 (4)(góc tạo tiếp tuyến dây cung Từ (1),(2),(3), (4) suy EAD D EAD cân

Ví dụ 10 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có A

 

ABC

ADB

x y





M thuộc cạnh AC Viết phương trình cạnh AB Giải

Gọi K chân đường phân giác góc A,khi DAK cân D(xem BT3) Đặt d x y:   2 0đây đường phân giác góc ADB DAK cân D suy

  :   0

AK d AK x y m Do điểm A thuộc AK nên ta

D

E I

A

C

B

N M'

K

D I

A

C

(11)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 11 có phương trình AK x y:   5 Gọi M’ điểm đối xứng M qua AK, M’ thuộc AB Ta có MM’ qua M MM'AK nên có phương trình x y  5 0.Gọi N MM 'AKN

 

M

 

AB x

y

4 Bài toán 4(BT4)

Cho ABCnội tiếp đường trịn (C) có (I;R) K tâm đường trịn nội tiếp D giao điểm giửa AK (C); J giao điểm AK phân giác góc ngồi B Chứng minh: D tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác KBJC

Chứng minh

Để D tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KBJC ta chứng minh DB DC DK DJ  

Ta có DB DC ( AK đường phân giác nên D điểm cung BC hay em hiểu

  

DAC DAB DB DC em xem lại tính chất góc nội tiếp nhé!) Vậy ta cần chứng minh



DB DK Xét ABK có BKD KAB KBA 

 

KBD DBC CBK

 

Mà DAC DAB DBC DAC (cùng chắn cung DC),

 



DBC DAB Thêm nửa CBK KBA

 

  

KBD DKB DBK cân D hay DB DK Vậy

 

 

DB DC DK

BK BJ đường phân giác phân giác B nên BK vng góc BJ Ta có:

    

    

  

90

DKB DJB DBK DBJ

DBJ DJB DBJ

DKB DBK cân D, suy

ra DB DJ

 

DB DC DK DJ

 Chú ý:

1) D giao đường phân giác góc đường trịn ngoại tiếp ABC Khi DB DC rỏ ràng ID đường trung trực BC (vì IB=IC DB=DC) Khi làm tập có ta sử dụng tính chất

2) Các em nên nhớ đường trịn có tính chất đối xứng nên kết có từ đỉnh A có đỉnh B C Ví dụ: toán trên, gọi E giao điểm BK (C) E tâm đường tròn ngoại tiếp AKC Chứng minh tương tự

Ví dụ 11 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có A

 

  

 

 

3 2;

2

M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác    21;1

I Xác định tọa độ đỉnh B,C Giải

D

K

J

I

B

C

(12)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 12 Đường trịn ngoại tiếp ABCcó tâm  

 21;1

I bán kính  5

2

R IA có phương trình    





 

2

1 125

( ) :

2

C x x Đường thẳng AM qua M

A nên có phương trình có AM x:  2 Gọi D AM ( )C ,khi tọa độ điểm D nghiệm hệ

 









1 1 2, 6

2;

2

2,

x y

x x D

x y

x

(vì    

2

x

y tọa độ điểm A)

Vì AM đường phân giác góc A nên điểm D nằm cung BC, BC ID BC qua M có vtpt   

5; 52 

ID có phương trình





 

5

: :

2

BC x y BC x y

 

, ( )

 





1 1 5, 0

(5;0), ( 3; 4) ( 3; 4), (5;0)

2

3,

x y

x x B C B C

x y

Vậy tọa độ điểm càn tìm B(5;0), ( 3; 4)C   hoặcB( 3; 4), (5;0)  C





 

5

: :

2

BC x y BC x y B C BC,  ( )C nên tọa độ B,C nghiệm hệ phương trình:

 





1 1 5, 0

(5;0), ( 3; 4) ( 3; 4), (5;0)

2 3, 4

2

x y

x x B C B C

x y

Vậy tọa độ điểm cần tìm B(5;0), ( 3; 4)C   hoặcB( 3; 4), (5;0)  C

Ví dụ 12 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có  

 

7 4; 5

A , tâm đường tròn ngoại tiếp I

 

(13)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 13 Đường tròn ngoại tiếp ABCcó tâm  

 21;1

I bán kính IA có phương trình ( ) :C x2



y



 

 

 

 

2 1; 2;1 5

AK suy AK có vtpt n

 



  

:1 :

AK x y AK x y

Gọi D AK ( )C ,khi tọa độ điểm D nghiệm hệ





 

 



   

  

    

  

 

2

2 1 2 1,

1;2 7,

2 5 5

x y

x y D

x y

(vì

       

7 5

x

y tọa độ điểm A) Tam giác BKC nội tiếp đường tròn tâm D (xem BT4 ) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC có tâm D đường kính DK có phương trình ( ') :C



x

 

y





 



 





 

    

 

  



2

1

1 2

x y

x y Lấy (2) trừ (1) ta 2x2y 1

 

d

( ): 2  1

BC d x y

Ví dụ 13 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có B

 

I

 

K

 

Giải

Đường tròn ngoại tiếp ABCcó tâm I

 

IB

C



x

 

y



BK x y

D BK

C



 







 

   

2 2, 3

6 9;10

9, 10

x y

x y D

x y

x y (vì

  

 

2

x y tọa độ điểm B) Tam giác AKC nội tiếp đường tròn tâm D (chứng minh

D K I

B C

A

D K I

A C

(14)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 14 BT4 ) Đường trịn ngoại tiếp tam giác AKC có tâm D đường kính DK  50 có phương trình



 



( ') :C x y 10 50 Tọa độ điểm A C nghiệm hệ pt:



 





 



    

    

    

 

   



2

9 10 50 2 10

9

6

x y x x

y y

x y Vậy A

   

C

A

   

C

5 Bài tốn 5(BT5)

Cho đường trịn (C) tâm I,đường kính AB Điểm C thuộc đường trịn (AC<BC) Kẻ CH vng góc AB(H thuộc AB) D,E trung điểm AC CH F giao điểm ID BE Chứng minh FA FC tiếp tuyến (C)

Chứng minh

Gọi M giao điểm DE BC, M trung điểm BC (vìDE AB) Do D trung điểm AC nên FI đường trung trực AC FD BC(cùng vng góc AC), dẫn đến EDF

EMBđồng dạng  EM EB

 

ED EF

Mặt khác, DE AH ME HB

 

 



  

 



1

2 2

1

EM

HB EM HB ED HA ED

HA

Từ

(1) (2) suy HB EB FA EHFA AB

HA EF Suy FA tiếp tuyến (C) Từ

FIA FICFCI FAI 90 suy FC tiếp tuyến (C)

Ví dụ 14 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC vuông A,đường cao AH Gọi D E trung điểm đoạn thẳng AB AH Đường thẳng vng góc AB D cắt CE tai F





x

y

x

y

Giải

Ta chứng minh đượcFB BC (xem BT5 ) Đường thẳng FB qua F(-1;3) vng góc BC nên FB có vtpt

(2;1)

u Phương trình đường thẳng

   

: 2( 1) 1( 3)

BF x y BF x y:   1

M F

E

H D

C B

A

M F

E

H D

B I

A

(15)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 15 Tọa độ điểm B nghiệm hệ pt:

                        1

2 5 ;

2 5

5

x

x y B

x y y

Vì D thuộc đường thẳng 3x5y0 nên suy ra:

        

     

     

     

3 3

; ; 1; ; ;

5D 5D 5D

D D D

x x x

D x FD x BD x Ta có :

  



       

  



2 1( )

17 37 20 20 (l)

17

D

D D

D

x n

BD FD FD BD x x

x Vì D trung điểm AB nên

 

 

 

11 3; 5

A Đường thẳng AC qua điểm  

 

11 3; 5

A có vtpt  

12 ;05 

AB có phương trình 11

:

5

AC x C giao điểm AC BC suy   

 

11 3; 5

C

Vậy tọa độ điểm cần tìm  

 

11 3; 5

A ,  

 

1 3; 5

B ,   

 

11 3; 5

C

Ví dụ 15 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC vuông A,đường cao AH Gọi I trung điểm AH Đường thẳng vuông góc với BC C cắt BI D Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp ABC, biết phương trình BC x y:   2 D(-1;-1) đỉnh A thuộc đường

  

d : 3x 2y

Phân Tích: Trước tiên ta thấy DC vng góc BC qua điểm D nên ta viết phương trình đường thẳng DC có tọa độ đỉnh C Khơng khó để ta thấy DA tiếp tuyến hay DA = DC Từ tìm điểm A nhớ ý tam giác ABC vuông A để nhận loại nghiệm

Giải

Trước tiên ta thấy DC vng góc BC qua điểm D nên ta viết phương trình đường thẳng   

DC:x y

Tọa độ điểm C nghiệm hệ       





    

 

2 0 0; 2

2

x y x C

x y y Gọi M trung điểm AC, N

giao điểm MI AB có N trung điểm AB(tính chất đường thẳng qua trung điểm cạnh tam giác song song cạnh qua trung điểm cạnh cịn lại) Để chứng minh DA = DC Ta cần chứng minh MD vng góc AC(vì M trung điểm AC) Tam giác ABH có đường trung bình IN nên HB2INvà tam giác ACH có đường

(16)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 16 trung bình IM nên HC2IN Mặt khác,

      

2

IB HB IB IN IB IN

IH DC DM BN

ID HC ID IM ID IM (định lí talets đảo) Mà BNAC nên



MD AC suy tam giác DAC cân D DA DC Ta có DC 2và A thuộc d suy   

 

3 ;

2 a

A a

Ta có









    

   

            



  

 



2

2 2;0

2 2 30 30 6;

13 13 13

a A

a

DA a

a A

Loại điểm A





 

30 6; 13 13

A AB vng góc với AC qua điểm A nên có phương trình AB x: 2y 6 Tọa độ điểm B nghiệm hệ





         

      

 

3 10 10; 12

2 12

x y x B

x y y Tam giác ABC vuông A nên nội tiếp đường trịn đường

kính BC Gọi I trung điểm BC,

I(-5;-7) IC5 Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình



x

 

x



Bài tập tự rèn luyện:

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có tâm  

 

8 1;

3

G nội tiếp đường tròn

  

C

x

 

y



M

 

yB

yC

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trung điểm cạnh BC M





AD với D(4;-2)

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H

 

M

 

x

y

x

(17)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 17 Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nội tiếp đường tròn

  

C

x

 

y



Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I

 

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nhọn có đỉnh A(-1;4),trực tâm H Đường thẳng AH cắt BC M, đường thẳng CH cắt AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I(2;0) Tìm tọa độ đỉnh B,C ABC, biết đỉnh B thuộc đường thẳng d x: 2y 2

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC nội tiếp đường trịn tâm I

 

x y

ABC

Bài Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có trực tâm H(-1;3), tâm đường ngoại tiếp I





ABC

Bài 10 Trong mặt phẳng Oxy.Cho ABC có đỉnh A(-3;-4), tâm đường ngoại tiếp I

 

Phần Rèn luyện tư phân tích,dự đốn tính chất chứng minh

Ví dụ 16 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính BC có phương trình ( ):C x2y26x2y 5 0 H chân đường cao kẻ từ A Đường trịn

đường kính AH cắt AB,AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC,biết MN có phương trình 20x10y 9 H có hồnh độ nhỏ tung độ

(18)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 18 Giải:

Đường trịn (C) có tâm I(3;1) bán kính R Do

   (1)

IA IC IAC ICA Đường trịn đường kính AH cắt AB M MH AB MH AC(cùng vng góc AB) suy MHB ICA

 

AHM ANM

 

 

       

 

 90

ANM AHM IAC ANM MHB AHM IA MN

IAC MHB IA

qua I IA vng góc MN phương trình IA x: 2y 5 Điểm A giao điểm IA đường tròn (C) nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:

   

    

   

   

     

 2

2 1,

1;2 5;0 5,

6

x y x y

A A

x y

x y x y Ta loại A

 

đường thẳng MN Ta nhậnA

 





  ;2 

10

E MN E t t Do E trung điểm AH 





5

H t t



 



  2;4 58 ;  4;4 48

10 10

AH t t IH t t Do IH vng góc AH suy ra:

 





   

      

 

 

2

8 11;13 ( )

5 5

272 896

20

5 25 28 31 17; ( )

25 25 25

t H l

AH IH t t

t H n

Khi BC H có vtpt AH nên có phương trình BC x y:   7 Vậy A

 

BC x y

Bình luận:Đây toán xuất phát từ toán lớp quen thuộc Và lớp đề yêu cầu ln chứng minh IA vng góc MN Khi dự đốn ta thử nghĩ ngược lại dự đốn có ý nghĩa gì??? Có giải tốn khơng?? Và mấu chốt phải tìm yếu tố Các Em thử giải sau trước xem lời giải nhé! Thầy nghĩ đến em dự đốn xác tính chất hình tốn!

Và phần cịn lại cố gắng chứng minh

Ví dụ 17 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I, điểm

M(2;-1) trung điểm cạnh BC Hình chiếu vng góc B AI

 

5

D

M

N E

H I C

(19)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 19 Biết AC có phương trình x y  5 0,tìm tọa độ đỉnh ABC

Phân tích:Bài tốn ẩn kỉ tính chất sử dụng Ta bối rối lúc đầu xuất phát từ đâu Xem kỉ giả thuyết đã,ta có phương trình cạnh AC, tọa độ đỉnh D trung điểm M BC Rõ ràng AC không tham gia vào việc tư duy, phục vụ để tìm A C trước Điểm D tạo nào?? Khi thấy có nhiều góc vng ta nghĩ đến tứ giác nội tiếp, kinh nghiệm Tam giác ABD vng D nên nội tiếp đường trịn (T) tâm E(E trung điểm AB) Ak phương trình ME ta viết ME song song AC(ME đường trung bình củaABC ) Đã tiến tí Điểm D chưa khai thác?? Ta thử tạo tứ giác nội tiếp, cách kẻ đường cao AF Rõ ràng F thuộc (T) ABFD nội tiếp (T) Thử nối D với điểm khác xem có phát khơng??? Ta thấy bậc DF dường vng với EM, mà ME đường trung trực DF ln (vì EF=ED) Nghĩ ngược lại ME đường trung trực DF ta gì?? Rõ ràng ME đường trung trực DF ta tìm F,vì ME có phương trình

D có Mà có F có phương trình BC,từ có điểm C trước ,dẫn đến có B (vì M trung điểm BC) AF qua F vng góc BC nên có phương trình Vậy có ln điểm A Vậy dự đốn hợp lí?? Ta cần chứng minh ME đường trung trực DF???Muốn ta cân chứng minh ME phân giác EDF ME DF ( EF=ED)

Giải

Gọi E trung điểm AB F chân đường cao kẻ từ A Ta có tứ giác ABFD nội tiếp đường trịn (T) tâm E Ta có: DFM DAB (1)(góc ngồi tứ giác nội tiếp) FME MCA (2) Mà 1  (3)

2

MCA BIA EIA (góc nội tiếp nửa góc tâm) Từ (1),(2) (3) ta có: DFM FME DAB EIA   90 ME DF Mà ED=EF (D F thuộc đường trịn tâm E) Do ME đường trung trực DF ME song song AC qua M nên có phương trình

  

:

ME x y DF vng góc ME qua D nên có phương trình DF :  170

x y Gọi K giao điểm DF ME 



 



5 5

K F (vì K trung điểm DF) BC qua M(2;-1)





5

F nên có phương trìnhBC x: 3y 5 Điểm C giao điểm BC AC nên tọa độ điểm C

là nghiệm hệ       

 

   

 

3 5 5;0

5 0

x y x C

x y y Điểm M trung điểm BC nên ta có B(-1;-2)

K E

M F

D I A

(20)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 20 Đường thẳng AF qua F vuông góc BC nên có phương trình AF :  330

5

x y Điểm A giao

điểm AF AC nên tọa độ điểm A nghiệm hệ     

 



33

3

1;4

5

x y

A x y

Vậy tọa độ điểm cần tìm : A

  

  

C

Bình luận:Có lẻ Em thắc mắc lại dự đoán vậy?? Đừng nản chí, Em tự nhận câu trả lời qua phía sau Ak…! Ở toán để chứng minh ME đường trung trực DF ta xem thử cách nhé:

Các điểm E,B,M,I,D thuộc đường tròn đường kính BI Và EBFE thuộc đường trịn tâm E Ta có:

 1

DEM DBE DEF suy ME đường phân giác DEF Mà DE=DF, ME đường trung trực DF

Kết cần nhớ qua ví dụ 17:

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I; D chân đường cao kẻ từ A; M N trung điểm BC AB; E hình chiếu B AI Khi đó:

a) DE vng góc AC

b) MN đường trung trực DE

Em nhớ chứng minh trước áp dụng vào giải toán

Ví dụ 18 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vơi AB < AC có tâm đường trịn ngoại tiếp I(-1;0) Điểm M(3;3) nằm đường trung trực BC N(2;4) thuộc đường phân giác góc B cho AN=CN Đường thẳng BC qua điểm D(1;4) B có tung độ lớn C Xác định tọa độ đỉnh ABC

Phân tích: Cần nhớ: Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm ba đường trung trực ba cạnh tam giác.Trước tiên M thuộc đường trung trực BC nên IM vuông góc BC D thuộc BC ta viết phương trình cạnh BC Tiếp theo AN=NC tức N thuộc đường trung trực AC Mà N lại thuộc đường phân giác góc B Ta thấy N thuộc đường trịn Vậy có có phương trình đường trịn (C) ngoại tiếp

ABC có tâm I bán kính IN Giao BC (C) ta có B,C Đường thẳng AC qua C vng góc IN nên ta viết AC giao AC với (C) ta có A

Giải

Gọi (C) đường tròn ngoại tiếpABC.Do NA=NC nên N nằm đường

trung trực AC       

 

2

2 ( )

2 AIC ABC

NIC ABC NBC N C

AIC NIC Đường

N

I

B

C A

(21)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 21 trịn (C) có tâm I(-1;0) bán kính R IN  42 5 có phương trình

  

C

x



y

IM

 

BC

điểm BC (C) nên tọa độ B, C nghiệm hệ





 

      

  

  

    

 

 



2 2 4

1 25 5

0 24

4 16

5 x x

x y

y

x y y Do

 B C

y y nên

 

5

B C AC qua C vng góc IN nên có phương trình AC:3x 4y 12 0   Điểm A giao điểm AC (C) nên tọa độ A nghiệm hệ





      

  

  

 

  

 

 



2 2 4 12

1 25 5

0 24

3 12

5 x x

x y

y

x y y Loại

  

 

4

x

y trùng điểm C,vậy A





điểm cần tìm là:





A ,

 

5

B C

Ví dụ 19 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang ABCD vng A D có

2 2

CD AD AB, gọi E(2;4) điểm thuộc đoạn AB cho AB3AE Điểm F thuộc BC choDEF cân E Phương trình EF 2x y  8 Tìm tọa độ đỉnh hình thang biết D thuộc đường thẳng d x y:  0 điểm A hoành độ nguyên thuộc đường thẳngd' :3x y  8

Phân tích: Đối với tốn hình học phẳng Em cần vẽ hình xác sử dụng hết giả thuyết.! Ở ta thấy điểm A thuộc d' :3x y  8 D thuộc d x y:  0 Nên ta định hướng tìm D A trước Xem điểm E F tạo có mối liên hệ với điểm nào??Phương trình EF dùng làm gì?? Thử nối E với A D, ta có cảm giác ED vng góc EF?? Các Em có thấy khơng?? Thử suy nghĩ ED vng góc EF ta gì?? Ak… Khi ta viết phương trình DE có điểm D! Có vẽ dự đốn khả quan tìm cách chứng minh xem?? Ak Cịn tỉ lệ đoạn thẳng sao??Tìm A nào??Khi có D ta có độ dài DE nhờ tỉ lệ đoạn thẳng ta tính độ dài AE suy điểm A Ở có cách chứng minh phương pháp mượn hệ trục tọa độ mới! Rất hiệu quả,nhưng phạm vi sử dụng hẹp Chủ yếu có góc vng tỉ lệ cạnh Thầy giới thiệu vào chương sau Trong Thầy hướng dẫn chứng minh trực tiếp!

(22)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 22 Gọi P điểm đối xứng D qua A Ta có

 1  

AB AD DP DBP vuông B Mặt khác ABD vuông cân A nên ADB45 Do DBP vng cân B

BA đường trung trực DPED EP , mà ED EF , E tâm đường trịn ngoại tiếp DPF Suy

2 90  

DEF DPF ED EF Đường thẳng ED vng góc EF qua điểm D nên có phương trình DE x: 2y 6

.Điểm D ED d  nên tọa độ D nghiệm hệ phương trình        





  

 

2

2;2

0

x y x

D

x y y

Ta có DE2 20, xét AED vng A, có DE2AE2AD220 Mà 3AE AD AB  suy

  

2

10AE 20 AE (*) Do A thuộc d' :3x y   8 A a



a





 



         

  

2 2

(*) 14 9

5 a

a a a a

a

Do A có tọa độ nguyên A

 

Ta có        

 

   

 

2

2 4;2

4 2

B B

x x

EB EA B

y y

Ta có       





    

 

2

2 4;

4

C C

x x

DC AB C

y y

Vậy tọa độ điểm càn tìm : A

    

B

C

 

D



Bình luận: Mấu chốt tốn phải thấy ED vng góc EF Ta có cách khác để chứng minh ED vng góc EF phụ thuộc vào tính tốn cách mượn hệ trục tọa độ Thầy giới thiệu chương sau Phương pháp hiệu quả, không cần suy nghĩ nhiều phạm vi sữ dụng hẹp Thường dùng cho tốn có góc vng tỉ lệ cạnh

Ví dụ 20 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H, gọi D E chân đường cao hạ từ A C Điểm M(2;3/2) trung điểm BC Đường trịn (C) ngoại tiếp

DHE có phương trình

  



 

2

: 25

2

C x y Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết đỉnh C thuộc đường thẳng d x: 2y 2 điểm B có hồnh độ dương

I

F P

C D

(23)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 23 Phân tích: Trước hết ta thấy điểm C thuộc đường thẳng d nên tọa độ C ẩn M(2;3/2) trung điểm BC nên tọa độ B ẩn Thêm vào xB 0 nên ta nghĩ đên tìm điểm B trước Khi tốn có nhiều góc vng ta nghĩ đến tứ giác nội tiếp Khơng khó để thấy tứ giác BDHE nội tiếp, suy B thuộc (C) từ tìm B Xem ổn!

Giải

Ta có BEH BDH 180 tứ giác BDHE nội tiếp  B

 

C

C d x

y

C t



t



Mà M trung điểm BC B



t



Điểm

  



 

       



 

 

2

7 1; ( )

2

7

2 25

2 7; ( )7

2

t B l

B C t t

t B n

M trung điểm BC suy

 

2

C Đường trịn (C) có tâm I(4;1/2) trung điểm HB suy

 

H Đường thẳng AH qua H có BC vtpt nên có phương trình AH x: 2y0 Đường thẳng AB qua B có CH vtpt nên có phương trình :  150

2

AB x y Ta có A AB AH  nên

tọa độ điểm A nghiệm hệ





  

    

   

 

    

 

5 15

2 3 5 25

;

3 25

5 6

x x y

A y

x y

Vậy tọa độ điểm cần tìm :





3

A ,

   

2

B C

Bình luận: Cẩn thận kiểu đánh lừa đường trịn ngoại tiếp tam giác điểm ta cần tìm thuộc vào đường trịn đó! Phân tích thử suy ngược lại xem Ta thử sức loại nhé! Để sử dụng tài liệu hiệu quả, lời khuyên Em tự làm trước xem giải

Ví dụ 21 Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nhọn có đỉnh A(-1;4), trực tâm H Đường thẳng AH cắt BC M CH cắt AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp HMNlà

I(2;0),đường thẳng BC qua điểm P(1;2) Tìm tọa độ đỉnh B,C tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d x: 2y 2

Phân tích: Tương tự trước đó, ta có tứ giác BMHN nội tiếp đường trịn đường kính BH Khi I trung điểm BH B thuộc đường thẳng d nên có ẩn suy H có ẩn Từ

 

,

AH BP H B Vậy xong nhé…!

I

M H E

A

(24)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 24 Giải

Ta có BMH BNH 90 bốn điểm BNHM thuộc đường trịn đường kính BH





  2 ;

B d B t t , I trung điểm BH suy













H t t AH t t BH t t

Do H trực tâm ABC

  2     

10

AH BH t t t Suy H(0;1), B(4;-1) Đường thẳng AC qua A có vtpt BH 





AC x y

BC x

y





  

   

    

2

5;

x y

C

x y Vậy tọa độ điểm cần tìm là: B(4;-1) C(-5;-4)

Ví dụ 22 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình bình hành ABCD có ABC nhọn, đỉnh A(-2;-1) Gọi H,K,E hình chiếu vng góc A đường thẳng BC,BD,CD Phương trình đường trịn ngoại tiếp HKE

 

C x

y

x

y

  3

x y

Phân tích: Các em cố gắng vẻ hình tốt ghi giả thuyết, phân tích xem tìm điểm trước Rõ ràng ta suy nghĩ đến điểm C H trước hai điểm có nhiều điều kiện Lại thấy đường trịn ngoại tiếp, mà điểm C thuộc (C) tốt q nhỉ?? Thật khơng may,khi vẽ đường trịn em nhân điểm C không thuộc (C) Nếu vẽ tốt ta thấy đường tròn (C) dường qua tâm I hình

bình hành?? Liệu ta gì?? Điểm C ẩn điểm A có tính I theo ẩn C(vì I trung điểm AC) Mà I thuộc (C) ta tìm I!! Có vẽ hợp lí rồi! Vậy ta cố gắng chứng minh I thuộc (C), muốn ta chứng minh tứ giác IKHE nội tiếp ! Các Em theo dõi giải chi tiết !

Giải

Ta có AHC AEC 90 bốn điểm A,H,C,E thuộc đường trịn đường kính AC Gọi I tâm hình bình hành Ta có HIE2HAE2 180



BCD



I H N

A

B M P C

D

I

E

H K

C A

(25)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 25 nên

 

 

 

EKD EAD BKH BAH

Do đó:



 







            

 

180 180 90 90

2 180

HKE EKD BKH EAD BAH EAD BAH ABC ADC

BCD HIE

Suy tứ giác HKIE nội tiếp Dẫn đến điểm I thuộc đường tròn (C) ngoại tiếp HKE Gọi













2

c c

C c d c I Do I thuộc (C) nên ta có phương trình

       

2 2 0 2 1

c c c c (loại c>0) Suy C





I









  



     

 

    



  

 

2 2

0,

8,y 11

1 5 5

x y

x y x y

x

x y

Vì điểm H có hồnh độ âm





 

H E Đường thẳng BC qua H C nên có phương trình

  

:

BC x y Đường thẳng AB qua A song song CE nên có phương trình AB:x y  1 Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình:





 

    

 

         

 

    

 

1 4; 3 2;2 , 6;2 . 16 0( / )

3

x y x B BA BC BA BC t m

x y y

Vì BA CD D

 

B



 

C

  

D

Bình luận: Tới Thầy nghĩ khả phân tích Em tiến chứ!.Thầy nghĩ phần lại rèn luyện cách chứng minh kỉ tính tốn thật tốt

Ví dụ 23.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A Điểm M thuộc BC(M khác trung điểm BC) Các điểm E,F hình chiếu M cạnh AB AC

  

:

EF x y Cạnh BC có phương trình x y  1 Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết I(1;2) trung điểm AM E có hồnh độ dương

(26)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 26 Thử nối IH lại ta thấy IH EF ?? Nếu ta có tọa độ điểm H ? Ta xem giải chi tiết nhé…!

Giải

Gọi H trung điểm BC I trung điểm AM Ta có:MEA MFA MHA  90 suy điểm A,E,M,H,F thuộc đường tròn (C) tâm IIE IF

 

  

EAH FAH HE HF (tính chất góc nội tiếp) Từ (1) (2) dẫn đến IH đương trung trực EF nên IH vng góc EF Ta có

  : 2  0

IH EF IH x y m , mà I IH IH x: 2y 3 Điểm

 

   5;4

H IH BC H Đường trịn (C) tâm I(1;2) bán kính

 2

R IH có phương trình

  

C

x

 

y



  

:

AH x y

Điểm A AH 

 

C



 



       

 

   

   



2

5,

1 20

3,

x y

x y Điểm A(5;4) loại trùng H, nên A(3;6)

Các điểm E F EF,  

 

C



 



        

 

    

   



2 1, 6

1 20

3,

2

x y

x y Vì E có hồnh độ dương nên E(3;2) F(-1;6)

Đường thẳng AB qua điểm A(3;6) E(3;2) nên có phương trình AB y: 3 Điểm

 

   4;3

B AB BC B Điểm H trung điểm BC nên C(6;5) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(3;6), B(4;3), C(6;5)

Kết cần nhớ qua ví dụ 18:

Cho ABC cân A; M điểm thuộc đoạn BC (khác trung điểm BC); E F hình chiếu M AB AC; I trung điểm AM; H trung điểm BC Khi đó:

a) Các điểm A,E,M,H,F thuộc đường tròn tâm I b) HI đường trung trực EF

Em nhớ chứng minh trước áp dụng vào giải tốn nhé…!

Ví dụ 24.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường trịn (C) tâm I D điểm cung BC không chứa A) P(4;5) giao điểm AB DC Phương trình đường

F E

I

H

B C

A

(27)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 27 trịn ngoại tiếp APC có phương trình

 

T x



y



DI: x2y10 0 Tìm đỉnh ABC

Phân tích: Gọi K tâm đường tròn (T) Một số sai lầm xãy ta dự đốn PK PD 

PK PD vẽ hình đơi vơ tình vậy! Bởi có hai điều tìm D Nhưng chứng minh khơng Chịu khó vẽ hình lại ta thấy dự đoán sai Rõ ràng ta phải chuyển yếu tố (C) qua (T) (C) chưa có phương trình

Gọi M AD ( )T ,cần nhớ AM đường phân giác góc A( D nằm cung BC) Vậy

  

PAM CAM MP MC(tính chất góc nội tiếp đường tròn (T))

Vậy KM đường trung trực PC Nếu tìm M xong?? Phương trình ID dùng làm ??AK Nối PM ta thấy PM song song BC?? Nếu qua tốtPM BCBM ID Khi viết phương trình PM có điểm M, dẫn đến có C

Ta xem giải chi tiết nhé…!

Giải

Đường trịn (T) có tâm K(0;2) Gọi M AD ( )T ,do D nằm cung BC nên AD đường phân giác góc A Xét đường trịn

(C) có DAB DCB (cùng chắn DB),mà DAB DAC suy ra

 

 

DAB DAC DBC Xét đường tròn (T) có MPC MAC

 

MPC PCB

PM BC

cũng vng góc ID PM qua P vng góc ID có phương trình   

2x y Điểm M PM 

 

T





       

 

   

   



2

2 2 25 0, 3

4,

2

x y

x y Điểm M(4;5) loại trùng P, nên

M(0;-3) Do KP KC MP MC nên KM đường trung trực PC KM qua M K có phương trình x0 PC qua B vng góc KM nên có phương trình y5 Gọi





   (0;5) 4;5

N PC KM N C

BC qua C vng góc ID nên có phương trình BC x y:  13 0 ID đường trung trực BC nên ta tìm





5

B AP qua P P nên có phương trình AP x: 2y14 0 Điểm A AP 

 

T

K

M P

D I

C B

(28)





      

 

  

 

  



2

2 2 25 0, 7

4, 14

x y

x y Điểm A(4;5) loại trùng P, nên A(0;7)

Vậy tọa độ điểm cần tìm A(0;7),





5

B , C(-4;5)

Ví dụ 25.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vng A, có H chân đường cao kẻ từ A Gọi D E hình chiếu H cạnh AB AC Điểm K(-1;2) thuộc AB M(0;-1) trung điểm BC Đường trịn ngoại tiếp CDE có phương trình

  

C

x

 

y



Giải

Ta có ADHE hình chữ nhật ADE AHE

 

Mà     

 

 



90 2

90

AHE EHC

AHE ECH

EHC ECH Từ (1) (2) suy

 

ADE ECH tứ giác DBCE nội tiếp Do điểm B,C,D,E thuộc đường trịn (C) Đường trịn (C) có tâm I(1;3) Do M trung điểm BC nên IM đường trung trực BC BC qua M vng góc IM nên có phương trình

  

: 2

BC x y Ta có B C BC,  

 

C



 



       

 

    



  



2 2, 0

1 10

2, 2

x y

x y Do điểm B có hoành độ dương nên B(2;0) C(-2;2)

Đường thẳng AB qua B K nên có phương trình AB x: 3y 4 AC qua C vng góc AB có phương trình AC x:3 2y10 0   





13 13

A AB AC A

Vậy tọa độ điểm cần tìm





  



13 13

A B C

Ví dụ 26.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có A(4;6) Gọi M N điểm thuộc cạnh BC CD cho MAN45 , điểm M(-4;0) đường thẳng MN có phương trình MN:11x2y44 0 Tìm tọa độ đỉnh B,C,D

Giải

M

I E D

H

C B

(29)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 29 GọiF AM BD E AN BD I NF ME  ;   ,  

Ta có FAN FDN 45 FADN nội tiếp Mà

90  90  

ADN NFA NF AM Tương tự MAE EBM 45  ABME nội tiếp Mà ABM90 ME AN Do I trực tâm

AMN Gọi H giao điểm AI MN, AH vng gc MN Từ ta có AH x: 11y58 0 Điểm   





5

H AH MN H

Tứ giác ABME nội tiếp BEM BAM

 

IEF IAF Từ (1) (2) ta có IAF BAM hayHAM BAM Do MAH MAB(cạnh huyền-góc nhọn) suy MB MH AB AH ,  Vậy AM đương trung trực BH AM có phương trình

  

3x 4y 12 B H đối xúng qua AM nên ta tìm B(0;-2)

 





 4;8   4 5;  4;2  2

AB AB BC BM BM Ta có





 2  2  8;2

BC BC BM C

BM Mặt khác AD BC D





Vậy tọa độ điểm cần tìm B

  

C

 

D



Ví dụ 27.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD có tâm I đỉnh A(3;1) Điểm

 

M thuộc đoạn ID F giao điểm AM BC Lấy điểm K thuộc tia CD cho 45

KFA Tìm tọa độ đỉnh B,C,D biết KF x y:   9

Giải

Ta có KFA KCA 45 tứ giác KFCA nội tiếp Mà

90  90  

KCF KAF AKF vuông cân A

Đường thẳng AM có phương trình x 3 Điểm

 

   3;6

F AM KF F Gọi H trung điểm KF, ta có AH vng góc KF AH có phương trình x y  2 Điếm   

 

2

H AH KF H K Tứ giác

AHCB nội tiếp ABH ACH 45 Mà ABD45 , B,D,H thẳng hàng Đường thẳng BD qua H M có phương trình BD x: 3y 5 B BD B t



t AB





t



FB



t



H

I

F

E

N

M

C

D

A

B

H K

I

F C D

A B

(30)

Ta có:        

 

   

2 11;7

10 55 70 2

2 (1;2)

t B

AB FB t t

t B

Điểm

 

2

B loại trùng H nên B(1;2) BC qua B vng góc AB có phương trình BC: 2  x y Đường thẳng DC qua K vng góc BC nên có phương trình DC x: 2y10 0 C DC BC  C

 

AD BC

D

 

B

     

C

D

Ví dụ 28.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H(3;2) K(1;4) giao điểm AH đường trịn ngoại tiếp ABC Viết phương trình cạnh BC

Giải

Gọi D E chân đường cao kẻ từ A B Ta có tứ giác ADBE nội tiếp

EBC EAD (cùng chắn DE), mà EAD DBC (cùng chắn CK) Do EBC KBC Vậy EBC KBC BC vng góc HK nên BC đường trung trực HK D trung điểm HK nên D(2;3)

Đường thẳng BC qua D có vtpt làHK 





BC x y

Ví dụ 29.Trong mặt phẳng Oxy, cho

Giải

Gọi (C) đường tròn ngoại tiếpABC Gọi M giao điểm BH AC Ta có tứ giác AMDB DBM DAM

Mặt khác, DBM DBK (do H K đối xứng qua BC) Do đóKBC KAC K thuộc đường tròn (C)

Do ABKC nội tiếp nên KBF KCA

 

KEC KDC

KDF KCE

 

 

KBF KDF tứ giác KDBF nội tiếp MàKDB90 nên 90

KBF hay KF vng góc AB AB qua F vng góc KF nên có phương trìnhAB x: 2y 4 Đường thẳng AC qua E vuông góc KE nên có phương trình AC x y:   3

M

F

E

K H I

A

B D C

K H

E I A

B C

(31)

 

   ;7

3

A AB AC A AK có phương trìnhAK x y:   7 EF có phương trìnhEF :x2y 4

 

   10 21; 13 13

D EF AK D BC qua D vng góc AK có phương : 7 1370 13

BC x y





   18 17; 13 13

B BC AB B   





13 13

C BC AC C

Vậy tọa độ điểm cần tìm

  

 



3 13 13 13 13

A B C

Ví dụ 30.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình vng ABCD tâm I Điêm M(1;2) N(0;1) lần lượt trung điểm BC ID Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có hồnh độ dương

Giải

Kẻ ME vng góc AD, ABME hình chữ nhật nên nội tiếp đường trịn (C) đường kính MA hay BE

EN đương trung bình tam giác AID





EN AIEN BD AI BD  ENB90 N thuộc (C) dẫn đến 90

ANM hay AN vng góc MN Hơn nửa, ANM ABN 45 Do tam giác AMN vuông cân N Đường thẳng AN qua N vng góc MN có phương trình AN x y:   1





 

  ;1 ,  ; ,  1;1 A AN A t t AN t t MN Từ

 







  

 

1;0 ( ) 1;2 ( )

A n

AN MN

A l VậyA





Bình luận:Đối với tốn hình vng hay tốn có góc vng tỉ lệ cạnh nói chung Ta sử dung phương pháp tọa độ hóa để chứng minh tính chất sau:

Chọn hệ trục tọa độ Ox y' ' hình vẽ Ta có

       

   

2 4

a a a

A B a C a a a M a N

 





4 4

a a a a a a

AN AN AM AM

Ta tính : AN AM 0 AM AN suy tam giác AMN vuông cân N Sau giải tiếp

Ví dụ 31.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH 3x y  3 0, trung điểm cạnh BC M(3;0) Gọi E F chân đường

E

N

M

I

C

D

A

B

N

N I

B A

D C

y'

(32)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 32 coa hạ từ B C tam giác ABC Phương trình EF x y  7 Tìm tọa độ điểm

A,biết A có hồnh độ dương

Giải

Gọi I trung điểm AH D chân đường cao kẻ từ A Tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I bốn điểm BFEC thuộc đường tròn tâm M Do E,F giao tuyến hai đường trịn nên EF vng góc IM

Ta có: IE IH IEH IHE BHD 

     90

MEB MBE MEB IEH MBE BHD Tức ta có ME IE I giao điểm IM EF suy I(1;6) Điểm E thuộc vào đường thẳng EF

suy E t



t



IE ME

E

  

E



E

 

IE

E





IE

IA IE

IA

IE



a

 

a



a

Vì A có hồnh độ dương A





Ví dụ 32.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I Phân giác góc A tam giác ABC cắt BC D cắt đường tròn (C) E Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Biết K(1;1),E(0;4) AB có phương trình x y  3 0và điểm B có hồnh độ dương.Tìm tọa độ đỉnh A

Giải

Gọi F trung điểm BD K tâm đường trịn ngoại tiếp ABDnên ta có KF BD BKD2BAD (góc nội tiếp có số đo nửa góc tâm chắn cung)

BAD BKF Mặt khác, EBC EAC BAD  Từ điều trước ta suy

     90  

EBC BKF EBC FBK BKF FBK KB EB Ta có:B AB B b b





       0 1

KB EB KB EB b b Do B có hồnh độ dương nên ta chọn B(1;4) A AB A a





a

Từ KA KB     a a Do điểm A khác B nên ta chọn A(-2;1) Vậy tọa độ điểm cần tìm A(-2;1)

K

F

E D I A

B C

I E

H F

M D A

(33)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 33 Ví dụ 33.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vuông tai A nội tiếp đường tròn

 

T x

y

x

y

Gọi H chân đường cao kẻ từ A ABC Đường trịn đường kính AH cắt AB,AC M N Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC, biết MN có phương trình 20x10y 9 H có hồnh độ nhỏ tung độ

Giải

Đường tròn (T) có tâm I(3;1) trung điểm BC bán kính R Do

 

  

IA IC IAC ICA Đường đường kính AH cắt AB M nên

 

MH AB MH AC(cùng vng góc AB) suy MHB ACH

 

ANM AHM

 

     90

IAC ANM ICA AHM MHB AHM Suy ra: AI vng góc MN Từ ta viết phương trình AI x: 2y 5 Điểm A IA 

 

T

hệ:       



     

 2

2 1,

5,

x y x y

x y

x y x y Điểm A(1;2) nhận thỏa A I nằm hai phía MN

Điểm A(5;0) loại A I nằm phía MN Gọi E tâm đương trịn đường kính AH E trung điểm AH Do AMHN hình chữ nhật (tứ giác có góc vng) nên E trung điểm MN  





10

E MN E t t Do E trung điểm AH nên





10

H t t

Vì

 





   

        

 

 

2

8 11;13

5 5

272 896

20

5 25 28 31 17;

25 25 25

t H

AH HI AH IH t t

t H Do H có hồnh độ nhỏ

hơn tung độ nên ta nhận

 

5

H Đường thẳng BC qua H vng góc AH nên có phương trình   

:

BC x y Vậy A

 

BC x y

Ví dụ 34.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp

 

I ,tâm đường tròn nội tiếp ABC J

 

BAC

ABC

Giải

M

N E

C I

B A

H J

K I

B C

(34)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 34 Gọi (C) đường tròn ngoại tiếp ABC H giao điểm AK đường tròn tâm (C) Xét tam giác BHJ có HJB JAB JBA  (góc ngồi tam giác) HBJ JBC HBC  Mà

 ;;  

JBH JBA HBC HAC HAB(do AJ BJ đường phân giác)

Từ điều ta có HBJ HJB

 

HBJ

HB HJ

HAC HAC

HC HB

HJ HB HC

ABC

HJB HKB

HBK HBJ

 

HBK HKB

HBK

HB HK

HB HC HK HJ

 

2

H Đường trịn(C) có bán kính IH có phương trình( ) :

 

   

2 16 16

C x y Từ

   

HB HC HK HJ điểm B,C,K,J thuộc đường tròn (T) có tâm H bán kính HJ Ta viết

 





( ) :

2

T x y Các điểm B,C thuộc đường tròn (C) (T) nên tọa độ B C nghiệm hệ:

 





 

   

    

    

 

     



    



2

3 4 65

5,

2

2,

3 65

2 16 16

x y x y

x y

Do B có hồnh độ dương nên B(5;-2) C(-2;-2)

Đường thẳng AH qua H J có phương trình AH x y:8   8 Điểm A giao điểm AH (C)

nên tọa độ điểm A nghiệm hệ:

 

   



       

 

 

       

 

2

2 ,

3 65 2

2 16 16

3 ,

8 2

x y

x y

Vì điểm A phải khác

H nên

 

2

A Vậy tọa độ điểm cần tìm

 

2

A , B(5;-2) , C(-2;-2) Bài tập tự rèn luyện:

Bài 11.Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

  

C

x

 

y



d x y

 

C x



y



:

(35)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 35 Bài 13.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABCcó đỉnh A(-2;-1),trực tâm H(2;1) độ dài cạnh BC2 Gọi D, E chân đường cao kẻ từ B C Biết trung điểm M BC thuộc đường thẳng

  

:

d x y M(3;-4) thuộc DE Viết phương trình cạnh BC

Bài 14.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABCcó trực tâm H(2;2) độ dài cạnh BC nội tiếp đường trịn

 

C x

y

x

y

Bài 15.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABCnội tiếp đường tròn

 

C x

y

Chân đường cao hạ từ B C M(-1;3) N(2;-3) Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết A có tung độ âm

Bài 16.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABCnội tiếp đường tròn tâm I(1;2) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C,phương trình EF x y:3   7

Biết tiếp tuyến A đường tròn (C) qua điểm M(3;-2) điểm B thuộc tia Oy Tìm tọa độ đỉnh ABC

Bài 17.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC Gọi H, K chân đường cao hạ từ đỉnh B C Tìm tọa độ đỉnh ABC, biết H(5;-1),

 

5

K , phương trình cạnh BC x: 3y 4 0và B có hồnh độ âm

Bài 18.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thang vng ABCD vng A D có CD2AB, đỉnh B(1;2) Hình chiếu D AC H(-1;0) Gọi N trung điểm HC Tìm đỉnh cịn lại hình thang, biết DN :x2y 2

Bài 19.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vuông A(-2;0) Gọi E chân đường cao kẻ từ A F điểm đối xứng E qua A Trực tâm BCF H(-2;3) Tìm tọa độ đỉnh B C ABC, biết trung điểm BC thuộc đường thẳng d x y:   4

Bài 20.Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có H(1;2) hình chiếu A BD M(5;1) trung điểm BC đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ A AHD có phương trình

  

: 4

d x y Viết phương trình cạnh BC

Bài 21.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A(-1;3) D điểm thuộc đoạn AB cho BD2AD H hình chiếu B CD Điểm B thuộc đường thẳng d x y:   7

 

2

(36)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 36 Bài 22.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(5;8) đường thẳng d x y:   1 Tìm điểm B thuộc đường thẳng d cho khoảng có ba đường thẳng d d d1, ,2 3 thỏa mản khoảng cách từ A đến d d d1, ,2 3 khoảng cách từ B đến

Bài 23.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn

  

C

x

 

y



 

3

G trọng tâm ABC Điểm M(7;2) thuộc đường thẳng qua A vng góc BC



M A



Bài 24.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn

  

C

x

 

y



Bài 25.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trực tâm H(3;0) trung điểm cạnh BC M(6;1) Đường thẳng AH có phương trình x2y 3 Gọi D E chân đường cao kẻ từ B C

ABC Xác định tọa độ đỉnh ABC, biết điểm D có tung độ dương

  

C

x

 

y



ABI

  

C

x

 

y



  

:3

d x y m Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA,PC tới (C)(A,C tiếp điểm) cho PAC

Bài 28.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh A(2;6),chân đường phân giác góc A

 

2

D

Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

 

2

I Tìm tọa độ đỉnh B C ABC Bài 29.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trọng tâm

 

3

G ; tâm đường tròn ngoại tiếp I(1;-2); điểm E(10;6) thuộc đường trung tuyến kẻ từ A F(9;-1) thuộc đường thẳng BC Tìm tọa độ đỉnh

ABC, biết đỉnh B có tung độ lớn

Bài 30.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC cân A nội tiếp đường tròn

 

C x

y





5

(37)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 37 Bài 31.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn

 

C x

y

x

y

d x y

Bài 32.Trong mặt phẳng Oxy, đường tròn

  

C

x

 

y



  

C

x

 

y



ABE

 

C x



y



d x

y

Bài 35.Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC nội tiếp đường tròn tâm I(3;0), trực tâm H(2;0) BC có phương trình x y  4 Lập phương trình cạnh AB, biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ

Đề thi đại học qua năm

Bài 36.(THPT Quốc Gia -2016) Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn đường kính BD Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng BC, BD P giao điểm hai đường thẳng MN, AC Biết đường thẳng AC có phương trìnhx y  1 0, M(0;4), N(2;2) A có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B

Bài 37.(THPT Quốc Gia -2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC vuông A Gọi H hình chiếu vng góc A BC; D điểm đối xứng B qua H;K hình chiếu vng góc C AD Giả sử H(-5;-5), K(9;-3) trung điểm AC thuộc đường thẳng x y 10 0 Tìm tọa độ điểm A

Bài 38.(Đề minh họa THPT Quốc Gia -2015) Trong mặt phẳng Oxy, cho OABcó A B thuộc đường thẳng : 4x3 12 0y  K(6;6) tâm đường trịn bàng tiếp góc O Gọi C điểm nằm  cho



AC AO điểm B, C khác phía so với A Biết điểm C có hồnh độ 24

5 , tìm tọa độ đỉnh A

và B

(38)

ThS Trần Duy Thúc Sđt: 0979.60.70.89 38 Bài 40.(A -2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc đường thẳng

  

:

d x y A(-4;8) Gọi M đối xứng với B qua C; N hình chiếu vng góc B MD Tìm tọa độ điểm B C, biết N(5;-4)

Bài 41.(A -2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng :x y 0 Đường trịn (C) có bán kính

 10

R cắt  A B cho AB4 Tiếp tuyến (C) A B cắt điểm thuộc tia Oy Viết phương trình đường trịn (C)

Bài 42.(D -2013 cb) Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có trung điểm cạnh AB

 

2

M , chân đường cao kẻ từ đỉnh B H(-2;4) tâm đường trịn ngoại tiếp ABClà I(-1;1) Tìm tọa độ đỉnh C

Bài 43.(D -2013 nc) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn

  

C

x

 

y



:

d y Tam giác MNP có trực tâm trùng với tam đường trịn (C); đỉnh N P thuộc d; đỉnh M trung điểm MN thuộc (C) Tìm tọa độ điểm P

Bài 44.(B -2012 cb)Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn

 

C

x

y

 

C

x

y

x

d x y

 

C

 

C

Bài 45.(D -2012 nc)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d x y:   3 Viết phương trình đường trịn (C) có tâm thuộc d cắt trục Oxtại A B, cắt trục Oy C D cho AB CD 2

Bài 46.(A -2011 cb)Trong mặt phẳng Oxy, cho đường đường tròn

 

C x

y

x

y

d x y

Bài 47.(B -2011 nc)Trong mặt phẳng Oxy, cho ABC có đỉnh

 

2

B , đường tròn nội tiếp ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC, AB tương ứng D, E, F Cho D(3;1) EF y:  3 Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung độ dương

Bài 48.(D -2011 nc) Cho điểm A(1;0) đường tròn

 

C x

y

x

y

Bài 49.(D -2010 cb) Cho ABC có đỉnh A(3;-7), trực tâm H(3;-1) tâm đường trịn ngoại tiếp I(-2;0) Tìm tọa độ đỉnh C, biết C có tung độ dương