sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn

Nó giúp học sinh giải quyết các bài toán cân bằng của các vật thể và sự tương tác giữa chúng.. Phương pháp này có thể sử dụng với mọi số lượng lực tác dụng, lập các điều kiện cân bằng sa

I – PHẦN MỞ ĐẦU

Trong chương trình vật lý 10, tĩnh học là một phần rất quan trọng Nó giúp học sinh giải quyết các bài toán cân bằng của các vật thể và sự tương tác giữa chúng Đối với học sinh giỏi, phần tĩnh học còn quan trọng hơn, đây là dạng toán thường thấy ở các kì thi lớn nhỏ; từ thi học sinh giỏi tỉnh, học sinh giỏi quốc gia, Olympic 30 – 4 cho đến các kì thi Olympic khu vực Để giải bài toán tĩnh học, thông thường chúng ta sử dụng phương pháp giải tích Phương pháp này có thể sử dụng với mọi số lượng lực tác dụng, lập các điều kiện cân bằng sau đó chiếu lên các trục toạ độ đã chọn Ngoài phương pháp giải tích, rất ít học sinh biết được có một phương pháp nữa đặc biệt hữu hiệu khi chỉ có ít lực tác dụng lên vật rắn, đó là phương pháp hình học Trong đề tài này, tôi xin đề cập đến việc sử dụng phương pháp hình học để giải bài toán cân bằng vật rắn Tôi hy vọng rằng đây là tài liệu tham khảo có ích cho các em học sinh Vì thời gian không nhiều và trình độ bản thân còn hạn chế, đề tài này chắc khó tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô giáo xem xét và góp ý thêm

II – CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cân bằng của hệ lực đồng quy

Theo các định luật cơ học, ta biết rằng nếu vật thể bị tác dụng của các lực bên ngoài cân bằng nhau thì nó có thể đứng yên hoặc chuyển động theo quán tính Thí dụ vật có thể chuyển động tịnh tiến thẳng đều

Từ đây ta có hai kết luận quan trọng:

- Các lực tác dụng lên vật đứng yên cũng như lên vật chuyển động theo quán tính đều thoả mãn các điều kiện cân bằng của tĩnh học

- Sự cân bằng của các lực tác dụng lên vật rắn tự do là điều kiện cần, nhưng chưa đủ đối với sự cân bằng (đứng yên) của bản thân vật thể đó Do

đó vật thể chỉ đứng yên nếu như trước khi chịu tác dụng của các lực cân bằng nó đã ở trạng thái đứng yên

Để hệ lực đồng quy tác dụng lên vật rắn cân bằng thì điều kiện cần và

đủ là hợp lực của các lực đó bằng không Ta có thể biểu diễn điều kiện này dưới dạng hình học như phần tiếp theo

2 Điều kiện cân bằng dưới dạng hình học

Vì hợp lực của hệ lực đồng quy là cạnh khép kín của đa giác lực dựng

từ các lực đó nên hợp lực chỉ có thể bằng không khi và chỉ khi điểm mút của lực cuối cùng trong đa giác lực trùng với điểm đầu của lực đầu tiên, tức

là khi đa giác lực tự khép kín

Do đó, điều kiện cần và đủ để hệ lực đồng quy cân bằng là đa giác lực dựng được từ các lực đó phải tự khép kín

Nhiều khi để giải các bài toán tĩnh học, ta nên sử dụng định lý sau

3 Định lý về ba lực

Nếu vật rắn tự do mà cân bằng dưới tác dụng của ba lực không song song nằm trên cùng một mặt phẳng thì giá của chúng phải cắt nhau tại một điểm

4 Các bước giải bài toán cân bằng của vật rắn bằng phương pháp hình học

Như đã nói ở trên, phương pháp hình học thường tiện hơn khi chỉ có 3 lực tác dụng lên vật Vì vậy ta xem như phạm vi áp dụng hiệu quả cho bài toán này là số lực tác dụng lên vật hay mỗi vật trong hệ chỉ là 3 lực mà Nếu vật chịu tác dụng nhiều hơn ba lực ta có thể tìm hợp lực của một số lực trước rồi qui về bài toán vật chịu tác dụng của ba lực

 Bước 1: Chọn vật khảo sát cân bằng

Trước hết ta cần xét sự cân bằng của vật chịu tác dụng của các lực đã cho và các lực chưa biết Nếu các lực đã cho tác dụng lên một vật, còn lực chưa biết tác dụng lên vật khác, thì ta cần khảo sát lần lượt sự cân bằng của từng vật và đôi khi cả sự cân bằng của các vật trung gian

 Bước 2: Biểu diễn các lực lên vật hoặc hệ vật cân bằng

Ta cần vẽ riêng rẽ từng vật cân bằng và biểu diễn các lực tác dụng lên các vật đó

 Bước 3: Lập các điện kiện cân bằng

Tam giác dựng trên ba lực tác dụng lên vật hoặc từng vật trong hệ phải khép kín

 Bước 4: Xác định các đại lượng cần tìm, kiểm tra lời giải và khảo sát các kết quả thu được

Giải tam giác đã dựng ta sẽ được các đại lượng cần tìm

III – PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐIỂN HÌNH

Bài toán 1: Một thanh kim loại dài AB = 1,5m khối

lượng m = 3kg được giữ nghiêng trên mặt sàn nằm

ngang bằng một sợi dây BC như hình vẽ Biết BC =

1,5m, đầu dưới A của thanh tựa lên mặt sàn Hệ số ma

sát giữa thanh và mặt sàn bằng

2

3 Góc nghiêng  phải có giá trị bao nhiêu để thanh có thể cân bằng?

Giải

Chúng ta hãy so sánh hai cách giải sau:

 Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:

Áp dụng điều kiện cân bằng tổng quát của vật rắn ta có:

0.

ms

P Q F  T 

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

(1) Tổng đại số các mômen lực đối với trục đi qua A bằng không:

  M   M   M   0

MP  Fms  N  T 

2

AB

T AB   P   (2) Chiếu (1) lên Ox và Oy ta được:

0 T

Fms   và P Q  0.

Từ điều kiện lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ Fms  kQ ta có:

x

y

T 

2

g cot P





 cot g   k  3    30 0

 Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:

Theo định lý về 3 lực, phản lực của sàn N phải đi qua D (giao điểm 2 giá của P và T)

Mặt khác, để thanh cân bằng, N phải nằm trong nón ma sát tg   ktức

là:   ; với

2

g cot sin

AB 2

cos AB









 k

2

g cot





   30 0

 Nhận xét : Rõ ràng trong trường hợp chỉ có 3 lực tác dụng phương

pháp hình học sẽ bài giải ngắn gọn hơn, đơn giản hơn Chúng ta tiếp tục so sánh một ví dụ khác.

Bài toán 2: Một thanh đồng chất BC tựa vào tường

thẳng đứng ở góc B nhờ dây AC dài l hợp với tường một

góc  Cho BC = d Hỏi hệ số ma sát giữa thanh và tường

phải thoả điều kiện nào để thanh cân bằng?

Giải

 Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích

Chọn hệ quy chiếu Bxy như hình vẽ

Biểu thức cân bằng lực: P  T  f  N  0

+ Chiếu lên Bx: N = T.sin

+ Chiếu lên By: f = mg - Tcos

Cân bằng mômen đối với trục qua B:





 T h sin sin

2

d





 sin h 2

sin mgd

T (với h = AB)

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABC:

  



 sin

h sin

d









 sin

sin d

Ta có:  

sin 2

sin mg

T   

sin 2

sin sin mg N













































sin 2

sin cos cos

sin 2 mg sin

2

cos cos 1

mg

Để có cân bằng thì ma sát phải là ma sát nghỉ: f  kN





























sin 2

sin sin mg k sin

2

sin cos cos

sin 2 mg





















tg

1 tg

2 sin

sin

sin cos cos

sin 2

Mà theo định lý hàm sin cho tam giác ABC, ta có:





 sin

d

sin  

d

sin d

cos

2 2 2



















tg

1 sin

sin d

2 k

2 2 2



 Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:

Để thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D của

giá hai lực P và T, dễ thấy D là trung điểm của AC Khi

đó Q hợp với phương thẳng đứng một góc 













cos cos

d

sin cos

CD cos

BC

sin AD tg





Để thanh cân bằng phản lực Q phải nằm trong nón ma sát tg = k, tức là











2 Hay cot g   tg  











sin

cos cos

d k





 Nhận xét: Đến ví dụ này thì ta thấy rõ được sự đơn giãn và ngắn gọn

của phương pháp hình học với giải tích Đó là bài toán vật chịu tác dụng của ba lực, vậy trong trường hợp có 4 lực trở lên liệu áp dụng phương pháp này có hiệu quả hơn không Ta hãy xét tiếp một ví dụ khác.

Bài toán 3: Hai quả cầu đồng chất, tâm O1 và O2 bán kính R1, R2 (R1 >

R2), trọng lượng P1, P2 (P1 > P2) tựa vào nhau ở B và cùng được treo vào điểm O nhờ hai dây OA1 và OA2 Biết OA1 + R1 = OA2 +R2 = R1 + R2 Tìm góc nghiêng  của OA1 với đường thẳng đứng khi cân bằng

 Cách 1: Sử dụng phương pháp giải tích:

Phương trình mômen của quả cầu O1 đối với trục quay

O: P1 O1H1  N OH  0

2

3 R R N sin R R

P1 1 2   1 2 

  sin 

3

P 2

Tương tự phương trình mômen của quả cầu O2 đối với trục quay O:

2

3 R R '

2 1 2 2

  2 sin600  

3

P 2 '

Vì N = N’, ta nhận được phương trình xác định :

  



1 sin P sin 60 P

 P1sin   P2sin600  

 2 P1 P2sin   P2 3 cos 



2 1

2

P P 2

3 P tg





 Cách 2: Sử dụng phương pháp hình học:

Ngoại lực tác dụng lên hệ gồm: P 1 ; P 2 ; T 1 ; T 2 T 1 và T 2 có giá cắt nhau tại O vậy hợp lực P của P 1 và P 2 phải đi qua O Theo quy tắc hợp

lực song song ta có:

2 1

2 1 1

2 2

1

O O

P P O ' O

P O

' O



2

1

2

P

P

P

O

'



Trong tam giác OO1O’, theo định lý hàm số sin:





2 1 1

120 sin

R R sin

' O O

  sin   sin 120 cos   cos 120 sin  P

P

2 2 1



2 1

2

P P 2

3 P tg





 Nhận xét: Vậy ta thấy phương pháp hình học có thể áp dụng được cả

hệ vật được, thậm chí có nhiều hơn ba lực, tuy nhiên bài toán lúc này không được ngắn gọn và rõ ràng bằng phương pháp giải tích.

Do đó, đối với bài toán có nhiều ngoại lực tác dụng ta nên sử dụng phương pháp giải tích Bây giờ tôi xin đưa thêm một số bài tập về cân bằng vật rắn có thể áp dụng được phương pháp hình học.

Bài 4: Một quả cầu nặng đồng chất được treo bằng dây vào một điểm cố

định trên đường thẳng đứng Xác định hệ số ma sát giữa tường với quả cầu sao cho khi cân bằng, điểm nối dây với quả cầu nằm trên đường thẳng đứng

đi qua tâm quả cầu

Giải

Phản lực Q phải qua điểm A, do đó dễ thấy  = 450 Mà để quả

cầu cân bằng Q phải nằm trong nón ma sát tg = k

    hay tg   tg   1  k  1

Bài toán 5: Vật B có trọng lượng P nằm trong

một mặt không nhẵn có dạng một phần tư cung

tròn, vật được giữ cân bằng nhờ lực kéo T đặt vào

dây BAD Cho hệ số ma sát trượt = tg Tìm

lực kéo T

Giải

Vẽ nón ma sát xBy, để B cân bằng hợp lực

T

P

Q   phải nằm trong nón ma sát Hai giá trị

giới hạn của Q là Q 1 và Q 2 , tương ứng với hai vị trí giới hạn của T là

1

T , T 2 Do đó điều kiện cân bằng sẽ trở thành: T 2  T  T 1

* Tính T2:

4

2 2

2

1 O Bˆ











































 P

Bˆ

Q2 ; P Qˆ 2B  Q2BˆA

 sin P Qˆ 2B  sin Q2BˆA  sin A Bˆx

 sin P Qˆ 2B sin   Theo định lý hàm số sin: sinPPQˆ B sinQT BˆP

2

2 2





4

2 sin

sin

T2































Hoàn toàn tương tự khi tính toán T1:

4

2 sin

sin

T1































Vậy lực kéo T được xác định trong khoảng:

4

2 sin

sin T

P 4

2 sin

sin





























































Bài toán 6: Thanh AD có trọng lượng không đáng kể, nằm ngang trên

hai ổ đỡ B, C không nhẵn, hệ số ma sát trượt k Tại đầu D đặt lực kéo Q nghiêng góc  với thanh Cho BC = 2CD = 2a Xác định góc  để có tự

hãm (thanh vẫn cân bằng dù trị số của Q rất lớn).

Giải

Vẽ hai nón ma sát tại các tiếp điểm B,

C, phần giao chính là zIy Có nghĩa là giao

điểm của 2 phản lực tại B và C sẽ trong

phần giao đó Vì vậy để thanh cân bằng,

lực Q phải có giá đi qua phần giao tức là    0 (Với 0  C DˆI)













tg 2

1 a 2 tg a HD HI

tg 0  0  arctg 1k

Vậy điều kiện cân bằng của thanh sẽ là:

k 2

1 arctg



Vì điều kiện cân bằng không phụ thuộc vào trị số của Q nên hiện tượng tự hãm xảy ra

Bài toán 7: Thanh đồng chất AB = 2l, trọng lượng P,

hai đầu tựa trên nền và tường không nhẵn hệ số ma sát

k Xác định góc nghiêng  để thang cân bằng?

Giải

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Vẽ hai nón ma sát xAy, zBt Phần giao của 2 nón

ma sát IJMK sẽ chứa giao điểm của 2 phản lực ở

tường và sàn Vậy điều kiện để AB cân bằng là P

phải qua tứ giác IJMK nghĩa là: x  G x k

Ta có:  sin   sin 

2

AB

Tam giác BKA vuông ở K:





xK

 xK  2  sin  cos  Thay vào điều kiện:  sin   2  sin  cos 

 tg   2sin  cos   cos  sin  2 tg  cos 2   2 cos  sin 

 tg 1  2 cos 2   2 cos  sin 







2 cos

2 sin

Bài toán 8: Thanh sắt OA có khối lượng m1 = 2kg gắn

đầu O vào bức tường thẳng đứng nhờ một bản lề, đầu A

của thanh treo vật B có khối lượng m2 = 2kg và được giữ

cân bằng nhờ dây AC nằm ngang, khi đó góc nghiêng của

thanh so với bức tường là  = 450 Hãy xác định các lực tác dụng lên thành Lấy g = 10m/s2

Giải

Hợp lực P  P 1  P 2 có điểm đặt tại E, vì P1 = P2 nên dễ thấy E là trung điểm của GA Để thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm D của giá hai lực P và T, khi đó Q hợp với phương thẳng đứng một góc  Dựa vào hình vẽ, ta có:

tg CD OEsin



34 sin 3sin 3

4cos 4

OA CO



Vậy:

+ Lực căng dây: T  Ptg  P1  P2tg   30 N

+ Phản lực bản lề: Q T 2 P 2 50 N





+ Q hợp với phương thẳng đứng một góc 37 0

4

3 arctg 



Bài toán 9: Thanh đồng chất AB, đầu A tựa trên sàn ngang có ma sát,

đầu B được giữ nhờ lực F vuông góc với AB Thanh AB

nằm yên cân bằng Hệ số ma sát trượt giữa AB với sàn là 

a Lập biểu thức xác định  theo .

b Với giá trị nào của  hệ số ma sát  là nhỏ nhất Giá

trị nhỏ nhất này là bao nhiêu?

Giải

a Thanh cân bằng, phản lực Q phải qua giao điểm C Lực ma sát phải

là lực ma sát nghỉ nên Q phải nằm trong nón ma sát tg = , tức là   

( là góc hợp bởi Q với phương thẳng đứng)

Mà ta có:





























g cot tg 2

1 1

sin

cos sin sin

2

AB sin

2 AB

cos 2

AB

    

g cot tg 2

1

b Theo bất đẳng thức côsi ta có: 2 tg   cot g   2 2

Dấu bằng xảy ra thì:





 tg

1 tg

2  tg   0 , 5

   35 , 26 0,

và  có giá trị nhỏ nhất: 42

2 2

1

IV - KẾT LUẬN

Qua một số bài toán trên ta cũng có thể nhận thấy ưu điểm của phương pháp hình học khi sử dụng để giải một số bài toán cân bằng vật rắn Đó là bài giải ngắn gọn rõ ràng, hạn chế được việc giải hệ phương trình (vốn khá nhiều phương trình và rất dễ nhầm lẫn) Tuy nhiên phương pháp này chỉ thực sự hiệu quả nếu vật hay hệ vật cân bằng có 3 lực tác dụng Ngoài ra, học sinh cần phải nắm kiến thức hình học vững vàng và sử dụng thành thạo các hàm số lượng giác trong tam giác

Trên đây là một vấn đề nhỏ mà tôi đã tìm hiểu, rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô giáo và các em học sinh

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Đức Cường, Các dạng bài tập từ đề thi quốc gia NXB Đại

học Sư phạm, 2011

2 Tô Giang, Bồi dưỡng học sinh giỏi Vật lý trung học phổ thông (cơ

học 1) NXB Giáo Dục, 2009.

3 Trần Trọng Hưng, 400 bài toán Vật lý 10 NXB Đại học Quốc gia

Hà Nội, 2006.

4 Vũ Thanh Khiết, Bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lý Trung học phổ

thông – Bài tập Cơ học – Nhiệt học, NXB Giáo Dục, 2002.

5 Vũ Thanh Khiết, Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ

cấp (tập 1) NXB Giáo Dục, 2011.

MỤC LỤC

I Mở đầu………1

II Cơ sở lý thuyết……… 1

1 Cân bằng của hệ lực đồng quy……….1

2 Điều kiện cân bằng dưới dạng hình học……… 2

3 Định lý về ba lực……… 2

4 Các bước giải bài toán cân bằng của vật rắn bằng phương pháp hình học……….2

III Phân tích một số bài toán điển hình……… 3

IV Kết luận……… 11

Tài liệu tham khảo ……… 12

Mục lục……….13