Phương pháp phân rã DouglasRachford giải bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ DIỆU LINH PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DOUGLAS-RACHFORD GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC DƯƠNG THỊ DIỆU LINH PHƯƠNG PHÁP PHÂN RÃ DOUGLAS-RACHFORD GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016 i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Mở đầu 1 Một số vấn đề 1.1 Không gian Hilbert thực 1.2 Bài toán cân 10 1.3 Phương pháp Douglas-Rachford giải ∈ Ax + Bx 16 Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải toán cân 23 2.1 Bao hàm thức đơn điệu toán cân 24 2.2 Thuật toán hội tụ 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên giúp đỡ hướng dẫn tận tình GS.TS Nguyễn Bường Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả suốt thời gian làm luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng giáo sư, phó giáo sư công tác Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy cô trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, tháng 01 năm 2016 Học viên Dương Thị Diệu Linh iii Danh sách ký hiệu R tập số thực R++ tập số thực dương N tập số tự nhiên H không gian Hilbert thực H∗ không gian liên hợp H C tập lồi đóng H EP(H) toán cân với song hàm H EP(F, G) toán cân với hai song hàm F G SH tập nghiệm toán cân EP(H) SF +G tập nghiệm toán cân EP(F, G) x, y tích vô hướng hai vectơ x y · chuẩn sinh tích vô hướng dom A miền xác định toán tử A gra A đồ thị toán tử A Fix T tập điểm bất động toán tử T xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn dãy {xn } hội tụ yếu tới x x proxf toán tử gần kề hàm f sri C phần tương đối tập C Γ0 (H) họ tất hàm lồi f nửa liên tục từ H đến (−∞, +∞] Mở đầu Sự cân thường hiểu trạng thái đồng lực lượng đối lập hay đối tượng có ảnh hưởng qua lại lẫn Thuật ngữ sử dụng rộng rãi khoa học kỹ thuật vật lý, hóa học, kỹ thuật, Trong hóa học, cân hóa học xảy tốc độ phản ứng thuận với tốc độ phản ứng nghịch Trong sinh học, cân sinh thái trạng thái ổn định tự nhiên hệ sinh thái, hướng tới thích nghi cao với điều kiện sống, trạng thái xảy tương quan lực lượng mồi thú săn mồi hệ sinh thái có tỷ lệ tương đồng với Có nhiều toán liên quan đến cân nhìn nhận thể thống qua mô hình toán học khác toán điểm yên ngựa, toán điểm bất động Kakutani Mô hình chung cho toán cân Tìm x ∈ C cho (∀y ∈ C) H(x, y) ≥ 0, C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H, song hàm H : C × C → R thỏa mãn H(x, x) = với x ∈ H gọi song hàm cân Bài toán lần đầu đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda tổng quát hóa toán cân Nash trò chơi không hợp tác vào năm 1972 xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan, người có nhiều đóng góp quan trọng cho toán nên toán gọi bất đẳng thức Ky Fan, nhiên có tên gọi toán cân (equilibrium problem) theo cách gọi tác giả L D Muu W Oettli năm 1992, E Blum W Oettli năm 1994 Bài toán cân mô hình toán học thống cho nhiều lớp toán quan trọng riêng lẻ Vì vậy, kết thu toán cân áp dụng trực tiếp cho toán đặc biệt nó, ngược lại, nhiều kết toán riêng lẻ nói mở rộng cho toán cân với điều chỉnh phù hợp nhờ mang lại nhiều ứng dụng Các hướng nghiên cứu thường đặt toán cân là: nghiên cứu vấn đề định tính tồn nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổn định nghiên cứu định lượng bao gồm xây dựng thuật toán để giải, tốc độ hội tụ thuật toán áp dụng toán vào toán thực tế Trong vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu xây dựng phương pháp giải chiếm tỉ trọng lớn hướng nghiên cứu toán cân Tính đến nay, có nhiều kết đạt cho số lớp toán cân lồi đơn điệu, phải kể đến phương pháp: phương pháp hàm đánh giá, phương pháp sử dụng nguyên lý toán phụ, phương pháp điểm gần kề, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, phương pháp điểm phương pháp chiếu Trong luận văn tác giả trình bày phương pháp phân rã giải toán cân với tổng hai song hàm thỏa mãn điều kiện chuẩn Chứng minh toán tương đương với toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại tương ứng với điều kiện thích hợp Thuật toán hệ phương pháp phân rã Douglas-Rachford ứng dụng cho bao hàm thức đơn điệu bổ trợ Mục đích luận văn tìm hiểu toán cân phương pháp phân rã Douglas-Rachford để giải toán cân không gian Hilbert thực sở báo [3] công bố năm 2012 Nội dung luận văn trình bày hai chương: Chương 1: Một số vấn đề Tác giả nhắc lại số kiến thức giải tích hàm giải tích lồi sử dụng chương sau Tiếp theo giới thiệu toán cân bằng, số ví dụ tồn nghiệm toán Cuối trình bày thuật toán Douglas-Rachford giải toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại thuật toán phân rã song song giải toán tìm không điểm tổng hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Chương 2: Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải toán cân Trong chương này, tác giả trình bày mối liên quan mật thiết bao hàm thức đơn điệu toán cân Đồng thời trình bày thuật toán hội tụ phương pháp phân rã Douglas-Rachford Mặc dù tác giả cố gắng thực luận văn, với trình độ hạn chế nhiều lý khác, luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý thầy cô, bạn anh chị đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Chương Một số vấn đề Trong chương này, tác giả trình bày ba mục Cụ thể nhắc lại số khái niệm kết cần thiết không gian Hilbert thực Tiếp theo tác giả giới thiệu toán cân Cuối tác giả mô tả thuật toán Douglas-Rachford giải toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại tương ứng với điều kiện thích hợp Các kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trường số thực R gọi không gian tiền Hilbert xác định hàm hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn tính chất sau: i) x, x ≥ 0, ∀x ∈ H x, x = ⇔ x = 0; ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ H; iii) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ H; vi) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất gọi tích vô hướng H x, y tích vô hướng hai phần tử x y Nhận xét 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H không gian tuyến tính định x, x chuẩn với chuẩn x ∈ H xác định x = Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi không gian Hilbert Ví dụ 1.1 Trong Cn , với x = (ξ1 , , ξn ), y = (η1 , , ηn ), ta đặt n x, y = ξn ηn , i=1 Khi Cn không gian Hilbert Ví dụ 1.2 Trong không gian l2 , ta đưa vào tích vô hướng: ∞ x, y = ξn ηn n=1 (x = (ξ1 , ξ2 , ) ∈ l2 , y = (η1 , η2 , ) ∈ l2 ) Khi ∞ |ξn |2 x = n=1 Không gian l2 đầy đủ với chuẩn Vậy l2 không gian Hilbert Định nghĩa 1.3 Tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục H gọi không gian liên hợp (không gian đối ngẫu H) ký hiệu H∗ Định nghĩa 1.4 Cho không gian Hilbert thực H, hàm f : H → R Khi i) Một hàm f xác định tập H gọi nửa liên tục điểm x0 ∈ H với ε > 0, tồn δ > cho f (x) ≥ f (x0 ) − ε, với x thuộc H thỏa mãn x − x0 < δ ii) Hàm f gọi nửa liên tục trên H x0 ∈ H hàm −f 23 Chương Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải toán cân Chương tác giả trình bày hai mục Mục trình bày mối quan hệ bao hàm thức đơn điệu với toán cân không gian Hilbert thực Tiếp theo tác giả trình bày phiên phương pháp phân rã Douglas-Rachford xét phương pháp hội tụ yếu đến nghiệm toán cân Các kiến thức chương tham khảo chủ yếu tài liệu [3] Đôi song hàm H thỏa mãn Điều kiện 1.1 biểu diễn tổng hai song hàm đơn giản F G thỏa mãn Điều kiện 1.1 Đây vấn đề mà tác giả muốn giải toán cân EP(H) Bài toán phát biểu sau Bài toán 2.1 Cho C tập lồi đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H Giả thiết F : C × C → R G : C × C → R hai song hàm thỏa mãn Điều kiện 1.1 Bài toán ký hiệu EP(F, G) phát biểu sau Tìm x ∈ C cho (∀y ∈ C) F (x, y) + G(x, y) ≥ 0, (2.1) với giả thiết nghiệm tồn tức SF +G = ∅ Trường hợp đặc biệt G ≡ 0, toán EP(F, G) trở thành toán 24 EP(H) với H = F , giải phương pháp trình bày [3] Các phương pháp xuất phát từ thuật toán điểm gần kề, áp dụng cho trường hợp F : (x, y) → Bx, y − x B toán tử đơn điệu cực đại Mặt khác, G : (x, y) → Bx, y − x , B : H → H toán tử đồng ta có phương pháp phân rã hội tụ yếu để giải toán cân EP(F, G) Trong trường hợp tổng quát, ta có phương pháp phân rã song song tuần tự, yếu điểm phương pháp tham số tiến tới dẫn đến không ổn định tính toán, điều hạn chế sử dụng toán ứng dụng Mục tiêu luận văn khắc phục nhược điểm việc giải toán EP(F, G) Thuật toán trình bày tiến triển phương pháp phân rã Douglas-Rachford áp dụng cho bao hàm đơn điệu bổ trợ với toán tử đơn điệu cực đại Cách chọn toán tử đơn điệu cho phép ta tìm mối quan hệ mật thiết toán cân đơn điệu bao hàm thức đơn điệu không gian Hilbert 2.1 Bao hàm thức đơn điệu toán cân Cơ sở thuật toán trình bày luận văn để giải toán EP(F, G) phát biểu tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại tương ứng Trong phần này, ta xác định bao hàm thức đơn điệu bổ trợ, thêm vào nghiên cứu lớp bao hàm thức đơn điệu dùng phát biểu thay cho toán cân Trước hết xét bao hàm thức đơn điệu liên đới đến toán cân Bây ta nhắc lại toán tử đơn điệu cực đại cho toán cân EP(H) số tính chất liên quan Kết phát biểu không gian Banach 25 Mệnh đề 2.1 Cho F : C × C → R cho thỏa mãn Điều kiện 1.1 xét     {u ∈ H | (∀y ∈ C) F (x, y)    (2.2) A F : H → 2H : x → + x − y, u ≥ 0}, x ∈ C      ∅, x ∈ / C Khi ta có kết luận sau: (i) AF đơn điệu cực đại (ii) SF = zer AF (iii) Với γ ∈ (0, +∞), JγAF = JγF Định lí sau cho phép ta phát biểu toán EP(F, G) bao hàm đơn điệu thức đơn điệu bổ trợ với hai toán tử đơn điệu cực đại đạt từ mệnh đề 2.1 Định lí 2.1 Cho C, F G toán EP(F, G) Khi ta có (i) zer(AF + AG ) ⊂ SF +G (ii) Nếu span(C − C) đóng zer(AF + AG ) = SF +G Chứng minh (i) Cho x ∈ zer(AF + AG ) Do đó, x ∈ C tồn u ∈ AF x ∩ −AG x, suy (2.2),   (∀y ∈ C) F (x, y) + x − y, u ≥  (∀y ∈ C) G(x, y) + x − y, −u ≥ 26 Vì vậy, cộng hai bất đẳng thức ta nhận (∀y ∈ C) F (x, y) + G(x, y) ≥ x ∈ SF +G (ii) Cho x ∈ SF +G xác định     F (x, y),     f : H → (−∞, +∞] : y →     +∞,      G(x, y),    g : H → (−∞, +∞] : y →      +∞, y ∈ C; y ∈ / C; (2.3) y ∈ C; y ∈ / C Điều kiện 1.1 khẳng định f g nằm Γ0 (H), dom f = dom g = C = ∅, x ∈ SF +G , (2.1) dẫn đến f + g ≥ Do đó, từ điều kiện 1.1(i) (2.3) suy (f (y) + g(y)) = f (x) + g(x) = y∈H Như vậy, theo quy tắc Fermat [4, Định lí 16.2] dẫn đến ∈ ∂(f + g)(x) Vì span(C − C) đóng, ta có ∈ sri(C − C) = sri(dom f − dom g) Do đó, suy từ [4, Hệ 16.38] mà ∈ ∂f (x) + ∂g(x) tồn u0 ∈ H cho u0 ∈ ∂f (x) −u0 ∈ ∂g(x) Điều tương đương với   (∀y ∈ H) f (x) + y − x, u0 ≤ f (y) (2.4)  (∀y ∈ H) g(x) + y − x, −u0 ≤ g(y) 27 Từ Điều kiện 1.1(i) (2.3) dẫn đến f (x) = g(x) = 0, ta có (2.4) tương đương với   (∀y ∈ C) F (x, y) + x − y, u0 ≥  (∀y ∈ C) G(x, y) + x − y, −u0 ≥ Do đó, ta kết luận từ (2.2) u0 ∈ AF x ∩ −AG x, dẫn đến x ∈ zer(AF + AG ) Tiếp theo xét toán cân liên đới đến bao hàm thức đơn điệu Ta phát biểu số bao hàm thức đơn điệu toán cân bằng cách xác định song hàm liên đới đến lớp toán tử đơn điệu cực đại Ở mệnh đề sau tác giả trình bày song hàm tính chất Mệnh đề 2.2 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại C ⊂ int dom A Xét song hàm FA : C × C → R : (x, y) → max y − x, u u∈Ax (2.5) Khi có kết luận sau: (i) FA thỏa mãn Điều kiện 1.1 (ii) JFA = JA+NC Chú ý 2.1 Lưu ý điều kiện C ⊂ int dom A cho phép ta tìm max (2.5) thay cho sup Đây hệ tính compact yếu tập (Ax)x∈C (xem [3, Bổ đề 2.15]) Mệnh đề 2.3 Cho A : H → 2H toán tử đơn điệu cực đại giả thiết C ⊂ int dom A Khi zer(A + NC ) = SFA 28 Chứng minh Thật vậy, từ sau [4, Mệnh đề 23.38], Mệnh đề 2.2, [3, Bổ đề 2.15[(i)] zer(A + NC ) = Fix(JA+NC ) = Fix(JFA ) = SFA , ta có điều phải chứng minh Chú ý 2.2 Chú ý rằng, trường hợp đặc biệt dom A = int dom A = C = H, Mệnh đề 2.3 khẳng định zer A = SFA , kết trình bày (xem [3, Mục 2.13]) Các mệnh đề sau cho ta mối quan hệ toán tử Mệnh đề 2.1 2.2 Mệnh đề 2.4 Cho B : H → 2H đơn điệu cực đại C ⊂ int dom B Khi đó, AFB = B + NC Chứng minh Cho (x, u) ∈ H2 Từ (2.5) [3, Bổ đề 1] (xem thêm [3, Bổ đề 2.14]) suy u ∈ AFB x ⇔ x ∈ C (∀y ∈ C) FB (x, y) + x − y, u ≥ ⇔ x ∈ C (∀y ∈ C) max y − x, v + x − y, u ≥ v∈Bx ⇔ x ∈ C (∀y ∈ C) max y − x, v − u ≥ v∈Bx ⇔ x ∈ C (∃v ∈ Bx) (∀y ∈ C) y − x, v − u ≥ ⇔ u ∈ Bx + NC x, suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5 Cho G hàm Điều kiện 1.1 thỏa mãn, giả thiết C = dom AG = H Khi ta có, FAG ≤ G 29 Chứng minh Cho (x, y) ∈ C × C cho u ∈ AG x Từ (2.2) có G(x, y) + x − y, u ≥ 0, suy (∀u ∈ AG x) y − x, u ≤ G(x, y) Từ C = int dom AG = H, kết suy cách lấy max vế trái bất đẳng thức Chú ý 2.3 i) Lưu ý Mệnh đề 2.5 nhìn chung dấu đạt Thật vậy, cho H = R, C = H G : (x, y) → y − x2 Từ [3, Bổ đề 2.15(v)] suy G thỏa mãn Điều kiện 1.1 Ta có u ∈ AG x ⇔ (∀y ∈ H) y − x2 + x − y, u ≥ ⇔ u = 2x với (x, y) ∈ H × H, FAG (x, y) = (y − x)2x = 2xy − 2x2 Trong trường hợp đặc biệt, với y ∈ R\{0}, FAG (0, y) = < y = G(0, y) ii) Trong trường hợp chung C = dom A ⊂ H, điều kiện cần đủ để có dấu Mệnh đề 2.5 chứng minh [3, Định lí 4.5] 2.2 Thuật toán hội tụ Định lí 2.1(ii) nêu đặc trưng nghiệm toán EP(F, G) không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại Thuật toán phát triển từ phương pháp phân rã Douglas-Rachford cho bao hàm thức đơn điệu bổ trợ Thuật toán đề xuất với không gian hữu hạn chiều 30 toán tử tuyến tính tổng quát hóa cho trường hợp toán tử đơn điệu cực đại không gian Hilbert Sự hội tụ phương pháp cần thiết tính đơn điệu cực đại tổng hai toán tử Hơn phép lặp trường hợp không hội tụ đến nghiệm mà ta cần tính Vấn đề loại bỏ Định lí 1.7, hội tụ dãy xây dựng phương pháp đề xuất đến không điểm tổng hai toán tử đa trị đảm bảo với giả thiết đơn điệu cực đại toán tử Tác giả giới thiệu phiên phương pháp trình bày Định lí 1.7 thú vị trường hợp Định lí 2.2 Cho A B hai toán tử đơn điệu cực đại từ H vào 2H cho zer(A + B) = ∅ Cho γ ∈ (0, +∞), cho (λn )n∈N dãy thuộc (0, 2), cho (an )n∈N (bn )n∈N dãy thuộc H cho bn λn (2 − λn ) = +∞, n∈N 0, λn ( an + bn ) < +∞ (2.6) n∈N Cho x0 ∈ H đặt     yn = JγB xn + bn    (∀x ∈ N) zn = JγA (2yn − xn ) + an      xn+1 = xn + λn (zn − yn ) (2.7) Khi tồn x ∈ Fix(RγA RγB ) cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) JγB x ∈ zer (A + B) (ii) (RγA (RγB xn ) − xn )n∈N hội tụ mạnh đến (iii) (xn )n∈N hội tụ yếu đến x 31 (iv) (yn )n∈N hội tụ yếu đến JγB x Chứng minh Ký hiệu T = RγA RγB Từ RγA RγB toán tử không giãn, T toán tử không giãn Hơn từ [4, Mệnh đề 25.1(i)] dẫn đến JγB (Fix T ) = zer(A + B), ta suy Fix T = ∅ Lưu ý (2.7) viết lại dạng (∀x ∈ N) xn+1 = xn + µn (T xn + cn − xn ), đó, với n ∈ N, µn = λn cn = 2(JγA (2(JγB xn + bn ) − xn ) + an (2.8) − JγA (2 JγB xn − xn ) − bn ) Vì vậy, suy từ tính không giãn JγA , với n ∈ N, cn = JγA (2(JγB xn + bn ) − xn ) + an − JγA (2 JγB xn − xn ) − bn ≤ JγA (2(JγB xn + bn ) − xn ) − JγA (2 JγB xn − xn ) + an + bn ≤ 2(JγB xn + bn ) − xn − (2 JγB xn − xn ) + an + bn = 2( an + bn ) từ (2.6) (2.8) ta nhận µn cn ≤ n∈N λn ( an + bn ) n∈N ≤3 λn ( an + bn ) < +∞ n∈N Hơn nữa, từ dãy (λn )n∈N nằm (0, 2), từ (2.8) suy (µn )n∈N dãy thuộc (0, 1) từ (2.6) ta nhận µn (1 − µn ) = n∈N λn (2 − λn ) = +∞ n∈N 32 (i) Từ sau [4, Mệnh đề 25.1(i)] (ii) (iii): từ sau Bổ đề 1.1 (iii) Từ không giãn JγB ta có yn − y0 ≤ JγB xn − JγB x0 + bn − b0 (2.9) ≤ xn − x0 + bn − b0 Từ sau (iii) bn suy (xn )n∈N (bn )n∈N bị chặn Do đó, (2.9) suy (yn )n∈N bị chặn Cho y ∈ H điểm đóng yếu (yn )n∈N , ta nói ykn y, đặt    yn = JγB xn       zn = JγA (2 yn − xn ) (∀n ∈ N)   un = 2yn − xn − zn       vn = xn − yn (2.10) Từ (2.7) suy     (zn , un ) ∈ gra γ A    (∀n ∈ N) (yn , ) ∈ gra γ B      un + = yn − zn (2.11) Với n ∈ N, ta nhận (2.10) zkn − ykn = JγA (2 JγB xkn − xkn ) − JγB xkn = JγA (2 JγB xkn − xkn ) − (2 JγB xkn − xkn ) − xkn RγA (RγB xkn ) − xkn = Do đó, (ii) dẫn đến zkn − ykn → 0, từ (2.11) ta nhận ukn + vkn → Hơn nữa, suy từ bkn 0, ykn y, (2.7) có 33 y, zkn ykn y Cho nên từ (iii) (2.10), ta nhận ukn y − x vkn x − y Tóm lại, từ [4, Hệ 25.5] ta suy y ∈ zer(γA + γB) = zer(A + B), (y, y−x) ∈ gra γ A (y, x−y) ∈ gra γ B Do đó, y = JγB x y ∈ dom A Vậy JγB x điểm đóng yếu dãy (yn )n∈N yn JγB x Bây tác giả giới thiệu thuật toán để giải toán EP(F, G), ứng dụng Định lí 2.2 cho bao hàm thức đơn điệu bổ trợ nhận Định lí 2.1 Định lí 2.3 Cho C, F G toán EP(F, G) giả thiết span(C − C) đóng Cho γ ∈ (0, +∞), cho (λn )n∈N dãy thuộc (0, 2), cho (an )n∈N (bn )n∈N dãy thuộc H cho bn λn (2 − λn ) = +∞, n∈N 0, λn ( an + bn ) < +∞ n∈N Cho x0 ∈ H xây dựng     yn = JγG xn + bn    (∀n ∈ N) zn = JγF (2 yn − xn ) + an      xn+1 = xn + λn (zn − yn ) (2.12) Khi tồn x ∈ Fix(RγF RγG ) cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) JγG x ∈ SF +G (ii) (RγF (RγG xn ) − xn )n∈N hội tụ mạnh đến (iii) (xn )n∈N hội tụ yếu đến x (iv) (yn )n∈N hội tụ yếu đến JγG x 34 Chứng minh Lưu ý rằng, từ Định lí 2.1(ii), ta có zer(AF + AG ) = SF +G = ∅, (2.13) AF AG định nghĩa (2.2) tính đơn điệu cực đại Mệnh đề 2.1(i) Thêm vào nữa, Mệnh đề 2.1(iii) có (2.12) viết lại (2.7) với A = AF B = AG Do đó, kết khẳng định từ Định lí 2.2, Mệnh đề 2.1, Định lí 2.1 Chú ý 2.4 Lưu ý tính đóng span(C − C) Định lí 2.1(ii) suy (2.13), điều cho phép ta ứng dụng Định lí 2.2 để nhận kết Mặc dù vậy, ta biết không gian vô hạn chiều Trong trường hợp này, suy từ Định lí 2.1(i) Định lí 2.3 zer(AF + AG ) = ∅ Điều kiện để kết luận tồn nghiệm cho bao hàm thức đơn điệu xét [3, Mệnh đề 3.2] [4] Cuối cùng, tác giả trình bày ứng dụng Định lí 2.3 để giải toán cân hỗn hợp Cho f ∈ Γ0 (H) Với x ∈ H, toán tử proxf x điểm cực tiểu phiếm hàm đơn điệu mạnh y → f (y) + y − x /2 Toán tử proxf : H → H gọi toán tử gần kề Ví dụ 2.1 Trong toán EP(F, G), giả thiết G : (x, y) → f (y) − f (x), f ∈ Γ0 (H) cho C ⊂ dom f Khi toán EP(F, G) trở thành Tìm x ∈ C cho (∀y ∈ C) F (x, y) + f (y) ≥ f (x), (2.14) toán cân hỗn hợp Bài toán cân hỗn hợp xuất nhiều toán ứng dụng giải cách sử dụng phương pháp trình bày [3] Mặc dù vậy, thuật toán 35 xét bước ẩn hàm F f khó việc tính toán Mặt khác, suy từ [3, Bổ đề 2.15] có (2.12) trở thành     yn = proxιC+γf xn + bn    (∀n ∈ N) zn = JγF (2yn − xn ) + an      xn+1 = xn + λn (zn − yn ), tính toán riêng biệt F toán tử gần kề f Nếu span(C −C) đóng, Định lí 2.3 khẳng định tính hội tụ yếu dãy lặp cho nghiệm toán (2.14) 36 Kết luận Luận văn phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải toán cân trình bày đến vấn đề sau: Luận văn nhắc lại số kiến thức không gian Hilbert thực, giới thiệu toán cân Mô tả thuật toán Douglas-Rachford để giải toán tìm không điểm tổng hai toán tử đơn điệu cực đại thuật toán phân rã song song tìm không điểm tổng hữu hạn toán tử đơn điệu cực đại Đồng thời trình bày mối quan hệ mật thiết bao hàm thức đơn điệu toán cân không gian Hilbert Cuối luận văn trình bày phiên phương pháp phân rã Douglas-Rachford xét phương pháp hội tụ yếu đến nghiệm toán EP(F, G) Đóng góp tác giả tìm hiểu, nghiên cứu, dịch tài liệu [3] số tài liệu [4], đồng thời tổng hợp kiến thức để hoàn thành nội dung luận văn 37 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Phan Huy Khải Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học Kỹ thuật [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [3] Brice˜no-Arias L.M (2012), "A Douglas-Rachford splitting method for solving equilibrium problems", Nonlinear Analysis, 75, pp 6053-6059 [4] Bauschke H.H and Combettes P.L (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Space, Springer [...]... (pn ) i∈I x 23 Chương 2 Phương pháp phân rã Douglas-Rachford giải bài toán cân bằng Chương này tác giả trình bày hai mục Mục đầu tiên trình bày mối quan hệ giữa bao hàm thức đơn điệu với bài toán cân bằng trong không gian Hilbert thực Tiếp theo tác giả trình bày một phiên bản của phương pháp phân rã Douglas-Rachford và xét phương pháp hội tụ yếu đến nghiệm của bài toán cân bằng Các kiến thức trong... 0, bài toán EP(F, G) trên trở thành bài toán 24 EP(H) với H = F , có thể được giải bằng phương pháp trình bày trong [3] Các phương pháp này xuất phát từ thuật toán điểm gần kề, có thể áp dụng cho trường hợp này khi F : (x, y) → Bx, y − x và B là toán tử đơn điệu cực đại Mặt khác, khi G : (x, y) → Bx, y − x , trong đó B : H → H là một toán tử đồng bức ta có phương pháp phân rã hội tụ yếu để giải bài toán. .. rỗng Dưới vi phân của hàm f ∈ Γ0 (H) là toán tử đơn điệu cực đại ∂f : H → 2H : x → {u ∈ H | (∀y ∈ H) y − x, u + f (x) ≤ f (y)} Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng Các nhà nghiên cứu đã tìm ra nhiều bài toán thực tế như tối ưu, kinh tế và kỹ thuật có thể mô tả được dưới dạng bài toán cân bằng Điều đó giải thích vì sao bài toán cân bằng ngày... những bài toán quen thuộc có thể mô tả được dưới dạng bài toán cân bằng Bài toán 1.1 (Bài toán tối ưu) Cho C là tập lồi đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và g : C → R là một hàm số xác định trên C Khi đó, bài toán tối ưu được phát biểu như sau Tìm x∗ ∈ C sao cho g(x∗ ) ≤ g(y), y ∈ C 15 Nếu ta đặt f (x, y) = g(y) − g(x) với mọi x, y ∈ C thì bài toán tối ưu có thể quy về bài toán cân bằng. .. toán cân bằng EP(F, G) Trong trường hợp tổng quát, ta có phương pháp phân rã song song và tuần tự, yếu điểm của các phương pháp này là các tham số tiến tới 0 dẫn đến sự không ổn định khi tính toán, điều đó hạn chế sử dụng trong các bài toán ứng dụng Mục tiêu của bài luận văn này là khắc phục các nhược điểm trên trong việc giải bài toán EP(F, G) Thuật toán được trình bày là một tiến triển của phương pháp. .. (x ) Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân 1.3 Phương pháp Douglas-Rachford giải 0 ∈ Ax + Bx Bây giờ ta tìm hiểu bài toán tìm không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại A và B (xem [4, Định lí 23.41]): Tìm x ∈ H sao cho 0 ∈ Ax + Bx Định lí sau đây trình bày phương pháp giải bài toán trên Định lí 1.7 (Thuật toán Douglas-Rachford) Cho A và B là toán tử đơn điệu cực đại từ H... toán bất đẳng δ∈F (x) thức biến phân trên có thể quy về bài toán cân bằng EP(H) 16 Thật vậy, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân ta có δ ∗ , y − x∗ ≥ 0, y ∈ C, δ ∗ ∈ F (x∗ ) Theo cách đặt ta có f (x∗ , y) = ∗max∗ δ ∗ , y − x∗ ≥ 0, ∀y ∈ C δ ∈F (x ) Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) ta có f (x∗ , y) ≥ 0,... triển của phương pháp phân rã Douglas-Rachford được áp dụng cho bao hàm đơn điệu bổ trợ với toán tử đơn điệu cực đại Cách chọn toán tử đơn điệu cho phép ta tìm được mối quan hệ mật thiết giữa bài toán cân bằng đơn điệu và bao hàm thức đơn điệu trong không gian Hilbert 2.1 Bao hàm thức đơn điệu và bài toán cân bằng Cơ sở của thuật toán được trình bày trong luận văn để giải bài toán EP(F, G) được phát... của bài toán (1.4) nên ta có g(x∗ ) ≤ g(y), ∀y ∈ C Vì f (x, y) = g(y) − g(x), ∀x, y ∈ C Nên f (x∗ , y) = g(y) − g(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C Vậy x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) Ngược lại, nếu x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán cân bằng EP(H) thì ta có f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C Theo cách đặt ta có f (x∗ , y) = g(y) − g(x∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ C ⇒ g(y) ≥ g(x∗ ), ∀y ∈ C Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (1.4) Bài. .. phát biểu bởi tìm một không điểm của tổng hai toán tử đơn điệu cực đại tương ứng Trong phần này, ta xác định bao hàm thức đơn điệu bổ trợ, và thêm vào đó nghiên cứu lớp bao hàm thức đơn điệu dùng phát biểu thay cho bài toán cân bằng Trước hết xét bao hàm thức đơn điệu liên đới đến bài toán cân bằng Bây giờ ta nhắc lại toán tử đơn điệu cực đại cho bài toán cân bằng EP(H) và một số tính chất liên quan Kết