PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦN PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ NGẦN PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH PHẠM KỲ ANH Hà Nội - 2010 Lời nói đầu Nhiều vấn đề khoa học, công nghệ, đưa đến toán không chỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với kiện ban đầu, thay đổi nhỏ kiện ban đầu dẫn đễn thay đổi lớn nghiệm, chí dẫn đến toán vô nghiệm Trong luận văn này, trình bày phương pháp lặp Landweber cải biên để giải toán đặt không chỉnh Luận văn đề cập đến hội tụ phương pháp tốc độ hội tụ phép lặp trường hợp liệu nhiễu có nhiễu Luận văn viết thành ba chương Chương trình bày khái niệm sử dụng luận văn, đạo hàm theo Fréchet, phổ toán tử tuyến tính, thang không gian Hilbert Chương trình bày kết biết phương pháp Landweber chia thành phần Phần chứng minh hội tụ phương pháp Landweber phương trình tuyến tính Các kết phần Định lý 2.1, 2.2 Phần phần trọng tâm chương Kết hội tụ cho phương trình phi tuyến Định lý 2.3 2.4 Kết tốc độ hội tụ thể Định lý 2.6 Trong phần cuối chương, trình bày ví dụ ước lượng tham số khuyếch tán phương trình vi phân Chương cuối luận văn trình bày cải tiến phương pháp lặp Landweber phép lặp Landweber thang không gian Hilbert, phép chỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz, phép lặp Landweber song song Các kết phần thể thông qua Mệnh đề 3.3, Định lý 3.1 phép lặp thang không gian Hilbert Các kết phép chỉnh lặp Định lý 3.3, 3.4, 3.5 Định lý 3.6 kết quan trọng phép lặp LandweberKaczmarz Để luận văn hoàn thành, xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất thầy cô khoa Toán-Cơ-Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp i Cao học Toán Khóa 2008-2010, đặc biệt nhóm Toán học tính toán, người giúp đỡ, chia sẻ nhiều vấn đề học tập sống Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm Kỳ Anh, người thầy tham gia giảng dạy tận tình bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Hà Nội, 12-2010 Vũ Thị Ngần Bảng ký hiệu ·, · Tích vô hướng không gian Hilbert X ·, · s Tích vô hướng Xs · s Chuẩn Xs ||| · |||r Chuẩn Xr A∗ Toán tử liên hợp toán tử A Bρ (x0 ) Hình cầu đóng tâm x0 , bán kính ρ C[a, b] Không gian hàm liên tục [a, b] D(A) Miền xác định toán tử A F Toán tử xác định X F (x) Đạo hàm theo Fréchet x H k [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x(j) ∈ L2 [0, 1], j = 1, , k} H01 [0, 1] {x ∈ L2 [0, 1] : x ∈ L2 [0, 1], x(0) = x(1) = 0} L2 [a, b] Không gian hàm bình phương khả tích [a, b] N (A) Nhân toán tử A R(A) Miền giá trị toán tử A T† Toán tử nghịch đảo suy rộng x† Nghiệm suy rộng X Không gian Hilbert Xs Thang Hilbert cảm sinh Ls Xr Thang Hilbert iii Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Ví dụ toán đặt không 1.2 Đạo hàm Fréchet 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Ví dụ 1.2.3 Công thức số gia giới nội 1.3 Phổ toán tử 1.4 Thang không gian Hilbert 1 3 4 Phương pháp lặp Landweber 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình phi tuyến 2.2.1 Một số điều kiện đặt lên toán tử 2.2.2 Sự hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.2.3 Tốc độ hội tụ phương pháp lặp Landweber 2.3 Ví dụ 13 13 17 18 20 24 35 Phương pháp lặp Landweber cải biên 3.1 Phép lặp thang không gian Hilbert 3.2 Phương pháp chỉnh lặp Landweber 3.3 Phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz 3.4 Phương pháp lặp song song 3.5 Ví dụ 39 39 47 55 61 62 chỉnh Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 iv Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số kiến thức giải tích hàm sử dụng luận văn Nội dung chương trích lục từ tài liệu [1, 2, 4, 6, 8] 1.1 1.1.1 Bài toán đặt không chỉnh Định nghĩa Xét toán A(x) = y (1.1) với toán tử A : X → Y X, Y không gian metric Bài toán (1.1) gọi đặt chỉnh giả thiết sau thỏa mãn: (i) Với y ∈ Y , tồn x ∈ X cho A(x) = y, (ii) Nghiệm x nhất, (iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào A y Bài toán (1.1) gọi đặt không chỉnh có điều kiện không thỏa mãn, tức là: (iv) Phương trình (1.1) vô nghiệm với y đó, (v) Nghiệm x không nhất, (vi) Nghiệm x = x(A, y) không phụ thuộc liên tục vào liệu Kiến thức chuẩn bị 1.1.2 Ví dụ toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.1 Phương trình tích phân Fredholm loại I b y(t) = K(t, s)x(s)ds := (Ax)(t) (1.2) a với x ∈ C[a, b], y ∈ L2 [a, b], nhân tích phân K(t, s) thỏa mãn ∂K ∂t ∈ C [a, b] × [a, b] Nếu x ∈ X, Ax ∈ C [a, b] Vậy y ∈ L2 [a, b] \ C [a, b] phương trình (1.2) vô nghiệm Vậy toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (iv) Gọi x1 ∈ X cố định, x2 = x1 + ω sin N t, y1 = Ax1 , y2 = Ax2 Dễ thấy x2 − x1 C = |ω| Ta xét b y2 − y1 L2 b = |ω| K(t, s) sin(N s) dt a n → ∞, x1 − x2 theo tiêu chuẩn (vi) C →0 a = |ω| > Vậy toán đặt không chỉnh Ví dụ 1.2 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace          miền G = {(x, y) : u =0 u(x, 0) = ϕ(x) ∂u ∂y (x, 0) = ψ(x) (1.3) |x| < ∞, y ≥ 0} Xét ϕ1 = ψ1 = Bài toán (1.3) có nghiệm u1 = Lấy ϕ2 = 0, ψ2 = ta có nghiệm sin N x sinh N y u2 = N2 Ta có ϕ1 − ϕ2 = 0, ψ1 − ψ2 = N1 → 0, sin N x N , u2 − u1 C = sinh N y → +∞ N2 Vậy toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (vi) Kiến thức chuẩn bị Ví dụ 1.3 Xét toán truyền nhiệt      ∂u ∂t = ∂2u ∂x2 (1.4) u(x, 0) = u0 (x)     u(0, t) = u(π, t) = ∞ Lời giải toán (1.4) u(x, t) = an exp(−n2 t) sin nx, với n=1 π an = π u0 (s) sin nsds Tuy nhiên, ta xét toán truyền nhiệt ngược: Cho u(x, T ) tìm u0 (x) = u(x, 0) Bài toán dẫn đến phương trình tích phân π ∞ u(x, T ) = an exp(−n2 T ) sin nx = π n=1 ∞ với K(x, s) = K(x, s)u0 (s)ds, exp(−n2 T ) sin nx sin ns Bài toán thu đặt không n=1 chỉnh theo Ví dụ 1.2 1.2 1.2.1 Đạo hàm Fréchet Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho X, Y không gian tuyến tính định chuẩn Ω tập mở X Ánh xạ F : Ω −→ Y gọi khả vi theo Fréchet x ∈ Ω tồn toán tử tuyến tính bị chặn T : X −→ Y cho F (x + h) − F (x) − T h Y lim = (1.5) h→0 h X Đạo hàm Fréchet toán tử F x ký hiệu F (x) = T Ta viết lại (1.5) dạng F (x + h) = F (x) + T h + o( h ) (1.6) Kiến thức chuẩn bị 1.2.2 Ví dụ Ví dụ 1.4 Giả sử T : X → Y toán tử tuyến tính liên tục hai không gian định chuẩn Toán tử F (x) = T x khả vi theo Fréchet x ∈ X F (x) = T Ví dụ 1.5 Giả sử F : X → R toán tử xác định công thức F (x) = Ax, x , A ∈ L(X, X) với X không gian Hilbert Khi F (x) khả vi theo Fréchet x ∈ X F (x) = (A + A∗ )x 1.2.3 Công thức số gia giới nội Định lý 1.1 Cho F khả vi theo Fréchet tập mở Ω ⊂ X Giả sử x0 , x ∈ Ω đoạn [x0 , x] = {x0 + t(x − x0 ) : ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω Khi (i) F (x) − F (x0 ) ≤ sup F (x0 + t(x − x0 )) x − x0 , t∈[0,1] (ii) Với x˜0 ∈ [x0 , x], F (x)−F (x0 )−F (˜ x0 )(x−x0 ) ≤ sup F (˜ x0 )−F (x0 +t(x−x0 )) x−x0 , t∈[0,1] (iii) F (x) − F (x0 ) − F (x0 )(x − x0 ) ≤ sup F (x0 + t(x − x0 )) − t∈[0,1] F (x0 ) 1.3 x − x0 Phổ toán tử Định nghĩa 1.2 Một họ {Eλ : λ ∈ R} phép chiếu trực giao không gian Hilbert X gọi họ phổ thỏa mãn điều kiện sau: (i) Eλ Eµ = Emin{λ,µ} , Phương pháp lặp Landweber cải biên x† − x0 ≤ 2β0 54 qdL−1 ≤ ρ2 , qdL−1 < p ≤ β0−1 , (3.59) qdL−1 )) ≤ βk+1 , βk (1 − βk (p − (3.58) (3.60) với q = w (ω (1 + a−1 ) + b−1 ) + w D + c−1 D2 , (3.61) p = + (1 − L w )(1 − β0 ), (3.62) với D xác định (3.50) Nếu phép chỉnh lặp Landweber dừng theo tiêu chuẩn tiên nghiệm (3.50), √ xδk∗ − x† = O( δ) Nếu δ = D = xk − x† = O( βk ) Chứng minh Giả sử xδk ∈ Bρ (x† ) ⊂ B2ρ (x0 ) với ≤ k < k∗ Từ điều kiện Lipschitz ta có F (x) − F (˜ x) − F (˜ x)(x − x˜) ≤ L x − x˜ , x, x˜ ∈ B2ρ (x0 ) (3.63) Từ công thức lặp, (3.46), (3.47) Điều kiện 3.3 ta có xδk+1 − x† ≤ (1 − βk )2 xδk − x† + βk2 ω w +2βk (1 − βk ) w (δ + y δ − F (xδk ) + 12 L xδk − x† ) +ω y δ − F (xδk ) + 2βk ω w y δ − F (xδk ) +2(1 − βk ) y δ − F (xδk ) (δ − y δ − F (xδk ) + 21 L xδk − x† ) ≤ xδk − x† (1 − βk )(1 − βk (1 − L w )) + βk2 ω w (1 + a−1 ) +2βk w δ + b−1 βk2 w + c−1 δ + y δ − F (xδk ) ((1 + a)ω + b + c + d + 2β0 − 2) + 14 d−1 L xδk − x† Đặt γkδ = βk−1 xδk − x† , Phương pháp lặp Landweber cải biên 55 ta có δ −1 γk+1 ≤ βk+1 βk γkδ (1 − pβk ) + qβk + d−1 Lβk (γkδ )2 (3.64) Với giả thiết quy nạp xδk ∈ Bρ (x† ) ta chứng minh γkδ ≤ qdL−1 với ≤ k ≤ k∗ Khẳng định với k = Giả sử khẳng định với k, theo (3.64) ta có √ δ −1 γk+1 ≤ qdL−1 βk+1 βk (1 − βk (p − ad−1 L)) ≤ qdL−1 Theo tính đơn điệu dãy βk ta có xδk+1 ∈ Bρ (x† ) Điều chứng minh khẳng định định lý với δ = Trong trường hợp lại kết luận suy từ (3.50) với βk∗ ≤ D−1 δ 3.3 Phương pháp lặp xoay vòng LandweberKaczmarz Trong phần ta nghiên cứu phương trình F(x) = y với p−1 D(Fi ) ⊂ X −→ Y p , F := (F0 , , Fp−1 ) : (3.65) i=0 y = (y0 , , yp−1 ) với p > Như phần trước ta xét, phương pháp lặp Landweber toán xác định p−1 xδk+1 = xδk Fi (xδk )∗ (yiδ − Fi (xδk )), + k ≥ 0, i=0 δ yδ = (y0δ , , yp−1 ) với yiδ − yi ≤ δ, i = 0, , p − Công thức lặp mà ta nghiên cứu phần gọi phương pháp Landweber-Kaczmarz Phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz xác định (3.66) xδk+1 = xδk + Fk (xδk )∗ (ykδ − Fk (xδk )), k ≥ Phương pháp lặp Landweber cải biên 56 Để cho thuận tiện viết, ta dùng số ký hiệu sau: Fk = Frk , yk = yrk , rk = k (mod p) (3.67) Để nghiên cứu hội tụ ổn định phương pháp lặp LandweberKaczmarz (3.66), ta cần xem xét vài giả thiết hàm F Từ trở sau ta gọi điều kiện F: • Các toán tử Fi khả vi theo Fréchet hình cầu đóng p−1 B2ρ (x0 ) ⊂ D(Fi ), ρ > 0, (3.68) i=1 • Các toán tử Fi thỏa mãn Fi (x) ≤ 1, x ∈ B2ρ (x0 ), i = 0, , p − (3.69) • Các toán tử Fi thỏa mãn Fi (x)−Fi (y)−Fi (x)(x−y) ≤ η Fi (x)−Fi (y) , η < , x, y ∈ B2ρ (x0 ) (3.70) Ta gọi S tập tất nghiệm x∗ phương trình (3.65) hình cầu Bρ (x0 ) Khi tồn phần tử x† (gọi nghiệm suy rộng) x0 -chuẩn nhỏ theo nghĩa x† − x0 = inf{ x∗ − x0 : x∗ ∈ S} Tính chất đặc trưng nghiệm suy rộng x† nghiệm thỏa mãn x† − x0 ∈ N (Fi (x† ))⊥ , i = 0, , p − Như phương pháp lặp Landweber ta cần có điều kiện dừng Để cho thuận tiện ta viết lại công thức lặp (3.66) dạng xδk+1 = xδk + ωkδ Fk (xδk )∗ (ykδ − Fk (xδk )), k≥0  1 δ ωk = 0 ykδ − F (xδk ) > τ δ, trái lại (3.71) Phương pháp lặp Landweber cải biên 57 Bổ đề 3.2 Giả sử x∗ nghiệm Bρ(x0) phương trình F(x) = y, toán tử Fi , i = 0, , p − thỏa mãn điều kiện (3.68), (3.69), (3.70) Khi dãy (xδk ) (3.71) thỏa mãn xδk+1 −x∗ − xδk −x∗ ≤ ωkδ ykδ −F (xδk ) 2(1+η)δ−(1−2η) ykδ −F (xδk ) (3.72) Đặc biệt, δ = ta có (1 − 2η) yk − F (xk ) ≤ xk − x∗ − xk+1 − x∗ = xδk+1 − xδk , xδk − x∗ + xδk+1 − xδk , (3.73) Chứng minh Xét xδk+1 − x∗ − xδk − x∗ theo công thức lặp Landweber-Kaczmarz (3.71) ta có xδk+1 − x∗ − xδk − x∗ = 2ωkδ Fk (xδk )∗ (ykδ − Fk (xδk )), xδk − x∗ + ωkδ Fk (xδk )∗ (ykδ − Fk (xδk )) ≤ 2ωkδ (ykδ − Fk (xδk )), Fk (xδk )(xδk − x∗ ) + ωkδ ykδ − Fk (xδk ) 2 = 2ωkδ (ykδ − Fk (xδk )), ykδ − Fk (xδk ) − Fk (xδk )(x∗ − xδk ) − ωkδ ykδ − Fk (xδk ) ≤ ωkδ ykδ − Fk (xδk ) ykδ − Fk (xδk ) − Fk (xδk )(x∗ − xδk ) − ykδ − Fk (xδk ) ≤ ωkδ ykδ − Fk (xδk ) 2(1 + η)δ − (1 − 2η) ykδ − Fk (xδk ) Khẳng định (3.73) suy trực tiếp từ khẳng định Theo Bổ đề (3.2) điều kiện đủ để xδk+1 xấp xỉ x∗ tốt xδk ykδ − Fk (xδk ) > 1+η δ 1−η Ta gọi τ số cho τ >2 1+η > 1−η Phép lặp xoay vòng dừng sau k∗ = k∗ (δ, y δ ) ωkδ∗ −i = 0, i = 0, , p − 1, ωkδ∗ −p = (3.74) Phương pháp lặp Landweber cải biên 58 nghĩa ykδ∗ −i −Fi (xδk∗ −i ) ≤ τ δ, i = 0, , p−1, ykδ∗ −p −Fk∗ −p (xδk∗ −p ) > τ δ theo công thức lặp (3.73) ta xác định số dừng k∗ = k∗ (δ, y δ ) số nguyên nhỏ bội p cho: xδk∗ = xδk∗ −1 = · · · = xδk∗ −(p−1) (3.75) Bổ đề 3.3 Với giả thiết Bổ đề 3.2 k∗ xác định (3.75) Khi xδk+1 − x∗ ≤ xδk − x∗ , k = 0, , k∗ (3.76) Hơn nữa, theo (3.75) ta có ωkδ∗ −i = với i = 0, , p − 1: nghĩa yiδ − Fi (xδk∗ ) ≤ τ δ, (3.77) Chứng minh Chứng minh suy từ Bổ đề 3.2 điều kiện dừng Định lý trình bày hội tụ phép lặp δ = Định lý 3.6 Với giả thiết Bổ đề 3.2 Phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz áp dụng với liệu xác (δ = 0) hội tụ tới nghiệm phương trình F(x) = y Nếu N (Fi (x† )) ⊂ N (Fi (x)) với x ∈ Bρ (x0 ), i = 0, , p − 1, xk hội tụ tới x† Chứng minh Theo Bổ đề 3.2 ta có ek dãy đơn điệu giảm với ek = xk − x† Khi dãy ek hội tụ đến Từ (3.73) ta có +∞ yk − F (xk ) ≤ k=0 x0 − x∗ − 2η (3.78) Tương tự Định lý 2.3 ta chứng minh (ek ) dãy Cauchy Với k ≤ j ta có k = ppk + rk , j = ppj + rj , rk , rj ∈ {0, , p − 1} Ta chọn l0 cho kp ≤ l0 ≤ pj p−1 p−1 ys − Fs (xpl0 +s ) ≤ s=0 ys − Fs (xpi0 +s ) s=0 (3.79) Phương pháp lặp Landweber cải biên 59 với kp ≤ i0 ≤ pj Hơn nữa, ta đặt l = pl0 + (p − 1) (3.80) Theo chứng minh Định lý 2.3 ta cần chứng minh el − ej , el el − ek , el hội tụ đến k → ∞ Ta có l−1 | el − ek , el | ≤ (1 + η) l−1 yi − Fi (xi ) yi − Fi (xl ) + 2η i=k yi − Fi (xi ) i=k l−1 yi − Fi (xi ) Theo (3.78) ta cần chứng minh yi − Fi (xl ) → i=k Trước hết ta ước lượng yi − Fi (xl ) , với i = ppi + ri với ri ∈ {0, , p − 1} Ta có yi − Fi (xl ) ≤ yri − Fri (xpl0 +p−1 ) p−2 ≤ yri − Fri (xpl0 +ri ) + Fri (xpl0 +s+1 ) − Fri (xpl0 +s ) s=ri ≤ yri − Fri (xpl0 +ri ) + ≤ yri − Fri (xpl0 +ri ) + = yri − Fri (xpl0 +ri ) + ≤ 2−η 1−η p−2 1−η s=ri p−2 1−η 1−η Fri (xpl0 +s )(xpl0 +s+1 − xpl0 +s ) xpl0 +s+1 − xpl0 +s s=ri p−2 s=ri Fs (xpl0 +s )∗ (ys − Fs (xpl0 +s )) p−2 ys − Fs (xpl0 +s ) s=ri Từ (3.79) ta có l−1 yi − Fi (xi ) yi − Fi (xl ) i=k l0 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ p−1 yri − Fri (xpi0 +ri ) yri − Fri (xl ) i=pk ri =0 p−1 p−2 l0 2−η yri − Fri (xpi0 +ri ) ys − 1−η s=ri i=pk ri =0 p−1 l0 2−η y − F (x ) ri ri pi0 +ri 1−η i=pk ri =0 l0 p−1 2−η yri − Fri (xpi0 +ri ) 1−η p i=pk ri =0 l−1 2−η p yi − Fi (xi ) 1−η i=k−rk Fs (xpl0 +s ) Phương pháp lặp Landweber cải biên 60 Do k − rk → +∞ k → +∞, với (3.78) suy el − ek , el hội tụ đến k → ∞ Chứng minh tương tự ta có el − ej , el hội tụ đến k → ∞ Cũng từ (3.78) suy yk − Fk (xk ) → k → +∞ Vậy ta có lim ys − Fs (xpn+s ) = 0, s ∈ {0, , p − 1} n→+∞ Lập luận tương tự Định lý 2.3 ta chứng minh dãy xk hội tụ đến nghiệm phương trình F(x) = y Phần lại chứng minh tương tự chứng minh Định lý 2.3 Định lý 3.7 Với giả thiết Bổ đề 3.2, k∗ xác định (3.75) xδk∗ hội tụ đến nghiệm phương trình F(x) = y δ → Hơn nữa, N (Fi (x† )) ⊂ N (Fi (x)) với x ∈ Bρ (x0 ), i = 0, , p − 1, xδk∗ hội tụ tới x† δ −→ Chứng minh Gọi (δn ) dãy hội tụ đến yiδn thỏa mãn yiδn − yi ≤ δn Với (δn , yδn ) xác định số dừng kn = k∗ (δn , yδn ) theo nguyên lý độ lệch Không tính tổng quát, giả sử {kn } dãy đơn điệu tăng kn+1 ≥ kn Cho n ≥ m, theo nguyên lý độ lệch ta có xδknn − x∗ ≤ xδknm − x∗ ≤ xδkmn − xkm + xkm − x∗ Theo định lý hội tụ có với > 0, tồn m1 cho xkn − x∗ < , n ≥ m1 Đặt xδ0 = x0 , từ tính liên tục Fi Bρ (x0 ) tính bị chặn Fi (x) Bρ (x0 ) suy phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz xδk (k cố định) phụ thuộc liên tục vào liệu ban đầu y δ Với k˜ > 0, tồn ν > cho xδk˜n − xk˜ < , ≤ δn < ν Từ ta có xδknn − x∗ < , với kn ≥ km , ≤ δn ≤ δm suy lim xδknn = x∗ n→+∞ Phương pháp lặp Landweber cải biên 3.4 61 Phương pháp lặp song song Trong phần ta xem xét phương pháp song song để giải toán (3.65) p−1 D(Fi ) ⊂ X −→ Y p , (F0 , , Fp−1 ) : (3.81) i=1 y = (y0 , , yp−1 ) với p > Đặt 1 δ F = √ (F0 , , Fp−1 ) yδ = √ (y0δ , , yp−1 ) p p Giả sử hàm Fi , i = 0, , p−1 thỏa mãn điều kiện (3.69) (3.70) Khi đó, điều kiện (2.25) (2.26) thỏa mãn, tức F (x) = p p−1 Fi (x) ≤ 1, x ∈ B2ρ (x0 ), j=0 F(x) − F(˜ x) − F (x)(x − x˜) = p p−1 Fi (x) − Fi (˜ x) − Fi (x)(x − x˜) j=0 ≤ η F(x) − F(˜ x) , x, x˜ ∈ x ∈ B2ρ (x0 ) Giả sử phương trình (3.81) có nghiệm Bρ (x0 ) Với điều kiện nêu tồn x† nghiệm x0 -chuẩn nhỏ Đặc trưng nghiệm suy rộng x† p−1 † † N (Fi (x† )) x − x0 ∈ N (F (x )) = i=0 Khi với công thức lặp Landweber cho phương trình F(x) = yδ xδk+1 = xδk + F (xk )(yδ − F(xδk )), ta có kết hội tụ Định lý 2.3 Định lý 2.4 Viết lại công thức lặp Landweber ta xδk+1 = xδk + F (xk )(yδ − F(xδk )) p−1 = xδk + Fi (xk )(yi δ − Fi (xδk )) p i=0 p−1 = xδk + Fi (xk )(yi δ − Fi (xδk )) p i=0 (3.82) Phương pháp lặp Landweber cải biên 62 Ta đặt = xδk + Fi (xk )(yi δ − Fi (xδk )), xi,δ k+ i = 0, , p − Khi ta có công thức lặp song song  i,δ   xk+ = xδk + Fi (xk )(yi δ − Fi (xδk )), i = 0, , p − 1, (3.83) p−1 i,δ δ   xk+1 = x p i=0 k+ Như ta tính xi,δ đồng thời xử lí tính giá trị k+ xδk+1 theo công thức (3.83) 3.5 Ví dụ Các ví dụ phần trích lục từ [2] Ví dụ 3.1 (Phương trình tích phân Fredholm loại I ) Cho toán tử tuyến tính T : L2 [0, 1] → L2 [0, 1] xác định k(s, t)x(t)dt, (T x)(s) = với nhân Green   s(1 − t), k(s, t) = s  t(1 − s), t > s, s ≥ t Ta biết phương trình tích phân với nhân k(s, t) L2 [0, 1] toán đặt không chỉnh Ta có t (T ∗ y)(t) = (1 − t) s (1 − s)y(s)ds s y(s)ds + t t Phương pháp lặp Landweber cải biên 63 Thật vậy, T x, y T x(s)y(s)ds = 1 k(s, t)x(t)y(s)dt ds = y(s)ds = k(s, t)x(t)dt s 1 1 s t(1 − s)x(t)dt + y(s)ds = s s(1 − t)x(t)dt s s 1 y(s)ds s (1 − s) tx(t)dt + s s (1 − t)x(t)dt = s 0 t (1 − t)x(t) s y(s)ds + tx(t) s (1 − s)y(s)ds dt = t 0 ∗ = x, T y Vậy t (T ∗ y)(t) = (1 − t) s (1 − s)y(s)ds, s y(s)ds + t t với (T ∗ y)(0) = (T ∗ y)(1) = Hơn nữa, t (T ∗ y) (t) = − s (1 − s)y(s)ds, s y(s)ds + t (T ∗ y) (t) = −(t) y(t) Do R(T ∗ ) = {w ∈ H [0, 1] ∩ H01 [0, 1] : (t)− w (t) ∈ L2 [0, 1]} Ta gọi toán tử L xác định +∞ s (nπ)s x, xn xn , Lx= xn = √ sin(nπ·), n=1 ta có L2 x = −x Khi ta có R(T ∗ ) ⊆ X2 = H [0, 1] ∩ H01 [0, 1], R(T ∗ ) = X2 , Phương pháp lặp Landweber cải biên 64 thêm R(T ∗ ) ⊃ X2.5 = {w ∈ H 2.5 [0, 1] ∩ H01 [0, 1] : ρ− w ∈ L2 [0, 1]}, ρ(t) = t(1 − t) Ta có 2.5 w ∼ w H2 + ρ− w L2 , T ∗ y ∈ X2.5 , T ∗y 2.5 + H2 L2 + ∼ (·) y ≥ (·) y =c 1 ρ− (·) y 1 ρ− (·) y L2 L2 ty (t)dt + (1 − t)−1 y (t)dt ≥ c y 0 L2 Khi tồn < m ≤ m < +∞ cho m x −2.5 ≤ Tx ≤ m x −2 (3.84) Hơn |||x† |||u ≤ c x† , s+ u−s 2+s (2,5+s) s ≤ u ≤ 2a + s Ví dụ 3.2 (Phương trình tích phân Volterra-Hammerstein) Cho F : H [0, 1] → L2 [0, 1] xác định s x2 (t)dt (F (x))(s) = Trước hết ta tính F (x)h Xét s (F (x + h))(s) − (F (x))(s) = có s h2 (t)dt, 2x(t)h(t)dt + 0 h(t)dt h(t)dt → 0, h h → s h2 (t)dt h s = Phương pháp lặp Landweber cải biên 65 Vậy s (F (x)h)(s) = x(t)h(t)dt Tiếp theo ta tính liên hợp F (x)∗ w Ta có F (x)∗ w, h = w, F (x)h s 2x(t)h(t)dt w(s)ds = 2x(t)h(t) w(s)ds dt = t = 2x(·) w(s)ds, h · Suy đạo hàm liên hợp F (x) cho F (x)∗ w = 2A−1 x(·) w(t)dt , · với A : D(A) = {ψ ∈ H [0, 1] : ψ (0) = ψ (1) = 0} → L2 [0, 1], xác định Aψ = −ψ + ψ, ý A−1 liên hợp toán tử nhúng từ H [0, 1] vào L2 [0, 1] Giả sử x† ≥ γ > ta có R(F (x† )∗ ) = {w ∈ H [0, 1] : w (0) = w (1) = 0, w(1) = w (1)}, F (x† )∗ w ∼ w Ta xác định thang Hilbert cảm sinh toán tử L2 x = −x + x không gian X = H [0, 1] với X1 = {x ∈ H [0, 1] : x (0) = x (1) = 0} Với lựa chọn ta có R(F (x† )∗ ) ⊂ X2 Ta chọn s = −1, ta có L−2s F (x)∗ w = 2x(·) w(t)dt, · Phương pháp lặp Landweber cải biên 66 đặc biệt ta có F (x) = Rx (x† )F (x† ), với Rx (x† ) − I ≤ C x − x0 ≤ c|||x − x† |||0 Trong Chương 3, nghiên cứu số cải biên phương pháp Landweber, bao gồm phương pháp Landweber thang không gian Hilbert, phương pháp chỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz phương pháp Landweber song song Những phương pháp cải biên nói áp dụng để giải nhiều toán thực tế, từ xử lý ảnh cắt lớp đến nhận dạng tham số toán biên cho phương trình đạo hàm riêng Kết luận Trong luận văn này, trình bày cách hệ thống phương pháp lặp Landweber cải biên với kết hội tụ tốc độ hội tụ Phương pháp lặp Landweber có ưu điểm đơn giản dễ lập trình, song tốc độ hội tụ chậm Tuy nhiên, phương pháp Landweber tỏ hiệu nhiều toán thực tế có độ phi tuyến cao Luận văn sâu vào nghiên cứu lý thuyết chưa có nhiều toán với thử nghiệm số Đó hạn chế mong muốn mà dự định tiến hành tương lai 67 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Nguyễn Bường, Bài toán đặt không chỉnh, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội (2007) [2] H Egger, A Neubauer, Preconditioning Landweber iteration in Hilbert Scales, Numerische Mathematik, Vol 101, No 4, p 643-662, (2005) [3] H Engl, M Hanke, A Neubauer, Regularization of Inverse Problems, Kluwer Academic Publisers (1996) [4] H Grauert, I Lieb, W Fisher, Phép tính vi phân tích phân, (Người dịch: Mai Thúc Ngỗi, Nguyễn Thủy Thanh) (1977) [5] M Haltmeier, A Leitão, O Scherzer, Ricam, Kaczmarz Methods for Regularizing Nonlinear Ill-posed Equations I: Convergence Analysis, Inverse Problems and Imaging, Vol 1, No 2, p 289-298, (2007) [6] B Kaltenbacher, A Neubauer, O Scherzer, Iterative Regularization Methods for Nonlinear Ill-posed Problems, Walter de Gruyter (2008) [7] R Kowar, O Scherzer, Convergence analysis of a LandweberKaczmarz method for solving nonlinear ill-posed problems, Ill-posed and inverse problems (book series), 23, 69–90, (2002) [8] M Nair, Linear Operator Equations: Approximation and Regularization, World Scientific (2009) 68 [...]... phần 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính Trong phần này ta xét phương trình tuyến tính: Tx = y 13 (2.1) Phương pháp lặp Landweber 14 với T : D(T ) −→ Y với miền xác định D(T ) ⊂ X Ta chỉ xét X và Y là các không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và chuẩn · Dữ liệu có nhiễu y δ thỏa mãn điều kiện y − y δ ≤ δ (2.2) Gọi xδ0 = x0 là xấp xỉ ban đầu, ta xác định phép lặp Landweber. .. và đồng thời k.δ ≤ δ 1−µ → 0 khi δ → 0 Từ Định lý 2.2 và (2.19), ta chứng minh được rằng xδk − x† → 0 khi δ → 0 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình phi tuyến Xét phương trình phi tuyến: F (x) = y (2.20) với F : D(F ) −→ Y có miền xác định D(F ) ⊂ X, trong đó X và Y là các không gian Hilbert với tích vô hướng ·, · và chuẩn · Ta ký hiệu dữ liệu có nhiễu bởi y δ thỏa mãn điều kiện y − y δ... -chuẩn nhỏ nhất Phương pháp lặp Landweber 2.2.2 20 Sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber Trước khi phân tích sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber, ta nhấn mạnh rằng với mỗi chỉ số lặp k cố định, xδk phụ thuộc liên tục vào y δ Sau đây ta xem xét tính chất đơn điệu dẫn đến việc chọn tham số τ theo điều kiện dừng (2.24) Mệnh đề 2.5 Giả sử các điều kiện (2.25) và (2.26) đúng, và phương trình F (x)... một toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert X Ta ký hiệu ω(A) = { Ax, x : x ∈ X, x = 1}, là miền giá trị số của A Ta ký hiệu αA = inf ω(A), βA = sup ω(A) Định lý 1.5 Cho A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trong không gian Hibert X Khi đó tồn tại họ phổ {Eλ : λ ∈ R} Hơn nữa với mọi f ∈ M(A) ta có f (A) ≤ sup{|f (λ)| : αA ≤ λ ≤ βA } 1.4 Thang không gian Hilbert Cho L là một toán. .. đó phép lặp Landweber (2.3) trong trường hợp không có nhiễu trở thành xk+1 = xk + βT ∗ (y − T xk ), (2.4) trong đó β là hằng số dương Định nghĩa 2.1 Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn (i) Ta nói x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (2.1) nếu T x − y = inf{ T z − y : z ∈ X} (2.5) (ii) x† ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) nếu x† = inf{ x : x là tựa nghiệm của phương trình... tính ổn định của phép lặp phi tuyến Landweber ta có xδkn − xk < 2 khi n > n( , k) Vậy xδknn → x∗ khi n → ∞ 2.2.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Landweber Ta đã biết dưới các giả thiết thông thường đã xét ở phần trước sự hội tụ của xk → x∗ khi k → ∞ hay xδk∗ → x∗ khi δ → 0 có thể chậm tùy ý Vì vậy để xét tốc độ hội tụ của xk → x∗ khi k → ∞ hay xδk∗ → x∗ khi δ → 0 ta cần đặt thêm các điều kiện về... đầu, ta xác định phép lặp Landweber như sau: xδk+1 = xδk + F (xδk )∗ (y δ − F (xδk )) (2.22) Phương pháp lặp Landweber 18 Đối với dữ liệu chính xác thì ta viết y thay cho y δ và xk thay cho xδk Khi đó phép lặp Landweber trong trường hợp dữ liệu chính xác (2.22) trở thành xk+1 = xk + F (xk )∗ (y − F (xk )) (2.23) Đối với dữ liệu có nhiễu, ta xác định quy tắc dừng cho phép lặp Landweber bởi nguyên lý... α→0 Khi đó, biểu thức tích phân (2.12) bằng tích phân tại bước nhảy λ = 0, Phương pháp lặp Landweber nghĩa là lim Eλ x λ→0 2 − E0 x 16 2 = P x† 2 , với P là phép chiếu trực giao lên N (T ) Mặt khác, do x† ∈ N (T )⊥ nên P x† = 0 Do vậy, lim x† − xα 2 α→0 = 0 Sau đây là một số kết quả đối với phép lặp Landweber cho phương trình tuyến tính (2.1) Định lý 2.1 Nếu y ∈ D(T †) và β ≤ 1 , thì dãy (xk ) xác định... Cho A là toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert X Khi đó tồn tại duy nhất họ phổ {Eλ : λ ∈ R} với +∞ λ2 d Eλ x D(A) = x ∈ X : −∞ 2 0 là hằng số Ta xét công thức lặp xδk+1 = xδk + ωGδ (xδk )∗ (y δ − F (xδk )), (2.43) trong đó Gδ (x) = G(x, y δ ), và G : D(F ) × Y → L(X, Y ) liên tục Điều kiện 2.1 Cho ρ > 0 sao cho B2ρ(x0) ⊂ D(F ) (i) Phương trình F (x)