PHƯƠNG PHÁP LANDWEBER PHI TUYẾN GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH

Lời nói đầuNhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, đưa đến những bài toán khôngchỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với các dữ kiện ban đầu, một sựthay đổi nhỏ của dữ kiện ban đầu dẫn đ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH PHẠM KỲ ANH

Hà Nội - 2010

Lời nói đầu

Nhiều vấn đề trong khoa học, công nghệ, đưa đến những bài toán khôngchỉnh theo nghĩa nghiệm không ổn định với các dữ kiện ban đầu, một sựthay đổi nhỏ của dữ kiện ban đầu dẫn đễn sự thay đổi lớn về nghiệm, thậmchí dẫn đến bài toán vô nghiệm

Trong luận văn này, chúng tôi trình bày phương pháp lặp Landweber vàcác cải biên của nó để giải bài toán đặt không chỉnh Luận văn đề cập đến

sự hội tụ của phương pháp và tốc độ hội tụ của phép lặp trong trường hợp

dữ liệu không có nhiễu hoặc có nhiễu

Luận văn được viết thành ba chương Chương 1 trình bày các khái niệm

cơ bản sử dụng trong luận văn, như đạo hàm theo Fréchet, phổ của toán tửtuyến tính, và thang không gian Hilbert Chương 2 trình bày các kết quả

đã biết về phương pháp Landweber và được chia thành 3 phần Phần 1chứng minh về sự hội tụ của phương pháp Landweber đối với phương trìnhtuyến tính Các kết quả chính trong phần này là Định lý 2.1, 2.2 Phần 2

là phần trọng tâm của chương này Kết quả về sự hội tụ cho phương trìnhphi tuyến là Định lý 2.3 và 2.4 Kết quả chính về tốc độ hội tụ được thểhiện trong Định lý 2.6 Trong phần cuối của chương, chúng tôi trình bàymột ví dụ về ước lượng tham số khuyếch tán trong phương trình vi phân.Chương cuối cùng của luận văn trình bày các cải tiến của phương pháp lặpLandweber như phép lặp Landweber trong thang không gian Hilbert, phépchỉnh lặp Landweber, phương pháp lặp Landweber-Kaczmarz, và phép lặpLandweber song song Các kết quả chính trong phần này được thể hiệnthông qua Mệnh đề 3.3, Định lý 3.1 đối với phép lặp trong thang khônggian Hilbert Các kết quả đối với phép chỉnh lặp là các Định lý 3.3, 3.4,

và 3.5 Định lý 3.6 là kết quả quan trọng đối với phép lặp Kaczmarz

Landweber-Để luận văn này được hoàn thành, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất cảcác thầy cô trong khoa Toán-Cơ-Tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,Đại học Quốc gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn trong lớp

i

Cao học Toán Khóa 2008-2010, đặc biệt trong nhóm Toán học tính toán,những người đã giúp đỡ, đã cùng tôi chia sẻ về nhiều vấn đề trong học tậpcũng như trong cuộc sống.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến GS TSKH Phạm KỳAnh, người thầy đã tham gia giảng dạy và đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn,tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, 12-2010

Vũ Thị Ngần

Bảng ký hiệu

h·, ·i Tích vô hướng trong không gian Hilbert X

h·, ·is Tích vô hướng trong Xs

k · ks Chuẩn trong Xs

||| · |||r Chuẩn trong eXr

A∗ Toán tử liên hợp của toán tử A

Bρ(x0) Hình cầu đóng tâm x0, bán kính ρ

C[a, b] Không gian các hàm liên tục trên [a, b]

D(A) Miền xác định của toán tử A

F Toán tử xác định trên X

F0(x) Đạo hàm theo Fréchet tại x

Hk[0, 1] {x ∈ L2[0, 1] : x(j) ∈ L2[0, 1], j = 1, , k}

H01[0, 1] {x ∈ L2[0, 1] : x0 ∈ L2[0, 1], x(0) = x(1) = 0}

L2[a, b] Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b]

N (A) Nhân của toán tử A

R(A) Miền giá trị của toán tử A

T† Toán tử nghịch đảo suy rộng

x† Nghiệm suy rộng

X Không gian Hilbert

Xs Thang Hilbert cảm sinh bởi Ls

e

Xr Thang Hilbert

iii

Mục lục

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1

1.1.1 Định nghĩa 1

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 2

1.2 Đạo hàm Fréchet 3

1.2.1 Định nghĩa 3

1.2.2 Ví dụ 4

1.2.3 Công thức số gia giới nội 4

1.3 Phổ của toán tử 4

1.4 Thang không gian Hilbert 7

2 Phương pháp lặp Landweber 13 2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình tuyến tính 13 2.2 Phương pháp lặp Landweber cho phương trình phi tuyến 17 2.2.1 Một số điều kiện đặt lên toán tử 18

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber 20

2.2.3 Tốc độ hội tụ của phương pháp lặp Landweber 24

2.3 Ví dụ 35

3 Phương pháp lặp Landweber cải biên 39 3.1 Phép lặp trong thang không gian Hilbert 39

3.2 Phương pháp chỉnh lặp Landweber 47

3.3 Phương pháp lặp xoay vòng Landweber-Kaczmarz 55

3.4 Phương pháp lặp song song 61

3.5 Ví dụ 62

iv

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về giảitích hàm sẽ được sử dụng trong luận văn Nội dung của chương được tríchlục từ các tài liệu [1, 2, 4, 6, 8]

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

Xét bài toán

với toán tử A : X → Y và X, Y là các không gian metric

Bài toán (1.1) được gọi là đặt chỉnh nếu các giả thiết sau thỏa mãn:(i) Với mọi y ∈ Y , tồn tại x ∈ X sao cho A(x) = y,

(ii) Nghiệm x là duy nhất,

(iii) Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào A và y

Bài toán (1.1) được gọi là đặt không chỉnh khi có ít nhất một trong cácđiều kiện trên không thỏa mãn, tức là:

(iv) Phương trình (1.1) vô nghiệm với một y nào đó,

(v) Nghiệm x là không duy nhất,

(vi) Nghiệm x = x(A, y) không phụ thuộc liên tục vào các dữ liệu

1

Kiến thức chuẩn bị 2

Ví dụ 1.1. Phương trình tích phân Fredholm loại I

Nếu x ∈ X, thì Ax ∈ C1[a, b] Vậy mọi y ∈ L2[a, b] \ C1[a, b] thì phươngtrình (1.2) vô nghiệm Vậy bài toán đặt không chỉnh theo tiêu chuẩn (iv).Gọi x1 ∈ X cố định, và x2 = x1 + ω sin N t, y1 = Ax1, y2 = Ax2 Dễthấy kx2 − x1kC = |ω| Ta xét

Định nghĩa 1.1. Cho X, Y là các không gian tuyến tính định chuẩn

và Ω là một tập mở trong X Ánh xạ F : Ω −→ Y được gọi là khả vi theoFréchet tại x ∈ Ω nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn T : X −→ Y saocho

lim

h→0

kF (x + h) − F (x) − T hkY

Đạo hàm Fréchet của toán tử F tại x ký hiệu F0(x) = T

Ta có thể viết lại (1.5) dưới dạng

F (x + h) = F (x) + T h + o(khk) (1.6)

Định lý 1.1. Cho F khả vi theo Fréchet trên tập mở Ω ⊂ X Giả sử

Kiến thức chuẩn bị 5(ii) E−∞ = 0, E+∞ = I,

f (λ)dEλx với mỗi x ∈ X

Tích phân trên đoạn vô hạn được hiểu theo nghĩa sau

nếu giới hạn bên vế phải tồn tại

Định lý 1.2. Cho x ∈ X, và hàm f : R → R liên tục Khi đó hai

khẳng định sau là tương đương

Kiến thức chuẩn bị 6và

Kiến thức chuẩn bị 7

Cho A là một toán tử tuyến tính tự liên hợp trong không gian Hilbert

X Ta ký hiệu

ω(A) = {hAx, xi : x ∈ X, kxk = 1},

là miền giá trị số của A Ta ký hiệu

αA = inf ω(A), βA = sup ω(A)

Định lý 1.5. Cho A là toán tử tuyến tính tự liên hợp, bị chặn trongkhông gian Hibert X Khi đó tồn tại họ phổ {Eλ : λ ∈ R} Hơn nữa vớimọi f ∈ M(A) ta có

kf (A)k ≤ sup{|f (λ)| : αA ≤ λ ≤ βA}

1.4 Thang không gian Hilbert

Cho L là một toán tử xác định dương, có miền xác định D(L) trù mậttrong X, không bị chặn, và tự liên hợp trong không gian Hilbert X, tức là

L = L∗, D(L) = X, và hLx, xi ≥ γkxk2.Đặt

Định nghĩa 1.5. Giả sử tập M xác định như trong (1.7), với mỗi

s ∈ R ta định nghĩa tích vô hướng và chuẩn trên M như sau:

hx, yis = hLsx, Lsyi,kxks = kLsxk

(1.8)

với mọi x, y ∈ M Không gian Hilbert (Xs) là bổ sung của M theo chuẩn

k · ks và (Xs : s ∈ R) là thang Hilbert cảm sinh bởi L

ký hiệu là Lt−s, và là toán tử tự liên hợp, xác định dương khi t > s.Hơn nữa, Lt−s = LtL−s, và (Ls)−1 = L−s.

(iii) Nếu s ≥ 0 thì Xs = D(Ls) và (X−s)0 = Xs (X−s là không gian đốingẫu của Xs)

(iv) Cho q < r < s và x ∈ Xs Ta có bất đẳng thức nội suy

kxkr ≤ kxk

s−r s−q

q kxk

r−q s−q

ta chỉ cần chỉ ra rằng D(Ls) là đầy đủ đối với chuẩn k · ks Thật vậy,xét dãy (xn) Cauchy trong D(Ls) Khi đó (xn) và Lsxn là dãy Cauchytrong X Mặt khác Ls là đóng, nên tồn tại x ∈ D(Ls) sao cho xn → x

và Lsxn → Lsx Vậy xn → x theo chuẩn k · ks

(iv) Theo bất đẳng thức H¨older ta có

s−rs−q

kxk2 s

r−qs−q

Kiến thức chuẩn bị 10

Chứng minh Trước hết ta chứng minh kBC−1xk ≤ kxk, với mọi x ∈

X Thật vậy, gọi y = C−1x Ta có kByk ≤ kCyk, suy ra kBC−1xk ≤kCC−1xk = kxk Với x, y bất kỳ ta có

|hy, C−1Bxi| = |hC−1y, Bxi| = |hBC−1y, yi| ≤ kBC−1yk kxk ≤ kyk kxk.Bất đẳng thức trên đúng với mọi y, nên kC−1Bxk ≤ kxk Từ đó suy rađiều cần chứng minh



Mệnh đề 1.2. Cho L và A là các toán tử có miền xác định trù mật,xác định dương, tự liên hợp, và không bị chặn trong X với D(A) ⊂ D(L)và

2

dt

Kiến thức chuẩn bị 11Theo định lý về biểu diễn phổ ta lại có

D(B∗B)−ν2



= R

(B∗B)ν2



⊂ Xν(a+s),k(B∗B)ν2xk ≤ mνkxk−ν(a+s), x ∈ X, (1.14)k(B∗B)−ν2xk ≥ m−νkxkν(a+s), x ∈ D

(B∗B)−ν2

 (1.15)Điều kiện (1.13) tương đương với

R(T∗) ⊂ Xa, kT∗wka ≤ mkwk, w ∈ Y (1.16)

Kiến thức chuẩn bị 12

(ii) Nếu

mkxk−˜a ≤ kT xk, ˜a > 0, (1.17)thì với B = T L−s, s ≥ 0 và 0 ≤ ν ≤ 1,

Xν(˜a+s) ⊂ R(B∗B)ν2



= D(B∗B)−ν2

,k(B∗B)ν2xk ≥ mνkxk−ν(˜a+s), x ∈ X, (1.18)k(B∗B)−ν2xk ≤ m−νkxkν(˜a+s), x ∈ Xν(˜a+s) (1.19)Điều kiện (1.17) tương đương với



= D

(B∗B)−ν2



⊂ Xν(a+s).Toán tử T La có mở rộng liên tục lên X, với y ∈ Y ∩ D(LaT∗), từ (1.13)

để phép lặp hội tụ và đánh giá tốc độ hội tụ Đối với trường hợp tuyếntính T x = y ta có phép lặp với cách chọn Gk theo công thức lặp

xδk+1 = xδk + βT∗(yδ − T xδk)

Đối với trường hợp phi tuyến F (x) = y ta xét phép lặp

xδk+1 = xδk + F0(xδk)(yδ − F (xδk))

Để xem xét các điều kiện và đánh giá sự hội tụ ta đi vào từng phần

2.1 Phương pháp lặp Landweber cho phương

trình tuyến tính

Trong phần này ta xét phương trình tuyến tính:

13

Phương pháp lặp Landweber 14

với T : D(T ) −→ Y với miền xác định D(T ) ⊂ X Ta chỉ xét X và Y làcác không gian Hilbert với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn k · k Dữ liệu cónhiễu yδ thỏa mãn điều kiện

Gọi xδ0 = x0 là xấp xỉ ban đầu, ta xác định phép lặp Landweber như sau:

xδk+1 = xδk + βT∗(yδ − T xδk) (2.3)

Đối với dữ liệu chính xác thì ta viết y thay cho yδ và xk thay cho xδk Khi

đó phép lặp Landweber (2.3) trong trường hợp không có nhiễu trở thành

xk+1 = xk + βT∗(y − T xk), (2.4)trong đó β là hằng số dương

Định nghĩa 2.1. Cho T : X −→ Y là toán tử tuyến tính bị chặn.(i) Ta nói x ∈ X là tựa nghiệm của phương trình (2.1) nếu

kT x − yk = inf{kT z − yk : z ∈ X} (2.5)(ii) x† ∈ X được gọi là nghiệm suy rộng của phương trình (2.1) nếu

kx†k = inf{kxk : x là tựa nghiệm của phương trình (2.1)} (2.6)

(iii) Nghịch đảo suy rộng của T ∈ L(X, Y ), ký hiệu T† : y → x†, được xácđịnh như một mở rộng duy nhất của toán tử tuyến tính eT−1 tới

D(T†) = R(T ) + R(T )⊥, N (T†) = R(T )⊥

Trong đó eT = T|N (T )⊥ : N (T )⊥ −→ R(T ) Do N ( eT ) = {0} và R( eT ) =R(T ) nên tồn tại eT−1 và T† được hoàn toàn xác định

Mệnh đề 2.1. Nếu y ∈ D(T†) thì phương trình (2.1) có nghiệm suyrộng x† = T†y Khi đó tập các tựa nghiệm là x† + N (T )

Chứng minh Xem trong [3], Định lý 2.5, trang 34 

Mệnh đề 2.2. Nếu y ∈ D(T†) thì x là tựa nghiệm của phương trình(2.1) khi và chỉ khi x thỏa mãn phương trình Euler T∗T x = T∗y

Phương pháp lặp Landweber 15Chứng minh Xem trong [3], Định lý 2.6, trang 35 

λdEλT

Đặt rα(λ) = 1 − λgα(λ), rα(0) = 1, ta có |rα(λ)| ≤ (1 + c) Từ (2.8) và(2.9) ta có

x†− xα =

Z(1 − λgα(λ))1

Theo định nghĩa của rα(λ), ta có lim

α→0rα2 = 0, với mọi λ > 0 và lim

α→0r2α(0) = 1.Khi đó, biểu thức tích phân (2.12) bằng tích phân tại bước nhảy λ = 0,

Định lý 2.1. Nếu y ∈ D(T†) và β ≤ 1

kT∗T k, thì dãy (xk) xác địnhtrong (2.4) hội tụ đến x†

Chứng minh Theo (2.4) ta có xk+1 = (I − βT∗T )xk + βT∗y Không mấttính tổng quát, ta có thể giả thiết x0 = 0, và theo quy nạp ta có

xk = gk(βT∗T )βT∗y, x†− xk = rk(βT∗T )x† (2.15)Với λ ∈ (0, 1] thì 0 ≤ λgk(λ) = 1 − rk(λ) ≤ 1 và rk(λ) = (1 − λ)k → 0 khi

k → ∞, hay gk(λ) → 1λ khi k → ∞ Do β ≤ 1

kT∗T k nên kβT

∗T k ≤ 1, theoMệnh đề 2.3 ta có xk → x† khi k → ∞

Phương pháp lặp Landweber 17Chứng minh Đặt dk = xδk − xk, ta có

Trong phần này ta luôn giả thiết hàm F liên tục và khả vi theo Fréchet.Gọi xδ0 = x0 là xấp xỉ ban đầu, ta xác định phép lặp Landweber như sau:

xδk+1 = xδk + F0(xδk)∗(yδ − F (xδk)) (2.22)

Phương pháp lặp Landweber 18

Đối với dữ liệu chính xác thì ta viết y thay cho yδ và xk thay cho xδk Khi đóphép lặp Landweber trong trường hợp dữ liệu chính xác (2.22) trở thành

xk+1 = xk + F0(xk)∗(y − F (xk)) (2.23)Đối với dữ liệu có nhiễu, ta xác định quy tắc dừng cho phép lặp Landweberbởi nguyên lý độ lệch Morozov: Phép lặp (2.22) dừng sau k∗ = k∗(δ, yδ)bước, trong đó

kyδ − F (xδk

∗)k ≤ τ δ < kyδ− F (xδk)k, 0 ≤ k < k∗ (2.24)

Ký hiệu B2ρ(x0) ⊂ D(F ) là hình cầu đóng tâm x0 bán kính 2ρ trong X.Trước hết ta giả sử rằng

kF0(x)k ≤ 1, x ∈ B2ρ(x0), (2.25)

và điều kiện nón tiếp tuyến địa phương (local tangential cone condition)

kF (x) − F (˜x) − F0(x)(x − ˜x)k ≤ ηkF (x) − F (˜x)k, (2.26)trong đó η < 12, x, ˜x ∈ B2ρ(x0)

Mệnh đề 2.4. Cho ρ,  > 0 sao cho

kF (x) − F (˜x) − F0(x)(x − ˜x)k ≤ c(x, ˜x)kF (x) − F (˜x)k (2.27)với x, ˜x ∈ Bρ(x0), c(x, ˜x) ≥ 0, trong đó c(x, ˜x) < 1 khi kx − ˜xk ≤ 

(i) Với mỗi x ∈ Bρ(x0), ta có các khẳng định sau:

(a) M (x) = {˜x ∈ Bρ(x0) : F (˜x) = F (x)} = x + N (F0(x)) ∩ Bρ(x0).(b) N (F0(x)) = N (F0(˜x))

(c) {t(˜x − x) : ˜x ∈ M (x), t ∈ R)} ⊂ N (F0(x))

(ii) Nếu F (x) = y có nghiệm trong Bρ(x0), thì tồn tại duy nhất nghiệm x†

có x0-chuẩn nhỏ nhất Tựa nghiệm x† là nghiệm suy rộng của phươngtrình F (x) = y trong Bρ(x0) khi và chỉ khi điều kiện

x†− x0 ∈ N (F0(x†))⊥, (2.28)được thỏa mãn

F (xt) = F (x) = F (˜x), ˜x − x ∈ N (F0(xt)), ∀ t ∈ [0, 1] (2.29)Vậy khẳng định thứ nhất và thứ ba trong (i) được chứng minh.

Xét h ∈ N (F0(x)) Tồn tại t 6= 0 và s ∈ R sao cho

xt,s = x + th + s(˜x − x) ∈ Bρ(x0) ∩ B(x)

Theo (2.27) và (2.29) ta có F (xt,s) = F (x) = F (˜x) và xt,s− ˜x = th + (s −1)(˜x − x) ∈ N (F0(˜x)), mà ˜x − x ∈ N (F0(˜x)), do đó th ∈ N (F0(˜x)) hay

h ∈ N (F0(˜x)) Vậy N (F0(x)) ⊂ N (F0(˜x)) Thay đổi vai trò của x và ˜x,

ta được N (F0(˜x)) ⊂ N (F0(x)) Do vậy N (F0(˜x)) = N (F0(x)), khẳng địnhthứ hai trong (i) được chứng minh

Bây giờ ta chứng minh (ii) Theo giả thiết phương trình F (x) = y cónghiệm trong Bρ(x0) Khi đó tập

M = {x ∈ Bρ(x0) : F (x) = y},khác rỗng, bị chặn, đóng, và lồi Vậy M là compact yếu Do hàm chuẩn lànửa liên tục dưới yếu, nên tồn tại nghiệm có x0-chuẩn nhỏ nhất Do M làtập lồi nên nghiệm nói trên là duy nhất, và ta ký hiệu nghiệm đó là x†.Cuối cùng ta chỉ ra rằng x† − x0 ∈ N (F0(x†))⊥ Thật vậy, cho h ∈

N (F0(x†))⊥ và xt = x† + th Theo chứng minh phần trên ta có F (xt) =

F (x†) với mọi t ∈ R thỏa mãn xt ∈ Bρ(x0) Do đó,

Phương pháp lặp Landweber 20

Trước khi phân tích sự hội tụ của phương pháp lặp Landweber, ta nhấnmạnh rằng với mỗi chỉ số lặp k cố định, xδk phụ thuộc liên tục vào yδ Sauđây ta xem xét tính chất đơn điệu dẫn đến việc chọn tham số τ theo điềukiện dừng (2.24)

Mệnh đề 2.5. Giả sử các điều kiện (2.25) và (2.26) đúng, và phươngtrình F (x) = y có nghiệm x∗ trong Bρ(x0) Nếu xδk ∈ Bρ(x∗), thì

kxδk+1−x∗k2 ≤ kxδk−x∗k2+kyδ−F (xδk)k

2(1+η)δ −(1−2η)kyδ−F (xδk)k

.(2.30)Khi đó điều kiện đủ để xδk+1 là xấp xỉ tốt hơn xδk đến x∗ là

Phương pháp lặp Landweber 21

≤ kyδ − F (xδ

k)k

2δ + 2ηkF (x∗) − F (xδk)k − kyδ − F (xδ

k)k



Theo Mệnh đề 2.5, nếu 2(1 + η)δ − (1 − 2η)kyδ − F (xδ

k)k < 0 hay

kyδ − F (xδ

k)k > 21+η1−η thì kxδk+1 − x∗k2 ≤ kxδ

k − x∗k2, tức là xδk+1 là xấp xỉtốt hơn xδk Cũng theo Mệnh đề 2.5, số τ trong nguyên lý độ lệch (2.24)được chọn sao cho

τ > 21 + η

Hệ quả 2.1. Giả sử các điều kiện (2.25) và (2.26) đúng, và phươngtrình F (x) = y có nghiệm x∗ trong Bρ(x0) Giả sử thời điểm dừng k∗ đượcchọn theo nguyên lý độ lệch Morozov (2.24) và τ trong (2.31) Khi đó

kxδ k+1 − x∗k2 − kxδ

k− x∗k2

≤ kyδ − F (xδ

k)k

2(1 + η)δ − (1 − 2η)kyδ − F (xδ

Phương pháp lặp Landweber 22Cộng các bất đẳng thức trên từ k = 0 đến k = k∗ − 1 ta được

Định lý 2.3. Giả sử các điều kiện (2.25) và (2.26) đúng, và phương trình

F (x) = y có nghiệm trong Bρ(x0) Khi đó dãy (xk) xác định trong (2.23) hội

tụ tới nghiệm x∗ của F (x) = y trong Bρ(x0) Nếu N (F0(x†)) ⊂ N (F0(x))với mọi x ∈ Bρ(x†) thì (xk) hội tụ đến x†

Chứng minh Theo Mệnh đề 2.4 thì tồn tại duy nhất nghiệm x† ∈ Bρ(x0)

kej − elk2 = 2hel − ej, eli + kejk2 − kelk2,

kek− elk2 = 2hel − ek, eli + kekk2 − kelk2,

(2.36)Cho k → ∞ hai số hạng sau của (2.36) kejk2 − kelk2 và kekk2 − kelk2 hội

Từ (2.36) suy ra kej− elk2 → 0, k → ∞ Chứng minh tương tự ta cũng có

kek − elk2 → 0, k → ∞ Vậy khẳng định (ek) là dãy Cauchy được chứngminh và từ đó ta có (xk) là dãy Cauchy Theo (2.33) trong Hệ quả 2.1, (xk)hội tụ đến nghiệm x∗ thỏa mãn F (x∗) = y

Nếu N (F0(x†)) ⊂ N (F0(x)) với mọi x ∈ Bρ(x†), theo công thức lặpLandweber ta có

xk+1−xk = F0(xk)∗(y−F (xk)) ∈ R(F0(xk)∗) ⊂ N (F0(xk))⊥ ⊂ N (F0(x†))⊥.Cộng dãy (xk+1− xk) liên tiếp ta được

xk − x0 ∈ N (F0(x†))⊥, k ∈ N

Theo Mệnh đề 2.4 (ii) ta có xk hội tụ đến x†



Phương pháp lặp Landweber 24

Định lý 2.4. Giả sử các điều kiện (2.25) và (2.26) đúng, và phương trình

F (x) = y có nghiệm x∗ trong Bρ(x0) Giả sử thời điểm dừng k∗ = k∗(δ, yδ)được chọn theo nguyên lý độ lệch Morozov (2.24) Khi đó dãy (xδk

∗) hội tụđến x∗ khi δ → 0 Nếu N (F0(x†)) ⊂ N (F0(x)) với mọi x ∈ Bρ(x†) thì (xδk

∗)hội tụ đến x† khi δ → 0

Chứng minh Gọi x∗ là giới hạn của dãy xk đối với dữ liệu chính xác y và(δn) là dãy hội tụ đến 0 Ta ký hiệu yn = yδn và kn = k∗(δn, yn)

Giả sử rằng k là điểm tụ hữu hạn của (kn) Không mất tổng quát, ta

có thể coi kn = k với mọi n Theo nguyên lý độ lệch ta có

Ta đã biết dưới các giả thiết thông thường đã xét ở phần trước sự hội tụcủa xk → x∗ khi k → ∞ hay xδk

∗ → x∗ khi δ → 0 có thể chậm tùy ý Vì vậy

để xét tốc độ hội tụ của xk → x∗ khi k → ∞ hay xδk

∗ → x∗ khi δ → 0 tacần đặt thêm các điều kiện về tính trơn của nghiệm Xét điều kiện nguồnsau

F0(x) = RxF0(x†), kRx− Ik ≤ ckx − x†k, x ∈ B2ρ(x0), (2.42)

Phương pháp lặp Landweber 25

trong đó c > 0 là hằng số

Ta xét công thức lặp

xδk+1 = xδk+ ωGδ(xδk)∗(yδ − F (xδk)), (2.43)trong đó Gδ(x) = G(x, yδ), và G : D(F ) × Y → L(X, Y ) liên tục

Điều kiện 2.1. Cho ρ > 0 sao cho B2ρ(x0) ⊂ D(F )

(i) Phương trình F (x) = y có nghiệm x† trong Bρ(x0)

(ii) Tồn tại các hằng số dương c1, c2, c3 và họ các toán tử tuyến tính Rδxsao cho với mọi x ∈ Bρ(x†)

kF (x) − F (x†) − F0(x†)(x − x†)k ≤ c1kF (x) − F (x†)k kx − x†k, (2.44)

Gδ(x) = RδxGδ(x†), (2.45)

kRδx− Ik ≤ c2kx − x†k, (2.46)

kF0(x†) − Gδ(x†)k ≤ c3δ, (2.47)(iii) Hệ số ω trong công thức lặp (2.43) thỏa mãn

≤ ωkyδ − F (xδ

k)k

2δ − 2kF (xδk) − yδk + 2kF (x†) − F (xδk) + Gδ(xδk)eδkk+ω2kGδ(xδk)k2 kyδ − F (xδ

k)k2

= ωkyδ − F (xδ

k)k

2δ − 2kF (xδk) − yδk + 2kF (x†) − F (xδk) + Gδ(xδk)eδkk+ωkGδ(xδk)k2 kyδ − F (xδ

k)k



Ta ước lượng các số hạng trong biểu thức trên Theo các điều kiện từ (2.44)đến (2.47) ta có

kF (x†) − F (xδk) + Gδ(xδk)eδkk

≤ kF (x†) − F (xδk) − Keδkk + k(I − Rδ

x δ k

)Keδkk + kRδ

x δ k

k k.

Do xδ0 = x0 ∈ Bρ(x†), và theo (2.49), c1kx0k ≤ 12, cùng với (2.50) và (2.51)suy ra keδ1k < keδ

0k = ke0k, vậy (2.51) đúng với k = 1 và 1 < k∗ Giả sửrằng tính đơn điệu của dãy keδkk đúng với k Theo (2.51) ta có

Cuối cùng sự hội tụ của dãy xδk

∗ tới x† khi δ → 0 được chứng minhtương tự như trong Định lý 2.4



Bổ đề 2.1. Cho p, q là các số nguyên không âm Khi đó tồn tại hằng

số c(p, q) độc lập với k sao cho

k−1

X

j=0

(j + 1)−p(k − j)−q ≤ c(p, q)(k + 1)1−p−qh(k)

Phương pháp lặp Landweber 28với

Chứng minh Xét max(p, q) = 0, không mất tính tổng quát giả sử q = 0

−p

1 − k+1j+1

−q 1 k+1

Bổ đề 2.2. Cho K ∈ L(X, Y ) và ω > 0 sao cho ωkKk2 ≤ 1 và s ∈ [0, 1],

k ≥ 0 Khi đó,

(i) k(I − ωK∗K)k(K∗K)sk ≤ ω−s(k + 1)−s,

Phương pháp lặp Landweber 29(ii) k(I − ωK∗K)kK∗k ≤ ω−12(k + 1)−12,

ck(s, v) = (k + 1)sk(I − ωK∗K)k(K∗K)svk → 0, k → ∞

Chứng minh Các khẳng định từ (i) đến (iii) được suy ra trực tiếp từ lýthuyết phổ trong Định lý 1.5 Trước hết ta cần một bổ đề phụ:

λs(1 − λ)k ≤ (k + 1)−s.Xét hàm f (λ) = λs(1 − λ)k có f0(λ) = λs−1(1 − λ)k−1(s − (k + s)λ) = 0khi λ = k+ss và ta có

Trong trường hợp dữ liệu chính xác, (2.52), (2.53) đúng với mọi k Hơnnữa, γ1,k → 0, γ2,k → 0 khi k → ∞ nếu µ < 1

2.Chứng minh Đặt K = F0(x†), eδk = xδk − x† Chú ý eδ0 = e0 = x0 − x†.Trước hết ta chứng minh hai khẳng định sau bằng phương pháp quynạp

)∗(yδ − F (eδ

k−1))+K∗(yδ − y) + K∗((Rδxδ

k−1

P

j=0

(I − ωK∗K)k−j−1K∗qjδ+ω

k−1

P

j=0

(I − ωK∗K)k−j−1KK∗qδj+

h

I − (I − ωKK∗)k

i(yδ − y),