Phương pháp newton hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh

Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu chonhiều bài toán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bài toán đặt không chỉnhtheo nghĩa Hadamard.Một bài toán được gọi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2010

Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu chonhiều bài toán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bài toán đặt không chỉnhtheo nghĩa Hadamard.

Một bài toán được gọi là đặt chỉnh nếu như a) nó có nghiệm, b) nghiệmduy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một nghĩa nào đó) vào dữ liệucủa bài toán Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì tanói rằng bài toán đặt không chỉnh

Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý

vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán Tuy nhiên, nhiềubài toán của thực tiễn, khoa học công nghệ dẫn tới bài toán đặt không chỉnh.Chính vì những lý do này, vào đầu thập kỷ 50 của thế kỷ trước, nhiều nghiêncứu đã đề cập tới bài toán đặt không chỉnh Các nhà toán học A.N Tikhonov,M.M Lavrentiev, V.K Ivanov, là những người đi tiên phong trong lĩnh vựcnày Vào năm 1963, Tikhonov đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể

từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động,

có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế và trở thành hướng phát triển mạnh củatoán học tính toán

Trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu việc giải phương trình toán tử

A(x) =f

với A là một toán tử phi tuyến từ không gian Hilbert thực H vào chính nó, còn

f là dữ liệu đã cho thuộc H Khi bài toán đặt không chỉnh, thì không phải với

dữ liệu nào bài toán cũng giải được và thường là khi nghiệm của bài toán tồntại, thì lời giải này không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán Do tínhkhông ổn định này, nên việc giải số bài toán gặp khó khăn Vì trong thực tế,ngoài sai số của các dữ liệu, tính toán trên máy tính còn mắc sai số qui tròn

Do đó, việc tìm ra những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt khôngchỉnh khi dữ liệu mắc sai số là rất quan trọng Phương pháp Newton hiệu chỉnh

là một trong các phương pháp như vậy Đây là lý do chúng tôi chọn "Phươngpháp Newton hiệu chỉnh giải bài toán đặt không chỉnh" làm đề tàinghiên cứu trong luận văn này

Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận vàtài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày một số kiến thức về bài toán đặt không chỉnh, toán

tử đơn điệu, đơn điệu cực đại và phương trình toán tử

Chương 2 bên cạnh việc trình bày một số kết quả liên quan đến toán

tử khả vi và phương pháp Newton - Kantorovich, chúng tôi tập trung nghiêncứu phương pháp Newton hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu trongkhông gian Hilbert Các kết quả trong chương này tham khảo từ tài liệu của

Y Alber - I Ryazantseva [3]

Chương 3 trình bày lại kết quả của P.K.Anh và C.V.Chung [8] về phươngpháp Newton hiệu chỉnh song song giải bài toán đặt không chỉnh Phần cuốicủa chương, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho kết quả lý thuyết

Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, ngườihướng dẫn khoa học của mình, GS TSKH Phạm Kỳ Anh, người đã đưa ra

đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu

của tác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoaToán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, ban Giám hiệu Trường Đại học Khoahọc Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫntrong thời gian học tập tại trường, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu

và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này Tác giả cũngchân thành cảm ơn ban Giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sưphạm Kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả cóthế hoàn thành khóa học Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt làbạn bè trong nhóm Toán học tính toán 08-10, đã động viên và cổ vũ rất nhiềutrong suốt thời gian vừa qua

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng gópquý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 10 năm 2010

Học viên

Trần Mạnh Hân

∂F(x) dưới vi phân của F tại x

X∗ không gian liên hợp của không gian X

A0(x) đạo hàm Frechet của toán tử A tại x

A0w(x) đạo hàm Gâteaux của toán tử A tại x

S tập nghiệm của phương trình A(x) = f

xδα nghiệm hiệu chỉnh theo tham số α

(trong trường hợp dữ liệu có nhiễu)

xα xấp xỉ hiệu chỉnh thứ n theo tham số α

1 Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 1

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1

1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh 1

1.1.2 Các ví dụ 3

1.2 Toán tử đơn điệu 5

1.2.1 Toán tử đơn điệu 5

1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại 9

1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại 12

1.3 Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev 14

2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 16 2.1 Toán tử khả vi và phương pháp Newton -Kantorovich 16

2.1.1 Toán tử khả vi 16

2.1.2 Phương pháp Newton - Kantorovich 21

2.2 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 27

2.2.1 Phương pháp Newton hiệu chỉnh 28

2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp Newton hiệu chỉnh 30

2.2.3 Ví dụ 38

Tài liệu tham khảo 40

Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev

Trong chương này chúng tôi giới thiệu về lý thuyết toán tử đơn điệu vàphương trình với toán tử đơn điệu, khái niệm bài toán đặt không chỉnh vàphương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev Nội dung Chương 1 được tham khảo từcác tài liệu [1] và [3]

1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh

ban đầu f , có nghĩa là x=R(f) Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó lànhững phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX(x1, x2 )

Định nghĩa 1.1.1 Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi

là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y) nếu có:

1 Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;

2 Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;

3 Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y)

Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏamãn ba điều kiện trên Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm.Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làmtròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìmnghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh

Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trêncặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gianmetric khác

Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.1), dữ kiện ban đầu

ở đây chính là toán tử A và vế phải f

Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi

fδ với sai số ρY(fδ, f) ≤ δ Như vậy, với (fδ, δ) ta cần phải tìm một phần tử

xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác của (1.1) khi δ → 0 Phần tử xδ có tínhchất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán không chỉnh trên Nếu ta

kí hiệu

Qδ =x ∈ X | ρY (A(x), fδ)≤ δ ,thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên phải nằm trong tập Qδ Nhưng tập

Qδ này còn khá rộng, nên không phải tất cả các phần tử của Qδ có thể coi lànghiệm xấp xỉ của (1.1) được Vì vậy, ta phải chọn phần tử đặc biệt nào đócủa Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.1) Để thực hiện được việc chọn này ta cần

có thêm các thông tin định tính hoặc định lượng về nghiệm chính xác x0 Việc

sử dụng thông tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, còn sử dụngthông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm ) giúp ta xâydựng thuật toán hiệu chỉnh giải bài toán không chỉnh

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toán đặt khôngchỉnh dạng phương trình toán tử

ở đây A là một toán tử từ không gian Hilbert H vào chính nó, f ∈ H Nghiệmcủa bài toán (1.2) có thể tồn tại không duy nhất Do vậy, ta cần đưa ra mộttiêu chuẩn đối với nghiệm Trong thực tế, người ta hay chọn nghiệm của bàitoán gần một điểm cho trước nào đó

1.1.2 Các ví dụ

Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

y(t) =

Z b a

K(t, s)x(s)ds :=Ax(t) (1.3)

với x ∈ C[a, b], y ∈ L2 [a, b] và nhân tích phân K(t, s) cùng với ∂K

∂t là các hàmliên tục

Nếu x ∈ X thì Ax ∈ C1[a, b] Vậy với mọi y ∈ L2\C1 thì phương trình (1.3)

vô nghiệm Vậy bài toán đặt không chỉnh do điều kiện (1) không thỏa mãn.Gọi x1 ∈ X cố định, và x2 (t) = x1 (t) +ωsin (N t), y1 = Ax1, y2 = Ax2 Dễthấy kx2− x1k= max

t∈[a,b]|x2 (t)− x1 (t)| =|ω| Ta có

ky2− y1k =

Z b a

"

Z b a

≤ |ω|

N .Kmax.c0,trong đó c0-hằng số, Kmax = max

t,s∈[a,b]kK(t, s)k

Với ω cho trước, chọn N đủ lớn thì Nω rất nhỏ Do đó ky2−y1k → 0khi N → ∞,tuy nhiên kx1− x2k= |ω| > 0 Vậy bài toán đặt không chỉnh do điều kiện (3)không thỏa mãn

Ví dụ 1.1.3 Xét bài toán truyền nhiệt

K(x, s)u0(s)ds,

Ví dụ 1.1.4 Xét toán tử tuyến tính compact B trong không gian Hilbert H

và A= B∗B Khi đó toán tử A compact, không âm, không có nghịch đảo liêntục Nghĩa là phương trình A(x) = f đặt không chỉnh

1.2.1 Toán tử đơn điệu

Cho X là một không gian Banach phản xạ với không gian đối ngẫu của nó

là X∗ Cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k · k và giá trị của một phiếm hàmtuyến tính liên tục x∗ ∈ X∗ tại điểm x ∈ X được kí hiệu bởi hx∗, xi Cho toán

tử đơn trị A với miền xác định là D(A) ⊆ X và miền ảnh R(A)⊆ X∗

Định nghĩa 1.2.1 Toán tử A được gọi là toán tử đơn điệu, nếu

hA(x)− A(x), x − yi ≥0, ∀x, y ∈ D(A)

A được gọi là đơn điệu chặt nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x=y

Nhận xét 1.2.2

• A là toán tử đơn điệu thì A(x+x0 ) và A(x) +ω0 cũng đơn điệu

• A, B là đơn điệu thì tổng A+B, tích λA, λ > 0 và toán tử nghịch đảo

A−1 cũng là toán tử đơn điệu

• Nếu trong toán tử đơn điệu A và B có ít nhất một toán tử đơn điệu chặtthì tổng A+B cũng đơn điệu chặt

• Với A :X → X∗ là toán tử tuyến tính thì tính đơn điệu tương đương vớitính xác định không âm:

1 Giả sử rằng ϕ : X → R là hàm lồi chính thường và tồn tại dưới vi phân

∂ϕ: X →2X∗ Khi đó toán tử ∂ϕ là đơn điệu Thật vậy, ∀x, y ∈ domϕ ta có

ϕ(y)− ϕ(x) ≥ hf, y − xi, f ∈ ∂ϕ(x),

ϕ(x)− ϕ(y)≥ hg, x − yi, g ∈ ∂ϕ(y).Cộng hai bất đẳng thức ta thu được

hf − g, x − yi ≥0 ∀x, y ∈ domϕ, f ∈ ∂(x), g ∈ ∂(y)

2 Cho H là không gian Hilbert, A: H → H là toán tử không giãn, tức là

kA(x)− A(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ D(A).Khi đó toán tử I − A là đơn điệu Thật vậy, ta có

hx − A(x)− y+A(y), x − yi= kx − yk2 − hA(x)− A(y), x − yi

≥ kx − yk2− kA(x)− A(y)kkx − yk

≥ kx − yk2− kx − yk2 = 0

3 Cho Ω là tập lồi đóng trong không gian Hilbert H, x ∈ H và PΩ(x) là hìnhchiếu của x lên Ω xác định bởi

kx − PΩ (x)k = min{kx − zk | z ∈Ω} (1.4)Phần tử u =PΩ (x) là duy nhất với mọi x ∈ H Ta chứng minh toán tử PΩ đơnđiệu

Trước hết, ta chỉ ra rằng đẳng thức trên tương đương bất đẳng thức

hPΩ(x)− x, z − PΩ(x)i ≥ 0 ∀z ∈ Ω (1.5)Thật vậy, ta có

hx − PΩ (x)− t(z − PΩ (x)), z − PΩ (x)i ≤ 0.Cho t →0 ta thu được (1.5)

Tương tự (1.5) ta có thể viết

hPΩ(y)− y, z − PΩ(y)i ≥ 0 z ∈ Ω (1.6)Chọn z = PΩ(y) và z =PΩ(x) tương ứng trong (1.5) và (1.6), rồi cộng hai bấtđẳng thức lại, ta thu được

hPΩ (x)− PΩ (y), x − yi − kPΩ (x)− PΩ (y)k2 ≥ 0.Như vậy, PΩ là toán tử đơn điệu Từ đây cũng suy ra toán tử chiếu PΩ là khônggiãn trong H

Định nghĩa 1.2.4 Toán tử A:X → Y được gọi là

1) liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu A(xn )→ A(x0 ) khi xn → x0;

2) hemi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu A(x0 +tnx) * A(x0 ) khi tn → 0 vớivéc tơ x bất kỳ thỏa mãn x0+tnx ∈ D(A) và 0≤ tn ≤ t(x0);

3) demi-liên tục tại điểm x0 ∈ D(A) nếu với dãy bất kỳ {xn} ⊂ D(A) thỏamãn xn → x0 thì A(xn ) * A(x0 ) (rõ ràng là tính hemi-liên tục của A được suy

từ tính demi-liên tục);

4) Lipschitz-liên tục nếu tồn tại hằng số L > 0 thỏa mãn kA(x1 )− A(x2 )k ≤Lkx1− x2k với mọi x1, x2 ∈ X;

5) liên tục mạnh nếu xn * x kéo theo A(xn)→ A(x);

6) liên tục yếu-yếu (hoặc liên tục yếu theo dãy) tại điểm x0 ∈ D(A) nếu vớidãy bất kỳ {xn} ⊂ D(A) thỏa mãn xn * x0 thì A(xn ) * A(x0 )

Định nghĩa 1.2.5 Toán tử A: X → X∗ được gọi là toán tử bức, nếu tồn tạihàm c(t) xác định với t ≥0 sao cho c(t)→ ∞ khi t → ∞, và

hA(x), xi ≥ c(kxk)kxk ∀x ∈ D(A).Nhận xét 1.2.6 Nếu A: X → X∗ là toán tử bức thì

lim

kxk→+∞

hA(x), xi

k x k = +∞.

Định nghĩa 1.2.7 Cho µ(t) là hàm tăng, liên tục với t ≥ 0 thỏa mãn µ(0) =

0, µ(t)→ ∞ khi t → ∞ Toán tử Jµ :X →2X∗ được cho bởi

Jµ(x) ={y ∈ X∗ | hy, xi =kyk∗kxk, µ(kxk) =kyk∗},được gọi là ánh xạ đối ngẫu của X

Khi µ(t) =t thì Jµ được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, kí hiệu là J Khi

đó ta có

J(x) =y ∈ X∗ | hy, xi =kyk∗kxk= kxk2

Nhận xét 1.2.8.

? Trong không gian Hilbert H, thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J chính là toán

tử đồng nhất I trong không gian H

? Trong không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu Jµ : X → X∗ luôn tồn tại vàmiền xác định của nó là toàn bộ X

? Trong không gian Banach, ánh xạ đối ngẫu Jµ là toán tử bức, đơn điệu và

1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại

Cho X là không gian Banach thực phản xạ, X∗ là không gian đối ngẫu của

X, toán tử A :X → X∗ Ngoài định nghĩa đã được trình bày ở trên, khái niệm

về toán tử đơn điệu còn được mô tả dựa trên đồ thị Gr(A)của toán tử A trongkhông gian tích X × X∗

Gr(A) ={(x, A(x))∈ X × X∗ | x ∈ D(A)} Toán tử A được gọi là đơn điệu nếu

hx∗− y∗, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ X, ∀x∗ ∈ A(x), ∀y∗ ∈ A(y)

Định nghĩa 1.2.9 Tập G ⊂ X × X∗ được gọi là tập đơn điệu nếu

hx∗− y∗, x − yi ≥ 0,với mọi cặp (x, x∗) và (y, y∗) thuộc G

Định nghĩa 1.2.10 Tập đơn điệu G ⊂ X × X∗ được gọi là đơn điệu cực đạinếu nó không là tập con thực sự của một tập đơn điệu nào khác trong X × X∗.Định nghĩa 1.2.11 Toán tử A: X → X∗ với D(A) ⊂ X được gọi là toán tửđơn điệu cực đại nếu Gr(A) là một tập đơn điệu cực đại trong X × X∗.

Mệnh đề 1.2.12 Toán tử đơn điệu A : X → X∗ là đơn điệu cực đại trên

D(A) nếu và chỉ nếu hệ thức hy∗ − x∗, y − x0i ≥ 0, ∀(y, y∗) ∈ Gr(A) suy ra

Nhận xét 1.2.14 Vì đồ thị của toán tử A và nghịch đảo A−1 trùng nhau nên

từ A đơn điệu mạnh suy ra A−1 đơn điệu mạnh và ngược lại

Toán tử A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A+αJ (J là ánh

xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X) là toàn bộ không gian X∗, đó là nội dung củađịnh lý sau

Định lý 1.2.15 Cho X và X∗ là các không gian Banach thực phản xạ vàlồi chặt, J : X → X∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của X, A : X → X∗ làmột toán tử đơn điệu Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu

R(A+αJ) = X∗ với mọi α >0

Định lý sau đây (A ≡ O) chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liêntục và bị chặn nào từ X vào X∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại

Định lý 1.2.16 Cho B : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và

bị chặn, A : X → X∗ là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A+B cũng là mộttoán tử đơn điệu cực đại

Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của

nó là toàn bộ không gian X Ta có kết quả sau

Định lý 1.2.17 Cho A : X → X∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục với

D(A) =X Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại

Định lý 1.2.18 Cho A :X → X∗ là toán tử bức và đơn điệu cực đại Khi đó

Từ định nghĩa về toán tử đơn điệu cực đại ta có khẳng định sau:

Bổ đề 1.2.24 Đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại A: X → X∗ là nửa đóng

1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại

Trong mục này, chúng ta xét X là một không gian Banach thực, X∗ làkhông gian đối ngẫu của X

Định nghĩa 1.2.25 Cho toán tử A:X → X∗, f ∈ X∗

Phương trình A(x) =f được gọi là phương trình toán tử loại I

Phương trình x =λA(x) +f, trong đó λ là một số thực, được gọi là phươngtrình toán tử loại II

Định nghĩa 1.2.26 Phần tử x0 ∈ D(A) thỏa mãn f = A(x0 ) được gọi lànghiệm của phương trình A(x) =f với toán tử A đơn trị, đơn điệu cực đại.Định lý 1.2.27 Nếu A: X → X∗ là toán tử đơn điệu cực đại thì tập nghiệm

S :={x ∈ D(A) | f = A(x)} lồi và đóng trong X

Khi đó nghiệm x† ∈ S thỏa mãn x† = min{kx∗k | x∗ ∈ S} được gọi là nghiệmvới chuẩn nhỏ nhất

Từ Định lý 1.2.17 và 1.2.18 suy ra định lý Minty-Browder sau:

Định lý 1.2.28 Giả sử rằng A: X → X∗ là toán tử đơn điệu cực đại, f ∈ X∗

và tồn tại số r > 0sao cho hA(x)− f, xi ≥ 0khi kxk ≥ r Khi đó tồn tại x ∈ X¯

thỏa mãn f =Ax và k¯ xk ≤ r.¯

Nhận xét 1.2.29 Từ các điều kiện của Định lý 1.2.18, 1.2.28 và Hệ quả1.2.20, nếu toán tử A đơn điệu chặt thì phương trình A(x) =f với mọi f ∈ X∗

có nghiệm duy nhất

Định lý 1.2.30 (Bổ đề Minty) Cho X là một không gian Banach thực, f ∈ X∗

và A là một toán tử hemi-liên tục từ X vào X∗ Khi đó, nếu

hA(x)− f, x − x0i ≥ 0, ∀x ∈ X, (1.7)

| hA(x0− tz)− A(x0 ), zi | ≤ 1

3kzkkA(x0 )− f k (1.8)

Từ điều kiện của Định lý ta có

hA(x0− tz)− f,(x0− tz)− x0i ≥ 0,hay

hA(x0− tz)− A(x0 ), −tzi+hA(x0 )− f, −tzi ≥0,suy ra

hA(x0− tz)− A(x0 ), −zi ≥ hA(x0 )− f, −zi

Do đó

| hA(x0− tz)− A(x0 ), zi | > 1

2kzkkA(x0 )− f k >0.Bất đẳng thức cuối cùng trái với (1.8) Định lý được chứng minh

Nhận xét 1.2.31 Nếu A là toán tử đơn điệu thì bất đẳng thức (1.7) còn đượcthay thế bởi

Nhận xét 1.2.33.

1) Mọi toán tử compact, tự liên hợp, không âm trong không gian Hilbert đều

là ngược đơn điệu mạnh, và hiệu của toán tử đồng nhất và toán tử không giãn

là toán tử ngược đơn điệu mạnh

2) Mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh là đơn điệu nhưng chưa chắc đã đơn điệumạnh

Xét bài toán đặt không chỉnh phi tuyến

trong đó A :D(A)→ H là toán tử phi tuyến đơn điệu với miền D(A)⊂ H và

H là không gian Hilbert thực

Giả sử rằng yδ ∈ H là dữ liệu có nhiễu, ky − yδk ≤ δ Phương trình (1.9) cónghiệm x† và A có đạo hàm Frechet A0(·) bị chặn đều địa phương trong hìnhcầu Br(x†) bán kính r tâm x† ∈ H

Nói chung, nghiệm của bài toán không chỉnh (1.9) không phụ thuộc liên tụcvào dữ liệu Do đó chúng ta cần sử dụng những phương pháp hiệu chỉnh

Phương pháp hiệu chỉnh thường sử dụng là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov.Phương pháp này tìm một nghiệm xấp xỉ xδα bằng việc cực tiểu hóa phiếm hàmTikhonov

Mα (x) =kA(x)− yδk2+αkx − xk2,với x ∈ H là giá trị ban đầu và tham số hiệu chỉnh α > 0 Nếu xδα là điểmtrong của D(A) thì nghiệm hiệu chỉnh xδ

α thỏa mãn phương trình chuẩn tắc

A(x) +α(x − x) =yδ (1.10)

Trong phương pháp này, nghiệm xấp xỉ hiệu chỉnh xδ

α thu được từ việc giảiphương trình toán tử (1.10)

Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính, xấp xỉ hiệu chỉnh xδα của (1.10)được cho bởi

xδα =x+ (A+αI)−1(yδ − Ax) = (A+αI)−1(yδ+αx) (1.11)

Từ tính khả vi Frechet của A có thể thấy A là hemi-liên tục Định lý sauchỉ ra sự tồn tại và duy nhất của xấp xỉ hiệu chỉnh xδα của phương trình (1.10).Định lý 1.3.1 Cho x† ∈ D(A) là nghiệm của (1.9) và A : D(A) ⊂ H → Hkhả vi Frechet và đơn điệu trong hình cầu Br(x†) ⊂ D(A) với bán kính r =

kx − x†k +δ/α Khi đó phương trình hiệu chỉnh (1.10) có nghiệm duy nhấttrong hình cầu Br(x†)

Phương pháp Newton hiệu chỉnh

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một phương pháp hiệu chỉnh giảiphương trình toán tử

trong không gian Hilbert thực H với A :H → H là toán tử đơn điệu và f ∈ H.Phương trình (2.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Ký hiệu S

là tập nghiệm của phương trình (2.1) S được giả thiết là khác rỗng, khi đó S

là một tập lồi đóng trong H (xem Định lý 1.2.27)

-Kantorovich

2.1.1 Toán tử khả vi

Định nghĩa 2.1.1 Cho X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Toán tử

A :X → Y , với D(A) là một tập mở, được gọi là khả vi Frechet (khả vi mạnh)tại x ∈ D(A) nếu tồn tại toán tử tuyến tính liên tục A0(x) : X → Y sao cho