Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 51 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Cấu trúc
Toán tử đơn điệu và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Bài toán đặt không chỉnh
Khái niệm bài toán đặt không chỉnh
Các ví dụ
Toán tử đơn điệu
Toán tử đơn điệu
Toán tử đơn điệu cực đại
Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại
Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Phương pháp Newton hiệu chỉnh
Toán tử khả vi và phương pháp Newton - Kantorovich
Toán tử khả vi
Phương pháp Newton - Kantorovich
Phương pháp Newton hiệu chỉnh
Phương pháp Newton hiệu chỉnh
Sự hội tụ của phương pháp Newton hiệu chỉnh
Ví dụ
Tài lịu tham khao
Chỉ dẫn
Nội dung
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNGPHÁPNEWTONHIỆUCHỈNHGIẢIBÀITOÁNĐẶTKHÔNGCHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNGPHÁPNEWTONHIỆUCHỈNHGIẢIBÀITOÁNĐẶTKHÔNGCHỈNH Chuyên ngành: Toán học tính toán Mã số: 60.46.30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2010 Lời nói đầu Phương trình với toán tử đơn điệu, lớp mô hình toán học tiêu biểu cho nhiều bàitoán thực tiễn, trong nhiều trường hợp là bàitoánđặtkhôngchỉnh theo nghĩa Hadamard. Một bàitoán được gọi là đặtchỉnh nếu như a) nó có nghiệm, b) nghiệm duy nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo một nghĩa nào đó) vào dữ liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta nói rằng bàitoánđặtkhông chỉnh. Hadamard cho rằng các bàitoánđặtkhôngchỉnhkhông có ý nghĩa vật lý vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Tuy nhiên, nhiều bàitoán của thực tiễn, khoa học công nghệ dẫn tới bàitoánđặtkhông chỉnh. Chính vì những lý do này, vào đầu thập kỷ 50 của thế kỷ trước, nhiều nghiên cứu đã đề cập tới bàitoánđặtkhông chỉnh. Các nhà toán học A.N. Tikhonov, M.M. Lavrentiev, V.K. Ivanov, là những người đi tiên phong trong lĩnh vực này. Vào năm 1963, Tikhonov đưa ra phươngpháphiệuchỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bàitoánđặtkhôngchỉnh được phát triển hết sức sôi động, có mặt ở hầu hết các bàitoán thực tế và trở thành hướng phát triển mạnh của toán học tính toán. Trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu việc giảiphương trình toán tử A(x) = f i Lời nói đầu với A là một toán tử phi tuyến từ không gian Hilbert thực H vào chính nó, còn f là dữ liệu đã cho thuộc H. Khi bàitoánđặtkhông chỉnh, thì không phải với dữ liệu nào bàitoán cũng giải được và thường là khi nghiệm của bàitoán tồn tại, thì lời giải này không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Do tính không ổn định này, nên việc giải số bàitoán gặp khó khăn. Vì trong thực tế, ngoài sai số của các dữ liệu, tính toán trên máy tính còn mắc sai số qui tròn. Do đó, việc tìm ra những phươngphápgiải ổn định các bàitoánđặtkhôngchỉnh khi dữ liệu mắc sai số là rất quan trọng. PhươngphápNewtonhiệuchỉnh là một trong các phươngpháp như vậy. Đây là lý do chúng tôi chọn "Phương phápNewtonhiệuchỉnhgiảibàitoánđặtkhông chỉnh" làm đề tài nghiên cứu trong luận văn này. Nội dung của luận văn gồm có phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 trình bày một số kiến thức về bàitoánđặtkhông chỉnh, toán tử đơn điệu, đơn điệu cực đại và phương trình toán tử. Chương 2 bên cạnh việc trình bày một số kết quả liên quan đến toán tử khả vi và phươngphápNewton - Kantorovich, chúng tôi tập trung nghiên cứu phươngphápNewtonhiệuchỉnhgiảiphương trình toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert. Các kết quả trong chương này tham khảo từ tài liệu của Y. Alber - I. Ryazantseva [3] Chương 3 trình bày lại kết quả của P.K.Anh và C.V.Chung [8] về phươngphápNewtonhiệuchỉnh song song giảibàitoánđặtkhông chỉnh. Phần cuối của chương, trình bày một số ví dụ minh hoạ cho kết quả lý thuyết. Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến người thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh, người đã đưa ra đề tài, luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu ii Lời nói đầu của tác giả. Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, phòng Sau đại học, ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn trong thời gian học tập tại trường, đã tạo mọi điều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoàn thành bản luận văn này. Tác giả cũng chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, khoa Khoa học cơ bản trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để tác giả có thế hoàn thành khóa học. Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến bạn bè, đặc biệt là bạn bè trong nhóm Toán học tính toán 08-10, đã động viên và cổ vũ rất nhiều trong suốt thời gian vừa qua. Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 10 năm 2010 Học viên Trần Mạnh Hân iii iv Bảng ký hiệu Bảng ký hiệu R = R ∪{−∞, +∞} tập số thực mở rộng P Ω x hình chiếu của x lên Ω Gr(A) đồ thị của toán tử A · tích vô hướng trong không gian Hilbert · X chuẩn trên X domf miền hữu hiệu của f ∂F (x) dưới vi phân của F tại x X ∗ không gian liên hợp của không gian X F : X → 2 X ∗ ánh xạ đa trị trên X L(X, Y ) không gian các toán tử tuyến tính từ X vào Y D(A) miền xác định của A R(A) miền ảnh của A B[x 0 , r] hình cầu đóng tâm x 0 bán kính r B(x 0 , r) hình cầu mở tâm x 0 bán kính r A (x) đạo hàm Frechet của toán tử A tại x A w (x) đạo hàm Gâteaux của toán tử A tại x S tập nghiệm của phương trình A(x) = f x † nghiệm với chuẩn nhỏ nhất x δ α nghiệm hiệuchỉnh theo tham số α (trong trường hợp dữ liệu có nhiễu) x α n xấp xỉ hiệuchỉnh thứ n theo tham số α v Mục lục 1 Toán tử đơn điệu và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev 1 1.1 Bàitoánđặtkhôngchỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm bàitoánđặtkhôngchỉnh . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 12 1.3 Phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 PhươngphápNewtonhiệuchỉnh 16 2.1 Toán tử khả vi và phươngphápNewton - Kantorovich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Toán tử khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 PhươngphápNewton - Kantorovich . . . . . . . . . . . 21 2.2 PhươngphápNewtonhiệuchỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 PhươngphápNewtonhiệuchỉnh . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Sự hội tụ của phươngphápNewtonhiệuchỉnh . . . . . . 30 2.2.3 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 vi MỤC LỤC Tài liệu tham khảo 40 Chỉ dẫn 42 vii Chương 1 Toán tử đơn điệu và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev Trong chương này chúng tôi giới thiệu về lý thuyết toán tử đơn điệu và phương trình với toán tử đơn điệu, khái niệm bàitoánđặtkhôngchỉnh và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev. Nội dung Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3]. 1.1 Bàitoánđặtkhôngchỉnh 1.1.1 Khái niệm bàitoánđặtkhôngchỉnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, f ∈ Y, (1.1) trong đó A là một toán tử từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó. Khái niệm về bàitoánchỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của điều kiện biên lên nghiệm của phương trình elliptic hoặc parabolic. Việc tìm nghiệm x của bất kì một bàitoán nào cũng phải dựa vào dữ kiện 1 [...]... dẫn đến phươngpháp tựa nghiệm, còn sử dụng thông tin định tính (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm ) giúp ta xây dựng thuật toánhiệuchỉnhgiảibàitoánkhôngchỉnh Trong luận văn này, chúng tôi tập trung nghiên cứu bài toánđặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, (1.2) ở đây A là một toán tử từ không gian Hilbert H vào chính nó, f ∈ H Nghiệm của bàitoán (1.2) có thể tồn tại không. .. 1 Toán tử đơn điệu và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev ∞ với K (x, s) = 2 e−n T sin (nx) sin (ns) Để tìm u0 (x) ta phải giảiphương trình n=1 tích phân Fredholm loại I là bài toánđặt không chỉnh Ví dụ 1.1.4 Xét toán tử tuyến tính compact B trong không gian Hilbert H và A = B ∗ B Khi đó toán tử A compact, không âm, không có nghịch đảo liên tục Nghĩa là phương trình A(x) = f đặtkhôngchỉnh 1.2 Toán. .. liệu có nhiễu, y − y δ ≤ δ Phương trình (1.9) có nghiệm x† và A có đạo hàm Frechet A (·) bị chặn đều địa phương trong hình cầu Br (x† ) bán kính r tâm x† ∈ H Nói chung, nghiệm của bàitoánkhôngchỉnh (1.9) không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Do đó chúng ta cần sử dụng những phươngpháphiệuchỉnhPhươngpháphiệuchỉnh thường sử dụng là phươngpháphiệuchỉnh Tikhonov Phươngpháp này tìm một nghiệm... phươngpháphiệuchỉnhgiảiphương trình toán tử A(x) = f, (2.1) trong không gian Hilbert thực H với A : H → H là toán tử đơn điệu và f ∈ H Phương trình (2.1) nói chung là một bài toánđặt không chỉnh Ký hiệu S là tập nghiệm của phương trình (2.1) S được giả thiết là khác rỗng, khi đó S là một tập lồi đóng trong H (xem Định lý 1.2.27) 2.1 Toán tử khả vi và phươngphápNewton Kantorovich 2.1.1 Toán tử khả... Hilbert đều là ngược đơn điệu mạnh, và hiệu của toán tử đồng nhất và toán tử không giãn là toán tử ngược đơn điệu mạnh 2) Mọi toán tử ngược đơn điệu mạnh là đơn điệu nhưng chưa chắc đã đơn điệu mạnh 1.3 Phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev Xét bài toánđặt không chỉnh phi tuyến A(x) = y, (1.9) trong đó A : D(A) → H là toán tử phi tuyến đơn điệu với miền D(A) ⊂ H và H là không gian Hilbert thực Giả sử rằng... và tham số hiệuchỉnh α > 0 Nếu xδ là điểm α trong của D(A) thì nghiệm hiệuchỉnh xδ thỏa mãn phương trình chuẩn tắc α 14 Chương 1 Toán tử đơn điệu và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev (phương trình Euler) A (x)∗ [A(x) − y δ ] + α(x − x) = 0 của phiếm hàm Mα (x) Ở đây, A (x)∗ là liên hợp của đạo hàm Frechet A (x) Trong trường hợp A là toán tử đơn điệu, ta có thể sử dụng phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev... Trong tính toán các bàitoán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số Chính sự làm tròn đó dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bàitoán tìm nghiệm được gọi là bài toánđặt không chỉnh Cũng cần lưu ý rằng một bàitoán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian... 1.2.24 Đồ thị của toán tử đơn điệu cực đại A : X → X ∗ là nửa đóng 11 Chương 1 Toán tử đơn điệu và phươngpháphiệuchỉnh Lavrentiev 1.2.3 Phương trình với toán tử đơn điệu cực đại Trong mục này, chúng ta xét X là một không gian Banach thực, X ∗ là không gian đối ngẫu của X Định nghĩa 1.2.25 Cho toán tử A : X → X ∗ , f ∈ X ∗ Phương trình A(x) = f được gọi là phương trình toán tử loại I Phương trình x... tích phân trên R 20 Chương 2 PhươngphápNewtonhiệuchỉnh Định lý 2.1.13 (Công thức Newton- Leibnitz) Cho X, Y là không gian tuyến tính định chuẩn Giả sử A : [x0 , x0 + h] ⊂ X → Y có đạo hàm mạnh A (x) liên tục trên [x0 , x0 + h] Khi đó x0 +h A (x) dx = A(x0 + h) − A(x0 ) (2.9) x0 2.1.2 PhươngphápNewton - Kantorovich PhươngphápNewton ra đời năm 1669 Kantorovich mở rộng cho không gian Banach năm 1939... của bàitoán (2.13) 24 Chương 2 PhươngphápNewtonhiệuchỉnh Ví dụ 2.1.17 Xét phương trình vi phân x (t) = f (x(t), t), Đặt F (x) := x(0) = 0 (2.14) dx − f (x(t), t) Khi đó dt F (x)h(t) := h (t) + fx (x(t), t)h(t) Ta có công thức lặp cho xn+1 theo phươngpháp Newton- Kantorovich t 1 {x (s) − f (xn (x), s)}ds, ϕn (s) n xn+1 = xn − ϕn (t) 0 trong đó t ϕn (t) := exp fx (xn (s), s)ds 0 Áp dụng giảiphương . chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Nội dung Chương 1 được tham khảo từ các tài liệu [1] và [3]. 1.1 Bài toán đặt không chỉnh 1.1.1 Khái niệm bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình toán. liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện này không thoả mãn thì ta nói rằng bài toán đặt không chỉnh. Hadamard cho rằng các bài toán đặt không chỉnh không có ý nghĩa vật lý vì nghiệm không. Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU CHỈNH GIẢI BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2010 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trần Mạnh Hân PHƯƠNG PHÁP NEWTON HIỆU