Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

[SKKN] Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng A: ĐẶT VẤN ĐỀ Các bạn em học sinh thân mến! Ngoài ứng dụng tính đơn điệu hàm số để khảo sát vẽ đồ thị hàm số tính chất cịn vận dụng để giải nhiều dạng tốn như: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, Những tốn sử dụng phương pháp hàm số để giải thường có cách giải ngắn gọn, hay độc đáo Do giảm tải kiến thức toán bậc THPT, tập SGK thông thường học sinh giải phương pháp biến đổi tương đương, phương pháp đặt ẩn phụ, cịn số lượng tập ứng dụng tính đơn điệu để giải ít, hạn chế nghèo nàn Nhưng kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng nhiều tốn giải phương pháp hàm số, việc trang bị cho học sinh giải toán phương pháp hàm số cần thiết Tơi xin trình bày số ứng dụng phương pháp sử dụng tính chất đơn điệu để giải toán I Lý chọn đề tài: Cơ sở lí luận: Để giải dạng tập chương trình BĐT, giải PT, BPT, hệ PT phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số thường dựa nguyên tắc sau a Chứng minh BĐT: Bài toán: cho x ∈ [ a; b] , chứng minh BĐT: “A(x)>B(x)” Phương pháp giải: - Biến đổi BĐT dạng: A(x) – B(x) >0 (1) B(x) – A(x) f ( x ) Trang SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng * Tính chất: Cho f (x) xác định K Với ∀x1 x ∈ K ; f ( x1 ) = f ( x ) ⇔ x1 = x * Để chứng minh tính đơn điệu hàm số y = f (x) K ta dựa vào phương pháp sau: - Phương pháp 1: Dùng định nghĩa + Lấy x1 x ∈ K , x1 ≠ x , lập tỉ số A = f ( x ) − f ( x1 ) x − x1 + Dựa vào dấu A để suy tính đơn điệu A>0: f đồng biến A0 (BT SGK lớp 12 NC) 3! Hướng dẫn cách chứng minh: x3 - x + sinx >0 3! x3 Thiết lập hàm số: f(x) = - x + sinx , x ∈ (0 ; ∞ ) 3! Cm: f(x) Đồng biến đoạn [0 ; + ∞ ), f(0) = Chuyển bđt dạng: : Cách giải: x3 Ta có (1) ⇔ - x + sinx >0 ∀ x >0 3! Xét hàm số: f(x) = x3 - x + sinx , x ∈ (0 ; ∞ ) 3! Ta có: f(x) liên tục đoạn [ ; + ∞ ), f’(x) = x2 - + cosx f’’(x) = x – sinx ; f’’’(x) = – cosx Do f’’’(x) = – cosx ≥ ∀ x >0 f’’’(x) = hữu hạn điểm (0 ; + ∞ ) ⇒ f’’(x) Đồng biến [ ; + ∞ ) ⇒ f’’(x) >f’’(0) = với ∀ x >0 ⇒ f’(x) Đồng biến [ ; + ∞ ) ⇒ f’(x ) > f’(0) = với ∀ x >0 ⇒ f(x) Đồng biến [ ; + ∞ ) ⇒ f(x ) > f(0) = với ∀ x >0 π Thí dụ 2: CMR: sinx + tanx >2x , ∀ x ∈ (0; ) (BT SGK lớp 12 NC) Hướng dẫn cách chứng minh: Chuyển bđt dạng: sinx + tanx -2x > Thiết lập hàm số: f(x) = sinx + tanx -2x , x ∈ (0; Cm: f(x) Đồng biến đoạn [ ; π ) π π ) ⇒ f(x ) > f(0) = với ∀ x ∈ (0; ) 2 Cách giải: Xét hàm số : f(x) = sinx + tanx -2x , x ∈ (0; Ta có f(x) liên tục [ ; Do x ∈ (0; π ) π ) f’(x) = cosx + -2 cos x π ) ⇒ < cosx < ⇒ cos2x cos2x + -2 ≥ 2–2=0 cos x cos x π ⇒ f’(x) > với ∀ x ∈ (0; ) π ⇒ f(x) đồng biến [ ; ) ⇒ f(x) > f(0) = (đpcm) ⇒ f’(x) = cosx + Thí dụ 3: Với x>0, n ∈ N* ta có: ex > + x + x2 x3 xn + +…+ (BT tham khảo) 2! 3! n! Hướng dẫn cách chứng minh: x2 x3 xn Chuyển bđt dạng: x - ln(1 + x + + +…+ ) >0 2! 3! n! x2 x3 xn Xét hàm số: f(x) = x - ln(1 + x + + +…+ ) x ∈ (0 ; ∞ ) 2! 3! n! Chứng minh hàm số đồng biến [0; + ∞ ) ⇒ f(x) > f(0) = với x ∈ (0 ; ∞ ) Cách giải: Xét hàm số : f(x) = x - ln(1 + x + x2 x3 xn + +…+ ) , x ∈ (0 ; ∞ ) 2! 3! n! Ta có: f(x) liên tục [0; + ∞ ) x2 x n −1 xn + + (n − 1)! n! = có f’(x) = − >0, ∀ x >0 n x x x xn + x + + + + x + + + n! n! ⇒ f(x) đồng biến [0; + ∞ ) ⇒ f(x) > f(0) = với x ∈ (0 ; + ∞ ) 1+ x + Bài tập tham khảo: Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: x2 a.) cosx > , ∀x > x3 b.) sinx > x , ∀x < x2 c.) ex > + x + 2!   b   a d.) a.)  2a + a ÷ ≤  2b + b ÷ , ∀ a ≥ b >     Giải phương trình, bất phương trình: Thí dụ 4: Giải phương trình sau:; a.) 3x + 4x = 5x b.) 2x = – x c.) log2x = – x Bài tập SGK 12 nâng cao Trang SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hoàng Hướng dẫn cách giải: Cách 1: - Nhẩm nghiệm - Chứng minh nghiệm Cách 2: - Thiết lập hàm số - Dùng tính đơn điệu để suy nghiệm phương trình Cách giải: a.) 3x + 4x = 5x (1) Cách 1: Ta có x = nghiệm phương trình 3x + 4x = 5x (1) x x 3  4 (1) ⇔  ÷ +  ÷ = 5  5 Vế trái: hàm số nghịch biến ⇒ Nếu phương trình có nghiệm có nghiệm Vế phải hàm Vậy x = nghiệm phương trình (1) x x 3  4 Cách 2: (1) ⇔  ÷ +  ÷ = 5  5 x x 3  4 Xét f(x) =  ÷ +  ÷ 5  5 x x 4 3 ⇒ f’(x) =  ÷ ln +  ÷ ln < ∀x ∈ ¡ 5 5 ⇒ f’(x) nghịch biến ¡ f(2)= ⇒ x = nghiệm phương trình (1) Các ví dụ b, c giải tương tự Thí dụ 5: (Bài tập tham khảo) x2 + x + = x − 3x + Giải phương trình: log 2x − 2x + (1) Hướng dẫn cách giải: u = x + x +  Nhận dạng: Nếu đặt  ⇒ v – u = x − 3x + 2 v = x − x +  - Do (1) ⇔ log u = v − u (2) v - Nhận thấy phương trình có nghiệm u = v Thiết lập hàm số: biến đổi phương trình dạng: log3u +u = log3v +v Xét hàm số f(t) = log t + t , t > Cách giải: đặt u = x + x + > ∀x v = x − x + >0 ∀x Trang SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng ⇒ v - u = x − 3x + u = v − u = log3u +u = log3v +v (2) v Xét hàm số f(t) = log t + t , t > f’(t) = + >0 với ∀ t > t ln ⇒f(t) đồng biến với ∀ t > (2) ⇔ f(u) = f(v) ⇔ u = v ⇔ v – u = ⇒ x − 3x + ⇔ x = v x = Phương trình (1) ⇔ log Vậy phương trình có nghiệm x = 1, x= Thí dụ 6: (Bài tập tham khảo) Giải bất phương trình: log (3 + x ) > log x (1) Hướng dẫn cách giải: Đặt: t = log x ⇒ x = 4t t t 1 2 Đưa bpt dạng:  ÷ +  ÷ > (2) 5  5 - t t 1 2 Thiết lập hàm f(t) =  ÷ +  ÷ 5  5 - - Chứng minh f(t) hàm nghịch biến f(1) = Cách giải: Điều kiện: x > Đặt t = log x ⇒ x = 4t 1   t 2   t Bất phương trình (1) trở thành: + 2t > 5t ⇔  ÷ +  ÷ > (2) 5 t t 1 2 Xét hàm f(t) =  ÷ +  ÷ 5  5 t t 1 2 f’(t) =  ÷ ln +  ÷ ln f(1) ⇒ t < ⇒ log4x < ⇔ 0< x < Bài tập tham khảo: Bài 2: Giải phương trình, bất phương trình sau: a x2 + 3log2x = xlog25 b log ( x + x + 1) − log (2 x − x + 3) = x − 3x + c 2x + 3x + >6x Trang SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng x + 3x + log 2 < x2 − x − 2x + 2x + d Giải hệ: (Bài tập tham khảo) 3x − y = y − x (1)  Thí dụ 7: Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 12 (2)  (I) Hướng dẫn cách giải: Học sinh nhận thấy phương trình (1) có nghiệp x = y Biển đổi phương trình (1) dạng 3x + x = 3y + y (3) Thiết lập hàm số: f(t) = 3t + t Chứng minh f(t) hàm đồng biến, (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y 3x + x = y + y (3)  Cách giải: (I) ⇔  2  x + xy + y = 12  Xét hàm số: f(t) = 3t + t ⇒ f’(t) = 3tln3 + >0 ∀ t ∈ ¡ ⇒ f(t) hàm đồng biến, (3) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y x = y Nên (I) ⇔  2  x + xy + y = 12 ⇔x=y=±2 Vậy hệ có hai nghiệm: (2;2) ; (-2; 2)  2x + + − y =  Thí dụ 8: Giải hệ   2y + + − x =  (1) (2) (I) Hướng dẫn cách giải: Nhận dạng: Đây hệ phương trình đối xứng loại nên có nghiệm x = y - Lấy (1) – (2) đưa phương trình dạng x + − − x = y + − − y - Thiết lập hàm số: f(t)= Cách giải: Điều kiện - 2t + − − t , t ∈ [- ;4] ≤ x, y ≤ Lấy (1) – (2) đưa phương trình dạng x + − − x = y + − − y (3) 2t + − − t , t ∈ [- ;4] 1 + > ∀ t ∈ [- ;4] ⇒ f’(t) = 2t + 4−t ⇒ f(t) đồng biến (- ;4) (3) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ⇔ x = y Xét hàm số: f(t)= Suy ra: x + + − x = (pt vô tỉ dạng bản) Trang 10 SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng 11 (thỏa điều kiện)  11 11  Vậy hệ có nghiệm (3; 3),  ;  9 9 Giải pt nghiệm : x=3, x= Bài tập tham khảo: Bài 3: Giải hệ pt sau: 2 x + x = + y  a)  y 2 + y = + x  y  x 2 − = ( y − x )( xy + ) b)  2 x + y =  ln x − ln y = y − x c)  2 x + y − 6x − y + = log x + = + log y  d)  log  y + = + log y II Thực trạng mâu thuẫn: Giải toán phương pháp hàm số phương pháp hay, độc đáo giúp cho việc giải vấn đề cách nhanh gọn Các tập dùng phương pháp để giải thông thường tập dạng nâng cao, khó thuộc dạng khơng mẫu mực học sinh khó nhận dạng thiết lập tương quan hàm số Số lượng tập SGK dùng phương pháp hàm số để giải Phương pháp hàm số xem phương pháp giải toán đại, phương pháp sử dụng hay dạy phổ biến bậc THPT Khả vận dụng phương pháp bị hạn chế học sinh trung bình yếu, có hiệu cao học sinh giỏi Ở bậc THPT, tập SGK cịn q nên học sinh học cách qua loa.Trong đề thi tuyển sinh số năm gần hay đưa toán phải sử dụng phương pháp để giải III Các biện pháp giải vấn đề: Nhằm giúp cho học sinh có kĩ giải phương pháp hàm số, giúp cho em có kiến thức vững vàng có kết cao kì thi tuyển sinh Giáo viên nên mạnh dạn giới thiều phương pháp cho học sinh từ năm lớp 10, 11, 12 Giáo viên phải dựa vào trình độ khối lớp để đưa dạng tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp Trang 11 SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng IV Hiệu áp dụng: Qua nhiều năm giảng dạy bậc THPT luyện thi đại học Tôi sử dụng theo cách nêu để dạy cho học sinh: Đối với học sinh khối 10, khối 11 sử dụng hàm đơn giản ax + b hàm bậc 2, hàm phân thức hữu tỉ dạng y = hàm thức đơn giản, cx + d hướng dẫn học sinh chứng minh tính đơn điệu hàm số phương pháp dùng định nghĩa - Đối với học sinh khối 12, em nhận thức cách đầy đủ hàm số phương pháp áp dụng cách phổ biến tập cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng khó - Kết nhận thấy số lượng học sinh giỏi hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo C KẾT LUẬN Giải tốn “phương pháp hàm số” nói chung ứng dụng tính đơn điệu hàm số để giải tốn phương pháp hay, độc đáo, sử dụng lâu, không phổ biến bậc THPT Qua trình tham khảo, học hỏi bậc thầy trước, sử dụng phương pháp để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh Tôi xin phép mạnh dạn đưa ý tưởng để bạn đồng nghiệp em học sinh tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm giới thiệu phần nhỏ ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán Mong bạn đồng nghiệp phát triển thêm để tính đầy đủ chuyên đề cao Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp để tính khả thi cao Chân thành cảm ơn bạn em học sinh Ngãi Giao, ngày 30 tháng 03 năm 2011 Người viết SKHN Nguyễn Văn Hoàng Trang 12 SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập chọn lọc từ sách giáo khoa 12 nâng cao Phương pháp giải toán Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải – Lê Bích Ngọc Bài tập tham khảo tù Tạp Chí “Tốn Học – Tuổi trẽ” Trang 13 ... lập hàm số B3: Chứng minh hàm số đơn điệu (đồng biến nghịch biến) B4: Dựa vào tính chất đơn điệu hàm số để kết luận Trong buớc B1 quan trọng nhận dạng đuợc tốn sử dụng phuơng pháp hàm số để giải. .. đặt ẩn phụ Trang SKKN “HD học sinh sử dụng tính đơn điệu dể giải tốn” GV:Nguyễn Văn Hồng Đại đa số học sinh khơng biết sử dụng tính đơn điệu để giải toán Các tập giải theo phương pháp thường tập... định nghĩa tính chất tính đơn điệu hàm số - Chứng minh đuợc tính chất đơn điệu hàm số (dùng định nghĩa định lý để chứng minh) - Rèn luyện cho học sinh kỹ giải tập phương pháp hàm số - Trang bị