Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có: AB CDuuur uuur+AC DBuuur uuur+AD BCuuur uuur = Hệ thức Ơ-le Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đườn
Trang 1TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG
ThS Trần Mạnh Hân
Bài 1 Chứng minh rằng với bốn điểm bất kì A, B, C, D ta có:
AB CDuuur uuur+AC DBuuur uuur+AD BCuuur uuur = (Hệ thức Ơ-le) Nhận xét: Có thể dùng hệ thức Ơ le để chứng minh: Trong tam giác ba đường cao đồng quy
Bài 2 Trong tam giác ABC, trung tuyến AM, chứng minh rằng:
a)
.
4
AB ACuuur uuur =AM - BC
b)
4
-Bài 3 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Chứng minh rằng:
a) 2 2 2 1( 2 2 2)
3
GA +GB +GC = a +b +c
(Hệ thức Lepnit) b)
4
m +m +m = a +b +c
Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm AC, BD Chứng minh
rằng AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+ 4IJ 2
Bài 5 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:
a)
1
2
AB ACuuur uuur= AB +AC - BC
b) BC2=AB2+AC2- 2AB AC. .cosA
Bài 6 Cho tam giác ABC, trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:
MA +MB +MC =GA +GB +GC + MG
Nhận xét: Nếu tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O; R) thì:
3(R - OG ) =GA +GB +GC
Bài 7 Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
a) Chứng minh rằngaIA2 +bIB2 +cIC2 =abc
b) Nếu M là 1 điểm bất kì ta có aMA2+bMB2+cMC2³ abc
Bài 8: Cho tam giác ABC, điểm I thỏa mãn a MA+b MB +g MC =0,
uuur uuur uuur r
(a+ + ¹b g 0) Chứng minh với M bất kì ta có (công thức Gia-cô-bi)
a) a MA2+b MB2+g MC2=a IA2+b IB2+g IC2+(a+ +b g)MI2
b)
a b g
+ + c) a+ + =b g 1, ta có MI2=a MA2+b MB2+g MC2- (ab c2+bg a2+ga b2)
Bài 9: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O; R) Tìm trên đường
tròn điểm có tổng bình phương các khoảng cách từ đó đến các đỉnh của tam giác là lớn nhất, nhỏ nhất
Trang 2Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) D là trung điểm của
AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OE ^CD
Bài 11: Cho hình vuông ABCD, E, F là các điểm xác định bởi
1 ; 3
BEuuur= BCuuur
1
2
CFuuur= - CDuuur
, đường thẳng AE cắt BF tại I Chứng minh rằng AIC =· 90 0
Bài 12: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), ngoại tiếp đường tròn (I) B’ là
điểm đối xứng của B qua O (I) tiếp xúc với các cạnh BA, BC tại P, Q Trên BA,
BC lấy các điểm K, L sao cho BK = CQ, BL = AP Chứng minh rằng B’I ^ KL
Bài 13: Cho hai điểm A, B cố định, vec tơ a ¹r 0r không đổi và số thực k Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MA MBuuur uuur =k
b) AM auuuur r =k
Bài 14: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
(MBuuur+MC MAuuur uuur)( + 2MBuuur + 3MCuuur) = 0
Bài 15: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a) MB2+MC2- MA2 = 0 (1)
b) MB2+MC2- 2MA2= 0 (2)
Bài 16: Cho 2 điểm A, B phân biệt và số dương k ¹ 1 Tìm tập hợp các điểm M sao cho
MA
k
MB =
Bài 17: Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta
có: MA2+MB2+MC2³ MAGA. +MB GB. +MC GC. ³ GA2+GB2+GC2
Bài 18: Cho tam giác ABC Gọi O, H tương ứng là tâm đường tròn ngoại tiếp và
trực tâm tam giác ABC R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh rằng
Bài 19: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm H là trung điểm của BC, D là hình
chiếu của H lên AC M là trung điểm HD Chứng minh rằng AM^BD
Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O; R)
Đặt AB =c BC, =a CA, =b Chứng minh rằng a b c+ + £ 3 3R
Bài 21 Cho tam giác ABC, I là điểm xác định bởi 2IA+IB- IC =0
uur uur uur r
a) Chứng minh rằng 2MA2+MB2- MC2= 2MI2+ 2IA2+IB2- IC2 với M là điểm tùy ý Suy ra vị trí của M để biểu thức 2MA2+MB2- MC2 nhỏ nhất b) Tính 2IA2+IB2- IC2 trong trường hợp tam giác đều cạnh a
Bài 22 Cho tam giác ABC, điểm M tùy ý
a) Chứng minh rằng vec tơ mur = 2MAuuur+MBuuur- 3MCuuur độc lập với M
b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng:
2MA +MB - 3MC = 2MOmuuur ur.
Trang 3c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2MA2+MB2= 3MC2.