[SKKN] ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình và hệ phương trình

Mục lục MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí thuyết 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình 2.3 Ứng dụng đạo hàm biện luận phương trình 22 2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình 33 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình 43 KẾT LUẬN 47 3.1 Hiệu đề tài 47 3.2 Bài học rút sau thực đề tài 48 3.3 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 Chương MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Khái niệm hàm khái niệm tốn học, giữ vị trí trung tâm mơn tốn trường phổ thơng, tồn việc giảng dạy tốn nhà trường phổ thơng xoay quanh khái niệm (Trích "Phương pháp giảng dạy Tốn" - Nguyễn Bá Kim) Tư hàm, loại hình tư phát triển mạnh mẽ hoạt động giảng dạy môn nhà trường đặc biệt mơn tốn Ngày chương trình mơn tốn trường phổ thông khái niệm hàm đã, thể rõ vai trị chủ đạo việc ứng dụng xây dựng khái niệm khác Khái niệm đạo hàm có liên quan mật thiết để nghiên cứu tính chất, biến thiên hàm số Trong kì thi tốt nghiệp, kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi tập liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có tập mà học sinh thường phải vận dụng đạo hàm cơng cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhỏ nhất, chứng minh bất đẳng thức Các toán phương trình hệ phương trình ln xuất đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi Một lượng lớn tốn khơng thể giải phương pháp thơng thường 1.3 Đối tượng nghiên cứu TRẦN MẠNH HÂN giải gặp nhiều khó khăn Đó tốn khó đề thi Tuy nhiên, ta biết vận dụng đạo hàm để giải tập tốn đơn giản ngắn gọn nhiều Để nâng cao kĩ giải tốn góp phần phát triển tư hàm cho học sinh, đồng thời thân có hệ thống tài liệu giảng dạy bồi dưỡng học sinh, chọn đề tài: "Ứng dụng đạo hàm việc giải phương trình hệ phương trình" Tơi hy vọng chun đề làm tài liệu hữu ích cho thầy giảng dạy mơn tốn em học sinh Song lực thời gian nghiên cứu cịn hạn chế khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhân đóng góp ý kiến q thầy người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nâng cao chất lượng giáo dục phổ thông Tôi xin chân thành cảm ơn 1.2 Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh phương pháp giải phương trình hệ phương trình mang lại hiệu rõ nét - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các tốn phương trình hệ phương trình thường gặp kì thi tuyển sinh đại học, kì thi chọn học sinh giỏi 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4 TRẦN MẠNH HÂN Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích tổng hợp từ sách báo, tài liệu liên quan, internet - Phương pháp quan sát: Hướng dẫn học sinh vận dụng đạo hàm để giải, biện luận phương trình hệ phương trình để rút kết luận Chương NỘI DUNG Trong kì thi đại học cao đẳng, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi học sinh giỏi quốc gia thường xuất tốn giải phương trình hệ phương trình Trong nhiều sử dụng phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn khơng giải Ứng dụng đạo hàm phương pháp "vạn năng" giải tốn phương trình cách gọn gàng, sáng sủa Khi vận dụng thành thạo phương pháp này, nhận thấy vẻ đẹp toán học qua toán cụ thể Trước tìm hiểu dạng tốn cụ thể ta cần nắm sở lí thuyết sau: 2.1 Cơ sở lí thuyết Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm khoảng D Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ D (hoặc f (x) ≤ 0, ∀x ∈ D) f (x) = số hữu hạn điểm D hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) D Nếu y = f (x) đồng biến [a; b] f (x) = f (a); max f (x) = f (b) x∈[a;b] x∈[a;b] Nếu y = f (x) nghịch biến [a; b] f (x) = f (b); max f (x) = f (a) x∈[a;b] x∈[a;b] Số nghiệm phương trình f (x) = g (x) số giao điểm hai đồ thị y = f (x) y = g (x) 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu D phương trình f (x) = k (k -hằng số) có nghiệm x = x0 nghiệm Nếu hàm số y = f (x) đồng biến D y = g (x) nghịch biến D phương trình f (x) = g (x) có nghiệm x = x0 nghiệm Nếu hàm số y = f (x) đơn điệu D, u(x), v (x) hàm số nhận giá trị thuộc D ta có: f [u(x)] = f [v (x)] ⇔ u(x) = v (x) Nếu hàm số y = f (x) liên tục [a; b] thỏa mãn f (a).f (b) < phương trình f (x) = có nghiệm (a; b) Cho hàm số y = f (x) liên tục D Phương trình f (x) = m có nghiệm f (x) ≤ m ≤ max f (x) x∈D 2.2 x∈D Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình Nhận xét: Dựa vào kết quả: “ Nếu y = f (t) hàm đơn điệu f (x) = f (t) ⇔ x = t” ta xây dựng phương trình Xuất phát từ hàm đơn điệu: y = f (x) = 2x3 + x2 + với ∀x ≥ ta xây dựng phương trình: f (x) = f √ 3x − ⇔ 2x3 + x2 + = √ 3x − + (3x − 1)2 + Rút gọn ta phương trình 2x3 + x2 − 3x + = (3x − 1) Từ phương trình f (x + 1) = f √ √ 3x − 3x − tốn khó 2x3 + 7x2 + 5x + = (3x − 1) (3x − 1) Để giải hai tốn làm sau: Đặt y = ta có hệ:    2x + 7x2 + 5x + = 2y   3x − = y √ 3x − 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN Cộng hai phương trình ta được: 2(x + 1) + (x + 1) = 2y + y Hãy xây dựng hàm đơn điệu toán theo dạng trên? Dạng 1: Phương trình cho biến đổi dạng f (x) = g (x) (hoặc f (x) = k) k số Bước 1: Biến đổi phương trình cho dạng f (x) = g (x) (hoặc f (x) = k) Bước 2: Xét hai hàm số y = f (x); y = g (x) D Tính f (x), xét dấu f (x), kết luận tính đơn điệu hàm số y = f (x) D Tính g (x), xét dấu g (x), kết luận tính đơn điệu hàm số y = g (x) D Kết luận hai hàm số y = f (x); y = g (x) đơn điệu ngược nhau, hai hàm số hàm số Tìm x0 cho f (x0 ) = g (x0 ) (f (x0 ) = k) Bước 3: Kết luận: Phương trình cho có nghiệm x = x0 Ví dụ Giải phương trình: √ x+1+ √ x+6+ √ x−2=6 Lời giải Điều kiện: x ≥ Xét hàm số: f (x) = √ x+1+ √ x+6+ √ x−2 liên tục D = [2 ; + ∞) 1 + √ + √ > 0, ∀x > 2 x+1 x+6 x−2 Do hàm số f (x) đồng biến D, phương trình có nghiệm Khi đó: f (x) = √ nghiệm Mặt khác ta có f (3) = Vậy phương trình có nghiệm x = Bình luận: Nhiều phương trình giải nhờ vào việc đặt ẩn phụ thích hợp, từ vận dụng hàm số để giải Ví dụ Giải phương trình: log2 (x2 − x + 5) = 3(x2 − x + 5) 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN Lời giải Với phương trình ta chưa thể có hàm số giống ví dụ mà ta phải biến đổi để tìm hàm số mà ta muốn xét TXĐ: D = R log2 (x2 − x + 5) Phương trình ⇔ = (do x2 − x + > e > 0) x2 − x + log2 t Đặt t = x2 − x + với t > e, phương trình trở thành: = (*) t log2 t Xét hàm số: f (t) = (e; +∞) t − ln t Ta có f (t) = < 0, ∀t > e t ln Từ đó, f (t) hàm nghịch biến (e; +∞); vế phải số Do phương trình (*) có nghiệm nghiệm ⇒ (*) có nghiệm t = 8 √ √ + 13 − 13 Với t = ta có x2 − x + = ⇔ x = ;x= 2 √ √ − 13 + 13 ;x= Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2 Mặt khác f (8) = Ví dụ Giải phương trình: √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − √ √ 4−x=2 Lời giải Nhận xét: Bài toán gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện Điều kiện:    2x + 3x2 + 6x + 16 ≥ ⇔    (x + 2)(2x2 + x − 8) ≥ ⇔ −2 ≤ x ≤   4−x≥0   4−x≥0 Xét hàm số f (x) = √ 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − √ − x liên tục [−2; 4] 3(x2 + x + 1) + √ > 0, ∀x ∈ (−2; 4) 2x3 + 3x2 + 6x + 16 − x √ Do hàm số f (x) đồng biến [−2; 4], phải số, f (1) = nên x = Ta có f (x) = √ nghiệm Ví dụ (Trích đề thi thử đại học năm 2013 - ĐHSP Hà Nội) √ √ Giải phương trình: (x + 2)( x2 + 4x + + 1) + x( x2 + + 1) = 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN Lời giải √ √ Xét hàm số f (x) = (x + 2)( x2 + 4x + + 1) + x( x2 + + 1) R, ta có √ √ (x + 2)2 x2 + 4x + + 2+3+ √ f (x) = x +√ + > 0, ∀x ∈ R x x2 + 4x + x2 + Do hàm số f (x) đồng biến R, f (−1) = nên x = −1 nghiệm Bình luận: Trên cách trình bày dựa vào việc chứng minh hàm số f (x) vế trái phương trình hàm số đơn điệu Điều dẫn đến việc tính f (x) chứng minh f (x) > 0, ∀x ∈ R điều tự nhiên Tuy nhiên ta giải tốn cách khác trình bày dạng Ví dụ Giải phương trình: xlog2 = x2 3log2 x − xlog2 Lời giải Điều kiện: x > Biến đổi phương trình sau xlog2 = x2 3log2 x − xlog2 ⇔ 3log2 x 3log2 x − x2 + = Do 3log2 x > nên phương trình tương đương 3log2 x − x2 + = ⇔ 3log2 x − 2log2 x + = ⇔ 3log2 x − 4log2 x + = ⇔ Xét hàm số f (t) = Ta có f (t) = t t ln + 4 + log2 x −1=0 t + log2 x − R t ln −1, y > −1 x x Chia vế cho y , ta có − 12 + 20 = y y x Đặt: ⇒ t2 − 12t + 20 = Giải phương trình ta t1 = 2; t2 = 10 y Từ suy x = 2y x = 10y Hơn (1) ⇔ ln(x + 1) − x = ln(y + 1) − y Xét hàm số F (t) = ln(t + 1) − t; t ≥ −1, với F (t) = −t −1= t+1 t+1 Ta có bảng biến thiên F (t): −1 t +∞ F (t) + − F (t) −∞ −∞ Từ bảng biến thiên ta suy phương trình: ln(x + 1) − x = ln(y + 1) − y có nghiệm x = y x, y phải trái dấu Điều mâu thuẫn với kết x = 2y x = 10y Vậy ta có x = y (x, y ) nghiệm hệ Thay x = y vào hệ phương trình thu nghiệm x = y = Ví dụ 43 (Trích đề thi HSG tỉnh Đồng Nai - 2010) Giải hệ phương trình   x + xy = y 10 + y  √   4x + + (1) y + = (1) Lời giải Nếu y = từ phương trình (1) suy x = 0, phương trình (2) khơng thỏa mãn Vậy y = nên chia hai vế phương trình (1) cho y , ta x y + x = y5 + y y (3) Xét hàm số f (x) = x5 + x R, ta có f (x) = 5x4 + > 0, ∀x ∈ R, suy f hàm số đồng biến R 36 2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN x Phương trình (3) viết lại thành f = f (y ) f hàm tăng nên y x tương đương với = y, suy x = y Thay vào phương trình (2), ta y √ √ 4x + + x + = (4) Giải ta x = nghiệm phương trình (4) Từ hệ ban đầu có nghiệm (x, y ) = (1, 1) (x, y ) = (1, −1)   x − 5x = y − 5y  Ví dụ 44 Giải hệ phương trình:   x + y = Lời giải Từ phương trình: x8 + y = ⇒ |x| ≤ 1; |y| ≤ ⇒ x, y ∈ [−1; 1] Xét hàm số f (t) = t3 − 5t, t ∈ [−1; 1], ta có f (t) = 3t2 − < 0, t ∈ [−1; 1] ⇒ f (t) nghịch biến [−1; 1] Phương trình: x3 − 5x = y − 5y ⇔ f (x) = f (y ) Do f (t) hàm liên tục, nghịch biến [−1; 1] ⇒ x = y Thay y = x vào phương trình thứ hai, ta có: x8 + x4 − = Đặt x4 = t, t ∈ [0; 1]  −1 + √ ∈ [0; 1]  t1 = √ Phương trình ẩn t : t2 + t − = có nghiệm:  −1 − t2 = (loại) √ −1 + Vậy x = y = ±   x − 3x2 + = y − 3y −  Ví dụ 45 Giải hệ phương trình:  log x − + log y − = (x − 2013)2  y x y−1 x−2 Lời giải Đặt y = u − thay vào phương trình (1)    0√ ≥ 0, ∀x ∈ R t2 + t2 + t2 + Ta xét hàm số: f (t) = t + Suy f (t) hàm đồng biến R Nếu u > v ⇒ f (u) > f (v ) ⇒ 3v > 3u ⇒ v > u (vô lý) Tương tự, u < v dẫn đến kết vô lý Vậy, u, v nghiệm hệ u = v Do ta có hệ phương trình sau:   √  √  u + + u = 3u ln ( u + + u) − u ln =   ⇔     u = v u = v √ Ta xét tiếp hàm số: g (u) = ln ( u2 + + u) − u ln 3; u ∈ R, ta có g (u) = √ u2 + − ln ≤ − ln < 0, ∀u ∈ R Suy ra, hàm số g (u) hàm số nghịch biến R Lại có: g (0) = ln = √ Vậy u = nghiệm phương trình: ln ( u2 + + u) − u ln = Kết luận: hệ phương trình có nghiệm u = v = hay x = y = Ví dụ 48 Giải hệ phương trình  √  + x2 + 2√x = + √y     √ + y2 + y = + √ x Lời giải Điều kiện: x > 0, y > Trừ vế cho vế phương trình: √ √ √ √ √ + x2 + x − + y − y = + y − − x 39 2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình ⇔ √ √ + x2 + x = TRẦN MẠNH HÂN √ + y2 + y Ta thấy phương trình hệ có dạng f (x) = f (y ) với: f (t) = t Ta có: f (t) = √ + √ > với ∀t > + t2 t ⇒ f (t) hàm đồng biến (0; +∞) √ √ + t2 + t Vậy f (x) = f (y ) ⇔ x = y > Thay x = y vào phương trình thứ hệ ta được: √ + x2 + √ x = Đến ta lại tiếp tục xét hàm số: g (t) = √ + t2 + g (t) = √ √ t; t > t + √ >0 + t2 t với ∀t > Suy ra, g (t) hàm nghịch biến (0; +∞) Mà g (1) = nên x = nghiệm phương trình g (x) = Vậy hệ phương trình có nghiệm nhất: (x; y ) = (1; 1) Ví dụ 49 Giải hệ phương trình   log √x + = + log y  (1)   log2 √y + = + log3 x (2) (x, y ∈ R) Lời giải Điều kiện: x > 0, y >    log √x + = + log y Ta viết lại hệ √   log2 x + − log2 √y + = log3 y − log3 x    log √x + = + log y ⇔ √   log2 x + + log3 x = log2 √y + + log3 y Quan sát phương trình thứ hệ, nên ta xét hàm số: √ F (t) = log2 t + + log3 t; với t > 1 + > ∀t > t + t + ln t ln Vậy F (t) đồng biến (0; +∞) Do suy x = y F (t) = √ · √ · Thay x = y vào phương trình (1) ta được: 40 2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN √ x + = + log3 x ⇔ log2 x + = log3 (3x) √ Đặt: log2 x + = log3 (3x)  t =     3x = 3t  x = 3t−1 Suy ra: ⇔ √   x + = 2t  x = 4t − log2 √ t t 1 +3 = Từ đó, ta có: + = ⇔ 4 t t Ta lại xét hàm số G(t) = +3 Đây tổng hàm số mũ số 4 nhỏ nên G(t) nghịch biến (0; +∞) t−1 t Do G(t) = có nghiệm t = Thay trở lại x ta có: x = 3t−1 = 30 = Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (x; y ) = (1; 1) Dạng 3: Hệ phương trình dạng hốn vị vịng quanh Cũng hệ đối xứng loại 2, đặc điểm chung hệ "hoán vị vịng quanh" hệ có nghiệm (x1 , x2 , x3 , , xn ) hốn vị vòng quanh số nghiệm hệ Vì việc giải hệ trường hợp tổng qt gặp khơng khó khăn Ở đây, ta xét trường hợp hệ có nghiệm dạng x1 = x2 = x3 = = xn   30x − 9x2 y − 25y =      Ví dụ 50 Giải hệ phương trình: 30y − 9y z − 25z =       30z − 9z x − 25x = Lời giải   30x2    9x + 25 = y    30y Ta viết lại hệ ⇔  9y + 25 = z     30z   =x 9z + 25 Ta nhận thấy, (x; y ; z ) nghiệm hệ x, y, z dương Nếu x = ⇒ y = z = Vậy (0; 0; 0) nghiệm hệ Nếu x > 0; y > 0; z > Xét hàm số: f (t) = 30t2 ,t > 9t2 + 25 41 2.4 Ứng dụng đạo hàm để giải hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN 60t(9t2 + 25) − 18t.30t2 60t.25 Khi f (t) = = > 0, ∀t > (9t2 + 25)2 (9t2 + 25)2 Suy f (t) đồng biến (0; +∞) Không tổng quát, giả sử: x = {x, y, z} Khi x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y ) ⇒ y ≤ z ⇒ f (y ) ≤ f (z ) ⇒ z ≤ x Suy x = z ⇒ f (x) = f (z ) ⇒ y = x Vậy x = y = z Thay x = y = z vào phương trình hệ, ta có:   x = (loại) ⇔x= 30x2 − 9x3 − 25x = ⇔  −9x2 + 30x − 25 = Suy x = y = z = 5 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm (0; 0; 0) ( ; ; ) Ví dụ 51 Giải hệ phương trình                    4 2x3 +x2 =y 2y +y =z 2z +z =x Lời giải Dễ dàng nhận thấy, từ dạng phương trình ta suy ra: x, y, z > Ta xét hàm số: f (t) = 2t3 +t2 < với ∀t > ⇒ f (t) hàm số nghịch biến (0; +∞) f (t) = 2t3 +t2 (6t2 + 2t) ln Không tổng quát, giả sử: x = {x, y, z} Khi x ≤ y ⇒ f (x) ≥ f (y ) ⇒ y ≥ z ⇒ f (y ) ≤ f (z ) ⇒ z ≤ x Suy x = z ⇒ f (x) = f (z ) ⇒ y = x Vậy x = y = z Thay x = y = z vào phương trình hệ, ta có: Xét hàm số: G(t) = 2t3 +t2 − t, t > 42 2x3 +x2 =x 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN 2t3 +t2 1 G (t) = (6t2 + 2t) ln − < 0, ∀t > nên G(t) hàm số nghịch biến 4 1 Lại có G( ) = nên phương trình G(t) = có nghiệm t = 2 Vậy hệ cho có nghiệm nhất: x = y = z = 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình Ví dụ 52 (Trích đề thi ĐH khối D - 2011) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm   2x − (y + 2)x2 + xy = m  (x, y ∈ R)   x + x − y = − 2m Lời giải Hệ cho tương đương với:   (x − x)(2x − y ) = m    (x − x) + (2x − y ) = − 2m Đặt u = x2 − x, u ≥ − v = 2x − y      uv = m  u + (2m − 1)u + m = (1) Hệ cho trở thành: ⇔    u + v = − 2m  v = − 2m − u Hệ cho có nghiệm, (1) có nghiệm thỏa mãn u ≥ − −u2 + u Với u ≥ − , ta có (1) ⇔ m(2u + 1) = −u + u ⇔ m = 2u + 1 −u2 + u Xét hàm f (u) = , với u ≥ − ; 2u + √ 2u2 + 2u − −1 + Ta có: f (u) = − ; f (u) = ⇔ u = (2u + 1)2 Bảng biến thiên: 43 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình − u −1 + f (u) √ + TRẦN MẠNH HÂN +∞ − √ f (u) − 2− −∞ √ 2− Suy giá trị cần tìm m ≤ Ví dụ 53 (Trích đề thi ĐH khối D - 2007) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:    x+ +y+ =5  x y 1  x + + y + = 15m − 10  y3 y Lời giải 1 Đặt u = x + ; v = y + ; (|u| ≥ 2, |v| ≥ 2) Hệ cho trở thành: x y      u+v =5  u+v =5 ⇔    u + v − 3(u + v ) = 15m − 10  uv = − m ⇒ u, v nghiệm phương trình: t2 − 5t + = m (1) Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm phương trình (1) có hai nghiệm t = t1 , t = t2 thỏa mãn: |t1 | ≥ 2, |t1 | ≥ (t1 , t2 không thiết phân biệt) Xét hàm số f (t) = t2 − 5t + với |t| ≥ 2: Bảng biến thiên f (t): t −∞ −2 − f (t) 2 − +∞ f (t) 44 + +∞ 22 +∞ 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN Từ bảng biến thiên hàm số suy ra: Hệ cho có nghiệm ≤ m ≤ m ≥ 22 Ví dụ 54 (Trích đề thi ĐH khối D - 2004) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm:  √  x + √y =  √  x x + y √y = − 3m Lời giải Đặt: u = √ x, v = √ y, u ≥ 0, v ≥ Hệ cho trở thành:      u+v =1  u+v =1 ⇔    u + v = − 3m  uv = m (1) Khi u, v hai nghiệm phương trình: t2 − t = −m (2) Hệ cho có nghiệm(x, y ) ⇔ Hệ (1) có nghiệm u ≥ 0, v ≥ ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm t khơng âm Xét hàm số f (t) = t2 − t có f (t) = 2t − Bảng biến thiên f (t): t − f (t) +∞ + +∞ f (t) − Từ bảng biến thiên hàm số suy ra: 4 Hệ cho có nghiệm − ≤ −m ≤ hay ≤ m ≤ Ví dụ 55 (Trích đề thi ĐH khối D - 2006) Chứng minh với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất:   x  e − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y )   y−x=a 45 2.5 Ứng dụng đạo hàm biện luận hệ phương trình TRẦN MẠNH HÂN Lời giải Điều kiện: x, y > −1 Hệ cho tương đương với:   x+a e − ex + ln(1 + x) − ln(1 + a + x) = 0, (1)   y = x + a (2) Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khoảng (−1; +∞) Xét hàm số f (x) = ex+a − ex + ln(1 + x) − ln(1 + a + x), với x > −1 Do f (x) liên tục khoảng (−1; +∞) lim + f (x) = −∞, lim f (x) = +∞ x→−1 x→+∞ nên phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (−1; +∞) Mặt khác: f (x) = ex+a −ex + a − = ex (ea − 1) + > 0, ∀x > −1 1+x 1+a+x (1 + x)(1 + a + x) Suy ra, phương trình f (x) = có nghiệm khoảng (−1; +∞) Vậy, hệ cho có nghiệm 46 Chương KẾT LUẬN 3.1 Hiệu đề tài Trên kinh nghiệm giảng dạy "Ứng dụng đạo hàm việc giải phương trình hệ phương trình" Qua trình tìm hiểu đề tài vận dụng đề tài vào thực tế giảng dạy trường THPT Nguyễn Hữu Tiến tác giả thu kết sau: • Giúp học sinh biết vận dụng đạo hàm giải thành thạo số phương trình hệ phương trình Học sinh thầy hướng dẫn theo đề tài có nhìn sáng sủa, khơng bị lúng túng gặp dạng toán ứng dụng đạo hàm Qua khảo sát thấy đa số học sinh tiếp thu phát huy hiệu kinh nghiệm Kết học sinh bước có khả tư mềm dẻo, độc lập sáng tạo hơn, kỹ giải toán học sinh cải thiện Từng bước nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường • Xây dựng hệ thống tập phong phú phân dạng cụ thể đầy đủ tập liên quan đề tài Khai thác sâu kiến thức đạo hàm để giải tốn phương trình hệ hệ phương trình chương trình Tốn học phổ thông Đây yêu cầu quan trọng để trang bị kiến thức lẫn kĩ học sinh ôn thi Đại học học sinh đội tuyển thi Học sinh giỏi cấp 47 3.2 Bài học rút sau thực đề tài TRẦN MẠNH HÂN • Đề tài khơng cung cấp đầy đủ phương pháp độc đáo, sắc bén để giải, biện luận phương trình hệ phương trình cho em học sinh Nó cịn tạo điểm tư suy nghĩ em học sinh Các em nhìn nhận giải tốn khơng cứng nhắc, áp đặt mà tư mềm dẻo, nhuần nhuyễn Do nâng cao khả nhận thức cấp độ: Biết, hiểu, vận dụng, phân tích, tổng hợp, khái qt hố sáng tạo học sinh 3.2 Bài học rút sau thực đề tài Đối với thầy Trong giáo dục nói chung dạy học mơn tốn nói riêng việc rèn khả tự học cho học sinh đóng vai trị định chất lượng giáo dục Do người thầy giáo cần • Nghiên cứu kỹ chương trình sách giáo khoa tài liệu tham khảo, dạy kiến thức bản, dạy cách học, cách ghi nhớ cách sử dụng kiến thức • Khi giảng dạy phải phân dạng, sau dạng phải củng cố, hướng dẫn phương pháp suy nghĩ tìm lời giải • Lựa chọn tập điển hình dạng, động viên khuyến khích học sinh tìm lời giải hay • Sau nội dung dạy lớp, cần chuẩn bị đề tài phát cho học sinh nhà tự học kết hợp với việc kiểm tra việc tự học học sinh • Trong q trình giảng dạy, người thầy cần tạo khơng khí học tập sôi nổi, cởi mở để học sinh giám phát biểu ý kiến riêng nhằm giúp học sinh hứng thú học tập, phát triển khả tư Đối với trò 48 3.3 Kết luận TRẦN MẠNH HÂN • Yêu cầu phải học lý thuyết trước làm tập, từ nắm kiến thức • Trước toán cần đọc kỹ đề bài, phân tích tìm mối liên hệ yếu tố, xác định dạng, phương hướng giải giải cụ thể • Giải xong dạng tốn phải biết rút nhận xét cần thiết Đúc rút kinh nghiệm để khỏi bỡ ngỡ trước dạng toán lạ • Có ý thức sưu tầm tốn thuộc lĩnh vực quan tâm sách báo, tài liệu tham khảo 3.3 Kết luận Tác giả viết chuyên đề với tinh thần trách nhiệm cao Thông qua chuyên đề rút nhiều điều bổ ích việc giảng dạy nghiên cứu khoa học Tôi hi vọng đề tài để lại lịng Thầy em học sinh ấn tượng tốt đẹp Tuy nhiên thời gian lực có hạn nên đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận động viên ý kiến đóng góp chân thành q Thầy em học sinh để đề tài tiếp tục hoàn thiện 49 Tài liệu tham khảo [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [2] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách tập Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [4] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam [5] Nguyễn Văn Mậu, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, Nhà xuất Giáo dục [6] Bộ Giáo dục Đào tạo, Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ Quyển 1, Nhà xuất Giáo dục [7] Tuyển tập đề thi Olympic 30/4 [8] Tuyển tập đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng năm [9] Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh, thành phố 50 ... xuất tốn giải phương trình hệ phương trình Trong nhiều sử dụng phương pháp thơng thường gặp nhiều khó khăn không giải Ứng dụng đạo hàm khơng phải phương pháp "vạn năng" giải tốn phương trình cách... từ vận dụng hàm số để giải Ví dụ Giải phương trình: log2 (x2 − x + 5) = 3(x2 − x + 5) 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình TRẦN MẠNH HÂN Lời giải Với phương trình ta chưa thể có hàm số giống... Một ứng dụng hàm số việc giải phương trình chứng minh phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Ta xét thêm số ví dụ sau để chứng minh điều 11 2.2 Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình