chuyên đề ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH môn TOÁN ôn thi THPT QG

Phương trình, hệ phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình luyện thi đại học, cao đẳng. Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình, hệ phương trình mà trong đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là rất phổ biến, ta có thể áp dụng nó trong từng bước giải của bài toán. Và một trong những khó khăn của học sinh là làm thế nào để nhận biết được khi nào ta dùng tính đơn điệu của hàm số, trong những trường hợp đó có thể gặp những sai lầm nào không. Vì vậy, mục đích của chuyên đề là giúp học sinh giải quyết những khó khăn đó. Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm trong quá trình dạy học, dạy luyện thi tôi viết chuyên đề : “ Tìm hiểu các kĩ thuật ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình ”

Phương trình, hệ phương trình là một chủ đề quan trọng trong chương trình

luyện thi đại học, cao đẳng Có rất nhiều phương pháp để giải phương trình, hệphương trình mà trong đó phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số là rấtphổ biến, ta có thể áp dụng nó trong từng bước giải của bài toán Và một trongnhững khó khăn của học sinh là làm thế nào để nhận biết được khi nào ta dùngtính đơn điệu của hàm số, trong những trường hợp đó có thể gặp những sai lầmnào không Vì vậy, mục đích của chuyên đề là giúp học sinh giải quyết những

khó khăn đó Xuất phát từ quá trình tự học, tự nghiên cứu của bản thân và những

kinh nghiệm trong quá trình dạy học, dạy luyện thi tôi viết chuyên đề : “ Tìmhiểu các kĩ thuật ứng dụng đạo hàm giải phương trình, hệ phương trình ”

B ĐỐI TƯỢNG BỒI DƯỠNG – SỐ TIẾT DẠY – TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Chuyên đề bồi dưỡng học sinh lớp 12 luyện thi đại học

- Số tiết dạy cho HS 10 tiết

- Tài liệu tham khảo:

[1] Đoàn Quỳnh, Giải tích 12 nâng cao, 2009, NXB Giáo dục

[2] Lê Hồng Đức, 2005, Phương pháp giải toán mũ-logarit, NXB Hà Nội

[3] Trần Văn Hạo, 2007, Đại số và Giải tích 11, NXB Giáo dục

[4] Tủ sách toán học và tuổi trẻ, 2012, NXB Giáo dục

[5] Tuyển tập tạp chí Toán học và Tuổi trẻ năm 2004

[6] Các đề thi thử đại học - Cao đẳng trên mạng internet

[7] Bộ đề thi ĐH-CĐ từ 2002-2013, BGD&ĐT

[8] http://www.k2pi.net

[9] http://www.vnmath.com

C.KIẾN THỨC CƠ BẢN

I - Sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

1 Định lý 1 Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b

a Nếu f x'( ) 0> với mọi x∈( ; )a b thì hàm y= f x( ) đồng biến trên khoảng đó

b Nếu f x'( ) 0< với mọi x∈ ( ; )a b thì hàm y= f x( ) nghịch biến trên khoảng đó

Mở rộng định lý:

2 Định lý 2 Cho hàm số y= f x( ) xác định trên khoảng ( ; )a b Nếu f x'( ) 0 ≥

(hoặc f x'( ) 0 ≤ ) và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trênkhoảng ( ; )a b thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó

Chú ý : Nếu f x'( ) 0 ≥ (hoặc f x'( ) 0 ≤ ) trên khoảng( ; )a b , hàm số y= f x( ) liêntục trên [ ]a b; thì hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên [ ]a b;

II- Các tính chất liên quan giữa tính đơn điệu và nghiệm của phương trình

Tính chất 1: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng

( ; )a b thì phương trình ( )f x = k k, ∈¡ có không quá một nghiệm trong khoảng( ; )a b

Tính chất 2: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng( ; )a b thì với ,u v∈( ; )a b ta có f u( ) = f v( ) ⇔ =u v

Tính chất 3: Nếu hàm số y= f x( ) đồng biến và hàm số y g x= ( ) nghịch biếntrên khoảng ( ; )a b thì phương trình f x( ) = g x( ) có nhiều nhất một nghiệm thuộckhoảng ( ; )a b

III- Định lý về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lý 3: Nếu hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; và f a f b( ) ( ) 0 < thìphương trình f x( ) 0= có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng ( ; )a b

D NỘI DUNG

ta có f t'( ) 3 = t2 + > ∀ ∈ 1 0 t ¡ nên f t( )đồng biến trên ¡

Bài 2 Giải phương trình : 2x3 + − + =x2 3x 1 2(3x− 1) 3x− 1

Giải : Điều kiện 1

= +

⇔ +

= +

-2 x

1 x 1)

(x 5 3x ) ) 1 ((

) 5 3

f

Vậy nghiệm của phương trình là x= 1,x= − 2

Bài 4 Giải phương trình: 3 (2x + 9x2 + + 3) (4x+ 2)( 1 + +x x2 + = 1) 0 (1)

Giải :

Ta có (1) ⇔ 3x(2 + 9x 2 + = − − 3) ( 2x 1)(2 + − − ( 2x 1) 2 + 3)

Xét hàm số f t( ) =t(2 + t2 + 3) t ∀ ∈ ¡ , 0 t R

3 3

2 ) ( '

2

2

+ + + +

=

t

t t

t f

Vậy nghiệm của phương trình là:

5

1 -

5 1 x

5 x 0 5 6

4 2

3

x

x x

x

Hơn nữa, x= 1 là nghiệm của (1)

Ta sẽ CMR phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm Thật vậy

3

2 ( trên 2 3 8 15

) (x = x2 + − x2 + − x+ +∞

nênf (x) liên tục trên , )

3

2 ( +∞ ⇒ f (x) nghịch biến trên , )

3

2 ( +∞ , mà f( 1 ) = 0nên1

x= là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2 Giải phương trình: (4x− 1)( x+ + 3 3 3x+ = 5) 4x+ 8 (1)

Giải : Điều kiện x≥ − 3

Xét không phải là nghiệm của (1) Khi đó:

Do đó f x( ) có không quá 2 nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là: x= 1,x= − 2.

Bài 3: CMR phương trình 2x2 x− = 2 0 có nghiệm duy nhất

Nhận xét x=1 là một nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1

= + > ∀ ∈ suy ra f x( ) đồng biến trên R+

⇒ phương trình f x( ) 0= có nhiều nhất một nghiệm

Nhận xét x= 2 là một nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 2

Bài 5 Giải các phương trình sau:

Nhận xét x= −1; 1x= là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= −1; 1x=

b Điều kiện: x>0

x x

2

x= x= là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm 1; 2

2

x= x=

II Giải hệ phương trình

1 Đưa một phương trình của hệ về dạng f u( ) = f v( )

Một trong những vấn đề tương đối khó khăn đối với học sinh là làm thế nào

để đưa một phương trình về dạng f u( ) = f v( ), vì vậy trong mục này chúng tôi

đưa ra một số tình huống thường gặp để học sinh dễ dàng nắm bắt hơn.

= + > ∀τ >1

⇒ f(t) đồng biến trên (1,+∞)

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (4; 4).

Bài 3 Giải hệ phương trình

( ) ( )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;6).

Bài 4 Giải hệ phương trình ( )

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (2;1).

Trong trường hợp này ta có một số chú ý sau:

Chú ý 1: Ta cần nhấn mạnh rằng TXĐ của hàm số là rất quan trọng, vì học

sinh có thể dễ gặp nhầm lẫn như sau :

Ví dụ: Giải hệ phương trình

f x = f y ⇔ =x y Điều này là không đúng vì hàm số đồng biến trên hai

khoảng ( −∞ ;0) và (0; +∞ ) nên không thể kết luận x= y, ở đây học sinh đã bỏ qua

0 1

0 0

y x

x= , khi x y, cùng dấu ta vẫn có kết luận x= y.

b, Cộng đại số 2 phương trình để làm xuất hiện hàm đặc trưng.

Bài 6 Giải hệ phương trình ( ) ( ) ( )

Nghiệm của hệ phương trình là: (1;1),( 1; 1) − − .

Bài 7.Giải hệ phương trình : ( )

( )

2 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1),(0;0).

Bài 8.Giải hệ phương trình: ( ) ( )

2 2

Bài 9 Giải hệ phương trình: ( )

Vậy nghiệm của hệ là (1;1)

c, Thêm bớt để đưa một phương trình về dạng f u( ) = f v( )

Bài 10 Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện xác định x y, ∈¡

Hệ phương trình tương đương:

Thay vào hệ đã cho ta được phương trình x+ x2 − 2x+ = 2 3x−1 + 1 (2)

g = nên phương trình g t( ) 0= có duy nhất một nghiệm t=0

Khi đó hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x y= =1

Bài 11 Giải hệ phương trình: ( )

⇔ = ∨ = − ( thỏa mãn đk bái toán)

vậy phương trình có 2 nghiệm x=2; x= −1

Nhận xét : Trong lời giải này, ta thêm bớt để xuất hiện từng nghiệm, nhưng hầu

như chúng ta chỉ làm xuất hiện nhân tử (x− 2), còn lại việc thêm bớt để xuấthiện nhân tử tiếp theo (x+ 1) là khó khăn, vì vậy chúng ta sẽ làm xuất hiện đồngthời nhân tử (x− 2) (x+ 1)ở lời giải tiếp theo.

Cách 2 Điều kiện 2− ≤ ≤x 3

0 1

2

2

y y

1 1

y x

⇔ 4 ( 1 −x2 ) = (x2 + 2 ) 2 ⇔ x4 +8x2 =0 ⇔ x= 0 ⇒ y= 1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (0;1)

Bài 13 Giải hệ phương trình: ( 2 ) ( )

Giải : Điều kiện :

4 3

0 2 5

x

y x

y

x y

x

x y

x

Thay vào (2) ta được:

7 4 3 2 2

4 5 4

2 2

4 3

4 3

4 4 4 3

4 12

−

=

x x

x x x

x x

Giải: Điều kiện xác định: x≥ 0

Thay x= 0 vào (2) ta có: 0 1 = không thỏa mãn

Với x≠ 0, chia 2 vế của (2) cho x2 ta được:

y y

Xét hàm f(t) =t+t t2 + 1 trên (0;+∞), ta có:

) ( 0 0

1 1

t

+ + + +

Do x> 0 nên từ phương trình (2) suy ra y> 0, ta có:

x

y x

f y

f( 2 ) = (1) ⇔ 2 =1

Thế vào (1): x3 +x+ 2x2 x+ 2 x = 6

Xét hàm g(x) =x3 +x+ 2x2 x− 6 trên (0;+∞), ta có :

0 0

2

2 4

1 3

+

x x

x x x x

x

Mà g(1) 0 = ⇒ =x 1 là nghiệm duy nhất của g (x)

Vậy nghiệm của hệ phương trình: 1;1

+ +

= + +

⇔

y y

x

x+ + = − + + −

⇔

Xét hàm f( )t =t+ t2 + 4 với t∈ ¡ , ta có :

( ) 0

4 4

4 4

1

'

2 2

= + +

=

t

t t t

t t

t

t t

⇒ f( )t là hàm số đồng biến trên ¡ Do đó f( )x = f(− 2y) ⇔ x= − 2y.Thế vào pt (2) ta được:

Vậy nghiệm của hệ là : (− 1 ; 2) ( ), 0 ; 0

Bài 16 Giải hệ phương trình:

Khi hệ có nghiệm (x y; ), từ (1) ⇒ + >x y 0

Ta có: 5x2 + 2xy+ 2y2 ≥ 2x+y⇔ (x+ y) 2 ≥ 0 Dấu “=” ⇔ x= y

0 ) ( 2 5

2

2x2 + xy+ y2 ≥x+ y⇔ x−y 2 ≥ Dấu “=”⇔ x=yKhi đó VT(1) 3( ≥ x y+ ) Dấu “=” xảy ra ⇔ x=y.

Thay vào (2) ta được:

) 3 ( 5 2

8 19 2 1

1

+ +

0 0

y x

y x

Vậy nghiệm của phương trình là: (0;0),(1;1)

Bài 2 Giải hệ phương trình :

− +

) 2 ( 7

2 7 3 2 3 6

3

) 1 ( 1

1 3

2 2 2

x y

x y

x y

y y xy x

Giải: Điều kiện:

≤

≤

≥

0 7 3 2

6 1

0

y x y x

Ta có (1) ⇔ y− 1 − x+ (y− 1 ) 2 −x2 + y(y−x− 1 ) = 0

1

1 )

− + +

x y

⇔ x= −y 1 Thế vào phương trình (2) ta được:

3 6 − +y 3 5y− = 9 2y+ 5 ⇔ (8 − −y 3 6 −y) 3( + y− − 1 5y− = 9) 0

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (1; 2), (4;5).

Bài 3 Giải hệ phương trình :







+ + +

= + +

−

= +

− +

− +

y x y x x

y x

y x xy y

x

2 2

4 4

0 1 2 3 3 2

2 2

2 2

≥ +

0 2

0 2

y x

y x

∈

x

0 3 9 4 9 2

1 4

1 4 2

1 )

(

+

+ +

=

x x

x

4

1 ( − +∞

4

1 [− +∞ nên f x( )đồng

biến trên , )

4

1 [− +∞

Mà f(0) 0 = ⇔ =x 0 là nghiệm duy nhất.

TH2: Thay y=x+ 1 ta được

4 5 1 3 4 )

1 (

3 2 − + = + + +

0 ) 4 5 3 ( ) 1 3 2 ( ) 2 3

0 ] 4 5 3

5 1

3 2

3 )

2 3 )[(

1

+ +

− + +

− +

−

⇔

x x

x x

Xét g (x)=

4 5 3

5 1

3 2

3 2

3

+ +

− + +

− +

x x

9 3

+ + + + +

=

x x

x x

3

1 [− +∞

3

1 [

0 ∈ − +∞ , g(0) 0 = ⇔ =x 0 là nghiệm duy nhất của g x( )

Vậy nghiệm của hệ pt là: (0;1),(1;2)

Bài 4 Giải hệ phương trình : ( 2 ) ( )

Thay vào (2) :

2 2

  là nghiệm duy nhất , thay vào (4) tìm được y=2.

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : ( ; ) 1; 2

) 1 (

x≥ x≠

Ta thấy x= 3,x= 8 là nghiệm của (3)

Ta sẽ chứng minh phương trình (3) có không quá 2 nghiệm Thật vậy:

x≥ x≠

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy f x( ) có không quá 2 nghiệm.

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm:(3; 4), (8,9)

Bài 6 Giải hệ phương trình :

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (0;0),( 3;9) − .

Bài 7 Giải hệ phương trình:

Giải: Điều kiện 1

x x

⇒ f t( ) đồng biến trên ¡ nên (3) ⇔ =x y2

Thay vào (2) ta có x+ + 1 2 − + − =x x 1 x2 + 2 (4) ,điều kiện − ≤ ≤ 1 x 2.

Ta thấy (4) có 2 nghiệm x= 0,x= 1 Ta sẽ CMR phương trình (4) tối đa 2nghiệm Thật vậy,

2

− +

x x

) 1 2

.(

) 2 )(

1 (

1 )

−

− +

−

⇔

x x x

x

x

2

1 0

−

= + + +

+

3 3 2

2 2

1 1

5 6

2 ) 1 )(

4

(

x y

y

y y

x x

−

0 1 2 2 2

)

3

(

0 1 2

3

y y x x

y x

Đ/s: (2; )

2

5

)

3

(

1 ) 1 2 ( 2

y y x x

y x

Đ/s: (1;1), )

2

5 1

; 2

5 1

=

−

− + +

0 4 3 2 4

0 2 5 ) 3 ( ).

1

4

(

2 3

2

x y

x

y y

−

−

= + + +

6 4 2 2 4

2 ) 3 2 ( 1 2 )

y y

x x

Đ/s: ; 6 )

2 1 (

= +

+ +

= + +

y

x x y

x

y

y x

x

2 2 3 4

9

1

1 1

2 2

2

2 1

Đ/s )

3

7 1

; 3

7 1

−

−

+

= +

−

−

+

2 2 3 3 ) (

3

2 2 3 3 ) (

3

3 3

3 3

x x

y

y

y y

−

− +

+

=

−

− +

−

−

0 8 14 3 8 2 3 2

2

0 6

) 20 3 ( 7 ) 3 23

(

x y

x y

x

y y

x x

=

−

− +

−

y x x

y y

x y

x

3 2

28 30

9 2 2 3

−

− +

= +

− + + +

y x

x

x x

x x

y y

y

2 9 11 2

1 2 ) 1 2 ( 21 22 4

3

2

2 2

= + +

−

=

− +

+

4 4

1 2

1 3 1

2 2

2

3

x y

y

x x

x y

2

1 8

x y

x y

+ +