chuyên đề ứng dụng đạo hàm

chuyên đề ứng dụng đạo hàm tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...

Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 126 Chuyeân ñeà 15: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1:TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trongbàinàychúngtasẽứngdụngđạohàmđểxéttínhđơnđiệu(tứclàtínhđồngbiếnvànghịchbiến)của hàmsố.Đồngthờisẽxétcácứngdụngcủatínhđơnđiệutrongviệcchứngminhbấtđẳngthức,giảiphương trình,bấtphươngtrìnhvàhệphươngtrình. A. TÓM TẮT GIÁO KHOA GiảsửKlàmộtkhoảng,mộtđoạnhoặcmộtnữakhoảngvàflàhàmsốxácđịnhtrênK. I) ĐỊNH NGHĨA  Hàmsốfđượcgọilàđồng biến(tăng)trênKnếu      1 2 1 2 1 2 x , x K, x x f x f x        Hàmsốfđượcgọilànghịch biến (giảm)trênKnếu      1 2 1 2 1 2 x , x K, x x f x f x       Minh họa: -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 x y K=(-1;0) K=(1/2;1) y=f(x)=x 4 -2x 2 +2   Nếuhàmsốđồng biếntrênKthìđồthịđi lêntừtráisangphải  Nếuhàmsốnghịch biếntrênKthìđồthịđi xuốngtừtráisangphải  HàmsốđồngbiếnhaynghịchbiếntrênKđượcgọichunglàhàm số đơn điệu trênK. II) CÁC ĐỊNH LÝ 1) Định lý 1:Chohàmsố y f (x) cóđạohàmtrênK.  a)Nếuhàmsố f (x) đồng biếntrênKthì f '(x) 0 vớimọi x K   b)Nếuhàmsố f (x) nghịch biếntrênKthì f '(x) 0 vớimọi x K    [f(x)đồngbiếntrênK]  [ f '(x) 0 vớimọi x K ]   [f(x)nghịchbiếntrênK]  [ f '(x) 0 vớimọi x K ]  2) Định lý 2:Chohàmsố y f (x) cóđạohàmtrênK.  a)Nếu   f ' x 0 vớimọi x K thìhàmsố f (x) đồng biến trênK  b)Nếu   f ' x 0 vớimọi x K thìhàmsố f (x) nghịch biếntrênK  c)Nếu   f ' x 0 vớimọi x K thìhàmsố f (x) không đổitrênK   [ f '(x) 0 vớimọi x K ]  [f(x)đồngbiếntrênK]   [ f '(x) 0 vớimọi x K ]  [f(x)nghịchbiếntrênK]  [ f '(x) 0 vớimọi x K ]  [f(x)khôngđổitrênK] Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 131 Chú ý quan trọng: KhoảngKtrongđịnhlýtrêncóthểđượcthaybởimộtđoạnhoặcmộtnữakhoảng.Khiđóphảibổsunggiảthiết "Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nữa khoảng đó". Cụthể  Nếuhàmsốliên tụctrênđọan   a;b vàcóđạohàm f '(x) 0 trênkhoảng   a;b thìhàmsốfđồngbiến trênđoạn   a;b   Nếuhàmsốliên tụctrênđọan   a;b vàcóđạohàm f '(x) 0 trênkhoảng   a;b thìhàmsốfnghịch biếntrênđoạn   a;b  3) Định lý 3:(Định lý mở rộng)Chohàmsố y f (x) cóđạohàmtrênK.  a)Nếu   f ' x 0 vớimọi x K và   f ' x 0 chỉtạimộtsốđiểmhữuhạnthuộcK  thìhàmsố f (x) đồngbiếntrênK.  b)Nếu   f ' x 0 vớimọi x K và   f ' x 0 chỉtạimộtsốđiểmhữuhạnthuộcK  thìhàmsố f (x) nghịchbiếntrênK. Tính đơn điệu của hàm số bậc ba 4) Định lý 4: Chohàmsốbậcba     3 2 y f x ax bx cx d a 0      ,tacó   2 f ' x 3ax 2bx c   . a)Hàmsố     3 2 y f x ax bx cx d a 0      đồng biếntrên      2 f ' x 3ax 2bx c 0 x        b)Hàmsố     3 2 y f x ax bx cx d a 0      nghịch biếntrên      2 f ' x 3ax 2bx c 0 x        B. THỰC HÀNH GIẢI TOÁN I. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 1.Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số. Ví dụ 1:Tìmcáckhoảngđơnđiệucủacáchàmsốsau                3 2 3 2 4 2 4 2 2 a)y f x x x x 3b)y f x x 3x 9x 11 x c)y f x 2x 6d)y f x x 4x 3 4 3x 1 x 2x 2 e)y f x f )y f x x 1 x 1                               Ví dụ 2:Xétchiềubiếnthiêncủacáchàmsốsau     2 a)y x 2 x b)y x 4 x 2 x 3 x c)y d)y 2 2 x 1 x 1            2.Dạng 2: Định tham số để hàm số đơn điệu trên một miền K cho trước. Ví dụ 1: Tìmcácgiátrịcủathamsốmđểhàmsố    a)     3 2 1 y x mx m 6 x 2m 1 3       đồngbiếntrên      b)     3 2 1 y x m 1 x m 3 x 4 3        nghịchbiếntrên   Ví dụ 2:Tìmcácgiátrịcủathamsốmsaochohàmsố       3 2 2 f x x m 1 x 2m 1 x m 2         a)Đồngbiếntrên   Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 132  b)Đồngbiếntrênnữakhoảng 3 ; 2         Ví dụ 3:Tìmcácgiátrịcủathamsốasaochohàmsố     3 2 2 1 1 f x x ax 2a 3a 1 x 3a 3 2          a)Nghịchbiếntrên    b)Nghịchbiếntrênmỗinữakhoảng   ; 1  và   3;   Ví dụ 4:Tìmcácgiátrịcủathamsốmsaochohàmsố   3 2 f x x 3x 3mx 1       nghịchbiếntrênkhoảng   0;  (Khối A-2013) II. CÁC DẠNG TOÁN NÂNG CAO 1.Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu chứng minh bất đẳng thức. a) Ví dụ 1:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:     i) sin x x vớimọi x 0; 2              ii) 2 x cos x 1 2   vớimọi x 0; 2           b) Ví dụ 2:Chứngminhcácbấtđẳngthứcsau:     i) 2sin x tan x 3x  vớimọi x 0; 2              ii) sin x tan x 2x  vớimọi x 0; 2          2.Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Bổ sung các tính chất của tính đơn điệu  Tính chất 1:Giảhàmsố   y f x  đồngbiến(nghịchbiến)trênkhoảng   a;b và   u; v a;b  tacó:          f u f v u v      Tính chất 2:Giảhàmsố   y f x  đồngbiếntrênkhoảng   a;b và   u; v a;b  tacó:          f u f v u v      Tính chất 3:Giảhàmsố   y f x  nghịchbiếntrênkhoảng   a;b và   u; v a;b  tacó:          f u f v u v      Tính chất 4:Nếuhàmsố   y f x  đồng biến trên   a;b và   y g x  làmhàm hằnghoặclàmộthàm số nghịch biếntrên   a;b thìphươngtrình     f x g x  cónhiềunhấtmộtnghiệmthuộckhoảng   a;b  Dựa vào tính chất trên ta suy ra: Nếucó   0 x a;b  saocho     0 0 f x g x  thìphươngtrình     f x g x  cónghiệmduy nhất trên   a;b  a) Ví dụ 1: Giảiphươngtrình x 9 2x 4 5      b) Ví dụ 2: Giảiphươngtrình 2 x cos x 0 4 2       c) Ví dụ 3: Giảiphươngtrình 2 2 x 15 3x 2 x 8       d) Ví dụ 4:Giảibấtphươngtrình x 2 3 x 5 2x        e) Ví dụ 5:Giảihệphươngtrình  cot x cot y x y 5x 8y 2       với   x, y 0;   Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 133  f)Ví dụ 6:Giảihệphươngtrình: x y 1 y 1 x 0 x 1 y 2              C. BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài 1:Tìmcáckhoảngđơnđiệucủacáchàmsốsau            3 2 4 2 2 a)y f x x 3x 9x 5b)y f x x 2x 3 2x 1 x 2x 3 c)y f x d)y f x x 1 x 2                      Bài 2:Lậpbảngbiếnthiêncủacáchàmsốsau       2 a)y x 4 x b)y x 1 9 x c)y x 1 8 x x 1 8 x                Bài 3:Chohàmsố     3 2 1 y a 1 x ax 3a 2 x 2 3        Tìmađểhàmsốđồngbiếntrên   Bài 4:Tùytheomhãyxétsựbiếnthiêncủahàmsố   2 y x m x m    Bài 5:Giảicácphươngtrìnhsau:     2 3 a) 4x 1 4x 1 1 b) sin x cos x 2x 1 0 c)4x 12x 8 cos3x 9cos x 0               Bài 6:Giảibấtphươngtrình 2 x x 6 x 2 18     Bài 7:Giảihệphươngtrình 3 2 3 2 3 2 2x 1 y y y 2y 1 z z z 2z 1 x x x                   Bài 8:ChotamgiácABCcóbagócnhọn.Chứngminhrằng:     sin A sin B sin C tan A tan B tan C 2           Hết Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 134 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 135 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 136 CÁC BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC Bài 1: (B-2014) Bài 2: (B-2013) Bài 3: (A-2012) Bài 4: (B-2012) Bài 5: (D-2012) Bài 6: Bài 7: Bài 8: Bài 9: Bài 10: Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 137 Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 138 Bài 3:  GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A. TÓM TẮT GIÁO KHOA I) ĐỊNH NGHĨA: Giảsửhàmsố   y f x  xácđịnhtrêntậphợpD.  SốMđượcgọilàGTLNcủahàmsố   y f x  trêntậpDnếucácđiềusauđượcthỏamãn      0 0 i)f x M x D ii) x D : f x M            Ký hiệu:   x D M Max f x     SốmđượcgọilàGTNNcủahàmsố   y f x  trêntậpDnếucácđiềusauđượcthỏamãn      0 0 i)f x m x D ii) x D : f x m            Ký hiệu:   x D m min f x    Minh họa: -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 x y y=f(x)=x 3 -3x+4 -5/2 3/2 m=33/8 M=6 D=[-5/2;3/2]   Quy ước:TaquyướcrằngkhinóiGTLNhayGTNNcủahàmsốfmàkhôngnói"trêntậpD"thìtahiểu đólàGTLNhayGTNNtrênTẬP XÁC ĐỊNHcủanó.  ĐốivớiGTLNvàGTNNđốivớihàmnhiềubiếncũngcóđịnhnghĩatươngtự. Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 139 II) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG ĐỂ TÌM GTLN & GTNN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN: 1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức (hay phương pháp dùng định nghĩa). Một số kiến thức thường dùng:  a) 2 2 ( ) ( ) 2 4 b f x ax bx c a x a a          b)Bất đẳng thức Cô-si:  Vớihaisốa,bkhôngâm   a, b 0 taluôncó: a b ab a b 2 ab 2       Dấu"="xảyrakhi a b   Vớibasốa,b,ckhôngâm   a, b,c 0 taluôncó: 3 3 a b c abc a b c 3 abc 3         Dấu"="xảyrakhi a b c    c) Một số bất đẳng thức cơ bản thường dùng 1) 2 2 2 2 2 2 a b a b ab ab       2) 2 2  ( ) ( ) 4 4 a b a b ab ab       3) 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2( ) a 2 a b a b a b b         2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình (hay phương pháp miền giá trị). Cơ sở lý thuyết của phương pháp:Chohàmsốxácđịnhbởibiểuthứcdạng   y f x    Tập xác địnhcủahàmsốđượcđịnhnghĩalà: D  { x |  f(x)có nghĩa}  Tập giá trịcủahàmsốđượcđịnhnghĩalà: T={ y | Phươngtrìnhf(x)=ycó nghiệm x D } DođónếutatìmđượctậpgiátrịTcủahàmsốthìtacóthểtìmđựơcGTLNvàGTNNcủa hàmsốđó. Một số kiến thức thường dùng:  a)Phươngtrình   2 ax bx c 0 a 0    cónghiệm 0     b)Phươngtrình   a cos x bsin x c a,b 0   cónghiệm 2 2 2 a b c    3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm (hay phương pháp giải tích).  Điều kiện tồn tại GTLN và GTNN:  Định lý:Hàmsốliên tụctrênmộtđoạn   a;b thìđạtđượcGTLNvàGTNNtrênđoạnđó. (Weierstrass 2)  Phương pháp chung: MuốntìmGTLNvàGTNNcủahàmsố   y f x  trênmiềnD,talập BẢNG BIẾN THIÊNcủahàmsốtrênDrồidựavàoBBTsuyrakếtquả.  Phương pháp riêng: Trongnhiềutrườnghợp,cóthểtìmGTLNvàGTNNcủahàmsốtrênmộtđoạnmàkhôngcầnlập bảngbiếnthiêncủanó.Giảsửhàmsố f liêntụctrênđoạn   ;a b vàcóđạohàmtrênkhoảng   ;a b , cóthểtrừmộtsốhữuhạnđiểm.Nếu '( ) 0 f x  chỉtạimộtsốhữuhạnđiểmthuộc   ;a b thìtacóquy tắctìmGTLNvàGTNNcủahàm f trênđoạn   ;a b nhưsau:  [...]... đi xun qua đồ thị.  2 Dấu hiệu nhận biết lồi, lõm và điểm uốn Định lý 1: Cho hàm số  y  f (x)  có đạo hàm cấp hai trên khoảng   a; b     Nếu  f ''(x)  0  với mọi  x   a; b   thì đồ thị của hàm số lồi trên khoảng đó.   Nếu  f ''(x)  0  với mọi  x   a; b   thì đồ thị của hàm số lõm trên khoảng đó.  Định lý 2: Cho hàm số  y  f (x)  có đạo hàm cấp hai trên khoảng   a; b   và  x 0   a; b     Nếu ... của hai hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng nhau qua trục hoành b) Đồ thò hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng c) Đồ thò hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng * Hai dạng cơ bản Bài toán tổng quát: (C ) : y  f (x) Từ đồ thò (C) :y=f(x), hãy suy ra đồ thò các hàm số sau:  1 (C 2 ) : y  f ( x ) Ví dụ: (C1 ) : y  x 3  3x  2  Từ đồ thò (C) : y  x  3x  2 , hãy suy ra đồ thò các hàm số...                   b)   f (x)  x  3    x 1 x 3 2) Phương pháp 2 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình x2  x  2      Ví dụ 1 : Tìm GTLN và GTNN của hàm số  y  2   x x2 1  sin x      Ví dụ 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số  y    2  cos x 3) Phương pháp 3 : Sử dụng đạo hàm     Ví dụ 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:  9  1  4   1)  y  16 x 2  2 x  12   trên đoạn  0;              2) ... 2014)                                                   4             8)  y   x 2  4 x  21   x 2  3 x  10   (Khối D-2010) 140 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT A TĨM TẮT GIÁO KHOA CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ M  Max f  x   xD Giả sử  f  x   là hàm số liên tục trên miền D và đạt GTLN, GTNN trên miền ấy. Ký hiệu:     m  min f  x   xD  Khi đó ta... cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 4: Cho hàm số y  x 3  3 x 2  mx  m  2 (1) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt Bài 5: Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 (1) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Bài 1 : Cho hàm số  y  Dành riêng cho chương trình nâng cao Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số :... Cho hàm số x 2 Tìm trên đồ thò hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là nguyên 2x 1 Bài 3: Cho hàm số y  x 1 Tìm trên đồ thò hàm số những điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ nhất Bài 4: Cho hàm số  y  2x(1  x 2 )   Gọi A, B là các giao điểm của (C) với trục hồnh ( khác gốc tọa độ O). Tìm các điểm I thuộc (C)  sao cho tam giác IAB vng tại I.  Bài 1:  Cho hàm số  y  LUYỆN GIẢI ĐỀ THI... Phải kiểm tra tính liên tục của hàm số  y  f  x   trên đoạn   a; b  , tránh áp dụng một cách hình  thức.  B THỰC HÀNH GIẢI TỐN 1) Phương pháp 1 : Sử dụng bất đẳng thức      Ví dụ 1: Tìm GTLN của hàm số  f  x   2x 2  8x  1        Ví dụ 2: Tìm GTNN của hàm số   f  x   2x 2  4x  12                                                        Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số sau  7 2                     a)  ... -6 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 152 Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Bài 1: Cho hàm số : y   x 3  3x (1) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) 2 Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau: 3 b) y   x  3 x a) y   x 3  3x x 1 (1) x 1 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) 2 Từ đồ thò (C) đã vẽ, hãy suy ra đồ thò các hàm số sau: x 1 x 1 x 1 b)...Chun đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn Quy tắc 1) Tìm các điểm  x1 , x2 , , xm  thuộc   a; b   mà tại đó hàm số  f  có đạo hàm bằng  0  hoặc khơng có  đạo hàm.   2) Tính  f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xm ), f (a ), f (b) 3) So sánh các giá trị tìm được  Số lớn nhất trong các giá trị đó là GTLN của ... (x 0 )   là điểm uốn của đồ thị hàm số đã cho.  3 Áp dụng     Ví dụ: Tìm khoảng lồi lõm và điểm uốn của đồ thị các hàm số sau      a)  y   x 3  3x 2  2         b)  y  x 4  2x 2  3           -Hết   143 Chun đề LTĐH Bài 5:                      ĐƯỜNG Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TĨM TẮT GIÁO KHOA 1 Đường tiệm cận ứng và đường tiệm cận ngang     Định . Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 126 Chuyeân ñeà 15: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Bài 1:TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Trongbàinàychúngtasẽ ứng dụng đạo hàm đểxéttínhđơnđiệu(tứclàtínhđồngbiếnvànghịchbiến)của hàm số.Đồngthờisẽxétcác ứng dụng củatínhđơnđiệutrongviệcchứngminhbấtđẳngthức,giảiphương trình,bấtphươngtrìnhvàhệphươngtrình. A D-2010) Chuyên đề LTĐH Huỳnh Chí Hào – boxmath.vn 141 ỨNG DỤNG GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG PT VÀ BPT A. TÓM TẮT GIÁO KHOA CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA ỨNG DỤNG VÀ VÍ DỤ Giảsử   f x là hàm sốliên. Nếu hàm sốliên tụctrênđọan   a;b vàcó đạo hàm f '(x) 0 trênkhoảng   a;b thì hàm sốfđồngbiến trênđoạn   a;b   Nếu hàm sốliên tụctrênđọan   a;b vàcó đạo hàm f