Ứng dụng đạo hàm trong toán kinh tế

Ứng dụng đạo hàm trong toán kinh tế tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...

DANH SÁCH THÀNH VIÊN

1 Một số kết quả trong toán cao cấp

a.Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x), xác định trên (a,b)

) ( ) (

: ) , ( ),

,

(

o

o o

x f x f f

y

x x x b a x b

x o

x

o o

x x

x f x f x

y dx

x df x

()(

b.Đạo hàm và độ dốc của đường cong:

y

(C)

y 0 + y

y 0 N

0 x 0 x 0 + x x

Cho y = f(x) có đồ thị là đường cong (C), xo D: miền xác định của hàm số

- Gọi  là góc nghiêng của đường thẳng MoM so với trục Ox

- Gọi  là góc nghiêng của tiếp tuyến MoT so với trục Ox

Ta kết luận: Đạo hàm của y = f(x) tại xo là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại Mo(xo,yo)

Và f' (x o) là số đo độ dốc của đường cong y = f(x) tại Mo(xo,yo)

c Vi phân của hàm số

y = f(x) là dy = df = f' (x)dx



d Đạo hàm và xu hướng biến thiên của hàm số

Cho y = f(x) có đạo hàm trong (a,b)R, khi đó:







 0 , ( , ) )

(

e Cực trị của hàm số

Cho y = f(x), xác định trên (a,b)

- Điểm cực trị địa phương x0(a,b) của hàm f là điểm mà tại đó hàm số đạt trị lớn nhất (cực đại),hoặc trị nhỏ nhất (cực tiểu)

- Điều kiện cần: f đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0(a,b) và tại x0 hàm f có đạo hàm Thì

- Điều kiện đủ: cho y = f(x), có f ' x( ) trên (a,b)R Giải f' (x)  0, ta tìm được các nghiệm x0,

x1,… gọi là các điểm tới hạn

Nếu:

+ Tại x0, f ' x( ) đổi dấu từ + sang – thì f có cực đại

+ Tại x0, f ' x( ) đổi dấu từ - sang + thì f có cực tiểu

+ Nếu f ' x( ) khôngđổi dấu thì hàm f không có cực trị

+ Hàm số y = f(x), có đạo hàm đến cấp 2

+ Nếu tại x0 ta có f '(x0)=0 và f ''(x)0 thì hàm số đạt cực trị tại x0

 x0 là điểm mà f đạt cực đại nếu f ''(x0)0

 x0 là điểm mà f đạt cực tiểu nếu f ''(x0)0

2 Ý nghĩa của đạo hàm trong kinh tế

Đạo hàm và giá trị biên tế trong kinh tế

Cho mô hình hàm số y = f(x), x và y là các biến kinh tế

x: biến độc lập hay biến đầu vào

y: biến phụ thuộc hay biến đầu ra

Trong quản trị kinh doanh, chúng ta quan tâm đến xu hướng thay đổi của y, khi x thay đổi một lượng nhỏ

Với định nghĩa đạo hàm trong toán cơ bản, ta có:

x

y x

f

y

x f x

x f x x

)(')()(

0 0

0

0 0

Với mỗi hàm kinh tế, ta có một tên gọi riêng:

Thí dụ:

a Với hàm doanh thu: TR = p.Q thì dTR dQ được gọi là doanh thu biên tế

b Với hàm chi phí: TC = f(x), x: sản lượng thì

dx

df dx

dQ

II Một số bài toán ứng dụng trong sản xuất kinh doanh

1 Bài toán giá trị biên

a Sản lượng biên (Marginal quantity), kí hiệu MQ:

Là số đo đại lượng thay đổi của sản lượng khi lao động ha vốn tăng lên 1 đơn vị

Thí dụ 1: Giả sử hàm sản xuất của một doang nghiệp là:

Sản phẩm biên tế của lao động tại L=2500 là:

Điều này có nghĩa là : khi tăng mức sử dụng lao động từ 2500 đến 2501 thì sản lượng tăng 0.07 đơn vịsản phẩm

b Sự thay đổi của giá theo cầu:

Là số đo sự thay đổi của giá khi mức sản lượng tăng lên đơn vị

Thí dụ 1:Hàm cầu của một sản phẩm: P = 10 – Q2 , Q là sản lượng, P là giá bán

Sự thay đổi cuả giá bán theo lượng cầu là: P’ = -2Q Gỉa sử ở mức Q = 5 đơn vị thìP’(5) = -10: Nghĩa là khi tăng sản lượng lên 1 đơn vị (từ 5 lên 6), giá giảm 10 đơn vị tiền tệ

Thí dụ 2: Giả sử 1 shop cửa hàng quần áo có hàm cầu một cái áo :P= 8 -2Q2, Q là sản lượng , P

là giá bán

Sự thay đổi của giá theo lượng cầu :P’ = -4Q

Giả sử ở mức Q= 10 đơn vị thì P’(10) =-40 nghĩa là khi tăng sản lượng một đơn vị thì giá giảm 40 đơn

vị tiền tệ

c Chi phí biên (Marginal cost), kí hiệu MC:

Hàm chi phí: TC = TC(Q)

Chi phí biên là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí khi sản lượng Q tăng lên 1đơn vị

Thí dụ 1:Hàm chi phí một sản phẩm được cho là:

Điều này có nghĩa là: Khi sản xuất tăng thêm 1 đơn vị sản lượng (từ 50 lên 51) thì chi phí tăng

thêm 3.75 đơn vị tiền tệ

-Chi phí biên là một hàm tăng

-Sản lượng sản xuất càng lớn thì chi phí biên càng lớn

d Doanh thu biên (Marginal revenue), kí hiệu MR:

Xét hàm doanh thu: TR = P.Q; P: giá; Q: sản lượng

4.07 9 2 0

Nếu: Q do thị trường quyết định, giá do doanh nghiệp quyết định, thì MR hay giá trị cận biên của doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi của doanh thu khi sản lượng tăng thêm một đơn vị.

Nếu: Q do doanh nghiệp quyết định, P do thị trường quyết định thì MR hay giá trị cận biên cảu doanh thu là đại lượng đo sự thay đổi cảu doanh thu khi giá tăng 1 đơn vị

Ví dụ1:

Cho hàm chi phí C =C(Q) giá trị biên của chi phí MC(Q) là đại lượng đo sự thay đổi của chi phí Ckhi

Q tăng lên một đơn vị

Cho hàm chi phí trung bình để san xuất ra một chiếc máy tính là:

Q Q

Q Q

MR =

2 2

d TC dP

doanh thu khi sản lượng tăng thêm 1 đơn vị

MR ở một số mức sản lượng như sau:

e Lợi nhuận biên

Xét hàm lợi nhuận của sản phẩm A:

Một doanh nghiệp luôn muốn đạt được lợi nhuận tối đa, có hai cách để lựa chọn:

Cách 1: Gía bán P được xách định theo yêu cầu thị trường, doanh nghiệp ấn định mức sản lượngsản xuất Q

Giả định  là hàm xác định, liên tục, có đạo hàm đến cấp 2

Muốn có lợi nhuận tối đa phải thỏa 2 điều kiện:

dQ

 = d

d dQ

 =

2 2

Đã biết: Doanh thu biên là hàm giảm, chi phí biên là hàm tăng

Cách 2: Doanh nghiệp ấn định giá bán P, sản lượng Q được xác định theo yêu cầu thị trường

Xét hàm mục tiêu y = f(x)

Qui luật lợi ích cận biên giảm dần ( the law of diminishing returns) cho biết :

Khi x càng lớn thì giá trị cận biên của y càng nhỏ

Nghĩa là f’(x) là một hàm đơn điệu giảm

Điều kiện để giá trị cận biên của y giảm dần theo x là : f’’(x) < 0

Ví dụ : Một doanh nghiệp đưa vào thị trường sản phẩm A, thông tin có được như sau :

Khi đó P = 350 đơn vị tiền tệ, lợi nhuận là 34.175

Nhận xét: Khi giá tăng từ 340 lên 350, tương đương 3% thì lợi nhuận giảm từ 36,980 xuống 34.1175 tương 7,6%

Sản lượng giảm từ 130 xuống 125 tương đương 3,8%

h Tiêu dùng và tiết kiệm:

Gọi I là tổng thu nhập của quốc gia; C là tiêu dùng của toàn dân và S là tiết kiệm

( Income, Cconsumption, Save)

Tiêu dùng sẽ phụ thuộc vào thu nhập, do đó tiêu dùng là hàm số của thu nhập

Gọi C = C(I) : hàm tiêu dùng; thì tiết kiệm là S = I – C

Tiêu dùng biên là đại lượng đo sự thay đổi của tiêu dùng khi thu nhập tăng một đơn vị, được xác định

j Một số bài toán khác ứng dụng đạo hàm:

* BÀI TOÁN THUẾ DOANH THU

Giả sử một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại hàng hóa Biết hàm cầu của xí nghiệp về loại hàng hóa này là Qd=Qd(P) và hàm tổng chi phí của xí nghiệp là TC=TC(Q) Hãy xác định mức thuế t thu trênmột đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất ?

Lợi nhuận: LN(Q) =TR – TC - t(Q)

Từ đây ta ứng dụng các nguyên lí tính toán trong đạo hàm sẽ cho kết quả

Ví dụ : Một doanh nghiệp độc quyền có hàm chi phí cầu tương ứng như sau :

Khi đó doanh thu của công ty là : T = t(Q)

Lợi nhuận của công ty :  (Q)=P(Q)Q – C(Q) – t(Q) =-2Q2 + (1000 – t)Q -50

Dạo hàm của lợi nhuận bằng : -4Q + 1000 – t

Từ điều kiện để lợi nhuận cực đại ta có : Q(t) = (1000 – t)/4

Vì đạo hàm cấp hai của lợi nhuận = -4<0 nên Q(t) là sản lượng làm cho xí nghiệp có lợi nhuận cực đại Khi đó tổng số thuế thu được là T(t) = (1000 – t)t/4

Đạo hàm của thuế là : T’(t)= ¼ (1000 – 2t)

Từ điều kiện T’(t) = 0 suy ra t = 500

Vì T’’(t) = ½ <0 nên t = 500 chính là định mức thuế để thu được nhiều thuế nhất Khi đó sản lượng sản xuất của công ty là Q(t) = (1000 – 500)/4 = 125

2 Bài toán tối đa hóa lợi nhuận và tối đa hóa doanh thu

- Tối đa hóa lợi nhuận:doanh nghiệp sẽ lựa chọn mức sản lượng mà tại đó chênh lệch giữa tổng doanh

thu và tổng chi phí là lớn nhất điều này có thể đạt được khi đạo hàm bậc nhất của hàm lợi nhuận bằng 0

d /dQ= dTR/dQ –dTC/dQ= 0 hay MC=MR

Để tối đa hóa lợi nhuận, doanh nghiệp lựa chọn mức sản lượng Qe Tại đó doanh thu biên bằng chi phí biên

- Tối đa hóa doanh thu: doanh thu là hàm số của giá và sản lượng hay TR= PQ Mức sản lượng mà tại

đó doanh nghiệp tối đa hóa doanh thu phải thỏa mãn điều kiện MR=0

Vd1: Hãng kẹo XuXu có hàm cầu là Q=100-P, hàm chi phí là C2Q337Q2166Q50

Tìm Q để lợi nhuận lớn nhất

Giải:

Q=100-P hay P=100-Q

Từ đó doanh thu là R=(100-Q)Q và hàm lợi nhuận là

Từ đó  đạy cực đại khi Q=11,max (11) 918

Vd2: Số vé bán được của một hãng xe buýt liên hệ giá vé P là : Q = 10000 – 125P

Tìm mức giá P để doanh thu đạt mức tối đa Tính lượng vé bán được ở mức giá đó

Với P = 40, R’’ < 0 nên hàm R đạt cực đại tại P= 40

_Doanh thu lúc đó là Rmax= R(40) = 200000 ( đơn vị)

_Với mức doanh thu đó số vé bán được là Q= 10000 – 125.40 = 5000 ( vé )

Với mô hình hàm chi phí TC = TC (Q) thì TC’ (Q) được gọi là chi phí cận biên tại điểm Q0 , chi phícận biên được kí hiệu là MC, MC = TC’ (Q) tại mỗi mức lượng Q, MC cho biết lượng chi phí xấp xỉtăng lên thêm khi sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm



 Trong quản trị kinh doanh, tỷ số trên nhiều khi không cho nhà quản trị thấy rõ mối liên hệ giữa hai biến kinh tế x và y

Thí dụ: Xét hàm cầu Q = f(q), cầu theo giá

- Đối với sữa hộp cho bé, chênh lệch 10.000 đồng là rất có ý nghĩa.

- Đối với máy tính, sự chênh lệch 10.000 đồng không cho thấy sự khác biệt nào

Để giả quyết vấn đề này, các nhà kinh tế định nghĩa:

b Định nghĩa độ co dãn của hàm số

Cho y = f(x), xác định, liên tục, có đạo hàm trên (a,b)

Độ co dãn của hàm dược ký hiệu là E và bằng:

Như vậy độ co dãn của hàm số phụ thuộc vào x và y

c Hàm cầu biểu diễn quan hệ giá p và Q D = f(p)

d Hàm số cung biểu diễn quan hệ giữa giá p và Qs = G(p)

Qs = G(p), cung được tính theo giá

Ta có: QP =(120P+12) = = 1.99

Kết luận: điều này có ý nghĩa là với mức giá P=5 thì khi giá tăng 1% lượng cầu sẽ tăng 1.99%

Vd2: Hàm cung và hàm cầu của đĩa vi tính trên địa bàn An Giang lần lượt là: QS=5P + 90, QD=250 –15P Tính hệ số co dãn theo giá của cung và cầu tại điểm cân bằng

1 Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng.

Hữu dụng – U (Utility) : là sự thỏa mãn của một người cảm nhận được khi tiêu dùng một loại sản phẩm hay dịch vụ

Tổng hữu dụng – TU ( Total Utility) : tổng mức thỏa mãn đạt được khi tiêu thụ một số lượng sản phẩm hay dịch vụ trong một đơn vị thời gian

Hữu dụng biên tế - MU (Marginal Utility) : là sự thay đổi trong tổng hữu dụng khi thay đổi một đơn vị sản phẩm tiêu dùng trong mỗi đơn vị thời gian (với điều kiện các yếu tố khác không đổi)

Nhớ : Trên đồ thị thì MU chính là độ dốc của đường biểu diễn TU

MUx = TUQx ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục)

MUx = dTU dQx ( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục)

Với hàm nhiều biến, thì hàm hữu dụng được cho là :

Trong đó :

U : Dụng ích

x1, x2,…, xn : các sẩn phẩm dần được mô tả bằng công thức :

n i dx

f d i

,1,

= MPL : giảm khi L tăng, K không đổi

Tính hệ số co dãn (trường hợp nhiều biến)

Gọi y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào các biến kinh tế khác : x1, x2,…, xn biểu diễn qua quan hệ làm:

Gọi:

Câu hỏi đặt ra : Công ty sử dụng các yếu tố đầu vào như thế nào để đạt được lợi nhuận tối đa?

Đặt bài toán : Gọi R = pQ = pf(K,L), C = K + L + Co : chi phí cho việc sản xuất A

f p

L

K

f p K

f p

L K

2

t r

rt s

0 2

t r

s rt

(2)

Điều kiện (1) : Cho chúng ta biết rằng : Điều kiện cần để công ty đạt lợi nhuận tối đa là :công ty sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho sản phẩm biên tế của tư bản (tính bằng tiền) bằng chi phí tư bản, và sản phâm biên tế của lao động bằng chi phí lao động

Điều kiện (2) : Cho thấy sự tương quan của 2 yếu tố K và L đến lợi nhuận tối đa của công ty

1004

100

404

L L

L

K K

K





2 2 2 2 2

L K L K

2

L K





= -16 < 0Vậy Nhôm Văn Hải cần có phối hợp : K = 10 và L = 25 khi đó  = 130,

Q = 1025 đơn vị sản phẩm, R = 2050, C = 750

Tháng 10/2008 – Lãi được 1.300.000.000  1,3 tỷ

2 Bài toán tìm tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa

Thí dụ 1:

Doanh nghiệp tư nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền 2 loại sản phẩm võng xếp

và giường xếp Thông tin do xưởng sản xuất cung cấp như sau :

Q1 : Số lượng võng xếp, giá P1

Q2 : Số lượng giường xếp, giá P2

Hàm cầu : Q1 = 14 - 1/4P1 của võng xếp

Q2 = 24 – 1/2P2 của giường xếpHàm tổng chi phí là: TC = 2

1 1

2 48

4 56

Q P

Q P

051056

1 2 2

2 1 1

Q Q Q

Q Q Q

5

565

10

2 1

2 1

Q Q

Q Q

 Q2  6 ; Q1  3

10 ( ) 5 ( 2 2

2 2

2 2

Công ty Vissan sản xuất thịt hộp và lạp xưởng phục vụ Tết âm lịch 2008

Các thông tin được cho như sau:

- Lạp xưởng : Q1, giá thị trường P1 = 80.000đ/ 1kg

803

8031050

03880

2 1

2 1

2 1 2

2 1 1

Q Q

Q Q Q

Q Q

Q Q Q





Giải hệ phương trình này ta được:

71 9 80 10 3

3 8

150 800 10 50

3 80

1

D Q

5 , 2 71

160 160

120 400 50 3

80 8

010

08

2 2

2 2 1

2

2 1 2

2 1

Q và

9

2

1

Q Q

Tức sản xuất 9 đơn vị sản phẩm lạp xưởng và 2,5 đơn vị sản phẩm thịt hộp

3 Bài toán tìm mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa:

Giả định công ty có sản phẩm A, bán trên 2 thị trường khác nhau, với 2 mức giá khác nhau, 2 hàm cầu khác nhau Tìm mức sản lượng cần phân bổ sao cho công ty đạt lợi nhuận tối đa?Gọi: QD1=D1(P1); QD2=D2(P2 ), trong đó:

QD1, P2 là cầu và giá bán trên thị trường thứ 1

QD1, P2 là cầu và giá trị bán trên thị trường thứ 2

Hàm tổng chi phí là: TC=C(Q), trong đó Q= Q1 + Q2( trong một đơn vị thời gian)

Ta có: D1(P1) = Q1D2(P2) = Q2; P 1= P1(Q1).P2 = P2 (Q2 )

Doanh thu thị trường 1: R1(Q1) = P1(Q1)Q1

Doanh thu thị trường 2: R2(Q2) = P2 (Q2 )Q2

Tổng doanh thu: TR = R1(Q1) + R2 (Q2)

Hàm lợi nhuận:

 = TR – TC = R1(Q1) + R2(Q2) – C(Q), Q = Q1 + Q2

Gọi x là mỗi lần xem ca nhạc, với giá vé p = 25.000đ/1 vé

Gọi y là 1 quyển sách với giá p = 20.000đ/1 quyển

Hỏi sinh viên này nên xem ca nhạc và mua bao nhiêu quyển sách trong 1 tháng để đạt dụng ích tối đa? Biết rằng hàm dụng ích là: U(x,y) = (x + 4)(y + 5)

Giải: Bài toán được đưa về tìm cực trị có điều kiện như sau:

Tương đương: Tìm cực trị của (1) thỏa điều kiện:

Lx = y – 5 + 5 = 0

L ’ = 40 – 5x – 4y = 0

Giải hệ phương trình (4) ta được nghiệm là (4,5,2), tronh đó  = 2

Như vậy (1) thỏa điều kiện (2), đạt cực trị tại x = 4 và y = 5

Để kết luận cực trị đó là cực đại hay cực tiểu, ta lập:

Kết luận sinh viên này đạt dụng ích tối đa khi xem ca nhạc 4 lần và mua 5 quyển sách trong một tháng.

Bài toán 2: Trong một mùa tuyển sinh đại học, một trường đại học tại thành phố Hồ Chí Minh

tuyển 5.000 sinh viên, được đào tạo tại 2 cơ sở:

Cơ sở A với số lượng x sinh viên, hàm chi phí là:

CA = 0,01x2 + 70x + 9300

Cơ sở B với số lượng y sinh viên, hàm chi phí là:

CB = 0,015y2 + 72y + 5200

Lãnh đạo nhà trường nên phân bổ sinh viên như thế nào để chi phí đào tạo thấp nhất?

Giải: Dùng phương pháp Lagrange

Vấn đề được đưa về bài toán tìm cực trị có điều kiện như sau:

Giải hệ phương trình này ta được: x = 3040,y = 1960,  = 130,8

(x,y) là điểm ở đó (1) đạt cực trị thỏa (2), để kết luận cực trị đó là cực tiểu, ta lập: p = 1, q = 1, r

, có detH = -0,05 < 0, nên có cực tiểu

Kết luận: Tại cơ sở A: 3040 sinh viên

Tại cơ sở B: 1960 sinh viên

Thì chi phí đào tạo sẽ thấp nhất

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Toán cao cấp C1 và một số ứng dụng trong kinh doanh

2 Toán cao cấp ( Đậu Thế Cấp)

3 Toán cao cấp (Lê Sĩ Đồng)

4 Tài liệu tham khảo của Thạc Sĩ Hứa Thành Xuân Email: htxuan@ctu.edu.vn.

5 Và sự giúp đỡ của các anh chị khóa trước