Trang bị cho học sinh về một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo và hình thành nhiều cách giải khác nhau.
PHẦN A: MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Bài tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị hàm nhiều biến thường xuyên xuất đề thi THPT QG Đã thành thói quen học sinh bỏ có làm gặp nhiều lúng túng cảm thấy sợ gặp phải loại toán Đơn giản tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị hàm nhiều biến tốn khó đề thi, nhằm phân loại chọn học sinh giỏi Thường học sinh không giải toán Trong chuyên đề xin giới thiệu phương pháp hữu hiệu là: “Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị hàm nhiều biến” Đạo hàm khái niệm quan trọng giải tích, cơng cụ sắc bén để nghiên cứu tính chất hàm số Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị hàm nhiều biến cho phép giải số dạng toán chứng minh bất đẳng thức tìm cực trị hàm nhiều biến II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: - Trang bị cho học sinh phương pháp chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức nhiều biến - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo hình thành nhiều cách giải khác III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: - Các dạng toán chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nằm chương trình tốn phổ thơng - Phân loại dạng tốn thường gặp phương pháp giải dạng IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: -Tham khảo sách, báo, tài liệu - Thực tiễn ging dy V Đối tợng học sinh: - Học sinh líp 12 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến VI DỰ KIẾN SỐ TIẾT GIẢNG DẠY: - tiết Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến PHẦN B: NỘI DUNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D +) Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) tập D nếu: ∀x ∈ D : f(x) ≤ M ∃x0 ∈ D :f(x0 ) = M Kí hiệu M = maxf(x) D +) Số m gọi giá trị nhỏ hàm số y = f(x) tập D nếu: ∀x∈ D : f(x) ≥ m ∃x0 ∈ D :f(x0 ) = m Kí hiệu m= minf(x) D minf(x) không tồn +) Chú ý: maxf(x), D D 1.2 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn Bài toán : Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [ a; b] có số hữu hạn điểm tới hạn đoạn Hãy tìm maxf(x) minf(x) [ a; b] [ a; b] Cách giải -Tìm điểm tới hạn x1, x2, …, xn f(x) đoạn [ a; b] -Tính f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) - Tìm số lớn M số nhỏ m số f(a), f(x1), f(x2), …, f(xn), f(b) ; Khi đó: M = maxf(x) [ a; b] m = minf(x) [ a; b] Chú ý: Nếu hàm số y=f(x) khơng có điểm tới hạn đoạn [ a; b] f’(x) giữ nguyên dấu đoạn đó, tức f(x) đồng biến, hoặcnghịch biến = f(a) = f ( b) minf(x) +) f(x) đồng biến đoạn [ a; b] : maxf(x) [ a; b] [ a; b] = f(b) = f ( a) minf(x) +) f(x) nghịch biến đoạn [ a; b] : maxf(x) [ a; b] [ a; b] 1.3 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a; b) Tìm maxf(x) , minf(x) ( a; b) ( a; b) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến Cách giải : - Lập bảng biến thiên hàm số y = f(x) khoảng (a; b) dựa vào bảng biến thiên ta suy giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số - Nếu khoảng (a; b) hàm số f(x) có cực trị cực đại (hoặc cực tiểu) giá trị cực đại giá trị lớn (hoặc giá trị cực tiểu giá trị nhỏ nhất) ca hàm số cho (a; b) 1.4 Mt số bất đẳng thức thường sử dụng • Cho hai số thực x, y ta có: ( x + y ) ≥ xy Dấu đẳng thức xảy x = y 1 • Cho hai số thực dương x, y ta có: + ≥ Dấu đẳng thức xảy x = y x+ y 1 • Cho ba số thực dương x, y, z ta có: + + ≥ Dấu đẳng thức xảy x y z x+ y+z x= y=z • Cho ba số thực x, y, z ta có: x + y + z ≥ xy + yz + zx Dấu đẳng thức xảy x= y=z x y • Cho ba số thực x, y, z ta có ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + zx ) Dấu đẳng thức xảy x= y=z • Cho ba số thực x, y, z ta có ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) Dấu đẳng thức xảy x= y=z 2 • Cho hai số x, y số dương a, b ta có: x + y ≥ ( x + y ) Dấu đẳng thức a b x y xảy = a b a +b 2 • Cho ba số x, y, z số dương a, b, c ta có: x + y + z ≥ ( x + y + z ) Dấu a b c a +b +c x y đẳng thức xảy = a b • Cho n số thực khơng âm a1 , a2 , , an ta có: a1 + a2 + + an ≥ n n a1.a2 an (bất đẳng thức Cauchy) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an • Cho hai n số: a1 , a2 , , an b1 , b2 , , bn ta có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) ≤ ( a12 + a22 + + an2 ) ( b12 + b22 + + bn2 ) (bất đẳng thức Bunhiacôpxki) Dấu đẳng thức xảy hai số tỷ lệ Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 2.1 Khảo sát hàm đặc trưng - Đối với lớp bất đẳng thức nhiều biến khác, ta nhận thấy biến xử lý cách riêng lẻ ta thường tìm cách phân ly biến đưa hàm đặc trưng để khảo sát - Đối với dạng tuỳ vào cấu trúc tốn mà ta có cách phân ly biến Bài Cho số x, y, z thỏa mãn x + y + z = Chứng minh x2 − x + + y − y + + z − z + ≥ Giải Xét hàm số f ( x ) = Ta có f ' ( x ) = x +1 x − x +1 ,x∈R 3( 1− x) ( ) x2 − x + x2 − x + f ' ( x ) = ⇔ x = 1; lim f ( x ) = −1; lim f ( x ) = +1 x →−∞ x →+∞ Bảng biến thiên −∞ X f’(x ) +∞ + f(x) - -1 Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) ≤ 2, ∀x hay Tương tự ta có y2 − y +1 ≥ z2 − z +1 ≥ Từ (1), (2), (3) ta có x +1 x2 − x + ≤ 2, ∀x ⇔ x − x + ≥ ( x + 1) ( 1) ( y + 1) ( ) ( z + 1) ( 3) x2 − x + + y − y + + z − z + ≥ ( x + y + z + 3) = ⇒ đpcm Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến Bài Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a b c + + 2 b +c c +a a + b2 Giải a b c a2 b2 c2 P = + + = + + Từ giả thiết a + b + c = ta có − a − b2 − c2 a − a2 b − b2 c − c2 2 ( ) ( ) ( ) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến Xét hàm số f ( x ) = x ( − x ) , x > f ' ( x ) = − 3x ; f ' ( x ) = ⇔ x = >0 Bảng biến thiên X +∞ f’(x ) + f(x) - 3 −∞ Từ bảng biến thiên ta có f ( x ) ≤ Khi ta có P = 3 , ∀x > a2 b2 c2 3 3 + + ≥ a + b2 + c = f ( a) f ( b) f ( c) 2 ( Đẳng thức vảy a = b = c = Vậy MaxP = ) 3 ⇔a=b=c= • Bài tập áp dụng Bài 1: Chứng minh 1 1 1 12 π + + − − − ≤ − , ∀ x , y , z ∈ 0; sin x sin y sin z x y z π2 2 Bài 2: Chứng minh (2 x + y ) < ( y + 3x ) , ∀x > y > y x Tổng quát: Với a, b > x > y > ta có (a x + b y ) < ( a y + bx ) y x Bài 3: Cho x, y ≥ 0; x + y = Tìm GTLN A = x + y Bài 4: Tìm ba góc tam giác ABC biết cos A + ( cos B + cos C ) = Bài 5: Cho số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện : xy + yz + xyz = (*) CMR : x + y + z ≥ xy + yz + zx (1) Hỏi đẳng thức xảy 2.2 Khảo sát hàm số theo biến • Đối với bất đẳng thức nhiều biến, ta khảo sát biến cách chọn biến làm tham số biến thiên cố định biến lại, tốn lúc trở thành bất đẳng thức biến Ln có tâm nhìn biểu thức nhiều biến mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ dạng hàm số để ta sử dụng công cụ hiệu tốn đạo hàm • Sơ đồ tổng quát Giả sử tìm cực trị biểu thức ba biến x, y, z P( x, y, z ) với điều kiện T - Bước Xem P( x, y, z ) hàm theo biến x , y, z số Khảo sát hàm tìm cực trị với điều kiện T Ta được: P ( x, y, z ) ≥ g ( y , z ) P ( x, y, z ) ≤ g ( y , z ) - Bước Xem g ( y, z ) hàm biến y , z số Khảo sát hàm với điều kiện T Ta : g ( y, z ) ≥ h( z ) g ( y, z ) ≤ h( z ) - Bước Cuối khảo sát hàm số biến h( z ) với điều kiện T ta tìm min, max hàm Ta đến kết luận : P( x, y, z ) ≥ g ( y, z ) ≥ h( z ) ≥ m P( x, y, z ) ≤ g ( y, z ) ≤ h( z ) ≤ M Bài Cho số thực a, b, c ∈ [ 0; 2] thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = a + 2b2 + 3c − 2a − 24c + 2060 Giải Coi biểu thức hàm số theo biến b , b ∈ [ 0; 2] lại a, c số ta có ( ) P = f ( b ) = 2b + a + 3c − 2a − 24c + 2060 , f ' ( b ) = 4b ≥ Suy hàm số f ( b ) hàm số đồng biến [ 0; 2] nên ta có f ( ) ≤ f ( b ) ≤ f ( ) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến • Tìm MIN: 2 Ta thấy f ( b ) ≥ f ( ) = a + 3c − 2a − 24c + 2060 Đẳng thức xảy b = 0; a + c = 3; c ≤ ⇒ a ≥ Coi f ( ) hàm số theo a, a ∈ [ 1; 2] c số ta có: g ( a ) = a − 2a + 3c − 24c + 2060; g ' ( a ) = ( a − 1) ≥ 0, ∀a ∈ [ 1; ] ⇒ g ( a ) ≥ g ( 1) = 3c − 24c + 2060 Đẳng thức xảy a = ⇒ c = nên g ( a ) ≥ 2023 Vậy f ( b ) ≥ 2023 hay Min P = 2023 ⇔ a = 1, b = 0, c = • Tìm MAX: Làm tương tự ta Max P = 2067 ⇔ a = 1, b = 2, c = Bài (ĐH Khối A-2011) Cho ba số thực x, y, z ∈ [ 1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ x y z biểu thức P = x + y + y + z + z + x Giải x y z Ta có : P = x + y + y + z + z + x Xem hàm theo biến z ; x, y số P '( z ) = −y z ( x − y )( z − xy ) + = ( y + z ) ( z + x) ( y + z ) ( z + x ) Theo giả thiết x ≥ y ⇒ x − y ≥ P ≥ ⇔ z ≥ xy (do x, y, z ∈ [ 1; 4] ) Z P '( z ) xy - + P( z ) Từ bảng biến thiên: Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến P ≥ P( xy ) = y x + 2x + 3y x+ y x y = + x + 1+ x y y Đặt t = x , x ≥ y, x ≥ z x, y, z ∈ [ 1; 4] nên ≤ t ≤ y t2 Xét hàm f (t ) = + Ta có 2t + + t f '(t ) = −2 4t (t − 1) + 3(2t − t + 3) (2t + 3)2 (1 + t ) Suy f (t ) giảm [ 1; 2] , P ≥ P( xy ) = f (t ) ≥ f (2) = < 0, ∀t ∈ [ 1; 2] 34 33 z = xy ⇒ x = 4, y = 1, z = Đẳng thức xảy : x t = = y Vậy P = 34 x = 4, y = 1, z = 33 Bài Cho ba số thực a, b, c ∈ ;3 Tìm giá trị lớn biểu thức: 3 a b c + + ≥ a+b b+c c+a Giải: Đặt P(a) = a b c + + a+b b+c c+a Xem hàm số theo biến a , b, c số b c (b − c)(a − bc) P '(a ) = − = ( a + b ) ( a + c ) ( a + b) ( a + c ) Trường hợp 1: a ≥ b ≥ c a, b, c ∈ ;3 3 1 Suy b − c ≥ 0; a − bc ≥ nên P '(a) ≥ Do P(a) tăng ;3 3 ⇒ P (a ) ≤ P (3) = g '(c ) = b c + + = g (c) (xem hàm theo biến c) 3+b b + c c +3 −b (b − 3)(3b − c ) + = ≤ Do g (c ) giảm (b + c) (c + 3) (b + c) (c + 3) 1 ;3 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến Suy ra: g (c) ≤ g ( ) = 3b + + = h(b) ( xem h(b) hàm số theo biến b) + b 3b + 10 (1 − b)(1 + b) Ta có: h '(b) = (3b + 2) − (b + 3) = (3b + 1) (b + 3) Ta có bảng biến thiên b h '(b) + - h(b) Suy h(b) ≤ h(1) = 3 Vậy P(a, b, c) ≤ P(3, b, c) ≤ P(3, b, ) ≤ P(3,1, ) = a = 3; b = 1; c = Trường hợp : c ≥ b ≥ a a, b, c ∈ ;3 3 Từ kết trường hợp 1, ta có: P(a, b, c) ≤ (a − b)(b − c)( a − c) Mặt khác : P(a, b, c) − P (c, b, a ) = (a + b)(b + c )(a + c) ≤ ⇒ P(a, b, c) ≤ 1 1 Vậy MaxP = , đạt (a, b, c) = 3;1; ÷, ;3;1÷, 3; ;1÷ 3 3 2.3 Đưa hàm số biến 2.3.1 Biểu thức chứa hai biến Dạng Sử dụng phương pháp biến để đưa biểu thức biến Bài Cho x, y ≥ thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhât biểu 2 thức P = ( x + y ) ( y + 3x ) + 25 xy (Đề TSĐH khối D - 2009) Giải Ta có x + y = ⇒ y = − x thay vào P ta P = 16 x - 32 x + 18 x - x + 12, x ∈ [ 0;1] Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 10 P ' ( x ) = 64 x - 96 x + 36 x - 1 P '( x) = ⇔ x = ; x = ± 2 Lập BBT ta Min P = 191 ⇔x= + 16 Bài Cho x, y hai số thực thỏa mãn điều kiện y ≤ 0, x + x − y − 12 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + x + y + 17 Giải Từ giả thiết ta có: y = x + x − 12, y ≤ ⇔ x + x − 12 ≤ ⇔ −4 ≤ x ≤ 2 Khi P = x ( x + x − 12 ) + x + ( x + x − 12 ) + 17 = x + 3x − 9x − Xét hàm số f ' ( x ) = 3x + x − 9, f ' ( x ) = ⇔ x = 1; x = −3 Ta có: f ( −4 ) = 13; f ( −3) = 20; f ( 1) = −12; f ( 3) = 20 Vậy: Giá trị lớn P 20 đạt x = ±3 Giá trị nhỏ P -12 đạt x = Bài tập áp dụng: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện 2x − y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + ( y + 1) + x + ( y − 3) 2 Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá nhỏ biểu thức P = + 2a + 40 + 9b Dạng Sử dụng tính đối xứng hai biên để đưa biểu thức biến B1: Đặt t = x + y t = xy B2: Thay vào biểu thức P ta hàm số biến t B3: Tìm điều kiện biến t theo BĐT ( x + y ) ≥ xy điều kiện ràng buộc đề B4 Khảo sát hàm số theo biến t miền vừa xác định để tìm GTLN, GTNN Chú ý: đơi ta phải sử dụng BĐT để đánh giá làm cho toán trở nên đơn giản Bài Cho x, y số thực không âm thỏa mãn điều kiện ( ) x + y + xy ≤ + ( x + y ) Tìm giá nhỏ biểu thức P = xy + x + y − x − y Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 11 Giải x+ y 2 Ta có: xy ≤ ÷ ;− x − y ≤ − ( x + y) Đặt t = x + y 1 2 x+ y Khi P ≤ ÷ + x + y − ( x + y) = − ( x + y) + x + y = − t + t 4 Từ điều kiện tốn ta có: ( ) ( x + y ) − xy ≤ + ( x + y ) ⇔ ( x + y ) − ( x + y ) − ≤ xy ≤ ( x + y ) 2 Suy 3t − 2t − ≤ ⇔ −1 ≤ t ≤ t > nên < t ≤ Xét hàm số f ( t ) = 3t − 2t − 1, t ∈ ( 0;1] ta f ( t ) ≤ f ( 1) = Vậy giá trị lớn P x, y Bài Cho hai số thực x = y = thỏa mãn điều kiện ≤ x ≤ 2,1 ≤ y ≤ Tìm giá trị nhỏ x + 2y y + 2x cuả biểu thức P = x + y + + y + 3x + + ( x + y − 1) (Đề TSĐH khối D – 2014) Giải Do ≤ x ≤ nên ( x −1) ( x − ) ≤ ⇔ x + ≤ 3x Tương tự ta có y + ≤ y x + 2y y + 2x x+ y 1 Khi P ≥ 3x + y + + 3x + y + + ( x + y − 1) = x + y + + ( x + y − 1) t Đặt t = x + y ⇒ t ∈ [ 2; 4] ta P ≥ t + + ( t − 1) t Xét hàm số f ( t ) = t + + ( t − 1) , t ∈ [ 2; 4] f '( t ) = ( t + 1) − ( t − 1) f '( t ) = ⇔ t = Ta có: f ( ) = 11 53 7 ; f ( 3) = ; f ( ) = nên f ( t ) ≥ hay P ≥ x = 1; y = 12 60 8 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 12 Vậy GTNN P 4 Bài Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện xy + = x + y + Tìm giá trị xy 16 2 lớn biểu thức P = x y + x + y + Giải 2 4 2 3 2 Từ giả thiết ta có: ( xy + 1) = x + y + xy ≥ x y + xy ⇔ x y − 3x y − 3xy + ≤ ⇔ ( xy + 1) ( xy − 1) ( xy − ) ≤ ⇔ 16 ≤ xy ≤ 2 2 2 Khi P ≤ x y + xy + = x y + xy + Đặt t = xy, t ∈ ; P ≤ t + t +1 2 Xét hàm số f ( t ) = t + t + ; t ∈ ; ; f ' ( t ) = 2t − 8 ( t + 1) ; f '( t ) = ⇔ t = Ta có: f ÷ = ; f ( 1) = ; f ( ) = Ta có P ≤ f ( t ) ≤ f ( ) = 3 17 62 11 20 20 20 x = y = Vậy giá trị lớn P Dạng Biểu thức có dạng đẳng cấp Dạng tốn đề cập đến kỹ thuật đặt x = ty; y = tx đề đưa hàm số biến Bài Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − Tìm giá trị lớn biểu thức P = x+ y x − xy + y 2 − x − 2y ( x + y ) (Đề THSĐ khối D – 2013) Giải x y −1 1 1 Do x > 0, y > 0, xy ≤ y − nên ta có ≤ ≤ = − = − − ÷ ≤ y y y y y 2 Đặt t = t +1 t −2 x 1 − ⇒ t ∈ 0; Khi P = y t − t + ( t + 1) 4 Xét f ( t ) = t +1 t −t +3 − t −2 1 t ∈ 0; Ta có f ' ( t ) = với ( t + 1) 4 − 3t ( t2 − t + ) − ( t + 1) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 13 Với t ∈ 0; ta có t − t + = t ( t − 1) + < 3;7 − 3t > 6; t + > 4 Do − 3t (t −t +3 ) > − 3t 1 1 > ;− > − ⇒ f '( t ) > − >0 2 3 2 ( t + 1) 1 + Khi P = f ( t ) ≤ f ÷ = 30 Khi x = ; y = ⇒ P = + 30 Vậy giá trị lớn P + 30 Bài Cho x, y hai số thực dương phân biệt thỏa mãn điều kiện x + y = 12 Tìm 4 giá trị nhỏ biểu thức P = x + y + x − y ( ) Giải Ta có: 12 = x + y = x + y + y ≥ 3 x y ⇒ xy ≤ Khi 2 4 xy x2 y xy x y P≥ x y + ÷+ = + + = + − + ÷ 2 ÷ 64 y 8( x − y) 16 y x 64 ( x − y ) 16 y x 64 x − + y x y x x y Đặt t = y + x , t > ( x, y > 0; x ≠ y ) Khi P ≥ f ( t ) = t − + 16 64 t − Xét hàm số f ( t ) = t − + ;t > 16 64 t − t 5 f '( t ) = − ; f '( t ) = ⇔ t = 64 ( t − ) 27 Lập bảng biến thiên ta f ( t ) ≥ f ÷ = 64 Vậy giá trị nhỏ P 27 x = 2; y = 64 2.3.2 Biểu thức chứa ba biến Dạng Sử dụng phép để đưa biểu thức biến số Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 14 Bài Cho số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 0, a + b + c = CMR: a 2b 2c ≤ 54 Giải Ta có a + b + c = ⇒ a + b = −c ⇒ a + 2ab + b = c ⇒1 − c + 2ab = c ⇒ ab = ⇒ a 2b c = f ( c) = Xét hàm số c 2c −1 c 2c −1 ( ) c = f ' ( c ) = ⇔ c = ± c = ± Lập BBT ta Vậy a 2b c ≤ ( f ( c) ≤ ) 2c −1 ( ) ⇒ f '( c) = c 2c −1 6c −1 ( )( ) 54 1 ⇔c = ± 54 a b c + + = Tìm giá trị b c a Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện b a c b lớn giá trị nhỏ biểu thức P = + + a c Giải a b b c c a xyz = x + y + z = Đặt x = ; y = ; z = ⇒ x Khi P = + 1 + y z x ≥ + 2 2 yz = ⇒ ( y + z ) ≥ yz ⇔ ( − x ) ≥ ⇔ ( x − ) x − 6x + ≥ ⇔ x Ta có: x 3 − 2 ≤ x ≤ y + z = − x ( x Khi đó: P = + ) x2 ( − x ) + y+z = + x ( − x) = yz x x Xét hàm số f ( x ) = x2 ( − x ) + x ; x ∈ D = 3 − 2; ∪ 3 + 2; +∞ ) 17 1 Dễ thấy f ( x ) = f ÷ = f ( ) = ; max f ( x ) = f ( − 2 ) = + 2 x∈D x∈D Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 15 Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0; x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x5 + y + z Giải x + y + z = x + y + z = ⇔ ⇔ Ta có: 2 x + y + z = ( x + y + z ) − ( xy + yz + zx ) = 1 x + y + z = xy + yz + zx = − 2 Suy y + z = − x; x ( y + z ) + yz = − ⇒ yz = − + x Mặt khác ( y + z ) ≥ yz ⇒ x ≥ − + x ÷ ⇔ − 2 6 ≤x≤ 3 Khi P = x5 + ( y + z ) − yz ( y + z ) − 10 y z ( y + z ) = 10 x − x 6 10 x − x ; x ∈ − ; Xét hàm số f ( x ) = 3 f '( x) = 30 x − ; f '( x) = ⇔ x = ± 6 6 6 6 ; f ÷ Ta có: f − ÷÷ = f ÷÷ = − ÷ = f − ÷ ÷ = 36 36 Vậy giá trị lớn P 6 x = ,y= z=− 36 Dạng Đánh giá thơng qua đại lương trung bình biến số Trong trình đánh giá để đưa biểu thức biến ta thường sử dụng số BĐT sau: • Với số thực x, y, z ta ln có: ( ) x2 + y2 + z ≥ ( x + y + z ) ( x + y + z) 2 ≥ ( xy + yz + zx ) ( xy + yz + zx ) ≥ xyz ( x + y + z ) • Với số thực khơng âm x, y, z ta ln có: x+ y+z ≥ 3 xyz xyz ≥ ( x + y − z ) ( y + z − x ) ( z + x − y ) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 16 ( x + y ) ( y + z ) ( z + x ) ≥ ( x + y + z ) ( xy + yz + zx ) Nhận xét: Với tốn có x, y, z ∈ [ a; b ] ; x + y + z = s ta thường sử dụng bất đẳng thức để tìm mối liên hệ đại lượng đối xứng xy + yz + zx; xyz Một số đẳng thức cần ý: ( a + b + c) = a + b3 + c3 + ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) − abc ( ) ( ) a 2b + b c + c a − a + b + c = ( a + b + c ) ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( c + a − b ) Bài Cho a, b, c số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( a 2b2 + b 2c + c a ) + ( ab + bc + ca ) + a + b + c Giải Theo giả thiết ta có: a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = − ( ab + bc + ca ) Mặt khác: ( a 2b + b 2c + c a ) ≥ ( ab + bc + ca ) Khi P ≥ ( ab + bc + ca ) + ( ab + bc + ca ) + − ( ab + bc + ca ) Đặt t = ab + bc + ca Khí P ≥ t + 3t + − 2t Với ≤ ab + bc + ca ≤ ( a + b + c ) = ⇒ t ∈ 0; 1 1 Xét hàm số: f ( t ) = t + 3t + − 2t ; t ∈ 0; 3 f ' ( t ) = 2t + − ; f '' ( t ) = − − 2t ( − 2t ) 1 ≤ 0, ∀t ∈ 0; 3 11 Do f ' ( t ) ≥ f ' ÷ = − > 3 Suy P ≥ f ( t ) ≥ f ( ) = Vậy giá trị nhỏ P a = b = 0, c = hoán vị Bài Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = x2 y+z + yz + − (Đề TSĐH khối A – x + yz + x + x + y + z + 2014) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 17 Giải Ta có: ≤ ( x − y − z ) = x + y + z − xy − xz + yz = ( − xy − xz + yz ) 2 Nên x + yz + x + = x ( x + y + z + 1) + ( − xy − xz + yz ) ≥ x ( x + y + z + 1) x2 x ≤ Suy x + yz + x + x + y + z + Mặt khác ( x + y + z ) = x + y + z + x ( y + z ) + yz = + yz + x ( y + z ) ≤ + yz + x + ( y + z ) 2 = ( + yz ) ( x + y + z) x+ y+z − Do P ≤ x + y + z +1 36 2 2 2 2 2 Đặt t = x + y + z ⇒ t ≥ 0; t = ( x + y + z ) + xy + yz + zx ≤ + ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x ) = Do ≤ t ≤ Xét hàm số f ( t ) = t t2 − , t ∈ 0; t + 36 ( ( t − ) t + 4t + t f '( t ) = − =− 2 18 ( t + 1) ( t + 1) 18 ) f '( t ) = ⇔ t = Ta có: f ( ) = 0; f ( ) = ; f ( ) = Khi f ( t ) ≤ 31 − 30 5 t ∈ 0; 9 Do P ≤ Khi x = y = 1; z = P = Vậy giá trị lớn P 9 Bài Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P= a +b +c +4 2 − ( a + b) ( a + 2c ) ( b + 2c ) (Đề TSĐH khối B – 2013) Giải a + b + 4c a + b + 2ab + 4ac + 4bc = ≤ a + b2 + c2 Ta có: (a + b) ( a + 2c ) ( b + 2c ) ≤ ( a + b ) 2 ( Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến ) 18 2 Đặt t = a + b + c + ⇒ t > 2; P ≤ t − ( t − ) 9t Xét f ( t ) = t − t − , t > Ta có f ' ( t ) = − t + t −4 ( ) ( ) = ( − ( t − ) 4t + 7t − 4t − 16 ( t2 t2 − ) ) 3 Với t > ta có 4t + 7t − 4t − 16 = ( t − ) + t ( 7t − ) > ⇒ f ' ( t ) = ⇔ t = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có P ≤ 8 Khi a = b = c = ⇒ P = Vậy giá trị lớn biểu thức P Dạng Biểu thức có hai biến đối xứng Ghép cặp hai biến đối xứng với đánh giá bất đẳng thức Cô-Si Bunhiacopxki số bất đẳng thức phụ đưa biến lại hồn tất khảo sát hàm số Bài Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ( a + c ) ( b + c ) = 4c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = 32a ( b + 3c ) + 32b3 ( a + 3c ) a + b2 − (Đề TSĐH khối A – 2013) c Giải a c b c Đặt x = , y = ⇒ x, y > Điều kiện toán trở thành xy + x + y = Khi P = 32 x ( y + 3) + 32 y ( x + 3) − x2 + y u + v) Với u > 0, v > ta có u + v = ( u + v ) − 3uv ( u + v ) ≥ ( u + v ) − ( u + v ) = ( 4 32 x Do ( y + 3) + 3 3 32 y ( x + 3) 3 x y ( x + y ) − xy + x + y ÷ ≥ 8 + ÷ = ÷ xy + x + y + y + x + Thay xy = − x − y vào biểu thức ta 32 x ( y + 3) + 32 y ( x + 3) ( x + y − 1) ( x + y + ) ≥ 8 ( x + y + 6) = x + y − 1) ÷ ÷ ( Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 19 Khi P ≥ ( x + y − 1) − x + y = ( x + y − 1) − 3 ( x + y) − xy = ( x + y − 1) − ( x + y) + 2( x + y) − Đặt t = x + y ⇒ t > 0; P ≥ ( t − 1) − t + 2t − Ta có = x + y + xy ≤ ( x + y ) + ( x + y) =t+ t2 nên ( t − ) ( t + ) ≥ ⇒ t ≥ Xét hàm số f ( t ) = ( t − 1) − t + 2t − 6, t ≥ Ta có f ' ( t ) = ( t − 1) − t +1 Với ∀t ≥ ta có ( t − 1) ≥ 3; t +1 Nên f ' ( t ) ≥ − t + 2t − = 1+ ( t + 1) −7 ≤ 1+ t + 2t − = 2 > ⇒ f ( t ) ≥ f ( ) = − Do P ≥ − 2 Khi a = b = c ⇒ P = − Vậy giá trị nhỏ P − Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( y + z − x ) + 27 xyz Giải Ta có: y + z ≤ ( x + y ) = ( − x ) yz ≤ y + z − x2 = 2 2 Khi P ≤ ( x + y ) − x + 27 x − x2 ( ) 2 Xét hàm số f ( x ) = ( x + y ) − x + x ( − x ) 27 3 2x f ' ( x ) = −27 x + − 2 − x2 ⇔ −27 x + − 2x − x2 2x ÷ ÷; f ' ( x ) = ⇔ −27 x + − − x = =0⇔ x= 1 Lập bảng biến thiên ta P ≤ f ( x ) ≤ f ÷ = 10 Khi x = y = z = 3 Vậy giá trị lớn P 10 Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 20 Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y ≤ z Tìm giá trị lớn biểu 1 + 4+ 4÷ y z x 2 thức P = ( x + y + z ) Giải Sử dụng BĐT a + b ≥ ( a + b ) ta có: 2 z ≥ x2 + y ≥ ( x + y ) ⇒ x + y ≤ z 2 x4 + y ≥ x + y2 ( ) ≥ 1 32 ( x + y) ; + ≥ 2 ≥ x y x y ( x + y) 4 ( x + y) 32 z 1 x+ y +z + 4= Khi P ≥ ÷ +5 ÷ + 32 z 8 z x+ y ( x + y ) 32 x+ y Đặt t = ÷ , < t ≤ Ta có P ≥ t + t + z Xét hàm số f ( t ) = t + 32 + 5;0 < t ≤ t 32 < 0, ∀t ∈ ( 0;1] Suy f(t) hàm số nghịch biến (0;1] t2 Ta có f ' ( t ) = − Do P ≥ f ( t ) ≥ f ( 1) = 297 Vậy giá trị nhỏ P 297 z = x = y Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 21 PHẦN C: KẾT LUẬN Chuyên đề trình bày số kỹ thuật biến đổi biểu thức nhằm đưa biểu thức biến ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Các kiến thức áp dụng vào giảng dạy ôn thi THPT QG ôn thi HSG Kết đạt khả quan, gây hứng thú cho học sinh Tuy nhiên, nhiều nguyên nhân khác nhau, chuyên đề nhiều hạn chế sai sót Rất mong sợ đóng góp thầy cô, bạn bè bạn đọc Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Khám phá tư kỹ thuật giải Bất đẳng thức Bài toán Max, Min [2] Đề thi tuyển sinh Đại học Cao đẳng [3] Trài liệu mạng Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến 23 ... Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số khoảng Bài toán : Cho hàm số y =f(x) liên tục khoảng (a; b) Tìm maxf(x) , minf(x) ( a; b) ( a; b) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều. .. GIẢNG DẠY: - tiết Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm toán chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến PHẦN B: NỘI DUNG CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: Cho hàm số y = f(x)... tỷ lệ Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm tốn chứng minh BĐT tìm cực trị hàm nhiều biến CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN 2.1 Khảo sát hàm đặc trưng - Đối với lớp bất đẳng thức nhiều biến khác, ta nhận thấy biến