Ứng dụng đạo hàm giải phương trình, bất phương trình của hàm số

ứng ứng ứng ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số tham số tham số tham số trần mạnh sâm trần mạnh sâm trần mạnh sâm trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 http://ebook.here.vn Th vin Sỏch Online 1 I. KIN THC CN NH Cho hm s ( ) y f x= liờn tc trờn tp D 1. Phng trỡnh ( ) f x m= cú nghim x D ( ) ( ) min max x D x D f x m f x 2. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim x D ( ) min x D f x m 3. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim ủỳng vi x D ( ) max x D f x m 4. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim x D ( ) max x D f x m 5. Bt phng trỡnh ( ) f x m cú nghim ủỳng vi x D ( ) min x D f x m II. PHNG PHP GII gii bi toỏn tỡm giỏ tr ca tham s m sao cho phng trỡnh, bt phng trỡnh, h phng trỡnh cú nghim ta lm nh sau: 1. Bin ủi phng trỡnh, bt phng trỡnh v dng: ( ) ( ) f x g m= ( hoc ( ) ( ) ( ) ( ) ;f x g m f x g m ) 2. Tỡm TX D ca hm s ( ) y f x= 3. Lp bng bin thiờn ca hm s ( ) y f x= trờn D 4. Tỡm ( ) ( ) min ;max x D x D f x f x 5. Vn dng cỏc kin thc cn nh bờn trờn suy ra giỏ tr m cn tỡm Lu ý: Trong trng hp PT, BPT, HPT cha cỏc biu thc phc tp ta cú th ủt n ph: + t ( ) t x = ( ( ) x l hm s thớch hp cú mt trong ( ) f x ) + T ủiu kin rng buc ca x D ta tỡm ủiu kin t K + Ta ủa PT, BPT v dng ( ) ( ) f t h m = ( hoc ( ) ( ) ( ) ( ) ; f t h m f t h m ) + Lp bng bin thiờn ca hm s ( ) y f t = trờn K + T bng bin thiờn ta suy ra kt lun ca bi toỏn III. MT S V D MINH HA Vớ d 1.(B-06). Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit 2 2 2 1 x mx x + + = + Gii: 2 2 2 1 x mx x + + = + ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 1 3 4 1 * x x x mx x mx x x + + + = + = + Xột phng trỡnh ( ) * + 0 0. 1 x x= = , phng trỡnh ny vụ nghim. Ngha l khụng cú giỏ tr no ca m ủ phng trỡnh cú nghim 0 x = + 1 0 3 4 x x m x + = . Ta xột hm s ( ) 1 3 4f x x x = + trờn tp { } 1 ; \ 0 2 + Ta cú ( ) 2 1 ' 3 0 f x x = + > vi { } 1 ; \ 0 2 x + , suy ra hm s ( ) 1 3 4f x x x = + ủng bin trờn { } 1 ; \ 0 2 + ( ) 0 0 1 lim lim 3 4 x x f x x x = + = m ; ( ) 1 lim lim 3 4 x x f x x x + + = + = + Ta cú bng bin thiờn ca hm s ( ) f x S nghim ca phng trỡnh (1) bng s giao ủim ca ủ th hm s ( ) 1 3 4f x x x = + v ủng thng y m = trờn min { } 1 ; \ 0 2 + Da vo bng bin thiờn ta ủc giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l 9 2 m Vớ d 2. Tỡm m ủ phng trỡnh ( ) ( ) 2 2 2 1 2 0m x x x x + + + cú nghim thuc 0;1 3 + Gii: t 2 2 2t x x = + ( ) 2 2 2x x t = . x f(x) f(x) 1 / 2 0 + + + + + 9 2 ứng ứng ứng ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa tham số tham số tham số tham số trần mạnh sâm trần mạnh sâm trần mạnh sâm trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 thpt lạng giang số 2 http://ebook.here.vn Th vin Sỏch Online 2 Khi ủú bt phng trỡnh tr thnh: ( ) 2 1 2m t t + (*) Ta cú 2 1 ' , ' 0 1 2 2 x t t x x x = = = + Ta cú bng bin thiờn : T ủú ta cú 1 2t , t (*) suy ra 2 2 1 t m t + (1) Xột hm s ( ) 2 2 1 t f t t = + trờn tp [ ] 1;2 Ta cú ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ' 0 1 t f t t + + = > + vi [ ] 1;2t Ta cú bng bin thiờn ca hm s ( ) f t Bt phng trỡnh ủó cho cú nghim 0;1 3x + bt phng trỡnh ( ) 1 cú nghim [ ] 1;2t [ ] ( ) ( ) 1;2 2 max 2 3 m f t f = = Vớ d 3.(A-08). Tỡm m ủ phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6x x x x m m+ + + = Ă Gii iu kin: 0 6 x Xột hm s ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + + trờn tp [ ] 0;6 Ta cú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 4 2 4 2 2 2 2 6 2 6f x x x x x= + + + ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 ' 2 .2 2 .2 4 2 f x x x = + + ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 4 2 1 1 2. 6 . 1 2. 6 . 1 4 2 x x + ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 6 2 6 x x x x = + ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 x x x x = + ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 . 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x = + + 4 4 4 4 1 1 1 1 2 6 2 6 x x x x + + ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 2 6 2 6 2 6 x x x x x x x x = + + + + ta cú ( ) ( ) ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 0 2 2 6 2 6 2 6 x x x x x x + + + + > vi ( ) 0;6x ( ) 4 4 ' 0 2 6 2 6 2f x x x x x x= = = = Ta cú bng bin thiờn S nghim ca phng trỡnh ủó cho bng s giao ủim ca ủ th hm s ( ) y f x= v ủng thng y m = trờn min [ ] 0;6 Da vo bng bin thiờn ta ủc giỏ tr ca m tha món yờu cu bi toỏn l 4 2 6 2 6 3 2 6m + < + Vớ d 4.(B-07) Chng minh rng vi mi giỏ tr dng ca tham s m, phng trỡnh sau cú 2 nghim thc phõn bit: ( ) 2 2 8 2x x m x + = Gii: iu kin: do 0 2m x > . Ta cú: ( ) 2 2 8 2x x m x + = ( )( ) ( ) 2 4 2x x m x + = ( )( ) ( ) 2 2 2 4 * x x x m = + = x t t 0 + - 1 3 + 1 0 2 1 2 t f(t) f(t) 1 + 2 2 3 1 2 x f(x) f(x) 0 - + 6 2 0 4 2 6 2 6 + 3 2 6 + 4 12 2 3 + øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè tham sè trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m – –– – thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online 3 Nhận thấy phương trình ñã cho luôn có 1 nghiệm 2x = , ñể chứng minh khi 0m > phương trình ñã cho có 2 nghiệm thực phân biệt ta cần chỉ ra phương trình ( ) * luôn có một nghiệm thực 2x > khi 0m > Xét hàm số ( ) ( )( ) 2 3 2 2 4 6 32f x x x x x = − + = + − trên tập ( ) 2;+∞ Ta có ( ) 2 ' 3 12 0f x x x= + > với 2x ∀ > ( ) 3 3 6 32 lim lim 1 x x f x x x x →+∞ →+∞   = + − = +∞     Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f x= và ñường thẳng y m= trên miền ( ) 2;+∞ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra khi 0m > thì phương trình (*) luôn có 1 nghiệm 2x > Vậy với 0m > thì phương trình ñã cho luôn có 2 nghiệm thực phân biệt Ví dụ 5. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 2 2 2 4 2 4x x x x m+ + − − + = Giải: Vì ( ) 2 2 2 4 1 3 3 0,x x x x ± + = ± + ≥ > ∀ ∈ ¡ nên TXð: D = ¡ Xét hàm số ( ) 2 2 2 4 2 4 f x x x x x = + + − − + trên ¡ Ta có: ( ) 2 2 1 1 ' 2 4 2 4 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ' 0f x = ⇔ 2 2 1 1 0 2 4 2 4 x x x x x x + − − = + + − + ( ) ( ) 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇔ + − + = − + + (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4x x x x x x⇒ + − + = − + + 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x⇔ − + + − + + − + = 4 3 2 3 2 2 2 4 2 4 8 2 4x x x x x x x x+ + − − − + + + 0x⇔ = Thay 0x = vào phương trình (*) ñược: 1 = - 1. Vậy phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra ( ) 'f x chỉ mang 1 dấu (không ñổi dấu), có ( ) ' 0 1 0f = > ( ) ' 0,f x x⇐ > ∀ ∈¡ Ta có ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →+∞ →+∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →+∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →+∞ = + + + − + 2= ( ) ( ) 2 2 lim lim 2 4 2 4 x x f x x x x x →−∞ →−∞ = + + − − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 x x x x x x →−∞ = + + + − + 2 2 4 lim 2 4 2 4 1 1 x x x x x →−∞ = − + + − − + 2= − Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f x= và ñường thẳng y m= trên ¡ Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 2 2m⇔ − < < Ví dụ 6. Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm 2 3 2 3 4 0 3 15 0 x x x x x m m  − − ≤   − − − ≥   Giải: Ta có: 2 3 4 0 1 4x x x− − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . Hệ phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ 3 2 3 15 0x x x m m− − − ≥ có nghiệm [ ] 1;4x∈ − 3 2 3 15x x x m m⇔ − ≥ + có nghiệm [ ] 1;4x∈ − ðặt ( ) 3 2 3 3 2 3 1 0 3 3 0 4 x x khi x f x x x x x x khi x  + − ≤ <  = − =  − ≤ ≤   Ta có x f’(x) f(x) 2 + +∞ 0 +∞ x f’(x) f(x) - ∞ + +∞ -2 2 øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè tham sè trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m – –– – thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online 4 ( ) 2 2 3 6 1 0 ' 3 6 0 4 x x khi x f x x x khi x  + − < <  =  − < <   ( ) ' 0 0; 2f x x x= ⇔ = = ± Ta có bảng biến thiên : ( ) 2 15f x m m≥ + có nghiệm [ ] 1;4x∈ − [ ] ( ) 2 1;4 max 15 f x m m − ⇔ ≥ + 2 16 15 m m ⇔ ≥ + 2 15 16 0 16 1 m m m ⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy hệ phương trình ñã cho có nghiệm 16 1 m ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 7. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm: 3 3 sin cos x x m + = Giải ( )( ) 3 3 sin cos sin cos 1 sin .cosx x m x x x x m+ = ⇔ + − = ðặt sin cos 2.sin 4 t x x x π   = + = +     , 2 2t− ≤ ≤ Khi ñó: ( ) 2 2 sin cos sin cos t x x t x x = + ⇒ = + 2 1 sin .cos 2 t x x − ⇒ = Phương trình trở thành: 2 3 1 1 3 1 2 2 2 t t m t t m   − − = ⇔ − + =     Xét hàm số ( ) 3 1 3 2 2 f t t t = − + trên tập 2; 2   −   Ta có: ( ) 2 3 3 ' 2 2 f t t= − + ( ) ' 0f t = ⇔ 2 3 3 0 1 2 2 t t − + = ⇔ = ± Ta có bảng biến thiên: Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng y m= trên 2; 2   −   Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 m ⇔ − ≤ ≤ Ví dụ 8: Tìm m ñể bất phương trình sau có nghiệm: 3 1 mx x m − − ≤ + (1) Giải: ðặt 3 0 t x = − ≥ 2 3 x t ⇒ = + . Khi ñó bất phương trình trở thành: ( ) 2 3 1 m t t m + − ≤ + ( ) 2 2 1 m t t ⇔ + ≤ + 2 1 2 t m t + ⇔ ≥ + (*) Xét hàm số ( ) 2 1 2 t f t t + = + trên ( ) 0;+∞ Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ' 2 t t f t t − − + = + ( ) 2 ' 0 2 2 0 1 3f t t t t= ⇔ − − + = ⇔ = − ± ( ) 1 1 lim lim 0 2 x x t f t t t →+∞ →+∞ + = = + Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra bất phương trình (1) có nghiệm ⇔ bất phương trình (*) có nghiệm 0 t > ⇔ ( ) ( ) 0; 3 1 max 4 f t m m +∞ + ≥ ⇔ ≤ Ví dụ 9.(A-07) Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − Giải: ðiều kiện: 1 x ≥ 2 4 3 1 1 2 1x m x x− + + = − 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ − + = + + (1) ðặt 4 1 1 x t x − = + , khi ñó phương trình (1) trở thành: 2 3 2 t t m − + = (*) x f’(x) f(x) -1 + 4 -4 2 0 2 0 0 - - 16 t f’(t) f(t) - 2 - -1 2 2 − -1 1 0 0 + - 2 1 2 2 t f’(t) f(t) 0 - +∞ 3 1 4 + 1 2 1 3− + 0 + 0 øng øng øng øng dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa dông ®¹o hµm ®Ó gi¶i PT, BPT, HPT chøa tham sè tham sè tham sè tham sè trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m trÇn m¹nh s©m – –– – thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 thpt l¹ng giang sè 2 http://ebook.here.vn – Thư viện Sách Online 5 Ta có 1 x ≥ 0 t ⇒ ≥ và 4 2 1 1 1 t x = − < + , vậy 0 1 t ≤ < Xét hàm số ( ) 2 3 2f t t t= − + trên tập [ ) 0;1 Có ( ) ( ) 1 ' 6 2; ' 0 6 2 0 3 f t t f t t t= − + = ⇔ − + = ⇔ = Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f t Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng y m= trên miền [ ) 0;1 Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1 3 m ⇔ − < ≤ Ví dụ 10. Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm ( )( ) 1 8 1 8x x x x m+ + − + + − = ðiều kiện: 1 8 x − ≤ ≤ ðặt 1 8 t x x = + + − Ta có: 1 1 ' 2 1 2 8 t x x = − + − với 1 8 x − < < ' 0 t = ⇔ 1 1 0 2 1 2 8x x − = + − 1 8 x x ⇔ + = − 7 1 8 2 x x x ⇔ + = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên: Từ ñó dẫn ñến 3 3 2t≤ ≤ Có ( ) 2 2 1 8 1 8t x x t x x= + + − ⇒ = + + − ( )( ) 2 9 1 8 2 t x x − ⇒ + − = , phương trình ñã cho trở thành: 2 9 2 t t m − + = 2 2 9 2t t m⇔ + − = Xét hàm số ( ) 2 2 9f t t t= + − trên tập 3;3 2     Ta có: ( ) ' 2 2 0f t t= + > với 3;3 2x   ∀ ∈   Ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x Số nghiệm của phương trình ñã cho bằng số giao ñiểm của ñồ thị hàm số ( ) y f t= và ñường thẳng 2y m= trên 3;3 2     Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 9 6 2 6 2 9 6 2 3 2 m m + ⇔ ≤ ≤ + ⇔ ≤ ≤ IV. CÁC BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Tìm m ñể các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau có nghiệm: 1) 3 3 3 3 1 1 5 1 1 15 10 x y x y x y m x y  + + + =     + + + = −   2) 4 4 13 1 0x x m x− + + − = có ñúng một nghiệm 3) 6 6 sin cos .sin 2x x m x+ = 4) cos3 -cos 2 cos -1 0x x m x+ = có ñúng 7 nghiệm thuộc ;2 2 π π   −     5) ( )( ) 2 4 6 2x x x x m+ − ≤ − + nghiệm ñúng với mọi [ ] 4;6x∈ − 6) 2 9 9x x x x m+ − = − + + 7) 3 2 4 6 4 5x x x x m− − − + − − + = có ñúng hai nghiệm thực phân biệt 8) 4 4 1 sin cos sin 2 2 x x m x+ = − có ñúng 2 nghiệm ; 12 2 x π π   ∈     9) Tìm m nhỏ nhất ñể bất phương trình sau ñúng với [ ] 0;1x∀ ∈ : ( ) 2 2 1 1m x x x x− + ≤ + + t f’(t) f(t) 0 - -1 0 1 3 1 0 + 1 3 x t’ t -1 - 3 3 7 2 8 0 + 3 2 t f’(t) f(t) 3 6 3 2 + 9 6 2+ . ứng ứng ứng ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải. ứng ứng ứng ứng dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải PT, BPT, HPT chứa dụng đạo hàm để giải