Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình

Bài tập Toán 12 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Tìm m để phương trình: x 1   x   x  1  x   m (1) có nghiệm.  x 1  1 x  3  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t  x    x Trên khoảng 1;3 ta có: t' 1  x  x 1   x   x  x  1  x  x  t' t t '    x  x 1  x  t  x 1   x  t    x 13  x  t 2  m  t  2t   2m  2 x  2 x    2 g (t ) Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t   2; 2 g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  Bài 2. Tìm m để phương trình: Do đó: x  1;3  t   2; 2 Bảng biến thiên: x  g '(t )    Phương trình (1) thành: t 2  Phương trình (1) có nghiệm   2m  2   m    x   x   m (1) có nghiệm. 2  x   2  x  2  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t   x   x Trên khoảng  2;  ta có: t' 1 2 x  2 x   2  x 2  x   x   x  x  2 t' t t'   2 x  2 x  x  t   x   x  t2     x   x  Phương trình (1) thành: t t 4  m  t  2t   2m 2 Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  2; 2  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t   0 2   Do đó: x   2; 2  t  2; 2  Bảng biến thiên: x  g '(t )    2  g (t ) 4  Phương trình (1) có nghiệm  4 | 4  2m   2  2  m  Bài tập Toán 12 Bài 3. Tìm m để phương trình: x3  6 x   x  3  x   m (1) có nghiệm. x    3  x  6  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t  x    x Trên khoảng  3;6  ta có: t' 1 6 x  x3   x   x  x  3  x  t'   6 x  x3  x  t  x    x  t2    t  x  3  x  Do đó: x   3;6  t  3;3  Bảng biến thiên: x  g '(t )  t 9  m  t  2t   2m 2    g (t ) Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  3;3  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  9  Phương trình (1) có nghiệm  9   2m   Bài 4. Tìm m để phương trình:   Phương trình (1) thành: t x  3 t' 3 x2  7 x  9  m3  x  2  x   m (1) có nghiệm. x    2  x  7  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t  x    x Trên khoảng  2;7  ta có: t' 1 7x  x2   x  2  x  x    x  t'0 7x  x2  x  t  x    x  t2    x  2  x  Phương trình (1) thành: t t 9  m  t  2t   2m 2 Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  3;3  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  x  2 t'  t 3   Do đó: x   2;7  t  3;3  Bảng biến thiên: x  g '(t )     g (t ) 9  Phương trình (1) có nghiệm  9   2m   9  m3 Bài tập Toán 12 Bài 5. Tìm m để phương trình: x 1   x   x  18  x   m (1) có nghiệm. x 1   1  x  8  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t  x    x Trên khoảng  1;8 ta có: t' 1  x  x 1   x   x  x  1  x  t '    x  x 1  x  t  x 1   x  t    t  x  18  x  Do đó: x   1;8  t  3;3  Bảng biến thiên: x  1 _ g '(t ) t2   m  t  2t   2m  g (t ) Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  3;3  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  1   96 Phương trình (1) có nghiệm 96 2   2m     m  Bài 6. Tìm m để phương trình: x 1   x    Phương trình (1) thành: t x  1 t'  x  1  x   m (1) có nghiệm.  x 1  1 x  5  x  Giải. Điều kiện:  Bảng biến thiên: Đặt: t  x    x Trên khoảng 1;5  ta có: t' 1  x  x 1   x   x  x  1  x  x  t'  x 15  x  Phương trình (1) thành: t t 4  m  t  2t   2m 2 Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  2; 2  g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  1  t t '    x  x 1  x  t  x 1   x  t   2   Do đó: x  1;5  t  2; 2  Bảng biến thiên: x  1 _ g '(t )  g (t ) 2   44 Phương trình (1) có nghiệm   2m     m   2 Bài tập Toán 12 Bài 7. Tìm m để phương trình: x   x   x2  x  m (1) có nghiệm. x  0 x9 9  x  Giải. Điều kiện:  Bình phương vế phương trình (1), ta được:  x   x    x  x  m Bảng biến thiên: Đặt: t  x   x    x  x Trên khoảng  0;9  ta có: t' x  t' 2 x   x2  x t '   2 x    x     9 Do đó: x  0;9  t  0;   2 Bảng biến thiên: t   x2  9x  t   x2  9x Phương trình (1) thành: x  g '(t )  2t  t  m  t  2t   m  t  9  9 Xét hàm số: g  t   t  2t  , với t  0;   2 g '  t   2t  ; g '  t    2t    t  g (t )  10   9 Phương trình (1) có nghiệm    m  10  Bài 8. Tìm m để phương trình: x  x2   m (1) có nghiệm. Giải. Ta có: x2   0, x  ¡ Đặt: y  x  x  , x ¡ y '  1 2x 2x2   Bảng biến thiên: x  y'  y 2x 1  2x x2  x  y '   x   2 x   2 2 x   x x Phương trình thành: y  m lim y  lim x  x     2    2 x2   x  ( dạng:    ) x 1 x2 lim  lim   x  x   x x    x2 x4 x Phương trình (1) có nghiệm m  2 1 Bài tập Toán 12 Bài 9. Tìm m để phương trình: x  12  3x2  m (1) có nghiệm. Giải. Điều kiện: 12  3x2   2  x  Đặt: y  x  12  3x , với x   2; 2 Bảng biến thiên: Trên khoảng  2;  ta có: y '  1 3x 12  3x  x  2 y' y 12  3x  3x 12  3x   2 0  x  y '   12  3x  3x   2 12  3x  x  x 1 Phương trình thành: y  m Bài 10. Tìm m để phương trình:  Phương trình (1) có nghiệm  2  m  x2  x   x2  x   m (1) có nghiệm. Giải. Ta có: x2   0, x  ¡ Đặt: y  x  x  , x ¡ y '  1 2x 2x2  Bảng biến thiên: x  y' y  2x2   2x  x2  x  y '   x   2 x   2 2 x   x x Phương trình thành: y  m lim y  lim x  x       2 x2   x  ( dạng:    ) x 1 x2 lim  lim   x  x   x x    x2 x4 x Phương trình (1) có nghiệm m  2 1 Bài 11. Tìm m để phương trình: x   m x   x  (1) có nghiệm. x 1   x 1  x 1  Giải. Điều kiện :  Bài tập Toán 12 x  , ta được: Chia hai vế cho x 1 m x 1 Đặt: t  x 1 x 1 3 m x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 , x  1;   x 1  x 1  t'    x 1      0x  1;    2   x  1  Bảng biến thiên: x  t'   t x 1 x 1 Phương trình thành: 3t  t  m Xét hàm số: y  3t  t t  0;1 y '  6t  1 y '   6t    t  Bảng biến thiên: x  y'   y 12 t x 1  t2  x 1  2 x 1 1 x  x  x 1 Do đó: x  1;    t  0;1 lim t  lim Phương trình (1) có nghiệm 2  m  12  Bài 12. Tìm m để phương trình: x   m x   x  (1) có nghiệm. x 1   x 1  x 1  Giải. Điều kiện :  x  , ta được: Chia hai vế cho x 1 x2 1 x 1 x 1 m 3  m  24 x 1 x 1 x 1 x 1 Đặt: t  x 1 , x  1;   x 1  x 1  t'    x 1      0x  1;    2   x  1  Bảng biến thiên: x  t'   t x 1 x 1 Phương trình thành: 3t  2t  m Xét hàm số: y  3t  2t t  0;1 y '  6t  y '   6t    t  Bảng biến thiên: x  y'   y t x 1  t2  x 1  1 x 1 1 x  x  x 1 Do đó: x  1;    t  0;1 lim t  lim Phương trình (1) có nghiệm 1  m  