Ứng dụng đạo hàm để giải một số phương trình chứa tham số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT NGUYỄN QN NHO SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Người thực hiện: Nguyễn Thị Lan Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HỐ NĂM 2016 MỤC LỤC Nội dung MỤC LỤC Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Kết luận, kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 3 4 5 -4 -4 - 19 -6 - 19 19 19 - 20 21 Mở đầu a Lí chọn đề tài Tốn học mơn khoa học mơn học khác, đòi hỏi người học, người dạy phải đam mê, tâm huyết, tỉ mĩ kiên nhẫn nắm Nó mơn học khó, trừu tượng với thời lượng nội dung chương trình sâu gây khó khăn cho người học người dạy Thực tế cho thấy nhiều học sinh đam mê, u thích mơn tốn kết thi HSG, thi đại học khơng cao so với mơn khác Bài tốn tham số tốn thường gặp kì thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học cao đẳng Đây tốn có nhiều phương pháp giải học sinh thường lúng túng hay mắc sai lầm giải Khi giảm tải chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai khơng thể vận dụng nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét số cách giải khác hàm số “điều kiện cần - đủ” để giải tốn chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp Do học sinh khó rèn luyện tốt phần Bên cạnh đó, đạo hàm nội dung quan trọng chương trình tốn THPT Nó vừa đối tượng, vừa cơng cụ hữu hiệu để giải nhiều vấn đề phức tạp tốn THPT Trong có việc ứng dụng đạo hàm để giải tốn phương trình, phương trình chứa tham số Chúng ta biết đề thi đại học đề thi HSG cấp tỉnh năm gần có tốn chứa tham số Đó dạng tốn khó học sinh, có nhiều khơng thể giải phương pháp đại số thơng thường, kinh điển giải gặp nhiều khó khăn, phức tạp Với việc sử dụng đạo hàm để giải tốn phương trình, phương trình chứa tham số giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu Về vấn đề này, có nhiều tài liệu, sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) Tuy nhiên tài liệu viết chun sâu, hệ thống ứng dụng đạo hàm để giải tốn phương trình, phương trình chứa tham số khơng nhiều học sinh thường gặp khó khăn, lúng túng việc nhận diện, giải dạng tốn Do việc chọn lựa đề tài SKKN nhằm góp phần giải vấn đề việc làm phù hợp với thực tiễn, thể tình u nghề trách nhiệm người cán giáo viên Chính tơi chọn đề tài SKKN là: “ Ứng dụng đạo hàm để giải số phương trình phương trình chứa tham số” b Mục đích sáng kiến kinh nghiệm - Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thơng có nhìn tồn diện việc sử dụng đạo hàm để giải số phương trình, phương trình chứa tham số - Giúp học sinh nhận dạng phương trình, phương trình chứa tham số sử dụng đạo hàm để giải - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo - Nâng cao khả tự học, tự bồi dưỡng khả giải tốn kỳ thi tuyển sinh vào Đại học ơn luyện HSG mơn Tốn c Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng tốn phương trình phương trình chứa tham số Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số giải tích trung học phổ thơng đặc biệt phương trình phương trình chứa tham số d Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết đạo hàm hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi đại học năm gần xếp từ dễ đến khó Trong tiết học lớp tơi cho học sinh giải vi dụ nhiều phương pháp để từ đánh giá tính ưu việt phương pháp Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài - Phương pháp quan sát (cơng việc dạy - học giáo viên HS) - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chun mơn, …) - Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thơng qua trao đổi trực tiếp) - Phương pháp thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm a Lí luận chung: Chương trình giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc trưng mơn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh b Kiến thức vận dụng: + Định nghĩa đạo hàm, quy tắc tính đạo hàm, cơng thức tính đạo hàm hàm số thường gặp, cơng thức tính đạo hàm hàm hợp + Để giải phương trình có chứa tham số phương pháp đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục tập D MĐ1: Số nghiệm phương trình f(x) = g(x) số giao điểm hai đồ thị hàm số y = f(x) y = g(x) MĐ2: Phương trình f ( x) = m có nghiệm x ∈ D ⇔ f ( x ) ≤ m ≤ m ax f ( x ) x∈D x∈D MĐ3: Cho hàm số y = f ( x ) đơn điệu tập D Khi f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v (với u , v ∈ D ) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tiễn học tập giảng dạy, thân nhận thấy ứng dụng đạo hàm giải tốn cấp THPT đa dạng, đặc biệt giải phương trình phương trình chứa tham số Nhưng học sinh thường khơng mạnh dạn, tự tin sử dụng cơng cụ mạnh (hay nói cách khác chưa có kỹ sử dụng) giải tốn vì: - Đạo hàm phần kiến thức với học sinh, gắn liền với tốn học đại, học sinh bắt đầu làm quen cuối chương trình lớp 11 Trong từ cấp THCS đến cấp THPT học sinh tiếp xúc với nhiều tốn giải phương trình (có tham số khơng có tham số) quen sử dụng phương pháp giải tốn đại số kinh điển để giải - Tài liệu viết ứng dụng đạo hàm giải tốn phương trình, phương trình chứa tham số khơng nhiều, học sinh khơng nhận diện dạng tốn chưa hướng dẫn cách hệ thống phương pháp để giải tốn trọn vẹn - Số lượng tốn nêu xuất ngày nhiều đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng, kỳ thi HSG cấp tỉnh năm gần phương pháp sử dụng để giải chủ yếu sử dụng đạo hàm 2.3 Giải pháp tổ chức thực Trong thực tiễn giảng dạy cho học sinh, tác giả giúp học sinh nhận dạng tốn phương pháp giải dạng tốn theo hệ thống tập xếp theo trình tự logic Phương pháp giải Dạng 1: Giải phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương pháp biến đổi sau: Phương pháp 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương pháp 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương pháp 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u ) < f ( v ) chứng minh f đơn điệu để kết luận Dạng 2: Giải phương trình chứa tham số Dạng tốn thường gặp tìm giá trị tham số m để phương trình có nghiệm (hoặc có nghiệm thõa mãn điều kiện đó) Với dạng tốn ta thực theo bước sau: Bước 1: Biến đổi phương trình dạng: f ( x ) = g ( m ) Bước 2: Tìm tập xác định D hàm số f ( x ) Bước 3: Tính f ' ( x ) Bước 4: Lập bảng biến thiên hàm số f ( x ) f ( x ) m ax f ( x ) Bước 5: Xác định x∈D x∈D Từ vận dụng mệnh đề nêu phần kiến thức bên rút kết luận cho tốn Lưu ý: Trường hợp phương trình chứa biểu thức phức tạp, ta xem xét đặt ẩn phụ để đơn giản chúng Nếu ta làm sau: + Đặt t = ϕ ( x ) ( ϕ ( x) biểu thức phương trình ) + Từ điều kiện ràng buộc ẩn số x ∈ D , tìm điều kiện ẩn số t, ví dụ t ∈ K (chú ý phải tìm điều kiện chặt t) + Đưa phương trình ẩn số x phương trình ẩn số t ta f ( t ) = h ( m ) + Lập bảng biến thiên hàm số f ( t ) tập K + Từ bảng biến thiên rút kết luận tốn Các ví dụ minh họa Dạng 1: Giải phương trình khơng chứa tham số Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + x − = (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng.Từ suy vế trái hàm đồng biến,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Hướng dẫn giải Điều kiện: Đặt x≥ f ( x ) = 4x − + 4x2 − 1 f ( ) = ⇔ x = nghiệm phương 2 4x 1  f ' ( x) = + > 0, ∀x ∈  ; +∞ ÷ 4x −1 2  4x −1 Ta có: Ta có Vậy f ( x) = x= 1  đồng biến  ; +∞ ÷, nên phương 2  nên có nghiệm nghiệm Do hàm số trình f ( x ) = 4x − + 4x2 − trình nghiệm phương trình cho  π π tg2x i x∈  - ; ÷ Ví dụ : Giải phương trình: e + cosx =2 vớ  2 (HSG Lớp 12 Nam Định 2006) Hướng dẫn giải  π π tg2x i x∈  - ; ÷, ta có Xét hàm số : f (x) = e + cosx vớ  2  2etg2x − cos3x  tg2x ÷ f '(x) = 2tgx e − sin x = sin x  ÷ cos x cos3x   Vì 2etg2x ≥ > cos3x > Nên dấu f ’(x) dấu sinx Từ ta có f (x) ≥ f (0) = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Ví dụ : Giải phương trình: x − x + x − sin x = Hướng dẫn giải Đặt f ( x) = x − 3x + x − sin x Ta có: f (0) = ⇔ x = nghiệm phương trình Lại có: f ' ( x ) = x − x + − 2cos x = ( x − x + 1) + ( − cos2 x ) = ( x − 1) + 4sin x > , ∀x Nên f(x) ln đồng biến với ∀x Do phương trình có nghiệm x = 2 Ví dụ : Giải phương trình x ( x + 3) + ( 3x − ) − 3x = (1) Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≤ 2 Phương trình (1) ⇔ x ( x + 3) = ( − 3x ) − 3x ⇔ x ( x + 3) = − 3x ( − x ) + 3 Xét hàm số f ( t ) = t ( t + 3) = t + 3t với ≤ t ≤ Ta có f ′ ( t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Nên f(t) đồng biến R Do f ( x ) = f ( − 3x ) ⇔ x = x ≥ x ≥  − 3x ⇔  ⇔  x = ⇔ x =  x = − 3x   x = −4  Vậy phương trình cho có nghiệm : x = Ví dụ 5: Giải phương trình : x(2 + x + 3) + (4 x + 2)( + x + x + 1) = (Olympic 30-4 ĐBSCL 2000) Hướng dẫn giải Ta thấy phương trình có nghiệm (− ;0) Phương trình ⇔ ( −3x ) (2 + (−3x )2 + 3) = (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + 3) ( *) Đặt u = - 3x, v = 2x + 1; u,v > Phương trình ( *) ⇔ u (2 + u + 3) = v(2 + v + 3) (1) Xét hàm số f (t ) = 2t + t + 3t với t>0 Ta có f '(t ) = + 2t + 3t t + 3t > ∀t > ⇒ f (u ) = f (v) ⇔ u = v Phương trình (1) ⇔ u = v ⇔ -3x = 2x +1 ⇔ x = − Vậy x = − nghiệm phương trình Ví dụ 6: Giải phương trình : −2 x − x + x −1 = ( x − 1) (1) Hướng dẫn giải Phương trình ( 1) ⇔ −2 x − x + x −1 = x − x + ⇔ x −1 + x − = x − x + x − x ( 2) t Xét hàm số f ( t ) = + t t t Ta có f ′ ( t ) = + ln > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f ( t ) = + t đồng biến R 2 Do f ( x − 1) = f ( x − x ) ⇔ x − = x − x ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 2 2 Nhận xét: Ở ví dụ đến ví dụ sử dụng tính chất: Nếu hai vế phương trình đơn điệu ngược chiều (vế ln đồng biến, vế ln nghịch biến tập K) vế đơn điệu, vế số phương trình có tối đa nghiệm nên nhẩm nghiệm nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trình : log x2 + x + = x2 − 3x + 2x2 − 2x + Hướng dẫn giải Đặt u = x + x + 1; v = x − x + ( u > 0; v > ) ⇒ v − u = x − 3x + Khi phương 2 u v trình cho trở thành log = v − u ⇔ u + log3 u = v + log v (1) Xét hàm số f ( t ) = t + log3 t > 0, ∀t > nên hàm số f ( t ) = t + log t đồng biến t >0 t ln x = Do từ (1) ta có f ( u ) = f ( v ) ⇔ u = v ⇔ v − u = ⇔ x − 3x + = ⇔  x = Vậy nghiệm phương trình cho x = 1; x = Ta có f ′( t ) = 1+ Ví dụ 8: Giải phương trình : x3 − x + x3 − 3x + = 3x + + x + (1) Hướng dẫn giải 3 Biến đổi (1) ⇔ x − 3x + + x − 3x + = x + + x + (*) Xét hàm số f ( t ) = t + t Ta có f ′ ( t ) = + > 0, ∀t ∈ R \ { 0} Do hàm số đồng biến t 3 Từ (*) ⇔ f ( x − 3x + 1) = f ( x + ) ⇔ x − 3x + = x + ⇔ x − x − 3x − =  x = − ⇔ ( x + 1) ( x − x − 1) = ⇔  1±   x = Vậy nghiệm phương trình cho x = − ; x = 1± Ví dụ : Giải phương trình: 2003x + 2005x = 4006x + (HSG Nghệ An 2005) Hướng dẫn giải x x Xét hàm số : f (x) = 2003 + 2005 − 4006x − Ta có: f '(x) = 2003x ln2003+ 2005x ln2005 − 4006 f ''(x) = 2003x ln2 2003 + 2005x ln2 2005 > ∀x ⇒ f "(x) = vônghiệ m u nhấ t làmộ t nghiệ m ⇒ f'(x) =0 cónhiề ⇒ f(x) =0 cónhiề u nhấ t làhai nghiệ m Mà ta thấy f(1) = f(0) = nên pt cho có hai nghiệm x = x = Nhận xét: Nếu f ( x ) = có n nghiệm f ' ( x ) = có khơng q ( n − 1) nghiệm Dạng 2: Giải phương trình chứa tham số 10 Ví dụ ( ĐH khối A – 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực : x −1 + m x + = x2 −1 Hướng dẫn giải Điều kiện: x ≥ Phương trình cho ⇔ −3 Đặt t = Vì t = x −1 x −1 + 24 =m x +1 x +1 (1) x −1 Khi phương trình ( ) trở thành : −3t + 2t = m x +1 x −1 = 1− x +1 x +1 Xét hàm số t ( x ) = x −1 đoạn [ 1; +∞ ) x +1 −  x −1  Ta có : t ' ( x ) = ÷ > 0, ∀x ≥  ( x + 1)  x +   x −1 t = lim =1  xlim Mặt khác  →+∞ x→+∞ x + ⇒ ≤ t < t ( 1) =  Bài tốn cho trở thành:  f (t ) = −3t + 2t = m Tìm m để hệ  có nghiệm 0 ≤ t < Ta có f '(t ) = −6t + nên có bảng biến thiên sau: t f ’(t) f(t) + 3 - -1 1 f (t ) = −1 Khi đó: max f (t ) = f ( ) = ; lim t →1− 0≤t với ∀x ∈ D hàm số y = f ( x ) g ( x ) đồng biến D Ví dụ ( ĐH khối B – 2006) Tìm m để phương trình x + mx + = x + có hai nghiệm thực phân biệt Hướng dẫn giải 3x + x − = mx (1) 2 x + ≥  ⇔ Phương trình cho ⇔  (2)  x + mx + = (2 x + 1) x ≥ −  12 Do x = khơng nghiệm (1) với m, nên hệ 3x + x −  = m (3) f ( x ) = x ⇔ x ≥ − ( 4)  Ta có f ’(x) = 3x + bảng biến thiên x2 − x f ’(x) f(x) +∞ + + +∞ −∞ +∞ Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≥ Nhận xét: Bài hướng dẫn học sinh giải cách sử dụng lý Viét 3 x + (4 − m) x − = (1)  Tìm m để hệ  có hai nghiệm phân biệt (2) x ≥ −  Ví dụ ( ĐH khối B – 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm m ( + x − − x + 2) = − x + + x − − x Điều kiện: −1 ≤ x ≤ (1) Hướng dẫn giải Đặt t = + x − − x Ta thấy + x ≥ − x ⇒ t ≥ t = x = Từ t = + x − − x ⇒ t = − − x ≤ ⇒ t ≤ t = x = ±1 Do ta có: ≤ t ≤ Phương trình ( 1) trở thành: m ( t + ) = −t + t + ⇔ −t + t + với ≤ t ≤ t+2 liên tục đoạn 0;  Xét hàm số Ta có f ( t ) −t + t + =m ( ) t+2 f ( t) = 13 Phương trình ( ) có nghiệm x phương trình ( ) có f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) nghiệm t ∈ 0;  ⇔ t∈min  0;  t∈ 0;    Ta có: f ( t ) = ' −t − 4t ( t + 2) ≤ 0, ∀t ∈ 0;  ⇒ f ( t ) nghịch biến đoạn 0;  Bảng biến thiên t f ’(t) - f(t) −1 Từ bảng biến thiên ta thấy với − ≤ m ≤ phương trình ( ) có nghiệm đoạn [ −1;1] Vậy với − ≤ m ≤ phương trình ( ) có nghiệm đoạn [ −1;1] Nhận xét: Đây ví dụ học sinh dễ bị sai lầm việc hạn chế điều kiện t, học sinh đánh giá điều kiện t đạo hàm thay dùng bất đẳng thức Ví dụ ( ĐH khối B – 2002) Cho phương trình log 32 x + log32 x + − 2m − = Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 1;  Hướng dẫn giải Đặt t = log3 x + Khi ≤ x ≤ 3 ⇒ ≤ t ≤ Bài tốn trở thành:  f (t ) = t + t − = 2m (1) Tìm m để hệ phương trình  (2) 1 ≤ t ≤ Ta có f '(t ) = 2t + có bảng biến thiên sau: t − có nghiệm 14 f ’(t) + f(t) f (t ) = f (2) = ; f (t ) = f (1) = Khi đó: max 1≤t ≤ 1≤t ≤2 Vậy giá trị cần tìm tham số m ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ Ví dụ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt dương: 11   x+ + 1 + ÷ = m 2x x   Hướng dẫn giải 11 28 11  '  + 1 + ÷ ta có y = − − Đặt y = f(x) = x + 2x 2x x  x x + 28  11 28 y ' = ⇔ g ( x) = − =1 2x x x + 28 Dễ thấy g(x) nghịch biến với x > (vì g’(x) < 0, ∀ x > 0) Mặt khác g(3) = nên x = nghiệm Mà x > ⇒ g ( x) < ⇒ y ' > x < ⇒ g ( x) > ⇒ y ' < Vì ta có bảng biến thiên sau x y’ y +∞ - + ∞ + +∞ 15 Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng y = m Dựa vào bảng biến thiên ta có y ⇔ m > 15 phương trình có hai nghiệm dương phân biệt ⇔ m > ( 0; +∞ ) 2 Ví dụ 7: Cho phương trình log x + log x − = m ( log x − 3) (1) 15 Tìm m để phương trình có nghiệm x ∈ [ 32; +∞ ) Hướng dẫn giải Từ điều kiện: x ∈ [ 32; +∞ ) ⇒ log x ≥ , suy log x − ≥ nên m ≥ Phương trình (1) ⇔ log 22 x − 2log x − = m ( log x − 3) ⇔ log 22 x − 2log x − = m ( log x − 3) Đặt t = log x, ( t ≥ ) (2) 2 Phương trình (2) trở thành t − 2t − = m ( t − 3) ⇔ m = Xét hàm số f ( t ) = f '( t ) = −4 ( t − 3) t +1 t −3 t +1 (3) t −3 (với t ≥ ) < 0, ∀t ≥ Ta có bảng biến thiên t f '( t ) f ( t) − +∞ Phuơng trình (1) có nghiệm x ∈ [ 32; +∞ ) phuơng trình (3) có nghiệm t ≥ điều xảy < m ≤ Kết hợp với m ≥ , ta < m ≤ Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm − x − x3 + x + = m −1   (1)  ;1 2  Hướng dẫn giải  −1  Xét hàm số f ( x ) = − x − x3 + x +  ;1 2    −3x 3x + x 3x + ' − = −x + Ta có f ( x) = ÷ − x2 x3 + x + x3 + x +   1− x Xét hàm số g ( x ) = x3 + x + −1    ;1 2  16 Ta có g ′ ( x ) = 3x + x = ⇔ x = Ta có bảng biến thiên x − ' g ( x) 0 + − g ( x) 11   Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g ( x) ≥ 1, ∀x ∈  − ;1     ∀x ∈  − ;1 ta có 3(− ) + ≤ x + ≤ 3.1 + ⇔ ≤ x + ≤   2 3x +   + > 0, ∀x ∈  − ;1 Suy   − x2 x3 + x + Do f ′ ( x ) = ⇔ x = Bảng biến thiên: x − f ' ( x) + f ( x) - 3 − 22 −4 Phương trình (1) phương trình hồnh độ giao điểm d : y = m (C ) : f ( x ) = − x − x3 + x + Phương trình có nghiệm −4 ≤ m < 3 − 22 m = Nhận xét : Đây tốn mà ta khơng đặt ẩn phụ, dùng phép biến đổi dẫn đến phương trình phức tạp Cách 17 giải đưa dùng bảng biến thiên đơn giản Đó ưu điểm cách giải Bài tập Giải phương trình : 3x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = ( ĐS: x = − Giải phương trình ) x + − 2x2 + = 2x2 − x + 1 ( ĐS: x = − ; x = ) Giải phương trình : x3 − + x − + x = ( ĐS: x = ) Giải phương trình x + 15 = x − + x + ( ĐS: x = ) Giải phương trình : ( 8x + ) x + ( x − ) − x = ( ĐS: x = ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( + x + (4 − x )(2 x − 2) = m + 4 − x + x − ) ( ĐS: ≤ m ≤ ) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt: x + x + 24 − x + − x = m ( ĐS: 2( + 6) ≤ m < + )  π π Tìm m để phương trình sau có nghiệm đoạn  − ;   2 2 + sin 2x = m(1 + cos x ) ( ĐS: ≤ m ≤ ) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2sin x + 3cos x = m3sin x ( ĐS: ≤ m ≤ ) 10 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt : x + + − x + ( x + 1)(8 − x) = m ( ĐS: ≤ m < + 2 ) 11 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực − x − x + − ( m − 1)( x + + − x ) + m + = ; ( ĐS : ≤ m ≤ −6 + 16 18 12 Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm x + − x = − x2 + 9x + m ( ĐS : − ≤ m ≤ 10 ) − x + x + = mx có nghiệm 1  ( ĐS : m ∈ ( −∞; −1] ∪  ; +∞ ÷ ) 2  13 Tìm m để phương trình : 2.4 Hiệu đề tài Sau tốn thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt - Năm học 2011 – 2012 nhiều học sinh lớp 12C8 đạt điểm Tốn từ 7,25 trở lên kì thi đại học, cao đẳng - Năm học 2013 – 2014 số học sinh đạt điểm 8,0 nhiều mơn Tốn kì thi đại học, cao đẳng - Năm học 2014 – 2015 có em học sinh lớp 12C3 em đạt điểm cao từ 8,25 trở lên kì thi đại học, cao đẳng Kết luận, kiến nghị + Kết luận Qua thời gian viết SKKN vận dụng chun đề vào giảng dạy, tơi nhận thấy việc làm thu kết đáng kể từ phía em học sinh Đây thực cơng cụ hữu hiệu, giúp học sinh giải tốn nhanh, gọn xác Đồng thời em có nhìn tổng thể cách giải tốn Điều phần tạo cho em học sinh có tâm tốt bước vào kỳ thi quan trọng Qua việc ứng dụng đề tài vào giảng dạy cho học sinh, tơi nhận thấy chun đề tiếp tục áp dụng cho năm tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục hồn thiện đề tài nữa.Bài học kinh nghiệm rút từ q trình áp dụng SKKN tơi là: Phải thường xun học hỏi trau chun mơn để tìm phương pháp dạy học phù hợp +Kiến nghị - Người Thầy phải nhiệt tình, gương mẫu, làm cho em thấy tinh thần nghiêm túc hăng say nghiên cứu khoa học mình, có học sinh noi gương Thầy tâm ham mê học tập, từ để em khơng cảm thấy áp lực học tập 19 Tiếp theo là, thường xun tạo tình có vấn đề, kích thích tìm tòi học tập học sinh - Đối với trường THPT Nguyễn Qn Nho cần quan tâm việc phát đào tạo học sinh giỏi ơn luyện hoc sinh thi THPTQG để đề tài phát huy tính tự học HS, tính tự bồi dưỡng giáo viên - Đối Sở GD- ĐT cần trọng cơng tác kiểm tra đánh giá chất lượng giáo dục, đổi khâu đề thi chọn HSG tỉnh, thi chọn đội tuyển dự thi HSG QG để đề tài có ý nghĩa - Đối với Bộ giáo dục đào tạo, đổi khâu đề thi THPTQG thi HSG quốc gia câu phân luồng Trong q trình thực đề tài, tơi nhận góp ý q báu đồng nghiệp, song thời gian nghiên cứu ứng dụng chưa dài, nên đề tài tơi khơng tránh khỏi nhiều hạn chế Rất mong tiếp tục nhận đóng góp khác từ phía đồng nghiệp để tơi hồn thiện đề tài Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 13 tháng năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Nguyễn Thị Lan TÀI LIỆU THAM KHẢO Giải tích 12 nâng cao, NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần phương Dung, Nguyễn Xn Liêm, Đặng Hùng Thắng 20 Giải tích 12 NXB giáo dục Nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm học 1997-1998 đến năm học 2004-2005 NXB Đại học Quốc gia HN tác giả Dỗn Minh Cường Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học – cao đẳng tồn quốc, từ năm học 2002-2003 đến năm học 2009-2010 NXB Hà Nội nhóm tác giả Trần Tuấn Điệp, Ngơ Long Hậu, Nguyễn Phú Trường Các tốn giá trị lớn nhỏ Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006 Tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục Bộ giáo dục đào tạo- Hội tốn học Việt Nam (1996- 2007) Chun đề phương pháp giải phương trình mũ, lơgarit loại hệ phương trình đại số -Nxb Huỳnh Cơng Thái 21 ... việc sử dụng đạo hàm để giải số phương trình, phương trình chứa tham số - Giúp học sinh nhận dạng phương trình, phương trình chứa tham số sử dụng đạo hàm để giải - Bồi dưỡng cho học sinh phương. .. tốn giải phương trình (có tham số khơng có tham số) quen sử dụng phương pháp giải tốn đại số kinh điển để giải - Tài liệu viết ứng dụng đạo hàm giải tốn phương trình, phương trình chứa tham số. .. cơng thức tính đạo hàm hàm số thường gặp, cơng thức tính đạo hàm hàm hợp + Để giải phương trình có chứa tham số phương pháp đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững mệnh đề (MĐ) sau: Cho hàm số y = f ( x