Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là: Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai

PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU 1.Cơ sở thực tiễn của vấn đề nghiên cứu

Trên thực tế học sinh THPT đã được học rất nhiều dạng toán về PT, BPT và hệ PT cụ thể là: Lớp 10 có PT, BPT, hệ PT quy về bậc hai, chứa ẩn dưới dấu căn và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối Lớp 11 có PT lượng giác Lớp 12 có PT, BPT, hệ PT mũ và logarit Trong đó có khá nhiều dạng bài toán cần phải thực hiện phương pháp đặt ẩn phụ khi tiến hành lời giải và hầu hết đó

là các bài toán không chứa tham số Tuy nhiên trong các đề thi tuyển sinh Đại học và đề thi học sinh giỏi thường có các bài toàn đề cập đến PT, BPT chứa tham mà khi tiến hành lời giải thì phải đặt ẩn phụ và tìm ĐK của ẩn phụ

Với mười năm làm nghề dạy học tôi đã may mắn được tham gia giảng dạy cho khá nhiều lớp ôn thi Đại học và ôn thi học sinh giỏi tôi thấy có một số vấn đề cần phải giải quyết:

Một là: Việc biến đổi PT, BPT hoặc đặt ẩn phụ để quy PT đã cho về các

PT bậc cao thì học sinh được giải quyết khá nhiều ở lớp 10 và lớp 11, nhưng khảo sát hàm số bằng cách ứng dụng đạo hàm thì đến lớp 12 mới được học nên khi làm bài cần phải kết hợp hai việc trên với nhau thì học sinh rất lúng túng nên lời giải nhiều khi không chặt chẽ

Hai là: Khi học sinh làm bài tập về PT, BPT có ĐK mà trong lời giải có

bước đặt ẩn phụ thì tôi thấy nhiều học sinh mắc phải một trong những sai lầm: hoặc là đặt ẩn phụ mà không nghĩ đến tìm ĐK của ẩn phụ hoặc tìm sai ĐK của

nó, hoặc đã tìm chính xác ĐK của ẩn phụ nhưng khi lập luận trên PT, BPT theo ẩn phụ thì lại không xét trên ĐK ràng buộc của nó nên dẫn đến kết luận không chính xác

Ba là: Từ năm 2006 sách giáo khoa không nói đến định lý đảo về dấu

tam thức bậc hai, trong khi đó sách tham khảo xuất bản trước đó có rất nhiều bài toán sử dụng định lý đó để thực hiện việc so sánh các nghiệm của một tam thức bậc với các số cho trước nên học sinh đọc sách rất hoang mang Do đó người giáo viên phải định hướng cho học sinh biến đổi về bài toán sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số nếu là tình huống không thể giải quyết đơn thuần theo kiểu tính biệt thức đenta

Những vấn đề trên chính là lý do để tôi chọn đề tài “Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình, bất phương trình chứa tham số”

2 Mục đích nghiên cứu

Những vấn đề tôi trình bày trong bản sáng kiến với mục đích sau:

Một là: Giúp học sinh nhận dạng được các bài toán phương trình, bất

phương trình có chứa tham số có thể ứng dụng đạo hàm để giải Trang bị cho học sinh một phương pháp mang lại hiệu quả rõ nét

Hai là: Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp kĩ năng giải toán.

Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy sáng tạo

Các vấn đề tôi trình bày trong bài viết của mình có thể hỗ trợ cho các

em học sinh lớp 12 có cách nhìn toàn diện hơn về bài toán PT, BPT có tham

số có liên quan đến phép đặt ẩn phụ

3 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Để hoàn thành được bài viết của mình với đề tài nói trên tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán về PT, BPT đặc biệt là các bài toán về PT, BPT chứa tham số và trong lời giải có việc đặt phụ

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là toàn bộ chương trình đại số và giải tích thuộc môn toán Trung học phổ thông đặc biệt là các phần: PT, BPT, hệ

PT quy về bậc cao một ẩn PT, BPT chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai và chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối PT lượng giác PT, BPT mũ và logarit

4 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện mục đích nhiệm vụ của đề tài trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:

-Nghiên cứu các tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy – học của giáo viên và học sinh)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn.(lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

- Phương pháp thực nghiệm

PHẦN HAI: NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

a) Tìm số nghiệm của phương trình

Xét PT: f x( )g m( ), (1) Trong đó x là ẩn thực và m là tham số thực

- Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số yf x( ), (có thể nhận thấy hình dạng đồ thị hàm số thông qua BBT của nó) và đường thẳng

( )

y g m là đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm có tung độ bằng

( )

g m

- Các nghiệm x x1, , ,2 xn của PT (1) chính là hoành độ của các giao điểm

b) Tìm tham số trong bài toán bất phương trình

Nếu hàm số f x( )có GTLN và GTNN trên tập xác định D khi đó

BPT : f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi min ( )D f x g m( )

f x( )g m( ) thỏa mãn  x D khi và chỉ khi max ( )D f x g m( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi ax ( )m D f x g m( )

f x( )g m( ) có nghiệm x D khi và chỉ khi min ( )D f x g m( ) Trong trường hợp hàm số f x( ) không có GTLN hoặc GTNN trên tậpD

ta phải kết hợp với BBT hoặc đồ thị của nó để có kết luận thích hợp

2 Thực trạng của vấn đề

Qua thực tiễn học tập và giảng dạy bản thân nhận thấy ứng dụng của đạo hàm trong các bài toán cấp THPT là rất đa dạng đặc biệt là trong giải các phương trình,bất phương trình chứa tham số Nhưng học sinh thường không tự tin mạnh dạn sử dụng công cụ rất mạnh này

Số lượng các bài toán nêu trên xuất hiện ngày càng nhiều trong đề thi THPTQG và phương pháp sử dụng chủ yếu là sử dụng đạo hàm

3 Các phương pháp đã tiến hành

Để cho việc tiếp thu bài học được dễ dàng tôi chia nội dung bài viết của mình thành bốn dạng sau:

- Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn

- Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

- Phương trình lượng giác

- Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Dạng 1: Phương trình, bất phương trình bậc cao một ẩn

Bài 1 Tìm tham số a để PT: x3  3x2  a , (1) có ba nghiệm phân biệt 0 trong đó có đúng một nghiệm bé hơn 1

Giải:

PT (1)  x3 3x2  , (1a) a

Yêu cầu của đề bài tương đương với PT (1a) có ba nghiệm phân biệt x x x1, ,2 3

sao cho x1 1 x2  x3 tức là đường thẳng y a phải cắt đồ thị hàm số

3 2

yf x x  x tại ba điểm phân biệt có hoành độ x x x thỏa mãn1, ,2 3

x  x x

Ta có: '( ) 3 2 6 ; '( ) 0 0

2

x

x





 lim ( ) lim 3 1 3

x f x x x

x

  ; lim ( )x  f x 

Bảng biến thiên của hàm số f x( )

Từ BBT suy ra điều kiện phải tìm là: 4a2

Nhận xét : Nghiệm của (1a) là hoành độ giao điểm của đường thẳng y a với

đồ thị hàm số yf x( ) tức là từ mỗi giao điểm ta chiếu vuông góc lên trục hoành sẽ suy ra vị trí các nghiệm

Bài 2 Cho hàm số y 4x3(a3)x2 ax

Hãy tìm tham số a để y    1, x  1;1

Giải:

Giả sử y    1, x  1;1 suy ra

(1) 1 ( 1) 1 1 1 2 1 1 2

y y y

y





  



  

 



   

   

 



1

1











1 3

3

a a a

  







   



  



3

a

Thử lại: Khi a  3 y4x3  3x là hàm số liên tục trên đoạn 1;1

2

y  x  y   x

f x

( )

f x

+ 0 - - 0 +

0

-2



 

x - 0 1 2 +

 

-4

và ( 1) 1; (1) 1; 1 1; 1 1

y   y  y   y 

suy ra max1;1 y và 1 min1;1 y1 nên y    1, x  1;1

Vậy ĐK phải tìm là a 3

Nhận xét:

Trong lời giải của bài toán trên việc giả sử y    1, x  1;1 chỉ có thể suy ra điều kiện của a, có thể là một khoảng nào đó nhưng sẽ giúp ta dễ dàng tìm được điều kiện thỏa mãn yêu cầu đề bài trong bước kiểm chứng ngược lại

Bài 3 Tìm tham số m để BPT mx4  4x m  , (2) thỏa mãn 0 x

Giải:

1

x

x

 (2a) Đặt ( ) 44

1

x

f x

x



 BPT (11) thỏa mãn x khi và chỉ khi BPT (2a) thỏa mãn x

max ( )f x m

Ta có:

'

( )

f x

'

4

1 ( ) 0

3

f x   x  ;

3

4

1

x x



Bảng biến thiên

Từ BBT  max ( )f x 4 27 Vậy ĐK phải tìm là m 4 27

x

'( )

f x

( )

f x

0 + 0

0

0

Nhận xét:

Trong đề bài trên bậc của tham số m bằng nhau nên ta có thể nhóm m làm thừa số chung và thực hiện việc chia cả hai vế cho biểu thức dương để cô lập tham số

Bài tập tương tự:

Câu 1 Tìm tham số a để PT: x3 ax2  4 0 có nghiệm duy nhất;

Câu 2 Tìm tham số m để PT: x3 x2 18mx 2m0 có ba nghiệm dương phân biệt:

Câu 3 Cho hàm số f x( ) x3 3mx 4 Tìm tham số m để

3

1

x

  

Dạng 2: Phương trình, bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

Bài 1 Tìm tham số m để PT: x2 mx2 2 x ; (3) có hai nghiệm thực 1 phân biệt:

Giải:

PT (3)  x2mx 2 2x12 ( với ĐK 2x  1 0 )

2

x  )

2

Dễ thấy x 0 không thỏa mãn PT (3a) do đó

x

   , (3b) với 1

2

x  và x 0

PT (3) có hai nghiệm thực phân biệt  PT (3b) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK 1

2

x  và x 0 tức là đường thẳng y m phải cắt đồ

thị hàm số y f x( ) 3x 4 1

x

    tại hai điểm phân biệt trên tập

 

1

2



Ta có f x'( ) x 12 0, x

x

2



xlim ( )0 f x  ; xlim ( )0 f x   ; lim ( )x  f x 

Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là: 9

2

m 

Nhận xét:

Sau khi biến đổi PT (3) về PT (3a) ta có thể thực hiện lời giải theo cách

so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với số 1

2

 nhưng sẽ khá phức tạp , trong khi đó nếu ứng dụng đạo hàm như trên ta có thể biện luận số nghiệm của PT đã cho

Bài 2 Biện luận theo tham số m số nghiệm của PT:

4 x4 4x m  x4 4x m  ; (4)6

Giải:

ĐK: x4 4x m 0, (*)

Đặt t4 x4 4x m  x4 4x m t  với 2 t 0

PT (4) trở thành 2 6 0 2

3

t

t t

t





     

 mà t 0 t 2

Từ t 2  4 x4 4x m  2 x44x m 16, (4a)

Từ PT (4a) suy ra ĐK (*) được thỏa mãn (4a)

Ta thấy số nghiệm của PT (4) bằng số nghiệm của PT (4b)

Xét hàm số f x( ) x4  4x16 trên tập R

f x  x   x  ; f x'( ) 0  x1

x

'( )

f x

( )

f x

0 +

+ +

9 2



 

4 16 lim ( ) lim 1

x f x x x

4

4 16 lim ( ) lim 1

x f x x x

Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra:

- Nếu m 19, PT (4) vô nghiệm.

- Nếu m 19, PT (4) có một nghiệm.

- Nếu m 19, PT (4) có hai nghiệm phân biệt.

Nhận xét:

Việc ứng dụng đạo hàm chỉ sử dụng sau khi đã biến đổi về PT (4b) và đương nhiên là phải khảo sát hàm số trong phạm vi PT đã cho xác định

Bài 3 Tìm tham số m để BPT :

mx x 3  (5) có nghiệm m 1,

Giải:

ĐK: x 3 Đặt t x 3 t và 0 x t 2 3

BPT (5) trở thành m t( 2 3) t m 1 với ĐK t 0

2

t

t



 , (5a) với ĐK t 0

Xét hàm số ( ) 2 1

2

t

f t

t







Ta thấy BPT (5) có nghiệm  BPT (5a) có nghiệm t 0  max f t0; ( )m

2

2 2

2

t

t t

  

 

Bảng biến thiên

x

'( )

f x

( )

f x

1 +

0

 

 

Từ BBT suy ra

 0; 

( )

4

max f t







Vậy ĐK phải tìm là 1 3

4

m 

Nhận xét :

Với kiến thức của lớp 10 học sinh có thể giải được bài toán trên thông qua việc so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với số 0, tuy nhiên khá phức tạp

Bài tập tương tự:

Câu 1 Tìm tham số m để PT :

4

4 x  13x m x   1 0 có đúng một nghiệm

Câu 2 Tìm tham số m để BPT m x( 2  2x2 1) x(2 x) 0

có nghiệm x  0;1 3

Câu 3 Tìm tham số m để PT sau có nghiệm:

x x  x m  x   x

Hướng dẫn: Khảo sát hàm số ( ) 12

f x



   trên đoạn 0;4 

Câu 4 Tìm tham số m để BPT: x2 12 m x x 2 2 4 , thỏa mãn

0;1

x

Hướng dẫn : Đặt t x x 2 2,  x 0;1  t 0; 3

Câu 5 Tìm tham số a để BPT: a 2x2 7  nghiệm đúng với mọi x a x.

t

'( )

f t

( )

f t

+

+ 0

Dạng 3: Phương trình lượng giác

Bài 1 Tìm tham số mđể BPT: 2sin2x m cosx 3 0, (6) nghiệm đúng 0;

2

x   

 

Giải:

BPT (6)  2 1  cos2x  mcosx 3 0  2 osc 2x 1mcosx

Đặt cos , 0; 0;1

2

t  x  x    t

BPT trên trở thành 2t2 1 mt 2t 1 m,

t

       (6a) với ĐK t 0;1

Xết hàm số f t( ) 2t 1

t

 

BPT (6) nghiệm đúng 0;

2

x   

   BPT (6a) nghiệm đúng  t 0;1

 max f t0;1 ( )m

2

2

t



Bảng biến thiên

Tư BBT suy ra max f t 0;1 ( ) 2 2

Vậy ĐK phải tìm là : m 2 2

Nhận xét :

t

'( )

f t

( )

f t

+ 0

Bài toán trên có thể giải theo cách so sánh các nghiệm của một tam thức bậc hai với các số 0 và 1 nhưng khá phức tạp và có thể không xét hết các khả năng

Lưu ý rằng 0; 0;1

2

x    t

Bài 2 Tìm tham số m để PT: m c os 22 x 4sin x cosx m  2 0 , (7)

có nghiệm 0;

4

x  

 

Giải:

PT (7)  m(1 sin 2 ) 2sin 2 2 x  x m  2 0

t x  x    x   t

PT trên trở thành: m(1 t2) 2 t m  2 0

2

t

t



 (7a) với t (0;1) Xét hàm số ( ) 2 22 ,

2

t

f t

t





 với t (0;1)

PT (7) có nghiệm 0;

4

x  

  khi và chỉ khi PT (7a) có nghiệm t (0;1) tức là đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số f t( )trên khoảng 0;1

 

2

'

2 2

(2 )

t



suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên khoảng (0;1) mà f(0) 1; f(1) 4

Vậy ĐK phải tìm là: 1m4

Nhận xét :

- Trong lời giải của bài toán trên nhất thiết phải tìm được ĐK chính xác cho ẩn phụ

- Trước kia nhờ định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai có thể thực hiện lời giải theo cách so sánh các nghiệm của tam thức bậc hai với các số 0

và 1 nhưng khá phức tạp và phải xét nhiều khả năng có thể xảy ra

Bài 3 Tìm tham số mđể PT: cos2x mc os2x 1 t anx , (8)

có nghiệm 0;

3

x  

Giải:

0;

3

x  

     PT (8) xác định PT (8)

2 2

2 os 1

1 t anx os

c x

m

c x



2

1

c x

2

1 tan x m 1 t anx

Đặt u  1 t anx ; 0; 0 t anx 3 1 1 3

3

và u2  1 t anx t anxu2  1

Ta được PT: 1 u2 12 mu u4 2u2 mu

 u3 2u m , (8a) với ĐK u  1; 1 3

PT (8) có nghiệm 0;

3

x    PT (8a) có nghiệm u  1; 1 3

Xét hàm số f u( )u3 2 ,u với u  1; 1 3

f u'( )3u2  2 0, u 1; 1 3

 f u( ) là hàm số nghịch biến trên đoạn 1; 1  3

f(1) 1, f  1 3  2 3 1 

Vậy ĐK phải tìm là :  2 3 1   m 1

Nhận xét :

- Cần để ý sự liên hệ giữa cos2 ,x cos2x và t anx.

- Việc tìm ĐK của u có thể thực hiện theo cách khảo sát hàm số

( ) 1 t anx

g x   trên đoạn 0;

3



 

Bài tập tương tự:

Câu 1 Tìm tham số a để BPT: 3 osc 4x 5 os3c x 36sin2x36 24 a12a2  0 nghiệm đúng x

Câu 2 Tìm tham số m để PT: 1 cos 1 os2 1 os3

Câu 3 Tìm tham số m để PT: sin2010x c os2010x m có nghiệm

Câu 4 Tìm tham số m để PT :

os sin cot 2

os sin





 có nghiệm

Dạng 4: Phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Bài 1 Tìm tham số m để PT: (m3)16x (2m 1)4x m 1 0,(9)

có hai nghiệm trái dấu

Giải:

Đặt t 4x  t 0;

PT (9) trở thành (m3)t2 (2m 1)t m  1 0

 m t( 2 2t1)3t2 t 1

 

2 2

, 1

t t m

t

 (3a) với t 0

Nếu 1

x   t   Nếu 2

x   t  

Do đó x1 0 x2  0t1 1 t2

Lưu ý : với mỗi số t 0 PT t 4x chỉ có một nghiệm ẩn x

PT (9) có hai nghiệm trái dấu  PT (9a) có hai nghiệm t t sao cho1, 2

0t  1 t tức là đường thẳng y m phải cắt đồ thị hàm số

2 2

( )

( 1)

t t

y f t

t

 tại đúng hai điểm với ĐK hoành độ giao điểm thứ nhất thuộc khoảng 0;1 và hoành độ giao điểm thứ hai trong khoảng  1; 

Hàm số

2 2

( )

( 1)

t t

f t

t



 với ĐK t 0

t

t

 lim ( )t  f t 3

Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra ĐK phải tìm là: 1 3

4

m

   

Nhận xét :

Nếu sử dụng định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai thì lời giải của bài toán trên khá gắn gọn nhưng sách giáo khoa hiện hành không trình bày Nhưng giải theo phương pháp nào cùng đều phải tìm được ĐK của ẩn phụ, mối liên hệ giữa số nghiệm theo ẩn phụ và số nghiệm theo ẩn chính

Bài 2 Tìm tham số m để BPT: 92x2x 2(m 1)62x2x (m 1)42x2x 0,

nghiệm đúng x có tính chất 1

2

x 

Giải:

BPT (10)

Đặt

2

2

x x



           

Xét

2

2

3 ( )

2

x x

g x t



 

  

 

trên tập D

2

2

x x



 

  lim ( )x  g x ; xlim ( ) g x ;

t

'( )

f t

( )

f t

1 + 0

-1

55 100



3 4



-3