ứng dụng của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số để giải các dạng phương trình, hệ phương trình thường gặp trong các đề thi đại học và đề thi học sinh giỏi.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình: Tùy theo dạng phương trình, phương trình trong hệ đã cho mà ta biến đổi các pt đó về 1 trong 3 dạng sau: Dạng 1 : f(x)=k ( với k là hằng số ) Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) để khẳng định rằng nó đồng biến ( hoặc nghịch biến ). đồ thị f(x) luôn cắt y=k tại 1 điểm duy nhất và hoành độ của nó là một nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 1: 11414 2 =−+− xx Giải : Điều kiện : 2 1 ≥ x Đặt : 1414)( 2 −+−= xxxf Với +∞= ; 2 1 d => +∞∈∀> − + − = ; 2 1 0 14 4 4 142 1 )(' 2 x x x x xf => f(x) đồng biến trên +∞ ; 2 1 => đồ thị f(x) cắt y =1 tại 1 điểm duy nhất có hoành độ 2 1 = x . Vậy phương trình có 1 nghiệm . 2 1 = x Dạng 2 : f(x)=g(x) Phương pháp: xét tính đơn điệu của f(x) và g(x) (thông thường 1 cái đồng biến 1 cái nghịch biến ) => f(x) và g(x) cắt nhau tại 1 điểm duy nhất và hoành độ điểm đó là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ1: 3 1 4 5x x x− = − − + Giải : Điều kiện: 1x ≥ Ta có: [ ) ( ) 1; 1 '( ) 0 1; 2 1 D f x x x = +∞ = > ∀ ∈ +∞ − f(x) đồng biến trên [ ) 1;+∞ ta lại xét: 2 2 '( ) 3 4 (3 4) 0 g x x x x R = − − = − + < ∀ ∈ g(x) nghịch biến trên R f(x) và g(x) cắt nhau tại 1 điểm duy nhất có hoành độ x=1 Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1. Dạng 3: biến đổi phương trình đã cho về dạng f(u)=f(v) Phương pháp : xét hàm số đại diện f(t) là dạng của hàm số u và v. Khi f(t) đồng biến hoặc nghịch biến u=v giải phương trình tìm nghiệm. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình : (A_2013) 4 4 2 2 1 1 2 (1) 2 ( 1) 6 1 0(2) x x y y x x y y y + + − − + = + − + + + = Giải 4 4 4 4 4 4 4 (1) 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( ) x x y y x x y y f x f y ⇔ + + − = + + ⇔ − + + − = + + − = Xét ( ) 4 4 ( ) 2 0; 1 1 '( ) 0 (0; ) 2 2 2 f t t t D f t t t t = + + = +∞ = + > ∀ ∈ +∞ + f(t) đồng biến trên ( ) 0;+∞ 4 1x y− = Thay 4 1x y= + vào (2) Ta được: 8 4 4 2 8 5 2 7 4 7 4 6 3 2 1 2( 1)( 1) 6 1 0 2 4 0 ( 2 4) 0 0 ( ) 2 4 0 '( ) 7 8 1 0 0 y y y y y y y y y y y y y y y g y y y y g y y y y ⇔ + + + + − + − + = ⇔ + + − = ⇔ + + − = = ⇔ = + + − = = + + > ∀ > g(y) đồng biến trên (0; )+∞ g(y) cắt y=0 tại 1 điểm duy nhất có hoành độ y=1 => x=2 từ y=0 =>x=1 vậy hệ phương trình có nghiệm (1;0);(2;1) ví dụ 2: giải hệ phương trình : 3 2 3 2 2 2 3 9 12 3 9 (1) 1 (2) 2 x x x y y y x y x y − − + = + − + − + = Giải 3 2 3 2 3 3 (1) 3 3 1 12 12 3 3 1 12 12 ( 1) 12( 1) ( 1) 12( 1) ( 1) ( 1) x x x x y y y y x x y y f x f y ⇔ − + − − + = + + + − − ⇔ − − − = + − + ⇔ − = + Xét 3 2 ( ) 12 '( ) 3 12 0 ( 2) f t t t f t t t = − ⇒ = − ≤ ∀ ≤ Từ đó ta có 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 3 3 1 x y x y x y − ≤ + ≤ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ + ≤ − ≤ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Vậy 1 1 2 x y x y − = + ⇔ = + thay vào (2) ta được: 2 2 2 1 4 4 2 2 3 2 4 0 2 1 3 ( ) 2 2 3 1 ( ) 2 2 y y y y y y y y n x y n x + + + − − + = ⇔ + + = − = ⇒ = ⇔ − = ⇒ = Vậy hệ phương trình có nghiệm 1 3 3 1 ; ; ; 2 2 2 2 − − ÷ ÷ Ví dụ 3 : giải hệ phương trình : 2 2 2 (4 1) ( 3) 5 2 0(1) 4 2 3 4 7(2) x x y y x y x + + − − = + + − = Giải Điều kiện : 3 4 y ≤ ( ) 2 2 2 (1) 2 (2 ) 1 (6 2 ) 5 2 2 (2 ) 1 5 2 1 5 2 (2 ) ( 5 2 ) x x y y x x y y f x f y ⇔ + = − − ⇔ + = − + − ⇔ = − Xét: 2 3 2 ( ) (2 1) 2 1 '( ) 6 0 f t t t t f t t t = + = + = ≥ ∀ Vậy hàm số luôn đồng biến 2 5 2x x⇔ = − thay vào (2) Ta được 2 2 2 5 2 5 2 4 2 3 4 7 2 2 ( ) 2 2 2 3 2 5 2 0 '( ) 0 y y y f y y y y f y − − + + − = ÷ ÷ ⇔ = − − + + − − = ⇔ < Vậy hàm số luôn nghịch biến 3 4 y∀ < f(y) luôn cắt trục hoành tại 1 điểm có hoành độ y =2 => 1 2 x = vậy hệ phương trình có nghiệm 1 ;2 2 ÷ ví dụ 4: giải phương trình : 3 4 2 1 2 4 24 4 2 x x x x= − + − Giải 4 3 2 4 2 12 2 0x x x x⇔ − − + − = Xét hàm số : 4 3 2 3 2 4 2 12 2 ' 4 12 4 12 y x x x x y x x x = − − + − ⇒ = − − + Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng 1x = Do đó , đặt X=x+1: Ta có phương trình : 4 2 8 5 0 1 4 11 1 4 11 X X x x − + = = ± − ⇔ = ± + . Ví dụ 5: giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 4 4 4 2 2 4 2 2 sin .cos cos .cos 2 2 cos cos 2 cos 2 cos 2 2 cos 2 2cos 2 cos cos 2 cos 2cos cos cos 2 2 x x x x x x x x x x x x π π π π − = − + − ÷ ÷ ⇔ − + ∈ = − + ÷ ÷ Xét hàm số: 2 ( ) 2 cos . 2 0 1 '( ) 2 2 sin . 0 0 1 2 f t t t t t f t t t t π π = − + ÷ ∀ ≤ ≤ = − − < ∀ ≤ ≤ ÷ f(t) giảm trên [ ] 0;1 2 2 2 2 (cos 2 ) (cos ) cos 2 cos ( ) 3 f x f x x x k x k Z π ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ Ví dụ 6: giải hệ phương trình : 3 4 2 2 3 28 2 18 2 x y y x y xy y − = + + = Giải Hệ tương đương: 3 3 2 4 ( ) 28(1) ( ) 18 2(2) 0 3 8 (2) y x y y x y x y x y y − = + = ⇒ > > ⇒ = − Thay vào (1) ta được : 3 4 3 3 8 28(3)y y y y − − = ÷ ÷ Đặt : 0t y= > (3) trở thành: ( ) 3 4 2 2 6 3 9 3 4 3 8 28 3 3 8 28 0 t t t t t t t − − = ÷ ÷ ⇔ − − + = Xét hàm số : ( ) ( ) 3 9 3 4 8 2 3 4 ( ) 3 8 28 '( ) 9 9 3 8 28 0, 0 f t t t t f t t t t t = − − + = + − + > ∀ > Từ đó ta có f(t) đồng biến trên khoảng ( ) 0;+∞ , phương trình f(t)=0 có nghiệm trên khoảng ( ) 0;+∞ thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất Từ đó suy ra hệ phương trình đăcho nếu có nghiệm 0 0 ( ; )x y thì đó là nghiệm duy nhất của hệ phương trình: Nếu chọn 2x y= thì từ (1) ta có: 4 4 2 2 2 y y x = ⇔ = ⇒ = Rõ ràng cặp số ( ) 2 2; 2 thỏa (2). Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) 2 2; 2 Dạng 4: giải phương trình, hệ phương trình chứa tham số : Kiến thức cần nhớ: phương trình ( )f x m= có nghiệm x D ∈ min ( ) max ( )( )f x m f x x D⇔ ≤ ≤ ∈ Phương pháp : Để giải bài toán tìm tham số sao cho phương trình, hệ phương trình có nghiệm ta làm như sau: 1. biến đổi phương trình về dạng ( ) ( )f x g m= 2. tìm tập xác định D của hàm số ( )y f x= 3. lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f x= trên tập xác định D 4. tìm min ( ),max ( )( )f x f x x D∈ 5. vận dụng kiến thức suy ra giá trị m cần tìm. Lưu ý: trong trường hợp phương trình, hệ phương trình chứa các biểu thức phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ : + đặt ( )t x ϕ = với ( )x ϕ là hàm số thích hợp có trong ( )f x + từ điều kiện ràng buộc của x D∈ tìm điều kiện của t K∈ + ta đưa phương trình về dạng ( ) ( )f x h m= + lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f x= trên tập xác định K + từ bảng biến thiên suy ra kết luận của bài toán Ví dụ 1 :(B-2006) tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt: 2 2 2 1x mx x+ + = + Giải : Điều kiện : ( ) 2 2 2 1 0 2 2 1 x x mx x + ≥ ⇔ + + = + 2 1 2 3 4 1(*) x mx x x − ≥ ⇔ = + − Xét phương trình (*): ta có 0 0. 1x x + = ⇒ = − ,phương trình này vô nghiệm. Nghĩa là không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm 0x = . + 1 0 3 4x x m x ≠ ⇒ + − = . ta xét hàm số: 1 ( ) 3 4f x x x = + − trên tập { } 1 ; \ 0 2 − +∞ ÷ Ta có : { } 2 1 1 '( ) 3 0 ; \ 0 2 f x x x = + > ∀ ∈ − +∞ ÷ , Suy ra hàm số 1 ( ) 3 4f x x x = + − đồng biến trên { } 1 ; \ 0 2 − +∞ ÷ 0 0 0 0 1 lim ( ) lim (3 4 ) x x f x x x ± ± → → = + − = ±∞ 1 lim ( ) lim (3 4 ) x x f x x x →+∞ →+∞ = + − = +∞ Ta có bảng biến thiên: x -1/2 0 +∞ f’(x) + + f(x) +∞ +∞ 9 2 −∞ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 1 ( ) 3 4f x x x = + − và đường thẳng y m= trên tập { } 1 ; \ 0 2 − +∞ ÷ Dựa vào bảng biến thiên ta được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 9 2 m ≥ . Ví dụ 2: (A-2008) tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt : 4 4 2 2 2 6 2 6 ( )x x x x m m R+ + − + − = ∈ Giải Điều kiện : 0 6x≤ ≤ Xét hàn số: 4 4 ( ) 2 2 2 6 2 6f t x x x x= + + − + − trên tập [ ] 0;6 Ta có : 1 1 1 1 4 2 4 2 3 1 3 1 4 2 4 2 3 3 4 4 3 3 4 4 4 4 ( ) (2 ) (2 ) 2(6 ) 2(6 ) 1 1 1 1 '( ) (2 ) .2 (2 ) .2 2. (6 ) ( 1) 2. (6 ) .( 1) 2 2 4 2 1 1 1 1 1 1 . . 2 2 2 6 (2 ) (6 ) 1 1 1 1 1 . 2 2 6 (2 ) (6 ) 1 1 1 1 . . 2 2 6 (2 f x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x − − − = + + − + − ⇒ = + + − − + − − = + − − − − ÷ = − + − ÷ ÷ − − = − ÷ − 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 (2 )(6 ) 2 6 2 6 ) (6 ) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 6 2 (6 ) 2 6 (2 ) (6 ) x x x x x x x x x x x x x x x ÷ + + + − + ÷ ÷ ÷ − − − − ÷ = − + + + + ÷ ÷ ÷ − − − − ta có : ( ) 4 4 2 2 4 4 4 1 1 1 1 1 1 0 0;6 2 2 (6 ) 2 6 (2 ) (6 ) x x x x x x x ÷ + + + + > ∀ ∈ ÷ ÷ − − − Cho 4 4 '( ) 0 2 6 2 6 2 f x x x x x x = ⇔ = − ⇔ = − ⇔ = Ta có bảng biến thiên: x 0 2 6 f’(x) + 0 - f(x) 3 2 6+ 4 2 6 2 6+ 4 12 2 3+ Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị ( )y f x= và đường thẳng y m= trên miền [ ] 0;6 Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 4 2 6 2 6 3 2 6m+ ≤ ≤ + . Ví dụ 3 : tìm m để phương trình sau có nghiệm 3 3 sin cosx x m+ = Giải : 3 3 sin cos (sin cos )(1 sin .cos ) x x m x x x x m + = ⇔ + − = Đặt sin cos 2 sin , 2 2 4 t x x x t π = + = + − ≤ ≤ ÷ Khi đó : 2 2 2 sin cos (sin cos ) 1 sin .cos 2 t x x t x x t x x = + ⇒ = + − ⇒ = Phương trình trở thành : 2 3 1 1 3 1 2 2 2 t t m t t m − − − = ⇔ + = ÷ Xét hàm số: 2 1 3 ( ) 2 2 f t t t − = + trên tập 2; 2 − Ta có : 2 2 3 3 '( ) 2 2 3 3 '( ) 0 0 1 2 2 f t t f t t t − = + − = ⇔ + = ⇔ = ± Ta có bảng biến thiên: t 2− -1 1 2 f’(t) - 0 + 0 - f(t) 1 2 2 2 2 -1 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số ( )y f t= và đường thẳng y m= trên 2; 2 − Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra phương trình có nghiệm 1 1m ⇔ − ≤ ≤ BÀI TẬP: 1)giải phương trình : 3 2 3 15 78 141 5 2 9x x x x− + − = − (Olympic 30-4 năm 2011) (kết quả 11 5 4; 4 x x ± = = ) 2)giải phương trình : 3 2 3 2 2 1 27 27 13 2x x x x− = − + − (đề thi HSG Hải Phòng 2010) (kết quả : x=0) 3)giải phương trình : 3 2 3 4 2 (3 2) 3 1x x x x x+ + + = + + (đề thi HSG Quảng Bình 2010) (kết quả x=0;x=1) 4) giải phương trình : 3 3 6 1 8 4 1x x x+ = − − (gợi ý : xét 3 ( 6 1) (2 )f x f x+ = , sau đó đặt x= cos t nếu [ ] 1;1x∈ − ) (kết quả 5 7 cos ; cos ; cos 9 9 9 x x x π π π = = = ) 5) giải phương trình : 2 2 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = (olympic 30-4 ĐBSCL 2000) (kết quả : 1 5 x − = ) 6) giải hệ phương trình : 3 3 8 4 5 5 1 x x y y x y − = − + = Góp ý: ngoài việc đưa 1 phương trình trong hệ về dạng ( ) ( )f x f y= , ta còn phải giới hạn tập xác định D của x và y ( từ phương trình còn lại ) để cho hàm f đơn điệu. (kết quả 4 4 4 4 1 5 1 5 1 5 1 5 ; ; ; 2 2 2 2 − + − + − + − + ÷ ÷ − − ÷ ÷ 7) giải hệ phương trình : 6 5 4 10 2 4 5 8 6 x xy y y x y + = + + + + = (kết quả (1;1);(1;-1) ) 8)tìm m để hệ phương trình: 3 3 2 2 2 2 3 3 2 0 1 3 2 0 x y y x x x y y m − + − − = + − − − + = Có nghiệm thực ( Đề THTT 10/2011) ( gợi ý , đưa về dạng g(v)=m , tìm min g(v) và max g(v) từ đó định giá trị m ) (kết quả : 1 2m − ≤ ≤ ) 9) giải các phương trình sau: . Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình: Tùy theo dạng phương trình, phương trình trong hệ đã cho. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=1. Dạng 3: biến đổi phương trình đã cho về dạng f(u)=f(v) Phương pháp : xét hàm số đại diện f(t) là dạng của hàm