SKKN ƯNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI MỌT SỐ BÀI TOÁN

Những vấn đề cụ thểPhần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thứcPhần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số Phần III:Ứng dụng đạo ham

Mục Lục

Trang Lời mở đầu

A Phần nội dung

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích và nhiệm vụ

3 Tóm tắt lí thuyết

B Những vấn đề cụ thểPhần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thứcPhần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của một hàm số

Phần III:Ứng dụng đạo ham để xét sự tồn tại nghiệm của một phương trình

Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

C Tài liệu tham khảo

Kí hiệu viết tắt: Vd1: ví dụ 1 HD: Hướng dẫn giải BBT: Bảng biến thiên

KSHS: khảo sát hàm số

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

LỜI MỞ ĐẦU

Trong chương trình toán phổ thông hiện nay đặc biệt là chương trình

toán lớp 12 “Đạo hàm ” là một phần kiến thức không thể thiếu đối với

mỗi học sinh Việc nắm vững các kiến thức về đạo hàm như: định nghĩa đạohàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo hàm và ứng dụngcủa đạo hàm vào giải toán giúp cho mỗi học sinh giải quyết bài toán đơngiản và nhanh gọn, qua đó phát triển tư duy của mình

Đối với những học sinh lớp 12 và luyện thi vào các trường đại học

cần nắm vững các kiến thức về “Đạo hàm “ và vận dụng nó vào giải toán.

Những năm gần đây trong mỗi đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông cũng

như thi tuyển sinh vào các trường đại học lượng kiến thức về “ Phép tính đạo hàm và phép tính tích phân “ chiếm khoảng 30% số điểm của tổng điểm toàn bài thi, vì vậy việc nắm vững các “Phép tính đạo hàm và phếp tính tích phân” giúp học sinh đạt được điểm cao hơn

Hiện nay đã có rất nhiều cuốn sách viết về rèn luyện kĩ năng phéptính đạo hàm, ứng dụng hình học và vật lý của đạo hàm, các bài toán thựctế có sử dụng đạo hàm….Chính vì những lý do thực tiễn đó mà người viếtSKKN đã trình bày SKKN của mình như là một phương pháp giải toán sơcấp nhằm góp một phần nhỏ vào công việc giảng dạy và học tập ở trườngphổ thông

Mặc dù đã cố gắng hết sức mình nhưng với kinh nghiệm còn non yếunên không thể tránh được những thiếu sót rất mong sự lượng thứ của quýthầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh Người viết SKKN xintrân trọng lắng nghe và đón nhận những ý kiến đóng góp chân thành củaquý thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh

A NỘI DUNG

Như đã nói ở trên “phép tính đạo hàm và phép tính tích phân” là một

phần kiến thức quan trọng không thể thiếu đối với mỗi học sinh Thôngthường học sinh chỉ học một cách máy móc và dưới áp lực của các kỳ thi nênkhông nên không nắm được một cách hệ thống và thấy được lợi ích to lớn củaphép tính đạo hàm và phép tính tích phân vì vậy người viết SKKN cố gắngtrình bày SKKN của mình sao cho học sinh nắm được cơ bản của phép tínhđạo hàm và hệ thống kiến thức xuyên suốt chương trình đã học

Với mục đích giúp học sinh ôn lại, nắm vững kiến thức một cách hệ thống vàgiúp học sinh hiểu sâu rộng thêm về ứng dụng của đạo hàm đồng thời tránh trìnhbày lại SGK 12 hiện hành nên nội dung của cuốn SKKN được trình bày ngắn gọn và

chỉ làm rõ một số ứng của “Đạo hàm” mà trong SGK hiện hành không đưa ra hoặc

chỉ giới thiệu sơ qua Cuốn SKKN cũng không trình bày chi tiết và rộng rải như mộtcuốn sách chuyên đề Một số kiến thức trong sách giáo khoa không trình bày lại

(Xem như học sinh đã học và phải tự xem lại) Nội dung cuốn SKKN được chia thành

4 phần :

Phần I: Ứng dụng của đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức

Phần II: Ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củamột hàm số

Phần III: Ứng dụng đạo hàm để xét sự tồn tại nghiệm của một phươngtrình

Phần IV: Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Trong mỗi phần đều có bài toán tổng quát, ví dụ minh họa để học sinhnắm được phương pháp, vận dụng vào giải hệ thống các bài tập từ cơ bản đếnnâng cao giúp học sinh tự rèn luyện kĩ năng giải toán và khắc sâu kiến thức

1 Định nghĩa đạo hàm:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 (a;b) Giới hạn, nếucó, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x 0 , khi số gia củabiến số dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm x0

2 Đạo hàm một bên

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x thuộc TXĐ

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

- Đạo hàm bên trái của hàm số y= f(x) tạix0, ký hiệu là f( x 0 ), đượcđịnh nghĩa là:

x

y 0

x lim ) x (

0

xlim)

4 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại x0 và (C) là đồ thị của hàm số

Định Lý 1: Đạo hàm f (x) của hàm sô f(x) tại x0 bằng hệ số góc của tiếptuyến với đồ thị (C) tại M0( x0,f(x0))

Định lý 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số y= f(x) tại điểm

5 Các quy tắc tính đạo hàm:

Định lý 1: Nếu u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm tại x thì tổng và hiệu của

chúng cũng có đạo hàm tại điểm đó và

((uuvv))uuvv

Định lí 2: Nếu u=u(x) và v=v(x) có đạo hàm tại x thì tích của chúng cũng có

đạo hàm tại điểm đó và

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)

1) Nếu f ( x ) > 0 với mọi x (a;b) thì hàm số đồng biến trên khoảng đó 2) Nếu f ( x ) < 0 với mọi x(a;b) thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

(dấu bằng có thể xãy ra tại một số hữu hạn điểm)

7 Đạo hàm của một số hàm số thường gặp:

Ta xem như các hàm số sau đều xét trên TXĐ của chúng và u = u(x)

1 (   , mọi x khác 0

1 (   , mọi u khác 0

16 (sinu)’ = u’.cosu

17 (cosu)’ = - u’.sinu

18 (tgu)’ = (cos u ) 2

' u

, đk: cosu 0

19 (cotgu)’ = (sin u ) 2

' u

8 Đạo hàm cấp cao.

Giả sử y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) Nếu hàm số f’(x) lại có đạo hàm, thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) và KH: y” hay f”(x)

Định nghĩa tương tự cho đạo hàm cấp 3, 4,…

Một cách tổng quát, đạo hàm cấp n (n 2) của hàm số y = f(x), KH: y(n)

hay f(n)(x), được định nghĩa như sau: f(n)(x) = [f(n -1)(x)]’

B NHỮNG VẤN ĐỀ CỤ THỂ

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

ex – 1  x với mọi x  R, dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi x = 1

Bài toán được chứng minh

Bài toán 2: (Bất đẳng thức Bernoulli)

Với mọi số thực x > - 1 và với mọi số tự nhiên n ta luôn có

(1 + x)n 1 + nx,

Dấu đẳng thức xẫy ra khi và chỉ khi n = 0; 1 hoặc x = 0

Chứng minh:

Với n = 0; 1 ta có ngay điều cần chứng minh

G/sử n 2 ta xét hàm số

f(x) +

 f(0) = 0

Dựa vào BBT ta có f(x) 0 với mọi -1 < x < +

suy ra: (1 + x)n 1 + nx, x(1 :) Cũng nhờ bảng biến thiên ta nhậnthấy dấu đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi x = 0

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1 ex > 1 + x, với mọi x > 0

2 ln(1 + x) < x, với mọi x > 0

3 x

2 Chứng minh rằng, với – 1< x <1, và với mọi n nguyên dương, n >1 ta đều có : (1 + x)n + (1 - x)n < 2n

PHẦN II

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MỘT HÀM SỐ

Kiến thức cần nhớ:

1 Định nghĩa:

Cho hàm số y= f(x) xác định trên tập D

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số trên tập D nếu:

Phương pháp: Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng (a,b) rồi dựa vào

đó để kết luận

3 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn:

Bài toán:

Cho y = f(x) liên tục trên [a;b] và chỉ có một số hữu hạn điểm tới hạn trên đoạn đó Hãy tìm GTLN và GTNN của hàm số trên đoạn đó

Phương pháp giải:

1) Tìm các điểm tới hạn x i (i= 1,2 ) của f(x) trên [a;b]

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

2) Tính f(a), f(b), f(x i) ( i= 1,2 )

3) Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên đó cũng là giá trị

lớn nhâùt và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a;b]

1

 => y’= 0  x = -1(loại), x= 1 Bảng biến thiên:

x 0 1 +

y’ - 0 +

y +

 -3

Dựa vào BBT ta suy ra

Gọi x là cạnh của hình vuông bị cắt, điều kiện 0<x< 2a

Thể tích khối hộp là: V(x) = x(a-2x)2 , (0 < x <2a )

Ta phải tìm x )

2

; 0 ( a

 sao cho V(x) có giá trị lớn nhất

Xét hàm số V(x)= x(a-2x)2 ,với x )

2

; 0 ( a



V’(x)= 12x2 –8x +a2=0  x= , 2

6

a x

Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính

R, thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất và có diện tích lớn nhất

Bài giải.

Gọi độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x

độ dài cạnh kia sẽ là 4 R 2  x 2

+) Chu vi của hình chữ nhật sẽ là:

u = 2(x + 2 2

x R

x 1

2 => u’ = 0  4 R 2  x 2 = x  x = R 2

BBT

x 0 1 2Ru’ + 0 -

u 4R 2

4R 4RDựa vào BBT ta thấy max u 

) R 2

; 0

Từ đó suy ra, trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R, thì hình vuông (với cạnh R 2) là hình có chu vi lớn nhất (bằng 4R 2)

HD:

Ta vẫn có thể giải bài toán theo cách khác là

Áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có

2 2 2 2 2

x R 4 x 1 1

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

+) Diện tích của hình chữ nhật sẽ là: S = x 4 R 2  x 2

Ta có

2 2

2

x R 4

x x

x R 4

x 2 R 4

u 2R2

0 0Nhờ vào BBT ta thấy max S 

) R 2

; 0

Từ đó suy ra

diện tích đạt GTLN khi x = R 2, khi đó cạnh thứ hai bằng 4 R 2  x 2 = R 2

Do đó hình có diện tích lớn nhất là hình vuông , cạnh bằng R 2, S = 2R2

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau trên tập tương ứng

2 Tìm GTNN của tổng hai số dương, biết rằng tích của chúng bằng 26

3 Trong tất cả các hình chữ nhật có diện tích bằng 48m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất

4 Tìm chiều cao của hình nón nội tiếp trong hình cầu bán kính R để hình nón này có thể tích lớn nhất

5 Dựng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất biết rằng chu vi của nó không đổi và bằng 16cm

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho hai số thực x, y thay đổi sao cho x2 + y2 = 1 Tìm các GTLN, GTNN của biểu thức

P = x 1  y + y 1  x

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y = sinx + cos 2 xsin x

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm số

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA MỘT PHƯƠNG TRÌNH

Trong khi giải toán ta thường gặp dạng toán như: Chứng minh phươngtrình có nghiệm duy nhất, tìm điều kiện của tham số để phương trình có đúng

n nghiệm thoả một tính chất nào đó… Việc giải bài toán bằng những phươngpháp thông thường đôi khi gặp nhiều khó khăn cho học sinh Nếu ta ứngdụng đạo hàm để giải bài toán thì sẽ thuận lợi và đơn giản hơn nhiều

Ví dụ1:

Giải phương trình: 2x + 3x = 5x (1)

 ln5 3 < 0 , mọi x thuộc R => hàm số nghich biến trên R

Do vậy với mọi x > 1 thì f(x) < f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm  x > 1

x < 1 thì f(x) > f(1) = 1 => phương trình (1) vô nghiệm  x < 1

Từ đó x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

Ví dụ 2:

Cho 3 số dương a, b, c thoả điều kiện a2 + b2 = c2

Chứng minh rằng, phương trình: ax + bx = cx (*) có một nghiệm duy nhất

Chứng minh

Từ điều kiện a2 + b2 = c2, a > 0, b > 0, c > 0 suy ra 0 < a c <1, 0 <b c <1

Phương trình (*) được viết lại: c ax

=> hàm số nghịch biến trên R Do vậy

f(x) > f(2) = 1 với mọi x < 2 => phương trình (*) vô nghiệm x < 2

f(x) < f(2) = 1 vỡi mọi x > 2 => phương trình (*) vô nghiệm x > 2

Vì vậy phương trình (*) có nghiệm duy nhất x = 2 (đpcm)

Ví dụ 3:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

x3 – x2 + 18mx – 2m = 0 (*), có ba nghiệm phân biệt

0 ) 0 ( f 0 '

f 0 m

54 1 m

1 x 3

1 x 3

1 x 3

1 x 3

Mặt khác theo Viet thì : x1+ x2 = 3 2 , x1 x2 = 6m

Để thoả mãn điều kiện f CĐ f CT 0  x x 0

9

2 m

0 

=> không tồn tại giá trị m thoã mán bài toán

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Chứng minh rằng: với n là một số tự nhiên chẵn và a > 3, thì phương trình(n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 = 0 vô nghiệm

HD: - Xét hàm số f(x) = (n + 1)xn + 2 – 3(n + 2)xn + 1 + an + 2 trên R

- Lập BBT từ đó suy ra điều phải chứng minh

2 Giải phương trình: 2x4 + (1 – 2x)4 = 27 1

HD: -Xét hàm số f(x) = 2x4 + (1 – 2x)4 trên R

-Lập BBT suy ra phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất x = 3 1

3 Chứng tỏ rằng với mọi a, b phương trình

(x + a)3 + (x + b)3 – x3 = 0 không thể có ba nghiệm

4 Cho số m > 0, và a, b, c là ba số bất kỳ thoả mãn 0

m

c 1 m

b 2 m

a.x2 + b.x + c = 0, có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;1)

HD: Xét hàm số f(x) =

m

cx 1 m

bx 2 m

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Trong SGK giải tích lớp 12 đã trình bày đầy đủ các bước để khảo sát và vẽ đồ thịcủa bốn hàm số :

b ax

y

' '

c bx ax

y

Vì vậy trong phần này chúng ta chỉ khai thác sâu thêm về một số bài toán có liên quan đến khảo sát hàm số như:

I Giao điểm của hai đường cong

II Biện luận nghiệm của phương trình bằng đồ thị

III Tiếp tuyến của đồ thị

IV Điểm cố định của một họ đường cong

I GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG CONG:

* Thay x0 vào một trong hai hàm số ta có y0

* Tọa độ giao điểm là M(x0,y0)

Lưu ý:

Số giao điểm của (C1) và (C2) chính bằng số nghiệm của phương trình (1)

 Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không cắt nhau

 Nếu phương trình (1) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

  thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 2: (ĐH NGOẠI THƯƠNG)

Cho hàm số y = x4 – (10 + m2 )x2 + 9

Chứng minh rằng với  m 0, (Cm) luôn luôn cắt Ox tại 4 điểm phân biệttrong đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) và 2 điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)

S P

m m

, 0 10 0 9

, 0 36 )

10 (

2

2 2

Ví dụ 3:

Cho hàm số y = x3 + 2x2 + x + 2, có đồ thị (C)

Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị ( C) và đường thẳng d: y = kx + 2

Bài giải

Biện luận theo k số giao điểm của (C) và ( )D : y = kx + 2 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và ( )D :1

 k > 0 và 1k : (C) và ( )D có 3 điểm chung.1

 k = 0  k = 1: 2 điểm chung (vì có một nghiệm kép x = 0)

 k < 0: 1 điểm chung

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho hàm số y = 2 x x1 1 có đồ thị là ( C) Biện luận theo m số giao điểm của ( C) và đường thẳng d: 3x + y – m = 0

2 (d) là đường thẳng đi qua A(0;3) và có hệ số góc là k Biện luận theo k vị trí tương đối của (d) và đường cong (C): y = - x + 3 +11 x

3 Chứng minh rằng đường thẳng (d); x – y – k = 0 luôn cắt đồ thị ( C) của hàm số y =x x2 2 tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau

4 Cho đường cong ( C) : y = - 3 1 x3 + 3x và đường thẳng (a): y = m(x - 3)

a Chứng tỏ đồ thị ( C) luôn cắt đường thẳng (a) tại một điểm cố định

b Tìm m để ( C) cắt (a) tại 3 điểm phân biệt, Gọi A, B, C là 3 giao điểm tìm m để AB vuông góc với AC

BÀI TẬP NÂNG CAO

1 Cho ( C): y = x3 – 3mx + m, với m là tham số

a) Tìm m để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

b) Tìm m để (C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

2 Cho hàm số y = mx 2 ( m1 ) x2

Sáng kiến kinh ngiệm GV: HOÀNG VIỆT NAM

a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm thuộc khoảng (-2;2)b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d: y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua gốc toạ độ

II DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Bài toán:

Dùng đồ thị (C ) của hàm số y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm

của phương trình F(x,m) = 0

Để giải bài toán ta làm theo các bước sau;

 Biến đổi phương trình thành f(x) = g(m) (1)

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng

d: y = g(m) có phương song song với trục Ox

 Dựa vào đồ thị (C ) để kết luận số nghiệm của phương trình

Ví du1ï:

Cho hàm số y = x4 – 2x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C ), hãy biện luận theo tham số m số nghiệm củaphương trình: x4 – 2x2 – m = 0 (*)

Bài giải

a) (Học sinh tự làm )

Ta có đồ thị

y = m