400 câu trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ GIÁ TRỊ VÀ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC ỨNG DỤNG BÀI 0 BẤT KỲ TỪ ĐẾN 180 Định nghĩa a ( 00 �a �1800 ) ta xác định điểm M nửa đường tròn � M ( x0 ; y0 ) đơn vị cho xOM = a giả sử điểm M có tọa độ y Khi ta có định nghĩa: �sin góc a y0, kí hiệu sin a = y0 ; Với góc �cosin góc a x0, kí hiệu cosa = x0 ; y0 ( x0 �0) , �tang góc a x0 kí hiệu y0 ; x0 �cotang góc a x0 ( y0 �0) , y0 tan a = M y0 a x0 -1 cot a = kí hiệu x O x0 y0 Tính chất � Trên hình bên ta có dây cung NM song song với trục Ox xOM = a � xON = 180 - a Ta có yM = yN = y0, xM = - xN = x0 Do y sin a = sin( 1800 - a ) cosa = - cos( 1800 - a ) y0 N tan a = - tan( 1800 - a ) M cot a = - cot( 1800 - a ) x a - x0 x0 O Giá trị lượng giác góc đặc biệt Giá trị a lượng giác 00 300 450 600 900 1800 sina 2 cosa 2 2 - 1 tana cota P 1 3 1 3 P 0 P Trong bảng kí hiệu " P" để giá trị lượng giác không xác định Chú ý Từ giá trị lượng giác góc đặc biệt cho bảng tính chất trên, ta suy giá trị lượng giác số góc đặc biệt khác Chẳng hạn: sin1200 = sin( 1800 - 600 ) = sin600 = cos1350 = cos( 1800 - 450 ) = - cos450 = - Góc hai vectơ a) Định nghĩa r r r uur r Cho hai vectơ a b khác vectơ Từ điểm O ta vẽ OA = a uur r r 0 � OB = b Góc AOB với số đo từ đến 180 gọi góc hai vectơ a r r r r r r r a, b a, b = 900 b Ta kí hiệu góc hai vectơ a b Nếu ta nói r r r r r r a b vng góc với nhau, kí hiệu a ^ b b ^ a r A b r a r r B a b ( ) b) Chú ý Từ định nghĩa ta có r r r r a, b = b, a ( ) O ( ) ( ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 0 Câu Giá trị cos45 + sin45 bao nhiêu? A B C Câu Giá trị tan30 + cot30 bao nhiêu? 1+ A B C D Câu Trong đẳng thức sau đẳng thức đúng? A sin150O = - B cos150O = D tan150O = C O D cot150 = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = cos30 cos60 - sin30 sin60 A P = B P= C P = D P = o o o o Câu Tính giá trị biểu thức P = sin30 cos60 + sin60 cos30 A P = B P = C P = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin45 + cos45 = D P = - O O B sin30 + cos60 = O O O O C sin60 + cos150 = D sin120 + cos30 = Câu Trong đẳng thức sau, đẳng thức sai? O O A sin0 + cos0 = O O O B sin90 + cos90 = sin60O + cos60O = O C sin180 + cos180 =- D Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? O O A cos45 = sin45 +1 O O B cos45 = sin135 O O C cos30 = sin120 O O D sin60 = cos120 � Câu Tam giác ABC vuông A có góc B = 30 Khẳng định sau sai? 1 cosB = sinC = cosC = sin B = 2 A B C D Câu 10 Tam giác ABC có đường cao AH Khẳng định sau đúng? A � = sin BAH � = cosBAH B C � = sin ABC � = sin AHC D Vấn đề HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU Câu 11 Trong đẳng thức sau, đẳng thức đúng? A C sin( 180� - a ) =- cosa sin( 180� - a ) = sin a B D sin( 180� - a ) =- sin a sin( 180� - a ) = cosa Câu 12 Cho a b hai góc khác bù Trong đẳng thức sau đây, đẳng thức sai? A sin a = sin b B cosa = - cosb C tan a =- tan b D cot a = cot b cos15�+ sin150� cos165� Câu 13 Tính giá trị biểu thức P = sin30� A P =- B P = P= C D P = Câu 14 Cho hai góc a b với a + b = 180� Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = C P =- D P = P = sin A.cos( B +C ) + cos A.sin( B +C ) Câu 15 Cho tam giác ABC Tính A P = B P = C P =- D P = P = cos A.cos( B +C ) - sin A.sin( B +C ) Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P = P = P =1 P = A B C D b Câu 17 Cho hai góc nhọn a phụ Hệ thức sau sai? A sin a = - cosb B cosa = sin b C tan a = cot b D cot a = tan b + cos2 20� + sin2 75� + cos2 110� Câu 18 Tính giá trị biểu thức S = sin 15� A S = B S = C S = D S = Câu 19 Cho hai góc a b với a + b = 90� Tính giá trị biểu thức P = sin a cosb + sin b cosa A P = C P =- D P = Câu 20 Cho hai góc a b với a + b = 90� Tính giá trị biểu thức P = cosa cosb - sin b sin a A P = B P = B P = C P =- D P = Vấn đề SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 21 Cho a góc tù Khẳng định sau đúng? A sin a < B cosa > C tan a < D cot a > Câu 22 Cho hai góc nhọn a b a < b Khẳng định sau sai? A cosa < cosb B sin a < sin b C cot a > cot b D tan a + tan b > Câu 23 Khẳng định sau sai? A cos75�> cos50� B sin80�> sin50� C tan45�< tan60� D cos30�= sin60� Câu 24 Khẳng định sau đúng? A sin90�< sin100� B cos95�> cos100� C tan85�< tan125� D cos145�> cos125� Câu 25 Khẳng định sau đúng? A sin90�< sin150� 30� > cos100� C cos90� 15� < sin90� 30� B sin90� D cos150�> cos120� Vấn đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC 2 Câu 26 Chọn hệ thức suy từ hệ thức cos a + sin a = 1? A cos2 a a + sin2 = 2 B cos2 a a + sin2 = 3 � 2a a� 5� cos + sin2 � �= � � � � 5� C D a a a sin = P = 3sin2 + 5cos2 3 ? Câu 27 Cho biết Giá trị 105 107 109 111 P= P= P= P= 25 25 25 25 A B C D cos2 a a + sin2 = 4 6sin a - 7cosa P= 6cos a + 7sin a ? tan a =3 Câu 28 Cho biết Giá trị 5 P= P= P =- P =- 3 3 A B C D cot a + 3tan a P= cosa =- 2cot a + tan a ? Giá trị Câu 29 Cho biết 19 19 25 25 P = P= P= P = 13 13 13 13 A B C D Câu 30 Cho biết cot a = Giá trị P = 2cos a + 5sin a cosa +1 ? 10 100 50 101 P= P= P= P= 26 26 26 26 A B C D 0 Câu 31 Cho biết 3cosa - sin a = , < a < 90 Giá trị tana 4 tan a = tan a = tan a = tan a = 4 A B C D 0 Câu 32 Cho biết 2cosa + 2sin a = , < a < 90 Tính giá trị cot a A cot a = cot a = cot a = B C D sin a + cos a = a sin a cos a Câu 33 Cho biết Tính giá trị A sin a cosa = a C sin a cosa = a2 - cot a = B sin a cosa = 2a sin a cosa = a2 - 11 D cosa + sin a = 2 Giá trị P = tan a + cot a bao Câu 34 Cho biết nhiêu ? 11 P= P= P= P= 4 4 A B C D sin a - cosa = 4 Giá trị P = sin a + cos a bao Câu 35 Cho biết nhiêu ? A 15 P= B P= 17 C 19 P= D 21 P= Vấn đề GÓC GIỮA HAI VECTƠ Câu 36 Cho O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP Góc sau O 120 ? uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uur uuuur uuur MN , NP MO,ON MN ,OP MN , MP A B C D uuur uuur uuu r uur uur uuu r P = cos AB, BC + cos BC,CA + cos CA, AB Câu 37 Cho tam giác ABC Tính ( ) ( ) ( ) ( ( A P= 3 P= B C ) P =- ( Câu 38 Cho tam giác ABC có đường cao AH Tính A 30 ( ) ) ( P =- 3 D uuur uuu r AH , BA ) ) B 60 C 120 D 150 � Câu 39 Tam giác ABC vng A có góc B = 50 Hệ thức sau sai? uuu r uuu r uuu r uuur AB, BC = 1300 BC, AC = 400 A B uuu r uur uuur uur AB, CB = 500 AC, CB = 400 C D uuur uur cos AC,CB Câu 40 Tam giác ABC vuông A có BC = 2AC Tính uuur uur uuur uur 1 cos AC,CB = cos AC,CB = - 2 A B uuur uur uuur uur 3 cos AC,CB = cos AC,CB = 2 C D uuur uuu r uuu r uur uur uuu r AB, BC + BC,CA + CA, AB Câu 41 Cho tam giác ABC Tính tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( o A 180 o B 360 ) ( o C 270 o B 360 ) o o � Câu 42 Cho tam giác ABC với A = 60 Tính tổng o A 120 ) ( ) o C 270 ( D 120 uuur uuu r uuu r uur AB, BC + BC,CA ) ( ) o D 240 o Câu 43 Tam giác ABC có góc A 100 có trực tâm H Tính tổng uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur HA, HB + HB, HC + HC, HA ( ) ( o A 360 ) ( ) o B 180 Câu 44 Cho hình vng ABCD Tính o C 80 uuur uuu r cos AC, BA ( ) o D 160 uuur uuu r cos AC, BA = A uuur uuu r cos AC, BA = C ( ) ( ) B D Câu 45 Cho hình vng uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuur uuu r cos AC, BA =- ( ) uuu r uuur uuur uur uuu r uuur AB, DC ) +( AD,CB) +( CO, DC ) ABCD tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr ab số, kí hiệu , xác định công thức sau: rr r r r r ab = a b cos a, b ( ) Trường hợp rr ab= Chú ý r �Với a r r �Khi a = b r r r hai vectơ a b vectơ ta quy ước r r rr r r b khác vectơ ta có ab = � a ^ b uu r rr a aa tích vơ hướng kí hiệu số gọi bình r phương vơ hướng vectơ a Ta có: r2 r r r2 a = a a cos00 = a Các tính chất tích vơ hướng Người ta chứng minh tính chất sau tích vơ hướng: r r r Với ba vectơ a, b, c số k ta có: rr rr = ba (tính chất giao hốn); �ab r r r rr rr a b+ c = ab + a.c � (tính chất phân phối); r r rr r r ka b = k ab = a kb � ; r2 r2 r �a �0, a = � a = ( ) ( ) ( ) ( ) Nhận xét Từ tính chất tích vơ hướng hai vectơ ta suy ra: r r r2 r r r2 a + b = a + 2ab +b ; �( ) r r r2 rr r2 2 a- b) = a - 2ab +b ; �( r r r r r r a + b)( a- b) = a - b ( � Biểu thức tọa độ tích vơ hướng rr Trên mặt phẳng tọa độ rr là: tích vơ hướng ab Nhận xét Hai vectơ ( O;i; j ) , cho hai vectơ r ur a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) Khi rr ab = ab 1 + a2b2 r r a = ( a1;a2 ) , b = ( b1;b2 ) r khác vectơ vuông góc với ab 1 + a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo công thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a = ( a1;a2 ) rr r r ab ab 1 + a2b2 cos a;b = r r = a1 + a22 b12 + b22 a b ( ) c) Khoảng cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ hướng khác vectơ Mệnh đề sau đúng? rr r r ab = a b rr r r rr rr ab =- a b - A B ab= C ab= D r r r r r Câu Cho hai vectơ a b khác Xác định góc a hai vectơ a b rr r r ab =- a b A a = 180 B a = 0 C a = 90 D a = 45 r r r r rr a = 3, b = Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn a.b = - Xác định góc r r a hai vectơ a b A a = 30 B a = 45 0 C a = 60 D a = 120 r r r r 2r r u = a- 3b r a = b =1 Câu Cho hai vectơ a b thỏa mãn hai vectơ r r r r r v = a+ b vng góc với Xác định góc a hai vectơ a b A a = 90 0 B a = 180 C a = 60 D a = 45 r r Câu Cho hai vectơ a b Đẳng thức sau sai? r r 1�r r r r � r r 1�r r r r � � a.b = � a +b - a - b � a b = � a + b - a- b � � � � � � � � � � 2 A B r r 1�r r r r � r r 1�r r r r � � a.b = � a +b - a- b � a b = � a +b - a- b � � � � � � � � � � C D uuu r uuur Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.AC uuu r uuur uuu r uuur a2 a2 uuu r uuur AB.AC = AB.AC = 2 A AB.AC = 2a B C uuu r uuur a2 AB.AC = D uuu r uuu r Câu Cho tam giác ABC có cạnh a Tính tích vơ hướng AB.BC uuu r uuu r a2 uuu r uuu r uuu r uuu r a2 a2 uuu r uuu r AB BC = AB BC = AB BC = 2 2 A AB.BC = a B C D Câu Gọi G trọng tâm tam giác ABC có cạnh a Mệnh đề sau sai? uuu r uuu r a2 uuur uuur uuur uur uuu r uuur 1 GA.GB = AB.AC = a AC.CB = - a2 AB.AG = a2 2 A B C D Câu Cho tam giác ABC có cạnh a chiều cao AH Mệnh đề sau sai? uuu r uuur a2 uuur uur a2 uuu r uuur uuur uuu r AB.AC = AC.CB = AB, HA = 1500 2 A AH BC = B C D uuu r uuu r Câu 10 Cho tam giác ABC vng cân A có AB = AC = a Tính AB.BC uuu r uuu r uuur uuu r a2 a2 uuu r uuu r u u u r u u u r AB BC = AB BC = 2 2 A AB.BC =- a B AB.BC = a C D uuu r uuu r Câu 11 Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Tính BA.BC uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 2 A BA.BC = b B BA.BC = c C BA.BC = b + c D BA.BC = b - c ( ) uur uur Câu 12 Cho tam giác ABC có AB = cm, BC = cm, CA = cm Tính CA.CB uur uur uur uur uur uur uur uur A CA.CB = 13 B CA.CB = 15 C CA.CB = 17 D CA.CB = 19 uuur uuur uuu r P = AB + AC BC BC = a , CA = b , AB = c Câu 13 Cho tam giác ABC có Tính ( ) c2 + b2 + a2 c2 + b2 - a2 P= 2 A P = b - c B C D Câu 14 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M trung điểm cạnh uuuu r uuu r BC Tính AM BC P= c2 + b2 uuuu r uuu r b2 - c2 AM BC = A uuuu r uuu r c2 + b2 + a2 AM BC = C P= uuuu r uuu r c2 + b2 AM BC = B uuuu r uuu r c2 + b2 - a2 AM BC = D Câu 15 Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng Điều kiện cần đủ để tích uur uur uuu r OA +OB AB = vô hướng OAB A tam giác B tam giác OAB cân O C tam giác OAB vuông O D tam giác OAB vuông cân O ( ) Câu 16 Cho M , N , P , Q bốn điểm tùy ý Trong hệ thức sau, hệ thức sai? uuuur uuur uuur uuuu r uuur uuuur uuu r uuur uuuu r uuuu r uuur MN NP + PQ = MN NP + MN PQ A B MP.MN = - MN MP uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuur uuuu r MN PQ MN + PQ = MN - PQ2 C MN PQ = PQ.MN D uuu r uuur Câu 17 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB.AC uuu r uuur uuu r uuur 2 uuu r uuur uuu r uuur AB.AC = a AB.AC = a2 2 2 A AB.AC = a B AB.AC = a C D uuur uuu r uur P = AC CD +CA Câu 18 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính ( ) ( )( ) ( ) 2 C P =- 3a D P = 2a uuur uuur uuu r uuu r uuu r P = AB + AC BC + BD + BA Câu 19 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính A P = - B P = 3a ( )( ) 2 B P = 2a C P = a D P =- 2a Câu 20 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua C uuu r uuu r Tính AE AB uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 2 2 A AE AB = 2a B AE AB = 3a C AE AB = 5a D AE.AB = 5a Câu 21 Cho hình vng ABCD cạnh Điểm M nằm đoạn thẳng A P = 2a 10 uur �AI = ( x + 4; y- 1) � � uur � � BI = ( x - 2; y- 4) � � uur � � CI = ( x - 2; y + 2) � I ( x; y) Câu 71 Gọi Ta có � I Do tâm đường tròn ngoại �IA2 = IB2 IA = IB = IC � � � 2 � �IB = IC tiếp tam giác ABC nên � 2 2 2 � � ( x + 4) +( y- 1) = ( x - 2) +( y- 4) � ( x + 4) = ( x - 2) + � � �x = � �� � � � � 2 2 � � � ( x - 2) +( y- 4) = ( x - 2) +( y + 2) � �y = � � �y = Chọn B uuur uuu r �AH = ( a + 3;b) & BC = ( - 1;6) � � �uuur uuur � BH = a 3; b & AC = 5;6 � ( ) ( ) Câu 72 Ta có � Từ giả thiết, ta có: uuur uuu r a= �AH BC = � � ( a + 3) ( - 1) + b.6 = � � � � =+��‫�۾‬ a 6b �uuur uuur � � � � � a- 3) 5+ b.6 = ( b= BH AC = � � � � � Chọn C uuur �AA ' = ( x - 4; y- 3) � � uuu r � � BC = ( - 5;- 15) � � uuur � � BA ' = ( x - 2; y- 7) � A '( x; y) Câu 73 Gọi Ta có � uuur uuu r �AA '.BC = ( 1) AA ' ^ BC � � � � � �uuur uuu r � � �B, A ', C thang hang � �BA ' = kBC ( 2) � Từ giả thiết, ta có � ( 1) � - 5( x - 4) - 15( y- 3) = � x + 3y = 13 x - y- = � 3x - y = - ( 2) � - - 15 � � x + 3y = 13 � x =1 � � ��‫۾‬ A '( 1;4) � � � � x y =1 �y = Giải hệ � Chọn C uuur �AA ' = ( x - 2; y- 4) � � uuu r � � BC = ( 6;- 2) � � uuur � � BA ' = ( x + 3; y- 1) � A '( x; y) Câu 74 Gọi Ta có � Vì A ' chân đường cao vẽ từ đỉnh A tam giác ABC nên � AA ' ^ BC � � � B ng hà ng � , C, A ' thẳ 44 � � uuur uuu r � � ( x - 2) 6+( y- 4) ( - 2) = � x= � �AA '.BC = � � 6x - 2y = � � � � � �� � � � �uuur �x + y- � � uuu r � � � - 2x - 6y = � = BA ' = kBC � � � � � y=� � � - �6 � � � � D uuu r uuu r � = 900 � ABC Câu 75 Dễ dàng kiểm tra BA.BC = �� Gọi I tâm hình vng ABCD Suy I Chọn trung điểm AC �� � I ( 4;- 1) D ( x; y) I , trung điểm �x + � =4 � �x = �2 BD �� �� �� � D ( 5;- 8) � � � �y = - y+ � � =- � � �2 Chọn A uuur � BA = ( 1;3) � � �uuur � BC = ( x - 1; y- 1) C ( x; y) � � Câu 76 Gọi Ta có uuu r uuu r �BA.BC = � 1.( x - 1) + 3.( y- 1) = � �� �� �2 2 � �BA = BC + 32 = ( x - 1) +( y- 1) � � � Tam giác ABC vuông cân B �y = �x = 4- 3y �y = �� �� hay � � � � � � 10y - 20y = � � �x = �x = - Chọn C uuu r �AB = ( 2;1) � � �uuu r � BC = ( x - 3; y) = x ; y � ( ) C � Câu 77 Gọi Ta có uuu r uuu r �AB ^ BC � � �AB = BC ABCD Vì hình vng nên ta có � � �y = 2( 3- x) 2( x - 3) +1.y = � �x = � �y = 2( 3- x) x=2 � � �� � � �� � � � � 2 � � � � � y=- x + y = 5 x = x = ( ) ( ) ( ) � y= � � � � � � � � Gọi Với C1 ( 4;- 2) ta tính đỉnh D1 ( 2;- 3) : thỏa mãn C ( 2;2) D ( 0;1) Với ta tính đỉnh : không thỏa mãn Chọn B uuu r � AB = ( - 2;1) � uuur uuur � �AB = DC uuu r � � �BC = ( - 1;- 4) �� � �uuur uuu �� � ABCD � r � � uuur � � �AB.BC = - �0 � �DC = ( - 2;1) Câu 78 Ta có � hình hình hành Chọn D 45 EA OA = = EB OB Câu 79 Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có uuu r r uuu EA = EB ( *) Vì E nằm hai điểm A, B nên uuu r � EA = ( 1- x;3- y) � � �uuu r � EB = x ;2 y E ( x; y) � ( ) Gọi Ta có � � � 1- x = ( 4- x) �x =- 2+ � � � � �� � � � y = 4- � � � � 3- y = ( 2- y) ( *) , suy � � Từ Chọn D Câu 80 Để tứ giác ABCD hình thang cân, ta cần có cặp cạnh đối song song không cặp cạnh lại có độ dài Gọi D ( x; y)  Trường hợp 1: uuu r uuu r � AB P CD � � CD = kAB � � �AB �CD (với k �- ) �x = - 2k � ( x - 0; y - 7) = ( - 2k;2k) � � � � �y = 2k + ( 1) uuur � � AD = ( x - 2; y) � AD = ( x - 2) + y2 � �� � AD = BC � ( x - 2) + y2 = 25 �uuu r � � BC = ( 0;5) � BC = ( 2) Ta có � Từ ( 1) ( 2) , ta có 2k 2) ( ��‫=۾‬++-( 2k 7)  Trường hợp 2: � AD P BC � � � �AD �BC D ( 7;0) D ( 2;9) Vậy BAØI 25 � k =- 1( loa� i) � � � k =� � Làm tương tự ta D ( 7;0) D = ( 2;9) Chọn B CÁC HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC �= cos A AB2 + AC - BC 52 + 82 - 72 = = 2AB.AC 2.5.8 Câu Theo định lí hàm cosin, ta có � Do đó, A = 60� Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có � = 22 +12 - 2.2.1.cos60�= � BC = BC = AB2 + AC - 2AB.AC.cos A Chọn D Câu 46 Gọi M, N trung điểm AB, BC �� � MN đường trung bình D ABC �� � MN = AC Mà MN = , suy AC = Theo định lí hàm cosin, ta có � AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cos ACB � 92 = 62 + BC - 2.6.BC.cos60� � BC = 3+ Chọn A Câu Theo định lí hàm cosin, ta có �� AB2 = AC + BC - 2.AC.BC.cosC � BC = ( 2) = ( 3) + BC - 3.BC.cos45� 6+ 2 Chọn B AB AC AC = � = � AC = � � sin45� sin60� sinC sin B Câu Theo định lí hàm sin, ta có Chọn A Câu � � Do ABCD hình thoi, có BAD = 60�� ABC = 120� Theo định lí hàm cosin, ta có � AC = AB2 + BC - 2.AB.BC.cos ABC = 12 +12 - 2.1.1.cos120�= � AC = Chọn A Câu ( ) 2 AB2 + BC - AC + - cosB = = 2.AB.BC 2.4.6 Theo định lí hàm cosin, ta có : MC = 2MB �� � BM = BC = Do = Theo định lí hàm cosin, ta có � AM = AB2 + BM - 2.AB.BM cosB = 42 + 22 - 2.4.2 = 12 � AM = Chọn C Câu Theo định lí hàm cosin, ta có: 2 � = AB + AC - BC = - cosBAC 2.AB.AC � = 120�� BAD � = 60� � BAC 47 AB2 + BC - AC 2 � = 45� = � ABC 2.AB.BC � � = 45�� ADB � = 75� , ABD Trong D ABD có BAD = 60� Chọn C Câu Do tam giác ABC vuông A , có tỉ lệ cạnh góc vng AB : AC 3: nên AB cạnh nhỏ tam giác � = cos ABC AB = � AC = AB Ta có AC D ABC AH Trong có đường cao 1 1 1 � = + = + � 2= + � AB = 40 2 2 � � AH AB AC AB 32 AB 16AB2 2� � AB � � � � � � Chọn B Câu 10 � � = EPF � = FPQ � = MPQ = 30�� MPF � = EPQ � = 60� MPE Ta có Theo định lí hàm cosin, ta có � ME = AM + AE - 2.AM AE cosMAE = q2 + x2 - 2qx.cos30�= q2 + x2 - qx � MF = AM + AF - 2AM AF cosMAF = q2 + y2 - 2qy.cos60�= q2 + y2 - qy MQ2 = MP + PQ2 = q2 + m2 Chọn C Câu 11 Theo định lí hàm sin, ta có: OB AB AB � � � = � OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB � � � sin30 � sinOAB sin AOB sin AOB OB Do đó, độ dài lớn � = � OAB � = 90� sinOAB Khi OB = Chọn D Câu 12 Theo định lí hàm sin, ta có OB AB AB � � � = � OB = sinOAB = sinOAB = 2sinOAB � � � sin30 � sinOAB sin AOB sin AOB Do đó, độ dài OB lớn � = � OAB � = 90� sinOAB Khi OB = 2 2 Tam giác OAB vuông A � OA = OB - AB = - = Chọn B 48 Câu 13 Theo định lí hàm cosin, ta có Mà � = cosBAC AB2 + AC - BC c2 + b2 - a2 = 2.AB.AC 2bc b( b2 - a2 ) = c( a2 - c2 ) � b3 - a2b = a2c- c3 � - a2 ( b+ c) +( b3 + c3 ) = � ( b+ c) ( b2 + c2 - a2 - bc) = � b2 + c2 - a2 - bc = 2 (do b> 0, c > ) � b + c - a = bc Khi đó, Câu 14 � = cosBAC b2 + c2 - a2 � = � BAC = 60� 2bc Chọn C 2 2 Ta có BC = AB + AC = b + c � Do AD phân giác BAC AB c c c b2 + c2 DC = DC = BC = AC b b+ c b+ c Theo định lí hàm cosin, ta có � BD = � � BD = AB2 + AD - 2.AB.AD.cos ABD c2 ( b2 + c2 ) ( b+ c) = c2 + AD - 2c.AD.cos45� � c2 ( b2 + c2 ) � � �2 2bc3 � � � AD - c 2.AD +� c = � AD c AD + =0 � 2 � � � � � ( b+ c) � ( b+ c) � 2bc 2bc la= b+ c hay b+ c Chọn A Câu 15 Sau tàu B 40 hải lí, tàu C 30 hải lí Vậy tam � = 600 AB = 40, AC = 30 A giác ABC có Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có � AD = a2 = b2 + c2 - 2bccos A = 302 + 402 - 2.30.40.cos600 = 900+1600- 1200 = 1300 Vậy BC = 1300 �36 (hải lí) Sau giờ, hai tàu cách khoảng 36 hải lí Chọn B AC AB = ABC , Câu 16 Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có sin B sinC Vì sinC = sin( a + b) AC = nên AB.sin b 40.sin700 = �41,47 m sin( a + b) sin1150 Câu 17 Trong tam giác AHB , ta có 0 � � Suy ABC = 90 - ABH = 78 41' � = tan ABH Chọn C AH � �11019' = = �� � ABH BH 20 49 Suy ( ) � = 1800 - BAC � + ABC � ACB = 56019' Áp dụng định lý sin tam giác ABC , ta � AB CB AB.sin BAC = �� �CB = �17m � � � sin ACB sin BAC sin ACB Chọn B AD AB = Câu 18 Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có sin b sin D 0 � � Ta có a = D + b nên D = a - b = 63 - 48 = 15 AD = Do AB.sin b 24.sin480 = �68,91 m sin( a - b) sin150 Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sin a �61,4 m Chọn D � Câu 19 Từ hình vẽ, suy BAC = 10 ( ) � = 1800 - BAD � + ADB � ABD = 1800 - ( 500 + 900 ) = 400 Áp dụng định lí sin tam giác ABC , ta có � BC AC BC.sin ABC 5.sin400 = �� � AC = = �18,5 m � � � sin100 sin BAC sin ABC sin BAC ADC , Trong tam giác vuông CD � � sinCAD = �� �CD = AC.sinCAD = 11,9 m AC Vậy CH = CD + DH = 11,9+ = 18,9 m Chọn B OAB Câu 20 Tam giác vuông � = AB � AB = tan600.OB = 60 3m tan AOB OB Vậy chiếu cao tháp ( ta B, có có ) h = AB +OC = 60 +1 m Chọn C � � = 105030� CAB = 600, ABC Câu 21 Từ giả thiết, ta suy tam giác ABC có c= 70 Khi ( ) �+B � +C � = 1800 � C � = 1800 - A �+ B � = 1800 - 165030� A = 14030� b c b 70 = = 0 Theo định lí sin, ta có sin B sinC hay sin105 30� sin14 30� AC = b = 70.sin105030� �269,4 m sin14030� Do Gọi CH khoảng cách từ C đến mặt đất Tam giác vuông ACH có cạnh AC 269,4 CH = = = 134,7 m CH đối diện với góc 30 nên 2 50 Vậy núi cao khoảng 135 m Chọn A Câu 22 Áp dụng công thức đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 a2 ta được: AC + AB2 BC 82 + 62 102 = = 25 4 � ma = Chọn D Câu 23 AC a AC � AM = = M trung điểm 2 ma2 = Tam giác D BAM vuông A � BM = AB2 + AM = a2 + a2 a = Chọn D Câu 24 Áp dụng hệ thức đường trung tuyến ma2 = b2 + c2 a2 ta được: AC + AB2 BC 122 + 92 152 225 = = 4 15 � ma = Chọn A ma2 = Câu 25 Ta có: D điểm đối xứng B qua C � C trung điểm BD � AC trung tuyến tam giác D DAB BD = 2BC = 2AC = 15 Theo hệ thức trung tuyến ta có: AC = AB2 + AD BD BD � AD = 2AC + - AB2 2 � 15� 152 � � + � � � - = 144 � AD = 12 �2 � � AD = � Chọn C Câu 26 BC � BM = = BC M Ta có: trung điểm � = cos AMB AM + BM - AB2 2AM BM Trong tam giác ABM ta có: � + BM - AB2 = � AM - 2AM BM cos AMB � AM = 13 > (thoảmã n) � 20 13 � AM AM + = � � 13 � 13 AM = < (loaïi) � � 13 51 � AM = 13 � � Ta có: AMB AMC hai góc kề bù � = - cos AMB � =� cos AMC 13 26 Trong tam giác D AMC ta có: � AC = AM +CM - 2AM CM cosAMC � 13� � � � = 13+16- 13.4.� = 49 � AC = � � � 26 � � � Chọn D Câu 27* 0 � � � � Ta có: BGC BGN hai góc kề bù mà BGC = 120 � BGN = 120 G trọng tâm tam giác D ABC � � BG = BM = � � �� � � � GN = CN = � � � Trong tam giác D BGN ta có: � BN = GN + BG - 2GN BG.cosBGN � BN = 9+16- 2.3.4 = 13 � BN = 13 N trung điểm AB � AB = 2BN = 13 Chọn D � b2 + c2 a2 � ma2 = = 81 � � � � a2 = 292 � � 2 � � a +c b � � � mb2 = = 144 � � b2 = 208 a = 73 � � � � � � � � � � c = 100 � � b = 13 � � � a2 + b2 c2 � � � � m = = 225 c � � c = 10 � � � Câu 28** Ta có: � cos A = Ta có: b2 + c2 - a2 208+100- 292 = = 2bc 2.4 13.10 13 �1 � 18 13 � sin A = 1- cos A = 1- � � = � � � � 65 � 13� Chọn C 1 18 13 D ABC : SD ABC = bcsin A = 13.10 = 72 2 65 Diện tích tam giác Câu 29* Hệ thức trung tuyến xuất phát từ đỉnh b2 + c2 a2 ma2 = 52 A tam giác: 2a2 a2 3a2 a = � ma = b + c = a � 4 Chọn A Mà: m BO = BD = O AC BD 2 Câu 30* Gọi giao điểm Ta có: BO trung tuyến tam giác D ABC 2 ma2 = BA2 + BC AC m2 a2 + b2 n2 � = � m2 + n2 = 2( a2 + b2 ) 4 Chọn B Câu 31** Gọi G trọng tâm tam giác D ABC � BO2 = Ta có: AM = 2( b2 + c2 ) a2 AC + AB2 BC b2 + c2 a2 � AG = AM = = 9 4 2 BA2 + BC AC c2 + a2 b2 � GN = BN = c + a - b = 18 36 4 Trong tam giác D AGN ta có: BN = � = cos AGN 2 AG +GN - AN = 2.AG.GN 2( b2 + c2 ) 2( b2 + c2 ) - a2 c2 + a2 b2 b2 + 18 36 2( b2 + c2 ) - a2 c2 + a2 b2 18 36 a2 c2 + a2 b2 b2 + 10c2 - 2( a2 + b2 ) 9 18 36 = = =0 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 2( b2 + c2 ) a2 c2 + a2 b2 36.2 9 18 36 9 18 36 � � AGN = 90 Chọn D � b2 + c2 a2 � ma = � � � � 2 � � a +c b mb = � � � � 2 � a + b c � � m = c � � Câu 32** Ta có: � - � � a2 + c2 b2 a2 + b2 c2 b2 + c2 a2 � � � � = + � 2 � � 4� 4 � � m = m + m a b c Mà: � 10b2 +10c2 - 5a2 = 2a2 + 2c2 - b2 + 2a2 + 2b2 - c2 � b2 + c2 = a2 � tam giác D ABC vuông Chọn C 53 � b2 + c2 a2 � ma = � � � � 2 � a + c b2 � mb2 = � � � � 2 � a + b c2 � 2 2 2 � mc2 = � � � ma + mb + mc = ( a + b + c ) � Câu 33** Ta có: 4 GA2 + GB2 + GC = ( ma2 + mb2 + mc2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) = ( a2 + b2 + c2 ) 9 Chọn D BC BC 10 = 2R � R = = = 10 � � 2.sin30 2.sin A Câu 34 Áp dụng định lí sin, ta có sin BAC Chọn B 2 � Câu 35 Áp dụng định lí Cosin, ta có BC = AB + AC - 2AB.AC.cosBAC = 32 + 62 - 2.3.6.cos600 = 27 � BC = 27 � BC + AB2 = AC AC R= = B , ABC Suy tam giác vuông bán kính Chọn A AB + BC +CA p= = 24 Câu 36 Đặt Áp dụng công thức Hê – rơng, ta có SD ABC = p( p- AB) ( p- BC ) ( p- CA) = 24.( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 cm2 SD ABC = AB.BC.CA AB.BC.CA 21.17.10 85 �R= = = cm 4R 4.SD ABC 4.84 Vậy bán kính cần tìm Chọn C Câu 37 Xét tam giác ABC cạnh a, gọi M trung điểm BC 1 a2 SD ABC = AM BC = AB2 - BM BC = 2 Ta có AM ^ BC suy SD ABC = AB.BC.CA AB.BC.CA �R= = 4R 4.SD ABC Vậy bán kính cần tính Chọn C a3 a = AB.AC = AH Câu 38 Tam giác ABC vng A, có đường cao AH � AB 3 = � AB = AC ( *) , AC 4 Mặt khác vào ta � 12� � AC = � � � �� AC = � �5 � AB = = � BC = AB2 + AC = 5 Suy BC R= = cm Vậy bán kính cần tìm 54 a ( *) Câu 39 Vì AD = 3 D trung điểm BC � AD = AB2 + AC BC = 27 � Tam giác ABD có AB = BD = DA = 3 � tam giác ABD 3 AB = 3 = 3 Nên có bán kính đường tròn ngoại tiếp Chọn B � BC � � sinCBB = � B� C = a.sin a � � B , BB C BC Câu 40** Xét tam giác vuông có + B� C = AC � AB� = b- a.sin a BB� = a2.cos2 a Mà AB� R= 2 2 , có AB = BB�+ AB�= ( b- a.sin a ) + a cos a Tam giác ABB�vuông B� = b2 - 2ab.sin a + a2 sin2 a + a2 cos2 a = a2 + b2 - 2absin a Bán kính đường tròn ngoại tiếp cần tính AB a2 + b2 - 2absin a = 2R � R = � 2cosa sin ACB � = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Chọn B Câu 41 Ta có � = 1800 - BAC � + ACB � � ABC = 75�= ACB Câu 42 Ta có ABC AB = AC = A Suy tam giác cân nên ( ) � = SD ABC = AB.AC sin BAC ABC Diện tích tam giác Chọn C 21+17+10 p= = 24 Câu 43 Ta có S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 Do Chọn D Câu 44 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 27 �� � BC = 3 � = 1.3.6.sin600 = SD ABC = AB.AC.sin A 2 Ta có 2S SDABC = BC.ha �� � = = BC Lại có Chọn C Câu 45 Gọi H chân đường cao xuất phát từ đỉnh A Tam giác vng AHC , có Chọn A � = sin ACH AH � = = �� � AH = AC.sin ACH AC 55 Câu 46 Ta có Suy p= 21+17+10 = 24 S = p( p- a) ( p- b) ( p- c) = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 1 168 S = bBB '�� � 84 = 17.BB ' �� � BB ' = 2 17 Chọn C Lại có � � 64 = 1.8.18.sin A � sin A = SD ABC = AB.AC.sin BAC 2 Chọn D Câu 47 Ta có Câu SD ABD 48 Diện tích tam 1 a2 � = aa = AB.AD.sin BAD 2.sin450 = 2 Vậy diện tích hình bình hành ABCD ABD giác SABCD = 2.SD ABD = a2 = a2 Chọn C FC = AC = 15 cm � AC Câu 49* Vì F trung điểm CE G G BF Đường thẳng cắt suy trọng tâm tam giác ABC d( B;( AC ) ) Khi d( G;( AC ) ) = BF AB = � d( G;( AC ) ) = d( B;( AC ) ) = = 10 cm GF 3 Vậy diện tích tam giác GFC là: 1 SD GFC = d( G;( AC ) ) FC = 10.15 = 75 cm2 2 Chọn C ABC Câu 50* Xét tam giác đều, có độ dài cạnh a Theo định lí sin, ta có BC a = 2R � = 2.4 � a = 8.sin600 = � sin60 sin BAC � = sin600 = 12 cm2 SD ABC = AB.AC.sin BAC 2 Vậy diện tích cần tính Chọn C ( Câu 51* Ta có p= ) AB + BC +CA + 3AB = 2 � � � � � 3AB + 3� 3AB - 3� - AB � + AB � � � � � � � � � � � � � � � S= � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 � � � � � � � � Suy S = BC.AH = Lại có � � � � � 3AB + 3� 3AB - 3� - AB � + AB � � � � � � � � � � � � � � � =� � � � � � � � � � � � � � � � � 2 2 � � � � � � � � Từ ta có � AB = � ( 9AB2 - 12)( 12- AB2 ) �� �12 = �� �� 21 � 16 AB = � � Chọn C 56 Câu 52* Diện tích tam ABC ban đầu 1 � = ab.sin ACB � S = AC.BC.sin ACB 2 Khi tăng cạnh BC lên lần cạnh AC lên lần diện tích tam giác � = 1.AC.BC.sin ACB � = 6S S = ( 3AC ) ( 2BC ) sin ACB ABC lúc D ABC 2 Chọn D Câu 53* Diện tích tam giác ABC giác � = 1.ab.sin ACB � SD ABC = AC.BC.sin ACB 2 ab SD ABC � � �1, " C a , b sin ACB Vì khơng đổi nên suy � � Dấu " = " xảy sin ACB = � ACB = 90 ab S= ABC Chọn B Vậy giá trị lớn diện tích tam giác � 5a2 = b2 + c2 (Áp dụng hệ có trước) Câu 54* Vì BM ^ CN �� ABC , Trong tam giác ta 2a a2 = b2 + c2 - 2bc.cos A = 5a2 - 2bccos A �� � bc = cos A có 1 2a2 S = bcsin A = sin A = a2 tan A = 3 2 cos A Khi Chọn A Câu 55 Áp dụng định lý hàm số cơsin, ta có BC = AB2 + AC - 2AB.AC cos A = 49 �� � BC = 1 S = AB.AC.sin A = 5.8 = 10 2 Diện tích S 2S S = pr �� �r = = = p AB + BC +CA Lại có Chọn C 21+ 17 + 10 p= = 24 Câu 56 Ta có Suy S = 24( 24- 21) ( 24- 17) ( 24- 10) = 84 S = pr �� �r = Lại có S 84 = = p 24 Chọn C Câu 57 Diện tích tam giác cạnh a bằng: S= a2 a2 S a S = pr �� �r = = = a p Lại có Chọn C 57 Câu 58 Dùng Pitago tính AC = , suy Diện tích tam giác vuông Chọn C S= p= AB + BC +CA = 12 S S = pr �� � r = = cm AB.AC = 24 p Lại có Câu 59 Từ giả thiết, ta có AC = AB = a BC = a � AB + BC +CA 2+ 2� � � � p= = a� � � � � 2 � � Suy Diện tích tam giác vng S = pr �� �r = Lại có S= a2 AB.AC = 2 S a = p 2+ Chọn C � BC = a Suy Câu 60 Giả sử AC = AB = a �� � AB + BC +CA 2+ 2� � � � p= = a� � � � � 2 � � Ta có Diện tích tam giác vuông S = pr �� �r = Lại có 58 S= R= BC a = 2 a2 AB.AC = 2 S a R = = 1+ p 2+ Vậy r Chọn A ... cách hai điểm Khoảng cách hai điểm A ( xA ; yA ) B( xB ; yB ) tính theo cơng thức: AB = ( xB - xA ) +( yB - yA ) CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ r r r Câu Cho a b hai vectơ. .. a2b2 = Ứng dụng a) Độ dài vectơ r a = ( a1;a2 ) Độ dài vectơ tính theo cơng thức: r a = a12 + a22 b) Góc hai vectơ Từ định nghĩa tích vơ hướng hai vectơ ta suy r r b = ( b1;b2 ) khác ta có r a... tâm O Tính tổng ( A 45 B 405 BAØI 2 C 315 D 225 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa r r r r r Cho hai vectơ a b khác vectơ Tích vơ hướng a b rr ab số, kí hiệu , xác định công thức sau: