OXY BA ĐƯỜNG CÔNIC (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §8 BA ĐƯỜNG CƠNIC I Đường chuẩn elip hypebol Khơng có parabol có đường chuẩn, elip hypebol có đường chuẩn định nghĩa tương tự sau Đường chuẩn elip a Định nghĩa: Cho (E): x2 y2 a + = Khi đường thẳng D : x + = gọi e a b đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F1 ( - c;0) ; Đường thẳng D : x - a =0 e gọi đường chuẩn elip, ứng với tiêu điểm F2 ( c;0) b Tính chất: Với điểm M thuộc (E) ta có MF1 MF2 = = e( e < 1) d( M ;D1 ) d ( M ;D ) Đường chuẩn hypebol a Định nghĩa: Cho (H): D2 : x - x2 y2 a - = đường thẳng D : x + = e a b a = gọi đường chuẩn (H) tương ứng với tiêu điểm e F1 ( - c;0) F2 ( c;0) b Tính chất: Với điểm M thuộc (E) ta có MF1 MF2 = = e( e > 1) d( M ;D1 ) d ( M ;D ) II Định nghĩa ba đường cônic Cho điểm F cố định đường thẳng D cố định không qua F Tập hợp điểm M cho tỉ số MF số dương e cho trước gọi ba đường cônic d( M ;D ) Điểm F gọi tiêu điểm, D gọi đường chuẩn e gọi tâm sai đường cônic Chú ý: Elip đường cơnic có tâm sai e < 1; parabol đường cơnic có tâm sai e = ; hypebol đường cơnic có tâm sai e > B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG Nhận dạng cônic xác định tiêu điểm, đường chuẩn đường cônic http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương pháp giải • Để nhận dạng đường cơnic ta dựa vào tâm sai: đường cơnic có tâm sai e < elip; đường cơnic có tâm sai e = parabol; đường cơnic có tâm sai e > hypebol • Từ phương trình đường cơnic ta xác định dạng từ xác định tiêu điểm đường chuẩn Các ví dụ Ví dụ 1: x2 y2 + = a) Xác định tiêu điểm A F1 ( - 1;0) B F2 ( 1;0) C F2 ( 1;0) , F1 ( - 1;0) D F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0) Xác định đường chuẩn x2 y2 + =1 A x + = x - = B x + = x - = C x + = x - = D x + = x - = x2 y2 = 10 b) Xác định tiêu điểm ( A F1 C F2 ( ) 17;0 ) B F2 ( 17;0 , F1 - 17 ) 17;0 D F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0) 17;0 Xác định đường chuẩn A x + ) ( x2 y2 =1 10 = x - 17 C x + = x - = c) Xác định tiêu điểm y2 = 18x =0 B x + = x - = D x + = x - = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ9 ữ A F ỗ ỗ- ;0ữ ữ ổ ữ ç è2 ø ÷ B F ç ç ;0÷ ữ ữ ỗ ố ứ C F2 ( ) ( 17;0 , F1 - ) D F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0) 17;0 Xác định đường chuẩn y2 = 18x A x + =0 B x + = C x - = D x + = Lời giải: a) Dễ thấy phương trình tắc đường elip ïìï a = Þ c2 = a2 - b2 = - = c = 1, tâm sai í ïï b = ỵ ïìï a2 = Þ Ta có í ïï b = ỵ e= c = a Vậy ta có tiêu điểm F1 ( - 1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình x+ =0 hay x + = tiêu điểm F2 ( 1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình x- =0 hay x - = b) Đây phương trình tắc đường hypebol ìï a2 = ị ùù b2 = 10 ợ Ta có ïí e= c = a 17 ïì ïí a = Þ c2 = a2 + b2 = 17 c = 17 , tâm sai ïï b = 10 ïỵ http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word ( ) Vậy ta có tiêu điểm F1 - x+ 17 =0 hay x + 17 chuẩn có phương trình 17;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình = tiêu điểm F2 x- 17 =0 hay x - ( 17 ) 17;0 tương ứng có đường = c) Đây phương trình tắc parabol Ta có 2p = 18 ị p = ổ ữ ;0ữ Vy tiờu im l F ỗ , ng chun cú phng trỡnh l x + = ỗ ữ ỗ ố2 ứ Vớ d 2: Cho cụnic có tiêu điểm F ( - 1;1) , qua điểm M ( 1;1) đường chuẩn D : 3x + 4y - = Cônic elip, hypebol parabol? A.elip B.hypebol C.parabol D.Đường tròn Lời giải: Ta có MF = 2, d ( M ; D ) = Suy 3+ 4- 32 + 42 = MF = > suy elip d( M ;D )  DẠNG Viết phương trình đường cơnic Phương pháp giải • Dựa vào dạng đường cônic mà giả thiết cho để viết phương trình • Dựa vào định nghĩa ba đường cơnic Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + = điểm F ( 1;0) Viết phương trình đường cơnic nhận F làm tiêu điểm D đường chuẩn trường hợp sau a) Tâm sai e = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A 2x2 + y2 - xy + 10x - 6y + = B x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = C x2 + y2 - xy + 10x - 6y + = D 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = A 3x2 + 3y2 + 2xy - x + y + = B 3x2 + y2 + xy - 10x + 2y + = C x2 + y2 + xy - 10x + 2y + = D 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + = c) Tâm sai e = A 2xy - 4x + 2y + = B 2xy - 4x + 2y - = C 2xy + x + 2y = D 2xy - 4x + 2y = Lời giải: Gọi M ( x;y ) điểm thuộc đường cơnic cần tìm Khi theo định nghĩa ta có MF = e Û MF = ed ( M ; D ) (*) d( M ;D ) Ta có MF = ( 1- x ) a) Tâm sai e = + y2 , d ( M ; D ) = ( * ) Û ( 1- x ) x - y +1 + y2 = x - y +1 Û 2( x2 - 2x + + y2 ) = 3( x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y ) Û 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = ( * ) Û ( 1- x ) x - y +1 + y2 = 2 Û 4( x2 - 2x + + y2 ) = x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y Û 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Tâm sai e = ( * ) Û ( 1- x ) + y2 = x - y +1 Û x2 - 2x + + y2 = x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y Û 2xy - 4x + 2y = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2xy - 4x + 2y = ( ) Ví dụ 2: Cho điểm A 0; hai đường thẳng D : x - = 0, D ' : 3x - y = a) Viết phương trình tắc đường elip có A đỉnh đường chuẩn D A x2 y2 + =1 B x2 y2 + =1 C x2 y2 + =1 D x2 y2 + =1 b) Viết phương trình tắc đường hypebol có D đường chuẩn D ' tiệm cận A x2 y2 =1 36 B x2 y2 =1 360 C x2 y2 =1 40 36 Lời giải: a) Gọi phương trình tắc elip ( x2 y2 + = 1, a > b > a2 b2 ) Vì A 0; đỉnh elip nên b = elip có đường chuẩn D nên a a2 =2Û = Û a2 = 2c (*) e c Ta lại có b2 = a2 - c Þ = a2 - c Þ c = a2 - thay vào (*) ta có a2 = 2( a2 - 3) Û a2 = Vậy phương trình tắc elip cần tìm b) Gọi phương trình tắc elip x2 y2 + = x2 y2 = 1,a > 0,b > a2 b2 D x2 y2 =1 40 360 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Hypebol có đường chuẩn D nên a a2 a2 (1) =2Û =2Û c = e c Hypebol có đường tiệm cận D ' nên b = Û b = 3a (2) a Mặt khác b2 = c2 - a2 (3) Thay (1), (2) vào (3) ta ( 3a ) 2 æ a2 a4 2 ữ =ỗ a 10 a = Û a2 ( 40 - a2 ) = a2 = 40 ữ ỗ ữ ỗ2ứ è Suy b2 = 9a2 = 360 Vậy phương trình tắc hypebol cần tìm x2 y2 = 40 360  DẠNG Sự tương giao gữa đường cônic với đường khác Phương pháp giải Cho hai đường cong f ( x;y ) = a, g( x;y ) = b • Số giao điểm hai đường cong số nghiệm hệ phương trình ïìï f ( x;y ) = a í ïï g( x;y ) = b ỵ ìï f ( x;y ) = a • Tọa độ giao điểm(nếu có) hai đường cong nghiệm hệ ïí ïï g( x;y ) = b ỵ Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 2x - y + m = , elip (E): x2 y2 + = hypebol (H): x2 y2 =1 a) Với giá trị m D cắt (E) hai điểm phân biệt ? A - < m < B - C - 3 < m < 3 D - 3 £ m £ 3 3 Û m2 > Û m Ỵ 9 ổ 2ử ổ ỗ - Ơ ;- ữ ; +Ơ ữẩ ỗ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ 3ø è3 è ÷ ÷ ÷ ø Tương tự từ phương trình D y = mx vào phương trỡnh (H) ta c ổ1 m2 ữ ỗ x2 = ữ ỗ ữ ỗ 9ứ ố4 Suy D ' cắt (H) hai điểm phân biệt m2 > Û m2 < Û m Ỵ ỉ 3ư ç - ; ÷ ÷ ç ÷ ç è 2ø Vậy D D ' cắt (H) hai điểm phân biệt æ 2ử ổ2 3ử mẻ ỗ - ;- ữ ẩỗ ; ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố 3ø è3 2ø ỉ 2ư ỉ2 3ư - ;- ữ ẩỗ ; ữ ữ ữ b Vi m ẻ ỗ ỗ ỗ ữ ữthỡ D v D ' ct (H) ti bn im phõn bit (**) ỗ ỗ è 3ø è3 2ø Dễ dàng tìm giao điểm D (H) ỉ - 6m ỉ 6m - ữ ữ Aỗ ; ; ữ; C ỗ ữv giao im D ' v (H) l ỗ ỗ ữ ố ữ ỗ ỗ 9m2 - 9m2 - ø è 9m2 - 9m2 - ø ỉ - ỉ - 6m ữ 6m ữ Bỗ ; ; Dỗ ; ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ A i xng vi C v B i xng ỗ - 4m2 - 4m2 ứ ố ỗ - 4m2 - 4m2 ø è với D qua gốc toạ độ O Mặt khác D ^ D ' tứ giác ABCD hình thoi http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy SABCD = AC BD = 72( m2 + 1) ( 9m2 - 4) ( - 4m2 ) Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có SABCD = 72( m2 + 1) ( 9m2 - 4) ( - 4m2 ) ³ 144.( m2 + 1) ( 9m - 4) + ( - 4m ) = 144 Dấu xảy 9m2 - = - 4m2 Û m = ±1(thỏa mãn (**)) Vậy m = ±1 thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 8x Đường thẳng D không trùng với trục Ox qua tiêu điểm F (P) cho góc hợp hai tia Fx Ft tia D nằm phía trục hồnh góc a ( a ¹ 90 ) Chứng minh D Cắt (P) hai điểm phân biệt M, N tìm tập hợp trung điểm I đoạn MN a thay đổi Lời giải: ( ) Theo giả thiết ta có F 2; , đường thẳng D có hệ số góc k = tan a ìï y =( x - 2) tan a Suy D : y =( x - 2) tan a Xét hệ phương trình ïí (*) ïï y = 8x ỵ Suy tan a.y - 8y - 16tan a = (**) D ' = 16 + 16tan2 a > phương trình (**) ln có hai nghiệm phân biệt, hệ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều chứng tỏ D Cắt (P) hai điểm phân biệt Gọi tọa độ hai giao điểm M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) ; I ( xI ;yI MN Theo định lý Viét ta có: ) trung điểm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word yM + yN = y + yN > Þ yI = M = tan a tan a Mặt khác từ (*) ta có yM + yN = ( xM + xN - 4) tan a Þ xI = xM + xN = +2 tan2 a ổyI Suy xI = 4.ỗ ữ + hay yI2 = 4xI + ỗ ữ ữ ữ ç4ø è Vậy tập hợp điểm I đường cong có phương trình : y2 = px + p2 (Cũng gọi Parapol)  Dạng Các toán định tính ba đường cơnic Phương pháp giải Dựa vào phương trình tắc ba đường cơnic giả thiết để thiết lập chứng minh số tính chất ba đường cơnic Các ví dụ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E): x2 y2 + = hai điểm M, N thuộc (E) a2 b2 cho OM vng góc với ON Chứng minh a) 1 1 + = 2+ 2 OM ON a b b) Đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định Lời giải: a) + Dễ thấy hai điểm trùng với bốn đỉnh (E) đẳng thức hiển nhiên + Nếu hai điểm không trùng với đỉnh (E): http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Gọi M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) , k ( k ¹ 0) hệ số góc đường thẳng OM hệ số góc ON - Do M , N Ỵ (vì OM vng góc với ON ) k (E) nên xM2 yM2 x2 y2 (1), N + N = (2) + = a2 b2 a2 b2 Đường thẳng OM có phương trình y = kx suy yM = kxM Đường thẳng ON có phương trình y = - 1 x suy yN = - xN k k (3) (4) Thay (3) vào (1) suy ổ xM2 k2xM2 k2 a2b2 ỗ1 ÷ + = Û x + = Û x = ữ M ỗ M ữ ỗ a2 b2 a2k2 + b2 èa2 b2 ø Þ yM2 = k2xM2 = k2a2b2 a2k2 + b2 Do OM = xM2 + yM2 = a2b2 ( k2 + 1) a2k2 + b2 Tương tự thay (4) vào (2) suy x ỉ1 N x a2k2b2 k ữ + = xN2 ỗ + = x = ữ ỗ N ữ ç a b èa2 k2b2 ø a2 + k2b2 N Þ yN2 = a2b2 x = N k2 a2 + k2b2 Do ON = x + y = 2 N N a2b2 ( k2 + 1) a2 + k2b2 ( a2 + b2 ) ( k2 + 1) 1 1 b2 + k2a2 a2 + k2b2 + = 22 + = = + Suy OM ON a b a b ( k + 1) a2b2 ( k2 + 1) a2b2 ( k2 + 1) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Vậy 1 1 + = 2+ 2 OM ON a b b) Gọi H hình chiếu O lên đường thẳng MN OH đường cao tam giác vuông MON Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có 1 1 = + = + Û OH = 2 OH OM ON a b ab a2 + b2 Suy MN tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính Ví dụ Cho hypebol (H): ab a2 + b2 x2 y2 = có tiêu điểm F1, F2 Lấy M điểm a2 b2 (H) Chứng minh tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận số Lời giải: Phương trình hai đường tiệm cận (H) là: D1 : y = b x hay bx - ay = a D2 : y = - b x hay bx + ay = a Giả sử M ( xM ;yM ) theo cơng thức khoảng cách từ điểm tới đường thẳng ta có d( M ;D1 ) = bxM - ayM a2 + b2 ; d( M ;D ) = Suy d ( M ; D ) d ( M ; D ) = bxM - ayM a2 + b2 bxM + ayM a2 + b2 bxM + ayM a2 + b2 = b2xM2 - a2yM2 a2 + b2 Mặt khác M thuộc (H) nên : xM yM - = hay b2xM2 - a2yM2 = a2b2 a2 b Do d ( M ; D ) d ( M ; D ) = a2.b2 số a2 + b2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Ví dụ Cho parabol (P): y2 = 2ax Đường thẳng D qua tiêu điểm F có hệ số góc k ( k ¹ 0) cắt (P) M N Chứng minh tích khoảng cách từ M N đến trục Ox số Lời giải: Tiêu điểm F ( a;0) Vì qua tiêu điểm F có hệ số góc k ¹ nên có phương trình: ỉ D : y = kỗ x- ữ ữ ỗ ữ ỗ 2ứ ố Honh độ giao điểm D (P) nghiệm phng trỡnh: ổ aử k2 ỗ x- ữ = 2ax Û 4k2x2 - 4( 2a + k2a ) x + k2a2 = (*) ữ ỗ ữ ỗ 2ứ è D ' = 4( 2a + k2a ) - 4k4a2 = 16a2 ( + k2 ) > Theo định lý Viet có xM xN = a2 Mặt khác ta có d ( M ;Ox ) = yM ; d ( N ;Ox ) = yN Suy d ( M ;Ox ) d ( N ;Ox ) = yM yN = 4a2 xM xN = a2 ... file word A 2x2 + y2 - xy + 10x - 6y + = B x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = C x2 + y2 - xy + 10x - 6y + = D 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = A 3x2 + 3y2 + 2xy - x + y + = B 3x2 + y2 +. .. y2 + xy - 10x + 2y + = C x2 + y2 + xy - 10x + 2y + = D 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + = c) Tâm sai e = A 2xy - 4x + 2y + = B 2xy - 4x + 2y - = C 2xy + x + 2y = D 2xy - 4x + 2y = Lời giải: Gọi M... - 2x + + y2 ) = 3( x2 + y2 + - 2xy + 2x - 2y ) Û 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = Vậy phương trình đường cơnic cần tìm 2x2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + = b) Tâm sai e = ( * ) Û ( 1- x ) x - y +1 + y2