OXY ĐƯỜNG TRÒN (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §4 ĐƯỜNG TRỊN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình đường tròn • Phương trình đường tròn (C) tâm I ( a; b) , bán kính R : (x- a)2 + (y - b)2 = R2 Dạng khai triển (C) : x2 + y2 - 2ax- 2by + c = với c = a2 + b2 - R2 • Phương trình x2 + y2 - 2ax- 2by + c = với điều kiện a2 + b2 - c> , phương trình đường tròn tâm I ( a; b) bán kính R = a2 + b2 - c Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : (x- a)2 + (y - b)2 = R2 • Tiếp tuyến D (C) điểm M ( x0 ; y0) đường thẳng qua M vng góc với IM nên phương trình : D :(x0 - a)(x- a) + (y0 - a)(y - a) = R2 • D : ax + by + c = tiếp tuyến (C) Û d(I ,D ) = R • Đường tròn (C) : (x- a)2 + (y - b)2 = R2 có hai tiếp tuyến phương với Oy x = a± R Ngoài hai tiếp tuyến tiếp tuyến lại có dạng : y = kx + m B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn Tìm tâm bán kính đường tròn Phương pháp giải 2 Cách 1: + Đưa phương trình dạng: ( C) : x + y - 2ax- 2by + c = (1) + Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 - c Nếu P > (1) phương trình đường tròn ( C) có tâm I ( a; b) bán kính R = a2 + b2 - c Nếu P £ (1) khơng phải phương trình đường tròn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Cách 2: Đưa phương trình dạng: (x- a)2 + (y - b)2 = P (2) Nếu P > (2) phương trình đường tròn có tâm I ( a; b) bán kính R= P Nếu P £ (2) khơng phải phương trình đường tròn Các ví dụ Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn? Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2 + 2x- 4y + = (1) A tâm I ( 2;- 4) bán kính R = B tâm I ( - 2;2) bán kính R = C tâm I ( - 1;2) bán kính R = D Khơng phải đường tròn b) x2 + y2 - 6x + 4y + 13 = (2) A tâm I ( 3;- 2) bán kính R = B tâm I ( 3;- 2) bán kính R = 13 C tâm I ( 6;4) bán kính R = D Khơng phải đường tròn c) 2x2 + 2y2 - 6x- 4y - 1= (3) A Khơng phải đường tròn ỉ3 ;1ữ ữ B Tõm I ỗ ỗ ữbỏn kớnh R = ỗ2 ứ ố 10 C Tõm I ( 3;2) bán kính R = ỉ3 10 ;1ữ ữ D tõm I ỗ ỗ ữbỏn kớnh R = ỗ2 ứ ố d) 2x2 + y2 + 2x- 3y + = (4) A tâm I ( 3;- 2) bán kính R = B tâm I ( 3;- 2) bán kính R = 13 C tâm I ( 6;4) bán kính R = D Khơng phải đường tròn http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Phương trình (1) có dạng x2 + y2 - 2ax- 2by + c = với a=- 1; b= 2; c = Ta có a2 + b2 - c = 1+ 4- < Vậy phương trình (1) khơng phải phương trình đường tròn b) Ta có: a2 + b2 - c = 9+ 4- 13 = Suy phương trình (2) khơng phải phương trình đường tròn c) Ta có: ( 3) Û x + y - 3x- 2y - = Û 2 2 ổ 3ử ỗ x- ữ +( y- 1) = ữ ỗ ữ ỗ è 2ø ỉ3 10 ;1÷ ÷ Vậy phương trình (3) l phng trỡnh ng trũn tõm I ỗ bỏn kớnh R = ỗ ữ ỗ ố2 ứ d) Phương trình (4) khơng phải phương trình đường tròn hệ số x2 y2 khác 2 Ví dụ 2: Cho phương trình  x + y - 2mx- 4( m- 2) y + 6- m= (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường tròn ém> A ê êm< ë B m> C m< D 1< m< b) Nếu (1) phương trình đường tròn tìm toạ độ tâm bán kính theo m A I ( 2m;2( m- 2) ) , R = 5m2 - 15m+ 10 B I ( m;2( m+ 2) ) , R = 5m2 - 15m+ 10 C I ( m;2( m- 2) ) , R = 5m2 - 15m+ D I ( m;2( m- 2) ) , R = 5m2 - 15m+ 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Phương trình (1) phương trình đường tròn a2 + b2 - c> Với a= m; b= 2( m- 2) ; c = 6- m ém> 2 2 Hay m + 4( m- 2) - 6+ m> Û 5m - 15m+ 10> Û ê êm< ë b) Với điều kiện đường tròn có tâm I ( m;2( m- 2) ) bán kính: R = 5m2 - 15m+ 10 Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong (Cm) :  x2 + y2 +( m+ 2) x- ( m+ 4) y + m+ 1= (2) a) Chứng minh (2) phương trình đường tròn b) Tìm tập hợp tâm đường tròn m thay đổi A D : x + y - = B D : 2x + y - 1= C D : x + 2y - 1= D D : x + y - 1= c) Tìm điểm m thay đổi họ đường tròn (Cm) ln qua điểm cố định A M ( - 1;0) M ( 1;2) B M ( - 1;1) M ( - 1;2) C M ( - 1;1) M ( 1;2) D M ( - 1;1) M ( 1;1) Lời giải: 2 ỉm+ 2ư ỉ m+ 4ử ( m+ 2) + ữ ữ ỗ a) Ta cú a + b - c = ỗ >0 ữ +ỗữ - m- 1= ỗ ỗ ỗ ữ ố ÷ ø è ø 2 Suy (2) phương trình đường tròn với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï ïï xI =- m+ 2 b) Đường tròn có tâm I : ïí suy xI + yI - 1= ïï m+ ïï yI = ïỵ Vậy tập hợp tâm đường tròn đường thẳng D : x + y - 1= c) Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm cố định mà họ (Cm) qua 2 Khi ta có: xo + y0 +( m+ 2) x0 - ( m+ 4) y0 + m+ 1= 0, " m Û ( x0 - y0 - 1) m+ xo2 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1= 0, " m ïì x - y0 + 1= Û ïí 02 Û ïï x0 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1= ỵ ì ì ïíï x0 =- ïïí x0 = ïïỵ y0 = ïïỵ y0 = Vậy có hai điểm cố định mà họ (Cm) qua với m M ( - 1;0) M ( 1;2)  DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn Phương pháp giải Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I ( a; b) đường tròn (C) + Tìm bán kính R đường tròn (C) + Viết phương trình (C) theo dạng (x- a)2 + (y - b)2 = R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax- 2by + c = (Hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = ) + Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c + Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường tròn (C) Chú ý: * A Ỵ ( C) Û IA = R * ( C) tiếp xúc với đường thẳng D A Û IA = d( I ;D ) = R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * ( C) tiếp xúc với hai đường thẳng D D Û d( I ;D 1) = d( I ;D ) = R Các ví dụ Ví dụ : Viết phương trình đường tròn trường hợp sau: a) Có tâm I ( 1;- 5) qua O ( 0;0) 2 B ( x- 1) +( y + 5) = 10 2 D ( x- 1) +( y + 5) = 26 A ( x + 1) +( y + 5) = 26 C ( x + 1) +( y - 5) = 26 2 2 2 2 b) Nhận AB làm đường kính với A ( 1;1) , B( 7;5) 2 B ( x- 4) +( y - 3) = 2 D ( x- 4) +( y - 3) = 13 A ( x- 4) +( y - 3) = C ( x + 4) +( y + 3) = 13 c) Đi qua ba điểm: M ( - 2;4) , N ( 5;5) , P ( 6;- 2) A x2 + y2 - 4x- 2y - 10 = B x2 + y2 + 4x + 2y - 20 = C x2 + y2 - 4x + 2y - 10 = D x2 + y2 - 4x- 2y - 20 = Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính OI = 12 + 52 = 26 nên có phương trình 2 ( x- 1) +( y + 5) = 26 b) Gọi I trung điểm đoạn AB suy I ( 4;3) AI = ( 4- 1) 2 +( 3- 1) = 13 Đường tròn cần tìm có đường kính AB suy nhận I ( 4;3) làm tâm 2 bán kính R = AI = 13 nên có phương trình ( x- 4) +( y - 3) = 13 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 - 2ax- 2by + c = Do đường tròn qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình: ïìï 4+ 16+ 4a- 8b+ c = ïï í 25+ 25- 10a- 10b+ c = Û ïï ïỵï 36+ 4- 12a+ 4b+ c = ïìï a= ïï í b= ïï ïỵï c =- 20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 - 4x- 2y - 20 = Nhận xét: Đối với ý c) ta làm theo cách sau Gọi I ( x; y) R tâm bán kính đường tròn cần tìm ìï IM = IN Vì IM = IN = IP Û ïí nên ta có hệ ïï IM = IP ỵ 2 2 ìï ïï ( x + 2) +( y - 4) = ( x- 5) +( y - 5) Û í ïï x + 2 + y - = x- + y + 2 ) ( ) ( ) ( ) ïỵ ( ì ïíï x = ïïỵ y = Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I ( - 1;2) tiếp xúc với đường thẳng D : x- 2y + = 2 2 A ( x + 1) +( y - 2) = C ( x- 1) +( y + 2) = B ( x- 1) +( y - 2) = D ( x + 1) +( y - 2) = 2 2 b) (C) qua A ( 2;- 1) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox Oy 2 A ( x- 5) +( y + 5) = 25 2 2 B ( x- 1) +( y + 1) = 2 C ( x- 5) +( y + 5) = 25, ( x- 1) +( y + 1) = 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 D ( x- 5) +( y + 5) = c) (C) có tâm nằm đường thẳng d : x- 6y - 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 :3x + 4y + = d2 : 4x - 3y - = A ( C) : ( x- 10) + y2 = 49 2 2 2 ỉ 10ư ỉ 70ư ỉ7 ÷ ÷ B ( C) : ỗ xy+ ữ ữ +ỗ ữ =ỗ ữ ç ç ç ç ÷ è ç ÷ è ç43ø ÷ 43ø è 43ø ỉ 10ư ỉ 70ư ỉ7 ữ ữ C ( C) : ỗ xy+ ữ ữ +ỗ ữ =ỗ ữv ( C) : ( x- 10) + y2 = 49 ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ç ÷ ç ÷ è 43ø è 43ø è43ø D ( C) :( x- 10) + y2 = 25 Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) khoẳng cách từ I tới đường thẳng D nên R = d( I ;D ) = - 1- 4- 1+ = 2 Vậy phương trình đường tròn (C) : ( x + 1) +( y - 2) = b) Vì điểm A nằm góc phần tư thứ tư đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm đường tròn có dạng I ( R;- R) R bán kính đường tròn (C) éR = 2 2 2 Ta có: R = IA Û R = ( 2- R) +( - 1+ R) Û R - 6R + 5= Û ê êR = ë 2 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu là: ( x- 1) +( y + 1) = ( x- 5) 2 +( y + 5) = 25 c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm đường thẳng d nên gọi K ( 6a+ 10; a) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1 , d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R suy 3(6a+ 10) + 4a+ 5 = 4(6a+ 10)- 3a- 5 éa= ê ⇔ 22a+ 35 = 21a+ 35 Û ê - 70 êa= ê 43 ë - Với a= K ( 10;0) R = suy ( C) : ( x- 10) + y2 = 49 2 2 ỉ ỉ 10ư æ 70ö æ7 ö 10 - 70ö - 70 ữ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ K ; ữ - Vi a= thỡ ỗ xữ +ỗy + ữ = ỗ ữ ữv R = 43 suy ( C) : ỗ ỗ ỗ ữ ố ỗ ữ ố ç43ø ÷ è43 43 ø 43 43ø è 43ø Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình 2 ỉ 10ư ỉ 70ư ỉ7 ÷ +ỗ y+ ữ =ỗ ữ ữ ữ ( C) :( x- 10) + y = 49 v ( C) :ỗỗỗx- ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ43ứ 43ứ ố è 43ø è 2 Ví dụ 3: Cho hai điểm A ( 8;0) B( 0;6) a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 2 B ( x- 4) +( y - 3) = 2 D ( x- 4) +( y - 3) = 25 A ( x- 4) +( y - 3) = 16 C ( x- 4) +( y - 3) = 36 2 2 b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB 2 B ( x- 7) +( y - 5) = 2 D ( x- 2) +( y - 2) = A ( x- 2) +( y - 2) = C ( x- 3) +( y - 4) = 2 2 Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vng O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền AB suy I ( 4;3) Bán kính R = IA = ( 8- 4) 2 +( 0- 3) = 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: ( x- 4) +( y - 3) = 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = 82 + 62 = 10 Mặt khác OA.OB = pr (vì diện tích tam giác ABC ) Suy r = OA.OB =2 OA + OB + AB Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm đường tròn có tọa độ ( 2;2) 2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: ( x- 2) +( y - 2) = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1 : 3x + y = d2 : 3x- y = Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC vng B Viết phương trình (C), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương 2 ỉ ỉ 3ử 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ A ( C) : ỗ x + ữ +ỗx + ữ ỗ ữ= ữ ỗ ỗ 6ứ ữ ố 2ứ ố 2 ổ ổ 3ữ 3ử ữ ỗ ỗ B ( C) : ỗ x+ ữ +ỗx + ữ =4 ữ ỗ ữ ỗ 6ứ ữ ỗ ố 2ữ ứ ố 2 ổ ổ 3ữ 3ử ữ ỗ ç ÷ C ( C) : ç x + + x + ữ=9 ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ÷ è ø è ø 2 ỉ ổ 3ử 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ D ( C) : ỗ x + ữ +ỗx + ữ = ỗ ữ ữ ỗ 6ứ ữ ỗ ố 2ứ è Lời giải: (hình 3.1) Hình 3.1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy maxSIAB = · · sin AIB = 1Û AIB = 900 0 · Gọi H hình chiếu I lên D AIH = 45 Þ IH = IA.cos45 = Ta có d( I ;D ) = IH Û 1- 2m 2+ m = Û m2 + 8m+ 16 = Û m=- Vậy với m=- thỏa mãn yêu cầu toán  DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn Phương pháp giải Cho đường tròn (C) tâm I ( a; b) , bán kính R • Nếu biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) tiếp tuyến qua M nhận vectơ uuu r IM ( x0 - a; y0 - b) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ( x0 - a) ( x- x0 ) +( y0 - b) ( y - y0 ) = • Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xúc đường tròn (C) d( I ;D ) = R để xác định tiếp tuyến Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 6x + 2y + = điểm hai điểm A ( 1;- 1) ; B( 1;3) a) Chứng minh điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngồi đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A A y =- B x= C x + y = D x- y = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ B A y = 3x + 4y - 15 = B x= 2x + 4y - 14 = C x= x + 4y - 13 = D x= 3x + 4y - 15 = Lời giải: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Đường tròn (C) có tâm I ( 3;- 1) bán kính R = 32 + 1- = a) Ta có: IA = = R; IB = > R suy điểm A thuộc đường tròn điểm B nằm ngồi đường tròn uur b) Tiếp tuyến (C) điểm A nhận IA = ( 2;0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 2( x- 1) + 0( y + 1) = hay x = b) Phương trình đường thẳng D qua B có dạng: a( x- 1) + b( y - 3) = (với a2 + b2 ¹ ) hay ax + by - a- 3b= Đường thẳng D tiếp tuyến đường tròn Û d( I ;D ) = R Û 3a- b- a- 3b a2 + b2 é b= = Û ( a- 2b) = a2 + b2 Û 3b2 - 4ab= Û ê ê3b= 4a ë + Nếu b= , chọn a= suy phương trình tiếp tuyến x= + Nếu 3b= 4a, chọn a= 3, b= suy phương trình tiếp tuyến 3x + 4y - 15 = Vậy qua B kẻ hai tiếp tuyến với (C) có phương trình x= 3x + 4y - 15 = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến D đường tròn ( C) : x2 + y2 - 4x + 4y - 1= trường a) Đường thẳng D vng góc với đường thẳng D ': 2x + 3y + = A D : - 3x + 2y + 10 = B D : - 3x + 2y + 10± 13 = C D : - 3x + 2y + 8± 13 = D D : - 3x + 2y + 10± 13 = b) Đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 A D : x- y- - = B D 1,2 : x + y ± = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word C D 1,2 : x + y ± = 0, D : x- y + - = D D 1,2 : x + y ± = 0, D : x- y + - = , D : x- y- - = Lời giải: a) Đường tròn (C) có tâm I ( 2;- 2) , bán kính R = r Vì D ^ D ' nên D nhận u( - 3;2) làm VTPT phương trình có dạng - 3x + 2y + c = Đường thẳng D tiếp tuyến với đường tròn (C) d( I ;D ) = Û - 10+ c 13 = Û c = 10± 13 Vậy có hai tiếp tuyến D : - 3x + 2y + 10± 13 = b) Giả sử phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ Đường thẳng D tiếp tuyến với đường tròn (C) d( I ;D ) = Û 2a- 2b+ c a2 + b2 = Û ( 2a- 2b+ c) = 9( a2 + b2 ) (*) Đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 suy cos( D ;Ox) = b a2 + b2 Þ cos450 = b a2 + b2 Û a= b a=- b TH1: Nếu a= b thay vào (*) ta có 18a2 = c2 Û ±c = 2a , chọn a= b= 1Þ c = ±3 suy D : x + y ± = ( ) éc = - a ê TH2: Nếu a=- b thay vào (*) ta có 18a = ( 4a+ c) Û ê ê êc =- + a ë 2 ( ) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( ) ( ) Với c = - a, chọn a= 1, b=- 1, c = - Þ D : x- y + - = ( ) ( ) Với c =- + a, chọn a= 1, b=- 1, c =- + Þ D : x- y- - = Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn D 1,2 : x + y ± = 0, D : x- y + - = D : x- y- - = Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: ( C1) : x2 + y2 - 4y - = ( C2) : x2 + y2 - 6x + 8y + 16 = A 4x- 3y - = B 2x + y - 2± = C 2x + y - 2± = 0, y + 1= D 2x + y - 2± = 0, y + 1= 0, 4x- 3y - = Lời giải: Đường tròn ( C1) có tâm I ( 0;2) bán kính R1 = Đường tròn ( C2) có tâm I ( 3;- 4) bán kính R2 = Gọi tiếp tuyến chung hai đường tròn có phương trình D : ax + by + c = với a2 + b2 ¹ D tiếp tuyến chung ( C1) ( C2) ìï 2b+ c = a2 + b2 * ( ) ï ïìï d(I ,D ) = Û í Û ïí ïïỵ d(I ,D ) = ïï 3a- 4b+ c = a2 + b2 ïỵ éa= 2b ê Suy 2b+ c = 3a- 4b+ c Û ê - 3a+ 2b êc = ê ë http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word TH1: Nếu a= 2bchọn a= 2, b= thay vào (*) ta c=- 2± nên ta có tiếp tuyến 2x + y - 2± = TH2: Nếu c = - 3a+ 2b thay vào (*) ta 2b- a = a2 + b2 Û a= 3a+ 4b= + Với a= Þ c = b, chọn b= c = ta D : y + 1= + Với 3a+ 4b= Þ c = 3b , chọn a= 4, b=- 3, c =- ta D : 4x- 3y - = Vậy có tiếp tuyến chung hai đường tròn : 2x + y - 2± = 0, y + 1= 0, 4x- 3y - = §5 ĐƯỜNG ELIP A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1F2 = 2c( c> 0) số a> c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1 , F2 tiêu điểm (E) Khoảng cách F1F2 = 2c tiêu cự (E) MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu 2) Phương trình tắc elip: Với F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) : M ( x; y) Ỵ ( E) Û x2 y2 + = ( 1) b2 = a2 - c2 a b (1) gọi phương trình tắc (E) 3) Hình dạng tính chất elip: Hình 3.3 Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 ( - c;0) , tiêu điểm phải F2 ( c;0) + Các đỉnh : A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0; b) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Trục lớn : A1A2 = 2a, nằm trục Ox; trục nhỏ : B1B2 = 2b, nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ±a, y = ±b gọi hình chữ nhật sở c + Tâm sai : e= < a + Bán kính qua tiêu điểm điểm M ( xM ; yM ) thuộc (E) là: c c MF1 = a+ exM = a+ xM , MF2 = a- exM = a- xM a a B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG Xác định yếu tố elip biết phương trình tắc elip 1.Phương pháp giải Từ phương trình tắc ta xác định đại lượng a, b b2 = a2 - c2 ta tìm c elip từ ta suy yếu tố cần tìm Các ví dụ Ví dụ Elip có phương trình sau x2 y2 + =1 a) Xác định đỉnh A A1 ( - 1;0) ; A2 ( 1;0) ; B1 ( 0;- 1) ; B2 ( 0;1) B A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;2) C A1 ( - 1;0) ; A2 ( 1;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;2) D A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0) ; B1 ( 0;- 1) ; B2 ( 0;1) b) Xác định độ dài trục A trục lớn A1A2 = 2, độ dài trục bé B1B2 = B trục lớn A1A2 = 3, độ dài trục bé B1B2 = C trục lớn A1A2 = 4, độ dài trục bé B1B2 = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D trục lớn A1A2 = 4, độ dài trục bé B1B2 = c) Xác định tiêu cự A F1F2 = B F1F2 = C F1F2 = 3 D F1F2 = d) Xác định tiêu điểm A tiêu điểm F1 ( - 2;0) ; F2 ( 2;0) , , ( C tiêu điểm F1 - ) ( 5;0 ; F2 ( D tiêu điểm F ( B tiêu điểm F1 - ) 5;0 , ) ( 3;0) ; F ( 7;0 ; F2 , e) Xác định tâm sai A e= 3 B e= C e= Elip có phương trình sau 4x2 + 25y2 = 100 a) Xác định đỉnh A A1 ( - 5;0) ; A2 ( 5;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;- 2) B A1 ( - 5;0) ; A2 ( 5;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;- 2) C A1 ( - 5;0) ; A2 ( 5;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;- 2) D A1 ( - 5;0) ; A2 ( 5;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;- 2) b) Xác định độ dài trục A Độ dài trục lớn A1A2 = 12 , độ dài trục bé B1B2 = B Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bé B1B2 = C Độ dài trục lớn A1A2 = 12 , độ dài trục bé B1B2 = D Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bé B1B2 = c) Xác định tiêu cự D e= ) 3;0) 7;0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A F1F2 = 21 B F1F2 = 21 C F1F2 = 21 D F1F2 = 21 d) Xác định tiêu điểm ( ) ( ) B F1 - 21;0 ; F2 21;0 ( ( ) ( ) D F1 - A F1 - 21;0 ; F2 21;0 ) ( ( C F1 - 21;0 ; F2 21;0 ) ) ( ) 21;0 ; F2 21;0 e) Xác định tâm sai A e= 21 B e= 21 21 C e= D e= 21 Lời giải: a) Từ phương trình (E) ta có a= 2, b= 1Þ c = a2 - b2 = Suy tọa độ đỉnh A1 ( - 2;0) ; A2 ( 2;0) ; B1 ( 0;- 1) ; B2 ( 0;1) Độ dài trục lớn A1A2 = 4, độ dài trục bé B1B2 = ( Tiêu cự F1F2 = 2c = , tiêu điểm F1 - ) ( 3;0 ; F2 ) 3;0 , c Tâm sai (E) e= = a b) Ta có 4x2 + 25y2 = 100 Û x2 y2 + = suy a= 5; b= Þ c = a2 - b2 = 21 25 Do tọa độ đỉnh A1 ( - 5;0) ; A2 ( 5;0) ; B1 ( 0;- 2) ; B2 ( 0;- 2) Độ dài trục lớn A1A2 = 10 , độ dài trục bé B1B2 = ( Tiêu cự F1F2 = 2c = 21 , tiêu điểm F1 - ) ( 21;0 ; F2 ) 21;0 , c 21 Tâm sai (E) e= = a  DẠNG Viết phương trình tắc đường elip Phương pháp giải Để viết phương trình tắc elip ta làm sau: http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Gọi phương trình tắc elip x2 y2 + = 1( a> b> 0) a2 b2 + Từ giả thiết toán ta thiết lập phương trình, hệ phương trình từ giải thiết tốn để tìm đại lượng a, b elip từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e= A x2 y2 + =1 16 B x2 y2 + =1 C x2 y2 + =1 16 æ4 10 ỗ ;b) (E)cú ta mt nh l 0; v i qua im M ỗ ỗ ỗ ố ( A x2 y2 + =1 16 B ) x2 y2 + =1 ( c) (E) có tiêu điểm thứ A x2 y2 + =1 25 22 B C x2 y2 + =1 16 D x2 y2 + =1 ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø D x2 y2 + =1 ) 3;0 qua điểm M (1; 33) x2 y2 + =1 C x2 y2 + =1 16 D x2 y2 + =1 d) Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y+ = có diện tích 48 A x2 y2 + =1 25 22 e) (E) có tâm sai A x2 y2 + =1 25 22 B x2 y2 + =1 C x2 y2 + =1 16 D x2 y2 + =1 36 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 B x2 y2 + =1 C Lời giải: x2 y2 + =1 16 D x2 y2 + =1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Phương trình tắc (E) có dạng: x2 y2 + = 1( a> b> 0) a2 b2 a) (E) có độ dài trục lớn suy 2a= Û a= , Tâm sai e= nên c = Þ c = 2, b2 = a2 - c2 = a Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 ( ) b) (E) có đỉnh có tọa độ 0; nằm trục tung nên b= phương trình tắc (E) có dạng: ỉ4 10 ỗ ;Mt khỏc (E) i qua im M ỗ ç ç è Vậy phương trình tắc (E) c) (E) có tiêu điểm F1(Mặt khác M (1; x2 y2 + = a> a2 ( ) ữ 160 1ữ + = 1ị a2 = nên ÷ ÷ ÷ 25a ø x2 y2 + =1 3;0) nên c= suy a2 = b2 + c2 = b2 + (1) 33 528 ) Ỵ (E) Þ + = (2) a 25b2 Thế (1) vào (2) ta 528 + = 1Û 25b4 - 478b2 - 1584 = Û b2 = 22 Þ a2 = 25 b + 25b Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1 25 22 d) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y+ = suy b= Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b= 48 Þ b= x2 y2 Vậy phương trình tắc (E) + =1 36 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word e) (E) có tâm sai suy a2 - b2 hay 4a = 9b2 (3) = a Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy 4( a+ b) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a= 3, b= Vậy phương trình tắc (E) x2 y2 + =1  DẠNG Xác định điểm nằm đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình tắc ( E) : x2 y2 + = 1( a> b> 0) ta làm sau a2 b2 • Giả sử M ( xM ; yM ) , điểm M Ỵ ( E) Û thứ xM2 yM2 + = ta thu phương trình a2 b2 • Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , yM ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: x2 y2 Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): + = 1có tiêu điểm F1 F2 25 Tìm điểm M (E) cho a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ ỉ5 ỉ 15 15 ữ ữ ữ ữ ; ;ỗ ỗA M ç M ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç è 26 26ø è 26 26ø ỉ5 15 ữ ữ ; ỗ B M ỗ ữ ữ ỗ ố 26 26ứ ổ 15 ữ ữ ;ỗC M ỗ ữ ỗ ố 26 ứ 26ữ D.Khụng tn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word b) MF1 = 2MF2 ỉ25 119ư ỉ25 ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ M ; M ;A v ữ ỗ ỗ ữ ỗ12 ứ ỗ12 ữ ố ố ổ25 ỗ ;B M ỗ ỗ ỗ ố12 119 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ 119 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ ỉ25 119ư ữ ỗ ữ ỗ M ; C ữ ỗ ữ ç12 ø ÷ è D.Khơng tồn · MF = 600 c) F ỉ5 13 3ư ữ ỗ ữ ; A M ỗ ữ ỗ ữ ç 4 ÷ è ø ỉ 13 3ử ữ ỗ ữ ỗ M ; B ữ ỗ ữ ỗ 4 ữ ố ứ ổ 13 3ử ổ5 13 3ử ữ ữ ỗỗ ữ ữ ỗ ; , M ; C M ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 4 ữ 4 ÷ è ø è ø ỉ5 13 3ư ỉ 13 3ư ỉ5 13 3ư ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ç ç M ; M ; , M ; D ỗ , 2ỗ v ữ ữ ữ 3ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 4 ữ 4 ÷ 4 ÷ è ø è ø è ø ổ 13 3ử ữ ỗ ữ ỗ M ỗ;ữ ữ ỗ 4 ữ ố ứ d) Diện tích tam giác D OAM lớn với A ( 1;1) ổ25 ;ỗ A M ỗ ỗ ố 34 ÷ ÷ ÷ ÷ 34ø ỉ 25 ữ ữ ; ỗ B M ỗ ữ ỗ ÷ è 34 34 ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, ti liu file word mi nht ổ25 ;ỗ C M ỗ ỗ ố 34 ổ 25 ử ữ ữ ỗ ữ ữ M ; ỗ v ữ ữ ỗ ữ ố 34 34 ữ ứ 34ứ D.Không tồn Lời giải: Giả sử M ( xM ; yM ) Ỵ ( E) suy xM yM + = 1(*) 25 a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ yM = 3xM thay vào (*) ta xM2 ( 3xM ) + = 1Û 26xM2 = 25 Û xM = ± 25 26 æ5 æ 15 15 ữ ữ ỗ ữ ữ ; M ; Vậy có hai điểm thỏa mãn M ç ç ç 2ç ÷ ÷ ç ÷ ÷ è 26 26ø è 26 26ø b) Từ phương trình (E) có a2 = 25, b2 = nên a= 5, b= 3,c = a2 - b2 = Theo cơng thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : c c MF1 = a+ xM = 5+ xM MF2 = a- xM = 5- xM a a ỉ 25 5- xM ÷ ÷ Û x = Theo giải thiết MF1 = 2MF2 suy 5+ xM = 2ỗ ỗ ữ M ỗ ố ứ 12 Thay vo (*) ta có : 25 yM2 119 + = 1Û yM = 144 ổ25 119ử ổ25 ữ ỗ ç ;÷ ç Vậy có hai điểm M thỏa mãn l: M ỗ ; v M ỗ ữ ç ÷ ç ç ø ÷ è12 è12 uuuu r uuuu r c) Ta có F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) Þ MF1 ( xM + 4; yM ) , MF2 ( xM - 4; yM ) uuuu r uuuu r MF MF xM2 + yM2 - 16 cos60 = = u u u u r u u u u r · MF = 600 nờn ổ Vỡ F ửỗ MF1 MF2 ổ ỗ 5+ xM ữ ữỗ5- xM ữ ữ ỗ ữ ỗ ố ữ ứỗ ố ứ 1ổ 16 xM2 + yM2 - 16 = ỗ 25xM ữ ữ ỗ ữ ỗ 2ố 25 ứ 119ử ữ ữ ữ ữ ø ÷ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Suy xM2 y 57 y2 57 yM2 3 = - M vào (*) ta + M = 1Þ yM = ± 25 66 33 66 33 xM = ± 13 ỉ5 13 3ư ÷ ç ÷ M ; Vậy có bốn điểm thỏa mãn l ỗ , ữ ỗ ữ ỗ 4 ø ÷ è ỉ 13 3ư ỉ5 13 ỉ 13 3ư 3ư ÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç M2ç ; , M ; M ; v ữ ữ ữ 3ỗ 4ỗ ỗ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ 4 ÷ 4 ÷ 4 ÷ è ø è ø è ø uuur r d) Ta có OA ( 1;1) nên đường thẳng qua hai điểm O, A nhận n( - 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình - x + y = - xM + yM 1 SOAM = OA.d( M ;OA ) = = - xM + yM 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta có SOAM = ỉx y x y 1 34 M ÷ - M + M Ê 34.ỗ ỗ + M ữ = ữ ỗ ữ ỗ ứ ố 25 Dấu xảy - xM y = M kết hợp với (*) ta 25 ìï ìï ïï xM = 25 ïï xM =- 25 ïï ï 34 34 ïí í ïï ï ïï y = ïï yM =ïï M 34 34 ùợ ợ ổ25 ;ỗ Vy cú hai im M ỗ ỗ ố 34 ổ 25 ử ữ ữ ữ ữ ; ỗ v M ç thỏa mãn yêu cầu ÷ ÷ ç ÷ ÷ è 34 34 ø 34 ø toán x2 y2 Ví dụ 2: Cho elip (E) : + = C ( 2;0) Tìm A , B thuộc (E) biết A , B đối xứng qua trục hồnh tam giác ABC ỉ2 3ư ỉ2 3ư ỉ2 3ư ỉ2 3ư ữ ữ ữ ữ ỗ ; ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ B ; A ; B ; A A ỗ , hoc , ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 7 ữ 7 ÷ 7 ÷ 7 ÷ è ø è ø è ø è ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ2 3ư ổ2 3ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç B A ç ; , B ;÷ ÷ ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ è7 ø è7 ø ỉ3 3ư ỉ3 3ư ÷ ÷ ç ;ç ÷ ÷ ç B ; C A ç , ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ 7 ÷ 7 ÷ è ø è ø ỉ3 3÷ ỉ3 3ư ỉ3 3ư ỉ3 3ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ ; ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ D A ỗ ; , Bỗ ;hoc A ỗ ;, Bỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç 7 ÷ 7 ÷ 7 ÷ 7 ÷ è ø è ø è ø è ø Lời giải: Giả sử A ( x0 ; y0 ) Vì A , B đối xứng qua trục hoành nên B( x0 ;- y0) với y0 > Vì A Ỵ ( E) nên x02 y02 x2 + = 1Û y02 = 1- (1) 4 2 Vì tam giác ABC nên AB2 = AC Þ ( - 2y0 ) = ( 2- x0) +( - y0 ) Û 3y02 = 4- 4x0 + x02 (2) Thay (1) vào (2) ta cú ổ x2 ữ 3ỗ ỗ 1- ÷ = 4- 4x0 + x02 Û 7x02 - 16x0 + = ữ ỗ ữ ỗ è 4ø éx0 = ê ê êx0 = ê ë + Nếu x0 = thay vào (1) ta có y0 = Trường hợp loại A º C + Nếu x0 = thay vào (1) ta có y0 = ± 7 ỉ2 3ư ỉ2 3÷ ỉ2 3ử ổ2 3ử ữ ữ ữ ỗ ỗ ç ç ; ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç Vy A ỗ ; , Bỗ ;hoc A ỗ ;, Bỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ỗ 7 ữ 7 ÷ 7 ÷ 7 ÷ è ø è ø è ø è ø ... trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 - 2ax- 2by + c = Do đường tròn qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình: ïìï 4+ 1 6+ 4a- 8b+ c = ïï í 2 5+ 25- 10a- 10b+ c = Û ïï ïỵï 3 6+ 4- 12a+ 4b+... (Cm) qua 2 Khi ta có: xo + y0 +( m+ 2) x0 - ( m+ 4) y0 + m+ 1= 0, " m Û ( x0 - y0 - 1) m+ xo2 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1= 0, " m ïì x - y0 + 1= Û ïí 02 Û ïï x0 + y02 + 2x0 - 4y0 + 1= ỵ ì ì ïíï x0... đường tròn (C) éR = 2 2 2 Ta có: R = IA Û R = ( 2- R) +( - 1+ R) Û R - 6R + 5= Û ê êR = ë 2 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu là: ( x- 1) +( y + 1) = ( x- 5) 2 +( y + 5) = 25 c) Vì đường tròn