OXY ĐƯỜNG TRÒN (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word §4 ĐƯỜNG TRỊN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình đường tròn • Phương trình đường tròn (C) tâm I (a; b) , bán kính R : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 Dạng khai triển (C) : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với c = a2 + b2 - R2 • Phương trình x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với điều kiện a2 + b2 - c > , phương trình đường tròn tâm I (a; b) bán kính R = a + b2 - c Phương trình tiếp tuyến : Cho đường tròn (C) : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 • Tiếp tuyến D (C) điểm M (x0 ; y0 ) đường thẳng qua M vng góc với IM nên phương trình : D : ( x0 - a)( x - a) + ( y0 - a)( y - a) = R2 • D : ax + by + c = tiếp tuyến (C) Û d( I , D ) = R • Đường tròn (C) : ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 có hai tiếp tuyến phương với Oy x = a ± R Ngoài hai tiếp tuyến tiếp tuyến lại có dạng : y = kx + m B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI  DẠNG 1: Nhận dạng phương trình đường tròn Tìm tâm bán kính đường tròn Phương pháp giải Cách 1: + Đưa phương trình dạng: (C ): x + y - 2ax - 2by + c = (1) + Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 - c Nếu P > (1) phương trình đường tròn (C ) có tâm I (a; b) bán kính R= a + b2 - c Nếu P £ (1) khơng phải phương trình đường tròn Cách 2: Đưa phương trình dạng: ( x - a)2 + ( y - b)2 = P (2) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Nếu P > (2) phương trình đường tròn có tâm I (a; b) bán kính R = P Nếu P £ (2) khơng phải phương trình đường tròn Các ví dụ Ví dụ 1: Trong phương trình sau, phương trình biểu diễn đường tròn? Tìm tâm bán kính có a) x2 + y2 + 2x - y + = (1) A tâm I (2; - 4) bán kính R = B tâm I (- 2; 2) bán kính R = C tâm I (- 1; 2) bán kính R = D Khơng phải đường tròn b) x2 + y2 - 6x + y + 13 = (2) A tâm I (3; - 2) bán kính R = B tâm I (3; - 2) bán kính R = 13 C tâm I (6; 4) bán kính R = D Khơng phải đường tròn c) x + y - x - y - = (3) ỉ3 B Tõm I ỗỗ ;1ữ bỏn kớnh R = ữ ữ çè ø A Khơng phải đường tròn C Tâm I (3; 2) bán kính R = ỉ3 D tõm I ỗỗ ;1ữ ữ bỏn kớnh R = ỗố ữ ứ 10 d) 2x2 + y2 + 2x - 3y + = 10 (4) A tâm I (3; - 2) bán kính R = B tâm I (3; - 2) bán kính R = 13 C tâm I (6; 4) bán kính R = D Khơng phải đường tròn http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Phương trình (1) có dạng x2 + y - 2ax - 2by + c = với a = - 1; b = 2; c = Ta có a2 + b2 - c = + - < Vậy phương trình (1) khơng phải phương trình đường tròn b) Ta có: a2 + b2 - c = + - 13 = Suy phương trình (2) khơng phải phương trình đường tròn c) Ta có: (3) Û x + y - 3x - y - = Û 2 2 æ 3ữ ỗỗx - ữ + (y - 1)2 = ữ ỗố 2ứ ổ3 Vy phng trỡnh (3) l phng trỡnh ng trũn tõm I ỗỗ ;1ữ ữ bỏn kớnh R = ỗố ữ ứ 10 d) Phương trình (4) khơng phải phương trình đường tròn hệ số x y khác Ví dụ 2: Cho phương trình x + y - 2mx - (m - 2) y + - m = (1) a) Tìm điều kiện m để (1) phương trình đường tròn ém > A ê êm < ë B m> C m< D < m < b) Nếu (1) phương trình đường tròn tìm toạ độ tâm bán kính theo m A I (2m; (m- 2)) , R = 5m2 - 15m + 10 B I (m; (m + 2)), R = 5m2 - 15m + 10 C I (m; (m- 2)), R = 5m2 - 15m + D I (m; (m- 2)), R = 5m2 - 15m + 10 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Lời giải: a) Phương trình (1) phương trình đường tròn a2 + b2 - c > Với a = m; b = (m - 2); c = - m ém > 2 Hay m2 + (m - 2) - + m > Û 5m2 - 15m + 10 > Û ê êm < ë b) Với điều kiện đường tròn có tâm I (m; (m- 2)) bán kính: R= 5m2 - 15m + 10 Ví dụ 3: Cho phương trình đường cong (C m ) : x + y + (m + 2)x - (m + 4) y + m + = (2) a) Chứng minh (2) phương trình đường tròn b) Tìm tập hợp tâm đường tròn m thay đổi A D : x + y - = B D : 2x + y - = C D : x + y - = D D : x + y - = c) Tìm điểm m thay đổi họ đường tròn (C m ) ln qua điểm cố định A M1 (- 1; 0) M2 (1; 2) B M1 (- 1;1) M2 (- 1; 2) C M1 (- 1;1) M2 (1; 2) D M1 (- 1;1) M (1;1) Lời giải: ỉm + a) Ta có a2 + b2 - c = ỗỗ ỗố 2 ổ m+ 2ử ữ + ỗỗữ ữ ứ ốỗ 2 (m + 2) + 4ư ÷ - m- = >0 ÷ ÷ ø Suy (2) phương trình đường tròn với m http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ìï ïï x = - m + ï I suy x + y - = b) Đường tròn có tâm I : í I I ïï m+ ïï yI = ïỵ Vậy tập hợp tâm đường tròn đường thẳng D : x + y - = c) Gọi M (x0 ; y0 ) điểm cố định mà họ (C m ) ln qua Khi ta có: xo2 + y02 + (m + 2)x0 - (m + 4) y0 + m + = 0, " m Û (x0 - y0 - 1)m + xo2 + y02 + x0 - y0 + = 0, " m ìï x - y0 + = Û ïí 02 Û ïï x0 + y02 + x0 - y0 + = ỵ ìï x0 = - ïì x = ïí ïí ïïỵ y0 = ỵïï y0 = Vậy có hai điểm cố định mà họ (C m ) qua với m M1 (- 1; 0) M2 (1; 2)  DẠNG 2: Viết phương trình đường tròn Phương pháp giải Cách 1: + Tìm toạ độ tâm I (a; b) đường tròn (C) + Tìm bán kính R đường tròn (C) + Viết phương trình (C) theo dạng ( x - a)2 + ( y - b)2 = R2 Cách 2: Giả sử phương trình đường tròn (C) là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = (Hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = ) + Từ điều kiện đề thành lập hệ phương trình với ba ẩn a, b, c + Giải hệ để tìm a, b, c từ tìm phương trình đường tròn (C) Chú ý: * A Ỵ (C ) Û IA = R * (C ) tiếp xúc với đường thẳng D A Û IA = d (I ; D ) = R http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word * (C ) tiếp xúc với hai đường thẳng D D Û d (I ; D ) = d (I ; D ) = R Các ví dụ Ví dụ : Viết phương trình đường tròn trường hợp sau: a) Có tâm I (1; - 5) qua O (0; 0) 2 2 2 2 B (x - 1) + (y + 5) = 10 2 D (x - 1) + (y + 5) = 26 A (x + 1) + (y + 5) = 26 C (x + 1) + (y - 5) = 26 b) Nhận AB làm đường kính với A (1;1), B (7; 5) 2 B (x - 4) + (y - 3) = 2 D (x - 4) + (y - 3) = 13 A (x - 4) + (y - 3) = C (x + 4) + (y + 3) = 13 c) Đi qua ba điểm: M (- 2; 4), N (5; 5), P (6; - 2) A x2 + y - 4x - y - 10 = B x2 + y2 + 4x + y - 20 = C x2 + y - 4x + y - 10 = D x2 + y - 4x - y - 20 = Lời giải: a) Đường tròn cần tìm có bán kính OI = 2 (x - 1) + (y + 5) 12 + 52 = = 26 b) Gọi I trung điểm đoạn AB suy I (4; 3) AI = 2 (4 - 1) + (3 - 1) = 13 26 nên có phương trình http://dethithpt.com – Website chun đề thi, tài liệu file word Đường tròn cần tìm có đường kính AB suy nhận I (4; 3) làm tâm bán kính R = AI = 2 13 nên có phương trình (x - 4) + (y - 3) = 13 c) Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = Do đường tròn qua ba điểm M , N , P nên ta có hệ phương trình: ìï + 16 + a - 8b + c = ïï ïí 25 + 25 - 10 a - 10b + c = Û ïï ïïỵ 36 + - 12 a + 4b + c = ìï a = ïï ïí b = ïï ïïỵ c = - 20 Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y - 4x - y - 20 = Nhận xét: Đối với ý c) ta làm theo cách sau Gọi I (x; y) R tâm bán kính đường tròn cần tìm ìï IM = IN Vì IM = IN = IP Û ïí nên ta có hệ ïï IM = IP î 2 2 ìï ìï x = ïï (x + 2) + (y - 4) = (x - 5) + (y - 5) ïí Û í ïï x + 2 + y - = x - + y + 2 ỵïï y = ) ( ) ( ) ( ) ïỵ ( Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn (C) trường hợp sau: a) (C) có tâm I (- 1; 2) tiếp xúc với đường thẳng D : x - 2y + = 2 B (x - 1) + (y - 2) = 2 D (x + 1) + (y - 2) = A (x + 1) + (y - 2) = C (x - 1) + (y + 2) = 2 b) (C) qua A (2; - 1) tiếp xúc với hai trục toạ độ Ox Oy 2 A (x - 5) + (y + 5) = 25 2 5 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 B (x - 1) + (y + 1) = 2 2 2 C (x - 5) + (y + 5) = 25 , (x - 1) + (y + 1) = D (x - 5) + (y + 5) = c) (C) có tâm nằm đường thẳng d : x - 6y - 10 = tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1 : x + y + = d2 : x - y - = A (C ) : (x - 10) + y = 49 2 2 2 ỉ 10 ỉ 70 ỉ7 ÷ ç ÷ + ççy + ÷ B (C ) : ççx ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ = ççè 43 ø ữ ỗố 43 ứ ỗố 43 ứ ổ 10 ổ 70 ổ7 ữ ỗỗy + ữ çç ÷ C (C ) : ççx (C ) : (x - 10) + y = 49 + = ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố 43 ứ çè 43 ø çè 43 ø D (C ) : (x - 10) + y = 25 Lời giải: a) Bán kính đường tròn (C) khoẳng cách từ I tới đường thẳng D nên R = d (I ; D ) = - 1- - 1+ = 2 Vậy phương trình đường tròn (C) : (x + 1) + (y - 2) = b) Vì điểm A nằm góc phần tư thứ tư đường tròn tiếp xúc với hai trục toạ độ nên tâm đường tròn có dạng I (R; - R) R bán kính đường tròn (C) éR = 2 Ta có: R2 = IA2 Û R2 = (2 - R) + (- + R) Û R2 - 6R + = Û ê êR = ë 2 Vậy có hai đường tròn thoả mãn đầu là: (x - 1) + (y + 1) = 2 (x - 5) + (y + 5) = 25 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word c) Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm đường thẳng d nên gọi K (6 a + 10; a) Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1 , d2 nên khoảng cách từ tâm I đến hai đường thẳng bán kính R suy 3(6a + 10) + 4a + 5 = éa = ê  22 a + 35 = 21a + 35 Û ê - 70 êa = êë 43 4(6a + 10) - 3a - 5 - Với a = K (10; 0) R = suy (C ) : (x - 10) + y = 49 2 ỉ 10 ỉ 70 ỉ7 ỉ10 - 70 ÷ - 70 ữ ỗ ữ - Vi a = thỡ K ỗỗ ; v R = suy (C ) : ỗỗx + ỗỗy + ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ = ỗỗố 43 ứ ữ ữ ỗố çè 43 43 ø 43 ø çè 43 ø 43 43 Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình 2 ỉ 10 ỉ 70 ö æ7 ö (C) : (x - 10) + y = 49 v (C) : ỗỗỗx - ữữữ + ỗỗỗy + ữữữ = ỗỗỗ ữữữ 43 ứ ố 43 ứ è 43 ø è 2 Ví dụ 3: Cho hai điểm A (8; 0) B (0; 6) a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB 2 B (x - 4) + (y - 3) = 2 D (x - 4) + (y - 3) = 25 A (x - 4) + (y - 3) = 16 C (x - 4) + (y - 3) = 36 2 2 b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB 2 2 B (x - ) + (y - 5) = 2 D (x - 2) + (y - 2) = A (x - 2) + (y - 2) = C (x - 3) + (y - 4) = Lời giải: a) Ta có tam giác OAB vng O nên tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền AB suy I (4; 3) Bán kính R = IA = 2 (8 - 4) + (0 - 3) = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x - 4) + (y - 3) = 25 b) Ta có OA = 8; OB = 6; AB = + = 10 Mặt khác OA.OB = pr (vì diện tích tam giác ABC ) Suy r = OA.OB = OA + OB + AB Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm đường tròn có tọa độ (2; 2) 2 Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là: (x - 2) + (y - 2) = Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d2 d1 : 3x + y = d2 : 3x - y = Gọi (C) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (C), biết tam giác ABC có diện tích điểm A có hồnh độ dương 2 ỉ ỉ 3ư 3ư ữ ỗ ữ ỗ ữ + ỗx + ữ A (C ) : ỗỗx + ữ ữ= ữ ỗố ứ 2ứ ữ ốỗ 2 ổ ổ 3ử 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ + ỗx + ữ B (C ) : ỗỗx + ữ ữ= ữ çè ø 2ø ÷ çè 2 ỉ ỉ 3ử 3ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ + ỗx + ữ C (C ) : ỗx + ữ ữ= ữ ỗố ứ 2ứ ữ ỗố 2 ổ ổ 3ữ 3ử ữ ỗ ỗ ữ + çx + ÷ =1 D (C ) : ççx + ữ ữ ỗố ứ 2ữ ữ ỗố ứ d1 A B C Hình 3.1 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word · = 450 Þ IH = IA.cos 450 = Gọi H hình chiếu I lên D AIH Ta có d (I ; D ) = IH Û - 2m 2+ m = Û m2 + 8m + 16 = Û m = - Vậy với m = - thỏa mãn u cầu tốn  DẠNG 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn Phương pháp giải Cho đường tròn (C) tâm I (a; b) , bán kính R • Nếu biết tiếp điểm M (x0 ; y0 ) tiếp tuyến qua M nhận vectơ uuur IM (x0 - a; y0 - b) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình (x0 - a)(x - x0 )+ (y0 - b)(y - y0 ) = • Nếu khơng biết tiếp điểm dùng điều kiện: Đường thẳng D tiếp xúc đường tròn (C) d (I ; D ) = R để xác định tiếp tuyến Các ví dụ Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 - 6x + y + = điểm hai điểm A (1; - 1); B (1; 3) a) Chứng minh điểm A thuộc đường tròn, điểm B nằm ngồi đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A A y = - C x + y = B x = D x - y = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) kẻ từ B A y = 3x + 4y - 15 = B x = 2x + 4y - 14 = C x = x + 4y - 13 = D x = 3x + 4y - 15 = Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I (3; - 1) bán kính R = 32 + 1- = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word a) Ta có: IA = = R; IB = > R suy điểm A thuộc đường tròn điểm B nằm ngồi đường tròn uur b) Tiếp tuyến (C) điểm A nhận IA = (2; 0) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình (x - 1)+ (y + 1) = hay x = b) Phương trình đường thẳng D qua B có dạng: a (x - 1)+ b (y - 3) = (với a2 + b2 ¹ ) hay ax + by - a - 3b = Đường thẳng D tiếp tuyến đường tròn Û d (I ; D ) = R Û 3a - b - a - 3b a2 + b2 é b= = Û (a - 2b) = a + b2 Û 3b2 - ab = Û ê ê3b = a ë + Nếu b = , chọn a = suy phương trình tiếp tuyến x = + Nếu 3b = 4a , chọn a = 3, b = suy phương trình tiếp tuyến 3x + 4y - 15 = Vậy qua B kẻ hai tiếp tuyến với (C) có phương trình x = 3x + 4y - 15 = Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến D đường tròn (C ) : x + y - x + y - = trường a) Đường thẳng D vng góc với đường thẳng D ' : 2x + 3y + = A D : - 3x + 2y + 10 = B D : - 3x + y + 10 ± 13 = C D : - 3x + y + ± 13 = D D : - 3x + y + 10 ± 13 = b) Đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 A D : x - y - - = B D 1,2 : x + y ± = C D 1,2 : x + y ± = 0, D : x - y + - = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word D D 1,2 : x + y ± = 0, D : x - y + - = , D : x - y - - = Lời giải: a) Đường tròn (C) có tâm I (2; - 2) , bán kính R = r Vì D ^ D ' nên D nhận u(- 3; 2) làm VTPT phương trình có dạng - 3x + 2y + c = Đường thẳng D tiếp tuyến với đường tròn (C) d (I ; D ) = Û - 10 + c 13 = Û c = 10 ± 13 Vậy có hai tiếp tuyến D : - 3x + y + 10 ± 13 = b) Giả sử phương trình đường thẳng D : ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ Đường thẳng D tiếp tuyến với đường tròn (C) d (I ; D ) = Û a - 2b + c a2 + b2 = Û (2 a - 2b + c) = (a + b )(*) Đường thẳng D hợp với trục hồnh góc 450 suy cos (D ; Ox) = b a2 + b2 Þ cos 450 = b a2 + b2 Û a = b a = - b TH1: Nếu a = b thay vào (*) ta có 18a2 = c Û ± c = 2a , chọn a = b = Þ c = ± suy D : x + y ± = éc= 2- a ê TH2: Nếu a = - b thay vào (*) ta có 18a = (4a + c) Û ê ê êc = - + a ë ( ) ( ( 2 ( ) ) ) Với c = - a , chọn a = 1, b = - 1, c = - Þ D : x - y + - = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ( ( ) ) Với c = - + a , chọn a = 1, b = - 1, c = - + Þ D : x - y - - = Vậy có bốn đường thẳng thỏa mãn D 1,2 : x + y ± = 0, D : x - y + - = D4 : x- y- - = Ví dụ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn sau: (C1 ) : x2 + y - y - = (C2 ) : x + y - x + y + 16 = A 4x - 3y - = B x + y - ± = C x + y - ± = 0, y + = D x + y - ± = 0, y + = 0, x - y - = Lời giải: Đường tròn (C1 ) có tâm I1 (0; 2) bán kính R1 = Đường tròn (C ) có tâm I (3; - 4) bán kính R2 = Gọi tiếp tuyến chung hai đường tròn có phương trình D : ax + by + c = với a2 + b2 ¹ D tiếp tuyến chung (C1 ) ìï 2b + c = a2 + b2 * ìï d( I1 , D ) = () ï ï (C ) Û í Û ïí ïï 3a - 4b + c = a + b2 ïïỵ d( I , D ) = ïỵ éa = 2b ê Suy 2b + c = 3a - 4b + c Û ê - 3a + 2b êc = êë http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word TH1: Nếu a = 2b chọn a = 2, b = thay vào (*) ta c = - ± nên ta có tiếp tuyến x + y - ± = TH2: Nếu c = - 3a + 2b thay vào (*) ta 2b - a = a2 + b2 Û a = 3a + 4b = + Với a = Þ c = b , chọn b = c = ta D : y + = + Với 3a + 4b = Þ c = 3b , chọn a = 4, b = - 3, c = - ta D : 4x - 3y - = Vậy có tiếp tuyến chung hai đường tròn : x + y - ± = 0, y + = 0, x - y - = §5 ĐƯỜNG ELIP A TĨM TẮT LÝ THUYẾT 1)Định nghĩa: Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c (c > 0) số a > c Elip(E) tập hợp điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a Các điểm F1 , F2 tiêu điểm (E) Khoảng cách F1 F2 = 2c tiêu cự (E) MF1 , MF2 gọi bán kính qua tiêu y B2 2) Phương trình tắc elip: Với F1 (- c; 0), F2 (c; 0): M (x; y) Ỵ (E) Û x2 y + = (1) b2 = a2 - c 2 a b M A1 F1 O F2 B1 (1) gọi phương trình tắc (E) Hình 3.3 3) Hình dạng tính chất elip: Elip có phương trình (1) nhận trục tọa độ trục đối xứng gốc tọa độ làm tâm đối xứng + Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1 (- c ; 0), tiêu điểm phải F2 (c; 0) A2 x http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word + Các đỉnh : A1 (- a; 0), A2 (a; 0), B1 (0; - b), B2 (0; b) + Trục lớn : A1 A2 = a , nằm trục Ox; trục nhỏ : B1 B2 = 2b , nằm trục Oy + Hình chữ nhật tạo đường thẳng x = ± a, y = ± b gọi hình chữ nhật sở + Tâm sai : e = c b > 0) a2 b2 + Từ giả thiết toán ta thiết lập phương trình, hệ phương trình từ giải thiết tốn để tìm đại lượng a, b elip từ viết phương trình tắc Các ví dụ Ví dụ Viết phương trình tắc elip (E) trường hợp sau: a) (E) có độ dài trục lớn tâm sai e = A x2 y + =1 16 B x2 y + =1 C x2 y + =1 16 ỉ4 10 ;b) (E)có tọa độ đỉnh 0; qua điểm M ççç çè ( A x2 y + =1 16 B ( c) (E) có tiêu điểm thứ x2 y + =1 A 25 22 ) x2 y + =1 ) C x2 y + =1 B x2 y + =1 D x2 y + =1 ÷ 1÷ ÷ ÷ ÷ ø x2 y + =1 16 3; qua điểm M(1; D 33 ) x2 y + =1 C 16 x2 y + =1 D d) Hình chữ nhật sở (E) có cạnh nằm đường thẳng y + = có diện tích 48 x2 y + =1 A 25 22 e) (E) có tâm sai x2 y + =1 B x2 y + =1 C 16 x2 y + =1 D 36 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word A x2 y + =1 25 22 B x2 y + =1 C x2 y + =1 16 D x2 y + =1 Lời giải: x2 y Phương trình tắc (E) có dạng: + = 1(a > b > 0) a b a) (E) có độ dài trục lớn suy 2a = Û a = , Tâm sai e = nên c = Þ c = 2, b2 = a2 - c = a Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 ( ) b) (E) có đỉnh có tọa độ 0; nằm trục tung nên b = x2 y = a> trình tắc (E) có dạng: + a ( æ4 10 ;Mặt khác (E) i qua im M ỗỗỗ ỗố Vy phng trình tắc (E) c) (E) có tiêu điểm F1 (Mặt khác M(1; phương ) 160 ÷ 1÷ nên + = Þ a2 = ÷ ÷ ÷ 25 a ø x2 y + =1 3; 0) nên c = suy a2 = b2 + c2 = b2 + (1) 33 528 ) ẻ ( E) ị + = (2) a 25b2 Thế (1) vào (2) ta 528 + = Û 25b4 - 478b2 - 1584 = Û b2 = 22 Þ a2 = 25 b + 25b Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1 25 22 d) (E) có hình chữ nhật sở có cạnh nằm đường thẳng y + = suy b = http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word Mặt khác hình chữ nhật sở diện tích 48 nên 2a.2b = 48 Þ b = Vậy phương trình tắc (E) e) (E) có tâm sai suy x2 y + =1 36 a2 - b2 hay 4a2 = 9b2 (3) = a Hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 suy (a + b) = 20 (4) Từ (3) (4) suy a = 3, b = Vậy phương trình tắc (E) x2 y + =1  DẠNG Xác định điểm nằm đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình tắc (E) : x2 y + = 1(a > b > 0) ta làm sau a2 b2 • Giả sử M (xM ; y M ), điểm M Ỵ (E) Û xM a2 + yM b2 = ta thu phương trình thứ • Từ điều kiện tốn ta thu phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM , y M ta tìm tọa độ điểm M Các ví dụ: Ví dụ Trong mặt phẳng Oxy , cho elip (E): x2 y + = có tiêu điểm F1 F2 25 Tìm điểm M (E) cho a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ ỉ ỉ 15 ÷ ÷ A M1 ỗỗ v M2 ỗỗ; ữ ỗố ữ ỗố 26 26 ø ỉ 15 ÷ ÷ B M ỗỗ ; ỗố 26 26 ữ ữ ứ 26 ;- 15 ÷ ÷ ÷ ÷ 26 ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word mi nht ổ C M ỗỗỗố 26 15 ÷ ÷ ÷ ø 26 ÷ ;- D.Không tồn b) MF1 = MF2 ỉ25 ỉ25 119 ÷ çç ; ÷ A M ççç ; M ÷ çç12 çè12 ÷ ÷ è ø ỉ25 B M ççç ; çè12 119 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø 119 ö ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ứ ổ25 119 ữ ữ C M ỗỗỗ ; ữ ỗố12 ữ ữ ứ D.Khụng tn ti c) F·1 MF2 = 60 ỉ5 13 3 ÷ ữ ; A M ỗỗỗ ữ ữ ỗố 4 ø ÷ ỉ 13 3÷ ÷ ;B M ỗỗỗữ ỗố 4 ữ ữ ứ ổ 13 3 ỉ5 13 3ư ÷ ữ ữ ữ ; , M ỗỗỗ ;C M ỗỗỗữ ữ ữ ữ ỗố 4 ứ ứ ữ çè ÷ ỉ5 13 3 ỉ 13 3 ỉ5 13 ỉ 13 3ử 3ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ç ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ; ; ,M ;;D M1 ỗ v M4 ỗữ, M2 ỗữ ữ ữ ữ ữ ỗố ỗố ỗố ữ 4 ø ø 4 ÷ ÷ ÷ ốỗỗ ữ ữ ứ ứ d) Din tớch tam giác D OAM lớn với A (1;1) æ 25 A M ỗỗ ;ỗố 34 ữ ữ ÷ ÷ 34 ø http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ 25 ữ ữ B M ỗỗ; ữ ỗố 34 34 ứ ữ ổ 25 C M ỗỗ ;ỗố 34 ổ 25 ử ữ ữ ỗỗữ ữ v M ; ữ ữ ỗ ữ ữ ố 34 34 ứ 34 ø D.Không tồn Lời giải: xM y M + = (*) Giả sử M (xM ; y M ) Ỵ (E) suy 25 a) Điểm M có tung gấp ba lần hồnh độ y M = xM thay vào (*) ta 2 (3xM ) xM + = Û 26 xM = 25 Û xM = ± 25 26 ỉ ỉ 15 ÷ ç÷ Vậy có hai điểm thỏa mãn M1 çç v M ; 2ỗ ữ ỗố ỗố 26 26 ứ ÷ 26 ;- b) Từ phương trình (E) có a2 = 25, b2 = nên a = 5, b = 3, c = 15 ÷ ÷ ÷ ø 26 ÷ a2 - b2 = Theo cơng thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có : MF1 = a + c c 4 xM = + xM MF2 = a - xM = - xM a a 5 Theo giải thiết MF1 = MF2 suy + æ 25 xM = ỗỗ5 - xM ữ xM = ữ ữ ỗố 5 ứ 12 25 yM Thay vào (*) ta có : + = Û yM = ± 144 119 ỉ25 119 ÷ ỉ25 ÷ Vậy có hai điểm M tha l: M1 ỗỗỗ ; v M2 ỗỗỗ ; ữ ữ ỗố12 ỗố12 ứ ữ 119 ÷ ÷ ÷ ÷ ø ÷ uuuur uuuur c) Ta có F1 (- 4; 0), F2 (4; 0) Þ MF1 (xM + 4; y M ), MF2 (xM - 4; y M ) uuuur uuuur 2 xM + yM - 16 MF1 MF2 0 · F MF = 60 Vì nên cos 60 = uuuur uuuur = ổ ửổ MF1 MF2 ỗỗ5 + x ữ ỗỗ5 - x ữ ữ ữ ữỗ ữ ỗố M ứố Mứ http://dethithpt.com Website chuyên đề thi, tài liệu file word 2 Û xM + yM - 16 = ö 1ổ ỗỗ25 - 16 x ữ ữ ỗố 25 M ÷ ø Suy 2 2 xM 57 y M 57 yM yM 3 = vào (*) ta + = Þ yM = ± 25 66 33 66 33 xM = ± 13 æ5 13 3 ÷ ÷ Vậy có bốn điểm thỏa mãn M1 ỗỗỗ ; ữ, ỗố 4 ữ ữ ứ æ 13 3 ö æ 13 æ5 13 3ữ 3ử ữ ữ ỗỗỗỗ ữ ữ ữ v M2 ỗỗỗM ; , M ; ; ữ ữ ữ 4ỗ ữ ữ ỗố ỗố 4 ứ 4 ữ ứ ữ ốỗỗ ÷ ÷ ø uuur r d) Ta có OA (1;1) nên đường thẳng qua hai điểm O, A nhận n(- 1;1) làm vectơ pháp tuyến có phương trình - x + y = SOAM = - xM + y M 1 OA.d (M; OA) = = - xM + y M 2 2 Áp dụng bất đẳng thức Bnhiacốpxki ta có SOAM = ỉx y 34 x y 1 ữ - M + M Ê 34.ỗỗỗ M + M ữ = ữ ữ ỗố 25 ø Dấu xảy - xM y M = kết hợp với (*) ta 25 ìï ìï ïï x = - 25 ïï x = 25 M ïï M ïï 34 34 í í ï ïï ïï y = ïï y M = ïï M 34 34 ïỵ ỵ ỉ 25 Vậy có hai điểm M1 ỗỗ ;ỗố 34 Vớ d 2: Cho elip (E) : ỉ 25 ư ÷ ÷ ÷ ữ v M2 ỗỗtha yờu cu bi toỏn ; ữ ữ ỗố ứ ứ 34 ữ 34 34 ữ x2 y + = C (2; 0) Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng qua trục hoành tam giác ABC http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi, tài liệu file word ỉ2 ÷ ỉ2 ÷ ỉ2 ư ỉ2 ử ữ ữ ỗ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ A A ỗ ; , Bỗ ; hoc A ỗ ; , B ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố7 ỗố7 ứữ çè7 ø ø ÷ ÷ çè7 ÷ ÷ ø ỉ2 ÷ ỉ2 ữ ỗỗ ; ữ ữ B A ỗỗỗ ; , B ữ ỗ ữ ữ ỗố7 ứữ ứữ ữ ỗố7 ổ3 ữ ổ3 ữ ữ ữ C A ỗỗỗ ; , B ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ỗố7 ứ ữ ữ ỗố7 ữ ứ ổ3 ổ3 ÷ ỉ3 ÷ ỉ3 ữ ữ ỗỗ ; ỗỗ ; ữ ữ ữ ữ B A D A ỗỗỗ ; , hoc , B ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ÷ çè7 ø÷ çè7 çè7 ứ ứ ữ ữ ỗố7 ữ ữ ứ Lời giải: Giả sử A (x0 ; y0 ) Vì A, B đối xứng qua trục hồnh nên B (x0 ; - y0 ) với y0 > Vì A Ỵ (E) nên x02 y02 x2 + = Û y02 = - (1) 4 2 Vì tam giác ABC nên AB2 = AC Þ (- y0 ) = (2 - x0 ) + (- y0 ) Û 3y02 = - 4x0 + x02 (2) Thay (1) vo (2) ta cú ổ x2 ữ ỗỗỗ1 - ÷ = - x0 + x02 Û x02 - 16 x0 + = ữ ữ ỗố 4ứ ộx0 = ờ êx0 = êë + Nếu x0 = thay vào (1) ta có y0 = Trường hợp loại A º C + Nếu x0 = thay vào (1) ta có y0 = ± 7 ỉ2 ỉ2 ÷ ỉ2 ÷ ỉ2 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ Vậy A ççç ; , B ççç ; A ççç ; , B ỗỗỗ ; ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ỗố7 ứữ ỗố7 ỗố7 ứ ứ ữ ữ ỗố7 ữ ữ ứ ... hai đường tròn sau: (C1 ) : x2 + y - y - = (C2 ) : x + y - x + y + 16 = A 4x - 3y - = B x + y - ± = C x + y - ± = 0, y + = D x + y - ± = 0, y + = 0, x - y - = Lời giải: Đường tròn (C1 ) có tâm... (x - 4) + (y - 3) = C (x + 4) + (y + 3) = 13 c) Đi qua ba điểm: M (- 2; 4), N (5; 5), P (6; - 2) A x2 + y - 4x - y - 10 = B x2 + y2 + 4x + y - 20 = C x2 + y - 4x + y - 10 = D x2 + y - 4x - y -. .. ìï x + y - x - y - 15 = ïí Û ïï x + y - x - y - = ỵ ìï x + y - x - y - 15 = ïí ïï x- y- = ỵ ìï éy = - 2 ìï ïï ê ì ï y y = ï (y + 3) + y - (y + 3 )- y - 15 = ï Û í Û í Û ïí êë y = ïï ïï x = y + ïï